Dans cette leçon, nous verrons comment utiliser le déterminant pour composer équation du plan. Si vous ne savez pas ce qu'est un déterminant, passez à la première partie de la leçon - " Matrices et déterminants». Sinon, vous risquez de ne rien comprendre au matériel d'aujourd'hui.

Équation d'un plan par trois points

Pourquoi avons-nous besoin de l'équation du plan ? C'est simple : le connaissant, on peut facilement calculer des angles, des distances et autres conneries dans le problème C2. En général, cette équation est indispensable. Nous formulons donc le problème :

Une tâche. Il y a trois points dans l'espace qui ne se trouvent pas sur la même ligne droite. Leurs coordonnées :

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3);

Il faut écrire l'équation du plan passant par ces trois points. Et l'équation devrait ressembler à :

Ax + By + Cz + D = 0

où les nombres A , B , C et D sont les coefficients que, en fait, vous voulez trouver.

Eh bien, comment obtenir l'équation du plan, si seules les coordonnées des points sont connues ? Le moyen le plus simple est de substituer les coordonnées dans l'équation Ax + By + Cz + D = 0. Vous obtenez un système de trois équations qui est facilement résolu.

De nombreux étudiants trouvent cette solution extrêmement fastidieuse et peu fiable. L'examen de mathématiques de l'année dernière a montré que la probabilité de faire une erreur de calcul est très élevée.

Par conséquent, les enseignants les plus avancés ont commencé à chercher des solutions plus simples et plus élégantes. Et ils l'ont trouvé ! Certes, la technique obtenue est plus susceptible d'être liée aux mathématiques supérieures. Personnellement, j'ai dû fouiller dans toute la liste fédérale des manuels scolaires pour m'assurer que nous avons le droit d'utiliser cette technique sans aucune justification ni preuve.

Équation du plan passant par le déterminant

Assez de blabla, passons aux choses sérieuses. Pour commencer, un théorème sur la relation entre le déterminant de la matrice et l'équation du plan.

Théorème. Donnons les coordonnées de trois points par lesquels le plan doit être tracé : M = (x 1 , y 1 , z 1) ; N \u003d (x 2, y 2, z 2); K \u003d (x 3, y 3, z 3). Alors l'équation de ce plan peut s'écrire en fonction du déterminant :

Par exemple, essayons de trouver une paire de plans qui apparaissent réellement dans les problèmes C2. Regardez à quelle vitesse tout compte :

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);

Nous composons le déterminant et le mettons à zéro :

Ouverture du déterminant :

une = 1 1 (z − 1) + 0 0 X + (−1) 1 y = z − 1 − y ;
b = (−1) 1 X + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x ;
ré = une - b = z - 1 - y - (-x) = z - 1 - y + x = x - y + z - 1 ;
ré = 0 ⇒ X - y + z - 1 = 0 ;

Comme vous pouvez le voir, lors du calcul du nombre d, j'ai "brossé" un peu l'équation pour que les variables x , y et z entrent dans séquence correcte. C'est tout! L'équation de l'avion est prête !

Une tâche. Ecrire une équation pour un plan passant par les points :

A = (0, 0, 0);
B1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Remplacez immédiatement les coordonnées des points dans le déterminant:

En développant à nouveau le déterminant :

une = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z ;
b = 1 1 X + 0 0 z + 1 1 y = X + y ;
d \u003d a - b \u003d z - (x + y) \u003d z - x - y;
ré = 0 ⇒ z − X − y = 0 ⇒ X + y − z = 0 ;

Ainsi, l'équation du plan est à nouveau obtenue ! Encore une fois, à la dernière étape, j'ai dû changer les signes afin d'obtenir une formule plus « belle ». Il n'est pas nécessaire de le faire dans cette solution, mais il est toujours recommandé - afin de simplifier la solution ultérieure du problème.

Comme vous pouvez le voir, il est maintenant beaucoup plus facile d'écrire l'équation du plan. Nous substituons les points dans la matrice, calculons le déterminant - et c'est tout, l'équation est prête.

Cela pourrait être la fin de la leçon. Cependant, de nombreux étudiants oublient constamment ce qui se trouve à l'intérieur du déterminant. Par exemple, quelle ligne contient x 2 ou x 3 , et quelle ligne juste x . Pour enfin faire face à cela, traçons d'où vient chaque numéro.

D'où vient la formule avec le déterminant ?

Alors, voyons d'où vient une équation aussi dure avec un déterminant. Cela vous aidera à vous en souvenir et à l'appliquer avec succès.

Tous les plans qui apparaissent dans le problème C2 sont définis par trois points. Ces points sont toujours marqués sur le dessin, voire indiqués directement dans le texte du problème. Dans tous les cas, pour compiler l'équation, nous devons écrire leurs coordonnées:

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3).

Considérons un autre point sur notre plan avec des coordonnées arbitraires :

T = (x, y, z)

Nous prenons n'importe quel point parmi les trois premiers (par exemple, le point M ) et en tirons des vecteurs vers chacun des trois points restants. On obtient trois vecteurs :

MN = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1).

Faisons maintenant une matrice carrée à partir de ces vecteurs et assimilons son déterminant à zéro. Les coordonnées des vecteurs deviendront les lignes de la matrice - et nous obtiendrons le même déterminant indiqué dans le théorème :

Cette formule signifie que le volume de la boîte construite sur les vecteurs MN , MK et MT est égal à zéro. Par conséquent, les trois vecteurs se trouvent dans le même plan. En particulier, un point arbitraire T = (x, y, z) est exactement ce que nous recherchions.

