Le système d'équations est dit défini. Résolution de systèmes par la méthode de substitution
Lire aussi
- si le système est collaboratif ;
- si le système est consistant, alors il est défini ou indéfini (le critère de compatibilité du système est déterminé par le théorème) ;
- si le système est défini, alors comment trouver sa solution unique (on utilise la méthode de Cramer, la méthode de la matrice inverse ou la méthode de Jordan-Gauss) ;
- si le système est indéfini, alors comment décrire l'ensemble de ses solutions.
Classification des systèmes d'équations linéaires
Un système arbitraire d'équations linéaires a la forme :une 1 1 x 1 + une 1 2 x 2 + ... + une 1 n x n = b 1
une 2 1 x 1 + une 2 2 x 2 + ... + une 2 n x n = b 2
...................................................
une m 1 x 1 + une m 2 x 2 + ... + une m n X n = b m
- Systèmes d'équations linéaires inhomogènes (le nombre de variables est égal au nombre d'équations, m = n).
- Systèmes arbitraires d'équations linéaires inhomogènes (m > n ou m< n).
Définition. Deux systèmes sont dits équivalents si la solution du premier est solution du second et inversement.
Définition. Un système qui a au moins une solution est appelé découper. Un système qui n'a pas de solution est dit incohérent.
Définition. Un système avec une solution unique est appelé certain, et avoir plus d'une solution est indéfini.
Algorithme de résolution de systèmes d'équations linéaires
- Trouvez les rangs des matrices principales et étendues. S'ils ne sont pas égaux, alors, d'après le théorème de Kronecker-Capelli, le système est incohérent, et c'est là que se termine l'étude.
- Soit rang(A) = rang(B) . Nous sélectionnons la mineure de base. Dans ce cas, tous les systèmes inconnus d'équations linéaires sont divisés en deux classes. Les inconnues dont les coefficients sont inclus dans la mineure de base sont dites dépendantes, et les inconnues dont les coefficients ne sont pas inclus dans la mineure de base sont dites libres. Notez que le choix des inconnues dépendantes et libres n'est pas toujours unique.
- Nous biffons les équations du système dont les coefficients n'étaient pas inclus dans la mineure de base, car ce sont des conséquences du reste (selon le théorème de la mineure de base).
- Les termes des équations contenant des inconnues libres seront transférés à droite. On obtient ainsi un système de r équations à r inconnues, équivalentes à celle donnée, dont le déterminant est différent de zéro.
- Le système résultant est résolu de l'une des manières suivantes : la méthode de Cramer, la méthode de la matrice inverse ou la méthode de Jordan-Gauss. On trouve des relations qui expriment les variables dépendantes en termes de variables libres.
Nous continuons à traiter des systèmes d'équations linéaires. Jusqu'à présent, nous avons considéré des systèmes qui ont une solution unique. De tels systèmes peuvent être résolus de n'importe quelle manière: méthode de remplacement("école") par les formules de Cramer, méthode matricielle, Méthode de Gauss. Cependant, deux autres cas sont répandus dans la pratique lorsque :
1) le système est incohérent (n'a pas de solutions) ;
2) le système a une infinité de solutions.
Pour ces systèmes, la plus universelle de toutes les méthodes de solution est utilisée - Méthode de Gauss. En fait, la méthode "scolaire" conduira également à la réponse, mais en mathématiques supérieures, il est d'usage d'utiliser la méthode gaussienne d'élimination successive des inconnues. Ceux qui ne sont pas familiers avec l'algorithme de la méthode de Gauss, veuillez d'abord étudier la leçon Méthode de Gauss
Les transformations matricielles élémentaires elles-mêmes sont exactement les mêmes, la différence sera à la fin de la solution. Considérons d'abord quelques exemples où le système n'a pas de solutions (incohérents).
Exemple 1
Qu'est-ce qui attire immédiatement votre attention dans ce système ? Le nombre d'équations est inférieur au nombre de variables. Il y a un théorème qui dit : "Si le nombre d'équations du système moins de quantité variables, alors le système est incohérent ou a une infinité de solutions. Et il ne reste plus qu'à le découvrir.
Le début de la solution est assez ordinaire - nous écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, nous l'amenons à une forme par étapes :
(une). Sur l'étape supérieure gauche, nous devons obtenir (+1) ou (-1). Il n'y a pas de tels nombres dans la première colonne, donc réorganiser les lignes ne fonctionnera pas. L'unité devra être organisée de manière indépendante, et cela peut se faire de plusieurs manières. Nous l'avons fait. À la première ligne, nous ajoutons la troisième ligne, multipliée par (-1).
(2). Maintenant, nous obtenons deux zéros dans la première colonne. À la deuxième ligne, ajoutez la première ligne, multipliée par 3. À la troisième ligne, ajoutez la première, multipliée par 5.
(3). Une fois la transformation effectuée, il est toujours conseillé de voir s'il est possible de simplifier les chaînes résultantes ? Boîte. Nous divisons la deuxième ligne par 2, en obtenant en même temps celle souhaitée (-1) à la deuxième étape. Divisez la troisième ligne par (-3).
(quatre). Ajoutez la deuxième ligne à la troisième ligne. Probablement, tout le monde a prêté attention à la mauvaise ligne, qui s'est avérée à la suite de transformations élémentaires:
. Il est clair qu'il ne peut en être ainsi.
En effet, on réécrit la matrice résultante
retour au système d'équations linéaires :
Si à la suite de transformations élémentaires une chaîne de la forme , oùλ est un nombre non nul, alors le système est incohérent (n'a pas de solutions).
Comment enregistrer la fin d'une tâche ? Vous devez écrire la phrase :
« À la suite de transformations élémentaires, une chaîne de la forme est obtenue, où λ ≠ 0 ". Réponse : "Le système n'a pas de solutions (incohérentes)."
Veuillez noter que dans ce cas, il n'y a pas de mouvement inverse de l'algorithme gaussien, il n'y a pas de solutions et il n'y a tout simplement rien à trouver.
Exemple 2
Résoudre un système d'équations linéaires 
Ceci est un exemple pour décision indépendante. Solution complète et la réponse à la fin de la leçon.
Encore une fois, nous vous rappelons que votre processus de solution peut différer de notre processus de solution, la méthode Gauss ne définit pas un algorithme sans ambiguïté, vous devez deviner vous-même la procédure et les actions elles-mêmes dans chaque cas.
Un autre caractéristique technique solutions : les transformations élémentaires peuvent être arrêtées Immediatement, dès qu'une ligne comme , où λ ≠ 0 . Considérons un exemple conditionnel : supposons qu'après la première transformation, nous obtenons une matrice
.
Cette matrice n'a pas encore été réduite à une forme étagée, mais il n'y a pas besoin de transformations élémentaires supplémentaires, puisqu'une ligne de la forme est apparue, où λ ≠ 0 . Il faut immédiatement répondre que le système est incompatible.
Lorsqu'un système d'équations linéaires n'a pas de solutions, c'est presque un cadeau pour l'étudiant, car une solution courte est obtenue, parfois littéralement en 2-3 étapes. Mais tout dans ce monde est équilibré, et le problème dans lequel le système a une infinité de solutions est juste plus long.
Exemple 3 :
Résoudre un système d'équations linéaires
Il y a 4 équations et 4 inconnues, donc le système peut soit avoir une solution unique, soit n'avoir aucune solution, soit avoir une infinité de solutions. Quoi qu'il en soit, mais la méthode de Gauss nous conduira en tout cas à la réponse. C'est sa polyvalence.
Le début est à nouveau standard. Nous écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, nous l'amenons à une forme en escalier :
C'est tout, et tu avais peur.
(une). Veuillez noter que tous les nombres de la première colonne sont divisibles par 2, donc sur l'étape supérieure gauche, nous nous contentons également d'un deux. À la deuxième ligne, nous ajoutons la première ligne, multipliée par (-4). À la troisième ligne, nous ajoutons la première ligne, multipliée par (-2). À la quatrième ligne, nous ajoutons la première ligne, multipliée par (-1).
Attention! Beaucoup peuvent être tentés de la quatrième ligne soustraire Première ligne. Cela peut être fait, mais ce n'est pas nécessaire, l'expérience montre que la probabilité d'une erreur dans les calculs augmente plusieurs fois. Nous ajoutons simplement : à la quatrième ligne, nous ajoutons la première ligne, multipliée par (-1) - exactement!
(2). Les trois dernières lignes sont proportionnelles, deux d'entre elles peuvent être supprimées. Là encore, il faut montrer attention accrue, mais les droites sont-elles vraiment proportionnelles ? Pour la réassurance, il ne sera pas superflu de multiplier la deuxième ligne par (-1), et de diviser la quatrième ligne par 2, ce qui donne trois lignes identiques. Et seulement après cela, enlevez-en deux. À la suite de transformations élémentaires, la matrice étendue du système est réduite à une forme étagée :
Lorsque vous effectuez une tâche dans un cahier, il est conseillé de prendre les mêmes notes au crayon pour plus de clarté.
On réécrit le système d'équations correspondant : 
La seule solution "habituelle" du système ne sent pas ici. Mauvaise ligne où λ ≠ 0, aussi non. C'est donc le troisième cas restant - le système a une infinité de solutions.
L'ensemble infini de solutions du système est brièvement écrit sous la forme de ce que l'on appelle solution système générale.
