La méthode de subsumer sous le signe différentiel est rarement donnée dans la littérature, nous allons donc d'abord montrer pourquoi elle est bénéfique.

Souvent dans l'intégrande on peut voir 2 fragments dont l'un similaire à dérivé une autre. Par exemple,

a) dans l'intégrale le numérateur X similaire à la dérivée de :
;

b) intégrale
peut être imaginé comme
, où
;

c) fonction
dans l'intégrale
- c'est
.

De telles intégrales sont souvent proposées pour être trouvées en remplaçant la nouvelle variable une fonction dont la dérivée découvert. Donc, pour les intégrales indiquées

Et qu'est-ce qui se passerait si
, alors
, alors
et
, où

b) parce que
, alors
, alors
et
, c'est pourquoi

La méthode de remplacement est décrite plus en détail au § 4.

Cependant, le calcul de la 3ème intégrale utilisant le remplacement est déjà associé à des difficultés. Laisse, remarquant que
, nous avons remplacé
.

Alors
et
. Express
à travers t c'est possible comme ça :

(
, c'est pourquoi
). Remplaçant:

À la suite d'actions fastidieuses, presque tout a été réduit et une simple intégrale tabulaire a été obtenue. La question se pose de savoir s'il était possible d'y parvenir plus rapidement si presque aucune expression n'était nécessaire.

En effet, il existe une solution plus courte :

puis en remplaçant
, on obtient immédiatement l'intégrale

De la même façon, on pourrait trouver les intégrales

Ici, les étapes sont présentées en détail et la moitié d'entre elles peuvent être ignorées. Ce qui suit rendra la solution particulièrement courte.

Tableau des principaux différentiels

Exemples de subsumer sous le signe différentiel

3) ;

PD1. Trouver les intégrales

1) un)
; b)
; dans)
; G)
; e)
;

e)
; et)
; h)
; et)
; à)
;

2) un)
; b)
; dans)
; G)
; e)
;

e)
; et)
; h)
; et)
; à)
;

3) un)
; b)
; dans)
; G)
; e)

e)
; et)
; h)
; et)
; à)
;

4) un)
; b)
; dans)
; G)
; e)
;

e)
; et)
; h)
; et)
; à)
;

5) un)
; b)
; dans)
; G)
; e)
;

e)
; et)
; h)
; et)
; à)
.

§ 3. Intégrales de fonctions contenant une expression quadratique

Lors de l'intégration de fonctions contenant l'expression
, la formule aidera
. Par exemple,

b)
;

Il est commode de désigner la parenthèse résultante par une nouvelle lettre et de passer à l'intégrale sur cette variable (les différentiels des nouvelles et anciennes variables coïncideront).

Le coefficient devant le carré est préférable de sortir de la parenthèse:

,

puis, si possible, pour le signe intégral. Alors,

Le remplacement a pour but de passer à une intégrale sans terme linéaire
, puisque les intégrales ne contenant que
, sont plus faciles et souvent - selon le tableau. En même temps, il est important de se rappeler que
,
, etc.

A savoir (voir § 2),

où un- n'importe quel nombre, et le nombre
. De plus, à

où
.

Remarque 1. Après le remplacement, des intégrales apparaissent souvent
,
ou
. Ils peuvent être trouvés comme ceci :

de même dans les 2e et 3e cas.

Cependant, les intégrales de la forme
sont assez complexes. Utiliser des formules toutes faites

(vérifier par différenciation que c'est bien le cas).

CI1. Trouver en utilisant l'égalité
et remplacements
:

Exemple 1(pour faire court
étiqueté comme
.

Lors de la recherche
et
pris en compte que
et
respectivement, et appliqué la règle de base de l'intégration tabulaire.

CI2. Trouvez les intégrales en développant chacune en une somme d'intégrales, dont l'une est tabulaire et l'autre est similaire à celles trouvées dans la tâche KI1 :

Exemple 2 Trouvons l'intégrale
, se développant en la somme de deux :

Réponse:(le module n'est pas nécessaire, car toujours
).

Exemple 3 Prenons de la même manière l'intégrale
:

La manière la plus rationnelle de trouver des intégrales est la suivante :

où as-tu appris ça
;

Alors où
.

Réponse: .

Remarque 2.À l'avenir, vous devrez souvent décomposer l'intégrale en 2 ou 3 intégrales, dans chacune desquelles apparaît une constante (
, etc.). Par souci de brièveté, nous entendrons (mais n'indiquerons pas) les constantes dans chaque intégrale auxiliaire individuelle (ou indiquerons, mais n'accompagnerons pas d'un nombre), et nous n'écrirons que la constante générale C dans la réponse. En même temps, toujours C est une combinaison linéaire.