Remplacement des points et des lignes du déterminant

Les déterminants ont de merveilleuses propriétés qui facilitent encore plus solution du problème C2. Par exemple, peu importe à partir de quel point dessiner des vecteurs. Par conséquent, les déterminants suivants donnent la même équation plane que celle ci-dessus :

Vous pouvez également échanger les lignes du déterminant. L'équation restera inchangée. Par exemple, beaucoup de gens aiment écrire une ligne avec les coordonnées du point T = (x ; y ; z) tout en haut. S'il vous plaît, si cela vous convient:

Il confond certains que l'une des lignes contient des variables x , y et z , qui ne disparaissent pas lors de la substitution de points. Mais ils ne doivent pas disparaître ! En remplaçant les nombres dans le déterminant, vous devriez obtenir la construction suivante :

Ensuite, le déterminant est développé selon le schéma donné au début de la leçon et l'équation standard du plan est obtenue:

Ax + By + Cz + D = 0

Jetez un oeil à un exemple. Il est le dernier de la leçon d'aujourd'hui. Je vais délibérément échanger les lignes pour m'assurer que la réponse sera la même équation du plan.

Une tâche. Ecrire une équation pour un plan passant par les points :

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).

Ainsi, nous considérons 4 points :

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Commençons par créer un déterminant standard et égalisons-le à zéro :

Ouverture du déterminant :

une = 0 1 (z - 1) + 1 0 (x - 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y ;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − X + 1 − z = 2 − x − z ;
d \u003d a - b \u003d y - (2 - x - z) \u003d y - 2 + x + z \u003d x + y + z - 2;
ré = 0 ⇒ X + y + z − 2 = 0 ;

Ça y est, on a la réponse : x + y + z − 2 = 0 .

Maintenant, réorganisons quelques lignes dans le déterminant et voyons ce qui se passe. Par exemple, écrivons une ligne avec les variables x, y, z non pas en bas, mais en haut :

Développons à nouveau le déterminant résultant :

une = (x - 1) 1 (-1) + (z - 1) (-1) 1 + y 0 0 = 1 - x + 1 - z = 2 - x - z ;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y ;
ré = une - b = 2 - X - z - y ;
ré = 0 ⇒ 2 − X − y − z = 0 ⇒ X + y + z − 2 = 0 ;

Nous avons exactement la même équation plane : x + y + z − 2 = 0. Donc, cela ne dépend vraiment pas de l'ordre des lignes. Il reste à écrire la réponse.

Ainsi, nous avons vu que l'équation du plan ne dépend pas de la suite des droites. Il est possible de faire des calculs similaires et de prouver que l'équation du plan ne dépend pas du point dont on soustrait les coordonnées aux autres points.

Dans le problème considéré ci-dessus, nous avons utilisé le point B 1 = (1, 0, 1), mais il était tout à fait possible de prendre C = (1, 1, 0) ou D 1 = (0, 1, 1). En général, tout point avec des coordonnées connues se trouvant sur le plan souhaité.

Dans le cadre de ce matériel, nous analyserons comment trouver l'équation d'un plan si nous connaissons les coordonnées de ses trois points différents qui ne se trouvent pas sur une droite. Pour ce faire, nous devons nous rappeler ce qu'est un système de coordonnées rectangulaires dans un espace tridimensionnel. Dans un premier temps, nous introduisons le principe de base équation donnée et montrer comment l'utiliser pour résoudre des problèmes spécifiques.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pour commencer, rappelons un axiome, qui sonne de la manière suivante:

Définition 1

Si trois points ne coïncident pas les uns avec les autres et ne se trouvent pas sur une ligne droite, alors dans l'espace tridimensionnel, un seul plan les traverse.

Autrement dit, si nous avons trois points différents, dont les coordonnées ne coïncident pas et qui ne peuvent pas être reliées par une droite, alors on peut déterminer le plan qui la traverse.

Disons que nous avons un système de coordonnées rectangulaire. Notons-le O x y z . Il contient trois points M de coordonnées M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) qui ne peuvent pas être reliés directement ligne. Sur la base de ces conditions, nous pouvons écrire l'équation du plan dont nous avons besoin. Il existe deux approches pour résoudre ce problème.

1. La première approche utilise l'équation générale du plan. Sous forme littérale, il s'écrit A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Avec lui, vous pouvez définir dans un système de coordonnées rectangulaires un certain plan alpha, qui passe par le premier point donné M 1 (x 1 , y 1 , z 1) . Il s'avère que le vecteur plan normal α aura pour coordonnées A , B , C .

Définition de N

Connaissant les coordonnées du vecteur normal et les coordonnées du point par lequel passe le plan, on peut écrire l'équation générale de ce plan.

A partir de là, nous allons continuer.

Ainsi, selon les conditions du problème, nous avons les coordonnées du point souhaité (voire trois), par lequel passe l'avion. Pour trouver l'équation, vous devez calculer les coordonnées de son vecteur normal. Notons-le n → .

Rappelons la règle : tout vecteur non nul d'un plan donné est perpendiculaire au vecteur normal de ce même plan. On a alors que n → sera perpendiculaire aux vecteurs composés des points initiaux M 1 M 2 → et M 1 M 3 → . On peut alors noter n → comme un produit vectoriel de la forme M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Puisque M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) et M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (les preuves de ces égalités sont données dans l'article consacré au calcul des coordonnées d'un vecteur à partir des coordonnées des points), alors il s'avère que :

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = je → j → k → X 2 - X 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 X 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z une

Si nous calculons le déterminant, nous obtiendrons les coordonnées du vecteur normal n → dont nous avons besoin. Nous pouvons maintenant écrire l'équation dont nous avons besoin pour un plan passant par trois points donnés.

2. La deuxième approche pour trouver une équation passant par M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) est basé sur un concept tel que la complanarité des vecteurs.

Si nous avons un ensemble de points M (x, y, z) , alors dans un système de coordonnées rectangulaires, ils définissent un plan pour les points donnés M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) seulement si les vecteurs M 1 M   → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2   → = ( x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) et M 1 M 3   → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) seront coplanaires.

Sur le schéma, cela ressemblera à ceci :

Cela signifiera que le produit mixte des vecteurs M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → sera égal à zéro : M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , puisque c'est la principale condition de complanarité : M 1 M   → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2   → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) et M 1 M 3   → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) .

Nous écrivons l'équation résultante sous forme de coordonnées:

Après avoir calculé le déterminant, nous pouvons obtenir l'équation du plan dont nous avons besoin pour trois points qui ne se trouvent pas sur une droite M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) .

