Quels sont les types d'équations différentielles. Équations différentielles linéaires et homogènes du premier ordre
Lire aussi
Équations différentielles du premier ordre. Exemples de solutions.
Équations différentielles à variables séparables
Équations différentielles (DE). Ces deux mots terrifient généralement le profane moyen. Les équations différentielles semblent être quelque chose de scandaleux et difficile à maîtriser pour de nombreux étudiants. Uuuuuu… équations différentielles, comment pourrais-je survivre à tout ça ?!
Une telle opinion et une telle attitude sont fondamentalement erronées, car en fait LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SONT SIMPLES ET MÊME AMUSANTES. Que devez-vous savoir et être capable d'apprendre pour résoudre des équations différentielles ? Pour réussir à étudier les différences, vous devez être doué pour l'intégration et la différenciation. Mieux les sujets sont étudiés Dérivée d'une fonction d'une variable et Intégrale indéfinie, plus il sera facile de comprendre les équations différentielles. Je dirai plus, si vous avez des compétences d'intégration plus ou moins décentes, alors le sujet est pratiquement maîtrisé ! Plus il y a d'intégrales divers types vous savez comment décider - mieux c'est. Pourquoi? Il faut beaucoup s'intégrer. Et différencier. Aussi recommande fortement apprendre à trouver.
Dans 95% des cas en travail de contrôle il y a 3 sortes équations différentielles Premier ordre: équations séparables, que nous aborderons dans cette leçon ; équations homogènes et équations non homogènes linéaires. Pour les débutants dans l'étude des diffuseurs, je vous conseille de lire les leçons de cette séquence, et après avoir étudié les deux premiers articles, cela ne fera pas de mal de consolider vos compétences dans un atelier supplémentaire - équations qui se réduisent à homogène.
Il existe des types d'équations différentielles encore plus rares : les équations aux différentielles totales, les équations de Bernoulli, et quelques autres. Des deux derniers types, les plus importants sont les équations en différentielles totales, puisque, en plus de cette DE, je considère nouveau matériel – intégration partielle.
S'il ne vous reste qu'un jour ou deux, alors pour une préparation ultra-rapide il y a cours éclair au format pdf.
Alors, les repères sont posés - c'est parti :
Rappelons d'abord les équations algébriques usuelles. Ils contiennent des variables et des nombres. L'exemple le plus simple: . Que signifie résoudre une équation ordinaire ? Cela signifie trouver ensemble de nombres qui satisfont cette équation. Il est facile de voir que l'équation des enfants a une seule racine : . Pour s'amuser, faisons une vérification, substituons la racine trouvée dans notre équation :
- la bonne égalité est obtenue, ce qui signifie que la solution est trouvée correctement.
Les diffuseurs sont disposés à peu près de la même manière !
Équation différentielle Premier ordre en général contient:
1) variable indépendante ;
2) variable dépendante (fonction);
3) la dérivée première de la fonction : .
Dans certaines équations du 1er ordre, il peut n'y avoir ni "x" ni (et) "y", mais ce n'est pas essentiel - important de sorte que dans DU a été dérivée première, et n'a pas eu dérivés d'ordres supérieurs - , etc.
Que signifie ? Résoudre une équation différentielle signifie trouver ensemble de toutes les fonctions qui satisfont cette équation. Un tel ensemble de fonctions a souvent la forme ( est une constante arbitraire), qui s'appelle solution générale de l'équation différentielle.
Exemple 1
Résoudre l'équation différentielle
Munitions pleines. Où commencer la solution?
Tout d'abord, vous devez réécrire la dérivée sous une forme légèrement différente. Nous rappelons la notation encombrante, que beaucoup d'entre vous ont probablement jugée ridicule et inutile. C'est elle qui règne dans les diffuseurs !
Dans la deuxième étape, voyons si c'est possible diviser les variables ? Que signifie séparer les variables ? Grosso modo, sur le côté gauche nous devons partir uniquement des "jeux", un sur le côté droit organiser seulement des x. La séparation des variables s'effectue à l'aide de manipulations "d'école": parenthèses, transfert de termes de partie en partie avec changement de signe, transfert de facteurs de partie en partie selon la règle de proportion, etc.
Les différentiels et sont des multiplicateurs à part entière et des participants actifs aux hostilités. Dans cet exemple, les variables sont facilement séparées en retournant les facteurs selon la règle de proportion :
Les variables sont séparées. Sur le côté gauche - uniquement "Jeu", sur le côté droit - uniquement "X".
Étape suivante – intégration d'équation différentielle. C'est simple, on accroche des intégrales sur les deux parties :
Bien sûr, il faut prendre des intégrales. Dans ce cas, ils sont tabulaires :
Comme nous nous en souvenons, une constante est assignée à toute primitive. Il y a deux intégrales ici, mais il suffit d'écrire la constante une fois (car une constante + une constante est toujours égale à une autre constante). Dans la plupart des cas, il est placé sur le côté droit.
À proprement parler, une fois les intégrales prises, l'équation différentielle est considérée comme résolue. La seule chose est que notre "y" n'est pas exprimé par "x", c'est-à-dire que la solution est présentée dans l'implicite formulaire. La solution implicite d'une équation différentielle est appelée intégrale générale de l'équation différentielle. C'est-à-dire que c'est intégrale générale.
Une réponse sous cette forme est tout à fait acceptable, mais existe-t-il une meilleure option ? Essayons d'obtenir décision commune.
