Ensuite, débarrassez-vous-en en élevant les deux parties de l'identité pour qu'elles soient égales à l'index racine. Pour l'exemple ci-dessus, cette action doit être exprimée sous la forme suivante : 36*Y² = X. Parfois, il est plus pratique d'effectuer l'opération de cette étape avant l'action de l'étape précédente.

Transformez l'expression de sorte que tous les termes de l'identité contenant l'expression désirée variable, s'est avéré être du côté gauche de l'égalité. Par exemple, si la formule est 36*Y-X*Y+5=X et que vous vous intéressez à la variable X, il suffira d'échanger les moitiés gauche et droite de l'identité. Et si vous avez besoin d'exprimer Y, la formule résultant de cette action doit prendre la forme 36*Y-X*Y=X-5.

Simplifiez l'expression sur le côté gauche formules de sorte que la variable requise devienne l'une des . Par exemple, pour formulesà partir de l'étape précédente, cela peut être fait comme ceci : Y*(36-X)=X-5.

Divisez les expressions par les deux signes égaux par les facteurs de la variable qui vous intéresse. Par conséquent, seule cette variable doit rester du côté gauche de l'identité. Celui utilisé ci-dessus après cette étape ressemblerait à ceci : Y = (X-5)/(36-X).

Si la variable souhaitée à la suite de toutes les transformations sera élevée à une certaine puissance, débarrassez-vous du degré en extrayant la racine des deux parties formules. Par exemple, la formule de la deuxième étape à cette étape de transformations devrait prendre la forme Y²=X/36. Et sa forme finale devrait ressembler à ceci : Y=√X/6.

variables

L'indicateur principal d'une variable est qu'elle est écrite avec une lettre. En dessous de symbole le plus souvent une certaine valeur est masquée. Une variable tire son nom parce que sa valeur change en fonction de l'équation. En règle générale, n'importe lequel peut être utilisé comme désignation pour un tel élément. Par exemple, si vous savez que vous avez 5 roubles et que vous voulez acheter des pommes qui coûtent 35 kopecks, le nombre final de pommes que vous pouvez acheter est (par exemple, "C").

Exemple d'utilisation

S'il y a une variable qui a été choisie à votre discrétion, vous devez écrire une équation algébrique. Il reliera les quantités connues et inconnues et montrera la relation entre elles. Cette expression comprendra des nombres, des variables et une opération algébrique. Il est important de noter que l'expression contiendra un signe égal.

L'équation complète contient la valeur de l'expression dans son ensemble. Il est séparé du reste de l'équation par un signe égal. Dans l'exemple précédent avec des pommes, 0,35 ou 35 kopecks multiplié par "C" est une expression. Pour créer équation complète, écrivez ce qui suit :

Expressions monômes

Il existe deux principales classifications d'expressions : les monômes. Les monômes sont une seule variable, un nombre ou un produit d'une variable et d'un nombre. De plus, une expression de plusieurs variables ou expressions avec exposants est aussi un monôme. Par exemple, le nombre 7, la variable x et le produit 7*x est un monôme. Les expressions avec des exposants, y compris x^2 ou 3x^2y^3 sont également des monômes.

Polynômes

Les polynômes sont des expressions qui impliquent la combinaison de l'addition ou de la soustraction de deux ou plus. Tout type de monômes, y compris les chiffres, les variables individuelles ou les expressions avec des nombres et des inconnues, peut être inclus dans un polynôme. Par exemple, l'expression x+7 est un polynôme qui est additionné par le monôme x et le monôme 7. 3x^2 est aussi un polynôme. 10x+3xy-2y^2 est un polynôme qui combine trois monômes en utilisant l'addition et la soustraction.

Variables dépendantes et indépendantes

Les variables indépendantes sont les inconnues qui déterminent les autres parties de l'équation. Ils sont autonomes dans les expressions et ne changent pas avec les autres variables.

Les valeurs des variables dépendantes sont déterminées à l'aide des variables indépendantes. Leurs valeurs sont souvent déterminées empiriquement.