Nous allons trouver la solution générale du système en utilisant le mouvement inverse de la méthode de Gauss. Pour les systèmes d'équations à ensemble infini de solutions, de nouveaux concepts apparaissent : "variables de base" et "variables libres". Tout d'abord, définissons quelles variables nous avons de base, et quelles variables - libre. Il n'est pas nécessaire d'expliquer en détail les termes de l'algèbre linéaire, il suffit de rappeler qu'il existe de tels variables de base et variables libres.
Les variables de base "s'assoient" toujours strictement sur les marches de la matrice. À cet exemple les variables de base sont X 1 et X 3 .
Les variables libres sont tout restant variables qui n'ont pas obtenu une étape. Dans notre cas, il y en a deux : X 2 et X 4 - variables libres.
Maintenant tu as besoin toutvariables de base Express Seulement parvariables libres. Le mouvement inverse de l'algorithme gaussien fonctionne traditionnellement de bas en haut. À partir de la deuxième équation du système, nous exprimons la variable de base X 3:
Regardez maintenant la première équation : 
. Tout d'abord, nous y substituons l'expression trouvée :
Il reste à exprimer la variable de base X 1 à variables libres X 2 et X 4:
Le résultat est ce dont vous avez besoin - tout variables de base ( X 1 et X 3) exprimé Seulement par variables libres ( X 2 et X 4):
Réellement, décision commune prêt:
.
Comment écrire la solution générale ? Tout d'abord, les variables libres sont écrites dans la solution générale "seules" et strictement à leur place. Dans ce cas, les variables libres X 2 et X 4 doit être écrit en deuxième et quatrième position :
.
Les expressions résultantes pour les variables de base et doit évidemment être écrit en première et troisième positions :
De la solution générale du système, on peut trouver une infinité de décisions privées. C'est très simple. variables libres X 2 et X 4 sont appelés ainsi parce qu'ils peuvent être donnés toutes les valeurs finales. Les valeurs les plus populaires sont les valeurs nulles, car c'est le moyen le plus simple d'obtenir une solution particulière.
Remplacer ( X 2 = 0; X 4 = 0) dans la solution générale, on obtient une des solutions particulières :
, ou est une solution particulière correspondant à des variables libres à valeurs ( X 2 = 0; X 4 = 0).
Les uns sont un autre couple adorable, remplaçons ( X 2 = 1 et X 4 = 1) dans la solution générale :
, c'est-à-dire (-1 ; 1 ; 1 ; 1) est une autre solution particulière.
Il est facile de voir que le système d'équations a une infinité de solutions puisqu'on peut donner des variables libres n'importe quel valeurs.
Chaque une solution particulière doit satisfaire pour chaqueéquation du système. C'est la base d'une vérification "rapide" de l'exactitude de la solution. Prenez, par exemple, une solution particulière (-1 ; 1 ; 1 ; 1) et remplacez-la dans le côté gauche de chaque équation du système d'origine :
Tout doit être réuni. Et avec toute solution particulière que vous obtenez, tout devrait également converger.
Au sens strict, la vérification d'une solution particulière trompe parfois, c'est-à-dire une solution particulière peut satisfaire chaque équation du système, et la solution générale elle-même est en fait trouvée de manière incorrecte. Par conséquent, tout d'abord, la vérification de la solution générale est plus approfondie et fiable.
Comment vérifier la solution générale résultante 
?
Ce n'est pas difficile, mais cela demande une assez longue transformation. Il faut prendre des expressions de base variables, dans ce cas 
et , et substituez-les dans le côté gauche de chaque équation du système.
A gauche de la première équation du système :
Le côté droit de la première équation originale du système est obtenu.
A gauche de la seconde équation du système :
Le côté droit de la deuxième équation originale du système est obtenu.
Et plus loin - aux parties gauches des troisième et quatrième équations du système. Cette vérification est plus longue, mais elle garantit l'exactitude à 100 % de la solution globale. De plus, dans certaines tâches, il est nécessaire de vérifier la solution générale.
Exemple 4 :
Résolvez le système en utilisant la méthode de Gauss. Trouvez une solution générale et deux solutions privées. Vérifiez la solution globale.
Ceci est un exemple à faire soi-même. Ici, d'ailleurs, encore une fois, le nombre d'équations est inférieur au nombre d'inconnues, ce qui signifie qu'il est immédiatement clair que le système sera soit incohérent, soit avec un nombre infini de solutions.
Exemple 5 :
Résoudre un système d'équations linéaires. Si le système a une infinité de solutions, trouver deux solutions particulières et vérifier la solution générale
La solution:Écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, amenons-la à une forme étagée :
(une). Ajoutez la première ligne à la deuxième ligne. À la troisième ligne, nous ajoutons la première ligne multipliée par 2. À la quatrième ligne, nous ajoutons la première ligne multipliée par 3.
(2). À la troisième ligne, nous ajoutons la deuxième ligne, multipliée par (-5). À la quatrième ligne, nous ajoutons la deuxième ligne, multipliée par (-7).
(3). Les troisième et quatrième lignes sont les mêmes, nous en supprimons une. Voici une telle beauté:
Les variables de base reposent sur des étapes, ce sont donc des variables de base.
Il n'y a qu'une seule variable libre, qui n'a pas obtenu d'étape : .
(quatre). Mouvement inverse. Nous exprimons les variables de base en fonction de la variable libre :
A partir de la troisième équation :
Considérez la deuxième équation et substituez-y l'expression trouvée :
, 
, ,
Considérez la première équation et substituez-y les expressions trouvées :
Ainsi, la solution générale à une variable libre X 4:
Encore une fois, comment cela s'est-il passé ? variable libre X 4 occupe seul la quatrième place qui lui revient. Les expressions résultantes pour les variables de base , , sont également à leur place.
Vérifions immédiatement la solution générale.
Nous substituons les variables de base , , dans le côté gauche de chaque équation du système :
Les membres droits correspondants des équations sont obtenus, ainsi, la solution générale correcte est trouvée.
Maintenant à partir de la solution générale trouvée 
on obtient deux solutions particulières. Toutes les variables sont exprimées ici par un seul variable libre x quatre. Vous n'avez pas besoin de vous casser la tête.
Laisser X 4 = 0, alors 
est la première solution particulière.
Laisser X 4 = 1, alors 
est une autre solution particulière.
Réponse: Décision commune : . Solutions privées :
et .
Exemple 6 :
Trouver la solution générale du système d'équations linéaires.
Nous avons déjà vérifié la solution générale, la réponse est fiable. Votre ligne de conduite peut différer de la nôtre. L'essentiel est de correspondre solutions générales. Probablement, beaucoup de gens ont remarqué un moment désagréable dans les solutions : très souvent, pendant le cours inverse de la méthode de Gauss, nous avons dû jouer avec fractions ordinaires. En pratique, cela est vrai, les cas où il n'y a pas de fractions sont beaucoup moins fréquents. Préparez-vous mentalement et, surtout, techniquement.
Arrêtons-nous sur les caractéristiques de la solution qui n'ont pas été trouvées dans les exemples résolus. La solution générale du système peut parfois inclure une constante (ou des constantes).
Par exemple, la solution générale : . Ici, l'une des variables de base est égale à nombre constant: . Il n'y a rien d'exotique là-dedans, ça arrive. Évidemment, dans ce cas, toute solution particulière contiendra un cinq en première position.
Rarement, mais il existe des systèmes dans lesquels le nombre d'équations est supérieur au nombre de variables. Cependant, la méthode de Gauss fonctionne dans les conditions les plus sévères. Vous devez amener calmement la matrice étendue du système à une forme échelonnée selon l'algorithme standard. Un tel système peut être incohérent, peut avoir un nombre infini de solutions et, curieusement, peut avoir une solution unique.
Nous répétons dans nos conseils - pour vous sentir à l'aise lors de la résolution d'un système à l'aide de la méthode de Gauss, vous devez remplir votre main et résoudre au moins une douzaine de systèmes.
Solutions et réponses :
Exemple 2 :
La solution:Écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, amenons-la à une forme échelonnée.
Transformations élémentaires effectuées :
(1) Les première et troisième lignes ont été permutées.
(2) La première ligne a été ajoutée à la deuxième ligne, multipliée par (-6). La première ligne a été ajoutée à la troisième ligne, multipliée par (-7).
(3) La deuxième ligne a été ajoutée à la troisième ligne, multipliée par (-1).
Suite à des transformations élémentaires, une chaîne de la forme, où λ ≠ 0 .Le système est donc incohérent.Réponse: il n'y a pas de solutions.
Exemple 4 :
La solution:Nous écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, nous l'amenons à une forme en escalier :
Conversions effectuées :
(une). La première ligne multipliée par 2 a été ajoutée à la deuxième ligne La première ligne multipliée par 3 a été ajoutée à la troisième ligne.
Il n'y a pas d'unité pour la deuxième étape , et la transformation (2) vise à l'obtenir.
(2). La deuxième ligne a été ajoutée à la troisième ligne, multipliée par -3.
(3). Les deuxième et troisième lignes ont été permutées (le -1 résultant a été déplacé vers la deuxième étape)
(quatre). La deuxième ligne a été ajoutée à la troisième ligne, multipliée par 3.
(5). Le signe des deux premières lignes a été changé (multiplié par -1), la troisième ligne a été divisée par 14.