A partir de l'équation résultante, on peut passer à l'équation du plan en segments ou à l'équation normale du plan, si les conditions du problème l'exigent.

Dans le paragraphe suivant, nous donnerons des exemples de la manière dont les approches que nous avons indiquées sont mises en œuvre dans la pratique.

Exemples de tâches pour compiler une équation d'un plan passant par 3 points

Auparavant, nous avons identifié deux approches qui peuvent être utilisées pour trouver l'équation souhaitée. Voyons comment ils sont utilisés dans la résolution de problèmes et quand choisir chacun.

Exemple 1

Il y a trois points qui ne se trouvent pas sur une droite, avec les coordonnées M 1 (- 3 , 2 , - 1) , M 2 (- 1 , 2 , 4) , M 3 (3 , 3 , - 1) . Écris l'équation d'un plan qui les traverse.

La solution

Nous utilisons les deux méthodes à tour de rôle.

1. Trouver les coordonnées des deux vecteurs dont nous avons besoin M 1 M 2 → , M 1 M 3 → :

M 1 M 2 → = - 1 - - 3, 2 - 2, 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2, 0, 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3, 3 - 2, - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Nous calculons maintenant leur produit vectoriel. Dans ce cas, nous ne décrirons pas les calculs du déterminant :

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = je → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 je → + 30 j → + 2 k →

Nous avons un vecteur normal du plan qui passe par les trois points requis : n → = (- 5 , 30 , 2) . Ensuite, nous devons prendre l'un des points, par exemple M 1 (- 3 , 2 , - 1) , et écrire l'équation du plan avec le vecteur n → = (- 5 , 30 , 2) . On obtient que : - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

C'est l'équation du plan dont nous avons besoin, qui passe par trois points.

2. Nous utilisons une approche différente. On écrit l'équation d'un plan à trois points M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) dans le formulaire suivant :

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Ici, vous pouvez remplacer les données de l'état du problème. Puisque x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, en conséquence nous obtiendrons :

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

Nous avons l'équation dont nous avons besoin.

Réponse:- 5x + 30y + 2z - 73 .

Mais que se passe-t-il si les points donnés se trouvent toujours sur la même ligne droite et que nous devons composer une équation plane pour eux ? Ici, il faut dire tout de suite que cette condition ne sera pas entièrement correcte. Une infinité d'avions peuvent passer par de tels points, il est donc impossible de calculer une seule réponse. Considérons un tel problème afin de prouver l'inexactitude d'une telle formulation de la question.

Exemple 2

Nous avons un système de coordonnées rectangulaire dans l'espace 3D contenant trois points de coordonnées M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) . Il est nécessaire d'écrire une équation pour un plan qui le traverse.

La solution

On utilise la première méthode et on commence par calculer les coordonnées de deux vecteurs M 1 M 2 → et M 1 M 3 → . Calculons leurs coordonnées : M 1 M 2 → = (- 4 , 6 , 2) , M 1 M 3 → = - 6 , 9 , 3 .

Le produit vectoriel sera égal à :

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = je → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 je ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Puisque M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 → , alors nos vecteurs seront colinéaires (relisez l'article à leur sujet si vous avez oublié la définition de ce concept). Ainsi, les points initiaux M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) sont sur la même droite, et notre problème a infiniment de nombreuses options de réponse.

Si nous utilisons la seconde méthode, nous obtenons :

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

De l'égalité résultante, il résulte également que les points donnés M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) sont sur la même ligne.

Si vous voulez trouver au moins une réponse à ce problème à partir d'un nombre infini de ses options, alors vous devez suivre ces étapes :

1. Écrivez l'équation de la droite M 1 M 2, M 1 M 3 ou M 2 M 3 (si nécessaire, voir le matériel sur cette action).

2. Prenez un point M 4 (x 4 , y 4 , z 4) qui ne se trouve pas sur la droite M 1 M 2 .

3. Écrivez l'équation d'un plan qui passe par trois divers points M 1 , M 2 et M 4 ne se trouvant pas sur une droite.

Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez le mettre en surbrillance et appuyer sur Ctrl+Entrée

13. Angle entre plans, distance d'un point à un plan.

Laissez les plans α et β se couper le long de la ligne c.
L'angle entre les plans est l'angle entre les perpendiculaires à la ligne de leur intersection, tracée dans ces plans.

Autrement dit, dans le plan α on trace une droite a perpendiculaire à c. Dans le plan β - droite b, également perpendiculaire à c. Angle entre les plans α et β égal à l'angle entre les lignes a et b.

Notez que lorsque deux plans se croisent, quatre coins sont en fait formés. Vous les voyez sur la photo ? Comme l'angle entre les plans que nous prenons épicé coin.

Si l'angle entre les plans est de 90 degrés, alors les plans perpendiculaire,

C'est la définition de la perpendicularité des plans. Lors de la résolution de problèmes de stéréométrie, nous utilisons également signe de perpendicularité des plans:

Si le plan α passe par la perpendiculaire au plan β, alors les plans α et β sont perpendiculaires.

distance point à plan

Considérons un point T donné par ses coordonnées :

T \u003d (x 0, y 0, z 0)

Considérons aussi le plan α, donné par l'équation:

Ax + By + Cz + D = 0

Alors la distance L du point T au plan α peut être calculée par la formule :

En d'autres termes, nous substituons les coordonnées du point dans l'équation du plan, puis divisons cette équation par la longueur du vecteur normal n au plan :

Le nombre résultant est la distance. Voyons comment ce théorème fonctionne en pratique.

Nous avons déjà dérivé les équations paramétriques d'une ligne droite dans un plan, obtenons les équations paramétriques d'une ligne droite, qui sont données dans un système de coordonnées rectangulaires dans un espace tridimensionnel.

