Toutes les formules sont en progression arithmétique. Progression algébrique
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Progression arithmétique- il s'agit d'une série de nombres dans laquelle chaque nombre est supérieur (ou inférieur) au précédent du même montant.
Ce sujet est souvent difficile et incompréhensible. Index des lettres, nième terme progressions, la différence de progression - tout cela est en quelque sorte déroutant, oui ... Découvrons le sens de la progression arithmétique et tout ira bien tout de suite.)
Le concept de progression arithmétique.
La progression arithmétique est un concept très simple et clair. Doute? En vain.) Voyez par vous-même.
Je vais écrire une série inachevée de nombres :
1, 2, 3, 4, 5, ...
Pouvez-vous prolonger cette ligne ? Quels numéros iront ensuite, après les cinq ? Tout le monde... euh..., bref, tout le monde comprendra que les chiffres 6, 7, 8, 9, etc. iront plus loin.
Compliquons la tâche. Je donne une suite inachevée de nombres :
2, 5, 8, 11, 14, ...
Vous pouvez attraper le motif, étendre la série et nommer septième numéro de ligne ?
Si vous avez compris que ce nombre est 20 - je vous félicite! Non seulement tu as ressenti les points clés d'une progression arithmétique, mais les a également utilisés avec succès dans les affaires ! Si vous ne comprenez pas, lisez la suite.
Traduisons maintenant les points clés des sensations en mathématiques.)
Premier point clé.
La progression arithmétique traite de séries de nombres. C'est déroutant au début. On a l'habitude de résoudre des équations, de construire des graphes et tout ça... Et puis d'étendre la série, de trouver le numéro de la série...
C'est bon. C'est juste que les progressions sont la première connaissance d'une nouvelle branche des mathématiques. La section s'appelle "Series" et fonctionne avec des séries de nombres et d'expressions. Habituez-vous.)
Deuxième point clé.
Dans une progression arithmétique, tout nombre diffère du précédent du même montant.
Dans le premier exemple, cette différence est de un. Quel que soit le nombre que vous prenez, c'est un de plus que le précédent. Dans la seconde - trois. Tout nombre est trois fois plus grand que le précédent. En fait, c'est ce moment qui nous donne l'opportunité d'attraper le motif et de calculer les nombres suivants.
Troisième point clé.
Ce moment n'est pas marquant, oui... Mais très, très important. Il est la: chaque numéro de progression est à sa place. Il y a le premier nombre, il y a le septième, il y a le quarante-cinquième, et ainsi de suite. Si vous les confondez au hasard, le motif disparaîtra. La progression arithmétique disparaîtra également. C'est juste une série de chiffres.
Exactement.
Bien sûr, dans nouveau sujet de nouveaux termes et notations apparaissent. Ils ont besoin de savoir. Sinon, vous ne comprendrez pas la tâche. Par exemple, vous devez décider quelque chose comme :
Écrivez les six premiers termes de la progression arithmétique (a n) si a 2 = 5, d = -2,5.
Inspire-t-il ?) Des lettres, quelques index... Et la tâche, soit dit en passant, est on ne peut plus simple. Vous avez juste besoin de comprendre la signification des termes et la notation. Maintenant, nous allons maîtriser cette question et revenir à la tâche.
Termes et désignations.
Progression arithmétique est une suite de nombres dans laquelle chaque nombre est différent du précédent du même montant.
Cette valeur est appelée . Examinons ce concept plus en détail.
Différence de progression arithmétique.
Différence de progression arithmétique est le montant par lequel tout numéro de progression Suite le précédent.
Une point important. Veuillez faire attention au mot "Suite". Mathématiquement, cela signifie que chaque numéro de progression est obtenu ajouter la différence d'une progression arithmétique au nombre précédent.
Pour calculer, disons deuxième numéros de la rangée, il faut première Numéro ajouter cette différence même d'une progression arithmétique. Pour le calcul cinquième- la différence est nécessaire ajouterà Quatrième bien, etc
Différence de progression arithmétique Peut être positif alors chaque numéro de la série se révélera être réel plus que le précédent. Cette évolution s'appelle en augmentant. Par exemple:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Ici, chaque numéro est ajouter nombre positif, +5 au précédent.
La différence peut être négatif alors chaque numéro de la série sera moins que le précédent. Cette progression s'appelle (vous n'allez pas le croire !) décroissant.
Par exemple:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Ici, chaque nombre est obtenu aussi ajouter au nombre précédent, mais déjà négatif, -5.
Soit dit en passant, lorsque vous travaillez avec une progression, il est très utile de déterminer immédiatement sa nature - si elle augmente ou diminue. Cela aide beaucoup à se repérer dans la décision, à détecter ses erreurs et à les corriger avant qu'il ne soit trop tard.
Différence de progression arithmétique généralement désigné par la lettre ré.
Comment trouver ré? Très simple. Il faut soustraire à tout nombre de la série précédent Numéro. Soustraire. Soit dit en passant, le résultat de la soustraction est appelé "différence".)
Définissons, par exemple, ré pour une progression arithmétique croissante :
2, 5, 8, 11, 14, ...
Nous prenons n'importe quel nombre de la ligne que nous voulons, par exemple, 11. Soustrayez-en le numéro précédent ceux. huit:
C'est la bonne réponse. Pour cette progression arithmétique, la différence est de trois.
Vous pouvez simplement prendre n'importe quel nombre de progressions, car pour une progression spécifique ré-toujours les mêmes. Au moins quelque part au début de la rangée, au moins au milieu, au moins n'importe où. Vous ne pouvez pas prendre uniquement le tout premier numéro. Juste parce que le tout premier numéro Pas de précédent.)
D'ailleurs, sachant que j=3, trouver le septième nombre de cette progression est très simple. Nous ajoutons 3 au cinquième nombre - nous obtenons le sixième, ce sera 17. Nous ajoutons trois au sixième nombre, nous obtenons le septième nombre - vingt.
définissons ré pour une progression arithmétique décroissante :
8; 3; -2; -7; -12; .....
