SÉQUENCES NUMÉRIQUES VI

§ l48. La somme d'une progression géométrique infiniment décroissante

Jusqu'à présent, en parlant de sommes, nous avons toujours supposé que le nombre de termes dans ces sommes est fini (par exemple, 2, 15, 1000, etc.). Mais lors de la résolution de certains problèmes (en particulier de mathématiques supérieures), il faut traiter les sommes d'un nombre infini de termes

S= un 1 + un 2 + ... + un n + ... . (1)

Quels sont ces montants ? Par définition la somme d'un nombre infini de termes un 1 , un 2 , ..., un n , ... est appelée la limite de la somme S n première P des chiffres quand P -> ∞ :

S=S n = (un 1 + un 2 + ... + un n ). (2)

La limite (2), bien sûr, peut exister ou non. En conséquence, la somme (1) est dite exister ou ne pas exister.

Comment savoir si la somme (1) existe dans chaque cas particulier ? Décision commune Cette question dépasse largement le cadre de notre programme. Cependant, il y a un cas particulier important que nous devons considérer maintenant. Nous parlerons de la sommation des termes d'une progression géométrique infiniment décroissante.

Laisser un 1 , un 1 q , un 1 q 2 , ... est une progression géométrique infiniment décroissante. Cela signifie que | q |< 1. Сумма первых P membres de cette progression est égal à

À partir des principaux théorèmes limites variables(voir § 136) on obtient :

Mais 1 = 1, un qn = 0. Par conséquent

Ainsi, la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante est égale au premier terme de cette progression divisé par un moins le dénominateur de cette progression.

1) La somme de la progression géométrique 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... est

et la somme d'une progression géométrique est 12 ; -6 ; 3 ; - 3 / 2 , ... égale

2) Une fraction périodique simple 0,454545 ... se transforme en fraction ordinaire.

Pour résoudre ce problème, nous représentons cette fraction comme une somme infinie :

Le côté droit de cette égalité est la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante, dont le premier terme est 45/100, et le dénominateur est 1/100. C'est pourquoi

De la manière décrite, on peut obtenir règle générale conversion des fractions périodiques simples en fractions ordinaires (voir Ch. II, § 38) :

Pour convertir une fraction périodique simple en fraction ordinaire, vous devez faire de la manière suivante: au numérateur, mettez la période de la fraction décimale, et au dénominateur - un nombre composé de neuf pris autant de fois qu'il y a de chiffres dans la période de la fraction décimale.

3) Fraction périodique mixte 0,58333 .... se transformer en une fraction ordinaire.

Représentons cette fraction comme une somme infinie :

A droite de cette égalité, tous les termes, à partir de 3/1000, forment une progression géométrique infiniment décroissante dont le premier terme est 3/1000, et le dénominateur est 1/10. C'est pourquoi

De la manière décrite, la règle générale de conversion des fractions périodiques mixtes en fractions ordinaires peut également être obtenue (voir Chapitre II, § 38). Nous ne l'incluons volontairement pas ici. Il n'est pas nécessaire de mémoriser cette règle fastidieuse. Il est beaucoup plus utile de savoir que toute fraction périodique mixte peut être représentée comme la somme d'une progression géométrique décroissante à l'infini et d'un certain nombre. Et la formule

pour la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante, il faut bien sûr s'en souvenir.

A titre d'exercice, nous vous invitons, en plus des problèmes n° 995-1000 ci-dessous, à vous tourner à nouveau vers le problème n° 301 § 38.

Des exercices

995. Qu'appelle-t-on la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante ?

996. Trouver des sommes de progressions géométriques infiniment décroissantes :

997. Pour quelles valeurs X progression

diminue à l'infini ? Trouver la somme d'une telle progression.

998. Dans un triangle équilatéral de côté un un nouveau triangle s'inscrit en reliant les milieux de ses côtés ; un nouveau triangle s'inscrit dans ce triangle de la même manière, et ainsi de suite à l'infini.

a) la somme des périmètres de tous ces triangles ;

b) la somme de leurs aires.

999. Dans un carré avec un côté un un nouveau carré est inscrit en reliant les milieux de ses côtés ; un carré s'inscrit dans ce carré de la même manière, et ainsi de suite à l'infini. Trouver la somme des périmètres de tous ces carrés et la somme de leurs aires.

1000. Faire une progression géométrique infiniment décroissante, telle que sa somme soit égale à 25/4, et la somme des carrés de ses termes soit égale à 625/24.

Le but de la leçon : initier les élèves à un nouveau type de séquence - une progression géométrique décroissante à l'infini.
Tâches:
formulation de l'idée initiale de la limite de la suite numérique;
connaissance d'une autre façon de convertir des fractions périodiques infinies en fractions ordinaires en utilisant la formule de la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante;
le développement des qualités intellectuelles de la personnalité des écoliers, telles que la pensée logique, la capacité d'actions évaluatives, la généralisation;
éducation de l'activité, entraide, collectivisme, intérêt pour le sujet.

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Leçon connexe « Progression géométrique décroissante à l'infini » (algèbre, 10e année)

Le but de la leçon : initier les élèves à un nouveau type de séquence - une progression géométrique décroissante à l'infini.

