Trouvez des solutions partielles d'équations différentielles en ligne. Solution des équations différentielles les plus simples du premier ordre

I. Équations différentielles ordinaires

1.1. Concepts de base et définitions

Une équation différentielle est une équation qui relie une variable indépendante X, la fonction désirée y et ses dérivés ou différentiels.

Symboliquement, l'équation différentielle s'écrit :

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y(n))=0

Une équation différentielle est dite ordinaire si la fonction recherchée dépend d'une variable indépendante.

En résolvant l'équation différentielle est appelée une telle fonction qui transforme cette équation en une identité.

L'ordre de l'équation différentielle est l'ordre de la dérivée la plus élevée dans cette équation

Exemples.

1. Considérez l'équation différentielle du premier ordre

La solution de cette équation est la fonction y = 5 ln x. En effet, en substituant y" dans l'équation, nous obtenons - une identité.

Et cela signifie que la fonction y = 5 ln x– est la solution de cette équation différentielle.

2. Considérez l'équation différentielle du second ordre y" - 5y" + 6y = 0. La fonction est la solution de cette équation.

Vraiment, .

En substituant ces expressions dans l'équation, on obtient : , - identité.

Et cela signifie que la fonction est la solution de cette équation différentielle.

Intégration des équations différentielles est le processus de recherche de solutions aux équations différentielles.

Solution générale de l'équation différentielle est appelée une fonction de la forme , qui comprend autant de constantes arbitraires indépendantes que l'ordre de l'équation.

Solution partielle de l'équation différentielle est appelée la solution obtenue à partir de la solution générale pour différentes valeurs numériques de constantes arbitraires. Les valeurs des constantes arbitraires se trouvent à certaines valeurs initiales de l'argument et de la fonction.

Le graphique d'une solution particulière d'une équation différentielle est appelé courbe intégrale.

Exemples

1. Trouver une solution particulière à une équation différentielle du premier ordre

xdx + ydy = 0, si y= 4 à X = 3.

La solution. En intégrant les deux côtés de l'équation, on obtient

Commentaire. Une constante arbitraire C obtenue à la suite de l'intégration peut être représentée sous n'importe quelle forme pratique pour d'autres transformations. Dans ce cas, compte tenu de l'équation canonique du cercle, il convient de représenter une constante arbitraire С sous la forme .

- décision communeéquation différentielle.

Une solution particulière d'une équation qui satisfait les conditions initiales y = 4 à X = 3 se trouve à partir du général en substituant les conditions initiales dans la solution générale : 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

En remplaçant C=5 dans la solution générale, on obtient x2+y2 = 5 2 .

Il s'agit d'une solution particulière de l'équation différentielle obtenue à partir de la solution générale dans des conditions initiales données.

2. Trouver la solution générale de l'équation différentielle

La solution de cette équation est toute fonction de la forme , où C est une constante arbitraire. En effet, en substituant dans les équations, on obtient : , .

Par conséquent, cette équation différentielle a un nombre infini de solutions, puisque pour différentes valeurs de la constante C, l'égalité détermine différentes solutions de l'équation.

Par exemple, par substitution directe, on peut vérifier que les fonctions sont des solutions de l'équation .

Un problème dans lequel il est nécessaire de trouver une solution particulière à l'équation y" = f(x, y) satisfaisant la condition initiale y(x0) = y0, est appelé le problème de Cauchy.

Solution d'équation y" = f(x, y), satisfaisant la condition initiale, y(x0) = y0, est appelée une solution au problème de Cauchy.

La solution du problème de Cauchy a une signification géométrique simple. En effet, selon ces définitions, pour résoudre le problème de Cauchy y" = f(x, y)à condition y(x0) = y0, signifie trouver la courbe intégrale de l'équation y" = f(x, y) qui passe par point donné M0 (x0,y 0).

II. Équations différentielles du premier ordre

2.1. Concepts de base

Une équation différentielle du premier ordre est une équation de la forme F(x,y,y") = 0.

L'équation différentielle du premier ordre inclut la dérivée première et n'inclut pas les dérivées d'ordre supérieur.

L'équation y" = f(x, y) est appelée une équation du premier ordre résolue par rapport à la dérivée.

Une solution générale d'une équation différentielle du premier ordre est une fonction de la forme , qui contient une constante arbitraire.