CI3. Après avoir obtenu un carré plein au dénominateur et effectué un remplacement, trouvez

Exemple 4
Remarquant que

remplacer
, alors
et.

Remplacer dans l'intégrale :

Exemple 5

Puisque , on peut faire la substitution
, avec lequel
et
. Remplaçant:

Exemple 6

Ici, on remplace
, où
et
. Remplaçant:

où
. Décomposons l'intégrale en deux :

.

Comme dans les exemples précédents,

et la 2ème intégrale est tabulaire :
.

Alors, où
. Ainsi

Exemple 7

Maintenant, remplacement
, c'est pourquoi
et
.

On passe à l'intégrale de la nouvelle variable :

où
.

Nous trouverons séparément

dans)
(intégrale du tableau).

Multipliez le 2ème résultat par 7, le 3ème par 10, collectez les termes similaires et revenez à l'ancienne variable :

CI4. Trouver les intégrales des fonctions irrationnelles :

Exemple 8 Allons trouver
. Une intégrale similaire sans racine a déjà été trouvée ci-dessus (exemple 6), et il suffit d'ajouter une racine à l'étape appropriée :

,

où
. Décomposition

et trouve

b)
.

Ainsi, où
.

Réponse: .

Exemple 9
Il est pratique d'obtenir un carré plein comme celui-ci :

où
. Alors

.

remplaçons
. Où
et
:

On procède de la même manière que dans l'exemple 8 :

Réponse: .

Remarque 3. Il est impossible de retirer le signe "-" ou tout facteur commun négatif sous la racine :
;, etc. L'exemple 9 montre la seule possibilité Le droit chemin Actions.

Exemple 10 Voyons ce qui changera si on met un carré dans l'exemple 9 : on trouve
. Maintenant, après les mêmes substitutions, il s'avère que

Comme d'habitude,

et les 2e et 3e intégrales se trouvent de la même manière que dans l'exemple 9 :

;

.

Selon les instructions de la page 19, la 1ère intégrale peut être convertie comme suit :

où encore
, un

La nouvelle intégrale se trouve soit par substitution trigonométrique
, ou par intégration répétée par parties, en prenant
et
. Utilisons la formule
(page 19):

Multipliez toutes les intégrales par leurs coefficients respectifs et assemblez :

dans la réponse, nous donnons des termes similaires.

La méthode décrite dans cet article est basée sur l'égalité ∫ f (g (x)) d (g (x)) = F (g (x)) + C . Son but est de réduire l'intégrande à la forme f (g (x)) d (g (x)) . Pour son application, il est important d'avoir à portée de main un tableau des primitives et un tableau des dérivées de la base fonctions élémentairesécrites sous forme de différentiels.

Tableau des primitives

Exemple 1

Trouver l'intégrale indéfinie ∫ sin (x 2) d (x 2) .

La solution

On voit que dans la condition l'intégrande est déjà sous le signe différentiel. Selon le tableau des primitives, ∫ sin x d x \u003d - cos x + C, donc, ∫ sin (x 2) d (x 2) \u003d - cos (x 2) + C.

Réponse: ∫ sin (x 2) ré (x 2) \u003d - cos (x 2) + C

Exemple 2

Trouver l'ensemble des primitives de la fonction y = ln 3 x x .

La solution

Pour trouver la réponse, nous devons calculer ∫ ln 3 x x d x . Résolvons le problème en utilisant la méthode de sommation sous le signe de la différentielle. D'après le tableau des dérivées, d x x = d ln x , donc ∫ ln 3 x x d x = ∫ ln 3 x d (ln x) . En utilisant le même tableau, nous pouvons immédiatement écrire la réponse : ∫ ln 3 x x d x = ∫ ln 3 x d (ln x) = ln 4 x 4 + C .

Une petite explication s'impose ici. Nous pouvons introduire une autre variable z = ln x et obtenir ∫ ln 3 x x d x = ∫ ln 3 x d (ln x) = ln x = z = ∫ z 3 d z . Ensuite, en utilisant le tableau des primitives des fonctions puissance, on peut écrire que ∫ z 3 d z = z 4 4 + C . Revenons maintenant à la variable d'origine et obtenons : z 4 4 + C = z = ln x = ln 4 x 4 + C .

Réponse:∫ ln 3 X X ré X = ln 4 x 4 + C .

