Trouvez l'intégrale générale des exemples de solution d'équation différentielle. Équations différentielles du premier ordre

19.10.2019

Propriétés de la solution générale.

1) Parce que Puisque la constante C est une valeur arbitraire, alors en général l'équation différentielle a un nombre infini de solutions.

2) Dans toutes les conditions initiales x \u003d x 0, y (x 0) \u003d y 0, il existe une telle valeur C \u003d C 0 pour laquelle la solution de l'équation différentielle est la fonction y \u003d  (x, C 0).

Définition. Une solution de la forme y \u003d  (x, C 0) est appelée décision privée équation différentielle.

Définition. Problème de Cauchy (Augustin Louis Cauchy (1789-1857) - mathématicien français) s'appelle trouver une solution particulière à une équation différentielle de la forme y \u003d  (x, C 0) qui satisfait les conditions initiales y (x 0) \u003d y 0 .

Théorème de Cauchy. (théorème sur l'existence et l'unicité de la solution de l'équation différentielle du 1er ordre)

Si la fonctionF(X, y) est continue dans un certain domaineréen avionXOYet a une dérivée partielle continue dans cette région
, alors quel que soit le point (x 0 , y 0 ) dans la région deré, Il n'y a qu'une seule solution
équations
, défini dans un intervalle contenant le point x 0 , acceptant en x = x 0 sens (X 0 ) = y 0 , c'est à dire. il existe une solution unique à l'équation différentielle.

Définition. intégral équation différentielle est toute équation qui ne contient pas de dérivées, dont cette équation différentielle est une conséquence.

Exemple. Trouver décision communeéquation différentielle
.

La solution générale de l'équation différentielle est recherchée en intégrant les parties gauche et droite de l'équation, qui a été préalablement transformée de la manière suivante:

Intégrons maintenant :

est la solution générale de l'équation différentielle originale.

Supposons que certaines conditions initiales soient données : x 0 = 1 ; y 0 = 2, alors on a

En substituant la valeur obtenue de la constante dans la solution générale, on obtient une solution particulière pour des conditions initiales données (la solution du problème de Cauchy).

Définition. courbe intégrale le graphe y = (x) de la solution d'une équation différentielle sur le plan XOY est appelé.

Définition. décision spéciale d'une équation différentielle est une telle solution, en tout point de laquelle la condition d'unicité de Cauchy est appelée (cf. Théorème de Cauchy.) n'est pas satisfait, c'est-à-dire au voisinage d'un point (x, y) il y a au moins deux courbes intégrales.

Les solutions singulières ne dépendent pas de la constante C.

Des solutions spéciales ne peuvent pas être obtenues à partir de la solution générale pour toutes les valeurs de la constante C. Si nous construisons une famille de courbes intégrales pour une équation différentielle, alors la solution spéciale sera représentée par une ligne qui touche au moins une courbe intégrale à chacun de ses points.

Notez que toutes les équations différentielles n'ont pas de solutions singulières.

Exemple. Trouver la solution générale de l'équation différentielle :
Trouvez une solution spéciale si elle existe.

Cette équation différentielle a aussi une solution spéciale à= 0. Cette solution ne peut pas être obtenue à partir de la solution générale, cependant, lors de la substitution dans l'équation d'origine, nous obtenons une identité. l'avis que la solution y = 0 peut être obtenu à partir de la solution générale pour DE 1 = 0 tort, parce que C 1 = e C  0.

Rappelez-vous le problème que nous avons rencontré lors de la recherche d'intégrales définies :

ou dy = f(x)dx. Sa solution :

et cela revient à calculer intégrale indéfinie. En pratique, il est plus courant de tâche difficile: fonction de recherche y, si l'on sait qu'il satisfait une relation de la forme

Cette relation relie la variable indépendante X, fonction inconnue y et ses dérivés jusqu'à l'ordre n inclus, sont appelés .

Une équation différentielle comprend une fonction sous le signe des dérivées (ou différentielles) d'un ordre ou d'un autre. L'ordre du plus élevé est appelé l'ordre (9.1) .

Équations différentielles:

- Premier ordre

deuxième ordre,

- cinquième ordre, etc.

