Intégration en intégrant le calculateur de signe différentiel. Méthode de changement de variable en intégrale indéfinie

Dans cette leçon, nous nous familiariserons avec l'une des techniques les plus importantes et les plus courantes utilisées lors de la résolution d'intégrales indéfinies : la méthode du changement de variable. La maîtrise réussie de la matière nécessite des connaissances initiales et des compétences d’intégration. S'il y a une sensation de bouilloire pleine et vide dans le calcul intégral, vous devez d'abord vous familiariser avec le matériel, où j'ai expliqué sous une forme accessible ce qu'est une intégrale et analysé en détail des exemples de base pour les débutants.

Techniquement, la méthode de remplacement des variables dans intégrale indéfinie mis en œuvre de deux manières :

– Subsumer la fonction sous le signe différentiel;
– En fait, remplacer la variable.

Il s’agit essentiellement de la même chose, mais la conception de la solution semble différente.

Commençons par un cas plus simple.

Subsumer une fonction sous le signe différentiel

À la leçon Intégrale indéfinie. Exemples de solutions nous avons appris à ouvrir le différentiel, je vous rappelle l'exemple que j'ai donné :

Autrement dit, révéler une différentielle revient formellement presque à trouver une dérivée.

Exemple 1

Effectuer une vérification.

Nous regardons le tableau des intégrales et trouvons une formule similaire : . Mais le problème est que sous le sinus se trouve non seulement la lettre « X », mais une expression complexe. Ce qu'il faut faire?

On amène la fonction sous le signe différentiel :

En ouvrant le différentiel, il est facile de vérifier que :

En fait et est un enregistrement de la même chose.

Mais néanmoins, la question restait de savoir comment en sommes-nous arrivés à l'idée qu'à la première étape, nous devions écrire notre intégrale exactement comme ceci : ? Pourquoi est-ce le cas et pas autrement ?

Formule (et toutes les autres formules de tableau) sont valides et applicables NON SEULEMENT pour la variable, mais aussi pour toute expression complexe UNIQUEMENT COMME ARGUMENT DE FONCTION( – dans notre exemple) ET L'EXPRESSION SOUS LE SIGNE DIFFÉRENTIEL ÉTAIT LE MÊME .

Par conséquent, le raisonnement mental lors de la résolution devrait ressembler à ceci : « Je dois résoudre l’intégrale. J'ai regardé dans le tableau et j'ai trouvé une formule similaire . Mais j’ai un argument complexe et je ne peux pas immédiatement utiliser la formule. Cependant, si j'arrive à le mettre sous le signe différentiel, alors tout ira bien. Si je l'écris, alors. Mais dans l'intégrale d'origine, il n'y a pas de facteur trois, donc, pour que la fonction intégrale ne change pas, je dois la multiplier par ". Au cours d'un tel raisonnement mental, l'entrée suivante naît :

Vous pouvez maintenant utiliser la formule tabulaire :

Prêt

La seule différence est que nous n’avons pas la lettre « X », mais une expression complexe.

Allons vérifier. Ouvrez le tableau des dérivées et différenciez la réponse :

La fonction intégrale d'origine a été obtenue, ce qui signifie que l'intégrale a été trouvée correctement.

Veuillez noter que lors de la vérification nous avons utilisé la règle de différenciation d'une fonction complexe . Essentiellement, en subsumant la fonction sous le signe différentiel et - ce sont deux règles mutuellement inverses.

Exemple 2

Analysons la fonction intégrande. Ici nous avons une fraction, et le dénominateur est une fonction linéaire (avec « x » à la puissance première). Nous regardons le tableau des intégrales et trouvons la chose la plus similaire : .

On amène la fonction sous le signe différentiel :

Ceux qui ont du mal à déterminer immédiatement par quelle fraction multiplier peuvent rapidement révéler le différentiel dans un brouillon : . Ouais, il s'avère que cela signifie que pour que rien ne change, je dois multiplier l'intégrale par .
Ensuite, nous utilisons la formule tabulaire :

Examen:


La fonction intégrale d'origine a été obtenue, ce qui signifie que l'intégrale a été trouvée correctement.

Exemple 3

Trouvez l'intégrale indéfinie. Effectuer une vérification.

Exemple 4

Trouvez l'intégrale indéfinie. Effectuer une vérification.

Ceci est un exemple pour décision indépendante. La réponse se trouve à la fin de la leçon.

Avec une certaine expérience dans la résolution d'intégrales, de tels exemples sembleront faciles et cliqueront comme des fous :

A la fin de ce paragraphe, je voudrais m'attarder sur le cas du « gratuit » lorsque fonction linéaire la variable est incluse avec un coefficient unitaire, par exemple :

À proprement parler, la solution devrait ressembler à ceci :

Comme vous pouvez le constater, subsumer la fonction sous le signe différentiel était « indolore », sans aucune multiplication. Par conséquent, dans la pratique, une solution aussi longue est souvent négligée et immédiatement écrite comme suit : . Mais soyez prêt, si nécessaire, à expliquer au professeur comment vous avez résolu le problème ! Parce qu’il n’y a en réalité aucune intégrale dans le tableau.

Méthode de changement de variable en intégrale indéfinie

Passons à l'examen du cas général - la méthode de changement de variables dans l'intégrale indéfinie.

Exemple 5

Trouvez l'intégrale indéfinie.

A titre d'exemple, j'ai pris l'intégrale que nous avons regardée au tout début de la leçon. Comme nous l'avons déjà dit, pour résoudre l'intégrale nous avons aimé la formule tabulaire , et je voudrais lui ramener toute l’affaire.

L'idée derrière la méthode de remplacement est de remplacer une expression complexe (ou une fonction) par une seule lettre.
Dans ce cas, il faut :
La deuxième lettre de remplacement la plus populaire est la lettre .
En principe, vous pouvez utiliser d'autres lettres, mais nous respecterons toujours les traditions.

Donc:
Mais quand on le remplace, il nous reste ! Probablement, beaucoup ont deviné que si une transition est effectuée vers une nouvelle variable, alors dans la nouvelle intégrale, tout devrait être exprimé par la lettre, et il n'y a aucune place pour une différentielle là-bas.
La conclusion logique est qu'il est nécessaire se transformer en une expression qui ne dépend que de.

L'action est la suivante. Après avoir sélectionné un remplaçant, dans cet exemple.nous devons trouver le différentiel. Avec les différentiels, je pense que tout le monde a déjà établi une amitié.

Depuis lors

Après avoir démonté le différentiel, je recommande de réécrire le résultat final le plus brièvement possible :
Maintenant, selon les règles de proportion, nous exprimons ce dont nous avons besoin :

Finalement:
Ainsi:

Et c'est déjà l'intégrale la plus tabulaire (le tableau des intégrales, bien entendu, est également valable pour la variable).

Finalement, il ne reste plus qu'à effectuer le remplacement inverse. Rappelons-le.

Prêt.

La conception finale de l’exemple considéré devrait ressembler à ceci :

“

Remplaçons :

“

L'icône n'a aucune signification mathématique ; elle signifie que nous avons interrompu la solution pour des explications intermédiaires.

Lors de la préparation d'un exemple dans un cahier, il est préférable de marquer la substitution inverse avec un simple crayon.

Attention! Dans les exemples suivants, la recherche du différentiel ne sera pas décrite en détail.

Et maintenant il est temps de rappeler la première solution :

Quelle est la différence? Il n'y a pas de différence fondamentale. C'est en fait la même chose. Mais du point de vue de la conception de la tâche, la méthode permettant de subsumer une fonction sous le signe différentiel est beaucoup plus courte..

La question se pose. Si la première méthode est plus courte, alors pourquoi utiliser la méthode de remplacement ? Le fait est que pour un certain nombre d'intégrales, il n'est pas si facile d'« adapter » la fonction au signe de la différentielle.

Exemple 6

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Faisons un remplacement : (il est difficile de penser à un autre remplacement ici)

Comme vous pouvez le constater, à la suite du remplacement, l'intégrale d'origine a été considérablement simplifiée - réduite à une fonction de puissance ordinaire. C'est le but du remplacement - simplifier l'intégrale.

Les paresseux avancés peuvent facilement résoudre cette intégrale en subsumant la fonction sous le signe différentiel :

Une autre chose est qu’une telle solution ne convient évidemment pas à tous les étudiants. De plus, déjà dans cet exemple, l'utilisation de la méthode de subsumation d'une fonction sous le signe différentiel augmente considérablement le risque de se tromper dans une décision.

Exemple 7

Trouvez l'intégrale indéfinie. Effectuer une vérification.

Exemple 8

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Remplacement:
Reste à savoir ce que cela va donner

D’accord, nous l’avons exprimé, mais que faire du « X » restant au numérateur ?!
De temps en temps, lors de la résolution d'intégrales, nous rencontrons l'astuce suivante : nous exprimerons à partir du même remplacement !

Exemple 9

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. La réponse se trouve à la fin de la leçon.

Exemple 10

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Certaines personnes ont sûrement remarqué que dans ma table de recherche, il n'y a pas de règle de remplacement de variable. Cela a été fait délibérément. La règle créerait une confusion dans l’explication et la compréhension, puisqu’elle n’apparaît pas explicitement dans les exemples ci-dessus.

Il est maintenant temps de parler du principe de base de l'utilisation de la méthode de substitution de variable : l'intégrande doit contenir une fonction et sa dérivée :(les fonctions peuvent ne pas être dans le produit)

À cet égard, lors de la recherche d'intégrales, il faut souvent consulter le tableau des dérivées.

