Méthodes pour trouver la matrice inverse. Façons de trouver la matrice inverse
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Considérons le problème de la définition de l'opération inverse de la multiplication matricielle.
Soit A une matrice carrée d'ordre n. Matrice A^(-1) , qui, avec la matrice A donnée, satisfait les égalités suivantes :
A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E,
appelé inverse. La matrice A est appelée réversible, s'il existe un inverse, sinon - irréversible.
Il découle de la définition que si une matrice inverse A^(-1) existe, alors elle est carrée du même ordre que A . Cependant, toutes les matrices carrées n'ont pas d'inverse. Si le déterminant de la matrice A est égal à zéro (\det(A)=0) , alors il n'y a pas d'inverse pour lui. En effet, en appliquant le théorème sur le déterminant du produit de matrices pour la matrice identité E=A^(-1)A, on obtient une contradiction
\det(E)=\det(A^(-1)\cdot A)=\det(A^(-1))\det(A)=\det(A^(-1))\cdot0=0
puisque le déterminant de la matrice identité est égal à 1. Il s'avère que la différence à zéro du déterminant de la matrice carrée est la seule condition d'existence d'une matrice inverse. Rappelons qu'une matrice carrée dont le déterminant est égal à zéro est appelée dégénérée (singulière), sinon - non singulière (non singulière).
Théorème 4.1 sur l'existence et l'unicité de la matrice inverse. Matrice Carrée A=\begin(pmatrix)a_(11)&\cdots&a_(1n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_(n1)&\cdots&a_(nn) \end(pmatrix), dont le déterminant est non nul, a une matrice inverse et, de plus, une seule :
A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot\ ! \begin(pmatrix)A_(11)&A_(21)&\cdots&A_(1n)\\ A_(12)&A_(22)&\cdots&A_(n2)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_(1n )&A_(2n)&\cdots&A_(nn) \end(pmatrix)= \frac(1)(\det(A))\cdot A^(+),
où A^(+) est la matrice transposée pour la matrice composée des compléments algébriques des éléments de la matrice A .
La matrice A^(+) est appelée matrice jointe par rapport à la matrice A .
En effet, la matrice \frac(1)(\det(A))\,A^(+) existe sous la condition \det(A)\ne0 . Il faut montrer qu'il est inverse de A , c'est-à-dire satisfait à deux conditions :
\begin(aligned)\mathsf(1))&~A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)=E;\\ \mathsf (2))&~ \!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)\!\cdot A=E.\end(aligned)
Démontrons la première égalité. D'après le point 4 des Remarques 2.3, il résulte des propriétés du déterminant que AA^(+)=\det(A)\cdot E. C'est pourquoi
A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)= \frac(1)(\det(A))\cdot AA^(+) = \frac(1)(\det(A))\cdot \det(A)\cdot E=E,
qui devait être montré. La seconde égalité se démontre de la même façon. Donc, sous la condition \det(A)\ne0, la matrice A admet une inverse
A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+).
Nous prouvons l'unicité de la matrice inverse par contradiction. Soit en plus de la matrice A^(-1) il existe une autre matrice inverse B\,(B\ne A^(-1)) telle que AB=E . En multipliant les deux côtés de cette égalité à gauche par la matrice A^(-1) , on obtient \underbrace(A^(-1)AB)_(E)=A^(-1)E. D'où B=A^(-1) , ce qui contredit l'hypothèse B\ne A^(-1) . Par conséquent, la matrice inverse est unique.
Remarques 4.1
1. Il résulte de la définition que les matrices A et A^(-1) sont permutables.
2. La matrice inverse d'une diagonale non dégénérée est aussi diagonale :
\Bigl[\operatorname(diag)(a_(11),a_(22),\ldots,a_(nn))\Bigr]^(-1)= \operatorname(diag)\!\left(\frac(1 )(a_(11)),\,\frac(1)(a_(22)),\,\ldots,\,\frac(1)(a_(nn))\right)\!.