Tâches:

formulation de l'idée initiale de la limite de la suite numérique; connaissance d'une autre façon de convertir des fractions périodiques infinies en fractions ordinaires en utilisant la formule de la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante;

le développement des qualités intellectuelles de la personnalité des écoliers, telles que la pensée logique, la capacité d'actions évaluatives, la généralisation;

éducation de l'activité, entraide, collectivisme, intérêt pour le sujet.

Équipement: cours d'informatique, projecteur, écran.

Type de leçon : Leçon - maîtriser un nouveau sujet.

Pendant les cours

I.Org. moment. Message sur le sujet et le but de la leçon.

II. Mise à jour des connaissances des étudiants.

En 3e, vous avez étudié les progressions arithmétiques et géométriques.

Des questions

1. Définition progression arithmétique.

(Une progression arithmétique est une séquence dans laquelle chaque membre,

A partir de la seconde, il est égal au terme précédent, additionné du même nombre).

2. Formule n -ème membre d'une progression arithmétique

3. La formule de la somme des premiers n membres d'une progression arithmétique.

( ou )

4. Définition d'une progression géométrique.

(Une progression géométrique est une suite de nombres non nuls,

dont chaque terme, à partir du second, est égal au terme précédent, multiplié par

le même numéro).

5. Formule n ème terme d'une progression géométrique

6. La formule de la somme des premiers n membres d'une progression géométrique.

7. Quelles formules connaissez-vous encore ?

(, où ; ;

; , )

Tâches

1. La progression arithmétique est donnée par la formule un n = 7 - 4n. Trouvez un 10 . (-33)

2. Progression arithmétique un 3 = 7 et un 5 = 1 . Trouvez un 4. (quatre)

3. Progression arithmétique un 3 = 7 et un 5 = 1 . Trouvez un 17 . (-35)

4. Progression arithmétique un 3 = 7 et un 5 = 1 . Trouver S 17 . (-187)

5. Pour une progression géométriquetrouver le cinquième terme.

6. Pour une progression géométrique trouver le nième terme.

7. Exponentiellement b 3 = 8 et b 5 = 2 . Trouver b 4 . (quatre)

8. Exponentiellement b 3 = 8 et b 5 = 2 . Trouver b 1 et q .

9. Exponentiellement b 3 = 8 et b 5 = 2 . Trouver S 5 . (62)

III. Explorer un nouveau sujet(présentation de démonstration).

Considérons un carré de côté égal à 1. Dessinons un autre carré dont le côté est la moitié du premier carré, puis un autre dont le côté est la moitié du second, puis le suivant, et ainsi de suite. A chaque fois, le côté du nouveau carré est égal à la moitié du précédent.

En conséquence, nous avons obtenu une séquence de côtés de carrésformant une progression géométrique avec un dénominateur.

Et, ce qui est très important, plus nous construisons de tels carrés, plus le côté du carré sera petit. Par exemple ,

Ceux. à mesure que le nombre n augmente, les termes de la progression tendent vers zéro.

A l'aide de cette figure, une autre séquence peut être envisagée.

Par exemple, la suite d'aires de carrés :

Et, encore une fois, si n augmente indéfiniment, alors la zone se rapproche de zéro arbitrairement proche.

Prenons un autre exemple. Un triangle équilatéral de 1 cm de côté. Construisons le triangle suivant avec des sommets au milieu des côtés du 1er triangle, selon le théorème de la ligne médiane du triangle - le côté du 2e est égal à la moitié du côté du premier, le côté du 3e est la moitié du côté de le 2e, etc... Encore une fois, nous obtenons une séquence de longueurs des côtés des triangles.

À .

Si l'on considère une progression géométrique avec un dénominateur négatif.

Puis, encore une fois, avec des nombres croissants n les termes de la progression tendent vers zéro.

Faisons attention aux dénominateurs de ces séquences. Partout les dénominateurs étaient inférieurs à 1 modulo.

On peut conclure : une progression géométrique sera infiniment décroissante si le module de son dénominateur est inférieur à 1.

Travail frontal.

Définition:

Progression géométrique est dit infiniment décroissant si le module de son dénominateur est inférieur à un..

A l'aide de la définition, il est possible de résoudre la question de savoir si une progression géométrique est infiniment décroissante ou non.

Une tâche

La suite est-elle une progression géométrique infiniment décroissante si elle est donnée par la formule :

La solution:

Trouvons q.

; ; ; .

cette progression géométrique est décroissante à l'infini.

b) cette séquence n'est pas une progression géométrique infiniment décroissante.

Considérez un carré avec un côté égal à 1. Divisez-le en deux, une des moitiés à nouveau en deux, et ainsi de suite. les aires de tous les rectangles résultants forment une progression géométrique infiniment décroissante :

La somme des aires de tous les rectangles ainsi obtenus sera égale à l'aire du 1er carré et égale à 1.

Mais du côté gauche de cette égalité se trouve la somme d'un nombre infini de termes.

Considérons la somme des n premiers termes.

D'après la formule de la somme des n premiers termes d'une progression géométrique, il est égal à.

Si n augmente indéfiniment, alors

ou . Par conséquent, c'est-à-dire .

La somme d'une progression géométrique infiniment décroissanteil y a une limite de séquence S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … .

Par exemple, pour une progression,

Nous avons

Car

La somme d'une progression géométrique infiniment décroissantepeut être trouvé à l'aide de la formule.

III. Réflexion et Consolidation(accomplissement des tâches).

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

IV. Résumant.

Quelle séquence as-tu rencontrée aujourd'hui ?

Définir une progression géométrique décroissante à l'infini.

Comment prouver qu'une progression géométrique est infiniment décroissante ?

Donner la formule de la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante.

V. Devoirs.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

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Légendes des diapositives :

Tout le monde devrait être capable de penser de manière cohérente, de juger de manière concluante et de réfuter les conclusions erronées : un physicien et un poète, un conducteur de tracteur et un chimiste. E.Kolman En mathématiques, il ne faut pas se souvenir des formules, mais des processus de pensée. VP Ermakov Il est plus facile de trouver le carré d'un cercle que de déjouer un mathématicien. Augustus de Morgan Quelle science pourrait être plus noble, plus admirable, plus utile à l'humanité que les mathématiques ? Franklin

Progression géométrique décroissante à l'infini 10e année

JE. Progressions arithmétiques et géométriques. Questions 1. Définition d'une progression arithmétique. Une progression arithmétique est une séquence dans laquelle chaque terme, à partir du second, est égal au terme précédent additionné au même nombre. 2. Formule du nième membre d'une progression arithmétique. 3. La formule de la somme des n premiers membres d'une progression arithmétique. 4. Définition d'une progression géométrique. Une progression géométrique est une suite de nombres non nuls dont chaque membre, à partir du second, est égal au membre précédent multiplié par le même nombre 5. La formule du nième membre d'une progression géométrique. 6. La formule de la somme des n premiers membres d'une progression géométrique.

II. Progression arithmétique. Devoirs Une progression arithmétique est donnée par la formule a n = 7 – 4 n Trouver a 10 . (-33) 2. En progression arithmétique a 3 = 7 et a 5 = 1 . Trouvez un 4. (4) 3. En progression arithmétique a 3 = 7 et a 5 = 1 . Trouvez un 17 . (-35) 4. En progression arithmétique a 3 = 7 et a 5 = 1 . Trouver S 17 . (-187)

II. Progression géométrique. Tâches 5. Pour une progression géométrique, trouver le cinquième terme 6. Pour une progression géométrique, trouver le n-ième terme. 7. Exponentiellement b 3 = 8 et b 5 = 2. Trouver b 4 . (4) 8. En progression géométrique b 3 = 8 et b 5 = 2 . Trouver b 1 et q . 9. En progression géométrique b 3 = 8 et b 5 = 2. Trouver S 5 . (62)

Définition : Une progression géométrique est dite infiniment décroissante si le module de son dénominateur est inférieur à un.

Problème №1 La séquence est-elle une progression géométrique infiniment décroissante, si elle est donnée par la formule : Solution : a) cette progression géométrique est infiniment décroissante. b) cette séquence n'est pas une progression géométrique infiniment décroissante.

La somme d'une progression géométrique infiniment décroissante est la limite de la suite S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … . Par exemple, pour une progression, on a Puisque la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante peut être trouvée par la formule

Achèvement des tâches Trouver la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante avec le premier terme 3, le second 0,3. 2. n° 13 ; n° 14 ; manuel, page 138 3. n° 15 (1 ; 3) ; #16(1;3) #18(1;3); 4. n° 19 ; N° 20.

Quelle séquence as-tu rencontrée aujourd'hui ? Définir une progression géométrique décroissante à l'infini. Comment prouver qu'une progression géométrique est infiniment décroissante ? Donner la formule de la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante. Des questions

Le célèbre mathématicien polonais Hugo Steinghaus affirme en plaisantant qu'il existe une loi qui se formule comme suit : un mathématicien fera mieux. A savoir, si vous confiez à deux personnes, dont l'une est mathématicienne, un travail qu'elles ne connaissent pas, alors le résultat sera toujours le suivant : le mathématicien le fera mieux. Hugo Steinghaus 14.01.1887-25.02.1972

Cours et présentation sur le thème : "Séquences de nombres. Progression géométrique"

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Les gars, aujourd'hui, nous allons nous familiariser avec un autre type de progression.
Le sujet de la leçon d'aujourd'hui est la progression géométrique.

Progression géométrique

Définition. Une séquence numérique dans laquelle chaque terme, à partir du second, est égal au produit du précédent et d'un certain nombre fixe, s'appelle une progression géométrique.
Définissons notre séquence récursivement : $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
où b et q sont certains nombres donnés. Le nombre q est appelé le dénominateur de la progression.

Exemple. 1,2,4,8,16… Progression géométrique, dans laquelle le premier membre est égal à un, et $q=2$.

Exemple. 8,8,8,8… Une progression géométrique dont le premier terme est huit,
et $q=1$.

Exemple. 3,-3,3,-3,3... Une progression géométrique dont le premier terme est trois,
et $q=-1$.