Mouvement inverse :
(une). Ici sont les variables de base (qui sont sur les étapes), et sont des variables libres (qui n'ont pas obtenu l'étape).
(2). Nous exprimons les variables de base en termes de variables libres :
A partir de la troisième équation : .
(3). Considérez la deuxième équation :, solutions particulières :
Réponse: Décision commune : 
Nombres complexes
Dans cette section, nous présenterons le concept nombre complexe, envisager algébrique, trigonométrique et afficher le formulaire nombre complexe. Nous apprendrons également à effectuer des opérations avec des nombres complexes : addition, soustraction, multiplication, division, exponentiation et extraction de racine.
Pour le developpement nombres complexes aucune connaissance particulière n'est requise du cours de mathématiques supérieures, et le matériel est accessible même à un écolier. Il suffit de pouvoir effectuer des opérations algébriques avec des nombres "ordinaires", et de se souvenir de la trigonométrie.
Rappelons d'abord les Nombres "ordinaires". En mathématiques, on les appelle ensemble de nombres réels et sont marqués de la lettre R, ou R (épais). Tous les nombres réels sont assis sur la droite numérique familière :
La société des nombres réels est très colorée - voici des nombres entiers, des fractions et des nombres irrationnels. Dans ce cas, chaque point de l'axe numérique correspond nécessairement à un nombre réel.
Exemple 1. Trouver une solution générale et une solution particulière du systèmeLa solution faites-le avec une calculatrice. Nous écrivons les matrices étendue et principale: 
La matrice principale A est séparée par une ligne en pointillés.D'en haut, on écrit les systèmes inconnus, en tenant compte de la permutation possible des termes dans les équations du système. En déterminant le rang de la matrice étendue, on trouve simultanément le rang de la matrice principale. Dans la matrice B, les première et deuxième colonnes sont proportionnelles. Des deux colonnes proportionnelles, une seule peut tomber dans la mineure de base, alors déplaçons, par exemple, la première colonne au-delà de la ligne pointillée avec le signe opposé. Pour le système, cela signifie le transfert des termes de x 1 vers le côté droit des équations. 
Nous amenons la matrice à une forme triangulaire. Nous ne travaillerons qu'avec des lignes, car multiplier une ligne de matrice par un nombre autre que zéro et ajouter à une autre ligne pour le système revient à multiplier l'équation par le même nombre et à l'ajouter à une autre équation, ce qui ne change pas la solution du système . Travailler avec la première ligne : multipliez la première ligne de la matrice par (-3) et ajoutez les deuxième et troisième lignes à tour de rôle. Ensuite, nous multiplions la première ligne par (-2) et l'ajoutons à la quatrième. 
Les deuxième et troisième lignes sont proportionnelles, par conséquent, l'une d'entre elles, par exemple la deuxième, peut être barrée. Cela équivaut à supprimer la deuxième équation du système, puisqu'elle est une conséquence de la troisième. 
Maintenant, nous travaillons avec la deuxième ligne : multipliez-la par (-1) et ajoutez-la à la troisième. 
Le mineur en pointillés a l'ordre le plus élevé (de tous les mineurs possibles) et est non nul (il est égal au produit des éléments sur la diagonale principale), et ce mineur appartient à la fois à la matrice principale et à la matrice étendue, d'où rangA = rangB = 3 .
Mineure 
est basique. Il comprend des coefficients pour les inconnues x 2, x 3, x 4, ce qui signifie que les inconnues x 2, x 3, x 4 sont dépendantes et x 1, x 5 sont libres.
Nous transformons la matrice en ne laissant que le mineur de base à gauche (ce qui correspond au point 4 de l'algorithme de résolution ci-dessus). 
Le système à coefficients de cette matrice est équivalent au système d'origine et a la forme
Par la méthode d'élimination des inconnues on trouve : 
, ,
Nous avons obtenu des relations exprimant des variables dépendantes x 2, x 3, x 4 à travers x 1 et x 5 libres, c'est-à-dire que nous avons trouvé une solution générale : 
En donnant des valeurs arbitraires aux inconnues libres, on obtient un nombre quelconque de solutions particulières. Trouvons deux solutions particulières :
1) soit x 1 = x 5 = 0, alors x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3 ;
2) mettre x 1 = 1, x 5 = -1, puis x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Ainsi, nous avons trouvé deux solutions : (0.1, -3,3,0) - une solution, (1.4, -7.7, -1) - une autre solution.
Exemple 2. Enquêter sur la compatibilité, trouver une solution générale et une solution particulière du système 
La solution. Réorganisons les première et deuxième équations pour avoir une unité dans la première équation et écrivons la matrice B. 
Nous obtenons des zéros dans la quatrième colonne, opérant sur la première ligne : 
Obtenez maintenant les zéros dans la troisième colonne en utilisant la deuxième ligne : 
Les troisième et quatrième rangées sont proportionnelles, l'une d'elles peut donc être barrée sans changer de rang :
Multipliez la troisième rangée par (-2) et ajoutez à la quatrième : 
Nous voyons que les rangs des matrices principales et étendues sont 4, et le rang coïncide avec le nombre d'inconnues, par conséquent, le système a une solution unique :
;
x 4 \u003d 10- 3x 1 - 3x 2 - 2x 3 \u003d 11.
Exemple 3. Examinez la compatibilité du système et trouvez une solution si elle existe. 
La solution. Nous composons la matrice étendue du système. 
Réorganisez les deux premières équations de sorte qu'il y ait un 1 dans le coin supérieur gauche :
En multipliant la première ligne par (-1), nous l'ajoutons à la troisième : 
Multipliez la deuxième ligne par (-2) et ajoutez à la troisième : 
Le système est incohérent, puisque la matrice principale a reçu une ligne composée de zéros, qui est barrée lorsque le rang est trouvé, et la dernière ligne reste dans la matrice étendue, c'est-à-dire r B > r A .
Exercer. Étudiez ce système d'équations pour la compatibilité et résolvez-le au moyen du calcul matriciel.
La solution
Exemple. Démontrer la compatibilité d'un système d'équations linéaires et le résoudre de deux manières : 1) par la méthode de Gauss ; 2) La méthode de Cramer. (saisir la réponse sous la forme : x1,x2,x3)
Solution :doc :doc :xls
Réponse: 2,-1,3.
Exemple. Un système d'équations linéaires est donné. Prouver sa compatibilité. Trouver une solution générale du système et une solution particulière.
La solution
Réponse: x 3 \u003d - 1 + x 4 + x 5; x 2 \u003d 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5
Exercer. Trouver des solutions générales et particulières pour chaque système.
La solution. Nous étudions ce système à l'aide du théorème de Kronecker-Capelli.
Nous écrivons les matrices étendue et principale :
| 1 | 1 | 14 | 0 | 2 | 0 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 |
Ici la matrice A est en caractères gras.
Nous amenons la matrice à une forme triangulaire. Nous ne travaillerons qu'avec des lignes, car multiplier une ligne de matrice par un nombre autre que zéro et ajouter à une autre ligne pour le système revient à multiplier l'équation par le même nombre et à l'ajouter à une autre équation, ce qui ne change pas la solution du système .
Multipliez la 1ère rangée par (3). Multipliez la 2e rangée par (-1). Ajoutons la 2ème ligne à la 1ère :
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Multipliez la 2e rangée par (2). Multipliez la 3e rangée par (-3). Ajoutons la 3ème ligne à la 2ème :
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Multipliez la 2e rangée par (-1). Ajoutons la 2ème ligne à la 1ère :
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Le mineur sélectionné a l'ordre le plus élevé (parmi les mineurs possibles) et est différent de zéro (il est égal au produit des éléments sur la diagonale réciproque), et ce mineur appartient à la fois à la matrice principale et à la matrice étendue, donc rang( A) = rang(B) = 3 Puisque le rang de la matrice principale est égal au rang de la matrice étendue, alors le système est collaboratif.
Cette mineure est basique. Il comprend des coefficients pour les inconnues x 1, x 2, x 3, ce qui signifie que les inconnues x 1, x 2, x 3 sont dépendantes (de base) et x 4, x 5 sont libres.
Nous transformons la matrice en ne laissant que la mineure de base à gauche.
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -1 | 3 | -6 |
| 2 | 3 | -3 | 1 | -3 | 2 |
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 |
27x3=
-x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Par la méthode d'élimination des inconnues on trouve :
Nous avons obtenu des relations exprimant des variables dépendantes x 1, x 2, x 3 à x 4, x 5 libres, c'est-à-dire que nous avons trouvé décision commune:
x3 = 0
x2 = 1 - 3x4 + 6x5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
incertain, car a plus d'une solution.
Exercer. Résoudre le système d'équations.
Réponse:x 2 = 2 - 1,67x 3 + 0,67x 4
x 1 = 5 - 3,67x 3 + 0,67x 4
En donnant des valeurs arbitraires aux inconnues libres, on obtient un nombre quelconque de solutions particulières. Le système est incertain
Mathématiques supérieures » Systèmes d'équations algébriques linéaires » Termes de base. Notation matricielle.
Système d'équations algébriques linéaires. Termes de base. Notation matricielle.
- Définition d'un système d'équations algébriques linéaires. Solution système. Classement des systèmes.
- Forme matricielle des systèmes d'écriture d'équations algébriques linéaires.