S'il vous plaît, rappelez-vous la première technique, il est très courant et souvent utilisé dans tâches pratiques: si un logarithme apparaît sur le côté droit après intégration, alors dans de nombreux cas (mais en aucun cas toujours !) il est également conseillé d'écrire la constante sous le logarithme.
C'est-à-dire, À LA PLACE DE les enregistrements sont généralement écrits 
.
Pourquoi est-ce nécessaire ? Et pour faciliter l'expression du "y". On utilise la propriété des logarithmes 
. Dans ce cas:
Désormais, les logarithmes et les modules peuvent être supprimés :
La fonction est présentée explicitement. C'est la solution générale.
Réponse: décision commune : 
.
Les réponses à de nombreuses équations différentielles sont assez faciles à vérifier. Dans notre cas, cela se fait assez simplement, on prend la solution trouvée et on la différencie :
Ensuite, nous substituons la dérivée dans l'équation d'origine :
- l'égalité correcte est obtenue, ce qui signifie que la solution générale satisfait l'équation , qu'il fallait vérifier.
Donner une constante diverses significations, vous pouvez obtenir une infinité décisions privéeséquation différentielle. Il est clair que toutes les fonctions , , etc. satisfait l'équation différentielle .
Parfois la solution générale est appelée famille de fonctions. À cet exemple décision commune 
- c'est une famille fonctions linéaires, ou plutôt une famille de proportionnalités directes.
Après une discussion détaillée du premier exemple, il convient de répondre à quelques questions naïves sur les équations différentielles :
1)Dans cet exemple, nous avons réussi à séparer les variables. Est-ce toujours possible de le faire ? Non pas toujours. Et encore plus souvent, les variables ne peuvent pas être séparées. Par exemple, dans équations homogènes du premier ordre doit être remplacé en premier. Dans d'autres types d'équations, par exemple, dans une équation linéaire non homogène du premier ordre, vous devez utiliser diverses astuces et méthodes pour trouver une solution générale. Les équations à variables séparables que nous considérons dans la première leçon sont le type le plus simple d'équations différentielles.
2) Est-il toujours possible d'intégrer une équation différentielle ? Non pas toujours. Il est très facile de trouver une équation "fantaisie" qui ne peut pas être intégrée, en plus, il y a des intégrales qui ne peuvent pas être prises. Mais de tels DE peuvent être résolus approximativement en utilisant des méthodes spéciales. D'Alembert et Cauchy garantissent... ...euh, guettent. J'ai beaucoup lu tout à l'heure, j'ai presque ajouté "de l'autre monde".
3) Dans cet exemple, nous avons obtenu une solution sous la forme d'une intégrale générale 
. Est-il toujours possible de trouver une solution générale à partir de l'intégrale générale, c'est-à-dire d'exprimer « y » sous une forme explicite ? Non pas toujours. Par exemple: . Eh bien, comment puis-je exprimer "y" ici ? ! Dans de tels cas, la réponse doit être écrite sous la forme d'une intégrale générale. De plus, une solution générale peut parfois être trouvée, mais elle est écrite de manière si lourde et maladroite qu'il vaut mieux laisser la réponse sous la forme d'une intégrale générale
4) ... peut-être assez pour l'instant. Dans le premier exemple, nous avons rencontré une autre point important , mais pour ne pas couvrir les "nuls" d'une avalanche de nouvelles informations, je le laisserai jusqu'à la prochaine leçon.
Ne nous pressons pas. Une autre télécommande simple et une autre solution typique :
Exemple 2
Trouver une solution particulière de l'équation différentielle qui satisfait la condition initiale
La solution: selon la condition il faut trouver solution privée DE qui satisfait une condition initiale donnée. Ce type de questionnement est aussi appelé Problème de Cauchy.
On trouve d'abord une solution générale. Il n'y a pas de variable "x" dans l'équation, mais cela ne devrait pas être gênant, l'essentiel est qu'elle ait la première dérivée.
On réécrit la dérivée sous la forme requise :
Évidemment, les variables peuvent être divisées, garçons à gauche, filles à droite :
On intègre l'équation : 
L'intégrale générale est obtenue. Ici, j'ai dessiné une constante avec une étoile d'accent, le fait est que très bientôt elle se transformera en une autre constante.
Maintenant, nous essayons de convertir l'intégrale générale en une solution générale (exprimer "y" explicitement). Nous nous souvenons de la bonne vieille école : 
. Dans ce cas:
La constante de l'indicateur ne semble en quelque sorte pas casher, elle est donc généralement abaissée du ciel à la terre. Dans le détail, ça se passe comme ça. En utilisant la propriété des degrés, on réécrit la fonction de la manière suivante:
Si est une constante, alors est aussi une constante, redésignez-la avec la lettre :
Rappelez-vous que la "démolition" d'une constante est seconde technique, qui est souvent utilisé lors de la résolution d'équations différentielles.
Donc la solution générale est : Une si belle famille de fonctions exponentielles.
Au stade final, vous devez trouver une solution particulière qui satisfait la condition initiale donnée. C'est simple aussi.
Quelle est la tâche ? Besoin de ramasser tel la valeur de la constante pour satisfaire la condition .
Vous pouvez l'organiser de différentes manières, mais la plus compréhensible sera peut-être celle-ci. Dans la solution générale, au lieu de "x", nous substituons zéro, et au lieu de "y", deux :
C'est-à-dire,
version standard motif:
Maintenant, nous substituons la valeur trouvée de la constante dans la solution générale :
- c'est la solution particulière dont nous avons besoin.