Soit un système de coordonnées rectangulaires fixé dans un espace tridimensionnel Oxyz. Définissons une ligne droite un(voir la section sur la définition d'une droite dans l'espace) en spécifiant le vecteur directeur d'une droite et les coordonnées d'un point sur la ligne . Nous partirons de ces données pour compiler les équations paramétriques d'une droite dans l'espace.

Soit un point arbitraire dans l'espace tridimensionnel. Si on soustrait aux coordonnées du point M coordonnées du point correspondant M 1, alors nous obtiendrons les coordonnées du vecteur (voir l'article trouver les coordonnées du vecteur par les coordonnées des points de sa fin et de son début), c'est-à-dire .

Évidemment, l'ensemble des points définit une ligne un si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires.

Notons la condition nécessaire et suffisante pour que les vecteurs soient colinéaires et : , où est un nombre réel. L'équation résultante est appelée équation paramétrique vectorielle d'une droite dans le système de coordonnées rectangulaires Oxyz dans un espace tridimensionnel. L'équation paramétrique vectorielle d'une ligne droite sous forme de coordonnées a la forme et représente équations paramétriques de la droite un. Le nom "paramétrique" n'est pas accidentel, puisque les coordonnées de tous les points de la ligne sont spécifiées à l'aide du paramètre .

Donnons un exemple d'équations paramétriques d'une droite dans un repère rectangulaire Oxyz dans l'espace: . Ici

15. Angle entre une droite et un plan. Point d'intersection d'une droite avec un plan.

Toute équation du premier degré par rapport aux coordonnées x, y, z

Ax + By + Cz + D = 0 (3.1)

définit un plan, et inversement : tout plan peut être représenté par l'équation (3.1), qui s'appelle équation du plan.

Vecteur n(A, B, C) orthogonal au plan est appelé vecteur normal Avions. Dans l'équation (3.1), les coefficients A, B, C ne sont pas égaux à 0 en même temps.

Cas particuliers de l'équation (3.1) :

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - le plan passe par l'origine.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - le plan est parallèle à l'axe Oz.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - le plan passe par l'axe Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - le plan est parallèle au plan Oyz.

Équations du plan de coordonnées : x = 0, y = 0, z = 0.

Une droite dans l'espace peut être donnée :

1) comme une ligne d'intersection de deux plans, c'est-à-dire système d'équations :

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 ; (3.2)

2) ses deux points M 1 (x 1, y 1, z 1) et M 2 (x 2, y 2, z 2), alors la droite qui les traverse est donnée par les équations :

3) le point M 1 (x 1 , y 1 , z 1) lui appartenant, et le vecteur un(m, n, p), s colinéaire. Alors la droite est déterminée par les équations :

. (3.4)

Les équations (3.4) sont appelées équations canoniques de la droite.

Vecteur un appelé vecteur de guidage droit.

On obtient les équations paramétriques de la droite en assimilant chacune des relations (3.4) au paramètre t :

x \u003d x 1 + mt, y \u003d y 1 + nt, z \u003d z 1 + pt. (3.5)

Système de résolution (3.2) en tant que système équations linéaires relativement inconnu X et y, on arrive aux équations de la droite en projection ou pour équations de droite réduites:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

Des équations (3.6) on peut passer aux équations canoniques, en trouvant zà partir de chaque équation et en assimilant les valeurs résultantes :

.

On peut passer des équations générales (3.2) aux équations canoniques d'une autre manière, si l'on trouve un point quelconque de cette droite et son vecteur directeur n= [n 1 , n 2], où n 1 (A 1 , B 1 , C 1) et n 2 (A 2 , B 2 , C 2) - vecteurs normaux des plans donnés. Si l'un des dénominateurs m, n ou R dans les équations (3.4) s'avère être égal à zéro, alors le numérateur de la fraction correspondante doit être égal à zéro, c'est-à-dire système

équivaut à un système ; une telle droite est perpendiculaire à l'axe des x.

Système est équivalent au système x = x 1 , y = y 1 ; la droite est parallèle à l'axe Oz.

Exemple 1.15. Écrire l'équation du plan, sachant que le point A (1, -1,3) sert de base à la perpendiculaire tirée de l'origine à ce plan.

La solution. Par la condition du problème, le vecteur OA(1,-1,3) est un vecteur normal du plan, alors son équation peut s'écrire
x-y+3z+D=0. En substituant les coordonnées du point A(1,-1,3) appartenant au plan, on trouve D : 1-(-1)+3×3+D = 0 Þ D = -11. Donc x-y+3z-11=0.

Exemple 1.16. Ecrire l'équation d'un plan passant par l'axe Oz et faisant un angle de 60 degrés avec le plan 2x+y-z-7=0.

La solution. Le plan passant par l'axe Oz est donné par l'équation Ax+By=0, où A et B ne s'annulent pas en même temps. Soit B non
est 0, A/Bx+y=0. D'après la formule du cosinus de l'angle entre deux plans

.

Décider équation quadratique 3m 2 + 8m - 3 = 0, retrouver ses racines
m 1 = 1/3, m 2 = -3, d'où on obtient deux plans 1/3x+y = 0 et -3x+y = 0.

Exemple 1.17. Ecrire les équations canoniques de la droite :
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

La solution. Les équations canoniques de la droite ont la forme :

où m, n, p- coordonnées du vecteur directeur de la droite, x1, y1, z1- les coordonnées de tout point appartenant à la ligne. La droite est définie comme la ligne d'intersection de deux plans. Pour trouver un point appartenant à une droite, on fixe une des coordonnées (le plus simple est de mettre, par exemple, x=0) et le système résultant est résolu comme un système d'équations linéaires à deux inconnues. Donc, soit x=0, alors y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, d'où y=-1, z=1. Nous avons trouvé les coordonnées du point M (x 1, y 1, z 1) appartenant à cette droite : M (0,-1,1). Le vecteur directeur d'une droite est facile à trouver, connaissant les vecteurs normaux des plans d'origine n 1 (5,1,1) et n 2(2,3,-2). Alors

Les équations canoniques de la droite sont : x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

Exemple 1.18. Dans le faisceau défini par les plans 2x-y+5z-3=0 et x+y+2z+1=0, trouver deux plans perpendiculaires dont l'un passe par le point M(1,0,1).