En utilisant la méthode de sommation sous le signe de la différentielle, vous pouvez également calculer les primitives de la tangente et de la cotangente.

Exemple 3

Trouver l'intégrale de la tangente ∫ t g x d x .

La solution

∫ t g X ré X = ∫ sin X ré X cos X

Puisque sin x d x = - d (cos x) , alors nous pouvons additionner ∫ sin x d x cos x = - ∫ d (cos x) cos x . Nous prenons le tableau des primitives et trouvons que - ∫ d (cos x) cos x = - ln cos x + C 1 = - ln cos x + C , où C = - C 1 .

Réponse:∫ t g X ré X = - ln cos X + C .

Le plus difficile dans l'application de cette méthode est de déterminer la partie de la fonction qui doit être ramenée sous le signe différentiel. La capacité de le faire vient rapidement avec l'expérience.

Exemple 4

Calculer l'intégrale indéfinie ∫ x 2 d x 1 + x 6 .

La solution

Selon le tableau des dérivés, d (x 3) \u003d 3 x 2 d x, donc x 2 d x \u003d 1 3 d (x 3) . En utilisant le tableau des intégrales principales, nous trouvons que ∫ d x 1 + x 2 = a r c r g x + C . Ainsi, vous pouvez résoudre le problème en additionnant sous le signe différentiel comme suit :

∫ X 2 ré X 1 + X 6 = ∫ 1 3 ré (x 3) 1 + X 3 2 = X 3 = t = = 1 3 ∫ ré t 1 + t 2 = 1 3 une r c t g (t) + C = X 3 = t = 1 3 une r c t g (x 3) + C

Réponse:∫ X 2 ré X 1 + X 6 = 1 3 une r c t g (x 3) + C

Exemple 5

Calculer l'intégrale indéfinie ∫ d x x 2 + 2 x + 4 .

La solution

Commençons par la transformation de l'expression radicale.

X 2 + 2 X + 4 = X 2 + 2 X + 1 - 1 + 4 = X 2 + 2 X + 1 + 3 = X + 1 2 + 3

Après cela, nous pouvons écrire que ∫ d x x 2 + 2 x + 4 = ∫ d x x + 1 2 + 3 .

Puisque ré (x + 1) = ré x , alors ∫ ré x x + 1 2 + 3 = ∫ ré x (x + 1) x + 1 2 + 3 = x + 1 = z = ∫ ré z z 2 + 3 .

Regardons le tableau des primitives et trouvons la réponse :

∫ ré z z 2 + 3 = ln z + z 2 + 3 + C = z = X + 1 = ln X + 1 + (x + 1) 2 + 3 + C = = ln X + 1 + X 2 + 2 X + 4+C

Réponse : ∫ d X X 2 + 2 X + 4 = ln X + 1 + X 2 + 2 X + 4 + C

Souvent, les transformations préliminaires de l'intégrande sont très complexes.

Exemple 6

Trouver l'ensemble des primitives de la fonction ∫ x d x 4 x 2 + 2 x + 1 .

La solution

Commençons aussi par la transformation de l'expression sous l'intégrale.

∫ X ré X 4 X 2 + 2 X + 1 = ∫ X ré X 4 X 2 1 2 X + 1 4 = ∫ X ré X 2 X 2 + 1 2 X + 1 4 = = 1 2 ∫ X ré X X 2 + 1 2 X + 1 16 - 1 16 + 1 4 = 1 2 ∫ X ré X X + 1 4 2 + 3 16

Résumons maintenant ce qui s'est passé sous le signe du différentiel.

Puisque d x + 1 4 2 + 3 16 \u003d x + 1 4 2 + 3 16 "d x \u003d 2 x + 1 4 2 d x \u003d 2 x d x + d x 2, alors :

2 X ré X = ré X + 1 4 2 + 3 16 - ré X 2 ⇒ X ré X = 1 2 ré X + 1 4 2 + 3 16 - ré X 4

Par conséquent, nous pouvons écrire que :

1 2 ∫ X ré X X + 1 4 2 + 3 16 = 1 2 ∫ 1 2 ré X + 1 4 2 + 3 16 - ré X 4 X + 1 4 2 + 3 16 = = 1 4 ∫ ré X + 1 4 2 + 3 16 X + 1 4 2 + 3 16 - 1 8 ∫ ré X X + 1 4 2 + 3 16

Basé sur d x = d x + 1 4 , vous pouvez transformer l'expression comme ceci :

1 4 ∫ ré X + 1 4 2 + 3 16 X + 1 4 2 + 3 16 - 1 8 ∫ ré X X + 1 4 2 + 3 16 = = 1 4 ∫ ré X + 1 4 2 + 3 16 X + 1 4 2 + 3 16 - 1 8 ∫ ré X + 1 4 X + 1 4 2 + 3 16 = = X + 1 4 2 + 3 16 = z X + 1 4 = t = 1 4 ∫ z - 1 2 ré z - 1 8 ∫ ré t t 2 + 3 16

En conséquence, nous avons obtenu deux intégrales dont les valeurs peuvent être extraites du tableau.