Une fonction qui satisfait une équation différentielle donnée est appelée sa solution , ou intégrale . Le résoudre signifie trouver toutes ses solutions. Si pour la fonction souhaitée y réussi à obtenir une formule qui donne toutes les solutions, alors on dit qu'on a trouvé sa solution générale , ou intégrale générale .

Décision commune contient n constantes arbitraires et ressemble

Si une relation est obtenue qui relie x, y et n constantes arbitraires, sous une forme non autorisée par rapport à y -

alors une telle relation est appelée l'intégrale générale de l'équation (9.1).

Problème de Cauchy

Chaque solution spécifique, c'est-à-dire chaque fonction spécifique qui satisfait une équation différentielle donnée et ne dépend pas de constantes arbitraires, est appelée une solution particulière , ou intégrale privée. Pour obtenir des solutions particulières (intégrales) à partir de solutions générales, il est nécessaire d'attacher des valeurs numériques spécifiques aux constantes.

Le graphique d'une solution particulière s'appelle une courbe intégrale. La solution générale, qui contient toutes les solutions particulières, est une famille de courbes intégrales. Pour une équation du premier ordre, cette famille dépend d'une constante arbitraire ; pour l'équation nème commande - à partir de n constantes arbitraires.

Le problème de Cauchy consiste à trouver une solution particulière à l'équation nème commande, satisfaisant n conditions initiales:

qui déterminent n constantes с 1 , с 2 ,..., c n.

Équations différentielles du 1er ordre

Pour une non résolue par rapport à la dérivée, l'équation différentielle du 1er ordre a la forme

ou pour permis relativement

Exemple 3.46. Trouver une solution générale à l'équation

La solution. En intégrant, on obtient

où C est une constante arbitraire. Si nous donnons à C des valeurs numériques spécifiques, nous obtenons des solutions particulières, par exemple,

Exemple 3.47. Considérons un montant croissant d'argent déposé à la banque, sous réserve de l'accumulation de 100 r intérêts composés par an. Soit Yo le montant d'argent initial, et Yx après l'expiration X années. Lorsque les intérêts sont calculés une fois par an, nous obtenons

où x = 0, 1, 2, 3,.... Lorsque les intérêts sont calculés deux fois par an, on obtient

où x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Lors du calcul des intérêts n une fois par an et si x prend successivement les valeurs 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., puis

Notons 1/n = h , alors l'égalité précédente ressemblera à :

Avec un grossissement illimité n(à ) à la limite on arrive au processus d'augmentation somme d'argent avec accumulation continue d'intérêts :

Ainsi, on peut voir qu'avec un changement continu X la loi de variation de la masse monétaire est exprimée par une équation différentielle du 1er ordre. Où Y x est une fonction inconnue, X- variable indépendante, r- constant. Nous déciderons équation donnée, pour cela on le réécrit comme suit :

où , ou , où P représente e C .

A partir des conditions initiales Y(0) = Yo , on trouve P : Yo = Pe o , d'où Yo = P. Par conséquent, la solution ressemble à :

Considérons le deuxième problème économique. Les modèles macroéconomiques sont également décrits par des équations différentielles linéaires du 1er ordre, décrivant l'évolution du revenu ou de la production Y en fonction du temps.

Exemple 3.48. Soit le revenu national Y augmenter à un taux proportionnel à sa taille :

et soit, le déficit des dépenses publiques est directement proportionnel au revenu Y avec un coefficient de proportionnalité q. Le déficit des dépenses entraîne une augmentation de la dette publique D :

Conditions initiales Y = Yo et D = Do à t = 0. De la première équation Y= Yoe kt . En substituant Y on obtient dD/dt = qYoe kt . La solution générale a la forme
D = (q/ k) Yoe kt +С, où С = const, qui est déterminé à partir des conditions initiales. En substituant les conditions initiales, on obtient Do = (q/k)Yo + C. Donc, finalement,

D = Do +(q/k)Yo (e kt -1),

cela montre que la dette nationale augmente au même taux relatif k, qui est le revenu national.

Considérez les équations différentielles les plus simples n ordre, ce sont des équations de la forme

Sa solution générale peut être obtenue en utilisant n temps d'intégration.

Exemple 3.49. Prenons l'exemple y """ = cos x.