Je vous rappelle que, quels que soient les signes, pour déterminer ré nécessaire à partir de n'importe quel numéro enlever le précédent. Nous choisissons n'importe quel nombre de progression, par exemple -7. Son numéro précédent est -2. Alors:
ré = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
La différence d'une progression arithmétique peut être n'importe quel nombre : entier, fractionnaire, irrationnel, quelconque.
Autres termes et désignations.
Chaque nombre de la série s'appelle membre d'une progression arithmétique.
Chaque membre de la progression a son numéro. Les numéros sont strictement dans l'ordre, sans aucune astuce. Premier, deuxième, troisième, quatrième, etc. Par exemple, dans la progression 2, 5, 8, 11, 14, ... deux est le premier membre, cinq est le deuxième, onze est le quatrième, eh bien, vous comprenez ...) Veuillez comprendre clairement - les chiffres eux-mêmes peut être absolument quelconque, entier, fractionnaire, négatif, peu importe, mais numérotage- strictement dans l'ordre!
Comment enregistrer une progression dans vue générale? Aucun problème! Chaque numéro de la série est écrit sous forme de lettre. Pour désigner une progression arithmétique, en règle générale, la lettre est utilisée un. Le numéro de membre est indiqué par l'index en bas à droite. Les membres sont écrits séparés par des virgules (ou des points-virgules), comme ceci :
un 1 , un 2 , un 3 , un 4 , un 5 , .....
un 1 est le premier nombre un 3- troisième, etc... Rien de compliqué. Vous pouvez écrire cette série brièvement comme ceci : (un).
Il y a des progressions fini et infini.
Ultime la progression a un nombre limité de membres. Cinq, trente-huit, peu importe. Mais c'est un nombre fini.
Sans fin progression - a un nombre infini de membres, comme vous pouvez le deviner.)
Vous pouvez écrire une progression finale à travers une série comme celle-ci, tous les membres et un point à la fin :
une 1 , une 2 , une 3 , une 4 , une 5 .
Ou comme ceci, s'il y a beaucoup de membres :
une 1 , une 2 , ... une 14 , une 15 .
Dans une courte entrée, vous devrez en outre indiquer le nombre de membres. Par exemple (pour vingt membres), comme ceci :
(un n), n = 20
Une progression infinie peut être reconnue par les points de suspension à la fin de la ligne, comme dans les exemples de cette leçon.
Maintenant, vous pouvez déjà résoudre des tâches. Les tâches sont simples, uniquement pour comprendre le sens de la progression arithmétique.
Exemples de tâches pour la progression arithmétique.
Examinons de plus près la tâche ci-dessus :
1. Écrivez les six premiers membres de la progression arithmétique (a n), si a 2 = 5, d = -2,5.
Nous traduisons la tâche dans un langage compréhensible. Soit une progression arithmétique infinie. Le deuxième chiffre de cette progression est connu : un 2 = 5. Différence de progression connue : d = -2,5. Nous devons trouver les premier, troisième, quatrième, cinquième et sixième membres de cette progression.
Pour plus de clarté, je vais écrire une série en fonction de l'état du problème. Les six premiers membres, où le deuxième membre est cinq :
une 1 , une 5 , une 3 , une 4 , une 5 , une 6 ,....
un 3 = un 2 + ré
On substitue dans l'expression un 2 = 5 et d=-2,5. N'oubliez pas le moins !
un 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Le troisième terme est moins d'une seconde. Tout est logique. Si le nombre est supérieur au précédent négatif valeur, de sorte que le nombre lui-même sera inférieur au précédent. La progression diminue. D'accord, prenons-le en compte.) Nous considérons le quatrième membre de notre série :
un 4 = un 3 + ré
un 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
un 5 = un 4 + ré
un 5=0+(-2,5)= - 2,5
un 6 = un 5 + ré
un 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Ainsi, les termes du troisième au sixième ont été calculés. Il en est résulté une série :
un 1 , 5 , 2.5 , 0 , -2.5 , -5 , ....
Reste à trouver le premier terme un 1 selon la seconde bien connue. C'est un pas dans l'autre sens, vers la gauche.) D'où la différence de la progression arithmétique ré ne doit pas être ajouté à un 2, un emporter:
un 1 = un 2 - ré
un 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
C'est tout ce qu'on peut en dire. Réponse à la tâche :
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Au passage, je note que nous avons résolu cette tâche récurrent façon. Ce mot terrible signifie, seulement, la recherche d'un membre de la progression par le numéro précédent (adjacent). D'autres façons de travailler avec la progression seront discutées plus tard.
Une conclusion importante peut être tirée de cette tâche simple.
Rappelles toi:
Si nous connaissons au moins un membre et la différence d'une progression arithmétique, nous pouvons trouver n'importe quel membre de cette progression.
Rappelles toi? Cette simple conclusion nous permet de résoudre la plupart des problèmes du cours scolaire sur ce sujet. Toutes les tâches tournent autour trois principaux paramètres: membre d'une progression arithmétique, différence d'une progression, nombre d'un membre d'une progression. Tout.
Bien sûr, toute l'algèbre précédente n'est pas annulée.) Des inégalités, des équations et d'autres choses sont attachées à la progression. Mais selon l'avancement- tout tourne autour de trois paramètres.
Par exemple, considérez certaines tâches populaires sur ce sujet.
2. Écrivez la progression arithmétique finale sous forme de série si n = 5, d = 0,4 et a 1 = 3,6.
Tout est simple ici. Tout est déjà donné. Vous devez vous rappeler comment les membres d'une progression arithmétique sont calculés, comptés et notés. Il est conseillé de ne pas sauter les mots dans la condition de la tâche : "final" et " n=5". Afin de ne pas compter jusqu'à ce que vous soyez complètement bleu au visage.) Il n'y a que 5 (cinq) membres dans cette progression :
une 2 \u003d une 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4
une 3 \u003d une 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4
un 4 = un 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
un 5 = un 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Il reste à écrire la réponse :
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Autre tâche :
3. Déterminez si le nombre 7 fera partie d'une progression arithmétique (a n) si un 1 \u003d 4,1; d = 1,2.
Hum... Qui sait ? Comment définir quelque chose ?
