Une équation différentielle est une équation qui implique une fonction et une ou plusieurs de ses dérivées. Dans la plupart des problèmes pratiques, les fonctions sont grandeurs physiques, les dérivées correspondent aux taux de variation de ces quantités, et l'équation détermine la relation entre elles.

Cet article traite des méthodes de résolution de certains types d'équations différentielles ordinaires, dont les solutions peuvent s'écrire sous la forme fonctions élémentaires , c'est-à-dire polynomiale, exponentielle, logarithmique et trigonométrique, ainsi que leurs fonctions inverses. Beaucoup de ces équations se produisent dans la vie réelle, bien que la plupart des autres équations différentielles ne puissent pas être résolues par ces méthodes, et pour elles, la réponse est écrite sous la forme de fonctions spéciales ou de séries entières, ou est trouvée par des méthodes numériques.

Pour comprendre cet article, vous devez maîtriser le calcul différentiel et intégral, ainsi qu’une certaine compréhension des dérivées partielles. Il est également recommandé de connaître les bases de l'algèbre linéaire appliquée aux équations différentielles, notamment aux équations différentielles du second ordre, bien que la connaissance du calcul différentiel et intégral soit suffisante pour les résoudre.

Information préliminaire

• Équations différentielles ont une classification étendue. Cet article parle de équations différentielles ordinaires, c'est-à-dire sur les équations qui incluent une fonction d'une variable et ses dérivées. Les équations différentielles ordinaires sont beaucoup plus faciles à comprendre et à résoudre que équations aux dérivées partielles, qui incluent des fonctions de plusieurs variables. Cet article ne traite pas des équations aux dérivées partielles, puisque les méthodes de résolution de ces équations sont généralement déterminées par leur forme particulière.
  • Vous trouverez ci-dessous quelques exemples d'équations différentielles ordinaires.
    • ré y ré x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • Vous trouverez ci-dessous quelques exemples d'équations aux dérivées partielles.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2 )f)(\partial y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
• Commande d'une équation différentielle est déterminée par l'ordre de la dérivée la plus élevée incluse dans cette équation. La première des équations différentielles ordinaires ci-dessus est du premier ordre, tandis que la seconde est une équation du second ordre. Degré l'équation différentielle s'appelle plus haut degré, auquel s'élève l'un des termes de cette équation.
  • Par exemple, l’équation ci-dessous est du troisième ordre et du deuxième degré.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ à droite)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• L'équation différentielle est équation différentielle linéaire dans le cas où la fonction et toutes ses dérivées sont au premier degré. Sinon l'équation est équation différentielle non linéaire. Les équations différentielles linéaires sont remarquables dans la mesure où leurs solutions peuvent être utilisées pour former des combinaisons linéaires qui seront également des solutions à l'équation donnée.
  • Vous trouverez ci-dessous quelques exemples d'équations différentielles linéaires.
  • Vous trouverez ci-dessous quelques exemples d'équations différentielles non linéaires. La première équation est non linéaire en raison du terme sinusoïdal.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• Décision commune l'équation différentielle ordinaire n'est pas unique, elle comprend constantes d'intégration arbitraires. Dans la plupart des cas, le nombre de constantes arbitraires est égal à l’ordre de l’équation. En pratique, les valeurs de ces constantes sont déterminées en fonction des valeurs données conditions initiales, c'est-à-dire selon les valeurs de la fonction et de ses dérivées à x = 0. (\style d'affichage x=0.) Le nombre de conditions initiales nécessaires à trouver solution privéeéquation différentielle, dans la plupart des cas, est également égale à l'ordre de l'équation donnée.
  • Par exemple, cet article examinera la résolution de l’équation ci-dessous. Il s’agit d’une équation différentielle linéaire du second ordre. Sa solution générale contient deux constantes arbitraires. Pour trouver ces constantes il faut connaître les conditions initiales à x (0) (\style d'affichage x(0)) Et x′ (0) . (\style d'affichage x"(0).) Habituellement, les conditions initiales sont spécifiées au point x = 0 , (\style d'affichage x=0,), même si cela n'est pas nécessaire. Cet article expliquera également comment trouver des solutions particulières pour des conditions initiales données.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Pas

Partie 1

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1. Équations linéaires du premier ordre. Cette section traite des méthodes de résolution d'équations différentielles linéaires du premier ordre en général et des cas particuliers où certains termes sont égaux à zéro. Faisons comme si y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\style d'affichage p(x)) Et q (x) (\style d'affichage q(x)) sont des fonctions X. (\style d'affichage x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x ))
   

   P (x) = 0. (\ displaystyle p (x) = 0.) D'après l'un des principaux théorèmes analyse mathematique, l'intégrale de la dérivée d'une fonction est aussi une fonction. Ainsi, il suffit simplement d’intégrer l’équation pour trouver sa solution. Il convient de tenir compte du fait que lors du calcul intégrale indéfinie une constante arbitraire apparaît.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\ displaystyle q (x) = 0.) Nous utilisons la méthode séparation des variables. Cela déplace différentes variables vers différents côtés de l’équation. Par exemple, vous pouvez déplacer tous les membres de y (style d'affichage y) en un seul, et tous les membres avec x (style d'affichage x) de l’autre côté de l’équation. Les membres peuvent également être transférés d x (\displaystyle (\mathrm (d))x) Et ré y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), qui sont inclus dans les expressions des dérivés, mais il ne faut pas oublier qu'il ne s'agit que d'un symbole pratique pour différencier fonction complexe. Discussion de ces membres, qui sont appelés différentiels, dépasse le cadre de cet article.

   • Tout d’abord, vous devez déplacer les variables vers les côtés opposés du signe égal.
     • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • Intégrons les deux côtés de l’équation. Après intégration, des constantes arbitraires apparaîtront des deux côtés, qui pourront être transférées vers le côté droit de l'équation.
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Exemple 1.1. Dans la dernière étape, nous avons utilisé la règle e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b)) et remplacé e C (\displaystyle e^(C)) sur C (style d'affichage C), puisqu'il s'agit également d'une constante d'intégration arbitraire.
     • ré y ré x − 2 y péché ⁡ X = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = − cos ⁡ x + C ln ⁡ y = − 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e − 2 cos ⁡ x (\displaystyle (\begin(aligned )(\frac (1)(2y))(\mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(aligned)))

   P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.) Pour trouver une solution générale, nous avons introduit facteur d'intégration en tant que fonction de x (style d'affichage x) pour réduire le côté gauche à une dérivée commune et ainsi résoudre l’équation.

   • Multipliez les deux côtés par μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • Pour réduire le membre de gauche à la dérivée générale, il faut effectuer les transformations suivantes :
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • La dernière égalité signifie que d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Il s’agit d’un facteur intégrateur suffisant pour résoudre toute équation linéaire du premier ordre. Nous pouvons maintenant déduire la formule pour résoudre cette équation par rapport à μ , (\displaystyle \mu,) bien qu'il soit utile pour la formation de faire tous les calculs intermédiaires.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Exemple 1.2. DANS dans cet exemple réfléchi à la manière de trouver une solution particulière à une équation différentielle avec des conditions initiales données.
     • t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(aligned)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   Résolution d'équations linéaires du premier ordre (enregistrées par Intuit - National Open University).

2. Équations non linéaires du premier ordre. Cette section traite des méthodes de résolution de certaines équations différentielles non linéaires du premier ordre. Bien qu’il n’existe pas de méthode générale pour résoudre de telles équations, certaines d’entre elles peuvent être résolues à l’aide des méthodes ci-dessous.

   ré y ré x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).) Si la fonction f (x, y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y)) peut être divisé en fonctions d'une variable, une telle équation est appelée équation différentielle à variables séparables. Dans ce cas, vous pouvez utiliser la méthode ci-dessus :

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )X)
   • Exemple 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ commencer(aligné)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(aligné)))

   ré y ré x = g (x , y) h (x , y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).) Faisons comme si g (x, y) (\ displaystyle g (x, y)) Et h (x, y) (\ displaystyle h (x, y)) sont des fonctions x (style d'affichage x) Et y. (\style d'affichage y.) Alors équation différentielle homogène est une équation dans laquelle g (style d'affichage g) Et h (style d'affichage h) sont fonctions homogènes au même degré. Autrement dit, les fonctions doivent satisfaire la condition g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),) Où k (style d'affichage k) est appelé degré d’homogénéité. Toute équation différentielle homogène peut être utilisée par des substitutions de variables (v = y / x (\displaystyle v=y/x) ou v = x / y (\displaystyle v=x/y)) convertir en une équation séparable.