Exemple. Considérons une équation différentielle du premier ordre.

La solution de cette équation est la fonction .

En effet, en remplaçant dans cette équation par sa valeur, on obtient

C'est 3x=3x

Par conséquent, la fonction est une solution générale de l'équation pour toute constante C.

Trouver une solution particulière de cette équation qui satisfait la condition initiale y(1)=1 Substitution des conditions initiales x=1, y=1 dans la solution générale de l'équation , on obtient d'où C=0.

Ainsi, on obtient une solution particulière à partir de la solution générale en substituant dans cette équation, la valeur résultante C=0 est une décision privée.

2.2. Équations différentielles à variables séparables

Une équation différentielle à variables séparables est une équation de la forme : y"=f(x)g(y) ou par des différentiels, où f(x) et g(y) se voient attribuer des fonctions.

Pour ceux y, pour lequel , l'équation y"=f(x)g(y) est équivalente à l'équation dans laquelle la variable y est présent uniquement sur le côté gauche, et la variable x est présente uniquement sur le côté droit. Ils disent, "dans l'équation y"=f(x)g(y séparant les variables.

Équation de type est appelée une équation à variables séparées.

Après avoir intégré les deux parties de l'équation sur X, on a G(y) = F(x) + C est la solution générale de l'équation, où G(y) et F(x) sont des primitives, respectivement, de fonctions et f(x), C constante arbitraire.

Algorithme de résolution d'une équation différentielle du premier ordre à variables séparables

Exemple 1

résous l'équation y" = xy

La solution. Dérivée d'une fonction y" remplacer par

on sépare les variables

Intégrons les deux parties de l'égalité :

Exemple 2

2aa" = 1- 3x 2, si y 0 = 3à x0 = 1

Il s'agit d'une équation à variables séparées. Représentons-le en différentielles. Pour ce faire, on réécrit cette équation sous la forme D'ici

En intégrant les deux parties de la dernière égalité, on trouve

Substitution des valeurs initiales x 0 = 1, y 0 = 3 trouver DE 9=1-1+C, c'est à dire. C = 9.

Par conséquent, l'intégrale partielle souhaitée sera ou

Exemple 3

Écrire une équation pour une courbe passant par un point M(2;-3) et ayant une tangente à une pente

La solution. Selon l'état

Il s'agit d'une équation à variable séparable. En divisant les variables, on obtient :

En intégrant les deux parties de l'équation, on obtient :

En utilisant les conditions initiales, x=2 et y=-3 trouver C:

Par conséquent, l'équation recherchée a la forme

2.3. Linéaire équations différentielles Premier ordre

Une équation différentielle linéaire du premier ordre est une équation de la forme y" = f(x)y + g(x)

où f(x) et g(x)- certaines fonctions données.

Si un g(x)=0 alors l'équation différentielle linéaire est dite homogène et a la forme : y" = f(x)y

Si alors l'équation y" = f(x)y + g(x) dit hétérogène.

Solution générale d'une équation différentielle homogène linéaire y" = f(x)y donnée par la formule : où DE est une constante arbitraire.

En particulier, si C \u003d 0, alors la solution est y=0 Si linéaire équation homogène a la forme y" = ky où k est une constante, alors sa solution générale est de la forme : .

Solution générale d'une équation différentielle inhomogène linéaire y" = f(x)y + g(x) donnée par la formule ,

ceux. est égal à la somme de la solution générale de l'équation homogène linéaire correspondante et de la solution particulière de cette équation.

Pour une équation linéaire inhomogène de la forme y" = kx + b,

où k et b- certains nombres et une solution particulière seront une fonction constante. La solution générale est donc de la forme .

Exemple. résous l'équation y" + 2y +3 = 0

La solution. Nous représentons l'équation sous la forme y" = -2y - 3 où k=-2, b=-3 La solution générale est donnée par la formule .

Par conséquent, où C est une constante arbitraire.

2.4. Solution d'équations différentielles linéaires du premier ordre par la méthode de Bernoulli

Trouver une solution générale à une équation différentielle linéaire du premier ordre y" = f(x)y + g(x) se réduit à résoudre deux équations différentielles avec des variables séparées en utilisant la substitution y=uv, où tu et v- fonctions inconnues de X. Cette méthode de résolution s'appelle la méthode de Bernoulli.