Dans l’exemple considéré, on remarque que le degré du numérateur est inférieur de un au degré du dénominateur. Dans le tableau des dérivées, nous trouvons la formule qui réduit simplement le degré de un. Et cela signifie que si vous le désignez comme dénominateur, il y a de fortes chances que le numérateur se transforme en quelque chose de bon.

Les intégrales que nous considérerons sont similaires aux intégrales du paragraphe précédent, elles ont la forme : ou

(coefficients un, b Et F ne sont pas égaux à zéro).

Autrement dit, nous avons maintenant une fonction linéaire au numérateur. Comment résoudre de telles intégrales ?

Exemple 14

Trouver l'intégrale indéfinie

Soyez prudent, nous allons maintenant examiner un algorithme typique.

1) Lorsqu'on lui donne une intégrale de la forme

Ou

(où les coefficients un, b Et F ne sont pas égaux à zéro), alors la première chose que nous faisons est... de prendre une ébauche. Le fait est que nous devons maintenant effectuer une petite sélection.

2) Formons le numérateur de l’intégrande transformations identiques(exprimons le numérateur par le dénominateur). Pour ce faire, pour l'instant nous mettons simplement l'expression, qui est au dénominateur dans cet exemple (peu importe - sous la racine ou sans la racine), sous le signe différentiel : .

3) Ouvrir le différentiel :

Regardons le numérateur de notre intégrale :

Les choses se sont avérées un peu différentes... Et maintenant, nous devons sélectionner un multiplicateur pour le différentiel, tel que lorsqu'il est ouvert, il s'avère être d'au moins 3 X. Dans ce cas, avec un multiplicateur adapté vous obtenez :

4) Pour la maîtrise de soi, on ouvre à nouveau notre différentiel :

Regardons à nouveau le numérateur de notre intégrale :

C’est déjà plus proche, mais ce que l’on a, ce n’est pas « ce » terme (+2), mais un autre : (+3/2).

5) À notre différentiel

on attribue le terme que l'on avait initialement dans l'intégrande :

.

– Soustraire ( dans ce cas, on soustrait ; parfois, au contraire, il faut ajouter)

notre « mauvais » terme :

– Nous mettons les deux constantes entre parenthèses et attribuons un symbole différentiel à droite :

– Soustraire (dans certains exemples, vous devez ajouter) constantes :

.

6) On vérifie :

Nous avons obtenu exactement le numérateur de l'intégrande, ce qui signifie que la sélection a été réussie.

La conception finale de la solution ressemble à ceci :

(1) Nous sélectionnons le numérateur sur le brouillon selon l'algorithme discuté ci-dessus. Nous veillons à vérifier si la sélection a été effectuée correctement. Avec une certaine expérience dans la résolution d’intégrales, la sélection n’est pas difficile à effectuer dans votre tête.

(2) Divisez le numérateur par le dénominateur terme par terme. Dans la résolution pratique de problèmes, cette étape peut être omise

(3) En utilisant la propriété de linéarité, nous séparons les intégrales. Il est conseillé de déplacer toutes les constantes en dehors des signes des intégrales.

(4) La première intégrale est en fait tabulaire, on utilise la formule (constante C nous ajouterons plus tard lorsque nous prendrons la deuxième intégrale). Dans la deuxième intégrale, nous sélectionnons un carré complet (nous avons examiné ce type d'intégrales dans le paragraphe précédent). Le reste est une question de technique.

Et, pour commencer, quelques exemples pour le résoudre vous-même - l'un est plus simple, l'autre est plus complexe.

Exemple 15

Trouver l'intégrale indéfinie

Exemple 16

Trouver l'intégrale indéfinie

Pour résoudre les exemples 15 et 16, un cas particulier d'intégration d'une fonction puissance, qui n'est pas dans notre tableau de référence, sera utile :

.

Exemple 15 : Solution :

Exemple 16 : Solution :

.

Nous continuons donc notre connaissance des méthodes de base de l'intégration. La dernière fois, nous avons appris à utiliser et examiné la plus simple des fonctions les plus simples. Il est désormais temps d’avancer et d’étendre progressivement nos capacités.

Donc, méthode pour subsumer une fonction sous le signe différentiel – quelle est son essence ? En général, cette méthode n’est pas une méthode d’intégration indépendante. Il s'agit plutôt d'un cas particulier d'une méthode plus générale et plus puissante - méthode de remplacement des variables. Ou méthode de substitution. Pourquoi? Mais parce que le processus d’intégration lui-même, en le subsumant sous un différentiel, s’accompagne toujours de l’introduction ultérieure d’une nouvelle variable. Cela semble flou pour le moment, mais avec des exemples, tout deviendra beaucoup plus clair.

Ce dont nous avons besoin dans le matériel d'aujourd'hui :

1) La règle d'ouverture du différentiel de toute fonction F(X). C'est la règle elle-même. Nous n’avons pas besoin ici d’une définition stricte de ce qu’est un différentiel. Et la règle est la suivante :

d(f(x)) = f ’(X)DX

Tout est simple, comme dans un conte de fées : on calcule la dérivée de la fonctionF'(X)et multipliez-le par dx(argument différentiel).

2) Tableau des dérivés. Oui oui! Je suis sérieux. :)

3) Eh bien, c'est logique. Puisque nous intégrons ici de toutes nos forces.) C'est le sujet des deux dernières leçons.

4) Règle de différenciation des fonctions complexes.

C'est tout, en fait.

Quand cette méthode est-elle le plus souvent utilisée ? Le plus souvent, il est utilisé dans deux situations typiques :

Cas 1 - Fonction complexe d'un argument linéaire

La fonction intégrande a la forme :

F(kx+ b)

Dans l'argumentation - conception linéairekx+ b. Ou, en d’autres termes, sous l’intégrale se trouve une fonction complexe de l’argument linéaire kx+b.

Par exemple:

Et des fonctions similaires. Les intégrales de telles fonctions sont très facilement réduites aux intégrales tabulaires et sont prises en compte littéralement après quelques exemples résolus avec succès. Et nous déciderons.)

Cas 2 - Fonction complexe à partir d'un argument arbitraire

Dans ce cas, la fonction intégrale est le produit :

F(g(X))· g’(X)

En d’autres termes, sous l’intégrale se trouve le produit d’un certain fonction complexeF(g(X)) Et dérivé de son argument interne g’(X) . Ou bien l’intégrale peut facilement être réduite à cette forme. Il s'agit d'un cas plus compliqué. À propos de lui - dans la deuxième partie de la leçon.

Afin de ne pas tourmenter les gens avec de longues attentes et des divagations, passons immédiatement aux exemples sur cas 1 . Nous intégrerons les fonctions que j'ai écrites ci-dessus. En ordre.

Comment appliquer une fonction linéaire à un différentiel ?

Et envoyez immédiatement un exemple au studio.)

Exemple 1

On regarde le tableau des intégrales et on trouve une formule similaire (c'est le 4ème groupe) :

Tout irait bien, mais... il y a un problème. :) Dans le tableau des intégrales dans l'exposant ex frais juste x. Dans notre indicateur, 3x traîne. Trois X. Ça ne marche pas... La formule tabulaire ne se prête pas à une application directe : le trois a tout gâché. Maître assistant! Ah, professeur assistant ! Que ferons-nous ? (Avec)

Pour faire face à cet exemple, nous devrons « ajuster » cette intégrale à la formule tabulaire. Et maintenant, je vais montrer en détail comment se produit exactement l'ajustement. Pour ce faire, revenons au tout début de la section et rappelons la notation la plus générale de l'intégrale indéfinie. DANS vue générale. Elle est là:

Alors voilà. L'astuce est que cet enregistrement le plus général de l'intégrale indéfinie sera valide pas seulement pour la variable x, mais aussi pour toute autre lettre - y, z, t ou même un entier expression complexe. Lequel voulons-nous ? Il est important de respecter une seule exigence : entre parenthèses, la fonction intégrande f(...), la fonction primitive F(...) et sous le différentiel d(…) se trouvait expressions identiques. Aux trois endroits ! C'est important.

Par exemple:

Et ainsi de suite.) Quelle que soit la lettre et quelle que soit l'expression complexe apparaissant à ces trois endroits, la formule d'intégration tabulaire fonctionnera toujours ! Et ce n'est pas surprenant : on a parfaitement le droit de désigner n'importe quelle expression complexe une lettre. Et travaillez entièrement avec l'ensemble de la structure comme si c'était le cas une lettre. Et le tableau ne se soucie pas de la lettre qu'il contient - X, Y, Zet, Te... Pour lui, toutes les lettres sont égales.) Par conséquent, le dessin lui-même entre parenthèses peut être absolument n'importe quoi. Si seulement le même.)

Par conséquent, pour notre formule tabulaire spécifique ∫ e x dx = e x + C , nous pouvons écrire:

Maintenant, spéculons. Pour que nous ayons le droit d'utiliser la table dans notre exemple, nous devons nous assurer que la construction suivante est formée sous l'intégrale :

Tant dans l'indicateur que sous le différentiel, il devrait y avoir une expression 3x. Reprenons maintenant notre exemple :

Tout est comme il se doit avec l'indicateur, nous en avons 3x là-bas. Selon les conditions.) Mais sous le différentiel il y a encore juste x. Désordre! Comment pouvons-nous dx faire ré(3x)?

Pour atteindre ce noble objectif, nous devons d'une manière ou d'une autre relier deux différentiels - un nouveau ré(3x) et vieux dx. Dans ce cas, c’est très simple à faire. Si, bien sûr, vous savez comment le différentiel s'ouvre.)