La progression géométrique a les propriétés de la monotonie.
Si $b_(1)>0$, $q>1$,
alors la suite est croissante.
Si $b_(1)>0$, $0 La séquence est généralement notée : $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Tout comme dans une progression arithmétique, si le nombre d'éléments dans une progression géométrique est fini, alors la progression est appelée une progression géométrique finie.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Notez que si la suite est une progression géométrique, alors la suite des termes au carré est aussi une progression géométrique. La deuxième séquence a pour premier terme $b_(1)^2$ et pour dénominateur $q^2$.

Formule du nième membre d'une progression géométrique

La progression géométrique peut également être spécifiée sous forme analytique. Voyons comment faire :
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Nous pouvons facilement voir le modèle : $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Notre formule s'appelle "formule du n-ième membre d'une progression géométrique".

Revenons à nos exemples.

Exemple. 1,2,4,8,16… Une suite géométrique dont le premier terme est égal à un,
et $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Exemple. 16,8,4,2,1,1/2… Une progression géométrique dont le premier terme est seize et $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Exemple. 8,8,8,8… Une progression géométrique où le premier terme est huit et $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Exemple. 3,-3,3,-3,3… Une progression géométrique dont le premier terme est trois et $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Exemple. Soit une progression géométrique $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) On sait que $b_(1)=6, q=3$. Trouvez $b_(5)$.
b) On sait que $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Trouver n.
c) On sait que $q=-2, b_(6)=96$. Trouvez $b_(1)$.
d) On sait que $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Trouvez Q.

La solution.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ puisque $2^7=128 => n-1=7 ; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Exemple. La différence entre les septième et cinquième membres de la progression géométrique est de 192, la somme des cinquième et sixième membres de la progression est de 192. Trouvez le dixième membre de cette progression.

La solution.
Nous savons que : $b_(7)-b_(5)=192$ et $b_(5)+b_(6)=192$.
Nous savons aussi : $b_(5)=b_(1)*q^4$ ; $b_(6)=b_(1)*q^5$ ; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Alors:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
On a un système d'équations :
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
En mettant en équation, nos équations obtiennent :
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Nous avons deux solutions q : $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Remplacer successivement dans la seconde équation :
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ aucune solution.
On a ça : $b_(1)=4, q=2$.
Trouvons le dixième terme : $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

La somme d'une progression géométrique finie

Supposons que nous ayons une progression géométrique finie. Calculons, comme pour une progression arithmétique, la somme de ses membres.

Soit une progression géométrique finie : $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Introduisons la notation pour la somme de ses membres : $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
Dans le cas où $q=1$. Tous les membres de la progression géométrique sont égaux au premier membre, alors il est évident que $S_(n)=n*b_(1)$.
Considérons maintenant le cas $q≠1$.
Multipliez le montant ci-dessus par q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Noter:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Nous avons obtenu la formule de la somme d'une progression géométrique finie.

Exemple.
Trouver la somme des sept premiers termes d'une progression géométrique dont le premier terme est 4 et le dénominateur est 3.

La solution.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Exemple.
Trouver le cinquième membre de la progression géométrique, qui est connu : $b_(1)=-3$ ; $b_(n)=-3072$ ; $S_(n)=-4095$.

La solution.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Propriété caractéristique d'une progression géométrique

Les gars, étant donné une progression géométrique. Considérons ses trois membres consécutifs : $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Nous savons que:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Alors:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Si la progression est finie, alors cette égalité vaut pour tous les termes sauf le premier et le dernier.
S'il n'est pas connu à l'avance de quel type de séquence il s'agit, mais que l'on sait que : $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Alors nous pouvons dire en toute sécurité qu'il s'agit d'une progression géométrique.

Une suite de nombres n'est une progression géométrique que lorsque le carré de chacun de ses termes est égal au produit de ses deux termes voisins de la progression. N'oubliez pas que pour une progression finie cette condition n'est pas satisfaite pour le premier et le dernier terme.

Regardons cette identité : $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ est appelé la moyenne nombres géométriques a et b.

Le module de tout élément d'une progression géométrique est égal à la moyenne géométrique des deux éléments qui lui sont adjacents.

Exemple.
Trouver x tel que $x+2 ; 2x+2 ; 3x+3$ étaient trois membres consécutifs d'une progression géométrique.

La solution.
Utilisons la propriété caractéristique :
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ et $x_(2)=-1$.
Substituez séquentiellement à l'expression d'origine, nos solutions :
Avec $x=2$, on obtient la suite : 4;6;9 est une progression géométrique avec $q=1.5$.
Avec $x=-1$, on obtient la suite : 1;0;0.
Réponse : $x=2.$

Tâches pour une solution indépendante

1. Trouver le huitième premier membre de la progression géométrique 16 ; -8 ; 4 ; -2 ....
2. Trouvez le dixième membre de la progression géométrique 11,22,44….
3. On sait que $b_(1)=5, q=3$. Trouvez $b_(7)$.
4. On sait que $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Trouver n.
5. Trouvez la somme des 11 premiers membres de la progression géométrique 3;12;48….
6. Trouver x tel que $3x+4 ; 2x+4 ; x+5$ sont trois membres consécutifs d'une progression géométrique.

La progression géométrique est séquence numérique, dont le premier terme est non nul, et chaque terme suivant est égal au terme précédent multiplié par le même nombre non nul.

Le concept de progression géométrique

La progression géométrique est notée b1,b2,b3, …, bn, … .