   • Exemple 1.4. La description ci-dessus de l’homogénéité peut sembler floue. Examinons ce concept avec un exemple.
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • Pour commencer, il convient de noter que cette équation est non linéaire par rapport à y. (\style d'affichage y.) On voit aussi que dans ce cas il est impossible de séparer les variables. En même temps, cette équation différentielle est homogène, puisque le numérateur et le dénominateur sont homogènes avec une puissance de 3. Par conséquent, nous pouvons faire un changement de variables v = y/x. (\ displaystyle v = y/x.)
     • ré y ré x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v X , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • ré v ré X X = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).) En conséquence, nous avons l’équation pour v (style d'affichage v) avec des variables séparables.
     • v (x) = − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   ré y ré x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).) Ce Équation différentielle de Bernoulli- un type particulier d'équation non linéaire du premier degré, dont la solution peut être écrite à l'aide de fonctions élémentaires.

   • Multipliez les deux côtés de l'équation par (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 − n) y − n ré y ré x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • Nous utilisons la règle de différenciation d'une fonction complexe du côté gauche et transformons l'équation en équation linéaire relativement y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),) qui peut être résolu en utilisant les méthodes ci-dessus.
     • d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x , y) + N (x , y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0.) Ce équation en différentiels totaux. Il est nécessaire de trouver ce qu'on appelle fonction potentielle φ (x , y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), qui satisfait à la condition ré φ ré X = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • Pour remplir cette condition, il faut avoir dérivée totale. La dérivée totale prend en compte la dépendance à d'autres variables. Pour calculer la dérivée totale φ (\ displaystyle \ varphi) Par x , (\style d'affichage x,) nous supposons que y (style d'affichage y) peut aussi dépendre de X. (\style d'affichage x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • La comparaison des termes nous donne M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))) Et N (x, y) = ∂ φ ∂ y. (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).) Il s'agit d'un résultat typique pour les équations à plusieurs variables, dans lesquelles les dérivées mixtes des fonctions lisses sont égales les unes aux autres. Parfois, ce cas est appelé Théorème de Clairaut. Dans ce cas, l’équation différentielle est une équation différentielle totale si la condition suivante est satisfaite :
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
   • La méthode de résolution d'équations aux différentielles totales est similaire à la recherche de fonctions potentielles en présence de plusieurs dérivées, dont nous discuterons brièvement. Intégrons d’abord M (style d'affichage M) Par X. (\style d'affichage x.) Parce que le M (style d'affichage M) est une fonction et x (style d'affichage x), Et y , (\style d'affichage y,) lors de l'intégration, nous obtenons une fonction incomplète φ , (\displaystyle \varphi,) désigné φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi))). Le résultat dépend aussi de y (style d'affichage y) constante d’intégration.
     • φ (x , y) = ∫ M (x , y) d x = φ ~ (x , y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • Après cela, pour obtenir c (y) (\style d'affichage c(y)) on peut prendre la dérivée partielle de la fonction résultante par rapport à y , (\style d'affichage y,)égaliser le résultat N (x, y) (\ displaystyle N (x, y)) et intégrer. Vous pouvez également d'abord intégrer N (style d'affichage N), puis prenez la dérivée partielle par rapport à x (style d'affichage x), ce qui vous permettra de trouver une fonction arbitraire ré(x). (\style d'affichage d(x).) Les deux méthodes conviennent et la fonction la plus simple est généralement choisie pour l’intégration.
     • N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\ partiel (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • Exemple 1.5. Vous pouvez prendre des dérivées partielles et voir que l’équation ci-dessous est une équation différentielle totale.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(aligned)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\partial \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(aligned)))
     • ré c ré y = 0 , c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • Si l'équation différentielle n'est pas une équation différentielle totale, vous pouvez dans certains cas trouver un facteur d'intégration qui vous permet de la convertir en une équation différentielle totale. Cependant, de telles équations sont rarement utilisées en pratique, et bien que le facteur intégrateur existe, ça arrive de le trouver pas facile, donc ces équations ne sont pas prises en compte dans cet article.

Partie 2

1. Équations différentielles linéaires homogènes à coefficients constants. Ces équations sont largement utilisées dans la pratique, leur solution est donc primordiale. Dans ce cas, nous ne parlons pas de fonctions homogènes, mais du fait qu'il y a 0 du côté droit de l'équation. La section suivante montrera comment résoudre la correspondante. hétérogèneéquations différentielles. Ci-dessous une (\style d'affichage a) Et b (style d'affichage b) sont des constantes.

   ré 2 y ré x 2 + une ré y ré x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Équation caractéristique. Cette équation différentielle est remarquable en ce sens qu’elle peut être résolue très facilement si l’on fait attention aux propriétés que devraient avoir ses solutions. D'après l'équation, il ressort clairement que y (style d'affichage y) et ses dérivées sont proportionnelles les unes aux autres. D'après les exemples précédents, abordés dans la section sur les équations du premier ordre, nous savons que seule une fonction exponentielle possède cette propriété. Il est donc possible de proposer ansatz(une supposition éclairée) sur ce que sera la solution à cette équation.

   • La solution aura la forme d'une fonction exponentielle e r x , (\ displaystyle e ^ (rx),) Où r (style d'affichage r) est une constante dont il faut trouver la valeur. Remplacez cette fonction dans l'équation et obtenez l'expression suivante
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • Cette équation indique que le produit d'une fonction exponentielle et d'un polynôme doit être égal à zéro. On sait que l'exposant ne peut être égal à zéro pour aucune valeur du degré. Nous en concluons que le polynôme est égal à zéro. Ainsi, nous avons réduit le problème de la résolution d’une équation différentielle au problème beaucoup plus simple de la résolution d’une équation algébrique, appelée équation caractéristique d’une équation différentielle donnée.
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • Nous avons deux racines. Puisque cette équation différentielle est linéaire, sa solution générale est une combinaison linéaire de solutions partielles. Puisqu’il s’agit d’une équation du second ordre, nous savons que c’est vraiment solution générale, et il n’y en a pas d’autres. Une justification plus rigoureuse réside dans les théorèmes sur l’existence et l’unicité d’une solution, que l’on peut trouver dans les manuels.
   • Un moyen utile de vérifier si deux solutions sont linéairement indépendantes est de calculer Wronskiana. Vronskian W (style d'affichage W) est le déterminant d'une matrice dont les colonnes contiennent des fonctions et leurs dérivées successives. Le théorème d'algèbre linéaire stipule que les fonctions incluses dans le Wronskian sont linéairement dépendantes si le Wronskian est égal à zéro. Dans cette section, nous pouvons vérifier si deux solutions sont linéairement indépendantes. Pour ce faire, nous devons nous assurer que le Wronskian n’est pas nul. Le Wronskian est important dans la résolution d'équations différentielles inhomogènes à coefficients constants par la méthode des paramètres variables.
     • W = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • En termes d'algèbre linéaire, l'ensemble de toutes les solutions d'une équation différentielle donnée forme un espace vectoriel dont la dimension est égale à l'ordre de l'équation différentielle. Dans cet espace, on peut choisir une base parmi linéairement indépendant décisions les uns des autres. Ceci est possible grâce au fait que la fonction y (x) (\style d'affichage y(x)) valide opérateur linéaire. Dérivé est opérateur linéaire, puisqu'il transforme l'espace des fonctions différentiables en l'espace de toutes les fonctions. Les équations sont dites homogènes dans les cas où pour tout opérateur linéaire L (style d'affichage L) nous devons trouver une solution à l'équation L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)

   Passons maintenant à quelques exemples précis. Nous considérerons le cas des racines multiples de l'équation caractéristique un peu plus tard, dans la section sur la réduction de l'ordre.

   Si les racines r ± (\displaystyle r_(\pm )) sont des nombres réels différents, l'équation différentielle a solution suivante

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   Deux racines complexes. Du théorème fondamental de l'algèbre, il s'ensuit que les solutions d'équations polynomiales à coefficients réels ont des racines réelles ou forment des paires conjuguées. Donc si un nombre complexe r = α + je β (\displaystyle r=\alpha +i\beta ) est la racine de l'équation caractéristique, alors r ∗ = α − je β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta ) est aussi la racine de cette équation. On peut donc écrire la solution sous la forme c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),) cependant, il s’agit d’un nombre complexe et n’est pas souhaitable pour résoudre des problèmes pratiques.