La solution. En intégrant, on trouve

La solution générale a la forme

Équations différentielles linéaires

En économie super application ont , considérons la solution de telles équations. Si (9.1) est de la forme :

alors on l'appelle linéaire, où po(x), p1(x),..., pn(x), f(x) sont des fonctions données. Si f(x) = 0, alors (9.2) est dit homogène, sinon il est dit non homogène. La solution générale de l'équation (9.2) est égale à la somme de chacune de ses solutions particulières y(x) et la solution générale de l'équation homogène qui lui correspond :

Si les coefficients p o (x), p 1 (x),..., p n (x) sont des constantes, alors (9.2)

(9.4) est appelée équation différentielle linéaire à coefficients d'ordre constants n .

Pour (9.4) il a la forme :

On peut poser sans perte de généralité p o = 1 et écrire (9.5) sous la forme

Nous chercherons une solution (9.6) sous la forme y = e kx , où k est une constante. Nous avons: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . En substituant les expressions obtenues dans (9.6), on aura :

(9.7) est une équation algébrique, son inconnue est k, on l'appelle caractéristique. L'équation caractéristique est de degré n et n racines, parmi lesquelles il peut y avoir à la fois multiples et complexes. Soient k 1 , k 2 ,..., k n réels et distincts, alors sont des solutions particulières (9.7), tandis que les

Considérons une équation différentielle homogène linéaire du second ordre à coefficients constants :

Son équation caractéristique a la forme

(9.9)

son discriminant D = p 2 - 4q, selon le signe de D, trois cas sont possibles.

1. Si D>0, alors les racines k 1 et k 2 (9.9) sont réelles et différentes, et la solution générale a la forme :

La solution.Équation caractéristique : k 2 + 9 = 0, d'où k = ± 3i, a = 0, b = 3, la solution générale est :

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

Des équations différentielles linéaires du second ordre sont utilisées pour étudier un modèle économique de type web avec des stocks de biens, où le taux de variation du prix P dépend de la taille du stock (voir paragraphe 10). Si l'offre et la demande sont fonctions linéaires prix, c'est-à-dire

a - est une constante qui détermine le taux de réaction, alors le processus de variation des prix est décrit par une équation différentielle :

Pour une solution particulière, vous pouvez prendre une constante

qui a le sens de prix d'équilibre. Déviation satisfait l'équation homogène

(9.10)

L'équation caractéristique sera la suivante :

Au cas où, le terme est positif. Dénoter . Les racines de l'équation caractéristique k 1,2 = ± i w, donc la solution générale (9.10) a la forme :

où C et des constantes arbitraires, elles sont déterminées à partir des conditions initiales. Nous avons obtenu la loi de variation des prix dans le temps :

Entrez votre équation différentielle, l'apostrophe """ est utilisée pour entrer la dérivée, appuyez sur soumettre et obtenez la solution

Établissement d'enseignement "État biélorusse

Académie agricole"

Département de mathématiques supérieures

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE

Résumé du cours pour les étudiants en comptabilité

formulaire de correspondance de l'éducation (NISPO)

Gorki, 2013

Équations différentielles du premier ordre

Le concept d'une équation différentielle. Solutions générales et particulières

Lors de l'étude de divers phénomènes, il n'est souvent pas possible de trouver une loi reliant directement la variable indépendante et la fonction souhaitée, mais il est possible d'établir un lien entre la fonction souhaitée et ses dérivées.

La relation reliant la variable indépendante, la fonction recherchée et ses dérivées est appelée équation différentielle :

Ici X est une variable indépendante, y est la fonction recherchée,
sont les dérivées de la fonction recherchée. Dans ce cas, la relation (1) nécessite la présence d'au moins une dérivée.

L'ordre de l'équation différentielle est l'ordre de la dérivée la plus élevée de l'équation.

Considérons l'équation différentielle

. (2)

Puisque cette équation ne comprend qu'une dérivée du premier ordre, elle s'appelle est une équation différentielle du premier ordre.

Si l'équation (2) peut être résolue par rapport à la dérivée et écrite sous la forme

, (3)

alors une telle équation est appelée une équation différentielle du premier ordre sous forme normale.

Dans de nombreux cas, il est opportun de considérer une équation de la forme

qui est appelée une équation différentielle du premier ordre écrite sous forme différentielle.

Car
, alors l'équation (3) peut être écrite comme
ou
, où l'on peut compter
et
. Cela signifie que l'équation (3) a été convertie en équation (4).