Algorithme de résolution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre

y" = f(x)y + g(x)

1. Entrez un remplacement y=uv.

2. Différencier cette égalité y"=u"v + uv"

3. Substitut y et y" dans équation donnée: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) ou u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Regroupez les termes de l'équation de sorte que tu sortez-le des parenthèses :

5. À partir de la parenthèse, en l'assimilant à zéro, trouvez la fonction

C'est une équation séparable :

Divisez les variables et obtenez :

Où . .

6. Remplacez la valeur reçue v dans l'équation (du point 4):

et trouver la fonction Ceci est une équation séparable :

7. Écrivez la solution générale sous la forme : , c'est à dire. .

Exemple 1

Trouver une solution particulière à l'équation y" = -2y +3 = 0 si y=1à x=0

La solution. Résolvons-le avec substitution y=uv,.y"=u"v + uv"

Remplacer y et y" dans cette équation, on obtient

En regroupant les deuxième et troisième termes du côté gauche de l'équation, on retire le facteur commun tu hors parenthèses

Nous assimilons l'expression entre parenthèses à zéro et, après avoir résolu l'équation résultante, nous trouvons la fonction v = v(x)

Nous avons obtenu une équation avec des variables séparées. Nous intégrons les deux parties de cette équation : Trouvez la fonction v:

Remplacer la valeur résultante v dans l'équation On obtient :

Il s'agit d'une équation à variables séparées. On intègre les deux parties de l'équation : Trouvons la fonction u = u(x,c) Trouvons une solution générale : Trouvons une solution particulière de l'équation qui satisfait les conditions initiales y=1à x=0:

III. Équations différentielles d'ordre supérieur

3.1. Concepts de base et définitions

Une équation différentielle du second ordre est une équation contenant des dérivées non supérieures au second ordre. Dans le cas général, l'équation différentielle du second ordre s'écrit : F(x,y,y",y") = 0

La solution générale d'une équation différentielle du second ordre est une fonction de la forme , qui comprend deux constantes arbitraires C1 et C2.

Une solution particulière d'une équation différentielle du second ordre est une solution obtenue à partir de la solution générale pour certaines valeurs de constantes arbitraires C1 et C2.

3.2. Équations différentielles homogènes linéaires du second ordre avec rapports constants.

Équation différentielle homogène linéaire du second ordre à coefficients constants est appelée une équation de la forme y" + py" + qy = 0, où p et q sont des valeurs constantes.

Algorithme de résolution d'équations différentielles homogènes du second ordre à coefficients constants

1. Écrivez l'équation différentielle sous la forme : y" + py" + qy = 0.