La solution. L'équation du faisceau défini par ces plans est u(2x-y+5z-3) + v(x+y+2z+1)=0, où u et v ne s'annulent pas en même temps. Nous réécrivons l'équation de la poutre comme suit :

(2u + v)x + (- u + v)y + (5u + 2v)z - 3u + v = 0.

Afin de sélectionner un plan passant par le point M à partir du faisceau, nous substituons les coordonnées du point M dans l'équation du faisceau. On a:

(2u+v)×1 + (-u + v)×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v =0, ou v = - u.

On trouve alors l'équation du plan contenant M en substituant v = - u dans l'équation de la poutre :

u(2x-y +5z - 3) - u(x + y +2z +1) = 0.

Car u¹0 (sinon v=0, et cela contredit la définition d'une poutre), alors on a l'équation du plan x-2y+3z-4=0. Le deuxième plan appartenant au faisceau doit lui être perpendiculaire. On écrit la condition d'orthogonalité des plans :

(2u + v)×1 + (v - u)×(-2) + (5u + 2v)×3 = 0, ou v = - 19/5u.

L'équation du second plan a donc la forme :

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 ou 9x +24y + 13z + 34 = 0

Peut être mis en place différentes façons(un point et un vecteur, deux points et un vecteur, trois points, etc.). C'est dans cet esprit que l'équation du plan peut avoir différentes sortes. De plus, sous certaines conditions, les plans peuvent être parallèles, perpendiculaires, sécants, etc. Nous en parlerons dans cet article. Nous apprendrons à écrire l'équation générale du plan et pas seulement.

Forme normale de l'équation

Disons qu'il existe un espace R 3 qui a un système de coordonnées rectangulaire XYZ. Nous définissons le vecteur α, qui sera libéré du point initial O. Par l'extrémité du vecteur α, nous dessinons le plan P, qui lui sera perpendiculaire.

Notons P un point arbitraire Q=(x, y, z). On signera le rayon vecteur du point Q avec la lettre p. La longueur du vecteur α est p=IαI et Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

C'est un vecteur unitaire qui pointe latéralement, tout comme le vecteur α. α, β et γ sont les angles qui se forment entre le vecteur Ʋ et les directions positives des axes spatiaux x, y, z, respectivement. La projection d'un point QϵП sur le vecteur Ʋ est valeur constante, qui est égal à p : (p,Ʋ) = p(p≥0).

Cette équation a un sens lorsque p=0. La seule chose est que le plan P dans ce cas coupera le point O (α = 0), qui est l'origine, et le vecteur unitaire Ʋ libéré du point O sera perpendiculaire à P, quelle que soit sa direction, ce qui signifie que le vecteur Ʋ est déterminé à partir du signe précis. L'équation précédente est l'équation de notre plan P, exprimée sous forme vectorielle. Mais en coordonnées, cela ressemblera à ceci:

P est ici supérieur ou égal à 0. Nous avons trouvé l'équation d'un plan dans l'espace sous sa forme normale.

Équation générale

Si nous multiplions l'équation en coordonnées par n'importe quel nombre qui n'est pas égal à zéro, nous obtenons une équation équivalente à celle donnée, qui détermine ce même plan. Il ressemblera à ceci:

Ici A, B, C sont des nombres simultanément différents de zéro. Cette équation est appelée équation générale du plan.

Équations planes. Cas spéciaux

Équation dans vue générale peut changer si disponible conditions additionnelles. Considérons certains d'entre eux.

Supposons que le coefficient A soit 0. Cela signifie que le plan donné est parallèle à l'axe donné Ox. Dans ce cas, la forme de l'équation changera : Ву+Cz+D=0.

De même, la forme de l'équation changera dans les conditions suivantes :

• Premièrement, si B = 0, alors l'équation changera en Ax + Cz + D = 0, ce qui indiquera le parallélisme avec l'axe Oy.
• Deuxièmement, si С=0, alors l'équation est transformée en Ах+Ву+D=0, ce qui indiquera le parallélisme à l'axe donné Oz.
• Troisièmement, si D = 0, l'équation ressemblera à Ax + By + Cz = 0, ce qui signifie que le plan coupe O (l'origine).
• Quatrièmement, si A=B=0, alors l'équation changera en Cz+D=0, qui s'avérera parallèle à Oxy.
• Cinquièmement, si B=C=0, alors l'équation devient Ax+D=0, ce qui signifie que le plan à Oyz est parallèle.
• Sixièmement, si A=C=0, alors l'équation prendra la forme Ву+D=0, c'est-à-dire qu'elle rapportera le parallélisme à Oxz.

Type d'équation dans les segments

Dans le cas où les nombres A, B, C, D sont non nuls, la forme de l'équation (0) peut être la suivante :

x/a + y/b + z/c = 1,

dans lequel a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.

Nous obtenons comme résultat Il convient de noter que ce plan coupera l'axe Ox en un point de coordonnées (a,0,0), Oy - (0,b,0) et Oz - (0,0,c) .

En tenant compte de l'équation x/a + y/b + z/c = 1, il est facile de représenter visuellement le placement du plan par rapport à un système de coordonnées donné.

Coordonnées vectorielles normales

Le vecteur normal n au plan P a pour coordonnées les coefficients équation générale plan donné, c'est-à-dire n (A, B, C).

Pour déterminer les coordonnées de la normale n, il suffit de connaître l'équation générale d'un plan donné.

Lors de l'utilisation de l'équation en segments, qui a la forme x/a + y/b + z/c = 1, ainsi que lors de l'utilisation de l'équation générale, on peut écrire les coordonnées de n'importe quel vecteur normal d'un plan donné : (1 /a + 1/b + 1/ Avec).

Il convient de noter que le vecteur normal aide à résoudre divers problèmes. Les plus courantes sont les tâches consistant à prouver la perpendicularité ou le parallélisme des plans, les problèmes de recherche d'angles entre plans ou d'angles entre plans et droites.