Réponse: solution privée :
Faisons une vérification. La vérification d'une solution particulière comprend deux étapes :
Premièrement, il faut vérifier si la solution particulière trouvée satisfait bien la condition initiale ? Au lieu de "x", nous remplaçons zéro et voyons ce qui se passe :
- oui, en effet, un deux a été obtenu, ce qui signifie que la condition initiale est satisfaite.
La deuxième étape est déjà familière. Nous prenons la solution particulière résultante et trouvons la dérivée :
Remplacer dans l'équation d'origine :
- la bonne égalité est obtenue.
Conclusion : la solution particulière est trouvée correctement.
Passons à des exemples plus significatifs.
Exemple 3
Résoudre l'équation différentielle
La solution: Nous réécrivons la dérivée sous la forme dont nous avons besoin : 
Évaluer si les variables peuvent être séparées ? Boîte. Nous transférons le deuxième terme vers la droite avec un changement de signe : 
Et on inverse les facteurs selon la règle de proportion : 
Les variables sont séparées, intégrons les deux parties : 
Je dois vous avertir, le jour du jugement approche. Si vous n'avez pas bien appris intégrales indéfinies, résolu quelques exemples, alors il n'y a nulle part où aller - vous devez les maîtriser maintenant.
L'intégrale du côté gauche est facile à trouver, avec l'intégrale de la cotangente nous traitons la technique standard que nous avons considérée dans la leçon Intégration de fonctions trigonométriques L'année dernière: 
Du côté droit, nous avons un logarithme, et, selon ma première recommandation technique, la constante devrait également être écrite sous le logarithme.
Essayons maintenant de simplifier l'intégrale générale. Puisque nous n'avons que des logarithmes, il est tout à fait possible (et nécessaire) de s'en débarrasser. En utilisant propriétés connues"emballer" au maximum les logarithmes. J'écrirai en détail : 
L'emballage est complet pour être barbarement en lambeaux : 
Est-il possible d'exprimer "y" ? Boîte. Les deux parties doivent être d'équerre.
Mais vous n'êtes pas obligé.
Troisième conseil technique : si pour obtenir une solution générale il faut élever à une puissance ou prendre racine, alors Dans la plupart des cas vous devez vous abstenir de ces actions et laisser la réponse sous la forme d'une intégrale générale. Le fait est que la solution générale aura l'air tout simplement horrible - avec de grosses racines, des panneaux et d'autres déchets.
Par conséquent, nous écrivons la réponse sous la forme d'une intégrale générale. Il est de bon ton de le présenter sous la forme, c'est-à-dire du côté droit, si possible, ne laisser qu'une constante. Ce n'est pas nécessaire de le faire, mais c'est toujours bénéfique pour faire plaisir au professeur ;-)
Réponse: intégrale générale :
! Noter: l'intégrale générale de toute équation peut être écrite de plusieurs façons. Ainsi, si votre résultat ne coïncide pas avec une réponse précédemment connue, cela ne signifie pas que vous avez mal résolu l'équation.
L'intégrale générale se vérifie aussi assez facilement, l'essentiel est de pouvoir trouver dérivée d'une fonction définie implicitement. Distinguons la réponse : 
On multiplie les deux termes par : 
Et on divise par : 
L'équation différentielle originale a été obtenue exactement, ce qui signifie que l'intégrale générale a été trouvée correctement.
Exemple 4
Trouver une solution particulière de l'équation différentielle qui satisfait la condition initiale. Exécutez une vérification.
Ceci est un exemple pour solution indépendante.
Je vous rappelle que l'algorithme se compose de deux étapes :
1) trouver une solution générale ;
2) trouver la solution particulière requise.
Le contrôle s'effectue également en deux étapes (voir l'exemple de l'exemple n°2), il vous faut :
1) s'assurer que la solution particulière trouvée satisfait la condition initiale ;
2) vérifier qu'une solution particulière satisfait généralement l'équation différentielle.
Solution complète et la réponse à la fin de la leçon.
Exemple 5
Trouver une solution particulière d'une équation différentielle 
, satisfaisant la condition initiale. Exécutez une vérification.
La solution: Trouvons d'abord une solution générale. Cette équation contient déjà des différentielles toutes faites et , ce qui signifie que la solution est simplifiée. Variables de séparation : 
On intègre l'équation : 
L'intégrale de gauche est tabulaire, l'intégrale de droite est prise la méthode de sommation de la fonction sous le signe de la différentielle:
L'intégrale générale a été obtenue, est-il possible d'exprimer avec succès la solution générale ? Boîte. Nous accrochons les logarithmes des deux côtés. Comme ils sont positifs, les signes modulo sont redondants : 
(J'espère que tout le monde comprend la transformation, de telles choses devraient déjà être connues)
Donc la solution générale est :
Trouvons une solution particulière correspondant à la condition initiale donnée.
Dans la solution générale, au lieu de "x", nous substituons zéro, et au lieu de "y", le logarithme de deux : 
Design plus familier :
Nous substituons la valeur trouvée de la constante dans la solution générale.
Réponse: résolution privée :
Vérification : vérifiez d'abord si la condition initiale est remplie :
- Tout est bon.
Vérifions maintenant si la solution particulière trouvée satisfait à l'équation différentielle. On trouve la dérivée :
Reprenons l'équation d'origine : 
– il est présenté en différentiels. Il y a deux façons de vérifier. Il est possible d'exprimer la différentielle à partir de la dérivée trouvée :
Nous substituons la solution particulière trouvée et la différentielle résultante dans l'équation d'origine 
: 
Nous utilisons l'identité logarithmique de base : 
L'égalité correcte est obtenue, ce qui signifie que la solution particulière est trouvée correctement.