3. La matrice inverse d'une matrice triangulaire inférieure (supérieure) non dégénérée est triangulaire inférieure (supérieure).
4. Les matrices élémentaires ont des inverses, qui sont également élémentaires (voir point 1 des Remarques 1.11).
Propriétés de la matrice inverse
L'opération d'inversion de matrice a les propriétés suivantes :
\begin(aligned)\bold(1.)&~~ (A^(-1))^(-1)=A\,;\\ \bold(2.)&~~ (AB)^(-1 )=B^(-1)A^(-1)\,;\\ \bold(3.)&~~ (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T\ ,;\\ \bold(4.)&~~ \det(A^(-1))=\frac(1)(\det(A))\,;\\ \bold(5.)&~~ E^(-1)=E\,. \end(aligné)
si les opérations indiquées dans les égalités 1-4 ont un sens.
Démontrons la propriété 2 : si le produit AB de matrices carrées non singulières du même ordre a une matrice inverse, alors (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1).
En effet, le déterminant du produit des matrices AB n'est pas égal à zéro, puisque
\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B), où \det(A)\ne0,~\det(B)\ne0
Par conséquent, la matrice inverse (AB)^(-1) existe et est unique. Montrons par définition que la matrice B^(-1)A^(-1) est inverse par rapport à la matrice AB . Vraiment.
Méthodes pour trouver la matrice inverse, . Considérons une matrice carrée
Notons Δ = det A.
La matrice carrée A est appelée non dégénéré, ou non spécial si son déterminant est non nul, et dégénérer, ou spécial, siΔ = 0.
Une matrice carrée B existe pour une matrice carrée A de même ordre si leur produit A B = B A = E, où E est la matrice identité de même ordre que les matrices A et B.
Théorème . Pour que la matrice A ait une matrice inverse, il faut et il suffit que son déterminant soit non nul.
Matrice inverse à la matrice A, notée A- 1 donc B = A - 1 et est calculé par la formule
, (1)
où А i j - compléments algébriques des éléments a i j de la matrice A..
Le calcul de A -1 par la formule (1) pour les matrices d'ordre élevé est très laborieux, donc en pratique, il est pratique de trouver A -1 en utilisant la méthode des transformations élémentaires (EP). Toute matrice non singulière A peut être réduite par l'EP de colonnes uniquement (ou uniquement de lignes) à la matrice d'identité E. Si les EP effectués sur la matrice A sont appliqués dans le même ordre à la matrice d'identité E, alors le résultat est une matrice inverse. Il est pratique d'effectuer un EP sur les matrices A et E simultanément, en écrivant les deux matrices côte à côte sur la ligne. Notons encore une fois que lors de la recherche de la forme canonique d'une matrice, pour la trouver, on peut utiliser des transformations de lignes et de colonnes. Si vous avez besoin de trouver la matrice inverse, vous devez utiliser uniquement des lignes ou uniquement des colonnes dans le processus de transformation.
Exemple 2.10. Pour matrice 
trouver A -1 .
La solution.On trouve d'abord le déterminant de la matrice A 
donc la matrice inverse existe et on peut la trouver par la formule : 
, où A i j (i,j=1,2,3) - compléments algébriques des éléments a i j de la matrice d'origine. 
Où 
.
Exemple 2.11. En utilisant la méthode des transformations élémentaires, trouver A -1 pour la matrice : A=.
La solution.Nous attribuons une matrice identité du même ordre à la matrice originale de droite : 
. À l'aide de transformations de colonne élémentaires, nous réduisons la «moitié» gauche à l'identité, en effectuant simultanément exactement ces transformations sur la matrice de droite.
Pour ce faire, permutez les première et deuxième colonnes : 
~
. Nous ajoutons la première à la troisième colonne, et la première multipliée par -2 à la seconde : 
. De la première colonne, nous soustrayons la seconde doublée et de la troisième - la seconde multipliée par 6; 
. Ajoutons la troisième colonne à la première et à la deuxième : 
. Multipliez la dernière colonne par -1 : 
. La matrice carrée obtenue à droite de la barre verticale est la matrice inverse de la matrice donnée A. Ainsi,
.