1 4 ∫ z - 1 2 ré z - 1 8 ∫ ré t t 2 + 3 16 = 1 4 1 - 1 2 + 1 z - 1 2 + 1 - 1 8 ln t + t 2 + 3 16 + C = = 1 2 z 1 2 - 1 8 ln t + t 2 + 3 16 + C = = 1 2 x + 1 4 2 + 3 16 1 2 - 1 8 ln x + 1 4 + x + 1 4 2 + 3 16 + C = = 1 2 x 2 + 1 2 x + 1 4 - 1 8 ln x + 1 4 + x 2 + 1 2 x + 1 4 + C

Réponse : ∫ x ré x 4 x 2 + 2 x + 1 = 1 2 x 2 + 1 2 x + 1 4 - 1 8 ln x + 1 4 + x 2 + 1 2 x + 1 4 + C

Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez le mettre en surbrillance et appuyer sur Ctrl+Entrée

Lors de la résolution de certains types d'intégrales, une transformation est effectuée, comme on dit insertion sous le signe différentiel. Ceci est fait afin d'obtenir une intégrale tabulaire et de la prendre facilement. Pour cela, appliquez la formule : $$ f"(x) dx = d(f(x)) $$

je voudrais souligner ceci nuance importante auxquels les élèves pensent. En quoi cette méthode diffère-t-elle de la méthode de remplacement d'une variable (substitution) ? C'est la même chose, sauf que ça a l'air différent dans les enregistrements. Les deux sont corrects.

Formule

Si le produit de deux fonctions est tracé dans l'intégrande, dont l'une est la différentielle de l'autre, alors mis sous le signe de la différentielle fonction désirée. Ressemble à ça de la manière suivante:

$$ \int f(\varphi(x)) \varphi"(x) dx = \int f(\varphi(x)) d(\varphi(x))=\int f(u) du $$ $$ u=\varphi(x) $$

Résumé des fonctions principales

Pour utiliser avec succès cette méthode de résolution, vous devez connaître les tables de dérivées et d'intégration. Les formules suivantes en découlent :

Exemples de solutions

Ainsi, dans l'article, nous avons analysé comment certains types d'intégrales sont résolus en entrant sous le signe différentiel. Nous avons rappelé les différentielles des fonctions élémentaires fréquemment utilisées. Si ce n'est pas possible ou s'il n'y a pas assez de temps pour résoudre les problèmes travaux de contrôle indépendamment, nous vous aiderons à dès que possible. Remplissez simplement le formulaire de commande et nous vous contacterons.

Amener le numérateur sous le signe de la différentielle

C'est la dernière partie de la leçon, cependant, les intégrales de ce type sont assez courantes ! Si la fatigue s'est accumulée, peut-être vaut-il mieux lire demain ? ;)

Les intégrales que nous allons considérer sont similaires aux intégrales du paragraphe précédent, elles ont la forme : ou (les coefficients , et ne sont pas égaux à zéro).

C'est-à-dire que nous avons au numérateur fonction linéaire. Comment résoudre de telles intégrales ?

Exemple 14

S'il vous plaît soyez prudent, nous allons maintenant considérer un algorithme typique.

1) Lorsqu'une intégrale de la forme ou est donnée (coefficients , et ne sont pas égaux à zéro), alors la première chose que nous faisons est de... prendre un brouillon. Le fait est que nous devons maintenant effectuer une petite sélection.