On a:

Super! Ainsi, la connexion entre les anciens et les nouveaux différentiels sera la suivante :

Dx = d(3x)/3.

Quoi? Vous ne savez plus comment ouvrir le différentiel ? C'est une question pour le premier semestre. Vers le calcul différentiel.)

Maintenant, que faisons-nous ? Droite! Au lieu de l’ancienne différentielle dx, nous substituons la nouvelle expression d(3x)/3 dans notre exemple. Le trois au dénominateur n'est plus un frein pour nous : on peut le sortir... le sortir. Pour le signe intégral.)

Ce que nous obtenons :

C'est super. Dans l'indicateur exposants et sous le différentiel Une expression absolument identique 3x a été formée. C'est exactement ce à quoi nous nous efforcions tant.) Et maintenant vous pouvez travailler entièrement avec l'expression 3x, comme avec une nouvelle lettre. Soit t, par exemple. Ensuite, après avoir remplacé l’expression 3x par t, notre intégrale ressemblera à ceci :

Et la nouvelle intégrale sur la variable t est déjà une intégrale tabulaire dont nous avons vraiment besoin ! Et maintenant, vous pouvez utiliser la formule tabulaire en toute conscience et d'une main fermeécrire:

Mais il est trop tôt pour se détendre. Ce n’est pas encore la réponse : nous avons besoin de x, pas de t. Il ne reste plus qu'à rappeler que t = 3x et à exécuter remplacement inversé. Et maintenant, notre réponse est complètement prête ! Il est la:

C’est comme ça que tout s’est passé.) Eh bien, vérifions ça ? Et s'ils se trompaient quelque part ? Différencions le résultat :

Non. Tout est bon.)

Exemple 2

Dans le tableau des fonctions intégrales parce que(X+4) Il n'y a pas. Il y a simplement le cosinus x. Mais! Si nous organisons d'une manière ou d'une autre l'expression x+4 et sous le différentiel d ( X +4) , alors on arrive à l'intégrale de table :

∫ cos x dx = péché x + C

Nous connectons donc notre nouveau différentiel requis d(x+4) à l’ancien dx :

d(X+4) = (x+4)'·dx= 1·dx = dx

Wow, comme c'est bon ! Il s'avère que notre nouveau différentiel d(x+4) est identique à dx ! Et sans aucun coefficient supplémentaire. Cadeau total !)

Oui, c'est correcte. N'hésitez pas à remplacer dx par d(x+4), à travailler avec la parenthèse (x+4) comme s'il s'agissait d'une nouvelle lettre et à utiliser le tableau en toute bonne conscience.

Cette fois, j'écrirai la solution de manière un peu plus compacte :

On vérifie le résultat de l'intégration par différenciation inverse :

(sin(x+4)+C)' = (sin(x+4))' + C' = cos(x+4)∙(x+4)'+0 = cos(x+4)∙1 = cos(x+4)

Tout en chocolat.)

Eh bien, est-ce gênant ? Je suis d'accord, c'est gênant. A chaque fois écrire des différentiels, relier les uns aux autres, exprimer l’ancien différentiel à travers le nouveau… Ne désespérez pas ! Manger bonnes nouvelles! Ils ne font généralement pas ça. :) J'ai décrit la solution avec autant de détails uniquement pour comprendre l'essence de l'algorithme. En pratique, les choses sont beaucoup plus simples. Écrivons à nouveau nos liens entre les anciens et les nouveaux différentiels à partir des deux exemples :

Que remarquez-vous dans ces enregistrements ? Deux Très faits importants!

Souviens-toi:

1) Tout coefficient numérique non nul k (k≠0)peut être inscrit sous le différentiel, pour compenser, en divisant le résultat par ce coefficient :

2) Tout terme constant bpeuvent être ajoutés sous le différentiel sans conséquences :

Je ne prouverai pas strictement ces faits. Parce que c'est simple. Tout est clair dans les exemples, j’espère.) Si vous voulez de la rigueur, pour l’amour de Dieu. Simplifiez les membres droits des deux égalités en élargissant les différentiels. Et ici et là, vous obtenez juste du dx. :)

Ces deux faits peuvent facilement être combinés en un seul, plus universel.

Toute conception linéaire kx+b peut être ajouté sous le différentiel dxselon la règle :

Cette procédure est appelée subsumer une fonction sous le signe différentiel. Dans ce cas, sous le différentiel résumé conception linéaire kx+ b. Nous transformons artificiellement un différentiel qui nous gêne dx dans un endroit pratique d(kx+ b) .

Et pourquoi avons-nous besoin d’opportunités aussi terrifiantes – demandez-vous ? Ce n’est tout simplement pas nécessaire. Mais grâce à une manœuvre aussi habile, de nombreuses intégrales non tabulaires vont désormais cliquer littéralement dans l'esprit. Comme des noix.)

Regarder!

Exemple 3

Nous réduirons cet exemple à une intégrale tabulaire d’une fonction puissance :

Pour ce faire, nous placerons notre structure linéaire 2x+1 sous le différentiel, debout sous le carré. Autrement dit, au lieu de dx, nous écrivons d(2x+1). Donc nous nécessaire. Mais mathématiques il faut que de nos actions l'essence de l'exemple n'a pas changé ! Par conséquent, nous faisons un compromis et, selon notre règle, multiplions en plus la structure entière par un facteur 1/2 (nous avons k = 2, donc 1/k = 1/2).

Comme ça:

Et maintenant on compte :

Le travail est terminé.) Mais ici, certains lecteurs peuvent avoir une question. Une très bonne question d’ailleurs !

Après tout, on ne pouvait pas mettre l'expression 2x+1 sous la différentielle, ne pas introduire de nouvelle variable, mais simplement prendre et bêtement mettre les parenthèses au carré en utilisant la formule scolaire du carré de la somme

(2x+1) 2 = 4x2 +4x+1,

Intégrez ensuite chaque terme terme par terme (dans votre tête !). Est-il possible de faire cela? Certainement! Pourquoi pas? Essayez-le ! Et comparez les résultats. Il y aura une surprise pour vous ! Les détails sont à la fin de la leçon. :)

Pour l'instant, nous passons à autre chose. J'écrirai les exemples restants sans aucun commentaire particulier... Nous plaçons l'argument linéaire kx+b sous le différentiel et retirons le coefficient résultant 1/k du signe intégral. Et nous travaillons selon le tableau. Les réponses finales sont en gras.

Exemple 4

Facilement!

Exemple5

Aucun problème!

Et enfin, un dernier exemple.

Exemple 6

Et tout est aussi simple que ça !

Alors comment ? Aimé? Et maintenant, vous pouvez cliquer sur de tels exemples dans votre esprit ! Une possibilité tentante, n'est-ce pas ?) De plus, de telles intégrales elles-mêmes apparaissent souvent comme des termes distincts dans des exemples plus compliqués.

À propos, après une certaine habileté à travailler avec le tableau des primitives, il n'est pas nécessaire, au fil du temps, d'introduire une nouvelle variable intermédiaire t. Comme inutile.

Par exemple, très bientôt, vous serez immédiatement dans mon esprit Vous donnerez une réponse toute prête à de tels exemples :

Et même en une seule séance, affrontez des monstres comme :

Et vous essayez de calculer cette intégrale « de front », en l’élevant à la puissance 1000ème grâce à la formule binomiale de Newton ! Il faudra intégrer 1001 termes terme par terme, oui... Mais en les ajoutant sous le différentiel - sur une seule ligne !

Alors ok! Avec une fonction linéaire, tout est très clair. Comment exactement le ramener sous le différentiel est le même. Et puis j'entends une question logique : Mais seule une fonction linéaire peut-elle être subsumée sous une différentielle ?

Bien sûr que non! Toute fonction f(x) peut être subsumée sous un différentiel ! Celui qui pratique dans un exemple précis. Et comme c'est pratique - de exemple concretça dépend, oui... C'est juste qu'en utilisant l'exemple d'une fonction linéaire, il est très facile de démontrer la procédure de sommation elle-même. Sur les doigts, comme on dit.) Et maintenant nous nous approchons progressivement d'une vision plus générale cas 2 .

Comment subsumer n’importe quelle fonction arbitraire sous un différentiel ?

Nous parlerons du cas où l'intégrande a la forme suivante :

F(g(X))· g’(X ) .

Ou, ce qui est pareil, intégrande a la forme :

F(g(X))· g’(X)dx

Rien de spécial. Je viens d'ajouter dx.)

En un mot, nous parlerons d'intégrales de la forme :

N'ayez pas peur de tous les traits et parenthèses ! Maintenant, tout deviendra beaucoup plus clair.)

Quel est l’intérêt ici ? De l'intégrande d'origine, nous pouvons distinguer argument complexe g(X ) Et son dérivé g’(X) . Mais ne vous contentez pas de surligner, mais écrivez-le sous la forme travaux une fonction complexe F(g(X)) de cet argument même à son dérivé g’(X) . Ce qui s'exprime par l'entrée :

F(g(X))· g’(X)

Reformulons maintenant le tout en termes de différentiel : intégrande expression peut être représenté comme le produit d’une fonction complexe F(g(X)) Et différentiel de son argument g’(X) dx.

Et donc, notre intégrande entière peut s’écrire ainsi :

Parlant russe, nous introduire une fonction intermédiaireg(X) sous le signe différentiel . C'était dx, mais c'est devenu d(g(x)). Et pourquoi avons-nous besoin de ces métamorphoses ? Et si nous introduisions une nouvelle variable maintenant t = g(x), alors notre intégrale sera considérablement simplifiée :

Et, si la nouvelle intégrale par nouvelle variable t du coup (!) ça s'avère tabulaire, alors tout est en chocolat. Célébrons la victoire !)