   • Au lieu de cela, vous pouvez utiliser La formule d'Euler e je x = cos ⁡ x + je péché ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), ce qui nous permet d'écrire la solution sous la forme fonctions trigonométriques:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + je c 1 péché ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − je c 2 péché ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ bêta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • Maintenant vous pouvez au lieu d'une constante c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2))écrire c 1 (\style d'affichage c_(1)), et l'expression je (c 1 − c 2) (\ displaystyle i (c_ (1) -c_ (2))) remplacé par c2. (\style d'affichage c_(2).) Après cela, nous obtenons la solution suivante :
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin\bêta x))
   • Il existe une autre façon d’écrire la solution en termes d’amplitude et de phase, mieux adaptée aux problèmes de physique.
   • Exemple 2.1. Trouvons une solution à l'équation différentielle donnée ci-dessous avec les conditions initiales données. Pour ce faire, vous devez prendre la solution résultante, ainsi que son dérivé, et les substituer aux conditions initiales, ce qui nous permettra de déterminer des constantes arbitraires.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 je (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )je)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1 )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end(aligned)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
   
   Résolution d'équations différentielles d'ordre n à coefficients constants (enregistrées par Intuit - National Open University).

2. Ordre décroissant. La réduction d'ordre est une méthode de résolution d'équations différentielles lorsqu'une solution linéairement indépendante est connue. Cette méthode consiste à diminuer l'ordre de l'équation d'un point, ce qui permet de résoudre l'équation en utilisant les méthodes décrites dans la section précédente. Faites connaître la solution. L'idée principale de la réduction d'ordre est de trouver une solution dans le formulaire ci-dessous, où il faut définir la fonction v (x) (\style d'affichage v(x)), en le substituant dans l'équation différentielle et en trouvant v(x). (\style d'affichage v(x).) Voyons comment la réduction d'ordre peut être utilisée pour résoudre une équation différentielle avec des coefficients constants et des racines multiples.

   
   

   Racines multipleséquation différentielle homogène à coefficients constants. Rappelons qu'une équation du second ordre doit avoir deux solutions linéairement indépendantes. Si l'équation caractéristique a plusieurs racines, l'ensemble des solutions Pas forme un espace puisque ces solutions sont linéairement dépendantes. Dans ce cas, il est nécessaire d’utiliser la réduction d’ordre pour trouver une deuxième solution linéairement indépendante.

   • Laissez l'équation caractéristique avoir plusieurs racines r (style d'affichage r). Supposons que la deuxième solution puisse s'écrire sous la forme y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), et remplacez-le dans l'équation différentielle. Dans ce cas, la plupart des termes, à l'exception du terme avec la dérivée seconde de la fonction v , (\style d'affichage v,) va être réduit.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • Exemple 2.2. Soit l'équation suivante qui a plusieurs racines r = − 4. (\displaystyle r=-4.) Lors de la substitution, la plupart des termes sont réduits.
     • ré 2 y ré x 2 + 8 ré y ré x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\fin (aligné)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(aligned )v""e^(-4x)&-(\annuler (8v"e^(-4x)))+(\annuler (16ve^(-4x)))\\&+(\annuler (8v"e ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(aligned)))
   • Semblable à notre ansatz pour une équation différentielle à coefficients constants, dans ce cas seule la dérivée seconde peut être égale à zéro. Nous intégrons deux fois et obtenons l'expression souhaitée pour v (style d'affichage v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • Alors la solution générale d’une équation différentielle à coefficients constants dans le cas où l’équation caractéristique a plusieurs racines peut s’écrire sous la forme suivante. Pour plus de commodité, on peut rappeler que pour obtenir l'indépendance linéaire il suffit de multiplier simplement le deuxième terme par x (style d'affichage x). Cet ensemble de solutions est linéairement indépendant et nous avons donc trouvé toutes les solutions de cette équation.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.) La réduction de commande est applicable si la solution est connue y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), qui peut être trouvé ou donné dans l’énoncé du problème.

   • Nous recherchons une solution sous la forme y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x)) et remplacez-le dans cette équation :
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • Parce que le y 1 (\ displaystyle y_ (1)) est une solution d'une équation différentielle, tous les termes avec v (style d'affichage v) sont en train d’être réduits. Au final, il reste équation linéaire du premier ordre. Pour y voir plus clair, faisons un changement de variables w (x) = v ′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\right)(\mathrm (d) )x\right))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • Si les intégrales peuvent être calculées, on obtient la solution générale comme combinaison de fonctions élémentaires. Sinon, la solution peut être laissée sous forme intégrale.

3. Équation de Cauchy-Euler. L'équation de Cauchy-Euler est un exemple d'équation différentielle du second ordre avec variables coefficients, qui a des solutions exactes. Cette équation est utilisée en pratique, par exemple, pour résoudre l'équation de Laplace en coordonnées sphériques.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Équation caractéristique. Comme vous pouvez le constater, dans cette équation différentielle, chaque terme contient un facteur de puissance dont le degré est égal à l'ordre de la dérivée correspondante.

   • Ainsi, vous pouvez essayer de chercher une solution sous la forme y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),) où il faut déterminer n (style d'affichage n), tout comme nous cherchions une solution sous forme de fonction exponentielle pour une équation différentielle linéaire à coefficients constants. Après différenciation et substitution, on obtient
     • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • Pour utiliser l’équation caractéristique, nous devons supposer que x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Point x = 0 (\ displaystyle x = 0) appelé point singulier régulieréquation différentielle. Ces points sont importants lors de la résolution d’équations différentielles à l’aide de séries entières. Cette équation a deux racines, qui peuvent être différentes et réelles, multiples ou complexes conjuguées.
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b )))(2)))

   Deux vraies racines différentes. Si les racines n ± (\displaystyle n_(\pm )) sont réels et différents, alors la solution de l'équation différentielle a la forme suivante :

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   Deux racines complexes. Si l'équation caractéristique a des racines n ± = α ± β je (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), la solution est une fonction complexe.

   • Pour transformer la solution en fonction réelle, on fait un changement de variables x = e t , (\displaystyle x=e^(t),) c'est t = ln ⁡ X , (\displaystyle t=\ln x,) et utilisez la formule d'Euler. Des actions similaires ont été effectuées précédemment lors de la détermination de constantes arbitraires.
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\bêta)))
   • Alors la solution générale peut s’écrire
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   Racines multiples. Pour obtenir une deuxième solution linéairement indépendante, il faut à nouveau réduire l’ordre.

   • Cela demande pas mal de calculs, mais le principe reste le même : on substitue y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1)) dans une équation dont la première solution est y 1 (\ displaystyle y_ (1)). Après réductions, on obtient l’équation suivante :
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • Il s’agit d’une équation linéaire du premier ordre par rapport à v′ (x) . (\style d'affichage v"(x).) Sa solution est v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ X . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.) Ainsi, la solution peut s’écrire sous la forme suivante. C'est assez facile à retenir : pour obtenir la deuxième solution linéairement indépendante, il suffit d'ajouter un terme supplémentaire avec ln ⁡ X (\ displaystyle \ ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. Équations différentielles linéaires inhomogènes à coefficients constants. Les équations inhomogènes ont la forme L [ y (x)] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),) Où f (x) (\displaystyle f(x))- soi-disant Membre gratuit. Selon la théorie des équations différentielles, la solution générale de cette équation est une superposition solution privée y p (x) (\displaystyle y_(p)(x)) Et solution supplémentaire oui c (x) . (\ displaystyle y_ (c) (x).) Cependant, dans ce cas, une solution particulière ne signifie pas une solution donnée par les conditions initiales, mais plutôt une solution déterminée par la présence d’hétérogénéité (terme libre). Une solution supplémentaire est une solution de l'équation homogène correspondante dans laquelle f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.) La solution globale est une superposition de ces deux solutions, puisque L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), et depuis L [ y c ] = 0 , (\displaystyle L=0,) une telle superposition est bien une solution générale.

   ré 2 y ré x 2 + une ré y ré x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   Méthode des coefficients indéterminés. La méthode des coefficients indéfinis est utilisée dans les cas où le terme fictif est une combinaison de termes exponentiels, trigonométriques, hyperboliques ou fonctions de puissance. Seules ces fonctions sont garanties d’avoir un nombre fini de dérivées linéairement indépendantes. Dans cette section, nous trouverons une solution particulière à l’équation.