Vue de l'équation du plan en fonction des coordonnées du point et du vecteur normal

Un vecteur n non nul perpendiculaire à un plan donné est dit normal (normal) pour un plan donné.

Supposons que dans l'espace de coordonnées (système de coordonnées rectangulaires) Oxyz soit donné :

• point Mₒ de coordonnées (xₒ,yₒ,zₒ);
• vecteur nul n=A*i+B*j+C*k.

Il faut composer une équation pour un plan qui passera par le point Mₒ perpendiculaire à la normale n.

Dans l'espace, on choisit n'importe quel point arbitraire et on le note M (x y, z). Soit le rayon vecteur de tout point M (x, y, z) r=x*i+y*j+z*k, et le rayon vecteur du point Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Le point M appartiendra au plan donné si le vecteur MₒM est perpendiculaire au vecteur n. Nous écrivons la condition d'orthogonalité à l'aide du produit scalaire :

[MₒM, n] = 0.

Depuis MₒM \u003d r-rₒ, l'équation vectorielle du plan ressemblera à ceci:

Cette équation peut prendre une autre forme. Pour cela, les propriétés du produit scalaire sont utilisées, et les côté gaucheéquations. = - . S'il est noté c, alors l'équation suivante sera obtenue: - c \u003d 0 ou \u003d c, qui exprime la constance des projections sur le vecteur normal des rayons vecteurs des points donnés appartenant au plan.

Vous pouvez maintenant obtenir la forme coordonnée de l'écriture de l'équation vectorielle de notre plan = 0. Puisque r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, et n = A*i+B *j+C*k, on a :

Il s'avère que nous avons une équation pour un plan passant par un point perpendiculaire à la normale n :

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Vue de l'équation du plan selon les coordonnées de deux points et un vecteur colinéaire au plan

On définit deux points arbitraires M′ (x′,y′,z′) et M″ (x″,y″,z″), ainsi que le vecteur a (a′,a″,a‴).

Nous pouvons maintenant composer une équation pour un plan donné, qui passera par les points disponibles M′ et M″, ainsi que tout point M de coordonnées (x, y, z) en parallèle vecteur donné un.

Dans ce cas, les vecteurs M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) et M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) doivent être coplanaires avec le vecteur a=(a',a",a", ce qui signifie que (M'M, M"M, a)=0.

Ainsi, notre équation d'un plan dans l'espace ressemblera à ceci :

Type d'équation d'un plan coupant trois points

Supposons que nous ayons trois points : (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), qui n'appartiennent pas à la même droite. Il faut écrire l'équation du plan passant par les trois points donnés. La théorie de la géométrie prétend que ce type de plan existe réellement, seulement qu'il est le seul et inimitable. Puisque ce plan coupe le point (x′, y′, z′), la forme de son équation sera la suivante :

Ici A, B, C sont différents de zéro en même temps. De plus, le plan donné coupe deux autres points : (x″,y″,z″) et (x‴,y‴,z‴). A cet égard, les conditions suivantes doivent être respectées :

On peut maintenant composer un système homogène à inconnues u, v, w :

Dans notre cas x,y ou z est un point arbitraire qui satisfait l'équation (1). Compte tenu de l'équation (1) et du système d'équations (2) et (3), le système d'équations indiqué dans la figure ci-dessus satisfait le vecteur N (A, B, C), qui est non trivial. C'est pourquoi le déterminant de ce système est égal à zéro.

L'équation (1), que nous avons obtenue, est l'équation du plan. Il passe exactement par 3 points, ce qui est facile à vérifier. Pour ce faire, nous devons étendre notre déterminant sur les éléments de la première ligne. Il résulte des propriétés existantes du déterminant que notre plan coupe simultanément trois points initialement donnés (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Autrement dit, nous avons résolu la tâche qui nous était confiée.

Angle dièdre entre plans

Un angle dièdre est un angle spatial figure géométrique, formé de deux demi-plans issus d'une même droite. Autrement dit, c'est la partie de l'espace qui est limitée par ces demi-plans.

Disons que nous avons deux plans avec les équations suivantes :

On sait que les vecteurs N=(A,B,C) et N¹=(A¹,B¹,C¹) sont perpendiculaires selon les plans donnés. A cet égard, l'angle φ entre les vecteurs N et N¹ est égal à l'angle (dièdre) qui est entre ces plans. Produit scalaire ressemble à:

NN¹=|N||N¹|cosφ,

précisément parce que

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Il suffit de prendre en compte que 0≤φ≤π.

En fait, deux plans qui se coupent forment deux angles (dièdres) : φ 1 et φ 2 . Leur somme est égale à π (φ 1 + φ 2 = π). Quant à leurs cosinus, leurs valeurs absolues sont égales, mais elles diffèrent par des signes, c'est-à-dire cos φ 1 =-cos φ 2. Si dans l'équation (0) nous remplaçons A, B et C par les nombres -A, -B et -C, respectivement, alors l'équation que nous obtenons déterminera le même plan, le seul angle φ dans l'équation cos φ= NN 1 /|N||N 1 | sera remplacé par π-φ.

Équation du plan perpendiculaire

Les plans sont dits perpendiculaires si l'angle entre eux est de 90 degrés. En utilisant le matériel décrit ci-dessus, nous pouvons trouver l'équation d'un plan perpendiculaire à un autre. Disons que nous avons deux plans : Ax+By+Cz+D=0 et A¹x+B¹y+C¹z+D=0. On peut affirmer qu'ils seront perpendiculaires si cosφ=0. Cela signifie que NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Équation du plan parallèle

Parallèles sont deux plans qui ne contiennent pas de points communs.

La condition (leurs équations sont les mêmes que dans le paragraphe précédent) est que les vecteurs N et N¹, qui leur sont perpendiculaires, soient colinéaires. Cela signifie que les conditions de proportionnalité suivantes sont satisfaites :

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Si les conditions de proportionnalité sont étendues - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

cela indique que ces plans coïncident. Cela signifie que les équations Ax+By+Cz+D=0 et A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 décrivent un plan.