"Beaucoup de livres", oui. Mais avec des exemples, tout sera désormais beaucoup plus clair. :) Alors, la deuxième partie de la pièce !

Exemple7

C'est un classique du genre. En dessous de l'intégrale se trouve une fraction. Vous ne pouvez pas utiliser le tableau directement ; vous ne pouvez rien transformer avec aucune formule scolaire. Le placer uniquement sous la sauvegarde différentielle, oui.) Pour ce faire, écrivons notre intégrande sous forme de produit. Au moins ça :

Voyons maintenant cela. Tout est clair avec le logarithme carré. C'est aussi un logarithme en Afrique... Qu'est-ce que 1/x ? Souvenons-nous de notre inoubliable table des dérivés... Oui ! Ce dérivée du logarithme !

Nous insérons maintenant dans la fonction intégrande au lieu de 1 fois expression (lnx) ’ :

Nous avons donc présenté la fonction intégrande originale sous la forme dont nous avons besoin F(g(X))· g’(X) . Ils l'ont transformée en le produit d'une certaine fonction du logarithme f(lnx) Et dérivée de ce même logarithme (lnx) ’ . À savoir - dans le travail dans 2 x Et (lnx) ’.

Voyons maintenant en détail quelles actions se cachent exactement derrière chaque lettre.

Eh bien, avec la fonction g(x), tout est clair. Voici le logarithme : g(x) = journal x.

Qu'est-ce qui se cache sous la lettre f ? Tout le monde ne comprend pas tout de suite... Et sous la lettre f nous avons une action cachée - la quadrature:

C'est toute la transcription.)

UN l'intégrande entière vous pouvez maintenant le réécrire comme ceci :

Et quelle fonction avons-nous ajoutée au différentiel dans cet exemple ? Dans cet exemple, nous avons ajouté sous le différentiel logarithmique fonction ln x!

Le travail est terminé.) Afin de vous assurer que le résultat est correct, vous pouvez toujours (et devez) différencier la réponse :

Hourra! Tout va bien.)

Faites maintenant attention à la façon dont nous différencions exactement la réponse finale de tous les exemples de cette leçon. Vous n'avez pas encore saisi le modèle ? Oui! Comment fonction complexe ! C'est naturel : la différenciation d'une fonction complexe et la subsomption de la fonction sous le signe différentiel sont deux actions mutuellement inverses. :)

C'était un exemple assez simple. Pour comprendre quoi. Maintenant, l'exemple est plus impressionnant.)

Exemple 8

Encore une fois, rien n’est décidé directement. Essayons la méthode consistant à le placer sous le différentiel puis à le remplacer. La question est : qu’allons-nous introduire et remplacer ? Maintenant, voici un problème.)

Nous devons essayer la fonction intégrande x cos(x 2 +1) le présenter en quelque sorte sous la forme d'une œuvre les fonctions à partir de quelque chose dérivé c'est vraiment quelque chose:

Eh bien, nous avons le travail de toute façon déjà il y a x et cosinus.) Mon instinct me dit que la fonction g(x), que nous engloberons sous la différentielle, sera l'expression x2 +1, qui se trouve à l’intérieur du cosinus. Il suffit de demander :

Tout est clair. Fonction interne g estx2 +1,et le f extérieur est un cosinus.

Bien. Vérifions maintenant si le multiplicateur restant est lié d'une manière ou d'une autre X Avec dérivé de l'expression x2 +1, que nous avons choisi comme candidat pour terminer le différentiel.

Distinguons :

Oui! Il y a un lien ! Si 2x = (x2 +1)', alors pour un seul X on peut écrire :

Ou, sous forme de différentiels :

Tous. Hormis x 2 +1, nous n’avons aucune autre expression avec x ailleurs dans l’exemple. Ni dans l'intégrande ni sous le signe différentiel. C'est ce que nous voulions.

Nous réécrivons maintenant notre exemple en tenant compte de ce fait, en remplaçant l'expression x 2 +1 avec une nouvelle lettre et - en avant ! C'est vrai, c'est... Le coefficient 1/2 est quand même sorti... Ce n'est pas grave, on va le sortir, sortir ! :)

C'est tout. Comme nous le voyons, dans l'exemple précédent, une fonction logarithmique a été introduite sous le différentiel, et ici - quadratique

Considérons maintenant un exemple plus exotique.

Exemple 9

Ça l'air horrible! Cependant, il est trop tôt pour faire son deuil. Il est temps de se souvenir de notre bien-aimé tableau des dérivés.) Et un peu plus précisément - dérivée de l'arc sinus.

Elle est là:

Ensuite, si nous mettons cet arc sinus sous le différentiel, alors cet exemple maléfique est résolu en une seule ligne :

Et c'est tout!

Utilisons maintenant cet exemple pour analyser l’ensemble de notre processus fascinant de subsumation de la fonction arc sinus sous le différentiel. Que devions-nous faire pour mener à bien cette tâche ? Nous devions identifier en expression

dérivé d'une autre expression – arc sinus! Autrement dit, d’abord rappel(d'après le tableau des dérivés) que

Et puis travailler de droite à gauche. Comme ça:

Mais c’est plus compliqué qu’une simple différenciation, vous en conviendrez ! Exactement la même chose que, par exemple, extraire Racine carrée plus difficile que la quadrature.) Nous devons ramasser la fonction souhaitée. D'après le tableau des dérivés.

Par conséquent, en plus de la différenciation directe, lors de l'intégration, nous devrons également effectuer constamment l'opération inverse - reconnaître dans les fonctions dérivées d'autres fonctions. Il n'y a pas d'algorithme clair ici. Ici, pratiquez les règles.) Il n'y a qu'une seule recette - résolvez des exemples ! Autant que possible. Résolvez au moins 20 à 30 exemples - et vous remarquerez de tels remplacements et les effectuerez rapidement et facilement. Automatiquement, je dirais même. Et absolument nécessaire connaissez la table des dérivées ! Par coeur.)

Je ne serai même pas paresseux et je regrouperai les modèles les plus populaires dans un modèle séparé. tableau différentiel.

Ce petit tableau récapitulatif est déjà largement suffisant pour traiter avec succès la plupart des exemples résolus par la méthode de subsomption d'une fonction sous le signe différentiel ! Il est logique de le comprendre. :)

Je dirai séparément que la construction dx/x et l'intégrale de table correspondante ln|x| – l’un des plus populaires en intégration !

Cette formule tabulaire avec logarithme se réduit à Tous intégrales de fractions, dont le numérateur est la dérivée du dénominateur. Voir par vous-même:

Par exemple, même sans aucun remplacement, selon cette règle vous pouvez en une seule ligne intégrer la tangente, par exemple. Quelqu'un ici a déjà posé une question sur la tangente ? S'il te plaît!

Et même de tels géants sont également intégrés dans une seule ligne !

C'est drôle, n'est-ce pas ? :)

Peut-être que les plus perspicaces se demandent pourquoi dans le premier trois cas J'ai écrit un module sous le logarithme, mais dans le dernier cas je ne l'ai pas écrit ?

Réponse : expression e x +1, placé sous le logarithme dans le dernier exemple, positif pour tout x réel. Par conséquent, le logarithme de l’expressione x +1est toujours défini, et dans ce cas, des parenthèses régulières peuvent être utilisées à la place d'un module. :)

Pourquoi y a-t-il un module sous le logarithme dans la table intégrale ? Après tout, dans le tableau des dérivées le logarithme n'a aucun module, et lors de la différenciation on écrit calmement :

(lnx)’ = 1/x

Et lors de l'intégration de la fonction 1/x, pour une raison quelconque, nous écrivons également un module...

Je répondrai à cette question plus tard. Dans les cours dédiés à Intégrale définie. Ce module est associé à domaine de définition de la primitive.

Remarque : nous, comme les magiciens d'un cirque, effectuons en réalité simplement un ensemble de manipulations avec des fonctions, en les transformant les unes dans les autres selon un certain signe. :) Et pour l’instant nous ne nous soucions pas du tout du domaine de la définition. Et, pour être honnête, en vain. Après tout, nous travaillons toujours avec des fonctions ! Et le domaine de définition est d’ailleurs la partie la plus importante de toute fonction ! :) Y compris les fonctions avec lesquelles nous travaillons ici - l'intégrande f(x) et primitive F(x). Nous retiendrons donc plus tard le domaine de la définition. Dans une leçon spéciale.) Patience, les amis !

Nous avons donc examiné des exemples typiques d'intégrales résolues en subsumant une fonction sous le signe différentiel.) Est-ce difficile ? Au début, oui. Mais après quelques entraînements et développement de compétences, de telles intégrales vous paraîtront parmi les plus simples !

Et maintenant, la surprise promise ! :)

Revenons à exemple n°3. Là, résumant l'expression 2x+1 sous le différentiel, nous avons reçu cette réponse :

C'est la bonne réponse. Différenciez-vous sur papier en tant que fonction complexe et voyez par vous-même. :)

Voyons maintenant une autre façon de résoudre le même exemple. On ne mettra rien sous le différentiel, mais on élargira simplement bêtement le carré de la somme et intégrera chaque terme terme par terme. Nous avons tous les droits !

On a:

Et ça aussi la bonne réponse !

Question : les première et deuxième réponses à la même intégrale sont-elles identiques ou différentes ?

Après tout, logiquement, les réponses au même exemple reçues par deux différentes façons, ça devrait correspondre, non ? Maintenant, nous allons le découvrir ! Transformons le premier résultat en développant cube de somme en utilisant la formule de multiplication abrégée (un+ b) 3 = un 3 +3 un 2 b+3 un B 2 + b 3 .