2. Composez son équation caractéristique, notant y"à travers r2, y"à travers r, y en 1: r2 + pr + q = 0

Solution d'équations différentielles. Merci à notre un service en ligne vous pouvez résoudre des équations différentielles de toute nature et de toute complexité : inhomogène, homogène, non linéaire, linéaire, premier, second ordre, avec ou sans variables séparables, etc. Vous obtenez la solution des équations différentielles sous forme analytique avec Description détaillée. Beaucoup s'y intéressent : pourquoi est-il nécessaire de résoudre des équations différentielles en ligne ? Ce type d'équations est très courant en mathématiques et en physique, où il sera impossible de résoudre de nombreux problèmes sans calculer l'équation différentielle. De plus, les équations différentielles sont courantes en économie, en médecine, en biologie, en chimie et dans d'autres sciences. Résoudre une telle équation en ligne facilite grandement vos tâches, permet de mieux appréhender la matière et de vous tester. Avantages de résoudre des équations différentielles en ligne. 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Par exemple, si vous spécifiez y(t) dans une équation différentielle, notre service déterminera automatiquement que y est une fonction de la variable t. L'ordre de l'équation différentielle entière dépendra de l'ordre maximum de la dérivée de la fonction présente dans l'équation. Résoudre une telle équation signifie trouver la fonction recherchée. Notre service vous aidera à résoudre des équations différentielles en ligne. Il ne faut pas beaucoup d'efforts de votre part pour résoudre l'équation. Il vous suffit d'entrer les parties gauche et droite de votre équation dans les champs requis et de cliquer sur le bouton "Solution". Lors de la saisie de la dérivée d'une fonction, il est nécessaire de la désigner par une apostrophe. En quelques secondes, vous aurez solution détailléeéquation différentielle. Notre service est absolument gratuit. Équations différentielles à variables séparables. Si dans une équation différentielle du côté gauche il y a une expression qui dépend de y, et du côté droit il y a une expression qui dépend de x, alors une telle équation différentielle est appelée avec des variables séparables. Sur le côté gauche, il peut y avoir une dérivée de y, la solution des équations différentielles de ce type sera sous la forme d'une fonction de y, exprimée par l'intégrale du côté droit de l'équation. S'il y a un différentiel d'une fonction de y sur le côté gauche, alors les deux parties de l'équation sont intégrées. Lorsque les variables d'une équation différentielle ne sont pas séparées, elles devront être divisées pour obtenir une équation différentielle séparée. Équation différentielle linéaire. Une équation différentielle est dite linéaire si la fonction et toutes ses dérivées sont au premier degré. Forme généraleéquations : y'+a1(x)y=f(x). f(x) et a1(x) sont fonctions continues de x. La solution d'équations différentielles de ce type se réduit à l'intégration de deux équations différentielles à variables séparées. L'ordre de l'équation différentielle. L'équation différentielle peut être du premier, deuxième, n-ième ordre. L'ordre d'une équation différentielle détermine l'ordre de la dérivée la plus élevée qu'elle contient. Dans notre service, vous pouvez résoudre des équations différentielles en ligne d'abord, deuxième, troisième, etc. ordre. La solution de l'équation sera n'importe quelle fonction y=f(x), en la remplaçant dans l'équation, vous obtiendrez une identité. Le processus de recherche d'une solution à une équation différentielle est appelé intégration. Problème de Cauchy. Si, en plus de l'équation différentielle elle-même, la condition initiale y(x0)=y0 est spécifiée, alors cela s'appelle le problème de Cauchy. Les indicateurs y0 et x0 sont ajoutés à la solution de l'équation et la valeur d'une constante arbitraire C est déterminée, puis une solution particulière de l'équation pour cette valeur de C. C'est la solution du problème de Cauchy. Le problème de Cauchy est aussi appelé problème avec conditions aux limites, ce qui est très courant en physique et en mécanique. Vous avez également la possibilité de poser le problème de Cauchy, c'est-à-dire à partir de tous solutions possibles de l'équation, choisissez un quotient qui respecte les conditions initiales données.

Équation différentielle (DE) est l'équation,
où sont des variables indépendantes, y est une fonction et sont des dérivées partielles.

Équation différentielle ordinaire est une équation différentielle qui n'a qu'une seule variable indépendante, .

Différentes partie de l'équation est une équation différentielle qui a deux ou plusieurs variables indépendantes.

Les mots « ordinaires » et « dérivées partielles » peuvent être omis s'il est clair quelle équation est considérée. Dans ce qui suit, des équations différentielles ordinaires sont considérées.

Ordre de l'équation différentielle est l'ordre de la dérivée la plus élevée.

Voici un exemple d'équation du premier ordre :

Voici un exemple d'équation du quatrième ordre :

Parfois, une équation différentielle du premier ordre est écrite en termes de différentiels :

Dans ce cas, les variables x et y sont égales. Autrement dit, la variable indépendante peut être x ou y . Dans le premier cas, y est une fonction de x . Dans le second cas, x est une fonction de y . Si nécessaire, on peut amener cette équation sous une forme dans laquelle la dérivée y′ entre explicitement.
En divisant cette équation par dx , on obtient :
.
Puisque et , il s'ensuit que
.

Solution d'équations différentielles

Dérivés de fonctions élémentaires sont exprimées en termes de fonctions élémentaires. Les intégrales de fonctions élémentaires ne sont souvent pas exprimées en termes de fonctions élémentaires. Avec les équations différentielles, la situation est encore pire. Grâce à la solution, vous pouvez obtenir :

• dépendance explicite d'une fonction sur une variable;

  Résolution d'une équation différentielle est la fonction y = u (X), qui est défini, est différentiable n fois, et .