L'importance des variables en mathématiques est grande, car au cours de son existence, les scientifiques ont réussi à faire de nombreuses découvertes dans ce domaine, et afin d'énoncer brièvement et clairement tel ou tel théorème, nous utilisons des variables pour écrire les formules correspondantes. Par exemple, le théorème de Pythagore sur un triangle rectangle : a 2 \u003d b 2 + c 2. Comment écrire à chaque fois lors de la résolution d'un problème: selon le théorème de Pythagore - nous l'écrivons avec une formule, et tout devient immédiatement clair.

Alors dans cet article sera discuté sur ce que sont les variables, sur leurs types et leurs propriétés. Diverses inégalités, formules, systèmes et algorithmes pour leur résolution seront également considérés.

La notion de variable

Tout d'abord, découvrons ce qu'est une variable ? C'est une valeur numérique qui peut prendre plusieurs valeurs. Elle ne peut pas être permanente, car différentes tâches et équations, pour la commodité de la solution, nous prenons différents nombres comme variable, c'est-à-dire, par exemple, z est une désignation générale pour chacune des quantités pour lesquelles il est pris. Ils sont généralement désignés par des lettres de l'alphabet latin ou grec (x, y, a, b, etc.).

Il y a différents types variables. Ils sont donnés sous forme de quantités physiques - le chemin (S), le temps (t) et simplement valeurs inconnues dans les équations, fonctions et autres expressions.

Par exemple, il existe une formule : S = Vt. Ici, les variables désignent certaines quantités liées au monde réel - le chemin, la vitesse et le temps.

Et il existe une équation de la forme : 3x - 16 = 12x. Ici, x est déjà pris comme un nombre abstrait qui a du sens dans cette notation.

Types de quantités

Par grandeur, on entend quelque chose qui exprime les propriétés d'un objet, d'une substance ou d'un phénomène particulier. Par exemple, température de l'air, poids de l'animal, pourcentage de vitamines dans un comprimé - ce sont toutes des quantités dont les valeurs numériques peuvent être calculées.

Chaque quantité a ses propres unités de mesure, qui forment ensemble un système. C'est ce qu'on appelle le système de numération (SI).

Que sont les variables et les constantes ? Considérons-les sur des exemples précis.

Prenons un mouvement uniforme rectiligne. Un point dans l'espace se déplace à la même vitesse à chaque fois. Autrement dit, le temps et la distance changent, mais la vitesse reste la même. À cet exemple le temps et la distance sont des variables, tandis que la vitesse est une constante.

Ou, par exemple, "pi". Il s'agit d'un nombre irrationnel qui continue sans une séquence répétitive de chiffres et ne peut pas être écrit en entier, donc en mathématiques, il est exprimé par un symbole conventionnel qui ne prend que la valeur d'une fraction infinie donnée. Autrement dit, "pi" est constant.

Histoire

L'histoire de la notation des variables commence au XVIIe siècle avec le savant René Descartes.

Il désignait les quantités connues par les premières lettres de l'alphabet : a, b, etc., et pour l'inconnu il proposait d'utiliser les dernières lettres : x, y, z. Il est à noter que Descartes considérait ces variables comme des nombres non négatifs et, face à des paramètres négatifs, il mettait un signe moins devant la variable ou, si on ne savait pas de quel signe était le nombre, une ellipse. Mais au fil du temps, les noms de variables ont commencé à désigner des nombres de n'importe quel signe, et cela a commencé avec le mathématicien Johann Hudde.

Les calculs en mathématiques sont plus faciles à résoudre avec des variables, car, par exemple, comment résout-on les équations biquadratiques maintenant ? Nous entrons dans une variable. Par exemple:

x4 + 15x2 + 7 = 0

Pour x 2 on prend un certain k, et l'équation prend une forme claire :

x 2 = k, pour k ≥ 0

k2 + 15k + 7 = 0

C'est ainsi que l'introduction de variables est utile en mathématiques.

Inégalités, exemples de solutions

Une inégalité est une notation dans laquelle deux expressions mathématiques ou deux nombres sont reliés par des signes de comparaison :<, >, ≤, ≥. Ils sont stricts et signalés par des panneaux< и >ou non strict avec des signes ≤, ≥.

Pour la première fois, ces signes ont été introduits par Thomas Harriot. Après la mort de Thomas, son livre avec ces notations a été publié, les mathématiciens les ont aimées et, au fil du temps, elles sont devenues largement utilisées dans les calculs mathématiques.