2) On conclut l'expression qui est au dénominateur (peu importe - sous la racine ou sans la racine) sous le signe différentiel, dans cet exemple :

3) Ouverture du différentiel :

Regardons le numérateur de notre intégrale :

Des choses légèrement différentes se sont avérées .... Et maintenant, nous devons choisir un facteur pour le différentiel , de sorte que lorsqu'il est ouvert, il s'avère au moins . Dans ce cas, le multiplicateur approprié est :

4) Pour la maîtrise de soi, on ouvre à nouveau notre différentiel :

Reprenons le numérateur de notre intégrale : .
Déjà plus proche, mais on se trompe de terme :

5) A notre différentiel :
- on attribue le terme que l'on avait à l'origine dans l'intégrande :

- Soustraire ( dans ce cas - soustraire, il faut parfois, au contraire, ajouter) notre terme "pas ça":
- Nous prenons les deux constantes entre parenthèses et affectons l'icône différentielle à droite :

- Soustraire (dans certains exemples, vous devez ajouter) constantes :

6) Nous vérifions :

Nous avons obtenu exactement le numérateur de l'intégrande, ce qui signifie que la sélection a réussi.

La conception épurée de la solution ressemble à ceci :

(1) Nous sélectionnons le numérateur sur le brouillon selon l'algorithme ci-dessus. Assurez-vous de vérifier si la sélection est correcte. Avec une certaine expérience dans la résolution d'intégrales, la sélection n'est pas difficile à effectuer dans l'esprit.

(2) Diviser le numérateur par le dénominateur terme à terme. Dans la résolution de problèmes pratiques, cette étape peut être omise

(3) En utilisant la propriété de linéarité, nous séparons les intégrales. Il convient de supprimer toutes les constantes en dehors des signes des intégrales.

(4) La première intégrale est en fait tabulaire, nous utilisons la formule (nous attribuerons la constante plus tard, lorsque nous prendrons la deuxième intégrale). Dans la deuxième intégrale, nous distinguons le carré plein (nous avons considéré ce type d'intégrales dans le paragraphe précédent).

Le reste est une question de technique.

Et, pour une collation, quelques exemples de solution indépendante- l'un est plus facile, l'autre est plus difficile.

Exemple 15

Trouvez l'intégrale indéfinie :

Exemple 16

Trouvez l'intégrale indéfinie :

Pour résoudre ces exemples, un cas particulier d'intégration sera utile fonction de puissance, qui n'est pas dans ma table :

Comme vous pouvez le constater, l'intégration des fractions est une tâche fastidieuse, vous devez souvent utiliser des astuces et des sélections artificielles. Mais que faire…

Il existe d'autres types de fractions, les fonctions dites fractionnaires-rationnelles, elles sont résolues par la méthode des coefficients indéfinis. Mais c'est le sujet de la leçon. Intégration de fonctions fractionnellement rationnelles.

§ 5. Intégrales et leurs applications

.

5.1. Définitions et formules de base. Fonction F(X) est fonction primitive F(X), si sur un plateau Xégalité F (X)= F(X). La collection de toutes les primitives pour F(X) appelé intégrale indéfinie et est noté. En même temps, si F(X) - n'importe lequel des originaux F(X), alors
, constant C parcourt tout l'ensemble des nombres réels. Le tableau 2 montre les principales formules dans lesquelles tu= tu(X).

Tableau 2

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) , 9)

10) 11) 12) 13) 14) 15) 16)

Si un F(X) est une fonction continue sur l'intervalle [ un; b], existe alors Intégrale définie de cette fonction, qui peut être calculée à partir de Formule de Newton-Leibniz:

, (5.1)

où F(X) - tout prototype F(X). Contrairement à l'intégrale indéfinie (qui est un ensemble de fonctions), l'intégrale définie est un nombre.

Les intégrales indéfinies et définies ont la propriété linéarité(l'intégrale de la somme des fonctions est égale à la somme des intégrales, et le facteur constant peut être extrait du signe intégral):

.

Exemple 5.1. Trouver un)
; b)
.

La solution. Dans la tâche un) on simplifie d'abord l'intégrande en divisant terme par terme chaque terme du numérateur par le dénominateur, puis on utilise la propriété linéarité et formules "tableaux" 1)-3):

Dans la tâche b) outre linéarité et formules "tableaux" 3), 9), 1), utiliser la formule de Newton-Leibniz (5.1):

5.2. Insertion sous le signe du différentiel et changement de variable. On peut voir que parfois une partie de l'intégrande forme un différentiel d'une expression, ce qui permet l'utilisation de formules tabulaires.

Exemple 5.2 Trouver un)
; b)
.

La solution. Dans l'exemple un) on peut remarquer que
puis utiliser la formule 5) à tu=ln X:

Lorsque b)
, et donc en raison de 11) à
on a:

Remarque 1. Lors de l'introduction sous le signe différentiel, il est utile, en plus de ceux utilisés ci-dessus, de prendre en compte les relations suivantes :

;
;
; ; ;

;
;
;
.