Le rapport de tout terme de l'erreur géométrique à son terme précédent est égal au même nombre, c'est-à-dire que b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/milliard = …. Cela découle directement de la définition d'une progression arithmétique. Ce nombre est appelé le dénominateur d'une progression géométrique. Habituellement, le dénominateur d'une progression géométrique est désigné par la lettre q.

La somme d'une progression géométrique infinie pour |q|<1

Une façon de définir une progression géométrique consiste à définir son premier terme b1 et le dénominateur de l'erreur géométrique q. Par exemple, b1=4, q=-2. Ces deux conditions donnent une progression géométrique de 4, -8, 16, -32, … .

Si q>0 (q n'est pas égal à 1), alors la progression est une séquence monotone. Par exemple, la suite, 2, 4,8,16,32, ... est une suite monotone croissante (b1=2, q=2).

Si le dénominateur q=1 dans l'erreur géométrique, alors tous les membres de la progression géométrique seront égaux les uns aux autres. Dans de tels cas, on dit que la progression est une séquence constante.

Pour que la suite numérique (bn) soit une progression géométrique, il faut que chacun de ses membres, à partir du second, soit la moyenne géométrique des membres voisins. C'est-à-dire qu'il faut remplir l'équation suivante
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), pour tout n>0, où n appartient à l'ensemble des nombres naturels N.

Posons maintenant (Xn) - une progression géométrique. Le dénominateur de la progression géométrique q, avec |q|∞).
Si nous désignons maintenant par S la somme d'une progression géométrique infinie, alors la formule suivante tiendra :
S=x1/(1-q).

Prenons un exemple simple :

Trouver la somme d'une progression géométrique infinie 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ... .

Pour trouver S, on utilise la formule de la somme d'une progression arithmétique infinie. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Premier niveau

Progression géométrique. Guide complet avec des exemples (2019)

Séquence numérique

Alors asseyons-nous et commençons à écrire quelques chiffres. Par exemple:

Vous pouvez écrire n'importe quel nombre, et il peut y en avoir autant que vous le souhaitez (dans notre cas, eux). Peu importe le nombre de nombres que nous écrivons, nous pouvons toujours dire lequel d'entre eux est le premier, lequel est le second, et ainsi de suite jusqu'au dernier, c'est-à-dire que nous pouvons les numéroter. Voici un exemple de séquence de nombres :

Séquence numérique est un ensemble de nombres, chacun pouvant se voir attribuer un numéro unique.

Par exemple, pour notre séquence :

Le numéro attribué est spécifique à un seul numéro de séquence. En d'autres termes, il n'y a pas de nombres de trois secondes dans la séquence. Le deuxième nombre (comme le -ième nombre) est toujours le même.

Le nombre avec le nombre est appelé le -ème membre de la séquence.

Nous appelons généralement la séquence entière une lettre (par exemple,), et chaque membre de cette séquence - la même lettre avec un index, égal au nombre ce membre : .

Dans notre cas:

Les types de progression les plus courants sont l'arithmétique et la géométrique. Dans ce sujet, nous parlerons du deuxième type - progression géométrique.

Pourquoi avons-nous besoin d'une progression géométrique et de son histoire.

Même dans les temps anciens, le mathématicien italien, le moine Léonard de Pise (mieux connu sous le nom de Fibonacci), s'occupait des besoins pratiques du commerce. Le moine était confronté à la tâche de déterminer avec quoi la moindre quantité poids peuvent peser les marchandises? Dans ses écrits, Fibonacci prouve qu'un tel système de poids est optimal : C'est l'une des premières situations dans lesquelles les gens ont dû faire face à une progression géométrique, dont vous avez probablement entendu parler et que vous avez au moins concept général. Une fois que vous avez bien compris le sujet, réfléchissez à la raison pour laquelle un tel système est optimal ?

À l'heure actuelle, dans la pratique de la vie, une progression géométrique se manifeste lors de l'investissement de fonds dans une banque, lorsque le montant des intérêts est facturé sur le montant accumulé sur le compte pour la période précédente. En d'autres termes, si vous placez de l'argent sur un dépôt à terme dans une caisse d'épargne, le dépôt augmentera en un an par rapport au montant initial, c'est-à-dire le nouveau montant sera égal à la contribution multipliée par. Dans une autre année, ce montant augmentera de, c'est-à-dire. le montant obtenu à ce moment-là est à nouveau multiplié par et ainsi de suite. Une situation similaire est décrite dans les problèmes de calcul de la soi-disant intérêts composés- le pourcentage est prélevé à chaque fois sur le montant qui se trouve sur le compte, en tenant compte des intérêts antérieurs. Nous parlerons de ces tâches un peu plus tard.

Il existe de nombreux cas plus simples où une progression géométrique est appliquée. Par exemple, la propagation de la grippe: une personne a infecté une personne, elle a à son tour infecté une autre personne, et donc la deuxième vague d'infection - une personne, et elle a, à son tour, infecté une autre ... et ainsi de suite .. .

Soit dit en passant, une pyramide financière, le même MMM, est un calcul simple et sec selon les propriétés d'une progression géométrique. Intéressant? Essayons de comprendre.

Progression géométrique.