   • Comparons les termes dans f (x) (\displaystyle f(x)) avec des termes sans prêter attention aux facteurs constants. Il y a trois cas possibles.
     • Il n’y a pas deux membres identiques. Dans ce cas, une solution particulière y p (\ displaystyle y_ (p)) sera une combinaison linéaire de termes de y p (\ displaystyle y_ (p))
     • f (x) (\displaystyle f(x)) contient un membre x n (\style d'affichage x^(n)) et membre de y c , (\displaystyle y_(c),) Où n (style d'affichage n) est zéro ou un entier positif, et ce terme correspond à une racine distincte de l'équation caractéristique. Dans ce cas y p (\ displaystyle y_ (p)) consistera en une combinaison de la fonction x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),) ses dérivées linéairement indépendantes, ainsi que d'autres termes f (x) (\displaystyle f(x)) et leurs dérivées linéairement indépendantes.
     • f (x) (\displaystyle f(x)) contient un membre h (x) , (\style d'affichage h(x),) qui est une œuvre x n (\style d'affichage x^(n)) et membre de y c , (\displaystyle y_(c),) Où n (style d'affichage n) est égal à 0 ou à un entier positif, et ce terme correspond à plusieurs racine de l’équation caractéristique. Dans ce cas y p (\ displaystyle y_ (p)) est une combinaison linéaire de la fonction x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(Où s (style d'affichage s)- multiplicité de la racine) et ses dérivées linéairement indépendantes, ainsi que les autres membres de la fonction f (x) (\displaystyle f(x)) et ses dérivées linéairement indépendantes.
   • Écrivons-le y p (\ displaystyle y_ (p)) comme une combinaison linéaire des termes énumérés ci-dessus. En raison de ces coefficients dans une combinaison linéaire, cette méthode est appelée « méthode des coefficients indéfinis ». Lorsque le contenu apparaît oui c (\ displaystyle y_ (c)) les membres peuvent être supprimés en raison de la présence de constantes arbitraires dans oui c . (\style d'affichage y_(c).) Après cela, nous remplaçons y p (\ displaystyle y_ (p)) dans l’équation et assimile des termes similaires.
   • Nous déterminons les coefficients. A ce stade, on obtient un système d'équations algébriques, qui peuvent généralement être résolues sans aucun problème. La solution de ce système nous permet d'obtenir y p (\ displaystyle y_ (p)) et ainsi résoudre l'équation.
   • Exemple 2.3. Considérons une équation différentielle inhomogène dont le terme libre contient un nombre fini de dérivées linéairement indépendantes. Une solution particulière à une telle équation peut être trouvée par la méthode des coefficients indéfinis.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(aligné)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ fin(cas)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   Méthode Lagrange. La méthode de Lagrange, ou méthode de variation de constantes arbitraires, est une méthode plus générale pour résoudre des équations différentielles inhomogènes, en particulier dans les cas où le terme d'origine ne contient pas un nombre fini de dérivées linéairement indépendantes. Par exemple, avec les membres gratuits bronzage ⁡ X (\ displaystyle \ tan x) ou x − n (\style d'affichage x^(-n)) pour trouver une solution particulière il faut utiliser la méthode de Lagrange. La méthode de Lagrange peut même être utilisée pour résoudre des équations différentielles à coefficients variables, même si dans ce cas, à l'exception de l'équation de Cauchy-Euler, elle est moins fréquemment utilisée, car la solution supplémentaire n'est généralement pas exprimée en termes de fonctions élémentaires.

   • Supposons que la solution ait la forme suivante. Sa dérivée est donnée en deuxième ligne.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • Puisque la solution proposée contient deux quantités inconnues, il faut imposer supplémentaire condition. Choisissons cette condition supplémentaire sous la forme suivante :
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • Nous pouvons maintenant obtenir la deuxième équation. Après substitution et redistribution des membres, vous pouvez regrouper les membres avec v 1 (\displaystyle v_(1)) et les membres avec v 2 (\style d'affichage v_(2)). Ces délais sont réduits car y 1 (\ displaystyle y_ (1)) Et y 2 (\displaystyle y_(2)) sont des solutions de l’équation homogène correspondante. En conséquence, nous obtenons le système d’équations suivant
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\fin (aligné)))
   • Ce système peut être transformé en une équation matricielle de la forme A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),) dont la solution est X = UNE − 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).) Pour matrice 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) la matrice inverse est trouvée en divisant par le déterminant, en réorganisant les éléments diagonaux et en changeant le signe des éléments non diagonaux. En fait, le déterminant de cette matrice est un Wronskian.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ fin(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • Expressions pour v 1 (\displaystyle v_(1)) Et v 2 (\style d'affichage v_(2)) sont donnés ci-dessous. Comme dans la méthode de réduction d'ordre, dans ce cas, lors de l'intégration, une constante arbitraire apparaît, qui inclut une solution supplémentaire dans la solution générale de l'équation différentielle.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   Conférence de la National Open University Intuit intitulée "Équations différentielles linéaires d'ordre n avec coefficients constants".

Utilisation pratique

Les équations différentielles établissent une relation entre une fonction et une ou plusieurs de ses dérivées. Parce que de telles relations sont extrêmement courantes, les équations différentielles ont trouvé de nombreuses applications dans une variété de domaines, et comme nous vivons en quatre dimensions, ces équations sont souvent des équations différentielles dans privé dérivés. Cette section couvre certaines des équations les plus importantes de ce type.