On écrit l'équation (4) sous la forme
. Alors
,
,
, où l'on peut compter
, c'est à dire. une équation de la forme (3) est obtenue. Ainsi, les équations (3) et (4) sont équivalentes.

En résolvant l'équation différentielle (2) ou (3) toute fonction est appelée
, qui, en le substituant dans l'équation (2) ou (3), le transforme en une identité :

ou
.

Le processus de recherche de toutes les solutions d'une équation différentielle est appelé son l'intégration , et le graphe de solution
l'équation différentielle s'appelle courbe intégrale cette équation.

Si la solution de l'équation différentielle est obtenue sous forme implicite
, alors il s'appelle intégral équation différentielle donnée.

Solution générale équation différentielle du premier ordre est une famille de fonctions de la forme
, en fonction d'une constante arbitraire DE, dont chacune est une solution de l'équation différentielle donnée pour toute valeur admissible d'une constante arbitraire DE. Ainsi, l'équation différentielle a un nombre infini de solutions.

Décision privée l'équation différentielle est appelée la solution obtenue à partir de la formule de solution générale pour une valeur spécifique d'une constante arbitraire DE, y compris
.

Le problème de Cauchy et son interprétation géométrique

L'équation (2) a une infinité de solutions. Afin de distinguer une solution de cet ensemble, appelée solution particulière, certaines conditions supplémentaires doivent être spécifiées.

Le problème de trouver une solution particulière à l'équation (2) dans des conditions données est appelé Problème de Cauchy . Ce problème est l'un des plus importants de la théorie des équations différentielles.

Le problème de Cauchy se formule comme suit : parmi toutes les solutions de l'équation (2) trouver une telle solution
, dans laquelle la fonction
prend une valeur numérique donnée si la variable indépendante X prend une valeur numérique donnée , c'est à dire.

,
, (5)

où ré est le domaine de la fonction
.

Sens appelé la valeur initiale de la fonction , un – valeur initiale de la variable indépendante . La condition (5) est appelée condition initiale ou État de Cauchy .

D'un point de vue géométrique, le problème de Cauchy pour l'équation différentielle (2) peut être formulé comme suit : parmi l'ensemble des courbes intégrales de l'équation (2), sélectionnez celle qui passe par point donné
.

Équations différentielles à variables séparables

L'un des types d'équations différentielles les plus simples est une équation différentielle du premier ordre qui ne contient pas la fonction souhaitée :

. (6)

Étant donné que
, on écrit l'équation sous la forme
ou
. En intégrant les deux membres de la dernière équation, on obtient :
ou

. (7)

Ainsi, (7) est une solution générale de l'équation (6).

Exemple 1 . Trouver la solution générale de l'équation différentielle
.

La solution . On écrit l'équation sous la forme
ou
. Nous intégrons les deux parties de l'équation résultante :
,
. Écrivons enfin
.

Exemple 2 . Trouver une solution à l'équation
à condition
.

La solution . Trouvons la solution générale de l'équation :
,
,
,
. Par condition
,
. Remplacer dans la solution générale :
ou
. Nous substituons la valeur trouvée d'une constante arbitraire dans la formule de la solution générale :
. C'est la solution particulière de l'équation différentielle qui satisfait la condition donnée.

L'équation

(8)

appelé une équation différentielle du premier ordre qui ne contient pas de variable indépendante . On l'écrit sous la forme
ou
. Nous intégrons les deux parties de la dernière équation :
ou
- solution générale de l'équation (8).

Exemple . Trouver une solution générale à l'équation
.

La solution . On écrit cette équation sous la forme :
ou
. Alors
,
,
,
. De cette façon,
est la solution générale de cette équation.

Équation de type

(9)

intégré à l'aide de la séparation des variables. Pour ce faire, on écrit l'équation sous la forme
, puis, en utilisant les opérations de multiplication et de division, nous l'amenons à une forme telle qu'une partie ne comprend que la fonction de X et différentiel dx, et dans la seconde partie - une fonction de à et différentiel mourir. Pour ce faire, les deux membres de l'équation doivent être multipliés par dx et diviser par
. En conséquence, nous obtenons l'équation

, (10)

dans laquelle les variables X et à séparé. Nous intégrons les deux parties de l'équation (10):
. La relation résultante est l'intégrale générale de l'équation (9).

Exemple 3 . Intégrer l'équation
.