Disons que nous avons une séquence de nombres :

Vous répondrez immédiatement que c'est facile et que le nom d'une telle suite est une progression arithmétique avec la différence de ses membres. Que diriez-vous quelque chose comme ça:

Si vous soustrayez le nombre précédent du nombre suivant, vous verrez que chaque fois que vous obtenez une nouvelle différence (etc.), mais la séquence existe définitivement et est facile à remarquer - chaque nombre suivant est fois supérieur au précédent !

Ce type de séquence est appelé progression géométrique et est marqué.

Une progression géométrique ( ) est une suite numérique dont le premier terme est différent de zéro, et chaque terme, à partir du second, est égal au précédent, multiplié par le même nombre. Ce nombre est appelé le dénominateur d'une progression géométrique.

Les contraintes que le premier terme ( ) n'est pas égal et ne sont pas aléatoires. Disons qu'il n'y en a pas, et que le premier terme est toujours égal, et q est, hmm .. let, alors il s'avère :

Convenez que ce n'est pas une progression.

Comme vous le comprenez, nous obtiendrons les mêmes résultats s'il s'agit d'un nombre autre que zéro, mais. Dans ces cas, il n'y aura tout simplement pas de progression, puisque toute la série de nombres sera soit composée uniquement de zéros, soit d'un nombre et de tous les autres zéros.

Parlons maintenant plus en détail du dénominateur d'une progression géométrique, c'est-à-dire d'environ.

Répétons : - c'est un nombre, combien de fois chaque terme suivant change-t-il progression géométrique.

Que pensez-vous que cela pourrait être? C'est vrai, positif et négatif, mais pas nul (on en parlait un peu plus haut).

Disons que nous avons un positif. Soit dans notre cas, a. Quel est le deuxième terme et ? Vous pouvez facilement répondre à cela :

D'accord. En conséquence, si, alors tous les membres suivants de la progression ont le même signe - ils positif.

Et si c'est négatif ? Par exemple, un. Quel est le deuxième terme et ?

C'est une histoire complètement différente

Essayez de compter le terme de cette progression. Combien avez-vous obtenu? J'ai. Ainsi, si, alors les signes des termes de la progression géométrique alternent. Autrement dit, si vous voyez une progression avec des signes alternés dans ses membres, alors son dénominateur est négatif. Cette connaissance peut vous aider à vous tester lors de la résolution de problèmes sur ce sujet.

Maintenant pratiquons un peu : essayons de déterminer quelles suites numériques sont une progression géométrique, et lesquelles sont une suite arithmétique :

J'ai compris? Comparez nos réponses :

• Progression géométrique - 3, 6.
• Progression arithmétique - 2, 4.
• Ce n'est ni une progression arithmétique ni une progression géométrique - 1, 5, 7.

Revenons à notre dernière progression, et essayons de trouver son terme de la même manière qu'en arithmétique. Comme vous l'avez peut-être deviné, il existe deux façons de le trouver.

Nous multiplions successivement chaque terme par.

Ainsi, le -ème membre de la progression géométrique décrite est égal à.

Comme vous le devinez déjà, vous allez maintenant dériver vous-même une formule qui vous aidera à trouver n'importe quel membre d'une progression géométrique. Ou l'avez-vous déjà sorti vous-même, décrivant comment trouver le ème membre par étapes ? Si tel est le cas, vérifiez l'exactitude de votre raisonnement.

Illustrons cela par l'exemple de la recherche du -ème membre de cette progression :

Autrement dit:

Trouvez vous-même la valeur d'un membre d'une progression géométrique donnée.

Passé? Comparez nos réponses :

Faites attention à ce que vous obteniez exactement le même nombre que dans la méthode précédente, lorsque nous avons successivement multiplié par chaque membre précédent de la progression géométrique.
Essayons de "dépersonnaliser" cette formule - nous la mettons sous une forme générale et obtenons :

La formule dérivée est vraie pour toutes les valeurs - positives et négatives. Vérifiez-le vous-même en calculant les termes d'une progression géométrique avec les conditions suivantes : , a.

Avez-vous compté? Comparons les résultats :

Convenez qu'il serait possible de trouver un membre de la progression de la même manière qu'un membre, cependant, il y a une possibilité d'erreur de calcul. Et si nous avons déjà trouvé le ème terme d'une progression géométrique, a, alors quoi de plus simple que d'utiliser la partie "tronquée" de la formule.

Une progression géométrique décroissante à l'infini.

Plus récemment, nous avons parlé de ce qui peut être supérieur ou inférieur à zéro, cependant, il existe des valeurs spéciales pour lesquelles la progression géométrique est appelée décroissant à l'infini.

Pourquoi pensez-vous qu'il porte un tel nom ?
Pour commencer, écrivons une progression géométrique composée de membres.
Disons alors :

Nous voyons que chaque terme suivant est inférieur au précédent en temps, mais y aura-t-il un nombre quelconque ? Vous répondez immédiatement - "non". C'est pourquoi l'infiniment décroissant - diminue, diminue, mais ne devient jamais nul.