Comment-comment... Oui, notez la progression sous forme de série et voyez s'il y aura un sept ou pas ! Nous croyons:
un 2 \u003d un 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3
un 3 \u003d un 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5
un 4 = un 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Maintenant, on voit clairement que nous ne sommes que sept passés à travers entre 6,5 et 7,7 ! Les sept ne sont pas entrés dans notre série de nombres et, par conséquent, les sept ne feront pas partie de la progression donnée.
Réponse : non.
Et voici un problème basé sur version réelle GIA :
4. Plusieurs membres consécutifs de la progression arithmétique sont écrits :
...; quinze; X; 9; 6 ; ...
Voici une série sans fin ni début. Pas de numéro de membre, pas de différence ré. C'est bon. Pour résoudre le problème, il suffit de comprendre le sens d'une progression arithmétique. Voyons et voyons ce que nous pouvons à savoir de cette ligne ? Quels sont les paramètres des trois principaux ?
Numéros de membre ? Il n'y a pas un seul numéro ici.
Mais il y a trois chiffres et - attention ! - mot "consécutif"à la condition. Cela signifie que les numéros sont strictement dans l'ordre, sans lacunes. Y en a-t-il deux dans cette rangée ? voisin numéros connus ? Oui il y a! Ce sont 9 et 6. On peut donc calculer la différence d'une progression arithmétique ! On soustrait des six précédent nombre, c'est-à-dire neuf:
Il reste des espaces vides. Quel nombre sera le précédent pour x ? Quinze. Donc x peut être trouvé facilement par simple addition. A 15 ajouter la différence d'une progression arithmétique :
C'est tout. Réponse: x=12
Nous résolvons nous-mêmes les problèmes suivants. Remarque : ces énigmes ne sont pas destinées aux formules. Purement pour comprendre le sens d'une progression arithmétique.) Nous écrivons simplement une série de chiffres-lettres, regardons et réfléchissons.
5. Trouver le premier terme positif de la progression arithmétique si a 5 = -3 ; d = 1,1.
6. On sait que le nombre 5,5 fait partie de la progression arithmétique (a n), où a 1 = 1,6 ; d = 1,3. Déterminer le nombre n de ce membre.
7. On sait que dans une progression arithmétique a 2 = 4 ; un 5 \u003d 15.1. Trouvez un 3.
8. Plusieurs membres consécutifs de la progression arithmétique sont écrits :
...; 15,6 ; X; 3.4 ; ...
Trouver le terme de la progression, noté par la lettre x.
9. Le train a commencé à partir de la gare, augmentant progressivement sa vitesse de 30 mètres par minute. Quelle sera la vitesse du train dans cinq minutes ? Donnez votre réponse en km/h.
10. On sait que dans une progression arithmétique a 2 = 5 ; un 6 = -5. Trouver un 1.
Réponses (en désordre) : 7,7 ; 7,5 ; 9,5 ; 9; 0,3 ; quatre.
Tout a marché ? Formidable! Vous pouvez maîtriser la progression arithmétique pour plus haut niveau, dans les prochaines leçons.
Tout n'a pas marché ? Aucun problème. Dans la section spéciale 555, toutes ces énigmes sont triées par os.) Et, bien sûr, un simple technique pratique, qui met immédiatement en évidence la solution de telles tâches clairement, clairement, en pleine vue!
Soit dit en passant, dans le puzzle du train, il y a deux problèmes sur lesquels les gens trébuchent souvent. Un - purement par progression, et le second - commun à toutes les tâches en mathématiques, et en physique aussi. Il s'agit d'une traduction des dimensions de l'une à l'autre. Il montre comment ces problèmes doivent être résolus.
Dans cette leçon, nous avons examiné la signification élémentaire d'une progression arithmétique et ses principaux paramètres. Cela suffit pour résoudre presque tous les problèmes sur ce sujet. Ajouter ré aux chiffres, écrivez une série, tout se décidera.
La solution du doigt fonctionne bien pour les pièces très courtes de la série, comme dans les exemples de cette leçon. Si la série est plus longue, les calculs deviennent plus compliqués. Par exemple, si dans le problème 9 de la question, remplacez "cinq minutes" sur le "trente-cinq minutes" le problème deviendra bien pire.)
Et il y a aussi des tâches simples par essence, mais totalement absurdes en termes de calculs, par exemple :
Soit une progression arithmétique (a n). Trouvez un 121 si a 1 =3 et d=1/6.
Et quoi, on ajoutera 1/6 plusieurs, plusieurs fois ?! Est-il possible de se suicider !?
Vous pouvez.) Si vous ne connaissez pas une formule simple par laquelle vous pouvez résoudre ces tâches en une minute. Cette formule sera dans la prochaine leçon. Et ce problème est résolu là. Dans une minute.)
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Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprendre - avec intérêt !)
vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivés.
Quelle est l'essence de la formule?
Cette formule permet de trouver n'importe quel PAR SON NUMERO" n" .
Bien sûr, vous devez connaître le premier terme un 1 et différence de progression ré, eh bien, sans ces paramètres, vous ne pouvez pas écrire une progression spécifique.
Il ne suffit pas de mémoriser (ou de tricher) cette formule. Il est nécessaire d'assimiler son essence et d'appliquer la formule dans divers problèmes. Oui, et n'oubliez pas au bon moment, oui ...) Comment ne pas oublier- Je ne sais pas. Mais comment se souvenir Si besoin, je vous donnerai un indice. Pour ceux qui maîtrisent la leçon jusqu'au bout.)
Parlons donc de la formule du n-ième membre d'une progression arithmétique.
Qu'est-ce qu'une formule en général - nous imaginons.) Qu'est-ce qu'une progression arithmétique, un nombre de membres, une différence de progression - est clairement indiqué dans la leçon précédente. Jetez-y un coup d'œil si vous ne l'avez pas lu. Tout y est simple. Reste à savoir ce que nième membre.
La progression en général peut être écrite comme une série de nombres :
un 1 , un 2 , un 3 , un 4 , un 5 , .....
un 1- désigne le premier terme d'une progression arithmétique, un 3- troisième membre un 4- quatrième, et ainsi de suite. Si nous sommes intéressés par le cinquième terme, disons que nous travaillons avec un 5, si cent vingtième - de un 120.