Définition d'un système d'équations algébriques linéaires. Solution système. Classement des systèmes.
En dessous de système d'équations algébriques linéaires(SLAE) impliquent un système
\begin(equation) \left \( \begin(aligned) & a_(11)x_1+a_(12)x_2+a_(13)x_3+\ldots+a_(1n)x_n=b_1;\\ & a_(21) x_1+a_(22)x_2+a_(23)x_3+\ldots+a_(2n)x_n=b_2 ;\\ & \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ ldots \\ & a_(m1)x_1+a_(m2)x_2+a_(m3)x_3+\ldots+a_(mn)x_n=b_m.\end(aligned) \right.\end(equation)
Les paramètres $a_(ij)$ ($i=\overline(1,m)$, $j=\overline(1,n)$) sont appelés coefficients, et $b_i$ ($i=\overline(1,m)$) - membres gratuits SLAU. Parfois, pour souligner le nombre d'équations et d'inconnues, ils disent "$m\fois n$ système d'équations linéaires" - indiquant ainsi que le SLAE contient $m$ équations et $n$ inconnues.
Si tous les termes libres $b_i=0$ ($i=\overline(1,m)$), alors le SLAE est appelé homogène. Si parmi les membres libres il y en a au moins un autre que zéro, la SLAE est dite hétérogène.
Décision SLAU(1) toute collection ordonnée de nombres ($\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n$) est appelée si les éléments de cette collection, substitués dans un ordre donné aux inconnues $x_1,x_2,\ldots,x_n$ , inversez chaque équation SLAE en identité.
Tout SLAE homogène a au moins une solution : zéro(dans une terminologie différente - triviale), c'est-à-dire $x_1=x_2=\ldots=x_n=0$.
Si SLAE (1) a au moins une solution, elle est appelée découper s'il n'y a pas de solutions, incompatible. Si une SLAE commune a exactement une solution, elle est appelée certain, si un nombre infini de solutions - incertain.
Exemple 1
Considérez SLAE
\begin(equation) \left \( \begin(aligned) & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4-6x_5= 0.\\ \end(aligned)\right.\end(equation)
Nous avons un système d'équations algébriques linéaires contenant $3$ équations et $5$ inconnues : $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$. On peut dire qu'un système de $3\fois 5$ équations linéaires est donné.
Les coefficients du système (2) sont les nombres devant les inconnues. Par exemple, dans la première équation ces nombres sont : $3,-4,1,7,-1$. Les membres gratuits du système sont représentés par les nombres $11,-65.0$. Puisque parmi les termes libres il y en a au moins un qui n'est pas égal à zéro, alors SLAE (2) est inhomogène.
La collection ordonnée $(4;-11;5;-7;1)$ est la solution à ce SLAE. Ceci est facile à vérifier si vous substituez $x_1=4 ; x_2=-11 ; x_3=5 ; x_4=-7 ; x_5=1$ dans les équations du système donné :
\begin(aligned) & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=3\cdot4-4\cdot(-11)+5+7\cdot(-7)-1=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5 =2\cdot 4+10\cdot (-7)-3\cdot 1=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4-6x_5=3\cdot (-11)+19\cdot 5+8\cdot ( -7)-6\cdot 1=0. \\ \end(aligné)
Naturellement, la question se pose de savoir si la solution vérifiée est la seule. La question du nombre de solutions SLAE sera abordée dans la rubrique correspondante.
Exemple #2
Considérez SLAE
\begin(equation) \left \( \begin(aligned) & 4x_1+2x_2-x_3=0;\\ & 10x_1-x_2=0;\\ & 5x_2+4x_3=0; \\ & 3x_1-x_3=0; \\ & 14x_1+25x_2+5x_3=0.\end(aligné) \right.\end(équation)
Le système (3) est un SLAE contenant $5$ équations et $3$ inconnues : $x_1,x_2,x_3$. Puisque tous les termes libres de ce système sont égaux à zéro, alors SLAE (3) est homogène. Il est facile de vérifier que la collection $(0;0;0)$ est une solution au SLAE donné. En substituant $x_1=0, x_2=0,x_3=0$, par exemple, dans la première équation du système (3), on obtient l'égalité correcte : $4x_1+2x_2-x_3=4\cdot 0+2\cdot 0 -0=0$ . La substitution dans d'autres équations se fait de la même manière.
Forme matricielle des systèmes d'écriture d'équations algébriques linéaires.
Plusieurs matrices peuvent être associées à chaque SLAE ; de plus, le SLAE lui-même peut être écrit comme une équation matricielle. Pour SLAE (1), considérez les matrices suivantes :
La matrice $A$ est appelée matrice système. Les éléments de cette matrice sont les coefficients du SLAE donné.
La matrice $\widetilde(A)$ est appelée système matriciel étendu. Il est obtenu en ajoutant à la matrice système une colonne contenant les membres libres $b_1,b_2,…,b_m$. Habituellement, cette colonne est séparée par une ligne verticale - pour plus de clarté.
La matrice colonne $B$ est appelée matrice de termes libres, et la matrice de colonne $X$ - matrice des inconnues.
En utilisant la notation introduite ci-dessus, SLAE (1) peut s'écrire sous la forme d'une équation matricielle : $A\cdot X=B$.
Noter
Les matrices associées au système peuvent s'écrire différentes façons: tout dépend de l'ordre des variables et des équations du SLAE considéré. Mais dans tous les cas, l'ordre des inconnues dans chaque équation d'un SLAE donné doit être le même (voir exemple n° 4).
Exemple #3
Ecrire SLAE $ \left \( \begin(aligned) & 2x_1+3x_2-5x_3+x_4=-5;\\ & 4x_1-x_3=0;\\ & 14x_2+8x_3+x_4=-11. \end(aligned) \right.$ sous forme matricielle et spécifiez la matrice augmentée du système.
Nous avons quatre inconnues, qui dans chaque équation suivent dans cet ordre : $x_1,x_2,x_3,x_4$. La matrice des inconnues sera : $\left(\begin(array) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end(array) \right)$.
Les membres libres de ce système sont exprimés par les nombres $-5,0,-11$, donc la matrice des membres libres a la forme : $B=\left(\begin(array) (c) -5 \\ 0 \\ -11 \end(tableau )\droite)$.
Passons à la compilation de la matrice du système. La première ligne de cette matrice contiendra les coefficients de la première équation : $2.3,-5.1$.
Dans la deuxième ligne, nous écrivons les coefficients de la deuxième équation : $4.0,-1.0$. Dans ce cas, il faut tenir compte du fait que les coefficients du système avec les variables $x_2$ et $x_4$ dans la deuxième équation sont égaux à zéro (car ces variables sont absentes dans la deuxième équation).
Dans la troisième ligne de la matrice du système, on écrit les coefficients de la troisième équation : $0.14.8.1$. On tient compte de l'égalité à zéro du coefficient à la variable $x_1$ (cette variable est absente dans la troisième équation). La matrice du système ressemblera à :
$$ A=\left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end(array) \right) $$
Pour clarifier la relation entre la matrice système et le système lui-même, j'écrirai côte à côte le SLAE donné et sa matrice système :
Sous forme de matrice, le SLAE donné ressemblera à $A\cdot X=B$. Dans l'entrée développée :
$$ \left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end(array) \right) \cdot \left(\begin(tableau) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end(tableau) \right) = \left(\begin(tableau) (c) -5 \\ 0 \\ -11 \end(tableau) \right) $$
Écrivons la matrice augmentée du système. Pour cela, à la matrice système $ A=\left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \ end(array ) \right) $ ajoute une colonne de termes libres (c'est-à-dire $-5,0,-11$). On obtient : $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (cccc|c) 2 & 3 & -5 & 1 & -5 \\ 4 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 14 & 8 & 1 & -11 \end(tableau) \right) $.
Exemple #4
Ecrire SLAE $ \left \(\begin(aligned) & 3y+4a=17;\\ & 2a+4y+7c=10;\\ & 8c+5y-9a=25; \\ & 5a-c=-4 .\end(aligned)\right.$ sous forme matricielle et spécifiez la matrice augmentée du système.
Comme vous pouvez le voir, l'ordre des inconnues dans les équations de ce SLAE est différent. Par exemple, dans la deuxième équation l'ordre est : $a,y,c$, mais dans la troisième équation : $c,y,a$. Avant d'écrire le SLAE sous forme de matrice, l'ordre des variables dans toutes les équations doit être le même.
Vous pouvez ordonner les variables dans les équations d'un SLAE donné différentes façons(le nombre de façons d'arranger trois variables est $3!=6$). Je considérerai deux manières d'ordonner les inconnues.