• dépendance implicite sous la forme d'une équation de type Φ (x, y) = 0 ou systèmes d'équations;

  Intégrale de l'équation différentielle est une solution d'une équation différentielle qui a une forme implicite.

• dépendance exprimée par des fonctions élémentaires et des intégrales de celles-ci ;

  Solution d'une équation différentielle en quadratures - c'est trouver une solution sous la forme d'une combinaison de fonctions élémentaires et de leurs intégrales.

• la solution ne peut pas être exprimée en termes de fonctions élémentaires.

La solution d'équations différentielles se réduisant au calcul d'intégrales, la solution comprend un ensemble de constantes C 1 , C 2 , C 3 , ... C n . Le nombre de constantes est égal à l'ordre de l'équation. Intégrale partielle d'une équation différentielle est l'intégrale générale pour les valeurs données des constantes C 1 , C 2 , C 3 , ... , C n .

Références:
V.V. Stepanov, Cours d'équations différentielles, LKI, 2015.
N. M. Gunther, R.O. Kuzmin, Collection de problèmes en mathématiques supérieures, Lan, 2003.

6.1. CONCEPTS DE BASE ET DÉFINITIONS

Au moment de décider diverses tâches mathématiques et physique, biologie et médecine, bien souvent il n'est pas possible d'établir immédiatement une dépendance fonctionnelle sous la forme d'une formule reliant variables qui décrivent le processus étudié. Habituellement, on doit utiliser des équations contenant, en plus de la variable indépendante et de la fonction inconnue, également ses dérivées.

Définition. Une équation reliant une variable indépendante, une fonction inconnue et ses dérivées d'ordres divers est appelée différentiel.

La fonction inconnue est généralement notée y(x) ou simplement y, et ses dérivés sont y", y" etc.

D'autres notations sont également possibles, par exemple : si y= x(t), alors x"(t), x""(t) sont ses dérivés, et t est une variable indépendante.

Définition. Si la fonction dépend d'une variable, alors l'équation différentielle est dite ordinaire. Forme générale équation différentielle ordinaire:

ou

Les fonctions F et F peut ne pas contenir certains arguments, mais pour que les équations soient différentielles, la présence d'une dérivée est essentielle.

Définition.L'ordre de l'équation différentielle est l'ordre de la dérivée la plus élevée qui y est incluse.

Par exemple, x 2 ans"- y= 0, y" + péché X= 0 sont des équations du premier ordre, et y"+ 2 y"+ 5 y= X est une équation du second ordre.

Lors de la résolution d'équations différentielles, l'opération d'intégration est utilisée, qui est associée à l'apparition d'une constante arbitraire. Si l'action d'intégration est appliquée n fois, alors, évidemment, la solution contiendra n constantes arbitraires.

6.2. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE

Forme générale équation différentielle du premier ordre est défini par l'expression

L'équation peut ne pas contenir explicitement X et y, mais contient nécessairement y".

Si l'équation peut s'écrire

on obtient alors une équation différentielle du premier ordre résolue par rapport à la dérivée.

Définition. La solution générale de l'équation différentielle du premier ordre (6.3) (ou (6.4)) est l'ensemble des solutions , où DE est une constante arbitraire.

Le graphe de résolution d'une équation différentielle s'appelle courbe intégrale.

Donner une constante arbitraire DE différentes valeurs, il est possible d'obtenir des solutions particulières. En surface xOy la solution générale est une famille de courbes intégrales correspondant à chaque solution particulière.

Si vous fixez un point A(x0, y0), par lequel doit passer la courbe intégrale, puis, en règle générale, à partir de l'ensemble des fonctions on peut être distingué - une solution particulière.

Définition.Décision privée d'une équation différentielle est sa solution qui ne contient pas de constantes arbitraires.

Si un est une solution générale, alors de la condition

vous pouvez trouver un permanent DE. L'état s'appelle condition initiale.

Le problème de trouver une solution particulière d'une équation différentielle (6.3) ou (6.4) qui satisfait la condition initiale à appelé le problème de Cauchy. Ce problème a-t-il toujours une solution ? La réponse est contenue dans le théorème suivant.