Pour bien comprendre à quoi cela ressemble visuellement, essayons de tracer un graphique de notre progression. Ainsi, dans notre cas, la formule prend la forme suivante :

Sur les graphiques, nous sommes habitués à construire une dépendance sur, donc :

L'essence de l'expression n'a pas changé : dans la première entrée, nous avons montré la dépendance de la valeur d'un membre de progression géométrique sur son nombre ordinal, et dans la deuxième entrée, nous avons simplement pris la valeur d'un membre de progression géométrique pour, et le nombre ordinal n'était pas désigné comme, mais comme. Il ne reste plus qu'à tracer le graphique.
Voyons voir ce que tu as. Voici le tableau que j'ai obtenu :

Voir? La fonction diminue, tend vers zéro, mais ne le franchit jamais, elle est donc décroissante à l'infini. Marquons nos points sur le graphique, et en même temps ce que la coordonnée et signifie :

Essayez de représenter schématiquement un graphique d'une progression géométrique si son premier terme est également égal. Analysez quelle est la différence avec notre graphique précédent ?

Avez-vous réussi? Voici le tableau que j'ai obtenu :

Maintenant que vous avez bien compris les bases du sujet de la progression géométrique : vous savez ce que c'est, vous savez comment trouver son terme, et vous savez aussi ce qu'est une progression géométrique décroissante à l'infini, passons à sa propriété principale.

propriété d'une progression géométrique.

Vous souvenez-vous de la propriété des membres d'une progression arithmétique ? Oui, oui, comment trouver la valeur d'un certain nombre d'une progression quand il y a des valeurs précédentes et suivantes des membres de cette progression. Rappelé ? Cette:

Nous sommes maintenant confrontés exactement à la même question pour les termes d'une progression géométrique. Pour dériver une telle formule, commençons à dessiner et à raisonner. Tu verras, c'est très simple, et si tu oublies, tu peux le ressortir toi-même.

Prenons une autre progression géométrique simple, dans laquelle on connaît et. Comment trouver? Avec une progression arithmétique, c'est facile et simple, mais comment ça se passe ici ? En fait, il n'y a rien de compliqué non plus en géométrie - il suffit de peindre chaque valeur qui nous est donnée selon la formule.

Vous demandez, et maintenant qu'est-ce qu'on en fait? Oui, très simple. Pour commencer, décrivons ces formules dans la figure et essayons de faire diverses manipulations avec elles afin d'arriver à une valeur.

Nous faisons abstraction des nombres qui nous sont donnés, nous nous concentrerons uniquement sur leur expression à travers une formule. Nous devons trouver la valeur mise en évidence orange, connaissant les termes qui lui sont adjacents. Essayons de produire avec eux diverses activités, à la suite de quoi nous pouvons obtenir.

Ajout.
Essayons d'additionner deux expressions et nous obtenons :

À partir de cette expression, comme vous pouvez le voir, nous ne pourrons en aucun cas exprimer, par conséquent, nous essaierons une autre option - la soustraction.

Soustraction.

Comme vous pouvez le voir, nous ne pouvons pas non plus exprimer à partir de cela, nous allons donc essayer de multiplier ces expressions les unes par les autres.

Multiplication.

Maintenant, regardez attentivement ce que nous avons, en multipliant les termes d'une progression géométrique qui nous est donnée par rapport à ce qu'il faut trouver :

Devinez de quoi je parle ? Bon, pour trouver, nous devons prendre Racine carréeà partir des nombres de progression géométrique adjacents au nombre désiré multipliés entre eux :

Voici. Vous en avez vous-même déduit la propriété d'une progression géométrique. Essayez d'écrire cette formule en vue générale. Passé?

Condition oubliée quand ? Réfléchissez à la raison pour laquelle c'est important, par exemple, essayez de le calculer vous-même, à. Que se passe-t-il dans ce cas? C'est vrai, non-sens complet, puisque la formule ressemble à ceci :

Par conséquent, n'oubliez pas cette limitation.

Calculons maintenant ce qui est

Bonne réponse - ! Si vous n'avez pas oublié la deuxième valeur possible lors du calcul, alors vous êtes un bon gars et vous pouvez immédiatement passer à la formation, et si vous avez oublié, lisez ce qui est analysé ci-dessous et faites attention à la raison pour laquelle les deux racines doivent être écrites dans la réponse .

Dessinons nos deux progressions géométriques - l'une avec une valeur et l'autre avec une valeur, et vérifions si les deux ont le droit d'exister :

Afin de vérifier si une telle progression géométrique existe ou non, il faut voir si elle est la même entre tous ses membres donnés ? Calculez q pour les premier et deuxième cas.

Vous voyez pourquoi nous devons écrire deux réponses ? Car le signe du terme recherché dépend s'il est positif ou négatif ! Et puisque nous ne savons pas ce que c'est, nous devons écrire les deux réponses avec un plus et un moins.

Maintenant que vous avez maîtrisé les points principaux et déduit la formule de la propriété d'une progression géométrique, trouvez, connaissez et

Comparez vos réponses avec les bonnes :

Que pensez-vous, et si on nous donnait non pas les valeurs des membres de la progression géométrique adjacentes au nombre souhaité, mais équidistantes de celui-ci. Par exemple, nous devons trouver, et étant donné et. Pouvons-nous utiliser la formule que nous avons dérivée dans ce cas? Essayez de confirmer ou de réfuter cette possibilité de la même manière, en décrivant en quoi consiste chaque valeur, comme vous l'avez fait lors de la dérivation initiale de la formule, avec.
Qu'est-ce que vous obtenez?