Méthode numéro 1
Introduisons l'ordre suivant : $c,y,a$. Réécrivons le système en plaçant les inconnues dans l'ordre requis : $\left \(\begin(aligned) & 3y+4a=17;\\ & 7c+4y+2a=10;\\ & 8c+5y-9a= 25 ; \\ & -c+5a=-4.\end(aligned)\right.$
Pour plus de clarté, j'écrirai le SLAE comme suit : $\left \(\begin(aligned) & 0\cdot c+3\cdot y+4\cdot a=17;\\ & 7\cdot c+4\cdot y+ 2\cdot a=10 ;\\ & 8\cdot c+5\cdot y-9\cdot a=25 ; \\ & -1\cdot c+0\cdot y+5\cdot a=-4. \ end(aligned)\right.$
La matrice système est : $ A=\left(\begin(array) (ccc) 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end( tableau) \right) $. Matrice de membre libre : $B=\left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right)$. Lorsque vous écrivez la matrice des inconnues, souvenez-vous de l'ordre des inconnues : $X=\left(\begin(array) (c) c \\ y \\ a \end(array) \right)$. Ainsi, la forme matricielle du SLAE donné est la suivante : $A\cdot X=B$. Étendu:
$$ \left(\begin(array) (ccc) 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end(array) \right) \ cdot \left(\begin(array) (c) c \\ y \\ a \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(tableau) \right) $$
La matrice système étendue est : $\left(\begin(array) (ccc|c) 0 & 3 & 4 & 17 \\ 7 & 4 & 2 & 10\\ 8 & 5 & -9 & 25 \\ -1 & 0 & 5 & -4 \end(tableau) \right) $.
Méthode numéro 2
Introduisons l'ordre suivant : $a,c,y$. Réécrivons le système en mettant les inconnues dans l'ordre requis : $\left \( \begin(aligned) & 4a+3y=17;\\ & 2a+7c+4y=10;\\ & -9a+8c+5y =25 ; \ \ & 5a-c=-4.\end(aligned)\right.$
Pour plus de clarté, j'écrirai le SLAE comme suit : $\left \( \begin(aligned) & 4\cdot a+0\cdot c+3\cdot y=17;\\ & 2\cdot a+7\cdot c+ 4\cdot y=10 ;\\ & -9\cdot a+8\cdot c+5\cdot y=25 ; \\ & 5\cdot c-1\cdot c+0\cdot y=-4. \ end(aligned)\right.$
La matrice système est : $ A=\left(\begin(array) (ccc) 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end( tableau)\right)$. Matrice de membre libre : $B=\left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right)$. Lorsque vous écrivez la matrice des inconnues, souvenez-vous de l'ordre des inconnues : $X=\left(\begin(array) (c) a \\ c \\ y \end(array) \right)$. Ainsi, la forme matricielle du SLAE donné est la suivante : $A\cdot X=B$. Étendu:
$$ \left(\begin(array) (ccc) 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end(array) \right) \ cdot \left(\begin(array) (c) a \\ c \\ y \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(tableau) \right) $$
La matrice système étendue est : $\left(\begin(array) (ccc|c) 4 & 0 & 3 & 17 \\ 2 & 7 & 4 & 10\\ -9 & 8 & 5 & 25 \\ 5 & - 1 & 0 & -4 \end(tableau) \right) $.
Comme vous pouvez le voir, changer l'ordre des inconnues équivaut à réorganiser les colonnes de la matrice système. Mais quel que soit cet arrangement d'inconnues, il doit correspondre dans toutes les équations d'un SLAE donné.
Équations linéaires
Équations linéaires- un sujet mathématique relativement simple, que l'on retrouve assez souvent dans les devoirs d'algèbre.
Systèmes d'équations algébriques linéaires : concepts de base, types
Voyons ce que c'est et comment les équations linéaires sont résolues.
Généralement, équation linéaire est une équation de la forme ax + c = 0, où a et c sont des nombres arbitraires, ou coefficients, et x est un nombre inconnu.
Par exemple, une équation linéaire serait :
Solution d'équations linéaires.
Comment résoudre des équations linéaires ?
Résoudre des équations linéaires est assez facile. Pour cela, une technique mathématique est utilisée, telle que transformation identitaire. Voyons ce que c'est.
Un exemple d'équation linéaire et sa solution.
Soit ax + c = 10, où a = 4, c = 2.
Ainsi, nous obtenons l'équation 4x + 2 = 10.
Afin de le résoudre plus facilement et plus rapidement, nous utiliserons la première méthode transformation identitaire- c'est-à-dire que nous transférons tous les nombres du côté droit de l'équation et laissons l'inconnu 4x du côté gauche.
Obtenir:
Ainsi, l'équation est réduite à un problème très simple pour les débutants. Il ne reste plus qu'à utiliser la deuxième méthode de transformation identique - en laissant x sur le côté gauche de l'équation, transférez les nombres sur le côté droit. On a:
Examen:
4x + 2 = 10, où x = 2.
La réponse est correcte.
Graphique d'équation linéaire.
Lors de la résolution d'équations linéaires à deux variables, la méthode de traçage est également souvent utilisée. Le fait est qu'une équation de la forme ax + wy + c \u003d 0, en règle générale, a de nombreuses solutions, car de nombreux nombres tiennent à la place des variables, et dans tous les cas, l'équation reste vraie.
Par conséquent, pour faciliter la tâche, un graphique d'une équation linéaire est construit.
Pour le construire, il suffit de prendre une paire de valeurs variables - et, en les marquant avec des points sur le plan de coordonnées, tracez une ligne droite à travers eux. Tous les points sur cette ligne seront des variantes des variables de notre équation.
Expressions, conversion d'expressions
L'ordre des actions, des règles, des exemples.
Les expressions numériques, littérales et avec des variables dans leur enregistrement peuvent contenir des caractères de différentes opérations arithmétiques. Lors de la conversion d'expressions et du calcul des valeurs d'expressions, les actions sont effectuées dans un certain ordre, en d'autres termes, vous devez observer ordre des actions.
Dans cet article, nous déterminerons quelles actions doivent être effectuées en premier et lesquelles après. Commençons par les cas les plus simples, lorsque l'expression ne contient que des nombres ou des variables reliées par plus, moins, multiplier et diviser. Ensuite, nous expliquerons quel ordre d'exécution des actions doit être suivi dans les expressions entre parenthèses. Enfin, considérez la séquence dans laquelle les actions sont effectuées dans des expressions contenant des puissances, des racines et d'autres fonctions.
D'abord multiplication et division, puis addition et soustraction
L'école offre ce qui suit une règle qui détermine l'ordre dans lequel les actions sont effectuées dans des expressions sans parenthèses:
- les actions sont exécutées dans l'ordre de gauche à droite,
- où la multiplication et la division sont effectuées en premier, puis l'addition et la soustraction.
La règle énoncée est perçue assez naturellement. L'exécution des actions dans l'ordre de gauche à droite s'explique par le fait qu'il est de coutume pour nous de tenir des registres de gauche à droite. Et le fait que la multiplication et la division s'effectuent avant l'addition et la soustraction s'explique par le sens que ces actions portent en elles-mêmes.
Voyons quelques exemples d'application de cette règle. A titre d'exemple, nous prendrons le plus simple expressions numériques, afin de ne pas être distrait par des calculs, mais de se concentrer sur l'ordre dans lequel les actions sont effectuées.
Suivez les étapes 7−3+6.
L'expression originale ne contient pas de parenthèses, ni de multiplication et de division. Par conséquent, nous devons effectuer toutes les actions dans l'ordre de gauche à droite, c'est-à-dire que nous soustrayons d'abord 3 de 7, nous obtenons 4, après quoi nous ajoutons 6 à la différence résultante 4, nous obtenons 10.
Brièvement, la solution peut s'écrire comme suit : 7−3+6=4+6=10.
Indiquez l'ordre dans lequel les actions sont effectuées dans l'expression 6:2·8:3.
Pour répondre à la question du problème, passons à la règle qui indique l'ordre dans lequel les actions sont effectuées dans des expressions sans parenthèses. L'expression originale ne contient que les opérations de multiplication et de division, et selon la règle, elles doivent être effectuées dans l'ordre de gauche à droite.
Premièrement, divisez 6 par 2, multipliez ce quotient par 8, et enfin, divisez le résultat par 3.
Concepts de base. Systèmes d'équations linéaires
Calculez la valeur de l'expression 17−5 6:3−2+4:2.
Tout d'abord, déterminons dans quel ordre les actions de l'expression d'origine doivent être effectuées. Il comprend à la fois la multiplication et la division et l'addition et la soustraction.
Tout d'abord, de gauche à droite, vous devez effectuer la multiplication et la division. Donc on multiplie 5 par 6, on obtient 30, on divise ce nombre par 3, on obtient 10. Maintenant on divise 4 par 2, on obtient 2. On substitue dans l'expression originale au lieu de 5 6 : 3 la valeur trouvée 10, et au lieu de 4 : 2 - la valeur 2, nous avons 17−5 6:3−2+4:2=17−10−2+2.
Dans l'expression résultante, il n'y a plus de multiplication et de division, il reste donc à effectuer les actions restantes dans l'ordre de gauche à droite : 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7.
17−5 6:3−2+4:2=7.
Dans un premier temps, afin de ne pas confondre l'ordre d'exécution des actions lors du calcul de la valeur d'une expression, il convient de placer des nombres au-dessus des signes d'actions correspondant à l'ordre dans lequel elles sont effectuées. Pour l'exemple précédent, cela ressemblerait à ceci : 
.
Le même ordre d'opérations - d'abord la multiplication et la division, puis l'addition et la soustraction - doit être suivi lorsque vous travaillez avec des expressions littérales.
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Étapes 1 et 2
Dans certains manuels de mathématiques, il existe une division des opérations arithmétiques en opérations des première et deuxième étapes. Traitons cela.