La deuxième façon de vérifier est en miroir et plus familière : à partir de l'équation 
exprimer la dérivée, pour cela on divise tous les morceaux par : 
Et dans le DE transformé, nous substituons la solution particulière obtenue et la dérivée trouvée. À la suite de simplifications, l'égalité correcte devrait également être obtenue.
Exemple 6
Résolvez l'équation différentielle. Exprimer la réponse sous forme d'intégrale générale.
Ceci est un exemple d'auto-résolution, de solution complète et de réponse à la fin de la leçon.
Quelles difficultés attendent la résolution d'équations différentielles à variables séparables ?
1) Il n'est pas toujours évident (surtout pour une théière) que les variables peuvent être séparées. Prenons un exemple conditionnel : . Ici, vous devez retirer les facteurs entre parenthèses : et séparer les racines :. La marche à suivre est claire.
2) Difficultés dans l'intégration elle-même. Les intégrales ne sont souvent pas les plus simples, et s'il y a des défauts dans les compétences de recherche intégrale indéfinie, alors ce sera difficile avec de nombreux diffuseurs. De plus, les compilateurs de collections et de manuels sont populaires avec la logique "puisque l'équation différentielle est simple, alors au moins les intégrales seront plus compliquées".
3) Transformations avec une constante. Comme tout le monde l'a remarqué, une constante dans les équations différentielles peut être manipulée assez librement, et certaines transformations ne sont pas toujours claires pour un débutant. Prenons un autre exemple hypothétique : 
. Dans celui-ci, il convient de multiplier tous les termes par 2 : 
. La constante résultante est également une sorte de constante, qui peut être notée par : 
. Oui, et comme il y a un logarithme à droite, il est conseillé de réécrire la constante comme une autre constante : 
.
Le problème est qu'ils ne s'embarrassent souvent pas d'indices et utilisent la même lettre. En conséquence, le compte rendu de décision prend la forme suivante : 
Quelle hérésie ? Voici les erreurs ! Strictement parlant, oui. Cependant, d'un point de vue substantiel, il n'y a pas d'erreurs, car à la suite de la transformation d'une constante variable, une constante variable est toujours obtenue.
Ou un autre exemple, supposons qu'au cours de la résolution de l'équation, une intégrale générale soit obtenue. Cette réponse semble laide, il est donc conseillé de changer le signe de chaque terme : 
. Formellement, il y a encore une erreur - à droite, il faut l'écrire . Mais il est sous-entendu de manière informelle que "moins ce" est toujours une constante ( qui prend aussi bien n'importe quelles valeurs !), donc mettre un "moins" n'a pas de sens et vous pouvez utiliser la même lettre.
J'essaierai d'éviter une approche négligente et de toujours mettre différents index pour les constantes lors de leur conversion.
Exemple 7
Résolvez l'équation différentielle. Exécutez une vérification.
La solution: Cette équation admet la séparation des variables. Variables de séparation : 
Nous intégrons : 
La constante ici n'a pas à être définie sous le logarithme, car rien de bon n'en sortira.
Réponse: intégrale générale :
Vérifier : Différencier la réponse (fonction implicite) : 
On se débarrasse des fractions, pour cela on multiplie les deux termes par : 
L'équation différentielle originale a été obtenue, ce qui signifie que l'intégrale générale a été trouvée correctement.
Exemple 8
Trouver une solution particulière de DE.
,
Ceci est un exemple à faire soi-même. Le seul indice est qu'ici vous obtenez une intégrale générale, et, plus correctement, vous devez vous efforcer de trouver non pas une solution particulière, mais intégrale privée. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.
Équations différentielles du premier ordre résolues par rapport à la dérivée
Comment résoudre des équations différentielles du premier ordre
Soit une équation différentielle du premier ordre résolue par rapport à la dérivée :
.
En divisant cette équation par , à , nous obtenons équation de la forme:
,
où .
Ensuite, nous regardons si ces équations appartiennent à l'un des types énumérés ci-dessous. Sinon, on réécrit l'équation sous forme de différentielles. Pour ce faire, nous écrivons et multiplions l'équation par . On obtient l'équation sous forme de différentielles :
.
Si cette équation n'est pas une équation en différentiels totaux, alors on considère que dans cette équation est une variable indépendante, et est une fonction de . Divisons l'équation par :
.
Ensuite, nous regardons si cette équation appartient à l'un des types énumérés ci-dessous, compte tenu de cela et a été permutée.
Si un type n'est pas trouvé pour cette équation, alors on regarde s'il est possible de simplifier l'équation par une simple substitution. Par exemple, si l'équation est :
,
puis on s'en aperçoit. Ensuite, nous effectuons une substitution. Après cela, l'équation prendra une forme plus simple :
.
Si cela n'aide pas, alors nous essayons de trouver un facteur d'intégration.
Équations à variables séparables
;
.
Diviser par et intégrer. Quand nous obtenons:
.
Équations qui se réduisent à des équations à variables séparables
Équations homogènes
On résout par substitution :
,
où est une fonction de . Alors
;
.
Séparez les variables et intégrez.
Équations se réduisant à homogène
Nous introduisons des variables et :
;
.
Les constantes et sont choisies pour que les termes libres disparaissent :
;
.
Par conséquent, nous obtenons une équation homogène en variables et .