Il existe plusieurs règles à suivre lors de la résolution d'inéquations à une variable :

1. Lors du transfert d'un nombre d'une partie de l'inégalité à une autre, nous changeons son signe en son contraire.
2. Lorsque l'on multiplie ou divise les parties d'une inéquation par un nombre négatif, leurs signes sont inversés.
3. Si vous multipliez ou divisez les deux côtés de l'inégalité par un nombre positif, vous obtenez une inégalité égale à celle d'origine.

Résoudre une inéquation signifie trouver toutes les valeurs valides pour une variable.

Exemple avec une variable :

10x - 50 > 150

Résoudre comme d'habitude équation linéaire- nous transférons les termes avec une variable à gauche, sans variable - à droite et donnons des termes similaires :

Divisez les deux côtés de l'inégalité par 10 et obtenez :

Pour plus de clarté, dans l'exemple de la résolution d'une inéquation à une variable, nous dessinons une droite numérique, marquons le point percé 20 dessus, car l'inégalité est stricte et ce nombre n'est pas inclus dans l'ensemble de ses solutions.

La solution de cette inégalité est l'intervalle (20; +∞).

La résolution d'une inégalité non stricte s'effectue de la même manière qu'une inégalité stricte :

Mais il y a une exception. Un enregistrement de la forme x ≥ 5 doit être compris comme suit : x est supérieur ou égal à cinq, ce qui signifie que le nombre cinq est inclus dans l'ensemble de toutes les solutions à l'inégalité, c'est-à-dire qu'en écrivant la réponse, nous mettre un crochet devant le chiffre cinq.

Inégalités carrées

Si vous prenez équation quadratique de la forme ax 2 + bx + c = 0 et changez le signe égal en signe d'inégalité, alors, en conséquence, nous obtenons un carré inégalité.

Pour résoudre une inégalité quadratique, il faut être capable de résoudre des équations quadratiques.

y = ax 2 + bx + c est fonction quadratique. Nous pouvons le résoudre en utilisant le discriminant, ou en utilisant le théorème de Vieta. Considérez comment ces équations sont résolues :

1) y = x 2 + 12x + 11 - la fonction est une parabole. Ses branches sont dirigées vers le haut, puisque le signe du coefficient "a" est positif.

2) x 2 + 12x + 11 = 0 - équivaut à zéro et résout à l'aide du discriminant.

un=1, b=12, c=11

D \u003d b 2 - 4ac \u003d 144 - 44 \u003d 100\u003e 0, 2 racines

D'après l'équation on obtient :

X 1 = -1, X 2 = -11

Ou vous pouvez résoudre cette équation en utilisant le théorème de Vieta :

x 1 + x 2 = -b/a, x 1 + x 2 = -12

x 1 x 2 = c/a, x 1 x 2 = 11

En utilisant la méthode de sélection, nous obtenons les mêmes racines de l'équation.

Parabole

Alors la première solution inégalité au carré est une parabole. L'algorithme pour le résoudre est le suivant :

1. Déterminez où sont dirigées les branches de la parabole.

2. Nous assimilons la fonction à zéro et trouvons les racines de l'équation.

3. Nous construisons une droite numérique, y marquons les racines, dessinons une parabole et trouvons l'écart dont nous avons besoin, en fonction du signe de l'inégalité.

Résoudre l'inégalité x 2 + x - 12 > 0

Nous l'écrivons sous la forme d'une fonction :

1) y \u003d x 2 + x - 12 - parabole, branches vers le haut.

Nous égalons à zéro.

X 1 = 3, X 2 = -4

3) Nous représentons une droite numérique et les points 3 et -4 dessus. La parabole les traversera, se ramifiera et la réponse à l'inégalité sera un ensemble valeurs positives, soit (-∞ ; -4), (3 ; +∞).

Méthode d'espacement

La deuxième méthode est la méthode des intervalles. L'algorithme pour le résoudre:

1. Trouver les racines de l'équation pour laquelle l'inégalité est égale à zéro.

2. Marque-les sur la droite numérique. Ainsi, il est divisé en plusieurs intervalles.

3. Déterminer le signe de n'importe quel intervalle.

4. Nous plaçons des panneaux aux intervalles restants, en les changeant après un.

Résoudre l'inégalité (x - 4)(x - 5)(x + 7) ≤ 0

1) Zéros d'inégalité : 4, 5 et -7.