• Croissance et déclin exponentiels. Désintégration radioactive. Intérêts composés. Le taux de réactions chimiques. Concentration de médicaments dans le sang. Croissance démographique illimitée. Loi de Newton-Richmann. Dans le monde réel, il existe de nombreux systèmes dans lesquels le taux de croissance ou de déclin à un moment donné est proportionnel à la quantité engendrée. ce moment temps ou peut être bien approximé par le modèle. En effet, la solution d’une équation différentielle donnée, la fonction exponentielle, est l’une des fonctions les plus importantes en mathématiques et dans d’autres sciences. Plus généralement, avec une croissance démographique contrôlée, le système peut inclure des conditions supplémentaires qui limitent la croissance. Dans l'équation ci-dessous, la constante k (style d'affichage k) peut être supérieur ou inférieur à zéro.
  • ré y ré x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• Vibrations harmoniques. En mécanique classique et quantique, l'oscillateur harmonique est l'un des éléments les plus importants. systèmes physiques en raison de sa simplicité et de sa large application pour se rapprocher de systèmes plus complexes tels qu'un simple pendule. En mécanique classique, les vibrations harmoniques sont décrites par une équation qui relie la position d'un point matériel à son accélération via la loi de Hooke. Dans ce cas, les forces d’amortissement et motrices peuvent également être prises en compte. Dans l'expression ci-dessous x ˙ (\displaystyle (\dot (x)))- dérivée temporelle de x , (\style d'affichage x,) β (\displaystyle \bêta)- paramètre qui décrit la force d'amortissement, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- fréquence angulaire du système, F (t) (\style d'affichage F(t))- force motrice dépendant du temps. L'oscillateur harmonique est également présent dans les circuits oscillants électromagnétiques, où il peut être mis en œuvre avec une plus grande précision que dans les systèmes mécaniques.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• L'équation de Bessel. L'équation différentielle de Bessel est utilisée dans de nombreux domaines de la physique, notamment pour résoudre l'équation des ondes, l'équation de Laplace et l'équation de Schrödinger, notamment en présence d'une symétrie cylindrique ou sphérique. Cette équation différentielle du second ordre à coefficients variables n'est pas une équation de Cauchy-Euler, ses solutions ne peuvent donc pas être écrites sous forme de fonctions élémentaires. Les solutions de l'équation de Bessel sont les fonctions de Bessel, bien étudiées en raison de leur application dans de nombreux domaines. Dans l'expression ci-dessous α (\ displaystyle \ alpha)- une constante qui correspond en ordre Fonctions de Bessel.
  • x 2 ré 2 y ré x 2 + x ré y ré x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• Les équations de Maxwell. Avec la force de Lorentz, les équations de Maxwell constituent la base de l'électrodynamique classique. Ce sont les quatre équations aux dérivées partielles pour l'électricité E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t)) et magnétique B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t)) des champs. Dans les expressions ci-dessous ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- densité de charge, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t))- la densité de courant, et ϵ 0 (\ displaystyle \ epsilon _ (0)) Et μ 0 (\displaystyle \mu _(0))- les constantes électriques et magnétiques, respectivement.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\begin(aligned)\nabla \cdot (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(aligned)))
• Équation de Schrödinger. En mécanique quantique, l'équation de Schrödinger est l'équation fondamentale du mouvement, qui décrit le mouvement des particules en fonction d'un changement dans la fonction d'onde. Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t)) avec le temps. L'équation du mouvement est décrite par le comportement Hamiltonien H^(\displaystyle (\hat (H))) - opérateur, qui décrit l’énergie du système. L'un des exemples bien connus de l'équation de Schrödinger en physique est l'équation d'une seule particule non relativiste soumise au potentiel V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). De nombreux systèmes sont décrits par l'équation de Schrödinger dépendant du temps, et sur le côté gauche de l'équation se trouve E Ψ , (\displaystyle E\Psi,) Où E (style d'affichage E)- l'énergie des particules. Dans les expressions ci-dessous ℏ (\displaystyle \hbar)- constante de Planck réduite.
  • je ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
  • je ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
• Équation d'onde. La physique et la technologie ne peuvent être imaginées sans ondes ; elles sont présentes dans tous les types de systèmes. En général, les vagues sont décrites par l'équation ci-dessous, dans laquelle u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t)) est la fonction recherchée, et c (style d'affichage c)- constante déterminée expérimentalement. d'Alembert fut le premier à découvrir que pour le cas unidimensionnel, la solution de l'équation des ondes est n'importe lequel fonction avec argument x − c t (\displaystyle x-ct), qui décrit une onde de forme arbitraire se propageant vers la droite. La solution générale pour le cas unidimensionnel est une combinaison linéaire de cette fonction avec une deuxième fonction avec argument x + c t (\style d'affichage x+ct), qui décrit une onde se propageant vers la gauche. Cette solution est présentée en deuxième ligne.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• Équations de Navier-Stokes. Les équations de Navier-Stokes décrivent le mouvement des fluides. Les fluides étant présents dans pratiquement tous les domaines scientifiques et technologiques, ces équations sont extrêmement importantes pour prévoir la météo, concevoir des avions, étudier les courants océaniques et résoudre de nombreux autres problèmes appliqués. Les équations de Navier-Stokes sont des équations aux dérivées partielles non linéaires, et dans la plupart des cas elles sont très difficiles à résoudre car la non-linéarité conduit à des turbulences, et l'obtention d'une solution stable par des méthodes numériques nécessite un partitionnement en très petites cellules, ce qui nécessite une puissance de calcul importante. À des fins pratiques en hydrodynamique, des méthodes telles que la moyenne temporelle sont utilisées pour simuler des écoulements turbulents. Des questions encore plus fondamentales telles que l'existence et l'unicité des solutions aux équations aux dérivées partielles non linéaires sont un défi, et prouver l'existence et l'unicité d'une solution aux équations de Navier-Stokes en trois dimensions fait partie des problèmes mathématiques du millénaire. Vous trouverez ci-dessous l'équation d'écoulement d'un fluide incompressible et l'équation de continuité.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (\mathbf (u)) )(\partial t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• De nombreuses équations différentielles ne peuvent tout simplement pas être résolues à l’aide des méthodes ci-dessus, en particulier celles mentionnées dans la dernière section. Ceci s'applique lorsque l'équation contient des coefficients variables et n'est pas une équation de Cauchy-Euler, ou lorsque l'équation est non linéaire, sauf dans quelques cas très rares. Cependant, les méthodes ci-dessus peuvent résoudre de nombreuses équations différentielles importantes que l’on rencontre souvent dans divers domaines scientifiques.
• Contrairement à la différenciation, qui permet de trouver la dérivée de n'importe quelle fonction, l'intégrale de nombreuses expressions ne peut pas être exprimée en fonctions élémentaires. Alors ne perdez pas de temps à essayer de calculer une intégrale là où c'est impossible. Regardez le tableau des intégrales. Si la solution d'une équation différentielle ne peut pas être exprimée en termes de fonctions élémentaires, elle peut parfois être représentée sous forme intégrale, et dans ce cas peu importe que cette intégrale puisse être calculée analytiquement.

Avertissements

• Apparence L’équation différentielle peut être trompeuse. Par exemple, vous trouverez ci-dessous deux équations différentielles du premier ordre. La première équation peut être facilement résolue en utilisant les méthodes décrites dans cet article. A première vue, un changement mineur y (style d'affichage y) sur y 2 (\displaystyle y^(2)) dans la deuxième équation la rend non linéaire et devient très difficile à résoudre.
  • ré y ré x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • ré y ré x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

Résolution d'équations différentielles. Merci à notre un service en ligne Vous pouvez résoudre des équations différentielles de tout type et complexité : inhomogènes, homogènes, non linéaires, linéaires, du premier, du deuxième ordre, avec des variables séparables ou non séparables, etc. Vous obtenez une solution aux équations différentielles sous forme analytique avec Description détaillée. Beaucoup de gens sont intéressés : pourquoi est-il nécessaire de résoudre des équations différentielles en ligne ? Ce type d’équation est très courant en mathématiques et en physique, où il sera impossible de résoudre de nombreux problèmes sans calculer l’équation différentielle. Les équations différentielles sont également courantes en économie, médecine, biologie, chimie et autres sciences. Résoudre une telle équation en ligne simplifie grandement vos tâches, vous donne la possibilité de mieux comprendre le matériel et de vous tester. Avantages de la résolution d'équations différentielles en ligne. Un site de services mathématiques moderne vous permet de résoudre des équations différentielles en ligne n'importe quel des difficultés. Comme vous le savez, il y a un grand nombre de types d'équations différentielles et chacune d'elles a ses propres méthodes de solution. Sur notre service, vous pouvez trouver en ligne des solutions aux équations différentielles de tout ordre et de tout type. Pour obtenir une solution, nous vous suggérons de remplir les données initiales et de cliquer sur le bouton « Solution ». Les erreurs dans le fonctionnement du service sont exclues, vous pouvez donc être sûr à 100 % d'avoir reçu la bonne réponse. Résolvez des équations différentielles avec notre service. Résolvez des équations différentielles en ligne. Par défaut, dans une telle équation, la fonction y est fonction de la variable x. Mais vous pouvez également spécifier votre propre désignation de variable. Par exemple, si vous spécifiez y(t) dans une équation différentielle, notre service déterminera automatiquement que y est fonction de la variable t. L'ordre de l'équation différentielle entière dépendra de l'ordre maximum de la dérivée de la fonction présente dans l'équation. Résoudre une telle équation signifie trouver la fonction souhaitée. Notre service vous aidera à résoudre des équations différentielles en ligne. Cela ne demande pas beaucoup d’efforts de votre part pour résoudre l’équation. Il vous suffit de saisir les côtés gauche et droit de votre équation dans les champs requis et de cliquer sur le bouton « Solution ». Lors de la saisie, la dérivée d'une fonction doit être désignée par une apostrophe. En quelques secondes, vous recevrez le produit fini solution détailléeéquation différentielle. Notre service est absolument gratuit. Équations différentielles à variables séparables. Si dans une équation différentielle il y a une expression du côté gauche qui dépend de y, et du côté droit il y a une expression qui dépend de x, alors une telle équation différentielle est appelée avec des variables séparables. Le côté gauche peut contenir une dérivée de y ; la solution des équations différentielles de ce type se présentera sous la forme d'une fonction de y, exprimée par l'intégrale du côté droit de l'équation. Si sur le côté gauche il y a une différentielle de la fonction y, alors dans ce cas les deux côtés de l'équation sont intégrés. Lorsque les variables d’une équation différentielle ne sont pas séparées, elles devront l’être pour obtenir une équation différentielle séparée. Équation différentielle linéaire. Une équation différentielle dont la fonction et toutes ses dérivées sont au premier degré est dite linéaire. Forme générale de l’équation : y’+a1(x)y=f(x). f(x) et a1(x) sont des fonctions continues de x. La résolution d'équations différentielles de ce type se réduit à intégrer deux équations différentielles à variables séparées. Ordre de l'équation différentielle. Une équation différentielle peut être du premier, du deuxième ou du nième ordre. L'ordre d'une équation différentielle détermine l'ordre de la dérivée la plus élevée qu'elle contient. Dans notre service, vous pouvez résoudre des équations différentielles en ligne d'abord, deuxième, troisième, etc. commande. La solution de l'équation sera n'importe quelle fonction y=f(x), en la remplaçant dans l'équation, vous obtiendrez une identité. Le processus permettant de trouver une solution à une équation différentielle est appelé intégration. Problème de Cauchy. Si, en plus de l’équation différentielle elle-même, la condition initiale y(x0)=y0 est donnée, alors on parle de problème de Cauchy. Les indicateurs y0 et x0 sont ajoutés à la solution de l'équation et la valeur d'une constante arbitraire C est déterminée, puis une solution particulière de l'équation à cette valeur de C est déterminée. C'est la solution du problème de Cauchy. Le problème de Cauchy est également appelé problème de conditions aux limites, ce qui est très courant en physique et en mécanique. Vous avez également la possibilité de poser le problème de Cauchy, c'est-à-dire de sélectionner parmi toutes les solutions possibles de l'équation un quotient qui répond aux conditions initiales données.