Équations homogènes généralisées
On fait un remplacement. On obtient une équation homogène en variables et .
Équations différentielles linéaires
Il existe trois méthodes pour résoudre des équations linéaires.
2) Méthode de Bernoulli.
On cherche une solution sous la forme d'un produit de deux fonctions et d'une variable :
.
;
.
Nous pouvons choisir une de ces fonctions arbitrairement. Par conséquent, comme nous choisissons une solution non nulle de l'équation :
.
3) La méthode de variation de la constante (Lagrange).
Ici, nous résolvons d'abord l'équation homogène:
Décision commune l'équation homogène a la forme :
,
où est une constante. Ensuite, on remplace la constante par une fonction dépendant de la variable :
.
Substitut dans l'équation d'origine. En conséquence, nous obtenons une équation à partir de laquelle nous déterminons .
Les équations de Bernoulli
Par substitution, l'équation de Bernoulli se réduit à une équation linéaire.
Cette équation peut également être résolue par la méthode de Bernoulli. C'est-à-dire que l'on cherche une solution sous la forme d'un produit de deux fonctions dépendant de la variable :
.
On substitue dans l'équation d'origine :
;
.
Comme nous choisissons n'importe quelle solution non nulle de l'équation :
.
Après avoir déterminé , nous obtenons une équation à variables séparables pour .
Équations de Riccati
Il n'est pas résolu dans vue générale. Substitution
l'équation de Riccati se réduit à la forme :
,
où est une constante; ; .
Ensuite, substitution :
On dirait:
,
où .
Les propriétés de l'équation de Riccati et quelques cas particuliers de sa solution sont présentés sur la page
Équation différentielle de Riccati >>>
Équations de Jacobi
Résolu par substitution :
.
Équations dans les différentiels totaux
À condition
.
Lorsque cette condition est remplie, l'expression du côté gauche de l'égalité est la différentielle d'une fonction :
.
Alors
.
De là, nous obtenons l'intégrale de l'équation différentielle :
.
Pour trouver la fonction , le moyen le plus pratique est la méthode de sélection successive de la différentielle. Pour cela, des formules sont utilisées :
;
;
;
.
Facteur d'intégration
Si l'équation différentielle du premier ordre n'est réduite à aucun des types répertoriés, vous pouvez essayer de trouver un facteur d'intégration. Un facteur d'intégration est une telle fonction, lorsqu'il est multiplié par lui, l'équation différentielle devient une équation en différentiels totaux. Une équation différentielle du premier ordre a un nombre infini de facteurs d'intégration. Cependant, il n'existe pas de méthodes générales pour trouver le facteur d'intégration.
Équations non résolues pour la dérivée y"
Équations admettant une solution par rapport à la dérivée y"
Vous devez d'abord essayer de résoudre l'équation par rapport à la dérivée. Si possible, l'équation peut être réduite à l'un des types énumérés ci-dessus.
Équations permettant la factorisation
Si vous pouvez factoriser l'équation :
,
alors le problème est réduit à la solution séquentielle d'équations plus simples :
;
;
;
. Nous croyons . Alors
ou .
Ensuite, on intègre l'équation :
;
.
En conséquence, nous obtenons l'expression de la deuxième variable à travers le paramètre.
Équations plus générales :
ou
sont également résolus sous une forme paramétrique. Pour ce faire, vous devez choisir une fonction afin qu'à partir de l'équation d'origine, vous puissiez exprimer ou via le paramètre .
Pour exprimer la deuxième variable en fonction du paramètre , nous intégrons l'équation :
;
.
Équations résolues par rapport à y
Les équations de Clairaut
Cette équation admet une solution générale
Équations de Lagrange
Nous recherchons une solution sous une forme paramétrique. Nous supposons , où est un paramètre.
Équations menant à l'équation de Bernoulli
Ces équations se réduisent à l'équation de Bernoulli si l'on cherche leurs solutions sous une forme paramétrique en introduisant un paramètre et en faisant une substitution .
Références:
V.V. Stepanov, Cours d'équations différentielles, LKI, 2015.
N. M. Gunther, R.O. Kuzmin, Collection de problèmes en mathématiques supérieures, Lan, 2003.
I. Équations différentielles ordinaires
1.1. Concepts de base et définitions
Une équation différentielle est une équation qui relie une variable indépendante X, la fonction désirée y et ses dérivés ou différentiels.
Symboliquement, l'équation différentielle s'écrit :
F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y(n))=0
Une équation différentielle est dite ordinaire si la fonction recherchée dépend d'une variable indépendante.
En résolvant l'équation différentielle est appelée une telle fonction qui transforme cette équation en une identité.
L'ordre de l'équation différentielle est l'ordre de la dérivée la plus élevée dans cette équation
Exemples.
1. Considérez l'équation différentielle du premier ordre
La solution de cette équation est la fonction y = 5 ln x. En effet, en substituant y" dans l'équation, nous obtenons - une identité.
Et cela signifie que la fonction y = 5 ln x– est la solution de cette équation différentielle.
2. Considérez l'équation différentielle du second ordre y" - 5y" + 6y = 0. La fonction est la solution de cette équation.
Vraiment, .
En substituant ces expressions dans l'équation, on obtient : , - identité.
Et cela signifie que la fonction est la solution de cette équation différentielle.
Intégration des équations différentielles est le processus de recherche de solutions aux équations différentielles.
Solution générale de l'équation différentielle est appelée une fonction de la forme 
, qui comprend autant de constantes arbitraires indépendantes que l'ordre de l'équation.