2) Nous les représentons sur une droite numérique.

3) Déterminer les signes des intervalles.

Réponse : (-∞ ; -7] ; .

Résolvons une autre inégalité : x 2 (3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1. Zéros d'inégalité : 0, 2, -2 et 1.

2. Marque-les sur la droite numérique.

3. Déterminez les signes des intervalles.

La ligne droite est divisée en intervalles - de -2 à 0, de 0 à 1, de 1 à 2.

Prenons la valeur sur le premier intervalle - (-1). Substitut dans l'inégalité. À valeur donnée l'inégalité devient positive, ce qui signifie que le signe sur cet intervalle sera +.

Inégalité Au dessus de zéro, c'est-à-dire que vous devez trouver l'ensemble des valeurs positives sur la ligne.

Réponse : (-2 ; 0), (1 ; 2).

Systèmes d'équations

Un système d'équations à deux variables est appelé deux équations, unies par une accolade, pour lesquelles il faut trouver décision commune.

Les systèmes peuvent être équivalents si la solution générale de l'un d'eux est la solution de l'autre, ou si les deux n'ont pas de solution.

Nous étudierons la solution de systèmes d'équations à deux variables. Il existe deux façons de les résoudre - la méthode de substitution ou la méthode algébrique.

Méthode algébrique

Pour résoudre le système illustré dans l'image en utilisant cette méthode, vous devez d'abord multiplier l'une de ses parties par un tel nombre, de sorte que vous puissiez ensuite annuler mutuellement une variable des deux parties de l'équation. Ici, nous multiplions par trois, traçons une ligne sous le système et additionnons ses parties. En conséquence, les x deviennent identiques en module, mais opposés en signe, et nous les réduisons. Ensuite, nous obtenons une équation linéaire à une variable et la résolvons.

Nous avons trouvé Y, mais nous ne pouvons pas nous arrêter là, car nous n'avons pas encore trouvé X. On substitue le Y dans la partie dont il conviendra de retirer X, par exemple :

X + 5y = 8 , pour y = 1

Nous résolvons l'équation résultante et trouvons x.

L'essentiel pour résoudre le système est d'écrire correctement la réponse. Beaucoup d'étudiants font l'erreur d'écrire :

Réponse : -3, 1.

Mais c'est une mauvaise entrée. Après tout, comme déjà mentionné ci-dessus, lors de la résolution d'un système d'équations, nous recherchons une solution générale pour ses parties. La bonne réponse serait :

Méthode de remplacement

C'est peut-être la méthode la plus simple dans laquelle il est difficile de se tromper. Prenons le système d'équations numéro 1 de cette image.

Dans sa première partie, x a déjà été réduit à la forme dont nous avons besoin, il suffit donc de le substituer dans une autre équation :

5a + 3a - 25 = 47

Nous transférons le nombre sans variable vers la droite, apportons des termes similaires à bon sens et retrouvez le jeu :

Ensuite, comme dans la méthode algébrique, nous substituons la valeur de y dans l'une des équations et trouvons x :

x = 3y - 25, avec y = 9

FONCTIONS ET LIMITES IX

§ 201. Constantes et variables. Concept de fonction

Nous avons déjà rencontré plus d'une fois le concept de fonction. Dans la partie I, nous avons examiné les linéaires, les quadratiques, les puissances et les fonctions trigonométriques. Le chapitre précédent était consacré à l'étude des fonctions exponentielles et logarithmiques. Maintenant, nous devons faire résumé général ce que nous savons déjà sur les fonctions et considérons quelques nouvelles questions.

En observant divers processus, on peut remarquer que les quantités qui y participent se comportent différemment : certaines d'entre elles changent, d'autres restent constantes. Si, par exemple, dans un triangle ABC, le sommet B est déplacé le long de la droite MN parallèle à la base AC (Fig. 263), alors les valeurs des angles A, B et C changeront continuellement, et leur somme, la hauteur h et l'aire du triangle restera inchangée.