La solution . Transformez l'équation et séparez les variables :
,
. Intégrons :
,
ou est l'intégrale générale de cette équation.
.

Donnons l'équation sous la forme

Une telle équation est appelée équation différentielle du premier ordre à variables séparables sous forme symétrique.

Pour séparer les variables, les deux côtés de l'équation doivent être divisés par
:

. (12)

L'équation résultante est appelée équation différentielle séparée . On intègre l'équation (12) :

.(13)

La relation (13) est une intégrale générale de l'équation différentielle (11).

Exemple 4 . Intégrer l'équation différentielle.

La solution . On écrit l'équation sous la forme

et diviser les deux parties en
,
. L'équation résultante :
est une équation à variables séparées. Intégrons-le :

,
,

,
. La dernière égalité est l'intégrale générale de l'équation différentielle donnée.

Exemple 5 . Trouver une solution particulière d'une équation différentielle
, remplissant la condition
.

La solution . Étant donné que
, on écrit l'équation sous la forme
ou
. Séparons les variables :
. Intégrons cette équation :
,
,
. La relation résultante est l'intégrale générale de cette équation. Par condition
. Remplacer dans l'intégrale générale et trouver DE:
,DE=1. Ensuite l'expression
est une solution particulière de l'équation différentielle donnée, écrite sous la forme d'une intégrale particulière.

Équations différentielles linéaires du premier ordre

L'équation

(14)

appelé équation différentielle linéaire du premier ordre . fonction inconnue
et sa dérivée entrent linéairement dans cette équation, et les fonctions
et
continu.

Si un
, alors l'équation

(15)

appelé linéaire homogène . Si un
, alors l'équation (14) est appelée linéaire inhomogène .

Pour trouver une solution à l'équation (14), on utilise généralement méthode de substitution (Bernoulli) , dont l'essentiel est le suivant.

La solution de l'équation (14) sera recherchée sous la forme d'un produit de deux fonctions

, (16)

où
et
- quelques fonctions continues. Remplaçant
et dérivé
dans l'équation (14):

Fonction v sera choisi de telle sorte que la condition
. Alors
. Ainsi, pour trouver une solution à l'équation (14), il faut résoudre le système d'équations différentielles

La première équation du système est une équation homogène linéaire et peut être résolue par la méthode de séparation des variables :
,
,
,
,
. En tant que fonctionnalité
on peut prendre une des solutions particulières de l'équation homogène, c'est-à-dire à DE=1:
. Remplacer dans la seconde équation du système :
ou
.Alors
. Ainsi, la solution générale d'une équation différentielle linéaire du premier ordre a la forme
.

Exemple 6 . résous l'équation
.

La solution . On cherchera la solution de l'équation sous la forme
. Alors
. Remplacer dans l'équation :

ou
. Fonction v choisir de telle sorte que l'égalité
. Alors
. On résout la première de ces équations par la méthode de séparation des variables :
,
,
,
,. Fonction v Remplacer dans la deuxième équation :
,
,
,
. La solution générale de cette équation est
.

Questions pour l'autocontrôle des connaissances

Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?

Quel est l'ordre d'une équation différentielle ?

Quelle équation différentielle est appelée équation différentielle du premier ordre ?

Comment s'écrit une équation différentielle du premier ordre sous forme différentielle ?

Quelle est la solution d'une équation différentielle ?

Qu'est-ce qu'une courbe intégrale ?

Quelle est la solution générale d'une équation différentielle du premier ordre ?

Qu'est-ce qu'une solution particulière d'une équation différentielle ?

Comment est formulé le problème de Cauchy pour une équation différentielle du premier ordre ?

Quelle est l'interprétation géométrique du problème de Cauchy ?

Comment s'écrit une équation différentielle avec des variables séparables sous forme symétrique ?

Quelle équation s'appelle une équation différentielle linéaire du premier ordre ?

Quelle méthode peut être utilisée pour résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre et quelle est l'essence de cette méthode ?

Tâches pour le travail indépendant

Résolvez des équations différentielles à variables séparables :

un)
; b)
;

dans)
; G)
.

2. Résolvez des équations différentielles linéaires du premier ordre :

un)
; b)
; dans)
;

G)
; e)
.