Solution partielle de l'équation différentielle est appelée la solution obtenue à partir de la solution générale pour différentes valeurs numériques de constantes arbitraires. Les valeurs des constantes arbitraires se trouvent à certaines valeurs initiales de l'argument et de la fonction.
Le graphique d'une solution particulière d'une équation différentielle est appelé courbe intégrale.
Exemples
1. Trouver une solution particulière à une équation différentielle du premier ordre
xdx + ydy = 0, si y= 4 à X = 3.
La solution. En intégrant les deux côtés de l'équation, on obtient
Commentaire. Une constante arbitraire C obtenue à la suite de l'intégration peut être représentée sous n'importe quelle forme pratique pour d'autres transformations. Dans ce cas, compte tenu de l'équation canonique du cercle, il convient de représenter une constante arbitraire С sous la forme .
est la solution générale de l'équation différentielle.
Une solution particulière d'une équation qui satisfait les conditions initiales y = 4 à X = 3 se trouve à partir du général en substituant les conditions initiales dans la solution générale : 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.
En remplaçant C=5 dans la solution générale, on obtient x2+y2 = 5 2 .
Il s'agit d'une solution particulière de l'équation différentielle obtenue à partir de la solution générale dans des conditions initiales données.
2. Trouver la solution générale de l'équation différentielle
La solution de cette équation est toute fonction de la forme , où C est une constante arbitraire. En effet, en substituant dans les équations, on obtient : , .
Par conséquent, cette équation différentielle a un nombre infini de solutions, puisque pour différentes valeurs de la constante C, l'égalité détermine différentes solutions de l'équation.
Par exemple, par substitution directe, on peut vérifier que les fonctions 
sont des solutions de l'équation .
Un problème dans lequel il est nécessaire de trouver une solution particulière à l'équation y" = f(x, y) satisfaisant la condition initiale y(x0) = y0, est appelé le problème de Cauchy.
Solution d'équation y" = f(x, y), satisfaisant la condition initiale, y(x0) = y0, est appelée une solution au problème de Cauchy.
La solution du problème de Cauchy a une signification géométrique simple. En effet, selon ces définitions, pour résoudre le problème de Cauchy y" = f(x, y)à condition y(x0) = y0, signifie trouver la courbe intégrale de l'équation y" = f(x, y) qui passe par un point donné M0 (x0,y 0).
II. Équations différentielles du premier ordre
2.1. Concepts de base
Une équation différentielle du premier ordre est une équation de la forme F(x,y,y") = 0.
L'équation différentielle du premier ordre inclut la dérivée première et n'inclut pas les dérivées d'ordre supérieur.
L'équation y" = f(x, y) est appelée une équation du premier ordre résolue par rapport à la dérivée.
Une solution générale d'une équation différentielle du premier ordre est une fonction de la forme , qui contient une constante arbitraire.
Exemple. Considérons une équation différentielle du premier ordre.
La solution de cette équation est la fonction .
En effet, en remplaçant dans cette équation par sa valeur, on obtient
C'est 3x=3x
Par conséquent, la fonction est une solution générale de l'équation pour toute constante C.
Trouver une solution particulière de cette équation qui satisfait la condition initiale y(1)=1 Substitution des conditions initiales x=1, y=1 dans la solution générale de l'équation , on obtient d'où C=0.
Ainsi, on obtient une solution particulière à partir de la solution générale en substituant dans cette équation, la valeur résultante C=0 est une décision privée.
2.2. Équations différentielles à variables séparables
Une équation différentielle à variables séparables est une équation de la forme : y"=f(x)g(y) ou par des différentiels, où f(x) et g(y) se voient attribuer des fonctions.
Pour ceux y, pour lequel , l'équation y"=f(x)g(y) est équivalente à l'équation 
dans laquelle la variable y est présent uniquement sur le côté gauche, et la variable x est présente uniquement sur le côté droit. Ils disent, "dans l'équation y"=f(x)g(y séparant les variables.
Équation de type est appelée une équation à variables séparées.
Après avoir intégré les deux parties de l'équation sur X, on a G(y) = F(x) + C est la solution générale de l'équation, où G(y) et F(x) sont des primitives, respectivement, de fonctions et f(x), C constante arbitraire.
Algorithme de résolution d'une équation différentielle du premier ordre à variables séparables
Exemple 1
résous l'équation y" = xy
La solution. Dérivée d'une fonction y" remplacer par
on sépare les variables
Intégrons les deux parties de l'égalité :
Exemple 2
2aa" = 1- 3x 2, si y 0 = 3à x0 = 1
Il s'agit d'une équation à variables séparées. Représentons-le en différentielles. Pour ce faire, on réécrit cette équation sous la forme 
D'ici 
En intégrant les deux parties de la dernière égalité, on trouve
Substitution des valeurs initiales x 0 = 1, y 0 = 3 trouver DE 9=1-1+C, c'est à dire. C = 9.
Par conséquent, l'intégrale partielle souhaitée sera 
ou 
Exemple 3
Écrire une équation pour une courbe passant par un point M(2;-3) et ayant une tangente à une pente
La solution. Selon l'état
Il s'agit d'une équation à variable séparable. En divisant les variables, on obtient : 
En intégrant les deux parties de l'équation, on obtient : 
En utilisant les conditions initiales, x=2 et y=-3 trouver C:
Par conséquent, l'équation recherchée a la forme 
2.3. Équations différentielles linéaires du premier ordre
Une équation différentielle linéaire du premier ordre est une équation de la forme y" = f(x)y + g(x)
où f(x) et g(x)- certaines fonctions données.