Ce que nous obtenons :

Comparons maintenant les deux résultats :

Et... quelque chose ne va pas ici ! D'où vient la fraction « supplémentaire » 1/6 dans le premier résultat ? Il s’avère que pour la même intégrale on obtient deux réponses différentes !

Paradoxe? Mystique?

Calme! La solution au mystère réside là-dedans. Rappelons la toute première leçon sur l'intégration. :) Pour une raison quelconque, il y a là une phrase très importante : deux primitives de la même fonctionF 1 ( X ) EtF 2 ( X ) diffèrent les uns des autres par une constante.

Et maintenant, regardons de plus près nos résultats. Et... on voit que dans notre cas c'est le cas : les réponses obtenues de deux manières différentes diffèrent par une constante. D'un sixième. :)

F1 (x) – F2 (x) = 1/6

C'est tout le secret. Il n'y a donc pas de contradiction. :)

Et en général, vous pouvez en prendre jusqu'à... trois différentes façons! Vous ne me croyez pas ? Voir par vous-même! :)

Méthode n°1 . On ne touche pas au sinus du double angle, mais on résume simplement l'argument 2x sous le différentiel (comme d'ailleurs nous l'avons déjà fait lors du processus d'analyse) :

Méthode n°2 . On ouvre le sinus du double angle et on le ramène sous le différentiel péché x:

Méthode n°3 . On ouvre à nouveau le sinus du double angle, mais on le ramène sous le différentiel parce que x :

Maintenant, différencions les trois réponses et approfondissons la question :

Des miracles, et c'est tout ! Il y avait trois réponses différentes ! Et cette fois, ils ne se ressemblent même pas. Et la dérivée est la même ! :) S'agit-il encore vraiment d'une constante intégrale, et chacune des trois fonctions diffère de l'autre par une constante ? Oui! Curieusement, mais c'est exactement le cas.) Et vous explorez vous-même ces trois fonctions ! Ne pensez pas que c'est un travail difficile. :) Convertissez chaque fonction en un type - soit à péché 2 x, soit à parce que 2 x. Et puissent-ils t'aider formules scolaires trigonométrie! :)

Pourquoi ai-je regardé ces surprises et même commencé toutes ces petites discussions sur la constante intégrale ?

Voici le truc.Comme vous pouvez le constater, même une petite différence dans la constante intégrale peut, en principe, changer considérablement apparence réponse, oui... Mais le truc, c'est que cette réponse ne cesse jamais d'avoir raison ! Et si soudain vous voyez la réponse dans un ensemble de problèmes, ne correspond pas avec le vôtre, il est trop tôt pour être contrarié. Car ce fait ne veut pas du tout dire que votre réponse est incorrecte ! Il est possible que vous soyez simplement parvenu à la réponse d'une manière différente de celle prévue par l'auteur de l'exemple. Cela arrive.) Et le contrôle le plus fiable, basé sur. Lequel? Droite! Différencier la réponse finale ! Nous avons la fonction intégrande - cela signifie que tout va bien.

Eh bien, maintenant nous le ressentons, quelle est l'importance du symbole dx sous l'intégrale ? Dans de nombreux exemples, il est le seul à épargner, oui. Des trucs puissants ! Alors ne le négligeons pas maintenant ! :)

Maintenant, entraînons-nous ! Comme le sujet n'est pas des plus simples, il y aura cette fois plus d'exemples pour la formation.

En utilisant la méthode de subsumation d'une fonction sous le signe différentiel, trouvez des intégrales indéfinies :

Je ne donnerai pas de réponses cette fois. Ce ne sera pas intéressant. :) Ne soyez pas paresseux pour différencier le résultat ! Nous avons la fonction intégrande - OK. Non, cherchez où vous avez fait une erreur. Tous les exemples sont très simples et peuvent être résolus en une (deux au maximum) lignes. Pour ceux qui ont désespérément besoin de réponses, tous les exemples sont tirés de la collection de problèmes d'analyse mathématique de G.N. Berman. Téléchargez, cherchez votre exemple, vérifiez-le. :) Bonne chance!

Parlons d'abord un peu de la formulation du problème sous forme générale, puis passons à des exemples d'intégration par substitution. Disons que nous avons une certaine intégrale $\int g(x) \; dx$. Cependant, le tableau des intégrales ne contient pas la formule requise et il n'est pas possible de diviser une intégrale donnée en plusieurs intégrales tabulaires (c'est-à-dire que l'intégration directe est éliminée). Cependant, le problème sera résolu si nous parvenons à trouver une certaine substitution $u=\varphi(x)$ qui réduira notre intégrale $\int g(x) \; dx$ à une intégrale de table $\int f(u) \; du=F(u)+C$. Après avoir appliqué la formule $\int f(u)\; du=F(u)+C$ tout ce que nous avons à faire est de renvoyer la variable $x$. Formellement, cela peut s'écrire ainsi :

$$\int g(x)\; dx=|u=\varphi(x)|=\int f(u) \; du=F(u)+C=F(\varphi(x))+C.$$

Le problème est de savoir comment choisir une telle substitution $u$. Pour ce faire, vous aurez besoin, d'une part, de la connaissance de la table des dérivées et de la capacité de l'utiliser pour différencier des fonctions complexes, et d'autre part, de la table des intégrales indéfinies. De plus, nous aurons désespérément besoin d’une formule, que j’écrirai ci-dessous. Si $y=f(x)$, alors :

\begin(équation)dy=y"dx\end(équation)

Ceux. la différentielle d'une fonction est égale à la dérivée de cette fonction multipliée par la différentielle de la variable indépendante. Cette règle est très importante, et c'est cette règle qui vous permettra d'utiliser la méthode de substitution. Nous indiquerons ici quelques cas particuliers obtenus à partir de la formule (1). Soit $y=x+C$, où $C$ est une certaine constante (un nombre, en termes simples). Ensuite, en substituant l'expression $x+C$ dans la formule (1) au lieu de $y$, nous obtenons ce qui suit :

$$ d(x+C)=(x+C)" dx $$

Puisque $(x+C)"=x"+C"=1+0=1$, la formule ci-dessus deviendra :

$$ d(x+C)=(x+C)" dx=1\cdot dx=dx.$$

Écrivons séparément le résultat obtenu, c'est-à-dire

\begin(équation)dx=d(x+C)\end(équation)

La formule résultante signifie que l'ajout d'une constante sous le différentiel ne change pas ce différentiel, c'est-à-dire $dx=d(x+10)$, $dx=d(x-587)$ et ainsi de suite.

Considérons un autre cas particulier pour la formule (1). Soit $y=Cx$, où $C$, encore une fois, est une constante. Trouvons la différentielle de cette fonction en substituant l'expression $Cx$ au lieu de $y$ dans la formule (1) :

$$ d(Cx)=(Cx)"dx $$

Puisque $(Cx)"=C\cdot (x)"=C\cdot 1=C$, alors la formule ci-dessus $d(Cx)=(Cx)"dx$ deviendra : $d(Cx)=Cdx $ . Si nous divisons les deux côtés de cette formule par $C$ (en supposant que $C\neq 0$), nous obtenons $\frac(d(Cx))(C)=dx$. Ce résultat peut être réécrit sous une forme légèrement différente. :

\begin(equation)dx=\frac(1)(C)\cdot d(Cx)\;\;\;(C\neq 0)\end(equation)

La formule résultante suggère que la multiplication de l'expression sous la différentielle par une constante non nulle nécessite l'introduction d'un multiplicateur correspondant qui compense cette multiplication. Par exemple, $dx=\frac(1)(5) d(5x)$, $dx=-\frac(1)(19) d(-19x)$.

Dans les exemples n°1 et n°2, les formules (2) et (3) seront considérées en détail.

Une note sur les formules

Ce sujet utilisera à la fois les formules 1 à 3 et les formules du tableau des intégrales indéfinies, qui ont également leurs propres nombres. Pour éviter toute confusion, convenons de ce qui suit : si le texte « utiliser la formule n°1 » apparaît dans le sujet, alors il signifie littéralement ce qui suit : « utiliser la formule n°1, situé sur cette page". Si nous avons besoin d'une formule du tableau des intégrales, alors nous le préciserons séparément à chaque fois. Par exemple, comme ceci : « nous utilisons la formule n° 1 du tableau des intégrales. »

Et encore une petite note

Avant de commencer à travailler avec des exemples, il est recommandé de vous familiariser avec le matériel présenté dans les rubriques précédentes consacrées à la notion d'intégrale indéfinie et. La présentation du matériel dans ce sujet est basée sur les informations fournies dans les sujets mentionnés.

Exemple n°1

Trouvez $\int \frac(dx)(x+4)$.