I. Équations différentielles ordinaires

1.1. Concepts de base et définitions

Une équation différentielle est une équation qui relie une variable indépendante X, la fonction désirée y et ses dérivés ou différentiels.

Symboliquement, l'équation différentielle s'écrit :

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y(n))=0

Une équation différentielle est dite ordinaire si la fonction recherchée dépend d'une variable indépendante.

En résolvant l'équation différentielle est appelée une telle fonction qui transforme cette équation en une identité.

L'ordre de l'équation différentielle est l'ordre de la dérivée la plus élevée dans cette équation

Exemples.

1. Considérez l'équation différentielle du premier ordre

La solution de cette équation est la fonction y = 5 ln x. En effet, en substituant y" dans l'équation, nous obtenons - une identité.

Et cela signifie que la fonction y = 5 ln x– est la solution de cette équation différentielle.

2. Considérez l'équation différentielle du second ordre y" - 5y" + 6y = 0. La fonction est la solution de cette équation.

Vraiment, .

En substituant ces expressions dans l'équation, on obtient : , - identité.

Et cela signifie que la fonction est la solution de cette équation différentielle.

Intégration des équations différentielles est le processus de recherche de solutions aux équations différentielles.

Solution générale de l'équation différentielle est appelée une fonction de la forme , qui comprend autant de constantes arbitraires indépendantes que l'ordre de l'équation.

Solution partielle de l'équation différentielle est appelée la solution obtenue à partir de la solution générale pour différentes valeurs numériques de constantes arbitraires. Les valeurs des constantes arbitraires se trouvent à certaines valeurs initiales de l'argument et de la fonction.

Le graphique d'une solution particulière d'une équation différentielle est appelé courbe intégrale.

Exemples

1. Trouver une solution particulière à une équation différentielle du premier ordre

xdx + ydy = 0, si y= 4 à X = 3.

La solution. En intégrant les deux côtés de l'équation, on obtient

Commentaire. Une constante arbitraire C obtenue à la suite de l'intégration peut être représentée sous n'importe quelle forme pratique pour d'autres transformations. Dans ce cas, compte tenu de l'équation canonique du cercle, il convient de représenter une constante arbitraire С sous la forme .

est la solution générale de l'équation différentielle.

Une solution particulière d'une équation qui satisfait les conditions initiales y = 4 à X = 3 se trouve à partir du général en substituant les conditions initiales dans la solution générale : 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

En remplaçant C=5 dans la solution générale, on obtient x2+y2 = 5 2 .

Il s'agit d'une solution particulière de l'équation différentielle obtenue à partir de la solution générale dans des conditions initiales données.

2. Trouver la solution générale de l'équation différentielle

La solution de cette équation est toute fonction de la forme , où C est une constante arbitraire. En effet, en substituant dans les équations, on obtient : , .

Par conséquent, cette équation différentielle a un nombre infini de solutions, puisque pour différentes valeurs de la constante C, l'égalité détermine différentes solutions de l'équation.

Par exemple, par substitution directe, on peut vérifier que les fonctions sont des solutions de l'équation .

Un problème dans lequel il est nécessaire de trouver une solution particulière à l'équation y" = f(x, y) satisfaisant la condition initiale y(x0) = y0, est appelé le problème de Cauchy.

Solution d'équation y" = f(x, y), satisfaisant la condition initiale, y(x0) = y0, est appelée une solution au problème de Cauchy.

La solution du problème de Cauchy a une signification géométrique simple. En effet, selon ces définitions, pour résoudre le problème de Cauchy y" = f(x, y)à condition y(x0) = y0, signifie trouver la courbe intégrale de l'équation y" = f(x, y) qui passe par un point donné M0 (x0,y 0).

II. Équations différentielles du premier ordre

2.1. Concepts de base

Une équation différentielle du premier ordre est une équation de la forme F(x,y,y") = 0.

L'équation différentielle du premier ordre inclut la dérivée première et n'inclut pas les dérivées d'ordre supérieur.

L'équation y" = f(x, y) est appelée une équation du premier ordre résolue par rapport à la dérivée.

Une solution générale d'une équation différentielle du premier ordre est une fonction de la forme , qui contient une constante arbitraire.

Exemple. Considérons une équation différentielle du premier ordre.

La solution de cette équation est la fonction .

En effet, en remplaçant dans cette équation par sa valeur, on obtient

C'est 3x=3x

Par conséquent, la fonction est une solution générale de l'équation pour toute constante C.