Distance au plan du point

Disons que nous avons un plan P, qui est donné par l'équation (0). Il est nécessaire de trouver la distance à partir du point de coordonnées (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Pour ce faire, vous devez mettre l'équation du plan P sous forme normale :

(ρ,v)=p (p≥0).

Dans ce cas, ρ(x,y,z) est le rayon vecteur de notre point Q situé sur P, p est la longueur de la perpendiculaire à P qui a été dégagée du point zéro, v est le vecteur unitaire qui se situe en la direction a.

La différence ρ-ρº du rayon vecteur d'un point Q=(x,y,z) appartenant à P, ainsi que le rayon vecteur d'un point donné Q 0 =(xₒ,yₒ,zₒ) est un tel vecteur, valeur absolue dont la projection sur v est égale à la distance d, qui doit être trouvée de Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) à P :

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, mais

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Il s'avère donc

d=|(ρ 0 ,v)-p|.

Ainsi nous trouverons valeur absolue l'expression résultante, c'est-à-dire le d requis.

En utilisant le langage des paramètres, nous obtenons l'évidence :

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

Si un point donné Q 0 est de l'autre côté du plan P, ainsi que l'origine, alors entre le vecteur ρ-ρ 0 et v est donc :

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-p>0.

Dans le cas où le point Q 0, avec l'origine, est situé du même côté de P, alors l'angle créé est aigu, c'est-à-dire :

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

Il en résulte que dans le premier cas (ρ 0 ,v)> р, dans le second (ρ 0 ,v)<р.

Plan tangent et son équation

Le plan tangent à la surface au point de contact Mº est le plan contenant toutes les tangentes possibles aux courbes tracées par ce point sur la surface.

Avec cette forme de l'équation de surface F (x, y, z) \u003d 0, l'équation du plan tangent au point tangent Mº (xº, yº, zº) ressemblera à ceci:

F x (xº, yº, zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0.

Si vous spécifiez la surface sous la forme explicite z=f (x, y), alors le plan tangent sera décrit par l'équation :

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Intersection de deux plans

Dans le système de coordonnées (rectangulaire) Oxyz est situé, deux plans П′ et П″ sont donnés, qui se croisent et ne coïncident pas. Puisque tout plan situé dans un repère rectangulaire est déterminé par l'équation générale, nous supposerons que P′ et P″ sont donnés par les équations A′x+B′y+C′z+D′=0 et A″x +B″y+ С″z+D″=0. Dans ce cas, on a la normale n′ (A′, B′, C′) du plan P′ et la normale n″ (A″, B″, C″) du plan P″. Puisque nos plans ne sont pas parallèles et ne coïncident pas, ces vecteurs ne sont pas colinéaires. En utilisant le langage des mathématiques, nous pouvons écrire cette condition comme suit : n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Soit la ligne qui se trouve à l'intersection de P′ et P″ soit désignée par la lettre a, dans ce cas a = P′ ∩ P″.

a est une ligne droite constituée de l'ensemble de tous les points des plans (communs) П′ et П″. Cela signifie que les coordonnées de tout point appartenant à la droite a doivent satisfaire simultanément les équations A′x+B′y+C′z+D′=0 et A″x+B″y+C″z+D″= 0. Cela signifie que les coordonnées du point seront une solution particulière du système d'équations suivant :

En conséquence, il s'avère que la solution (générale) de ce système d'équations déterminera les coordonnées de chacun des points de la droite, qui servira de point d'intersection de П′ et П″, et déterminera la droite ligne a dans le système de coordonnées Oxyz (rectangulaire) dans l'espace.

Équation plane. Comment écrire une équation pour un avion ?
Disposition mutuelle des avions. Tâches

La géométrie spatiale n'est pas beaucoup plus compliquée que la géométrie "plate", et nos vols dans l'espace commencent par cet article. Pour comprendre le sujet, il faut bien comprendre vecteurs, de plus, il est souhaitable de se familiariser avec la géométrie de l'avion - il y aura de nombreuses similitudes, de nombreuses analogies, de sorte que les informations seront bien mieux digérées. Dans une série de mes cours, le monde 2D s'ouvre sur un article Équation d'une droite sur un plan. Mais maintenant, Batman a quitté le téléviseur à écran plat et se lance depuis le cosmodrome de Baïkonour.

Commençons par les dessins et les symboles. Schématiquement, le plan peut être dessiné comme un parallélogramme, ce qui donne une impression d'espace :

Le plan est infini, mais nous n'avons la possibilité d'en représenter qu'un morceau. En pratique, en plus du parallélogramme, un ovale ou même un nuage est également dessiné. Pour des raisons techniques, il m'est plus commode de représenter l'avion de cette façon et dans cette position. Les vrais avions, que nous examinerons dans des exemples pratiques, peuvent être disposés comme vous le souhaitez - prenez mentalement le dessin entre vos mains et tordez-le dans l'espace, en donnant à l'avion n'importe quelle pente, n'importe quel angle.

Notation: il est d'usage de désigner les avions en minuscules grecques, apparemment pour ne pas les confondre avec tout droit dans l'avion ou avec directement dans l'espace. J'ai l'habitude d'utiliser la lettre. Dans le dessin, c'est la lettre "sigma", et pas un trou du tout. Bien qu'un avion troué, c'est certainement très drôle.

Dans certains cas, il est pratique d'utiliser les mêmes lettres grecques avec des indices pour désigner les avions, par exemple, .

Il est évident que le plan est déterminé de manière unique par trois points différents qui ne se trouvent pas sur la même ligne droite. Par conséquent, les désignations d'avions à trois lettres sont très populaires - en fonction des points qui leur appartiennent, par exemple, etc. Souvent, les lettres sont entre parenthèses : , afin de ne pas confondre le plan avec une autre figure géométrique.