En ces termes, la règle du paragraphe précédent, qui détermine l'ordre dans lequel les actions sont effectuées, s'écrira comme suit : si l'expression ne contient pas de parenthèses, alors dans l'ordre de gauche à droite, les actions de la deuxième étape ( multiplication et division) sont effectuées en premier, puis les actions de la première étape (addition et soustraction).
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Ordre d'exécution des opérations arithmétiques dans les expressions entre parenthèses
Les expressions contiennent souvent des parenthèses pour indiquer l'ordre dans lequel les actions doivent être effectuées. Dans ce cas une règle qui spécifie l'ordre dans lequel les actions sont effectuées dans les expressions entre parenthèses, est formulé comme suit : d'abord, les actions entre parenthèses sont effectuées, tandis que la multiplication et la division sont également effectuées dans l'ordre de gauche à droite, puis l'addition et la soustraction.
Ainsi, les expressions entre parenthèses sont considérées comme des composants de l'expression originale, et l'ordre des actions déjà connu de nous y est conservé. Considérez les solutions des exemples pour plus de clarté.
Effectuez les étapes indiquées 5+(7−2 3) (6−4):2.
L'expression contient des crochets, donc commençons par effectuer les opérations dans les expressions entre crochets. Commençons par l'expression 7−2 3. Dans celui-ci, vous devez d'abord effectuer la multiplication, et ensuite seulement la soustraction, nous avons 7−2 3=7−6=1. On passe à la seconde expression entre parenthèses 6−4. Il n'y a qu'une seule action ici - la soustraction, nous l'effectuons 6−4=2.
Nous substituons les valeurs obtenues dans l'expression originale : 5+(7−2 3) (6−4):2=5+1 2:2. Dans l'expression résultante, nous effectuons d'abord la multiplication et la division de gauche à droite, puis la soustraction, nous obtenons 5+1 2:2=5+2:2=5+1=6. Sur ce, toutes les actions sont terminées, nous avons respecté l'ordre suivant de leur exécution : 5+(7−2 3) (6−4):2.
Écrivons solution courte: 5+(7−2 3)(6−4):2=5+1 2:2=5+1=6.
5+(7−2 3)(6−4):2=6.
Il arrive qu'une expression contienne des parenthèses entre parenthèses. Vous ne devriez pas avoir peur de cela, il vous suffit d'appliquer systématiquement la règle vocale pour effectuer des actions dans des expressions entre parenthèses. Montrons un exemple de solution.
Effectuez des actions dans l'expression 4+(3+1+4 (2+3)).
Il s'agit d'une expression entre parenthèses, ce qui signifie que l'exécution des actions doit commencer par une expression entre parenthèses, c'est-à-dire par 3 + 1 + 4 (2 + 3).
Cette expression contient également des parenthèses, vous devez donc d'abord y effectuer des actions. Faisons ceci : 2+3=5. En substituant la valeur trouvée, nous obtenons 3+1+4 5. Dans cette expression, on effectue d'abord la multiplication, puis l'addition, on a 3+1+4 5=3+1+20=24. La valeur initiale, après substitution de cette valeur, prend la forme 4+24, et il ne reste plus qu'à compléter les actions : 4+24=28.
4+(3+1+4 (2+3))=28.
En général, lorsque des parenthèses entre parenthèses sont présentes dans une expression, il est souvent pratique de commencer par les parenthèses intérieures et de progresser vers les parenthèses extérieures.
Par exemple, disons que nous devons effectuer des opérations dans l'expression (4+(4+(4−6:2))−1)−1. D'abord, nous effectuons des actions entre parenthèses internes, puisque 4−6:2=4−3=1, puis après cela l'expression originale prendra la forme (4+(4+1)−1)−1. Encore une fois, nous effectuons l'action entre parenthèses intérieures, puisque 4+1=5, nous arrivons à l'expression suivante (4+5−1)−1. Encore une fois, nous effectuons les actions entre parenthèses : 4+5−1=8, tandis que nous arrivons à la différence 8−1, qui est égale à 7.
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L'ordre dans lequel les opérations sont effectuées dans les expressions avec des racines, des puissances, des logarithmes et d'autres fonctions
Si l'expression comprend des puissances, des racines, des logarithmes, des sinus, des cosinus, des tangentes et des cotangentes, ainsi que d'autres fonctions, leurs valeurs sont calculées avant d'effectuer d'autres actions, tout en tenant compte des règles des paragraphes précédents qui spécifient la ordre dans lequel les actions sont effectuées. En d'autres termes, les choses énumérées, grosso modo, peuvent être considérées comme entre parenthèses, et nous savons que les actions entre parenthèses sont effectuées en premier.
Prenons des exemples.
Effectuez les opérations dans l'expression (3+1) 2+6 2:3−7.
Cette expression contient une puissance de 6 2 , sa valeur doit être calculée avant d'effectuer la suite des étapes. Donc, nous effectuons l'exponentiation: 6 2 \u003d 36. Nous substituons cette valeur dans l'expression originale, elle prendra la forme (3+1) 2+36:3−7.
Ensuite, tout est clair: nous effectuons des actions entre parenthèses, après quoi il reste une expression sans parenthèses, dans laquelle, dans l'ordre de gauche à droite, nous effectuons d'abord la multiplication et la division, puis l'addition et la soustraction. Nous avons (3+1) 2+36:3−7=4 2+36:3−7=8+12−7=13.
(3+1) 2+6 2:3−7=13.
D'autres, y compris plus exemples complexes effectuer des actions dans des expressions avec des racines, des degrés, etc., vous pouvez voir le calcul des valeurs d'expression dans l'article.
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Premiers pas s'appellent addition et soustraction, et multiplication et division s'appellent actions de deuxième étape.
- Mathématiques: études. pour 5 cellules. enseignement général institutions / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartburd. - 21e éd., effacé. — M. : Mnemozina, 2007. — 280 p. : ill. ISBN 5-346-00699-0.
Ecrire le système d'équations algébriques linéaires sous forme générale
Qu'est-ce qu'une solution SLAE ?
La solution d'un système d'équations est un ensemble de n nombres,
Quand qui est substitué dans le système, chaque équation devient une identité.
Quel système est appelé conjoint (non conjoint) ?
Un système d'équations est dit cohérent s'il admet au moins une solution.
Un système est dit incohérent s'il n'a pas de solutions.
Quel système est appelé défini (indéfini) ?
Un système joint est dit défini s'il admet une solution unique.
Un système joint est dit indéterminé s'il a plus d'une solution.
Forme matricielle d'écriture d'un système d'équations
Rang du système vectoriel
Le rang d'un système de vecteurs est le nombre maximal de vecteurs linéairement indépendants.
Rang matriciel et moyens de le trouver
Rang matriciel- le plus élevé des ordres des mineurs de cette matrice dont le déterminant est différent de zéro.
La première méthode, la méthode des bordures, est la suivante :
Si tous les mineurs sont du 1er ordre, c'est-à-dire les éléments de la matrice sont égaux à zéro, alors r=0 .
Si au moins un des mineurs du 1er ordre n'est pas égal à zéro, et que tous les mineurs du 2ème ordre sont égaux à zéro, alors r=1.
Si le mineur de 2e ordre est différent de zéro, alors nous étudions les mineurs de 3e ordre. De cette manière, le mineur d'ordre k est trouvé et on vérifie si les mineurs d'ordre k+1 ne sont pas égaux à zéro.
Si tous les mineurs d'ordre k+1 sont égaux à zéro, alors le rang de la matrice est égal au nombre k. Ces mineurs d'ordre k + 1 sont généralement trouvés en "bordant" le mineur d'ordre k-ième.
La deuxième méthode pour déterminer le rang d'une matrice consiste à appliquer des transformations élémentaires de la matrice lorsqu'elle est élevée à une forme diagonale. Le rang d'une telle matrice est égal au nombre d'éléments diagonaux non nuls.
Solution générale d'un système inhomogène d'équations linéaires, ses propriétés.
Propriété 1. La somme de toute solution d'un système d'équations linéaires et de toute solution du système homogène correspondant est une solution du système d'équations linéaires.
Propriété 2.
Systèmes d'équations linéaires : concepts de base
La différence de deux solutions quelconques d'un système inhomogène d'équations linéaires est une solution du système homogène correspondant.
Méthode de Gauss pour résoudre SLAE
Sous-séquence :
1) une matrice développée du système d'équations est compilée
2) à l'aide de transformations élémentaires, la matrice est réduite à une forme d'étape
3) le rang de la matrice étendue du système et le rang de la matrice du système sont déterminés et le pacte de compatibilité ou d'incompatibilité du système est établi
4) en cas de compatibilité, le système d'équations équivalent s'écrit
5) la solution du système est trouvée. Les principales variables sont exprimées en termes de
Théorème de Kronecker-Capelli
Théorème de Kronecker - Capelli- critère de compatibilité du système d'équations algébriques linéaires :
Un système d'équations algébriques linéaires est cohérent si et seulement si le rang de sa matrice principale est égal au rang de sa matrice étendue, et le système a une solution unique si le rang est égal au nombre d'inconnues, et un nombre infini de solutions si le rang est inférieur au nombre d'inconnues.
Pour qu'un système linéaire soit cohérent, il faut et il suffit que le rang de la matrice étendue de ce système soit égal au rang de sa matrice principale.
Quand le système n'a-t-il pas de solution, quand a-t-il une seule solution, a-t-il plusieurs solutions ?