Trouver une solution particulière de cette équation qui satisfait la condition initiale y(1)=1 Substitution des conditions initiales x=1, y=1 dans la solution générale de l'équation , on obtient d'où C=0.

Ainsi, on obtient une solution particulière à partir de la solution générale en substituant dans cette équation, la valeur résultante C=0 est une décision privée.

2.2. Équations différentielles à variables séparables

Une équation différentielle à variables séparables est une équation de la forme : y"=f(x)g(y) ou par des différentiels, où f(x) et g(y) se voient attribuer des fonctions.

Pour ceux y, pour lequel , l'équation y"=f(x)g(y) est équivalente à l'équation dans laquelle la variable y est présent uniquement sur le côté gauche, et la variable x est présente uniquement sur le côté droit. Ils disent, "dans l'équation y"=f(x)g(y séparant les variables.

Équation de type est appelée une équation à variables séparées.

Après avoir intégré les deux parties de l'équation sur X, on a G(y) = F(x) + C est la solution générale de l'équation, où G(y) et F(x) sont des primitives, respectivement, de fonctions et f(x), C constante arbitraire.

Algorithme de résolution d'une équation différentielle du premier ordre à variables séparables

Exemple 1

résous l'équation y" = xy

La solution. Dérivée d'une fonction y" remplacer par

on sépare les variables

Intégrons les deux parties de l'égalité :

Exemple 2

2aa" = 1- 3x 2, si y 0 = 3à x0 = 1

Il s'agit d'une équation à variables séparées. Représentons-le en différentielles. Pour ce faire, on réécrit cette équation sous la forme D'ici

En intégrant les deux parties de la dernière égalité, on trouve

Substitution des valeurs initiales x 0 = 1, y 0 = 3 trouver DE 9=1-1+C, c'est à dire. C = 9.

Par conséquent, l'intégrale partielle souhaitée sera ou

Exemple 3

Écrire une équation pour une courbe passant par un point M(2;-3) et ayant une tangente à une pente

La solution. Selon l'état

Il s'agit d'une équation à variable séparable. En divisant les variables, on obtient :

En intégrant les deux parties de l'équation, on obtient :

En utilisant les conditions initiales, x=2 et y=-3 trouver C:

Par conséquent, l'équation recherchée a la forme

2.3. Équations différentielles linéaires du premier ordre

Une équation différentielle linéaire du premier ordre est une équation de la forme y" = f(x)y + g(x)

où f(x) et g(x)- certaines fonctions données.

Si un g(x)=0 alors l'équation différentielle linéaire est dite homogène et a la forme : y" = f(x)y

Si alors l'équation y" = f(x)y + g(x) dit hétérogène.

Solution générale d'une équation différentielle homogène linéaire y" = f(x)y donnée par la formule : où DE est une constante arbitraire.

En particulier, si C \u003d 0, alors la solution est y=0 Si linéaire équation homogène a la forme y" = ky où k est une constante, alors sa solution générale est de la forme : .

Solution générale d'une équation différentielle inhomogène linéaire y" = f(x)y + g(x) donnée par la formule ,

ceux. est égal à la somme de la solution générale de l'équation homogène linéaire correspondante et de la solution particulière de cette équation.

Pour une équation linéaire inhomogène de la forme y" = kx + b,

où k et b- certains nombres et une solution particulière seront une fonction constante. La solution générale est donc de la forme .

Exemple. résous l'équation y" + 2y +3 = 0

La solution. Nous représentons l'équation sous la forme y" = -2y - 3 où k=-2, b=-3 La solution générale est donnée par la formule .

Par conséquent, où C est une constante arbitraire.

2.4. Solution d'équations différentielles linéaires du premier ordre par la méthode de Bernoulli

Trouver une solution générale à une équation différentielle linéaire du premier ordre y" = f(x)y + g(x) se réduit à résoudre deux équations différentielles avec des variables séparées en utilisant la substitution y=uv, où tu et v- fonctions inconnues de X. Cette méthode de résolution s'appelle la méthode de Bernoulli.