Si nous nous tournons vers , nous ne trouvons pas de formule qui corresponde exactement à l'intégrale $\int \frac(dx)(x+4)$. La formule n°2 du tableau des intégrales est la plus proche de cette intégrale, c'est-à-dire $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$. Le problème est le suivant : la formule $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$ suppose que dans l'intégrale $\int \frac(du)(u)$ les expressions au dénominateur et sous le différentiel doivent être les mêmes (les deux ont la même lettre $u$). Dans notre cas, dans $\int \frac(dx)(x+4)$, la lettre $x$ est sous le différentiel, et l'expression $x+4$ est au dénominateur, c'est-à-dire Il existe une nette divergence avec la formule tabulaire. Essayons de « faire correspondre » notre intégrale à celle tabulaire. Que se passe-t-il si nous remplaçons $x+4$ par le différentiel au lieu de $x$ ? Pour répondre à cette question, utilisons , en remplaçant l'expression $x+4$ au lieu de $y$ :

$$ d(x+4)=(x+4)"dx$$

Puisque $(x+4)"=x"+(4)"=1+0=1$, alors l'égalité $ d(x+4)=(x+4)"dx $ devient :

$$ d(x+4)=1\cdot dx=dx $$

Donc $dx=d(x+4)$. Pour être honnête, le même résultat aurait pu être obtenu en substituant simplement le nombre $4$ à la constante $C$. Nous le ferons à l'avenir, mais pour la première fois, nous avons examiné en détail la procédure permettant d'obtenir l'égalité $dx=d(x+4)$. Mais que nous donne l'égalité $dx=d(x+4)$ ?

Et cela nous donne la conclusion suivante : si $dx=d(x+4)$, alors dans l'intégrale $\int \frac(dx)(x+4)$ au lieu de $dx$ on peut substituer $d(x +4)$ , et l'intégrale ne changera pas en conséquence :

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)$$

Nous avons effectué cette transformation uniquement pour que l'intégrale résultante corresponde pleinement à la formule tabulaire $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$. Pour rendre cette correspondance complètement claire, remplaçons l'expression $x+4$ par la lettre $u$ (c'est-à-dire que nous faisons substitution$u=x+4$) :

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)=|u=x+4|=\int \frac(du)(u )=\ln|u|+C.$$

En fait, le problème a déjà été résolu. Il ne reste plus qu'à renvoyer la variable $x$. En rappelant que $u=x+4$, nous obtenons : $\ln|u|+C=\ln|x+4|+C$. Solution complète sans explication cela ressemble à ceci :

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)=|u=x+4|=\int \frac(du)(u )=\ln|u|+C=\ln|x+4|+C.$$

Répondre: $\int \frac(dx)(x+4)=\ln|x+4|+C$.

Exemple n°2

Trouvez $\int e^(3x) dx$.

Si nous nous tournons vers le tableau des intégrales indéfinies, nous ne trouvons pas de formule qui corresponde exactement à l'intégrale $\int e^(3x) dx$. La formule n°4 du tableau des intégrales est la plus proche de cette intégrale, c'est-à-dire $\int e^u du=e^u+C$. Le problème est le suivant : la formule $\int e^u du=e^u+C$ suppose que dans l'intégrale $\int e^u du$ les expressions dans les puissances de $e$ et sous la différentielle doivent être les pareil (les deux ont une seule lettre $u$). Dans notre cas, dans $\int e^(3x) dx$, sous le différentiel il y a la lettre $x$, et à la puissance $e$ il y a l'expression $3x$, c'est-à-dire Il existe une nette divergence avec la formule tabulaire. Essayons de « faire correspondre » notre intégrale à celle tabulaire. Que se passe-t-il si vous remplacez $3x$ par le différentiel au lieu de $x$ ? Pour répondre à cette question, utilisons , en remplaçant l'expression $3x$ au lieu de $y$ :

$$ d(3x)=(3x)"dx $$

Puisque $(3x)"=3\cdot (x)"=3\cdot 1=3$, alors l'égalité $d(3x)=(3x)"dx$ devient :

$$ d(3x)=3dx $$

En divisant les deux côtés de l'égalité résultante par $3$, nous aurons : $\frac(d(3x))(3)=dx$, c'est-à-dire $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$. En fait, l'égalité $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ pourrait être obtenue en substituant simplement le nombre $3$ à la constante $C$. Nous le ferons à l'avenir, mais pour la première fois, nous avons examiné en détail la procédure pour obtenir l'égalité $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$.

Que nous a donné l'égalité résultante $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ ? Cela signifie qu'au lieu de $dx$, $\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ peut être substitué dans l'intégrale $\int e^(3x) dx$, et l'intégrale ne changera pas :

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x) $$

Retirons la constante $\frac(1)(3)$ du signe intégral et remplaçons l'expression $3x$ par la lettre $u$ (c'est-à-dire que nous faisons substitution$u=3x$), après quoi nous appliquons la formule tabulaire $\int e^u du=e^u+C$ :

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x)=\frac(1)(3)\cdot \int e^(3x) d(3x)=|u=3x|=\frac(1)(3)\cdot\int e^u du=\frac(1)(3)\cdot e^u+C.$$

Comme dans l'exemple précédent, nous devons renvoyer la variable d'origine $x$. Puisque $u=3x$, alors $\frac(1)(3)\cdot e^u+C=\frac(1)(3)\cdot e^(3x)+C$. La solution complète sans commentaires ressemble à ceci :

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x)=\frac(1)(3)\cdot \int e^(3x) d(3x)=|u=3x|=\frac(1)(3)\cdot\int e^u du=\frac(1)(3)\cdot e^u+C=\frac(1)( 3)\cdot e^(3x)+C.$$

Répondre: $ \int e^(3x) dx= \frac(1)(3)\cdot e^(3x)+C$.

Exemple n°3

Trouvez $\int (3x+2)^2 dx$.

Pour trouver cette intégrale, nous utilisons deux méthodes. La première consiste à ouvrir les supports et à les intégrer directement. La deuxième méthode consiste à utiliser la méthode de substitution.

Première façon

Puisque $(3x+2)^2=9x^2+12x+4$, alors $\int (3x+2)^2 dx=\int (9x^2+12x+4)dx$. En représentant l'intégrale $\int (9x^2+12x+4)dx$ comme une somme de trois intégrales et en retirant les constantes des signes des intégrales correspondantes, on obtient :

$$ \int (9x^2+12x+4)dx=\int 9x^2 dx+\int 12x dx+\int 4 dx=9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\ cdot \int 1 dx $$

Pour trouver $\int x^2 dx$ on substitue $u=x$ et $\alpha=2$ dans la formule n°1 du tableau des intégrales : $\int x^2 dx=\frac(x^(2 +1))( 2+1)+C=\frac(x^3)(3)+C$. De même, en remplaçant $u=x$ et $\alpha=1$ dans la même formule du tableau, nous aurons : $\int x^1 dx=\frac(x^(1+1))(1+1 )+ C=\frac(x^2)(2)+C$. Puisque $\int 1 dx=x+C$, alors :

$$ 9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\cdot \int 1 dx=9\cdot\frac(x^3)(3)+12\cdot \frac(x^ 2)(2)+4\cdot x+C=3x^3+6x^2+4x+C. $$

$$ \int (9x^2+12x+4)dx=\int 9x^2 dx+\int 12x dx+\int 4 dx=9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\ cdot \int 1 dx=\\ =9\cdot\frac(x^3)(3)+12\cdot \frac(x^2)(2)+4\cdot x+C=3x^3+6x^ 2+4x+C. $$

Deuxième façon

Nous n'ouvrirons pas les parenthèses. Essayons de faire apparaître l'expression $3x+2$ sous le différentiel au lieu de $x$. Cela vous permettra de saisir une nouvelle variable et d'appliquer la formule de la feuille de calcul. Nous avons besoin que le facteur $3$ apparaisse sous le différentiel, donc en remplaçant $C=3$ dans la valeur, nous obtenons $d(x)=\frac(1)(3)d(3x)$. De plus, le terme $2$ manque sous le différentiel. Selon l'ajout d'une constante sous le signe différentiel, cette différentielle ne change pas, c'est-à-dire $\frac(1)(3)d(3x)=\frac(1)(3)d(3x+2)$. A partir des conditions $d(x)=\frac(1)(3)d(3x)$ et $\frac(1)(3)d(3x)=\frac(1)(3)d(3x+2 ) $ nous avons : $dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$.

Notons que l'égalité $dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$ peut également être obtenue d'une autre manière :

$$ d(3x+2)=(3x+2)"dx=((3x)"+(2)")dx=(3\cdot x"+0)dx=3\cdot 1 dx=3dx;\ \dx=\frac(1)(3)d(3x+2). $$

Nous utilisons l'égalité résultante $dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$, en substituant l'expression $\frac(1)(3)d(3x) dans l'intégrale $\int (3x+2 )^2 dx$ +2)$ au lieu de $dx$. Retirons la constante $\frac(1)(3)$ comme signe de l'intégrale résultante :

$$ \int (3x+2)^2 dx=\int (3x+2)^2 \cdot \frac(1)(3)d(3x+2)=\frac(1)(3)\cdot \ int (3x+2)^2 ré(3x+2). $$

L'autre solution est d'effectuer la substitution $u=3x+2$ et d'appliquer la formule n°1 du tableau des intégrales :

$$ \frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=|u=3x+2|=\frac(1)(3)\cdot \int u^ 2 du=\frac(1)(3)\cdot \frac(u^(2+1))(2+1)+C=\frac(u^3)(9)+C. $$

En renvoyant l'expression $3x+2$ au lieu de $u$, on obtient :

$$ \frac(u^3)(9)+C=\frac((3x+2)^3)(9)+C. $$

La solution complète sans explication est :

$$ \int (3x+2)^2 dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=|u=3x+2|=\\ = \frac(1)(3)\cdot \int u^2 du=\frac(u^3)(9)+C=\frac((3x+2)^3)(9)+C. $$

Je prévois quelques questions, je vais donc essayer de les formuler et de donner des réponses.