Pour les lecteurs avertis, je donnerai menu des raccourcis:

• Comment écrire une équation pour un plan en utilisant un point et deux vecteurs ?
• Comment écrire une équation pour un plan en utilisant un point et un vecteur normal ?

et nous ne languirons pas dans de longues attentes:

Équation générale du plan

L'équation générale du plan a la forme , où les coefficients sont simultanément non nuls.

Un certain nombre de calculs théoriques et de problèmes pratiques sont valables aussi bien pour la base orthonormée usuelle que pour la base affine de l'espace (si huile c'est huile, retour à la leçon (non) dépendance linéaire des vecteurs. Base vectorielle). Pour plus de simplicité, nous supposerons que tous les événements se produisent dans une base orthonormée et un système de coordonnées rectangulaires cartésiennes.

Et maintenant, formons un peu d'imagination spatiale. Ce n'est pas grave si vous l'avez mal, maintenant nous allons le développer un peu. Même jouer sur les nerfs demande de la pratique.

Dans le cas le plus général, lorsque les nombres ne sont pas égaux à zéro, le plan coupe les trois axes de coordonnées. Par exemple, comme ceci :

Je répète encore une fois que l'avion continue indéfiniment dans toutes les directions, et nous n'avons l'occasion d'en représenter qu'une partie.

Considérez les équations les plus simples des plans :

Comment comprendre cette équation ? Pensez-y: "Z" TOUJOURS, pour toutes les valeurs de "X" et "Y" est égal à zéro. C'est l'équation du plan de coordonnées "natif". En effet, formellement l'équation peut se réécrire comme suit : , d'où il est clairement visible que nous ne nous soucions pas, quelles valeurs "x" et "y" prennent, il est important que "z" soit égal à zéro.

De la même manière:
est l'équation du plan de coordonnées ;
est l'équation du plan de coordonnées.

Compliquons un peu le problème, considérons un plan (ici et plus loin dans le paragraphe nous supposons que les coefficients numériques ne sont pas égaux à zéro). Réécrivons l'équation sous la forme : . Comment le comprendre ? "X" est TOUJOURS, pour toute valeur de "y" et "z" est égal à un certain nombre. Ce plan est parallèle au plan de coordonnées. Par exemple, un plan est parallèle à un plan et passe par un point.

De la même manière:
- l'équation du plan, qui est parallèle au plan de coordonnées ;
- l'équation d'un plan parallèle au plan de coordonnées.

Ajouter des membres : . L'équation peut être réécrite comme ceci : , c'est-à-dire que "Z" peut être n'importe quoi. Qu'est-ce que ça veut dire? "X" et "Y" sont reliés par un rapport qui trace une certaine ligne droite dans le plan (vous reconnaîtrez équation d'une droite dans un plan?). Puisque Z peut être n'importe quoi, cette ligne est "répliquée" à n'importe quelle hauteur. Ainsi, l'équation définit un plan parallèle à l'axe de coordonnées

De la même manière:
- l'équation du plan, qui est parallèle à l'axe des coordonnées ;
- l'équation du plan, qui est parallèle à l'axe des coordonnées.

Si les termes libres sont nuls, alors les plans passeront directement par les axes correspondants. Par exemple, la classique "proportionnalité directe":. Tracez une ligne droite dans le plan et multipliez-la mentalement de haut en bas (puisque "z" est quelconque). Conclusion : le plan donné par l'équation passe par l'axe des coordonnées.

Nous concluons l'examen: l'équation du plan passe par l'origine. Eh bien, ici, il est tout à fait évident que le point satisfait l'équation donnée.

Et, enfin, le cas qui est montré sur le dessin : - le plan est ami avec tous les axes de coordonnées, alors qu'il "coupe" toujours un triangle qui peut être situé dans l'un des huit octants.

Inégalités linéaires dans l'espace

Pour comprendre l'information, il est nécessaire de bien étudier inégalités linéaires dans le plan car beaucoup de choses seront similaires. Le paragraphe sera d'un bref aperçu avec quelques exemples, car le matériel est assez rare dans la pratique.

Si l'équation définit un plan, alors les inégalités
interroger demi-espaces. Si l'inégalité n'est pas stricte (les deux dernières de la liste), alors la solution de l'inégalité, en plus du demi-espace, inclut le plan lui-même.

Exemple 5

Trouver le vecteur normal unitaire du plan .

La solution: Un vecteur unitaire est un vecteur dont la longueur est un. Notons ce vecteur par . Il est bien clair que les vecteurs sont colinéaires :

Tout d'abord, nous supprimons le vecteur normal de l'équation du plan : .

Comment trouver le vecteur unitaire ? Pour trouver le vecteur unitaire, il faut tous coordonnée du vecteur divisée par la longueur du vecteur.

Réécrivons le vecteur normal sous la forme et trouvons sa longueur :

D'après ce qui précède :

Réponse:

Vérifier : , qui était nécessaire pour vérifier.

Les lecteurs qui ont étudié attentivement le dernier paragraphe de la leçon ont probablement remarqué que les coordonnées du vecteur unitaire sont exactement les cosinus directeurs du vecteur:

Faisons une digression du problème désassemblé: quand on vous donne un vecteur arbitraire non nul, et par la condition qu'il faut trouver ses cosinus directeurs (voir les dernières tâches de la leçon Produit scalaire de vecteurs), alors vous trouvez en fait également un vecteur unitaire colinéaire à celui donné. En fait, deux tâches dans une bouteille.

La nécessité de trouver un vecteur normal unitaire se pose dans certains problèmes d'analyse mathématique.

Nous avons compris la pêche du vecteur normal, nous allons maintenant répondre à la question inverse :

Comment écrire une équation pour un plan en utilisant un point et un vecteur normal ?

Cette construction rigide d'un vecteur normal et d'un point est bien connue par une cible de fléchettes. Veuillez tendre la main vers l'avant et sélectionner mentalement un point arbitraire dans l'espace, par exemple un petit chat dans un buffet. Évidemment, à travers ce point, vous pouvez dessiner un seul plan perpendiculaire à votre main.

L'équation d'un plan passant par un point perpendiculaire au vecteur s'exprime par la formule :