Théorème de Cauchy(théorème d'existence et d'unicité de la solution). Soit dans l'équation différentielle y"= f(x, y) fonction f(x, y) et elle

dérivée partielle définis et continus dans certains

domaines RÉ, contenant un point Puis dans la région ré existe

seule décisionéquation qui satisfait la condition initiale à

Le théorème de Cauchy stipule que sous certaines conditions, il existe une courbe intégrale unique y= f(x), passant par un point Points où les conditions du théorème ne sont pas satisfaites

Les chats s'appellent spécial. Pauses à ces points F(x, y) ou.

Soit plusieurs courbes intégrales passent par un point singulier, soit aucune.

Définition. Si la solution (6.3), (6.4) se trouve sous la forme F(x, y, c)= 0 non autorisé par rapport à y, alors on l'appelle intégrale communeéquation différentielle.

Le théorème de Cauchy garantit seulement qu'une solution existe. Puisqu'il n'y a pas de méthode unique pour trouver une solution, nous ne considérerons que certains types d'équations différentielles du premier ordre qui sont intégrables dans carrés.

Définition. L'équation différentielle s'appelle intégrable en quadratures, si la recherche de sa solution se réduit à l'intégration de fonctions.

6.2.1. Équations différentielles du premier ordre à variables séparables

Définition. Une équation différentielle du premier ordre est appelée une équation avec variables séparables,

Le côté droit de l'équation (6.5) est le produit de deux fonctions, dont chacune dépend d'une seule variable.

Par exemple, l'équation est une équation à séparer

passer des variables
et l'équation

ne peut pas être représenté sous la forme (6.5).

Étant donné que , on réécrit (6.5) comme

De cette équation on obtient une équation différentielle à variables séparées, dans laquelle les différentielles contiennent des fonctions qui ne dépendent que de la variable correspondante :

En intégrant terme à terme, on a

où C= C 2 - C 1 est une constante arbitraire. L'expression (6.6) est l'intégrale générale de l'équation (6.5).

En divisant les deux parties de l'équation (6.5) par , nous pouvons perdre les solutions pour lesquelles, En effet, si à

alors est évidemment une solution de l'équation (6.5).

Exemple 1 Trouver une solution à l'équation satisfaisant

condition: y= 6 à X= 2 (y(2) = 6).

La solution. remplaçons à" pour alors . Multipliez les deux côtés par

dx, car dans une intégration plus poussée, il est impossible de quitter dx au dénominateur :

puis en divisant les deux parties par on obtient l'équation,

qui peut être intégré. Nous intégrons :

Alors ; en potentialisant, on obtient y = C . (x + 1) - ob-

la solution.

Sur la base des données initiales, nous déterminons une constante arbitraire en les substituant dans la solution générale

Enfin on obtient y= 2(x + 1) est une solution particulière. Considérez quelques exemples supplémentaires de résolution d'équations avec des variables séparables.

Exemple 2 Trouver une solution à l'équation

La solution.Étant donné que , on a .

En intégrant les deux côtés de l'équation, on a

où

Exemple 3 Trouver une solution à l'équation La solution. Nous divisons les deux parties de l'équation par les facteurs qui dépendent d'une variable qui ne coïncide pas avec la variable sous le signe différentiel, c'est-à-dire par et intégrer. Ensuite on obtient

et enfin

Exemple 4 Trouver une solution à l'équation

La solution. Savoir ce que nous aurons. Section-

variables lim. Alors

En intégrant, on obtient

Commentaire. Dans les exemples 1 et 2, la fonction recherchée y exprimée explicitement (solution générale). Dans les exemples 3 et 4 - implicitement (intégrale générale). A l'avenir, la forme de la décision ne sera pas précisée.

Exemple 5 Trouver une solution à l'équation La solution.

Exemple 6 Trouver une solution à l'équation satisfaisant

condition vous)= 1.

La solution. On écrit l'équation sous la forme

En multipliant les deux côtés de l'équation par dx et ainsi de suite, nous obtenons

En intégrant les deux côtés de l'équation (l'intégrale du côté droit est prise par parties), on obtient

Mais à condition y= 1 à X= e. Alors

Remplacer les valeurs trouvées DE en une solution générale :

L'expression résultante est appelée une solution particulière de l'équation différentielle.

6.2.2. Équations différentielles homogènes du premier ordre

Définition. L'équation différentielle du premier ordre est appelée homogène s'il peut être représenté comme

Nous présentons un algorithme pour résoudre une équation homogène.