Question n°1

Quelque chose ne colle pas ici. Lorsque nous avons résolu de la première manière, nous avons obtenu $\int (9x^2+12x+4)dx=3x^3+6x^2+4x+C$. Lors de la résolution de la deuxième méthode, la réponse est devenue : $\int (3x+2)^2 dx=\frac((3x+2)^3)(9)+C$. Cependant, il n’est pas possible de passer de la deuxième réponse à la première ! Si on ouvre les parenthèses, on obtient ceci :

$$ \frac((3x+2)^3)(9)+C=\frac(27x^3+54x^2+36x+8)(9)+C=\frac(27x^3)(9) +\frac(54x^2)(9)+\frac(36x)(9)+\frac(8)(9)+C=3x^3+6x^2+4x+\frac(8)(9)+ C. $$

Les réponses ne correspondent pas ! D'où vient la fraction supplémentaire $\frac(8)(9)$ ?

Cette question suggère que vous devriez vous référer aux sujets précédents. Lisez le sujet sur le concept d'intégrale indéfinie (en faisant attention à Attention particulière question n°2 en fin de page) et intégration directe (il convient de prêter attention à la question n°4). Ces sujets couvrent cette question en détail. En bref, la constante intégrale $C$ peut être représentée par différentes formes. Par exemple, dans notre cas, en redésignant $C_1=C+\frac(8)(9)$, nous obtenons :

$$ 3x^3+6x^2+4x+\frac(8)(9)+C=3x^3+6x^2+4x+C_1. $$

Il n'y a donc pas de contradiction ; la réponse peut s'écrire soit sous la forme $3x^3+6x^2+4x+C$, soit sous la forme $\frac((3x+2)^3)(9)+ $CAN.

Question n°2

Pourquoi fallait-il choisir la deuxième voie ? C'est une complication inutile ! Pourquoi utiliser un tas de formules inutiles pour trouver une réponse qui peut être obtenue en quelques étapes en utilisant la première méthode ? Il suffisait d’ouvrir les tranches selon la formule scolaire.

Eh bien, tout d’abord, ce n’est pas une telle complication. Lorsque vous comprendrez la méthode de substitution, vous commencerez à résoudre des exemples similaires sur une seule ligne : $\int (3x+2)^2 dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d ( 3x+2)=\frac((3x+2)^3)(9)+C$. Cependant, regardons cet exemple différemment. Imaginez que vous deviez calculer non pas $\int (3x+2)^2 dx$, mais $\int (3x+2)^(200) dx$. Lors de la résolution en utilisant la deuxième méthode, il vous suffit d'ajuster légèrement les degrés et la réponse sera prête :

$$ \int (3x+2)^(200) dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^(200) d(3x+2)=|u=3x+2| =\\ =\frac(1)(3)\cdot \int u^(200) du=\frac(u^(201))(603)+C=\frac((3x+2)^(201) )(603)+C. $$

Imaginez maintenant que la même intégrale $\int (3x+2)^(200) dx$ doit être prise dans un premier temps. Tout d'abord, vous devrez ouvrir la parenthèse $(3x+2)^(200)$, obtenant ainsi une somme de deux cent un termes ! Et puis il faudra aussi intégrer chaque terme. La conclusion ici est donc la suivante : pour les grandes puissances, la méthode d’intégration directe n’est pas adaptée. La deuxième méthode, malgré son apparente complexité, est plus pratique.

Exemple n°4

Trouvez $\int \sin2x dx$.

Nous allons résoudre cet exemple de trois manières différentes.

Première façon

Regardons le tableau des intégrales. La formule n°5 de ce tableau est la plus proche de notre exemple, c'est-à-dire $\int \sin u du=-\cos u+C$. Pour ajuster l'intégrale $\int \sin2x dx$ à la forme $\int \sin u du$, nous utilisons , en introduisant le facteur $2$ sous le signe différentiel. En fait, nous l'avons déjà fait dans l'exemple n°2, nous pouvons donc nous passer de commentaires détaillés :

$$ \int \sin 2x dx=\left|dx=\frac(1)(2)\cdot d(2x) \right|=\int \sin 2x \cdot\frac(1)(2)d(2x )=\\ =\frac(1)(2) \int \sin 2x d(2x)=|u=2x|=\frac(1)(2) \int \sin u du=-\frac(1) (2)\cos u+C=-\frac(1)(2)\cos 2x+C. $$

Répondre: $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2)\cos 2x+C$.

Deuxième façon

Pour résoudre la deuxième méthode, nous appliquons une formule trigonométrique simple : $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Remplaçons l'expression $2 \sin x \cos x$ au lieu de $\sin 2x$, et retirons la constante $2$ du signe intégral :

Quel est le but d’une telle transformation ? Il n'y a pas d'intégrale $\int \sin x\cos x dx$ dans le tableau, mais nous pouvons transformer un peu $\int \sin x\cos x dx$ pour qu'il ressemble davantage à celui du tableau. Pour ce faire, trouvons $d(\cos x)$ en utilisant . Remplaçons $\cos x$ au lieu de $y$ dans la formule mentionnée :

$$ d(\cos x)=(\cos x)"dx=-\sin x dx. $$

Puisque $d(\cos x)=-\sin x dx$, alors $\sin x dx=-d(\cos x)$. Puisque $\sin x dx=-d(\cos x)$, nous pouvons remplacer $-d(\cos x)$ dans $\int \sin x\cos x dx$ au lieu de $\sin x dx$. La valeur de l'intégrale ne changera pas :

$$ 2\cdot\int \sin x\cos x dx=2\cdot\int \cos x \cdot (-d(\cos x))=-2\int\cos x d(\cos x) $$

En d'autres termes, nous ajouté sous le différentiel$\cos x$. Maintenant, après avoir effectué la substitution $u=\cos x$, nous pouvons appliquer la formule n°1 du tableau des intégrales :

$$ -2\int\cos x d(\cos x)=|u=\cos x|=-2\int u du=-2\cdot \frac(u^2)(2)+C=-u^ 2+C=-\cos^2x+C. $$

La réponse a été reçue. En général, vous n'êtes pas obligé de saisir la lettre $u$. Lorsque vous acquerrez suffisamment de compétences pour résoudre ce type d’intégrales, le besoin de notations supplémentaires disparaîtra. La solution complète sans explication est :

$$ \int \sin 2x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx=|\sin x dx=-d(\cos x)|=-2\int\cos x d(\cos x)= |u=\cos x|=\\ =-2\int u du=-2\cdot \frac(u^2)(2)+C=-u^2+C=-\cos^2x+C. $$

Répondre: $\int \sin2x dx=-\cos^2x+C$.

Troisième voie

Pour résoudre de la troisième manière, nous appliquons la même formule trigonométrique : $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Remplaçons l'expression $2 \sin x \cos x$ au lieu de $\sin 2x$, et retirons la constante $2$ du signe intégral :

$$ \int \sin 2x dx=\int 2 \sin x\cos x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx $$

Trouvons $d(\sin x)$ en utilisant . Remplaçons $\sin x$ au lieu de $y$ dans la formule mentionnée :

$$ d(\sin x)=(\sin x)"dx=\cos x dx. $$

Donc $d(\sin x)=\cos x dx$. De l'égalité résultante, il s'ensuit que nous pouvons substituer $d(\sin x)$ dans $\int \sin x\cos x dx$ au lieu de $\cos x dx$. La valeur de l'intégrale ne changera pas :

$$ 2\cdot\int \sin x\cos x dx=2\cdot\int \sin x \cdot d(\sin x) $$

En d'autres termes, nous ajouté sous le différentiel$\péché x$. Maintenant, après avoir effectué la substitution $u=\sin x$, nous pouvons appliquer la formule n°1 du tableau des intégrales :

$$ 2\int\sin x d(\sin x)=|u=\sin x|=2\int u du=2\cdot \frac(u^2)(2)+C=u^2+C= \sin^2x+C. $$

La réponse a été reçue. La solution complète sans explication est :

$$ \int \sin 2x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx=|\cos x dx=d(\sin x)|=2\cdot\int \sin x \cdot d(\sin x)=|u=\sin x|=\\ =2\int u du=2\cdot \frac(u^2)(2)+C=u^2+C=\sin^2x+C. $$

Répondre: $\int \sin2x dx=\sin^2x+C$.

Il est possible qu'après avoir lu cet exemple, notamment les trois réponses différentes (à première vue), une question se pose. Considérons-le.

Question 3

Attendez. Les réponses devraient être les mêmes, mais elles sont différentes ! Dans l'exemple n°3, la différence ne concernait que la constante $\frac(8)(9)$, mais ici les réponses ne sont même pas similaires en apparence : $-\frac(1)(2)\cos 2x+C $, $-\ cos^2x+C$, $\sin^2x+C$. S'agit-il vraiment encore une fois de la constante intégrale $C$ ?