Une matrice inverse pour une donnée est une telle matrice, multiplication de celle d'origine par laquelle donne une matrice identité: Une condition obligatoire et suffisante pour la présence d'une matrice inverse est l'inégalité du déterminant de celle d'origine (qui implique à son tour que la matrice doit être carrée). Si le déterminant d'une matrice est égal à zéro, alors elle est dite dégénérée et une telle matrice n'a pas d'inverse. En mathématiques supérieures, les matrices inverses sont importantes et sont utilisées pour résoudre un certain nombre de problèmes. Par exemple, sur trouver la matrice inverse une méthode matricielle pour résoudre des systèmes d'équations est construite. Notre site de service permet calculer l'inverse de la matrice en ligne deux méthodes : la méthode de Gauss-Jordan et utilisant la matrice des additions algébriques. La première implique un grand nombre de transformations élémentaires à l'intérieur de la matrice, la seconde - le calcul des additions déterminantes et algébriques à tous les éléments. Pour calculer le déterminant d'une matrice en ligne, vous pouvez utiliser notre autre service - Calculer le déterminant d'une matrice en ligne
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Nous continuons à parler d'actions avec des matrices. À savoir, au cours de l'étude de cette conférence, vous apprendrez à trouver la matrice inverse. Apprendre. Même si le calcul est serré.
Qu'est-ce qu'une matrice inverse ? Ici, nous pouvons faire une analogie avec les réciproques : considérons, par exemple, le nombre optimiste 5 et sa réciproque. Le produit de ces nombres est égal à un : . C'est pareil avec les matrices ! Le produit d'une matrice et de son inverse est - matrice d'identité, qui est l'analogue matriciel de l'unité numérique. Cependant, tout d'abord, nous allons résoudre un problème pratique important, à savoir, nous allons apprendre à trouver cette matrice très inverse.
Que devez-vous savoir et être capable de trouver la matrice inverse ? Vous devez pouvoir décider déterminants. Vous devez comprendre ce qui est matrice et pouvoir effectuer certaines actions avec eux.
Il existe deux méthodes principales pour trouver la matrice inverse :
en utilisant additions algébriques et en utilisant des transformations élémentaires.
Aujourd'hui, nous allons étudier le premier moyen plus simple.
Commençons par le plus terrible et incompréhensible. Envisager carré matrice . La matrice inverse peut être trouvée en utilisant la formule suivante:
Où est le déterminant de la matrice , est la matrice transposée des compléments algébriques des éléments correspondants de la matrice .
Le concept de matrice inverse n'existe que pour les matrices carrées, matrices "deux par deux", "trois par trois", etc.
Notation: Comme vous l'avez probablement déjà remarqué, l'inverse d'une matrice est noté par un exposant
Commençons par le cas le plus simple - une matrice deux par deux. Le plus souvent, bien sûr, "trois par trois" est requis, mais néanmoins, je recommande fortement d'étudier une tâche plus simple afin d'apprendre principe général solutions.
Exemple:
Trouver l'inverse d'une matrice
Nous décidons. La séquence d'actions est commodément décomposée en points.
1) On trouve d'abord le déterminant de la matrice.
Si la compréhension de cette action n'est pas bonne, lisez le matériel Comment calculer le déterminant ?
Important! Si le déterminant de la matrice est ZÉRO– matrice inverse N'EXISTE PAS.
Dans l'exemple considéré, il s'est avéré, , ce qui signifie que tout est en ordre.
2) Trouver la matrice des mineurs.
Pour résoudre notre problème, il n'est pas nécessaire de savoir ce qu'est un mineur, cependant, il est conseillé de lire l'article Comment calculer le déterminant.