Si un g(x)=0 alors l'équation différentielle linéaire est dite homogène et a la forme : y" = f(x)y
Si alors l'équation y" = f(x)y + g(x) dit hétérogène.
Solution générale d'une équation différentielle homogène linéaire y" = f(x)y donnée par la formule : où DE est une constante arbitraire.
En particulier, si C \u003d 0, alors la solution est y=0 Si l'équation linéaire homogène a la forme y" = ky où k est une constante, alors sa solution générale est de la forme : .
Solution générale d'une équation différentielle inhomogène linéaire y" = f(x)y + g(x) donnée par la formule 
,
ceux. est égal à la somme de la solution générale de l'équation homogène linéaire correspondante et de la solution particulière de cette équation.
Pour une équation linéaire inhomogène de la forme y" = kx + b,
où k et b- certains nombres et une solution particulière seront une fonction constante. La solution générale est donc de la forme .
Exemple. résous l'équation y" + 2y +3 = 0
La solution. Nous représentons l'équation sous la forme y" = -2y - 3 où k=-2, b=-3 La solution générale est donnée par la formule .
Par conséquent, où C est une constante arbitraire.
2.4. Solution d'équations différentielles linéaires du premier ordre par la méthode de Bernoulli
Trouver une solution générale à une équation différentielle linéaire du premier ordre y" = f(x)y + g(x) se réduit à résoudre deux équations différentielles avec des variables séparées en utilisant la substitution y=uv, où tu et v- fonctions inconnues de X. Cette méthode de résolution s'appelle la méthode de Bernoulli.
Algorithme de résolution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre
y" = f(x)y + g(x)
1. Entrez un remplacement y=uv.
2. Différencier cette égalité y"=u"v + uv"
3. Substitut y et y" dans équation donnée: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) ou u"v + uv" + f(x)uv = g(x).
4. Regroupez les termes de l'équation de sorte que tu sortez-le des parenthèses :
5. À partir de la parenthèse, en l'assimilant à zéro, trouvez la fonction
C'est une équation séparable : 
Divisez les variables et obtenez : 
Où 
.
.
6. Remplacez la valeur reçue v dans l'équation (du point 4):
et trouver la fonction Ceci est une équation séparable :
7. Écrivez la solution générale sous la forme : 
, c'est à dire. .
Exemple 1
Trouver une solution particulière à l'équation y" = -2y +3 = 0 si y=1à x=0
La solution. Résolvons-le avec substitution y=uv,.y"=u"v + uv"
Remplacer y et y" dans cette équation, on obtient
En regroupant les deuxième et troisième termes du côté gauche de l'équation, on retire le facteur commun tu hors parenthèses
Nous assimilons l'expression entre parenthèses à zéro et, après avoir résolu l'équation résultante, nous trouvons la fonction v = v(x)
Nous avons obtenu une équation avec des variables séparées. Nous intégrons les deux parties de cette équation : Trouvez la fonction v:
Remplacer la valeur résultante v dans l'équation On obtient :
Il s'agit d'une équation à variables séparées. On intègre les deux parties de l'équation : 
Trouvons la fonction u = u(x,c) 
Trouvons une solution générale : 
Trouvons une solution particulière de l'équation qui satisfait les conditions initiales y=1à x=0:
III. Équations différentielles d'ordre supérieur
3.1. Concepts de base et définitions
Une équation différentielle du second ordre est une équation contenant des dérivées non supérieures au second ordre. Dans le cas général, l'équation différentielle du second ordre s'écrit : F(x,y,y",y") = 0
La solution générale d'une équation différentielle du second ordre est une fonction de la forme , qui comprend deux constantes arbitraires C1 et C2.
Une solution particulière d'une équation différentielle du second ordre est une solution obtenue à partir de la solution générale pour certaines valeurs de constantes arbitraires C1 et C2.
3.2. Équations différentielles homogènes linéaires du second ordre avec rapports constants.
Équation différentielle homogène linéaire du second ordre à coefficients constants est appelée une équation de la forme y" + py" + qy = 0, où p et q sont des valeurs constantes.
Algorithme de résolution d'équations différentielles homogènes du second ordre à coefficients constants
1. Écrivez l'équation différentielle sous la forme : y" + py" + qy = 0.
2. Composez son équation caractéristique, notant y"à travers r2, y"à travers r, y en 1: r2 + pr +q = 0
Instruction
Si l'équation se présente sous la forme : dy/dx = q(x)/n(y), reportez-vous à la catégorie des équations différentielles à variables séparables. Ils peuvent être résolus en écrivant la condition en différentiels comme suit : n(y)dy = q(x)dx. Ensuite, intégrez les deux parties. Dans certains cas, la solution est écrite sous forme d'intégrales tirées de fonctions connues. Par exemple, dans le cas de dy/dx = x/y, on obtient q(x) = x, n(y) = y. Écrivez-le comme ydy = xdx et intégrez. Vous devriez obtenir y^2 = x^2 + c.
à linéaire équations attribuez les équations "en premier". Une fonction inconnue avec ses dérivées n'est incluse dans une telle équation qu'au premier degré. Linéaire a la forme dy/dx + f(x) = j(x), où f(x) et g(x) sont des fonctions dépendant de x. La solution est écrite en utilisant des intégrales tirées de fonctions connues.