Oui, c’est justement cette constante qui compte. Réduisons toutes les réponses à une seule forme, après quoi cette différence de constantes deviendra complètement claire. Commençons par $-\frac(1)(2)\cos 2x+C$. Nous utilisons une égalité trigonométrique simple : $\cos 2x=1-2\sin^2 x$. Alors l'expression $-\frac(1)(2)\cos 2x+C$ deviendra :

$$ -\frac(1)(2)\cos 2x+C=-\frac(1)(2)\cdot(1-2\sin^2 x)+C=-\frac(1)(2) +\frac(1)(2)\cdot 2\sin^2x+C=\sin^2 x+C-\frac(1)(2). $$

Travaillons maintenant avec la deuxième réponse, c'est-à-dire $-\cos^2x+C$. Puisque $\cos^2 x=1-\sin^2x$, alors :

$$ -\cos^2x+C=-(1-\sin^2x)+C=-1+\sin^2x+C=\sin^2x+C-1 $$

Les trois réponses que nous avons reçues dans l'exemple n°4 étaient : $\sin^2 x+C-\frac(1)(2)$, $\sin^2x+C-1$, $\sin^2x+ C$. Je pense qu'il est désormais clair qu'ils ne diffèrent les uns des autres que par un certain nombre. Ceux. la question s’est à nouveau révélée être une constante intégrale. Comme vous pouvez le constater, une petite différence dans la constante intégrale peut, en principe, modifier considérablement l'apparence de la réponse - mais cela n'empêchera pas la réponse d'être correcte. Où je veux en venir : si vous voyez une réponse dans l'ensemble des problèmes qui ne coïncide pas avec la vôtre, cela ne veut pas du tout dire que votre réponse est incorrecte. Il est possible que vous soyez simplement arrivé à la réponse d’une manière différente de celle prévue par l’auteur du problème. Et une vérification basée sur la définition de l'intégrale indéfinie vous aidera à vérifier l'exactitude de la réponse. Par exemple, si l'intégrale $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2)\cos 2x+C$ est trouvée correctement, alors l'égalité $\left(-\frac(1)(2)\cos 2x+ C\right)"=\sin 2x$. Vérifions donc s'il est vrai que la dérivée de $\left(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\right)$ est égale à l'intégrande de $\sin 2x $ :

$$ \left(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\right)"=\left(-\frac(1)(2)\cos 2x\right)"+C"=-\frac (1)(2)\cdot(\cos 2x)"+0=\\ =-\frac(1)(2)\cdot (-\sin 2x)\cdot (2x)"=-\frac(1) (2)\cdot (-\sin 2x)\cdot 2=\sin 2x.

Le contrôle a été effectué avec succès. L'égalité $\left(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\right)"=\sin 2x$ est satisfaite, donc la formule $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2 )\cos 2x+C$ est correct. Dans l’exemple n°5, nous vérifierons également le résultat pour nous assurer qu’il est correct, bien que dans certains calculs standards cela soit nécessaire. essais il est nécessaire de vérifier le résultat.

La méthode décrite dans cet article est basée sur l'égalité ∫ f (g (x)) d (g (x)) = F (g (x)) + C. Son but est de réduire l'intégrande à la forme f (g (x)) d (g (x)). Pour l'utiliser, il est important d'avoir à portée de main une table de primitives et une table de dérivées de base. fonctions élémentaires, écrit sous forme de différentiels.

Tableau des primitives

Exemple 1

Trouver l'intégrale indéfinie ∫ sin (x 2) d (x 2) .

Solution

On voit que dans la condition l'intégrande est déjà sous le signe différentiel. D'après le tableau des primitives, ∫ sin x d x = - cos x + C, ce qui signifie ∫ sin (x 2) d (x 2) = - cos (x 2) + C.

Réponse : ∫ sin (x 2) d (x 2) = - cos (x 2) + C

Exemple 2

Trouver l'ensemble des primitives de la fonction y = ln 3 x x.

Solution

Afin de trouver la réponse, nous devons calculer ∫ ln 3 x x d x . Résolvons le problème en utilisant la méthode de subsumation du signe différentiel. D'après le tableau des dérivées, d x x = d ln x, ce qui signifie ∫ ln 3 x x d x = ∫ ln 3 x d (ln x) . En utilisant le même tableau, on peut immédiatement écrire la réponse : ∫ ln 3 x x d x = ∫ ln 3 x d (ln x) = ln 4 x 4 + C.

Une petite précision s’impose ici. Nous pouvons introduire une autre variable z = ln x et obtenir ∫ ln 3 x x d x = ∫ ln 3 x d (ln x) = ln x = z = ∫ z 3 d z . Ensuite, en utilisant le tableau des primitives pour fonctions de puissance, on peut écrire que ∫ z 3 d z = z 4 4 + C . Revenons maintenant à la variable d'origine et obtenons : z 4 4 + C = z = ln x = ln 4 x 4 + C.

Répondre:∫ ln 3 x x ré x = ln 4 x 4 + C .

En utilisant la méthode de subsumation du signe différentiel, vous pouvez également calculer les primitives de la tangente et de la cotangente.

Exemple 3

Trouver l'intégrale tangente ∫ t g x d x .

Solution

∫ t g x ré x = ∫ péché x ré x cos x

Puisque sin x d x = - d (cos x) , on peut résumer ∫ sin x d x cos x = - ∫ d (cos x) cos x . Nous prenons le tableau des primitives et constatons que - ∫ d (cos x) cos x = - ln cos x + C 1 = - ln cos x + C, où C = - C 1.

Répondre:∫ t g X ré X = - ln cos X + C .

La chose la plus difficile dans l’application de cette méthode est de déterminer la partie de la fonction qui doit être subsumée sous le signe différentiel. La capacité de le faire rapidement vient avec l’expérience.

Exemple 4

Évaluez l'intégrale indéfinie ∫ x 2 d x 1 + x 6 .

Solution

D'après le tableau des dérivées, d (x 3) = 3 x 2 d x, ce qui signifie x 2 d x = 1 3 d (x 3). Nous utilisons le tableau des intégrales de base et trouvons que ∫ d x 1 + x 2 = a r c r g x + C . Cela signifie que vous pouvez résoudre le problème en utilisant la méthode de subsumation du signe différentiel comme suit :

∫ x 2 d x 1 + x 6 = ∫ 1 3 d (x 3) 1 + x 3 2 = x 3 = t = = 1 3 ∫ d t 1 + t 2 = 1 3 a r c t g (t) + C = x 3 = t = 1 3 a r c t g (x 3) + C

Répondre:∫ x 2 d x 1 + x 6 = 1 3 a r c t g (x 3) + C

Exemple 5

Évaluez l'intégrale indéfinie ∫ d x x 2 + 2 x + 4 .

Solution

Commençons par transformer l'expression radicale.

x 2 + 2 x + 4 = x 2 + 2 x + 1 - 1 + 4 = x 2 + 2 x + 1 + 3 = x + 1 2 + 3

Après cela, nous pouvons écrire que ∫ d x x 2 + 2 x + 4 = ∫ d x x + 1 2 + 3 .

Puisque d (x + 1) = d x, alors ∫ d x x + 1 2 + 3 = ∫ d x (x + 1) x + 1 2 + 3 = x + 1 = z = ∫ d z z 2 + 3.

Regardons le tableau des primitives et trouvons la réponse :

∫ d z z 2 + 3 = ln z + z 2 + 3 + C = z = x + 1 = ln x + 1 + (x + 1) 2 + 3 + C = = ln x + 1 + x 2 + 2 x + 4+C

Réponse : ∫ d x x 2 + 2 x + 4 = ln x + 1 + x 2 + 2 x + 4 + C

Souvent, les transformations préliminaires de l’intégrande peuvent être assez complexes.

Exemple 6

Trouver l'ensemble des primitives de la fonction ∫ x d x 4 x 2 + 2 x + 1 .

Solution

Commençons également par transformer l'expression sous l'intégrale.

∫ x d x 4 x 2 + 2 x + 1 = ∫ x d x 4 x 2 1 2 x + 1 4 = ∫ x d x 2 x 2 + 1 2 x + 1 4 = = 1 2 ∫ x d x x 2 + 1 2 x + 1 16 - 1 16 + 1 4 = 1 2 ∫ x d x x + 1 4 2 + 3 16

Résumons maintenant ce qui s'est passé sous le signe différentiel.

Puisque d x + 1 4 2 + 3 16 = x + 1 4 2 + 3 16 "d x = 2 x + 1 4 2 d x = 2 x d x + d x 2, alors :

2 x d x = d x + 1 4 2 + 3 16 - d x 2 ⇒ x d x = 1 2 d x + 1 4 2 + 3 16 - d x 4

On peut donc écrire que :

1 2 ∫ x d x x + 1 4 2 + 3 16 = 1 2 ∫ 1 2 d x + 1 4 2 + 3 16 - d x 4 x + 1 4 2 + 3 16 = = 1 4 ∫ d x + 1 4 2 + 3 16 x + 1 4 2 + 3 16 - 1 8 ∫ d x x + 1 4 2 + 3 16

En fonction de d x = d x + 1 4 , vous pouvez transformer l'expression comme ceci :

1 4 ∫ d x + 1 4 2 + 3 16 x + 1 4 2 + 3 16 - 1 8 ∫ d x x + 1 4 2 + 3 16 = = 1 4 ∫ d x + 1 4 2 + 3 16 x + 1 4 2 + 3 16 - 1 8 ∫ d x + 1 4 x + 1 4 2 + 3 16 = = x + 1 4 2 + 3 16 = z x + 1 4 = t = 1 4 ∫ z - 1 2 d z - 1 8 ∫ d t t 2 + 3 16

En conséquence, nous avons obtenu deux intégrales dont les valeurs peuvent être extraites du tableau.

1 4 ∫ z - 1 2 d z - 1 8 ∫ d t t 2 + 3 16 = 1 4 1 - 1 2 + 1 z - 1 2 + 1 - 1 8 ln t + t 2 + 3 16 + C = = 1 2 z 1 2 - 1 8 ln t + t 2 + 3 16 + C = = 1 2 x + 1 4 2 + 3 16 1 2 - 1 8 ln x + 1 4 + x + 1 4 2 + 3 16 + C = = 1 2 x 2 + 1 2 x + 1 4 - 1 8 ln x + 1 4 + x 2 + 1 2 x + 1 4 + C

Réponse : ∫ x d x 4 x 2 + 2 x + 1 = 1 2 x 2 + 1 2 x + 1 4 - 1 8 ln x + 1 4 + x 2 + 1 2 x + 1 4 + C

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