La matrice des mineurs a les mêmes dimensions que la matrice , c'est-à-dire dans ce cas .
Le boîtier est petit, il reste à trouver quatre chiffres et à les mettre à la place des astérisques.
Retour à notre matrice
Regardons d'abord l'élément en haut à gauche :
Comment le trouver mineure?
Et cela se fait comme ceci: barrez MENTALEMENT la ligne et la colonne dans lesquelles se trouve cet élément:
Le nombre restant est mineur de l'élément donné, que nous écrivons dans notre matrice des mineurs :
Considérez l'élément de matrice suivant :
Barrez mentalement la ligne et la colonne dans lesquelles se trouve cet élément :
Ce qui reste est le mineur de cet élément, que nous écrivons dans notre matrice :
De même, nous considérons les éléments de la deuxième ligne et trouvons leurs mineurs :
Prêt.
C'est simple. Dans la matrice des mineurs, vous devez CHANGER LES SIGNES pour deux nombres :
Ce sont ces chiffres que j'ai encerclés !
est la matrice des compléments algébriques des éléments correspondants de la matrice .
Et juste quelque chose…
4) Trouver la matrice transposée des additions algébriques.
est la matrice transposée des compléments algébriques des éléments correspondants de la matrice .
5) Répondre.
N'oubliez pas notre formule
Tout trouvé !
Donc la matrice inverse est : 
Il est préférable de laisser la réponse telle quelle. CE N'EST PAS NÉCESSAIRE divisez chaque élément de la matrice par 2, car des nombres fractionnaires seront obtenus. Cette nuance est discutée plus en détail dans le même article. Actions avec des matrices.
Comment vérifier la solution ?
La multiplication matricielle doit être effectuée soit
Examen: 
déjà mentionné matrice d'identité est une matrice avec des unités sur diagonale principale et des zéros ailleurs.
Ainsi, la matrice inverse est trouvée correctement.
Si vous effectuez une action, le résultat sera également une matrice d'identité. C'est l'un des rares cas où la multiplication matricielle est permutable, plus d'informations peuvent être trouvées dans l'article Propriétés des opérations sur les matrices. Expressions matricielles. Notez également que lors de la vérification, la constante (fraction) est avancée et traitée à la toute fin - après la multiplication de la matrice. C'est une prise standard.
Passons à un cas plus courant dans la pratique - la matrice trois par trois :
Exemple:
Trouver l'inverse d'une matrice 
L'algorithme est exactement le même que pour le cas deux par deux.
On trouve la matrice inverse par la formule : , où est la matrice transposée des compléments algébriques des éléments correspondants de la matrice .
1) Trouvez le déterminant de la matrice.
Ici, le déterminant est révélé sur la première ligne.
N'oubliez pas non plus que, ce qui signifie que tout va bien - la matrice inverse existe.
2) Trouver la matrice des mineurs.
La matrice des mineurs a la dimension "trois par trois" 
, et nous devons trouver neuf nombres.
Je vais jeter un oeil à quelques mineurs en détail:
Considérez l'élément de matrice suivant : 
Barrez MENTALEMENT la ligne et la colonne dans lesquelles se trouve cet élément : 
Les quatre nombres restants sont écrits dans le déterminant "deux par deux" 
Ce déterminant deux par deux et est un mineur de l'élément donné. Il faut calculer : 
Tout, le mineur est trouvé, on l'écrit dans notre matrice de mineurs : 
Comme vous l'avez peut-être deviné, il y a neuf déterminants deux par deux à calculer. Le processus, bien sûr, est morne, mais le cas n'est pas le plus difficile, il peut être pire.
Eh bien, pour consolider - trouver un autre mineur sur les photos : 
Essayez de calculer vous-même le reste des mineurs.
Résultat final: 
est la matrice des mineurs des éléments correspondants de la matrice .
Le fait que tous les mineurs se soient avérés négatifs est une pure coïncidence.
3) Trouver la matrice des additions algébriques.