Gardez à l'esprit que de nombreuses équations différentielles sont des équations du second ordre (contenant des dérivées secondes), par exemple, il s'agit de l'équation du mouvement harmonique simple, écrite sous une forme générale : md 2x / dt 2 = -kx. De telles équations ont, dans , des solutions partielles. L'équation du mouvement harmonique simple est un exemple de quelque chose d'assez important : les équations différentielles linéaires qui ont un coefficient constant.
Si dans les conditions du problème il n'y a qu'un seul équation linéaire, ce qui signifie que vous disposez de conditions supplémentaires grâce auxquelles vous pouvez trouver une solution. Lisez attentivement le problème pour trouver ces conditions. Si un variables x et y sont la distance, la vitesse, le poids - n'hésitez pas à définir la limite x≥0 et y≥0. Il est tout à fait possible que x ou y cache le nombre de , pommes, etc. – alors les valeurs ne peuvent être que . Si x est l'âge du fils, il est clair qu'il ne peut pas être plus âgé que son père, donc indiquez-le dans les conditions du problème.
Sources:
- comment résoudre une équation à une variable
Les problèmes de calcul différentiel et intégral sont éléments importants consolidation de la théorie analyse mathematique, une section de mathématiques supérieures étudiées dans les universités. différentiel l'équation est résolu par la méthode d'intégration.
Instruction
Calculs différentiels examine les propriétés. A l'inverse, l'intégration d'une fonction permet, selon les propriétés données, c'est-à-dire dérivées ou différentielles d'une fonction pour la trouver elle-même. C'est la solution de l'équation différentielle.
Any est un rapport entre une valeur inconnue et des données connues. Dans le cas d'une équation différentielle, le rôle de l'inconnue est joué par la fonction, et le rôle des grandeurs connues est joué par ses dérivées. De plus, le rapport peut contenir une variable indépendante : F(x, y(x), y'(x), y''(x),…, y^n(x)) = 0, où x est une inconnue variable, y (x) est la fonction à déterminer, l'ordre de l'équation est l'ordre maximum de la dérivée (n).
Une telle équation est appelée équation différentielle ordinaire. S'il y a plusieurs variables indépendantes dans la relation et des dérivées partielles (différentielles) de fonctions par rapport à ces variables, alors l'équation est appelée une équation différentielle avec des dérivées partielles et a la forme : x∂z/∂y - ∂z/∂ x = 0, où z(x, y) est la fonction requise.
Ainsi, pour apprendre à résoudre des équations différentielles, vous devez être capable de trouver des primitives, c'est-à-dire résoudre le problème de la différenciation inverse. Par exemple : Résolvez l'équation du premier ordre y' = -y/x.
Solution Remplacez y' par dy/dx : dy/dx = -y/x.
Amenez l'équation sous une forme pratique pour l'intégration. Pour ce faire, multipliez les deux côtés par dx et divisez par y:dy/y = -dx/x.
Intégrer : ∫dy/y = - ∫dx/x + Сln |y| = - log |x| +C.
Cette solution s'appelle l'équation différentielle générale. C est une constante dont l'ensemble des valeurs détermine l'ensemble des solutions de l'équation. Pour toute signification spécifique C sera la seule solution. Une telle solution est une solution particulière d'une équation différentielle.
Solution de la plupart des équations de plus degrés n'a pas de formule claire, comme trouver les racines d'un carré équations. Cependant, il existe plusieurs méthodes de réduction qui vous permettent de transformer l'équation le degré le plus élevéà une vue plus visuelle.
Instruction
La méthode la plus courante pour résoudre des équations de degrés supérieurs est l'expansion. Cette approche est une combinaison de la sélection de racines entières, diviseurs du terme libre, et de la division subséquente du polynôme général sous la forme (x - x0).
Par exemple, résolvez l'équation x^4 + x³ + 2 x² - x - 3 = 0. Solution Le membre libre de ce polynôme est -3, donc ses diviseurs entiers peuvent être ±1 et ±3. Remplacez-les un par un dans l'équation et découvrez si vous obtenez l'identité : 1 : 1 + 1 + 2 - 1 - 3 = 0.
Deuxième racine x = -1. Divisez par l'expression (x + 1). Écrivez l'équation résultante (x - 1) (x + 1) (x² + x + 3) = 0. Le degré est tombé à la seconde, par conséquent, l'équation peut avoir deux racines supplémentaires. Pour les trouver, résolvez l'équation quadratique : x² + x + 3 = 0D = 1 - 12 = -11
Le discriminant est une valeur négative, ce qui signifie que l'équation n'a plus de racines réelles. Trouver racines complexeséquations : x = (-2 + i √11)/2 et x = (-2 – i √11)/2.
Une autre méthode pour résoudre une équation de degré supérieur consiste à modifier les variables pour la mettre au carré. Cette approche est utilisée lorsque toutes les puissances de l'équation sont paires, par exemple : x^4 - 13 x² + 36 = 0
Trouvez maintenant les racines de l'équation d'origine : x1 = √9 = ±3 ; x2 = √4 = ±2.
Astuce 10 : Comment déterminer les équations redox
Une réaction chimique est un processus de transformation de substances qui se produit avec une modification de leur composition. Les substances qui entrent dans la réaction sont appelées initiales et celles qui se forment à la suite de ce processus sont appelées produits. Il arrive que pendant réaction chimique les éléments qui composent les matières premières changent d'état d'oxydation. Autrement dit, ils peuvent accepter les électrons des autres et donner les leurs. Dans les deux cas, leur charge change. Ces réactions sont appelées réactions redox.