Soit ils ont déjà été résolus par rapport à la dérivée, soit ils peuvent être résolus par rapport à la dérivée .

Solution générale des équations différentielles du type sur l'intervalle X, qui est donné, peut être trouvé en prenant l’intégrale des deux côtés de cette égalité.

On a .

Si l'on regarde les propriétés de l'intégrale indéfinie, on trouve la solution générale souhaitée :

y = F(x) + C,

Où F(x)- une des fonctions primitives f(x) entre X, UN AVEC- constante arbitraire.

Veuillez noter que dans la plupart des problèmes, l'intervalle X n'indique pas. Cela signifie qu’une solution doit être trouvée pour tout le monde. X, pour lequel et la fonction souhaitée oui, et l'équation originale a du sens.

Si vous devez calculer une solution particulière à une équation différentielle qui satisfait la condition initiale y(x 0) = y 0, puis après avoir calculé l'intégrale générale y = F(x) + C, il faut encore déterminer la valeur de la constante C = C0, en utilisant la condition initiale. C'est-à-dire une constante C = C0 déterminé à partir de l'équation F(x 0) + C = y 0, et la solution partielle souhaitée de l'équation différentielle prendra la forme :

y = F(x) + C0.

Regardons un exemple :

Trouvons une solution générale à l'équation différentielle et vérifions l'exactitude du résultat. Trouvons une solution particulière à cette équation qui satisferait la condition initiale.

Solution:

Après avoir intégré l’équation différentielle donnée, nous obtenons :

.

Prenons cette intégrale en utilisant la méthode d'intégration par parties :

Que., est une solution générale de l'équation différentielle.

Pour nous assurer que le résultat est correct, faisons une vérification. Pour ce faire, nous substituons la solution que nous avons trouvée dans l'équation donnée :

.

C'est quand l'équation originale se transforme en identité :

par conséquent, la solution générale de l’équation différentielle a été déterminée correctement.

La solution que nous avons trouvée est une solution générale de l’équation différentielle pour chaque valeur réelle de l’argument X.

Il reste à calculer une solution particulière de l'ODE qui satisferait la condition initiale. Autrement dit, il faut calculer la valeur de la constante AVEC, auquel l'égalité sera vraie :

.

.

Ensuite, en remplaçant C = 2 dans la solution générale de l'ODE, on obtient une solution particulière de l'équation différentielle qui satisfait la condition initiale :

.

Équation différentielle ordinaire peut être résolu pour la dérivée en divisant les 2 côtés de l'équation par f(x). Cette transformation sera équivalente si f(x) ne revient en aucun cas à zéro Xà partir de l'intervalle d'intégration de l'équation différentielle X.

Il existe des situations probables où, pour certaines valeurs de l'argument X ∈ X les fonctions f(x) Et g(x) deviennent simultanément nuls. Pour valeurs similaires X la solution générale d'une équation différentielle est n'importe quelle fonction oui, qui y est défini, car .

Si pour certaines valeurs d'argument X ∈ X la condition est satisfaite, ce qui signifie que dans ce cas l'ODE n'a pas de solutions.

Pour tout le monde X de l'intervalle X la solution générale de l'équation différentielle est déterminée à partir de l'équation transformée.

Regardons des exemples :

Exemple 1.

Trouvons une solution générale à l'ODE : .

Solution.

D'après les propriétés des fonctions élémentaires de base, il ressort clairement que la fonction logarithme népérien est définie pour des valeurs non négatives de l'argument, donc le domaine de définition de l'expression ln(x+3) il y a un intervalle X > -3 . Cela signifie que l’équation différentielle donnée a du sens pour X > -3 . Pour ces valeurs d'argument, l'expression x+3 ne disparaît pas, vous pouvez donc résoudre l'ODE pour la dérivée en divisant les 2 parties par x + 3.

On a .

Ensuite, nous intégrons l'équation différentielle résultante, résolue par rapport à la dérivée : . Pour prendre cette intégrale, nous utilisons la méthode de subsumation du signe différentiel.

Équations différentielles du premier ordre. Exemples de solutions.
Équations différentielles à variables séparables

Équations différentielles (DE). Ces deux mots terrifient généralement la personne moyenne. Les équations différentielles semblent être quelque chose de prohibitif et difficile à maîtriser pour de nombreux étudiants. Uuuuuu... équations différentielles, comment survivre à tout ça ?!

Cette opinion et cette attitude sont fondamentalement fausses, car en réalité ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES - C'EST SIMPLE ET MÊME AMUSANT. Que faut-il savoir et être capable de faire pour apprendre à résoudre des équations différentielles ? Pour réussir à étudier les diffus, vous devez savoir intégrer et différencier. Mieux les sujets sont étudiés Dérivée d'une fonction d'une variable Et Intégrale indéfinie, plus il sera facile de comprendre les équations différentielles. J'en dirai plus, si vous avez des compétences d'intégration plus ou moins correctes, alors le sujet est presque maîtrisé ! Plus il y a d'intégrales divers types vous savez décider, tant mieux. Pourquoi? Il va falloir beaucoup intégrer. Et différencier. Aussi recommande fortement apprendre à trouver.

Dans 95% des cas en essais Il existe 3 types d'équations différentielles du premier ordre : équations séparables que nous examinerons dans cette leçon ; équations homogènes Et équations linéaires inhomogènes. Pour ceux qui commencent à étudier les diffuseurs, je vous conseille de lire les leçons exactement dans cet ordre, et après avoir étudié les deux premiers articles, cela ne fera pas de mal de consolider vos compétences dans un atelier supplémentaire - équations se réduisant à homogène.

Il existe des types d'équations différentielles encore plus rares : les équations différentielles totales, les équations de Bernoulli et quelques autres. Les plus importants des deux derniers types sont les équations aux différentielles totales, car en plus de cette équation différentielle, j'envisage du nouveau matériel - intégration partielle.

S'il ne vous reste qu'un jour ou deux, Que pour une préparation ultra-rapide Il y a cours éclair au format pdf.

Voilà, les repères sont posés, c'est parti :

Rappelons d’abord les équations algébriques habituelles. Ils contiennent des variables et des nombres. L'exemple le plus simple : . Que signifie résoudre une équation ordinaire ? Cela signifie trouver ensemble de nombres, qui satisfont cette équation. Il est facile de remarquer que l'équation des enfants a une racine unique : . Juste pour le plaisir, vérifions et remplaçons la racine trouvée dans notre équation :

– l'égalité correcte est obtenue, ce qui signifie que la solution a été trouvée correctement.

Les diffuseurs sont conçus à peu près de la même manière !

Équation différentielle Premier ordre en général contient:
1) variable indépendante ;
2) variable dépendante (fonction) ;
3) la dérivée première de la fonction : .

Dans certaines équations du 1er ordre, il peut n'y avoir pas de « x » et/ou de « y », mais cela n'est pas significatif - important aller à la salle de contrôle était dérivée première, et n'a pas eu dérivés d'ordres supérieurs – , etc.

Que signifie ? Résoudre une équation différentielle signifie trouver ensemble de toutes les fonctions, qui satisfont cette équation. Un tel ensemble de fonctions a souvent la forme (– une constante arbitraire), appelée solution générale de l'équation différentielle.