Comment définir en général n'importe quel membre d'une progression arithmétique, s n'importe quel Numéro? Très simple! Comme ça:
un
C'est ce que c'est nième membre d'une progression arithmétique. Sous la lettre n tous les numéros de membres sont cachés à la fois : 1, 2, 3, 4, etc.
Et que nous apporte un tel record ? Pensez-y, au lieu d'un numéro, ils ont écrit une lettre ...
Cette notation nous donne un outil puissant pour travailler avec des progressions arithmétiques. Utilisation de la notation un, on trouve rapidement n'importe quel membre n'importe quel progression arithmétique. Et un tas de tâches à résoudre en progression. Vous verrez plus loin.
Dans la formule du nième membre d'une progression arithmétique :
| une n = une 1 + (n-1)d |
un 1- le premier membre de la progression arithmétique ;
n- numéro de membre.
La formule relie les paramètres clés de toute progression : un ; un 1 ; ré et n. Autour de ces paramètres, toutes les énigmes tournent en progression.
La formule du nième terme peut également être utilisée pour écrire une progression spécifique. Par exemple, dans le problème on peut dire que la progression est donnée par la condition :
un n = 5 + (n-1) 2.
Un tel problème peut même confondre ... Il n'y a pas de série, pas de différence ... Mais, en comparant la condition avec la formule, il est facile de comprendre que dans cette progression un 1 \u003d 5 et d \u003d 2.
Et ça peut être encore plus énervant !) Si on prend la même condition : un n = 5 + (n-1) 2, oui, ouvrez les parenthèses et donnez des semblables ? On obtient une nouvelle formule :
un = 3 + 2n.
ce Seulement pas général, mais pour une progression spécifique. C'est là que réside l'écueil. Certaines personnes pensent que le premier terme est un trois. Bien qu'en réalité le premier membre soit un cinq... Un peu plus bas nous travaillerons avec une telle formule modifiée.
Dans les tâches de progression, il existe une autre notation - un n+1. C'est, vous l'aurez deviné, le "n plus le premier" terme de la progression. Sa signification est simple et inoffensive.) Il s'agit d'un membre de la progression dont le nombre est supérieur au nombre n de un. Par exemple, si dans un problème on prend pour un cinquième mandat, puis un n+1 sera le sixième membre. Etc.
Le plus souvent la désignation un n+1 se produit dans les formules récursives. N'ayez pas peur de ce mot terrible!) C'est juste une façon d'exprimer un terme d'une progression arithmétique par le précédent. Supposons qu'on nous donne une progression arithmétique sous cette forme, en utilisant la formule récurrente :
une n+1 = une n +3
une 2 = une 1 + 3 = 5+3 = 8
une 3 = une 2 + 3 = 8+3 = 11
Du quatrième - au troisième, du cinquième - au quatrième, et ainsi de suite. Et comment compter tout de suite, disons le vingtième terme, un 20? Mais pas question !) Alors que le 19e terme n'est pas connu, le 20e ne peut pas être compté. C'est la différence fondamentale entre la formule récursive et la formule du nième terme. La récursivité ne fonctionne qu'à travers précédent terme, et la formule du nième terme - à travers la première et permet tout de suite trouver n'importe quel membre par son numéro. Sans compter toute la série de chiffres dans l'ordre.
Dans une progression arithmétique, une formule récursive peut facilement être transformée en une formule régulière. Compter une paire de termes consécutifs, calculer la différence ré, trouver, si nécessaire, le premier terme un 1, écrivez la formule sous la forme habituelle et travaillez avec. Dans le GIA, on retrouve souvent de telles tâches.
Application de la formule du nième membre d'une progression arithmétique.
Voyons d'abord l'application directe de la formule. À la fin de la leçon précédente, un problème est survenu :
Soit une progression arithmétique (a n). Trouvez un 121 si a 1 =3 et d=1/6.
Ce problème peut être résolu sans aucune formule, simplement en se basant sur le sens de la progression arithmétique. Ajoutez, oui ajoutez... Une heure ou deux.)
Et selon la formule, la solution prendra moins d'une minute. Vous pouvez le chronométrer.) Nous décidons.
Les conditions fournissent toutes les données pour utiliser la formule : un 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Reste à savoir ce que n.m. Aucun problème! Nous devons trouver un 121. Ici nous écrivons :
Votre attention s'il vous plaît! Au lieu d'un indice n un nombre précis est apparu : 121. Ce qui est assez logique.) On s'intéresse au membre de la progression arithmétique numéro cent vingt et un. Ce sera notre n.m. C'est ce sens n= 121 nous substituerons plus loin dans la formule, entre parenthèses. Remplacez tous les nombres dans la formule et calculez :
un 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
C'est tout ce qu'on peut en dire. Tout aussi rapidement, on pouvait trouver le cinq cent dixième membre, et le mille troisième, n'importe lequel. Nous mettons à la place n le numéro souhaité dans l'index de la lettre " un" et entre parenthèses, et nous considérons.
Laissez-moi vous rappeler l'essentiel : cette formule vous permet de trouver n'importe quel terme d'une progression arithmétique PAR SON NUMERO" n" .
Résolvons le problème plus intelligemment. Disons que nous avons le problème suivant :
Trouver le premier terme de la progression arithmétique (a n) si a 17 =-2 ; d=-0,5.
Si vous avez des difficultés, je vous proposerai la première étape. Écrivez la formule du nième terme d'une progression arithmétique ! Oui oui. Écrivez à la main, directement dans votre cahier :
| une n = une 1 + (n-1)d |
Et maintenant, en regardant les lettres de la formule, nous comprenons quelles données nous avons et ce qui manque ? Disponible d=-0,5, il y a un dix-septième membre... Tout ? Si vous pensez que c'est tout, alors vous ne pouvez pas résoudre le problème, oui ...
Nous avons également un certain nombre n! Dans l'état un 17 =-2 caché deux options. C'est à la fois la valeur du dix-septième membre (-2) et son nombre (17). Ceux. n=17. Cette "petite chose" échappe souvent à la tête, et sans elle, (sans la "petite chose", pas la tête !) le problème ne peut pas être résolu. Quoique... et sans tête aussi.)