1. Au lieu de cela y introduire une nouvelle fonction Alors et donc

2. En termes de fonction tu l'équation (6.7) prend la forme

c'est-à-dire que le remplacement réduit l'équation homogène en une équation à variables séparables.

3. En résolvant l'équation (6.8), on trouve d'abord u, puis y= ux.

Exemple 1 résous l'équation La solution. On écrit l'équation sous la forme

On fait une substitution :
Alors

remplaçons

Multiplier par dx : Diviser par X et sur alors

En intégrant les deux parties de l'équation par rapport aux variables correspondantes, nous avons

ou, en revenant aux anciennes variables, on obtient finalement

Exemple 2résous l'équation La solution.Laisser alors

Diviser les deux côtés de l'équation par x2 : Ouvrons les crochets et réorganisons les termes :

Passant aux anciennes variables, nous arrivons au résultat final :

Exemple 3Trouver une solution à l'équation à condition

La solution.Effectuer un remplacement standard on a

ou

ou

Donc la solution particulière est de la forme Exemple 4 Trouver une solution à l'équation

La solution.

Exemple 5Trouver une solution à l'équation La solution.

Travail indépendant

Trouver une solution aux équations différentielles à variables séparables (1-9).

Trouver une solution aux équations différentielles homogènes (9-18).

6.2.3. Quelques applications des équations différentielles du premier ordre

Le problème de la désintégration radioactive

Le taux de décroissance de Ra (radium) à chaque instant est proportionnel à sa masse disponible. Trouvez la loi de désintégration radioactive de Ra si l'on sait qu'au moment initial il y avait Ra et que la demi-vie de Ra est de 1590 ans.

La solution. Soit à l'instant la masse Ra soit X= x(t) g, et Alors le taux de décroissance de Ra est

Selon la tâche

où k

En séparant les variables de la dernière équation et en les intégrant, nous obtenons

où

Pour déterminer C on utilise la condition initiale : .

Alors et donc,

Facteur de proportionnalité k déterminer à partir de condition supplémentaire:

Nous avons

D'ici et la formule souhaitée

Le problème du taux de reproduction des bactéries

Le taux de reproduction des bactéries est proportionnel à leur nombre. Au moment initial, il y avait 100 bactéries. En 3 heures, leur nombre a doublé. Trouvez la dépendance du nombre de bactéries au temps. Combien de fois le nombre de bactéries augmentera-t-il en 9 heures ?

La solution. Laisser X- le nombre de bactéries en ce moment t. Ensuite, selon la condition,

où k- coefficient de proportionnalité.

D'ici Il est connu de la condition que . Moyens,

De la condition supplémentaire . Alors

Fonction requise :

Alors, à t= 9 X= 800, c'est-à-dire qu'en 9 heures, le nombre de bactéries a été multiplié par 8.

La tâche d'augmenter la quantité de l'enzyme

Dans la culture de levure de bière, le taux de croissance de l'enzyme active est proportionnel à sa quantité initiale. X. Quantité initiale d'enzyme un doublé en une heure. Trouver la dépendance

x(t).

La solution. Par condition, l'équation différentielle du processus a la forme

d'ici

Mais . Moyens, C= un et alors

On sait aussi que

Par conséquent,

6.3. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU SECOND ORDRE

6.3.1. Concepts de base

Définition.Équation différentielle du second ordre est appelée la relation reliant la variable indépendante, la fonction recherchée et ses dérivées premières et secondes.

Dans des cas particuliers, x peut être absent de l'équation, à ou y". Cependant, l'équation du second ordre doit nécessairement contenir y". Dans le cas général, l'équation différentielle du second ordre s'écrit :

ou, si possible, sous la forme admise pour la dérivée seconde :

Comme dans le cas d'une équation du premier ordre, une équation du second ordre peut avoir une solution générale et une solution particulière. La solution générale ressemble à :

Trouver une solution privée

dans les conditions initiales - donné

numéro) s'appelle le problème de Cauchy. Géométriquement, cela signifie qu'il est nécessaire de trouver la courbe intégrale à= y(x), passant par un point donné et ayant une tangente en ce point, qui est d'environ

fourches avec sens d'axe positif Bœuf angle donné. e. (Fig. 6.1). Le problème de Cauchy a une solution unique si le côté droit de l'équation (6.10), unpre-

est discontinue et a des dérivées partielles continues par rapport à toi, toi" dans un quartier du point de départ

Pour trouver une constante inclus dans une solution particulière, il est nécessaire de permettre au système

Riz. 6.1. courbe intégrale

Soit déjà résolus par rapport à la dérivée, soit ils peuvent être résolus par rapport à la dérivée .