Un autre exemple. Si un gaz est comprimé à une température constante, alors son volume ( V) et la pression ( R) changera : le volume diminuera et la pression augmentera. Le produit de ces grandeurs, tel qu'établi par la loi de Boyle-Mariotte, restera constant :

Vp=c ,

où Avec est une constante.

Toutes les quantités peuvent être divisées en constantes et en variables.

Les quantités variables impliquées dans tout processus ne changent généralement pas indépendamment les unes des autres, mais dans fermer la connexion ensemble. Par exemple, la compression d'un gaz (à une température constante) entraîne une modification de son volume, ce qui, à son tour, entraîne une modification de la pression du gaz. Une modification du rayon de la base d'un cylindre entraîne une modification de l'aire de cette base ; ce dernier conduit à une modification du volume du cylindre, etc... L'une des tâches simples de l'étude mathématique d'un processus est d'établir comment une modification de certaines variables affecte une modification d'autres variables.

Regardons quelques exemples. Loi de Boyle citée plus haut - Mariotte dit qu'à température constante le volume de gaz V change inversement avec la pression R : V = c / p . Si la pression est connue, le volume de gaz peut être calculé à l'aide de cette formule. De même, la formule S = π r 2 permet de déterminer l'aire d'un cercle S si son rayon est connu r . Selon la formule β = π / 2 - α peut être trouvé angle vif triangle rectangle, si un autre angle aigu de ce triangle est connu, etc.

Lorsque l'on compare deux variables, il convient de considérer l'une d'entre elles comme indépendant variable et l'autre comme dépendant valeur variable. Par exemple, le rayon d'un cercle r il est naturel de le considérer comme une variable indépendante, et l'aire d'un cercle S = π r 2 - variable dépendante. De même, la pression du gaz R peut être considérée comme une variable indépendante ; puis son volume V = c / p sera la variable dépendante.

Laquelle des deux variables doit-on choisir comme dépendante et laquelle comme indépendante ? Cette question est résolue de différentes manières en fonction de l'objectif. Si, par exemple, nous nous intéressons à ce que le changement de pression de gaz conduit à une température constante, il est naturel de prendre le sciage comme variable indépendante et le volume comme variable dépendante. Dans ce cas, la variable dépendante V sera exprimée en fonction de la variable indépendante R selon la formule : V = c / p . Si l'on veut connaître les conséquences de la compression d'un gaz, il vaut mieux considérer le volume comme une variable indépendante, et la pression comme une variable dépendante. Alors la variable dépendante R sera exprimé en fonction de la variable indépendante V par la formule R = c / V . Dans chacun de ces cas, les deux grandeurs sont liées l'une à l'autre de telle manière qu'à chaque valeur possible de l'une correspond une valeur bien déterminée de l'autre.

Si chaque valeur d'une variable X en quelque sorte mis en correspondance avec une valeur bien définie d'une autre grandeur à, on dit alors qu'une fonction est donnée.

la valeur à en même temps ils appellent dépendant variables ou fonction, et la valeur X - indépendant variables ou dispute.

Pour exprimer ce que à avoir une fonction argument X , utilisez généralement la notation : à = F (X ), y = g (X ) , à = φ (X ), etc. (on lit : y est égal à ef à partir de x, y est égal à la même chose à partir de x, y est égal à phi à partir de x, etc.). Choisir une lettre pour désigner une fonction ( f,g φ ) est bien sûr inutile. Ce qui compte, c'est le rapport entre les quantités X et à exprime cette lettre.

La valeur que prend la fonction F (X ) à X = un , noté F (un ). Si, par exemple, F (X ) = X 2 + 1, puis

F (1) = 1 2 + 1 = 2;

F (2) = 2 2 + 1 = 5;

F (un + 1) = (un + 1) 2 + 1 = un 2 + 2un + 2;

F (2un ) = (2un ) 2 + 1 = 4un 2 + 1

Des exercices

1515. Un gaz sous une pression de 2 atmosphères est comprimé. Comment cela change-t-il : a) le poids du gaz ; b) son volume ; c) sa pression ?

1516. Un courant circule dans un circuit électrique. À l'aide d'un rhéostat, nous modifions la résistance du circuit. Cela change-t-il : a) le courant dans le circuit ; b) tension ?