Maintenant, nous pouvons simplement substituer bêtement nos données dans la formule :
un 17 \u003d un 1 + (17-1) (-0,5)
Oh oui, un 17 nous savons qu'il fait -2. Bon, mettons ça :
-2 \u003d un 1 + (17-1) (-0,5)
C'est, en substance, tout. Il reste à exprimer le premier terme de la progression arithmétique à partir de la formule, et à calculer. Vous obtenez la réponse : un 1 = 6.
Une telle technique - écrire une formule et simplement substituer des données connues - aide beaucoup dans les tâches simples. Bon, il faut bien sûr pouvoir exprimer une variable à partir d'une formule, mais que faire !? Sans cette compétence, les mathématiques ne peuvent pas du tout être étudiées ...
Un autre problème populaire :
Trouver la différence de la progression arithmétique (a n) si a 1 =2 ; un 15 =12.
Que faisons-nous? Vous serez surpris, nous écrivons la formule !)
| une n = une 1 + (n-1)d |
Considérez ce que nous savons : un 1 =2; a 15 = 12; et (point culminant spécial !) n=15. N'hésitez pas à substituer dans la formule :
12=2 + (15-1)d
Faisons le calcul.)
12=2 + 14j
ré=10/14 = 5/7
C'est la bonne réponse.
Ainsi, les tâches un n , un 1 et ré décidé. Reste à savoir comment trouver le numéro :
Le nombre 99 fait partie d'une progression arithmétique (a n), où a 1 =12 ; d=3. Trouver le numéro de ce membre.
On substitue les quantités connues dans la formule du nième terme :
un n = 12 + (n-1) 3
A première vue, il y a deux quantités inconnues ici : un n et n. Mais un est un membre de la progression avec le nombre n... Et ce membre de la progression que nous connaissons ! C'est le 99. On ne connaît pas son numéro. n, donc ce numéro doit également être trouvé. Remplacez le terme de progression 99 dans la formule :
99 = 12 + (n-1) 3
On exprime à partir de la formule n, nous pensons. Nous obtenons la réponse : n=30.
Et maintenant un problème sur le même sujet, mais plus créatif) :
Déterminez si le nombre 117 fera partie d'une progression arithmétique (a n) :
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Écrivons à nouveau la formule. Quoi, il n'y a pas de paramètres? Hm... Pourquoi avons-nous besoin d'yeux ?) Voyons-nous le premier membre de la progression ? Nous voyons. C'est -3,6. Vous pouvez écrire en toute sécurité : un 1 \u003d -3,6. Différence ré peut être déterminé à partir de la série? C'est facile si vous savez quelle est la différence d'une progression arithmétique :
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Oui, nous avons fait la chose la plus simple. Il reste à composer avec un numéro inconnu n et un nombre incompréhensible 117. Dans le problème précédent, au moins on savait que c'était le terme de la progression qui était donné. Mais ici on ne sait même pas ça... Comment être !? Eh bien, comment être, comment être... Compétences créatives!)
Nous supposer que 117 est, après tout, un membre de notre progression. Avec un numéro inconnu n. Et, tout comme dans le problème précédent, essayons de trouver ce nombre. Ceux. nous écrivons la formule (oui-oui !)) et substituons nos nombres :
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Encore une fois, nous exprimons à partir de la formulen, on compte et on obtient :
Oops! Le nombre s'est avéré fractionnaire! Cent un et demi. Et les nombres fractionnaires dans les progressions c'est pas possible. Quelle conclusion en tirons-nous ? Oui! Numéro 117 n'est pas membre de notre progression. Il se situe quelque part entre le 101e et le 102e membre. Si le nombre s'avère être naturel, c'est-à-dire entier positif, alors le nombre serait un membre de la progression avec le nombre trouvé. Et dans notre cas, la réponse au problème sera : non.
Tâche basée sur une version réelle du GIA :
La progression arithmétique est donnée par la condition :
un n \u003d -4 + 6,8n
Trouvez les premier et dixième termes de la progression.
Ici, la progression est définie de manière inhabituelle. Une sorte de formule ... Ça arrive.) Cependant, cette formule (comme je l'ai écrit ci-dessus) - aussi la formule du n-ième membre d'une progression arithmétique ! Elle permet également trouver n'importe quel membre de la progression par son numéro.
Nous recherchons le premier membre. Celui qui pense. que le premier terme est moins quatre, est une erreur fatale !) Parce que la formule du problème est modifiée. Le premier terme d'une progression arithmétique en elle caché. Rien, nous allons le trouver maintenant.)
Tout comme dans les tâches précédentes, nous remplaçons n=1 dans cette formule :
un 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8
Ici! Le premier terme est 2,8, pas -4 !
De même, nous recherchons le dixième terme :
un 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64
C'est tout ce qu'on peut en dire.
Et maintenant, pour ceux qui ont lu jusqu'à ces lignes, le bonus promis.)
Supposons que, dans une situation de combat difficile du GIA ou de l'examen d'État unifié, vous ayez oublié la formule utile du n-ième membre d'une progression arithmétique. Quelque chose me vient à l'esprit, mais d'une manière ou d'une autre incertaine ... Que ce soit n là, ou n+1, ou n-1... Comment être!?
Calmes! Cette formule est facile à dériver. Pas très strict, mais pour être sûr et bonne décisionça suffit!) Pour la conclusion, il suffit de se souvenir de la signification élémentaire de la progression arithmétique et de disposer de quelques minutes. Vous avez juste besoin de faire un dessin. Pour plus de clarté.
Nous dessinons un axe numérique et marquons le premier dessus. deuxième, troisième, etc... membres. Et notez la différence ré entre les membres. Comme ça:
Nous regardons l'image et pensons : à quoi est égal le deuxième terme ? Deuxième une ré:
un 2 =a 1 + 1 ré
Quel est le troisième terme ? Troisième terme est égal au premier terme plus deux ré.
un 3 =a 1 + 2 ré
Tu as compris? Je ne mets pas des mots en gras pour rien. Bon, encore une étape.)