Dans la matrice des mineurs, il faut CHANGER LES SIGNES strictement pour les éléments suivants : 
Dans ce cas:
Trouver la matrice inverse pour la matrice "quatre sur quatre" n'est pas envisagé, car seul un enseignant sadique peut donner une telle tâche (pour que l'élève calcule un déterminant "quatre sur quatre" et 16 déterminants "trois sur trois") . Dans mon cabinet, il n'y a eu qu'un seul cas de ce genre, et le client travail de contrôle payé cher mon tourment =).
Dans un certain nombre de manuels, vous pouvez trouver une approche légèrement différente pour trouver la matrice inverse, mais je recommande d'utiliser l'algorithme de solution ci-dessus. Pourquoi? Parce que la probabilité de se confondre dans les calculs et les signes est bien moindre.
La matrice A -1 est appelée matrice inverse par rapport à la matrice A, si A * A -1 \u003d E, où E est la matrice d'identité du nième ordre. La matrice inverse ne peut exister que pour les matrices carrées.
Mission de service. Grâce à ce service en ligne, vous pouvez trouver des additions algébriques, la matrice transposée A T , la matrice d'union et la matrice inverse. La solution s'effectue directement sur le site (en ligne) et est gratuite. Les résultats des calculs sont présentés dans un rapport au format Word et au format Excel (c'est-à-dire qu'il est possible de vérifier la solution). voir exemple de conception.
Instruction. Pour obtenir une solution, vous devez spécifier la dimension de la matrice. Ensuite, dans la nouvelle boîte de dialogue, remplissez la matrice A .
Voir aussi Matrice inverse par la méthode Jordan-Gauss
Algorithme pour trouver la matrice inverse
- Trouver la matrice transposée A T .
- Définition des additions algébriques. Remplacez chaque élément de la matrice par son complément algébrique.
- Compilation d'une matrice inverse à partir d'additions algébriques : chaque élément de la matrice résultante est divisé par le déterminant de la matrice d'origine. La matrice résultante est l'inverse de la matrice d'origine.
- Déterminez si la matrice est carrée. Sinon, il n'y a pas de matrice inverse pour cela.
- Calcul du déterminant de la matrice A . Si elle n'est pas égale à zéro, on continue la solution, sinon, la matrice inverse n'existe pas.
- Définition des additions algébriques.
- Remplir la matrice d'union (mutuelle, adjointe) C .
- Compilation de la matrice inverse à partir d'additions algébriques : chaque élément de la matrice adjointe C est divisé par le déterminant de la matrice d'origine. La matrice résultante est l'inverse de la matrice d'origine.
- Faites une vérification : multipliez l'original et les matrices résultantes. Le résultat devrait être une matrice d'identité.
Exemple 1. On écrit la matrice sous la forme :
Ajouts algébriques.
| A 1.1 = (-1) 1+1 |
|
∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
|
∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
| A 1.3 = (-1) 1+3 |
|
∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
| A 2.1 = (-1) 2+1 |
|
∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7
| A 2.2 = (-1) 2+2 |
|
∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
| A 2.3 = (-1) 2+3 |
|
∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
| A 3.1 = (-1) 3+1 |
|
∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
| A 3.2 = (-1) 3+2 |
|
∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
| A 3.3 = (-1) 3+3 |
|
∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Alors matrice inverse peut s'écrire :
| A -1 = 1 / 10 |
|
| A -1 = |
|
Un autre algorithme pour trouver la matrice inverse
Nous présentons un autre schéma pour trouver la matrice inverse.- Trouver le déterminant de la matrice carrée donnée A .
- On trouve des additions algébriques à tous les éléments de la matrice A .
- On écrit les compléments algébriques des éléments des lignes dans les colonnes (transposition).
- On divise chaque élément de la matrice résultante par le déterminant de la matrice A .
Un cas particulier: L'inverse, par rapport à la matrice identité E , est la matrice identité E .