Si le nombre d'équations du système est égal au nombre de variables inconnues et que le déterminant de sa matrice principale n'est pas égal à zéro, alors ces systèmes d'équations ont une solution unique, et dans le cas d'un système homogène, tout inconnu les variables sont égales à zéro.
Un système d'équations linéaires qui a au moins une solution est dit cohérent. Sinon, c'est-à-dire si le système n'a pas de solutions, alors il est dit incohérent.
Une équation linéaire est dite cohérente si elle a au moins une solution, et incohérente s'il n'y a pas de solution. Dans l'exemple 14 le système est compatible, la colonne est sa solution :
Cette solution peut aussi s'écrire sans matrices : x = 2, y = 1.
Un système d'équations sera dit indéfini s'il a plus d'une solution, et défini si la solution est unique.
Exemple 15. Le système est indéterminé. Par exemple, ... sont ses solutions. Le lecteur peut trouver de nombreuses autres solutions à ce système.
Formules reliant les coordonnées des vecteurs dans les anciennes et les nouvelles bases
Apprenons d'abord à résoudre des systèmes d'équations linéaires dans un cas particulier. Un système d'équations AX = B sera appelé Cramer si sa matrice principale А est carrée et non dégénérée. En d'autres termes, le nombre d'inconnues dans le système cramérien coïncide avec le nombre d'équations et |A| = 0.
Théorème 6 (règle de Cramer). Le système d'équations linéaires de Cramer a une solution unique donnée par les formules :
où ∆ = |A| est le déterminant de la matrice principale, Δi est le déterminant obtenu à partir de A en remplaçant la ième colonne par une colonne de termes libres.
On va faire la preuve pour n = 3, puisque dans le cas général les arguments sont similaires.
Donc, il existe un système Cramer :
Supposons d'abord qu'il existe une solution au système, c'est-à-dire qu'il existe
Multiplions le premier. égalité sur le complément algébrique de l'élément aii, la deuxième égalité - sur A2i, la troisième - sur A3i et additionner les égalités résultantes :
Système d'équations linéaires ~ Système solution ~ Systèmes cohérents et incohérents ~ Système homogène ~ Consistance d'un système homogène ~ Rang de la matrice du système ~ Condition de compatibilité non triviale ~ Système fondamental de solutions. Solution générale ~ Etude d'un système homogène
Considérez le système méquations algébriques linéaires par rapport à n inconnue
x 1 , x 2 , …, x n :
Décision le système est appelé la totalité n valeurs inconnues
x 1 \u003d x' 1, x 2 \u003d x' 2, ..., x n \u003d x' n,
lors de la substitution de laquelle toutes les équations du système se transforment en identités.
Le système d'équations linéaires peut s'écrire sous forme matricielle :
où UN- matrice système, b- partie droite, X- la solution souhaitée App - matrice élargie systèmes :
.
Un système qui a au moins une solution est appelé découper; système qui n'a pas de solution incompatible.
Un système homogène d'équations linéaires est un système dont le côté droit est égal à zéro :
Vue matricielle d'un système homogène : hache=0.
Un système homogène est toujours cohérent, puisque tout système linéaire homogène admet au moins une solution :
x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0, ..., x n \u003d 0.
Si un système homogène a une solution unique, alors cette solution unique est nulle et le système est appelé trivialement joint. Si un système homogène a plus d'une solution, alors il y a des solutions non nulles parmi elles, et dans ce cas le système est appelé jointure non triviale.
Il a été prouvé que lorsque m=n pour une compatibilité système non triviale nécessaire et suffisant de sorte que le déterminant de la matrice du système est égal à zéro.
EXEMPLE 1. Compatibilité non triviale d'un système homogène d'équations linéaires avec une matrice carrée.
En appliquant l'algorithme d'élimination gaussienne à la matrice du système, nous réduisons la matrice du système à la forme en escalier
.
Numéro r les lignes non nulles sous la forme échelonnée d'une matrice sont appelées rang matriciel, dénoter
r=rg(A) ou r=Rg(A).
L'assertion suivante est vraie.
Système d'équations algébriques linéaires
Pour qu'un système homogène soit non trivialement cohérent, il faut et il suffit que le rang r la matrice du système était inférieure au nombre d'inconnues n.
EXEMPLE 2. Compatibilité non triviale d'un système homogène de trois équations linéaires à quatre inconnues.
Si un système homogène est non trivialement cohérent, alors il a un nombre infini de solutions, et une combinaison linéaire de toutes les solutions du système est également sa solution.
On prouve que parmi l'ensemble infini des solutions d'un système homogène, exactement n-r solutions linéairement indépendantes.
Agrégat n-r les solutions linéairement indépendantes d'un système homogène sont appelées système de décision fondamental. Toute solution du système est exprimée linéairement en fonction du système fondamental. Ainsi, si le rang r matrices UN homogène système linéaire hache=0 moins d'inconnues n et vecteurs
e 1 , e 2 , …, e n-r forment son système fondamental de solutions ( Ae i =0, i=1,2, …, n-r), alors toute solution X systèmes hache=0 peut s'écrire sous la forme
x=c 1 e 1 + c 2 e 2 + … + c n-r e n-r ,
où c 1 , c 2 , …, c n-r sont des constantes arbitraires. L'expression écrite s'appelle solution commune système homogène .
Rechercher
système homogène signifie établir s'il est cohérent de manière non triviale, et si c'est le cas, alors trouver un système fondamental de solutions et écrire une expression pour la solution générale du système.
Nous étudions un système homogène par la méthode de Gauss.
matrice du système homogène étudié, dont le rang est r< n .
Une telle matrice est réduite par l'élimination gaussienne à la forme étagée
.
Le système équivalent correspondant a la forme
De là, il est facile d'obtenir des expressions pour les variables x 1 , x 2 , …, x rà travers x r+1 , x r+2 , …, x n. variables
x 1 , x 2 , …, x r appelé variables de base et variables x r+1 , x r+2 , …, x n - variables libres.
En transférant les variables libres sur le côté droit, on obtient les formules
qui déterminent la solution globale du système.
Fixons successivement les valeurs des variables libres égales à
et calculer les valeurs correspondantes des variables de base. Reçu n-r les solutions sont linéairement indépendantes et forment donc un système fondamental de solutions du système homogène étudié :
Etude d'un système homogène pour la compatibilité par la méthode de Gauss.
Le système s'appelle découper, ou soluble s'il a au moins une solution. Le système s'appelle incompatible, ou insoluble s'il n'a pas de solutions.
SLAE défini, indéfini.
Si un SLAE a une solution et est unique, alors il est appelé certain et si la solution n'est pas unique, alors incertain.
ÉQUATIONS MATRICIELLES
Les matrices permettent d'écrire brièvement un système d'équations linéaires. Soit un système de 3 équations à trois inconnues :
Considérons la matrice du système 
et les colonnes matricielles des membres inconnus et libres 
Trouvons le produit 
ceux. par suite du produit, on obtient les membres gauches des équations de ce système. Ensuite, en utilisant la définition de l'égalité matricielle, ce système peut être écrit comme
ou plus court UN∙X=B.
Ici les matrices UN et B sont connus, et la matrice X inconnue. Elle doit être trouvée, parce que. ses éléments sont la solution de ce système. Cette équation s'appelle équation matricielle.
Soit le déterminant de la matrice différent de zéro | UN| ≠ 0. Ensuite, l'équation matricielle est résolue de la manière suivante. Multipliez les deux côtés de l'équation de gauche par la matrice A-1, l'inverse de la matrice UN: . Parce que le A -1 A = E et E∙X=X, on obtient alors la solution de l'équation matricielle sous la forme X = A -1 B .
A noter que depuis matrice inverse ne peut être trouvé que pour les matrices carrées, alors la méthode matricielle ne peut résoudre que les systèmes dans lesquels le nombre d'équations est égal au nombre d'inconnues.
Les formules de Cramer
La méthode de Cramer consiste à trouver successivement identifiant du système maître, c'est à dire. déterminant de la matrice A : D = det (a i j) et n déterminants auxiliaires D i (i= ), qui sont obtenus à partir du déterminant D en remplaçant la i-ème colonne par une colonne de termes libres.
Les formules de Cramer ressemblent à : D × x i = D i (i = ).
De là découle la règle de Cramer, qui donne une réponse exhaustive à la question de la compatibilité du système : si le déterminant principal du système est non nul, alors le système a une solution unique, déterminée par les formules : x i = D i / D.
Si le déterminant principal du système D et tous les déterminants auxiliaires D i = 0 (i= ), alors le système a un nombre infini de solutions. Si le déterminant principal du système D = 0, et au moins un déterminant auxiliaire est différent de zéro, alors le système est incohérent.
Théorème (règle de Cramer): Si le déterminant du système est Δ ≠ 0, alors le système considéré a une et une seule solution, et 
Preuve : Considérons donc un système de 3 équations à trois inconnues. Multiplier la 1ère équation du système par le complément algébrique Un 11élément un 11, 2ème équation - sur A21 et 3ème - le Un 31:
Ajoutons ces équations :
Considérez chacune des parenthèses et le côté droit de cette équation. D'après le théorème sur le développement du déterminant en fonction des éléments de la 1ère colonne.
De même, on peut montrer que et .
Enfin, il est facile de voir que 
Ainsi, on obtient l'égalité : . Par conséquent, .