Quel est le quatrième terme ? Quatrième terme est égal au premier terme plus Trois ré.
un 4 =a 1 + 3 ré
Il est temps de réaliser que le nombre de lacunes, c'est-à-dire ré, toujours un de moins que le numéro du membre que vous recherchez n. C'est-à-dire jusqu'au nombre n, nombre d'écarts sera n-1. Ainsi, la formule sera (pas d'options !) :
| une n = une 1 + (n-1)d |
En général, les images visuelles sont très utiles pour résoudre de nombreux problèmes en mathématiques. Ne négligez pas les images. Mais s'il est difficile de dessiner une image, alors ... seulement une formule!) De plus, la formule du nième terme vous permet de connecter tout l'arsenal puissant des mathématiques à la solution - équations, inégalités, systèmes, etc. Vous ne pouvez pas mettre une image dans une équation...
Tâches de décision indépendante.
Pour l'échauffement :
1. En progression arithmétique (a n) a 2 =3; un 5 \u003d 5.1. Trouvez un 3.
Indice : d'après la photo, le problème est résolu en 20 secondes... D'après la formule, cela s'avère plus difficile. Mais pour maîtriser la formule, c'est plus utile.) Dans la section 555, ce problème est résolu à la fois par l'image et par la formule. Sentir la différence!)
Et ce n'est plus un échauffement.)
2. En progression arithmétique (a n) a 85 \u003d 19,1; un 236 =49, 3. Trouver un 3 .
Quoi, réticence à faire un dessin ?) Encore ! C'est mieux dans la formule, oui...
3. La progression arithmétique est donnée par la condition :un 1 \u003d -5,5; un n+1 = un n +0,5. Trouvez le cent vingt-cinquième terme de cette progression.
Dans cette tâche, la progression est donnée de manière récurrente. Mais compter jusqu'au cent vingt-cinquième terme... Tout le monde ne peut pas faire un tel exploit.) Mais la formule du nième terme est à la portée de tous !
4. Soit une progression arithmétique (a n) :
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Trouver le nombre du plus petit terme positif de la progression.
5. Selon la condition de la tâche 4, trouvez la somme des plus petits membres positifs et des plus grands membres négatifs de la progression.
6. Le produit des cinquième et douzième termes d'une progression arithmétique croissante est -2,5, et la somme des troisième et onzième termes est nulle. Trouvez un 14 .
Pas la tâche la plus facile, oui ...) Ici, la méthode "sur les doigts" ne fonctionnera pas. Vous devez écrire des formules et résoudre des équations.
Réponses (en désordre):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Passé? C'est bien!)
Tout ne marche pas ? Ça arrive. Soit dit en passant, dans la dernière tâche, il y a un point subtil. Une attention lors de la lecture du problème sera requise. Et la logique.
La solution à tous ces problèmes est discutée en détail dans la section 555. Et un élément de fantaisie pour le quatrième, et un moment subtil pour le sixième, et approches générales pour résoudre tous les problèmes sur la formule du n-ème membre - tout est peint. Je recommande.
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Progression arithmétique
La progression arithmétique est type particulier sous-séquence. Par conséquent, avant de définir la progression arithmétique (puis géométrique), nous devons discuter brièvement notion importante suite de nombres.
Sous-séquence
Imaginez un appareil sur l'écran duquel certains chiffres s'affichent les uns après les autres. Disons 2 ; sept; 13; une; 6 ; 0 ; 3 ; : : : Un tel ensemble de nombres n'est qu'un exemple de séquence.
Définition. Séquence numérique il s'agit d'un ensemble de nombres dans lequel chaque nombre peut se voir attribuer un nombre unique (c'est-à-dire mis en correspondance avec un nombre naturel unique)1. Le nombre portant le numéro n s'appelle nième membre séquences.
Ainsi, dans l'exemple ci-dessus, le premier nombre a le nombre 2, qui est le premier membre de la séquence, qui peut être noté a1 ; le nombre cinq a le nombre 6 qui est le cinquième membre de la séquence, qui peut être noté a5 . En général, le nième membre d'une séquence est noté an (ou bn , cn , etc.).
Une situation très pratique est lorsque le nième membre de la séquence peut être spécifié par une formule. Par exemple, la formule an = 2n 3 spécifie la séquence : 1 ; une; 3 ; 5 ; sept; : : : La formule an = (1)n définit la suite : 1; une; une; une; : : :
Tous les ensembles de nombres ne sont pas une séquence. Ainsi, un segment n'est pas une séquence ; il contient ¾trop de numéros¿ pour être renumérotés. L'ensemble R de tous les nombres réels n'est pas non plus une suite. Ces faits sont prouvés au cours de l'analyse mathématique.
Progression arithmétique : définitions de base
Nous sommes maintenant prêts à définir une progression arithmétique.
Définition. Une progression arithmétique est une séquence dans laquelle chaque terme (à partir du second) est égal à la somme du terme précédent et d'un nombre fixe (appelé la différence de la progression arithmétique).
Par exemple, séquence 2 ; 5 ; huit; Onze; : : : est une progression arithmétique avec premier terme 2 et différence 3. Séquence 7; 2 ; 3 ; huit; : : : est une progression arithmétique avec premier terme 7 et différence 5. Séquence 3; 3 ; 3 ; : : : est une progression arithmétique à différence nulle.
Définition équivalente : Une suite an est appelée progression arithmétique si la différence an+1 an est une valeur constante (non dépendante de n).
Une progression arithmétique est dite croissante si sa différence est positive, et décroissante si sa différence est négative.
1 Et voici une définition plus concise : une suite est une fonction définie sur un ensemble nombres naturels. Par exemple, la suite de nombres réels est la fonction f : N ! R
Par défaut, les séquences sont considérées comme infinies, c'est-à-dire contenant un nombre infini de nombres. Mais personne ne prend la peine de considérer également les suites finies ; en fait, tout ensemble fini de nombres peut être appelé une séquence finie. Par exemple, la séquence finale 1 ; 2 ; 3 ; quatre ; 5 se compose de cinq nombres.
Formule du nième membre d'une progression arithmétique
Il est facile de comprendre qu'une progression arithmétique est entièrement déterminée par deux nombres : le premier terme et la différence. Dès lors, la question se pose : comment, connaissant le premier terme et la différence, trouver un terme arbitraire d'une suite arithmétique ?