1517. Le sommet B du triangle ABC se déplace le long d'un cercle dont le diamètre coïncide avec la base AC de ce triangle. Quelles quantités restent constantes dans ce processus et lesquelles changent ?

1518.

Trouver un) F (0); b) F (un 2); dans) F ( 1 / un ); G) F (péché un ).

1519. Express F (2un ) à travers F (un ) pour les fonctions :

un) F (X ) = péché X ; b) F (X ) = tg X ;

Constantes et variables

Par grandeur, nous entendons tout ce qui exprime les propriétés d'un objet, d'un phénomène ou d'un processus. La superficie, le poids de l'animal, le coût de production, le pourcentage de matières grasses dans le lait, etc. sont tous des exemples de quantités. Chacune des quantités peut être mesurée avec un instrument ou calculée, résultant en un nombre appelé la valeur numérique de la quantité. Les valeurs sont exprimées dans certaines unités. De telles quantités sont appelées dimensionnel. Chaque quantité a sa propre unité. Les unités de quantités forment un système. Généralement accepté est Système international(SI). Ses unités principales sont : mètre (m) - une unité de longueur ; kilogramme (kg) - unité de masse; seconde (s) – unité de temps ; kelvin (k) - unité de température ; candela (cd) - une unité d'intensité lumineuse; mole est une unité de quantité d'une substance. Les grandeurs peuvent être sans dimension. Par exemple, la proportion d'expériences dans lesquelles le phénomène observé s'est produit.

Lorsque nous observons un processus ou un phénomène du domaine de la physique, de l'économie, de l'agronomie ou d'un autre domaine de la connaissance, nous voyons que certaines quantités conservent leurs valeurs, tandis que d'autres prennent diverses significations. Par exemple, lorsqu'un point se déplace uniformément, le temps et la distance changent, mais la vitesse est constante. variable Une quantité qui prend différentes valeurs numériques est appelée. Une quantité dont les valeurs numériques ne changent pas est appelée constant.

Désignations : x, y, z, t,…- variables ; a B c d,… sont des valeurs constantes.

L'ensemble de toutes les valeurs numériques d'une variable est appelé zone de changement cette variable.

Domaines de changement variable :

(un, b) ={X:un< x < b ) – intervalle ou intervalle ;

[un B] = {X: une ≤ x ≤ b) est un segment ou un intervalle fermé ;

(un, b] = {X:un< x ≤ b },

[un, b) = {X:un ≤ x< b ) sont des intervalles semi-ouverts ;

(-∞, b] = (x : x ≤ b},

(-∞, b) = (x : x< b},

[un, +∞) = (x : x ≥ un},

(un, +∞) = (x : x > un},

(-∞, +∞) = (x : -∞< x < +∞} – бесконечные интервалы.

Intervalle arbitraire ( un B) contenant un point à l'intérieur s'appelle le voisinage du point : un< < b.

Si le point est le milieu du voisinage, alors on l'appelle centre de quartier, la quantité est appelée rayon du quartier.

Exemples de variables : température de l'air, paramètre de fonction, etc.

Une variable est caractérisée uniquement par l'ensemble des valeurs qu'elle peut prendre. Une variable est désignée par un symbole commun à chacune de ses valeurs.

Variables en mathématiques

En mathématiques variable peut être à la fois une quantité physique réelle et une quantité abstraite qui ne reflète pas les processus du monde réel.

Descartes considérait que les valeurs des variables étaient toujours non négatives et exprimait les valeurs négatives avec un signe, reflétées par un signe moins devant la variable. Si le signe du coefficient était inconnu, Descartes mettait des points de suspension. Le mathématicien néerlandais Johann Hudde déjà en 1657 a permis aux variables littérales de prendre des valeurs de n'importe quel signe.

Variables en programmation

En programmation variable est un identifiant identifiant les données. Il s'agit généralement d'un nom qui cache une zone mémoire où les données stockées dans une autre zone mémoire peuvent être placées. Une variable peut avoir un type de valeurs qu'elle peut prendre. En programmation, les variables sont généralement désignées par un ou plusieurs mots ou symboles, tels que "time", "x", "