Solution générale des équations différentielles du type sur l'intervalle X, qui est donnée, peut être trouvée en prenant l'intégrale des deux côtés de cette égalité.

Obtenir .

En regardant les propriétés intégrale indéfinie, alors on trouve la solution générale recherchée :

y = F(x) + C,

où F(x)- une des primitives de la fonction f(x) entre X, un DE est une constante arbitraire.

Veuillez noter que dans la plupart des tâches, l'intervalle X n'indique pas. Cela signifie qu'une solution doit être trouvée pour chacun. X, pour lequel et la fonction souhaitée y, et l'équation originale a un sens.

Si vous devez calculer une solution particulière d'une équation différentielle qui satisfait la condition initiale y(x0) = y0, puis après avoir calculé intégrale commune y = F(x) + C, il faut encore déterminer la valeur de la constante C=C0 en utilisant la condition initiale. c'est-à-dire une constante C=C0 déterminé à partir de l'équation F(x 0) + C = y 0, et la solution particulière souhaitée de l'équation différentielle prendra la forme :

y = F(x) + C0.

Prenons un exemple :

Trouvez la solution générale de l'équation différentielle , vérifiez l'exactitude du résultat. Trouvons une solution particulière de cette équation qui satisferait la condition initiale .

La solution:

Après avoir intégré l'équation différentielle donnée, on obtient :

.

On prend cette intégrale par la méthode d'intégration par parties :

Ce., est une solution générale de l'équation différentielle.

Vérifions pour nous assurer que le résultat est correct. Pour ce faire, nous substituons la solution que nous avons trouvée dans l'équation donnée :

.

C'est-à-dire à l'équation originale se transforme en une identité :

par conséquent, la solution générale de l'équation différentielle a été déterminée correctement.

La solution que nous avons trouvée est la solution générale de l'équation différentielle pour chaque valeur réelle de l'argument X.

Il reste à calculer une solution particulière de l'ODE qui satisferait la condition initiale. Autrement dit, il faut calculer la valeur de la constante DE, à laquelle l'égalité sera vraie :

.

.

Puis, en remplaçant C = 2 dans la solution générale de l'ODE, on obtient une solution particulière de l'équation différentielle qui satisfait la condition initiale :

.

Équation différentielle ordinaire peut être résolu par rapport à la dérivée en divisant les 2 parties de l'équation par f(x). Cette transformation sera équivalente si f(x) ne va pas à zéro pour tout Xà partir de l'intervalle d'intégration de l'équation différentielle X.

Les situations sont probables lorsque, pour certaines valeurs de l'argument X ∈ X les fonctions f(x) et g(x) tourner à zéro en même temps. Pour valeurs similaires X la solution générale de l'équation différentielle est une fonction quelconque y, qui y est défini, car .

Si pour certaines valeurs de l'argument X ∈ X la condition est satisfaite, ce qui signifie que dans ce cas l'ODE n'a pas de solutions.

Pour tous les autres X de l'intervalle X la solution générale de l'équation différentielle est déterminée à partir de l'équation transformée.

Regardons des exemples :

Exemple 1

Trouvons la solution générale de l'ODE : .

La solution.

D'après les propriétés des fonctions élémentaires de base, il est clair que la fonction de logarithme naturel est définie pour des valeurs non négatives de l'argument, par conséquent, le domaine de l'expression bûche(x+3) il y a un intervalle X > -3 . Par conséquent, l'équation différentielle donnée a un sens pour X > -3 . Avec ces valeurs de l'argument, l'expression x + 3 ne s'annule pas, on peut donc résoudre l'ODE par rapport à la dérivée en divisant les 2 parties par x + 3.

On a .

Ensuite, nous intégrons l'équation différentielle résultante, résolue par rapport à la dérivée : . Pour prendre cette intégrale, on utilise la méthode de subsumer sous le signe de la différentielle.