Il n'est pas difficile d'obtenir la formule désirée pour le nième terme d'une progression arithmétique. Laissez un
progression arithmétique avec différence d. Nous avons: | |
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::): | |
En particulier, nous écrivons : | |
a2 = a1 + d ; | |
a3 = a2 + ré = (a1 + ré) + ré = a1 + 2d ; | |
a4 = a3 + ré = (a1 + 2d) + ré = a1 + 3d ; | |
et maintenant il devient clair que la formule pour un est : | |
an = a1 + (n 1)d : |
Tâche 1. En progression arithmétique 2; 5 ; huit; Onze; : : : trouver la formule du nième terme et calculer le centième terme.
La solution. D'après la formule (1) on a :
an = 2 + 3(n 1) = 3n 1 :
a100 = 3 100 1 = 299 :
Propriété et signe de la progression arithmétique
propriété d'une progression arithmétique. En progression arithmétique et pour tout
En d'autres termes, chaque membre de la progression arithmétique (à partir du second) est la moyenne arithmétique des membres voisins.
Preuve. Nous avons: | ||||
une n 1+ une n+1 | (un ré) + (un + ré) | |||
c'est ce qu'il fallait.
Plus généralement, la progression arithmétique an satisfait l'égalité
une n = une n k+ une n+k
pour tout n > 2 et tout k naturel< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
Il s'avère que la formule (2) est non seulement une condition nécessaire mais aussi une condition suffisante pour qu'une suite soit une progression arithmétique.
Signe d'une progression arithmétique. Si l'égalité (2) est vraie pour tout n > 2, alors la séquence an est une progression arithmétique.
Preuve. Réécrivons la formule (2) de la manière suivante:
une na n 1= une n+1a n :
Cela montre que la différence an+1 an ne dépend pas de n, et cela signifie simplement que la suite an est une suite arithmétique.
La propriété et le signe d'une progression arithmétique peuvent être formulés comme une seule déclaration; pour plus de commodité, nous le ferons pour trois nombres (c'est la situation qui se produit souvent dans les problèmes).
Caractérisation d'une progression arithmétique. Trois nombres a, b, c forment une suite arithmétique si et seulement si 2b = a + c.
Problème 2. (Université d'État de Moscou, Faculté d'économie, 2007) Trois nombres 8x, 3 x2 et 4 dans l'ordre spécifié forment une progression arithmétique décroissante. Trouvez x et écrivez la différence de cette progression.
La solution. Par la propriété d'une progression arithmétique, on a :
2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1 ; x=5 :
Si x = 1, alors une progression décroissante de 8, 2, 4 est obtenue avec une différence de 6. Si x = 5, alors une progression croissante de 40, 22, 4 est obtenue ; ce cas ne fonctionne pas.
Réponse : x = 1, la différence est de 6.
La somme des n premiers termes d'une progression arithmétique
La légende raconte qu'une fois, le professeur a dit aux enfants de trouver la somme des nombres de 1 à 100 et s'est assis pour lire le journal tranquillement. Cependant, en quelques minutes, un garçon a dit qu'il avait résolu le problème. C'était Carl Friedrich Gauss, 9 ans, qui deviendra plus tard l'un des plus grands mathématiciens de l'histoire.
L'idée de Little Gauss était la suivante. Laisser
S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100 :
Écrivons cette somme dans l'ordre inverse :
S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;
et additionnez ces deux formules :
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1) :
Chaque terme entre parenthèses est égal à 101, et il y a 100 termes au total.
2S = 101 100 = 10100 ;
Nous utilisons cette idée pour dériver la formule de somme
S = a1 + a2 + : : : + une + une n n : (3)
Une modification utile de la formule (3) est obtenue en y substituant la formule pour le nième terme an = a1 + (n 1)d :
2a1 + (n 1)d | |||||
Tâche 3. Trouver la somme de tous les nombres positifs à trois chiffres divisibles par 13.
La solution. Les nombres à trois chiffres multiples de 13 forment une progression arithmétique avec le premier terme 104 et la différence 13 ; Le nième terme de cette progression est :
an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n :
Découvrons combien de membres contient notre progression. Pour cela, on résout l'inégalité :
un 6999; 91 + 13n 6999 ;
n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69 :
Il y a donc 69 membres dans notre progression. Selon la formule (4) nous trouvons le montant requis :
S = 2 104 + 68 13 69 = 37674 : 2
Les problèmes de progression arithmétique existent depuis l'Antiquité. Ils sont apparus et ont exigé une solution, car ils avaient un besoin pratique.
Ainsi, dans l'un des papyrus l'Egypte ancienne, qui a un contenu mathématique - le papyrus Rhind (XIXe siècle av. J.-C.) - contient la tâche suivante : diviser dix mesures de pain en dix personnes, à condition que la différence entre chacune d'elles soit d'un huitième de mesure.
Et dans les travaux mathématiques des anciens Grecs, il existe d'élégants théorèmes liés à la progression arithmétique. Ainsi, Hypsicles d'Alexandrie (2e siècle, qui a compilé de nombreux problèmes intéressants et a ajouté le quatorzième livre aux « Éléments » d'Euclide, a formulé l'idée : « Dans une progression arithmétique avec un nombre pair de membres, la somme des membres de la 2e moitié est supérieur à la somme des membres du 1er par le carré 1/2 membres.
La suite an est notée. Les nombres d'une séquence sont appelés ses membres et sont généralement désignés par des lettres avec des indices qui indiquent numéro de série ce membre (a1, a2, a3 ... lire : "un 1er", "un 2ème", "un 3ème" et ainsi de suite).
La suite peut être infinie ou finie.
Qu'est-ce qu'une progression arithmétique ? Il s'entend comme obtenu en additionnant le terme précédent (n) avec le même nombre d, qui est la différence de la progression.
Si d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, alors une telle progression est considérée comme croissante.
Une progression arithmétique est dite finie si seuls quelques-uns de ses premiers termes sont pris en compte. A très en grand nombre membres est déjà une progression infinie.
Toute progression arithmétique est donnée par la formule suivante :
an =kn+b, tandis que b et k sont des nombres.