Remarque 2. Intégrales de exemple 5.2. peut également être trouvée en modifiant la variable. Dans ce cas, dans une certaine intégrale, les limites d'intégration doivent également être modifiées. Conversions en 5.2.b) ressemblerait à ceci, par exemple :

Dans le cas général, le choix du remplacement est déterminé par la forme de l'intégrande. Dans certains cas, des remplacements spéciaux sont recommandés. Par exemple, si l'expression contient une irrationalité de la forme
, alors on peut mettre
ou
.

Exemple 5.3 Trouver un)
; b)
.

La solution. Lorsque un) Nous avons

(après remplacement, la formule tabulaire a été appliquée 11 )).

Au moment de décider b) nous changeons nécessairement les limites de l'intégration.

5.3. Intégration par parties. Dans certains cas, la "formule d'intégration par parties" aide. Pour l'intégrale indéfinie, elle a la forme

, (5.2)

pour une certaine

, (5.3)

Il est important de prendre en compte les éléments suivants.

1) Si l'intégrande contient le produit d'un polynôme de X sur les fonctions
, alors comme tu un polynôme est choisi, et l'expression restant sous le signe intégral fait référence à DV.

2) Si l'intégrande contient l'inverse trigonométrique ( ) ou logarithmique (
) fonction, alors comme tu l'un d'eux est sélectionné.

Exemple 5.4. Trouver un)
; b)
.

La solution. Lorsque un) appliquer la formule (5.2) et deuxième règle. Exactement, supposons
. Alors
. Plus loin,
, et donc
. Par conséquent, . Dans l'intégrale résultante, nous sélectionnons la partie entière de l'intégrande (cela se fait lorsque le degré du numérateur n'est pas inférieur au degré du dénominateur):

.

La solution finale ressemble à ceci :

Dans l'exemple b) utilisation (5.3) et la première des règles.

5.4. Intégration d'expressions contenant un trinôme carré. Les idées principales sont d'isoler un carré plein dans un trinôme carré et d'effectuer un remplacement linéaire, ce qui permet de réduire l'intégrale d'origine à une forme tabulaire 10 )-16 ).

Exemple 5.5. Trouver un)
; b)
; dans)
.

La solution. Lorsque un) nous agissons comme suit :

donc (en tenant compte 13) )

Lors de la résolution de l'exemple b) des transformations supplémentaires sont nécessaires en raison de la présence d'une variable dans le numérateur de l'intégrande. En sélectionnant le carré plein au dénominateur (), nous obtenons :

Pour la seconde des intégrales, en raison de 11) (tableau 2) nous avons :
. Dans la première intégrale, on introduit sous le signe de la différentielle :

Ainsi, en mettant tout ensemble et en revenant à la variable X, on a:

Dans l'exemple dans) nous présélectionnons également le carré plein :

5.5. Intégration des fonctions trigonométriques les plus simples. Lors de l'intégration d'expressions de la forme
(où m et n – entiers), il est recommandé de tenir compte des règles suivantes.

1) Si les deux degrés sont pairs, alors les formules de « diminution de degré » sont appliquées : ; .

2) Supposons que l'un des nombres m et n- étrange. Par exemple, n=2 k+1. Dans ce cas, une des puissances de la fonction cox "séparer" pour mettre sous le signe différentiel (parce que ). Dans l'expression restante
en utilisant l'identité trigonométrique de base
exprimer à travers
(). Après transformation de l'intégrande (et prise en compte de la propriété de linéarité), on obtient une somme algébrique d'intégrales de la forme
, dont chacun peut être trouvé en utilisant la formule 2) du tableau 2 :
.

De plus, dans certains cas, les formules sont également utiles

Exemple 5.6. Trouver un)
; b)
; dans)
.

La solution. un) L'intégrande comprend une puissance impaire (5ème) péché, donc on agit sur deuxième règle, étant donné que .

Dans l'exemple b) utiliser la formule (5.4 ), linéarité intégrale indéfinie, égalité
et formule tabulaire 4):

Lorsque dans) successivement baisser le degré, on tient compte de la linéarité, de la possibilité d'introduire une constante sous le signe différentiel et des formules tabulaires nécessaires :

5.6. Applications d'une intégrale définie. Comme on le sait, un trapèze curviligne correspondant à un non négatif et continu sur le segment [ un; b] les fonctions F(X), appelé la zone délimitée par le graphe de la fonction y= F(X), axe BŒUF et deux lignes verticales X= un, X= b. Brièvement, cela peut s'écrire comme suit : fig.3). et où