Algorithme de résolution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre

y" = f(x)y + g(x)

1. Entrez un remplacement y=uv.

2. Différencier cette égalité y"=u"v + uv"

3. Substitut y et y" dans cette équation : u"v + uv" =f(x)uv + g(x) ou u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Regroupez les termes de l'équation de sorte que tu sortez-le des parenthèses :

5. À partir de la parenthèse, en l'assimilant à zéro, trouvez la fonction

C'est une équation séparable :

Divisez les variables et obtenez :

Où . .

6. Remplacez la valeur reçue v dans l'équation (du point 4):

et trouver la fonction Ceci est une équation séparable :

7. Écrivez la solution générale sous la forme : , c'est à dire. .

Exemple 1

Trouver une solution particulière à l'équation y" = -2y +3 = 0 si y=1à x=0

La solution. Résolvons-le avec substitution y=uv,.y"=u"v + uv"

Remplacer y et y" dans cette équation, on obtient

En regroupant les deuxième et troisième termes du côté gauche de l'équation, on retire le facteur commun tu hors parenthèses

Nous assimilons l'expression entre parenthèses à zéro et, après avoir résolu l'équation résultante, nous trouvons la fonction v = v(x)

Nous avons obtenu une équation avec des variables séparées. Nous intégrons les deux parties de cette équation : Trouvez la fonction v:

Remplacer la valeur résultante v dans l'équation On obtient :

Il s'agit d'une équation à variables séparées. On intègre les deux parties de l'équation : Trouvons la fonction u = u(x,c) Trouvons une solution générale : Trouvons une solution particulière de l'équation qui satisfait les conditions initiales y=1à x=0:

III. Équations différentielles d'ordre supérieur

3.1. Concepts de base et définitions

Une équation différentielle du second ordre est une équation contenant des dérivées non supérieures au second ordre. Dans le cas général, l'équation différentielle du second ordre s'écrit : F(x,y,y",y") = 0

La solution générale d'une équation différentielle du second ordre est une fonction de la forme , qui comprend deux constantes arbitraires C1 et C2.

Une solution particulière d'une équation différentielle du second ordre est une solution obtenue à partir de la solution générale pour certaines valeurs de constantes arbitraires C1 et C2.

3.2. Équations différentielles homogènes linéaires du second ordre avec rapports constants.

Équation différentielle homogène linéaire du second ordre à coefficients constants est appelée une équation de la forme y" + py" + qy = 0, où p et q sont des valeurs constantes.

Algorithme de résolution d'équations différentielles homogènes du second ordre à coefficients constants

1. Écrivez l'équation différentielle sous la forme : y" + py" + qy = 0.

2. Composez son équation caractéristique, notant y"à travers r2, y"à travers r, y en 1: r2 + pr + q = 0

La calculateur en ligne permet de résoudre des équations différentielles en ligne. Il suffit d'entrer votre équation dans le champ approprié, en désignant la "dérivée de la fonction" par une apostrophe et de cliquer sur le bouton "résoudre l'équation". Et le système mis en œuvre sur la base du site Web populaire WolframAlpha donnera une description détaillée solution de l'équation différentielle complétement gratuit. Vous pouvez également définir le problème de Cauchy de sorte qu'à partir de l'ensemble complet solutions possibles choisir un quotient correspondant aux conditions initiales données. Le problème de Cauchy est saisi dans un champ séparé.

Équation différentielle

Par défaut, dans l'équation, la fonction y est une fonction d'une variable X. Cependant, vous pouvez définir votre propre notation de variable, si vous écrivez, par exemple, y(t) dans une équation, la calculatrice reconnaîtra automatiquement que y est une fonction d'une variable t. Avec la calculatrice, vous pouvez résoudre des équations différentielles de toute complexité et de tout type : homogènes et inhomogènes, linéaires ou non linéaires, du premier ordre ou du second ordre et supérieur, équations à variables séparables ou non séparables, etc. Solution diff. l'équation est donnée sous forme analytique, a Description détaillée. Les équations différentielles sont très courantes en physique et en mathématiques. Sans leur calcul, il est impossible de résoudre de nombreux problèmes (notamment en physique mathématique).

Une des étapes de la résolution des équations différentielles est l'intégration des fonctions. Il existe des méthodes standard pour résoudre les équations différentielles. Il est nécessaire de mettre les équations sous la forme avec des variables séparables y et x et d'intégrer séparément les fonctions séparées. Pour ce faire, vous devez parfois effectuer un certain remplacement.