Exemple 1

Résoudre l'équation différentielle

Munitions pleines. Où commencer solution?

Tout d’abord, vous devez réécrire la dérivée sous une forme légèrement différente. Nous rappelons la désignation encombrante, qui a probablement semblé à beaucoup d'entre vous ridicule et inutile. C'est ce qui règne dans les diffuseurs !

Dans un deuxième temps, voyons si c'est possible des variables séparées ? Que signifie séparer les variables ? Grosso modo, sur le côté gauche nous devons partir seulement "Grecs", UN sur le côté droit organiser seulement des "X". La division des variables s'effectue à l'aide de manipulations « scolaires » : les mettre entre parenthèses, transférer des termes de partie en partie avec changement de signe, transférer des facteurs de partie en partie selon la règle de proportion, etc.

Les différentiels sont des multiplicateurs à part entière et des participants actifs aux hostilités. Dans l'exemple considéré, les variables sont facilement séparées en mélangeant les facteurs selon la règle de proportion :

Les variables sont séparées. Sur le côté gauche, il n’y a que des « Y », sur le côté droit, uniquement des « X ».

Étape suivante – intégration d'équation différentielle. C’est simple, on met des intégrales des deux côtés :

Bien sûr, nous devons prendre des intégrales. Dans ce cas, ils sont tabulaires :

Comme on s’en souvient, une constante est attribuée à toute primitive. Il y a ici deux intégrales, mais il suffit d'écrire la constante une fois (puisque constante + constante est toujours égale à une autre constante). Dans la plupart des cas, il est placé du côté droit.

À proprement parler, une fois les intégrales prises, l’équation différentielle est considérée comme résolue. La seule chose est que notre « y » n'est pas exprimé par « x », c'est-à-dire que la solution est présentée de manière implicite formulaire. La solution d'une équation différentielle sous forme implicite s'appelle intégrale générale de l'équation différentielle. Autrement dit, c'est intégrale générale.

La réponse sous cette forme est tout à fait acceptable, mais existe-t-il une meilleure option ? Essayons d'obtenir décision commune.

S'il te plaît, rappelez-vous la première technique, il est très courant et est souvent utilisé dans des tâches pratiques : si un logarithme apparaît du côté droit après intégration, alors dans de nombreux cas (mais pas toujours !) il est également conseillé d'écrire la constante sous le logarithme.

C'est, AU LIEU DE les entrées sont généralement écrites .

Pourquoi est-ce nécessaire ? Et afin de faciliter l’expression du « jeu ». Utiliser la propriété des logarithmes . Dans ce cas:

Les logarithmes et les modules peuvent désormais être supprimés :

La fonction est présentée explicitement. C'est la solution générale.

Répondre: décision commune: .

Les réponses à de nombreuses équations différentielles sont assez faciles à vérifier. Dans notre cas, cela se fait tout simplement, on prend la solution trouvée et on la différencie :

Ensuite, nous substituons la dérivée dans l'équation originale :

– l'égalité correcte est obtenue, ce qui signifie que la solution générale satisfait l'équation, ce qu'il fallait vérifier.

Donner une constante différentes significations, vous pouvez en obtenir une infinité solutions privéeséquation différentielle. Il est clair que toutes les fonctions , , etc. satisfait l’équation différentielle.

Parfois, la solution générale est appelée famille de fonctions. Dans cet exemple, la solution générale - c'est une famille fonctions linéaires, ou plutôt une famille de proportionnalité directe.

Après un examen approfondi du premier exemple, il convient de répondre à plusieurs questions naïves sur les équations différentielles :

1)Dans cet exemple, nous avons pu séparer les variables. Est-ce que cela peut toujours être fait ? Non, pas toujours. Et plus souvent encore, les variables ne peuvent être séparées. Par exemple, dans équations homogènes du premier ordre, vous devez d'abord le remplacer. Dans d'autres types d'équations, par exemple dans une équation inhomogène linéaire du premier ordre, vous devez utiliser diverses techniques et méthodes pour trouver une solution générale. Les équations à variables séparables, que nous considérons dans la première leçon, sont le type d'équations différentielles le plus simple.

2) Est-il toujours possible d'intégrer une équation différentielle ? Non, pas toujours. Il est très facile de proposer une équation « fantaisiste » qui ne peut pas être intégrée. De plus, il existe des intégrales qui ne peuvent pas être prises en compte. Mais de tels DE peuvent être résolus approximativement en utilisant des méthodes spéciales. D'Alembert et Cauchy garantissent... ...pouah, lurkmore. Pour lire beaucoup de choses tout à l'heure, j'ai failli ajouter « de l'autre monde ».

3) Dans cet exemple, nous avons obtenu une solution sous la forme d'une intégrale générale . Est-il toujours possible de trouver une solution générale à partir d’une intégrale générale, c’est-à-dire d’exprimer explicitement le « y » ? Non, pas toujours. Par exemple: . Eh bien, comment pouvez-vous exprimer « grec » ici ?! Dans de tels cas, la réponse doit être écrite sous forme d’intégrale générale. De plus, il est parfois possible de trouver une solution générale, mais elle est écrite de manière si lourde et maladroite qu'il vaut mieux laisser la réponse sous la forme d'une intégrale générale

4) ...c'est peut-être suffisant pour le moment. Dans le premier exemple que nous avons rencontré Un autre point important , mais afin de ne pas couvrir les « nuls » d'une avalanche de nouvelles informations, je laisse cela jusqu'à la prochaine leçon.

Ne nous précipitons pas. Une autre télécommande simple et une autre solution typique :

Exemple 2

Trouver une solution particulière à l'équation différentielle qui satisfait la condition initiale

Solution: selon la condition, il faut trouver solution privée DE qui satisfait une condition initiale donnée. Cette formulation de la question est également appelée Problème de Cauchy.

Nous trouvons d’abord une solution générale. Il n'y a pas de variable « x » dans l'équation, mais cela ne doit pas prêter à confusion, l'essentiel est qu'elle ait la dérivée première.

On réécrit la dérivée sous la forme requise :

Bien évidemment, les variables peuvent être séparées, les garçons à gauche, les filles à droite :

Intégrons l'équation :

L'intégrale générale est obtenue. Ici j'ai dessiné une constante avec un astérisque, le fait est que très bientôt elle se transformera en une autre constante.

Nous essayons maintenant de transformer l’intégrale générale en une solution générale (exprimer explicitement le « y »). Rappelons-nous les bonnes vieilles choses de l'école : . Dans ce cas:

La constante de l’indicateur semble en quelque sorte peu casher, elle est donc généralement ramenée à la terre. Dans le détail, voici comment cela se passe. En utilisant la propriété des degrés, on réécrit la fonction de la manière suivante:

Si est une constante, alors est aussi une constante, redésignons-la avec la lettre :

Rappelez-vous que « démolir » une constante est deuxième technique, qui est souvent utilisé lors de la résolution d’équations différentielles.

La solution générale est donc : . C'est une belle famille de fonctions exponentielles.

Au stade final, vous devez trouver une solution particulière qui satisfait à la condition initiale donnée. C'est aussi simple.

Quelle est la tâche ? Il faut ramasser tel la valeur de la constante pour que la condition soit satisfaite.

Il peut être formaté de différentes manières, mais celle-ci sera probablement la plus claire. Dans la solution générale, au lieu du « X » nous remplaçons un zéro, et au lieu du « Y » nous remplaçons un deux :



C'est,

Version standard conception:

Nous substituons maintenant la valeur trouvée de la constante dans la solution générale :
– c’est la solution particulière dont nous avons besoin.

Répondre: solution privée :

Allons vérifier. La vérification d'une solution privée comprend deux étapes :

Vous devez d’abord vérifier si la solution particulière trouvée satisfait réellement à la condition initiale ? Au lieu du « X », nous remplaçons un zéro et voyons ce qui se passe :
- oui, effectivement, un deux a été reçu, ce qui signifie que la condition initiale est remplie.

La deuxième étape est déjà familière. Nous prenons la solution particulière résultante et trouvons la dérivée :

Nous substituons dans l'équation originale :

– l'égalité correcte est obtenue.

Conclusion : la solution particulière a été trouvée correctement.

Passons à des exemples plus significatifs.