Les égalités et se dérivent de la même manière, d'où l'assertion du théorème.
Théorème de Kronecker-Capelli.
Un système d'équations linéaires est cohérent si et seulement si le rang de la matrice du système est égal au rang de la matrice augmentée.
Preuve: Il se décompose en deux étapes.
1. Laissez le système avoir une solution. Montrons cela.
Soit l'ensemble des nombres 
est la solution du système. Désignons par la -ième colonne de la matrice , 
. Alors , c'est-à-dire que la colonne des termes libres est une combinaison linéaire des colonnes de la matrice . Laisser . Faisons comme si 
. Puis par 
. Nous choisissons dans la mineure de base. Il a de l'ordre. La colonne des membres libres doit passer par ce mineur, sinon ce sera le mineur de base de la matrice. La colonne des termes libres en mineur est une combinaison linéaire des colonnes de la matrice. En vertu des propriétés du déterminant , où est le déterminant obtenu à partir du mineur en remplaçant la colonne des termes libres par la colonne . Si la colonne est passée par le mineur M, alors dans , il y aura deux colonnes identiques et donc . Si la colonne n'est pas passée par le mineur, alors elle ne différera du mineur d'ordre r + 1 de la matrice que par l'ordre des colonnes. Depuis . Ainsi, ce qui contredit la définition d'une base mineure. Par conséquent, l'hypothèse selon laquelle , est fausse.
2. Laissez . Montrons que le système admet une solution. Puisque , alors la base mineure de la matrice est la base mineure de la matrice . Laissez les colonnes passer par le mineur 
. Ensuite, d'après le théorème mineur de base dans une matrice, la colonne de termes libres est une combinaison linéaire des colonnes indiquées :
| (1) |
Nous posons , , , , et prenons les inconnues restantes égales à zéro. Alors pour ces valeurs on obtient
En vertu de l'égalité (1) . La dernière égalité signifie que l'ensemble des nombres 
est la solution du système. L'existence d'une solution est prouvée.
Dans le système décrit ci-dessus 
, et le système est cohérent. Dans le système , , et le système est incohérent.
Remarque : Bien que le théorème de Kronecker-Capelli permette de déterminer si un système est cohérent, il est assez rarement utilisé, principalement dans études théoriques. La raison en est que les calculs effectués lors de la recherche du rang d'une matrice sont fondamentalement les mêmes que les calculs lors de la recherche d'une solution au système. Par conséquent, généralement au lieu de trouver et , on cherche une solution au système. S'il peut être trouvé, alors nous apprenons que le système est cohérent et obtenons simultanément sa solution. Si aucune solution ne peut être trouvée, nous concluons que le système est incohérent.
Algorithme pour trouver des solutions à un système arbitraire d'équations linéaires (méthode de Gauss)
Soit un système d'équations linéaires à inconnues. Il est nécessaire de trouver sa solution générale si elle est cohérente, ou d'établir son incohérence. La méthode qui sera présentée dans cette section est proche de la méthode de calcul du déterminant et de la méthode de recherche du rang d'une matrice. L'algorithme proposé s'appelle Méthode de Gauss ou méthode d'élimination successive des inconnues.
Écrivons la matrice augmentée du système
On appelle les opérations suivantes avec matrices opérations élémentaires :
1. permutation des lignes ;
2. multiplier une chaîne par un nombre non nul ;
3. addition d'une chaîne avec une autre chaîne multipliée par un nombre.
Notez que lors de la résolution d'un système d'équations, contrairement au calcul du déterminant et à la recherche du rang, on ne peut pas opérer avec des colonnes. Si le système d'équations est restauré à partir de la matrice obtenue en effectuant une opération élémentaire, alors le nouveau système sera équivalent à celui d'origine.
Le but de l'algorithme est, en appliquant une séquence d'opérations élémentaires à la matrice, de s'assurer que chaque ligne, sauf peut-être la première, commence par des zéros, et que le nombre de zéros jusqu'au premier élément non nul de chaque élément suivant rangée est supérieure à la précédente.
Le pas de l'algorithme est le suivant. Trouvez la première colonne non nulle de la matrice. Soit une colonne avec un nombre . Nous y trouvons un élément non nul et échangeons la ligne avec cet élément avec la première ligne. Afin de ne pas accumuler de notation supplémentaire, nous supposerons qu'un tel changement de lignes dans la matrice a déjà été effectué, c'est-à-dire . Ensuite, à la deuxième ligne, nous ajoutons le premier multiplié par le nombre, à la troisième ligne, nous ajoutons le premier multiplié par le nombre, etc. En conséquence, nous obtenons la matrice
(Les premières colonnes nulles sont généralement manquantes.)
Si la matrice a une ligne avec le numéro k, dans laquelle tous les éléments sont égaux à zéro, et , alors nous arrêtons l'exécution de l'algorithme et concluons que le système est incohérent. En effet, en restaurant le système d'équations à partir de la matrice étendue, on obtient que la -ième équation aura la forme 
Cette équation ne satisfait aucun ensemble de nombres 
.
La matrice peut s'écrire sous la forme 
En ce qui concerne la matrice, nous effectuons l'étape décrite de l'algorithme. Obtenir la matrice
où , . Cette matrice peut encore s'écrire sous la forme
et l'étape ci-dessus de l'algorithme est à nouveau appliquée à la matrice.
Le processus s'arrête si après l'exécution de l'étape suivante la nouvelle matrice réduite ne contient que des zéros ou si toutes les lignes sont épuisées. Notez que la conclusion sur l'incompatibilité du système pourrait arrêter le processus encore plus tôt.
Si nous ne réduisions pas la matrice, nous arriverions finalement à une matrice de la forme
Ensuite, la passe dite inverse de la méthode gaussienne est effectuée. Sur la base de la matrice, nous composons un système d'équations. Sur le côté gauche, nous laissons les inconnues avec des nombres correspondant aux premiers éléments non nuls de chaque ligne, c'est-à-dire . Remarquerez que . Les inconnues restantes sont transférées sur le côté droit. Considérant que les inconnues du côté droit sont des quantités fixes, il est facile d'exprimer les inconnues du côté gauche en fonction de celles-ci.
Maintenant, en donnant des valeurs arbitraires aux inconnues du côté droit et en calculant les valeurs des variables du côté gauche, nous trouverons diverses solutions au système original Ax=b. Pour écrire la solution générale, il est nécessaire de désigner les inconnues du côté droit dans n'importe quel ordre par des lettres 
, y compris les inconnues qui ne sont pas explicitement écrites sur le côté droit en raison de coefficients nuls, puis la colonne d'inconnues peut être écrite sous forme de colonne, où chaque élément est une combinaison linéaire de valeurs arbitraires 
(en particulier, juste une valeur arbitraire). Cette entrée sera la solution générale du système.
Si le système était homogène, alors on obtient la solution générale du système homogène. Les coefficients de , pris dans chaque élément de la colonne de la solution générale, constitueront la première solution du système fondamental des solutions, les coefficients de , la deuxième solution, etc.
Méthode 2 : Le système fondamental de solutions d'un système homogène peut être obtenu d'une autre manière. Pour ce faire, une variable, transférée sur le côté droit, doit recevoir la valeur 1 et le reste - des zéros. En calculant les valeurs des variables du côté gauche, nous obtenons une solution du système fondamental. En attribuant la valeur 1 à l'autre variable du côté droit, et des zéros aux autres, on obtient la deuxième solution du système fondamental, et ainsi de suite.
Définition: le système est appelé conjointementème, s'il a au moins une solution, et incohérent - sinon, c'est-à-dire dans le cas où le système n'a pas de solutions. La question de savoir si un système a une solution ou non n'est pas seulement liée au rapport du nombre d'équations et du nombre d'inconnues. Par exemple, un système de trois équations à deux inconnues
 |
a une solution , et a même une infinité de solutions, mais un système de deux équations à trois inconnues.
……. … ……
Une m 1 x 1 + … + une mn x n = 0
Ce système toujours compatible puisqu'il admet une solution triviale x 1 =…=x n =0
Pour que des solutions non triviales existent, il faut et il suffit que
condition r = r(A)< n , что равносильно условию det(A)=0, когда матрица А – квадратная.
E L'ensemble des solutions SLAE forme un espace linéaire de dimension (n-r). Cela signifie que le produit de sa solution par un nombre, ainsi que la somme et la combinaison linéaire d'un nombre fini de ses solutions, sont des solutions de ce système. L'espace de solution linéaire de tout SLAE est un sous-espace de l'espace R n .
Tout ensemble de (n-r) solutions linéairement indépendantes d'un SLAE (qui est une base dans l'espace des solutions) est appelé ensemble fondamental de solutions (FSR).
Soient х 1 ,…,х r des inconnues de base, х r +1 ,…,х n des inconnues libres. Nous donnons tour à tour les valeurs suivantes aux variables libres :
……. … ……
Une m 1 x 1 + … + une mn x n = 0
Forme un espace linéaire S (espace des solutions), qui est un sous-espace dans R n (n est le nombre d'inconnues), et dims=k=n-r, où r est le rang du système. La base dans l'espace des solutions (x (1) ,…, x (k) ) est appelée le système fondamental de solutions, et la solution générale est de la forme:
X=c 1 X (1) + … + c k X (k) , c (1) ,…, c (k) ? R