L'énoncé, qui est le contraire, est absolument vrai : si la suite est donnée par une formule similaire, alors c'est exactement une progression arithmétique, qui a les propriétés :
- Chaque membre de la progression est la moyenne arithmétique du membre précédent et du suivant.
- Inversement : si, à partir du 2, chaque terme est la moyenne arithmétique du terme précédent et du suivant, c'est-à-dire si la condition est remplie, alors la séquence donnée est une progression arithmétique. Cette égalité est en même temps un signe de progression, c'est pourquoi on l'appelle généralement une propriété caractéristique de la progression.
De même, le théorème qui reflète cette propriété est vrai : une suite n'est une progression arithmétique que si cette égalité est vraie pour l'un quelconque des membres de la suite, à partir du 2ème.
La propriété caractéristique de quatre nombres quelconques d'une progression arithmétique peut être exprimée par la formule an + am = ak + al si n + m = k + l (m, n, k sont les nombres de la progression).
Dans une progression arithmétique, tout terme nécessaire (Nième) peut être trouvé en appliquant la formule suivante :
Par exemple : le premier terme (a1) d'une progression arithmétique est donné et vaut trois, et la différence (d) vaut quatre. Vous devez trouver le quarante-cinquième terme de cette progression. a45 = 1+4(45-1)=177
La formule an = ak + d(n - k) vous permet de déterminer le n-ième membre d'une progression arithmétique passant par n'importe lequel de ses k-ième membres, à condition qu'il soit connu.
La somme des membres d'une progression arithmétique (en supposant les n premiers membres de la progression finale) est calculée comme suit :
Sn = (a1+an) n/2.
Si le 1er terme est également connu, alors une autre formule est pratique pour le calcul :
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.
La somme d'une progression arithmétique qui contient n termes est calculée comme suit :
Le choix des formules de calcul dépend des conditions des tâches et des données initiales.
Série naturelle de n'importe quel nombre comme 1,2,3,...,n,...- l'exemple le plus simple progression arithmétique.
En plus de la progression arithmétique, il existe également une progression géométrique, qui a ses propres propriétés et caractéristiques.
Progressions arithmétiques et géométriques
Informations théoriques
Informations théoriques
Progression arithmétique |
Progression géométrique |
|
Définition |
Progression arithmétique un une séquence est appelée, dont chaque membre, à partir du second, est égal au membre précédent, additionné du même nombre ré (ré- différence de progression) |
progression géométrique b n on appelle une suite de nombres non nuls dont chaque terme, à partir du second, est égal au terme précédent multiplié par le même nombre q (q- dénominateur de progression) |
Formule récurrente |
Pour tout naturel n |
Pour tout naturel n |
formule du nième terme |
une n = une 1 + ré (n-1) |
b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0 |
| propriété caractéristique |  |
|
| Somme des n premiers termes |  |
 |
Exemples de tâches avec commentaires
Exercice 1
En progression arithmétique ( un) un 1 = -6, un 2
D'après la formule du nième terme :
un 22 = un 1+ d (22 - 1) = un 1+ 21j
Par état :
un 1= -6, donc un 22= -6 + 21d.
Il faut trouver la différence des progressions :
ré= un 2 – un 1 = -8 – (-6) = -2
un 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Réponse : un 22 = -48.
Tâche 2
Trouver le cinquième terme de la progression géométrique : -3 ; 6;....
1ère manière (en utilisant la formule à n termes)
D'après la formule du nième membre d'une progression géométrique :
b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Car b 1 = -3,
2ème manière (en utilisant une formule récursive)
Puisque le dénominateur de la progression est -2 (q = -2), alors :
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Réponse : b 5 = -48.
Tâche 3
En progression arithmétique ( un n) un 74 = 34; un 76= 156. Trouvez le soixante-quinzième terme de cette progression.
Pour une progression arithmétique propriété caractéristique a la forme 
.
Par conséquent:
.
Remplacez les données dans la formule :
Réponse : 95.
Tâche 4
En progression arithmétique ( une n ) une n= 3n - 4. Trouver la somme des dix-sept premiers termes.
Pour trouver la somme des n premiers termes d'une progression arithmétique, deux formules sont utilisées :
.
Lequel d'entre eux est le plus pratique à appliquer dans ce cas?
Par condition, la formule du nième membre de la progression originale est connue ( un) un= 3n - 4. Peut être trouvé immédiatement et un 1, et un 16 sans trouver d. Par conséquent, nous utilisons la première formule.
Réponse : 368.
Tâche 5
En progression arithmétique un) un 1 = -6; un 2= -8. Trouvez le vingt-deuxième terme de la progression.
D'après la formule du nième terme :
une 22 = une 1 + d (22 – 1) = un 1+ 21j.
Par condition, si un 1= -6, alors un 22= -6 + 21d. Il faut trouver la différence des progressions :
ré= un 2 – un 1 = -8 – (-6) = -2
un 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Réponse : un 22 = -48.
Tâche 6
Plusieurs termes consécutifs d'une progression géométrique sont enregistrés :
Trouver le terme de la progression, noté par la lettre x .
Lors de la résolution, nous utilisons la formule pour le nième terme b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 pour progressions géométriques. Le premier membre de la progression. Pour trouver le dénominateur de la progression q, vous devez prendre l'un de ces termes de la progression et diviser par le précédent. Dans notre exemple, vous pouvez prendre et diviser par. Nous obtenons que q \u003d 3. Au lieu de n, nous substituons 3 dans la formule, car il est nécessaire de trouver le troisième terme d'une progression géométrique donnée.
En remplaçant les valeurs trouvées dans la formule, nous obtenons:
.
Réponse : .
Tâche 7
Parmi les progressions arithmétiques données par la formule du nième terme, choisir celle dont la condition est satisfaite un 27 > 9:
Puisque la condition spécifiée doit être satisfaite pour le 27e terme de la progression, nous substituons 27 au lieu de n dans chacune des quatre progressions. Dans la 4ème progression on obtient :
.
Réponse : 4.
Tâche 8
En progression arithmétique un 1= 3, d = -1,5. Spécifier valeur la plus élevée n , pour lequel l'inégalité un > -6.