Exemple 3

Résoudre l'équation différentielle

Solution: Nous réécrivons la dérivée sous la forme dont nous avons besoin :

On évalue s'il est possible de séparer les variables ? Peut. On déplace le deuxième terme vers la droite avec un changement de signe :

Et on transfère les multiplicateurs selon la règle de proportion :

Les variables sont séparées, intégrons les deux parties :

Je dois vous prévenir, le jour du jugement approche. Si tu n'as pas bien étudié intégrales indéfinies, avez résolu quelques exemples, alors il n'y a nulle part où aller - vous devrez les maîtriser maintenant.

L'intégrale du côté gauche est facile à trouver ; nous traitons l'intégrale de la cotangente en utilisant la technique standard que nous avons examinée dans la leçon. Intégration de fonctions trigonométriques l'année dernière:

Sur le côté droit, nous avons un logarithme et, selon ma première recommandation technique, la constante devrait également être écrite sous le logarithme.

Essayons maintenant de simplifier l’intégrale générale. Comme nous ne disposons que de logarithmes, il est tout à fait possible (et nécessaire) de s’en débarrasser. En utilisant propriétés connues Nous « emballons » les logarithmes autant que possible. Je vais l'écrire en détail :

L’emballage est fini d’être barbarement en lambeaux :

Est-il possible d’exprimer « jeu » ? Peut. Il faut mettre les deux parties au carré.

Mais vous n'avez pas besoin de faire ça.

Troisième conseil technique : si pour obtenir une solution générale il faut s'élever au pouvoir ou s'enraciner, alors Dans la plupart des cas vous devez vous abstenir de ces actions et laisser la réponse sous la forme d'une intégrale générale. Le fait est que la solution générale aura l'air tout simplement terrible - avec de grosses racines, des panneaux et autres déchets.

Par conséquent, nous écrivons la réponse sous la forme d’une intégrale générale. Il est considéré comme une bonne pratique de le présenter sous la forme , c'est-à-dire que sur le côté droit, si possible, ne laissez qu'une constante. Ce n'est pas nécessaire, mais c'est toujours bénéfique pour faire plaisir au professeur ;-)

Répondre: intégrale générale :

! Note: L’intégrale générale de n’importe quelle équation peut être écrite de plusieurs manières. Ainsi, si votre résultat ne coïncide pas avec la réponse connue précédemment, cela ne signifie pas que vous avez mal résolu l'équation.

L'intégrale générale est également assez simple à vérifier, l'essentiel est de pouvoir trouver dérivée d'une fonction spécifiée implicitement. Différencions la réponse :

On multiplie les deux termes par :

Et divisez par :

L’équation différentielle originale a été obtenue exactement, ce qui signifie que l’intégrale générale a été trouvée correctement.

Exemple 4

Trouver une solution particulière à l'équation différentielle qui satisfait la condition initiale. Effectuer une vérification.

Ceci est un exemple pour décision indépendante.

Permettez-moi de vous rappeler que l'algorithme se compose de deux étapes :
1) trouver une solution générale ;
2) trouver la solution particulière requise.

Le contrôle s'effectue également en deux étapes (voir exemple dans l'exemple n°2), il faut :
1) s'assurer que la solution particulière trouvée satisfait à la condition initiale ;
2) vérifier qu'une solution particulière satisfait généralement l'équation différentielle.

Solution complète et la réponse à la fin de la leçon.

Exemple 5

Trouver une solution particulière à l'équation différentielle , satisfaisant la condition initiale. Effectuer une vérification.

Solution: Tout d'abord, trouvons une solution générale. Cette équation contient déjà des différentielles toutes faites et, ce qui signifie que la solution est simplifiée. On sépare les variables :

Intégrons l'équation :

L'intégrale de gauche est tabulaire, l'intégrale de droite est prise méthode pour subsumer une fonction sous le signe différentiel:

L'intégrale générale a été obtenue, est-il possible d'exprimer avec succès la solution générale ? Peut. Nous accrochons des logarithmes des deux côtés. Puisqu’ils sont positifs, les signes de module sont inutiles :

(J'espère que tout le monde comprend la transformation, de telles choses devraient déjà être connues)

La solution générale est donc :

Trouvons une solution particulière correspondant à la condition initiale donnée.
Dans la solution générale, au lieu de « X » nous remplaçons zéro, et au lieu de « Y » nous remplaçons le logarithme de deux :

Conception plus familière :

Nous substituons la valeur trouvée de la constante dans la solution générale.

Répondre: solution privée :

Vérifier : Vérifions d’abord si la condition initiale est remplie :
- Tout est bon.

Vérifions maintenant si la solution particulière trouvée satisfait à l’équation différentielle. Trouver la dérivée :

Regardons l'équation originale : – il est présenté en différentiels. Il existe deux façons de vérifier. Il est possible d'exprimer la différentielle à partir de la dérivée trouvée :

Remplaçons la solution particulière trouvée et le différentiel résultant dans l'équation d'origine :

Nous utilisons l'identité logarithmique de base :

L’égalité correcte est obtenue, ce qui signifie que la solution particulière a été trouvée correctement.

La deuxième méthode de vérification est en miroir et plus familière : à partir de l'équation Exprimons la dérivée, pour ce faire on divise tous les morceaux par :

Et dans le DE transformé, nous substituons la solution partielle obtenue et la dérivée trouvée. Grâce aux simplifications, l'égalité correcte devrait également être obtenue.

Exemple 6

Résoudre l’équation différentielle. Présentez la réponse sous la forme d’une intégrale générale.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même, solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Quelles difficultés nous guettent lors de la résolution d’équations différentielles à variables séparables ?

1) Il n’est pas toujours évident (surtout pour une « théière ») que les variables puissent être séparées. Considérons un exemple conditionnel : . Ici, vous devez retirer les facteurs entre parenthèses : et séparer les racines : . Ce qu’il faut faire ensuite est clair.

2) Difficultés avec l'intégration elle-même. Les intégrales ne sont souvent pas les plus simples, et s'il y a des défauts dans les capacités de recherche intégrale indéfinie, alors ce sera difficile avec de nombreux diffuseurs. De plus, la logique « puisque l'équation différentielle est simple, alors au moins que les intégrales soient plus compliquées » est populaire parmi les compilateurs de collections et de manuels de formation.

3) Transformations avec une constante. Comme chacun l'a remarqué, la constante dans les équations différentielles peut être manipulée assez librement, et certaines transformations ne sont pas toujours claires pour un débutant. Regardons un autre exemple conditionnel : . Il est conseillé de multiplier tous les termes par 2 : . La constante résultante est également une sorte de constante, qui peut être notée : . Oui, et comme il y a un logarithme sur le côté droit, alors il convient de réécrire la constante sous la forme d'une autre constante : .

Le problème est qu’ils ne se soucient souvent pas des index et utilisent la même lettre. En conséquence, le dossier de décision prend la forme suivante :

Quel genre d'hérésie ? Il y a des erreurs là ! À proprement parler, oui. Cependant, d'un point de vue substantiel, il n'y a pas d'erreurs, car à la suite de la transformation d'une constante variable, une constante variable est toujours obtenue.

Ou un autre exemple, supposons qu'au cours de la résolution de l'équation, une intégrale générale soit obtenue. Cette réponse a l'air moche, il est donc conseillé de changer le signe de chaque terme : . Formellement, il y a une autre erreur ici : elle devrait être écrite à droite. Mais de manière informelle, il est sous-entendu que « moins ce » est toujours une constante ( ce qui peut tout aussi bien prendre n'importe quel sens !), donc mettre un « moins » n’a pas de sens et vous pouvez utiliser la même lettre.

J'essaierai d'éviter une approche imprudente, tout en attribuant différents indices aux constantes lors de leur conversion.

Exemple 7

Résoudre l’équation différentielle. Effectuer une vérification.

Solution: Cette équation permet de séparer les variables. On sépare les variables :

Intégrons :

Il n'est pas nécessaire de définir ici la constante comme un logarithme, car il n'en résultera rien d'utile.

Répondre: intégrale générale :

Vérifier : Différencier la réponse (fonction implicite) :

On se débarrasse des fractions en multipliant les deux termes par :

L'équation différentielle originale a été obtenue, ce qui signifie que l'intégrale générale a été trouvée correctement.

Exemple 8

Trouver une solution particulière du DE.
,

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Le seul indice est qu'ici vous obtiendrez une intégrale générale et, plus correctement, vous devrez vous efforcer de trouver non pas une solution particulière, mais intégrale partielle. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.