Maintenant, regardez à nouveau attentivement.
et corrélativement :

De cela, nous pouvons conclure que la formule fonctionne non seulement avec les voisins avec les termes voulus d'une progression géométrique, mais aussi avec équidistant de ce que les membres recherchent.

Ainsi, notre formule originale devient :

Autrement dit, si dans le premier cas nous disions cela, nous disons maintenant qu'il peut être égal à n'importe quel entier naturel, ce qui est moins. L'essentiel est d'être le même pour les deux nombres donnés.

Pratique pour exemples concrets soyez juste extrêmement prudent!

1. , . Trouver.
2. , . Trouver.
3. , . Trouver.

J'ai décidé? J'espère que vous avez été extrêmement attentif et que vous avez remarqué un petit hic.

Nous comparons les résultats.

Dans les deux premiers cas, on applique sereinement la formule ci-dessus et on obtient les valeurs suivantes :

Dans le troisième cas, à y regarder de plus près Numéros de série les nombres qui nous sont donnés, nous comprenons qu'ils ne sont pas équidistants du nombre que nous recherchons : c'est le nombre précédent, mais retiré en position, il n'est donc pas possible d'appliquer la formule.

Comment le résoudre? Ce n'est en fait pas aussi difficile qu'il n'y paraît! Écrivons avec vous en quoi consiste chaque numéro qui nous est donné et le numéro souhaité.

Nous avons donc et. Voyons ce que nous pouvons en faire. Je suggère de diviser. On a:

Nous substituons nos données dans la formule :

La prochaine étape que nous pouvons trouver - pour cela, nous devons prendre racine cubiqueà partir du numéro reçu.

Maintenant, regardons à nouveau ce que nous avons. Nous avons, mais nous devons trouver, et cela, à son tour, est égal à :

Nous avons trouvé toutes les données nécessaires au calcul. Remplacer dans la formule :

Notre réponse : .

Essayez de résoudre vous-même un autre problème similaire :
Donné: ,
Trouver:

Combien avez-vous obtenu? J'ai - .

Comme vous pouvez le voir, en fait, vous avez besoin rappelez-vous une seule formule- . Tout le reste, vous pouvez le retirer vous-même sans aucune difficulté à tout moment. Pour ce faire, écrivez simplement la progression géométrique la plus simple sur une feuille de papier et notez à quoi, selon la formule ci-dessus, chacun de ses nombres est égal.

La somme des termes d'une progression géométrique.

Considérons maintenant les formules qui permettent de calculer rapidement la somme des termes d'une progression géométrique dans un intervalle donné :

Pour dériver la formule de la somme des termes d'une progression géométrique finie, nous multiplions toutes les parties de l'équation ci-dessus par. On a:

Regardez bien : quel est le point commun entre les deux dernières formules ? C'est vrai, les membres communs, par exemple et ainsi de suite, sauf pour le premier et le dernier membre. Essayons de soustraire la 1ère équation de la 2ème équation. Qu'est-ce que vous obtenez?

Exprimez maintenant par la formule d'un membre d'une progression géométrique et substituez l'expression résultante dans notre dernière formule :

Regroupez l'expression. Tu devrais obtenir:

Il ne reste plus qu'à exprimer :

En conséquence, dans ce cas.

Et qu'est-ce qui se passerait si? Quelle formule fonctionne alors ? Imaginez une progression géométrique à. À quoi ressemble-t-elle? Corriger la ligne mêmes numéros, donc la formule ressemblera à ceci :

Comme pour la progression arithmétique et géométrique, il existe de nombreuses légendes. L'un d'eux est la légende de Seth, le créateur des échecs.

Beaucoup de gens savent que le jeu d'échecs a été inventé en Inde. Lorsque le roi hindou l'a rencontrée, il a été ravi de son esprit et de la variété des positions possibles en elle. En apprenant qu'il avait été inventé par l'un de ses sujets, le roi décida de le récompenser personnellement. Il appela l'inventeur à lui et ordonna de lui demander tout ce qu'il voulait, promettant de réaliser même le désir le plus habile.

Seta demanda du temps pour réfléchir, et quand le lendemain Seta se présenta devant le roi, il surprit le roi par la modestie sans pareille de sa demande. Il demanda un grain de blé pour la première case de l'échiquier, du blé pour la seconde, pour la troisième, pour la quatrième, et ainsi de suite.

Le roi était en colère et chassa Seth, disant que la demande du serviteur était indigne de la générosité royale, mais promit que le serviteur recevrait ses grains pour toutes les cellules du conseil.

Et maintenant la question est : en utilisant la formule de la somme des membres d'une progression géométrique, calculez combien de grains Seth devrait recevoir ?

Commençons à discuter. Puisque, selon la condition, Seth a demandé un grain de blé pour la première case de l'échiquier, pour la seconde, pour la troisième, pour la quatrième, etc., on voit que le problème est d'ordre géométrique. Qu'est-ce qui est égal dans ce cas ?
Correctement.

Cellules totales de l'échiquier. Respectivement, . Nous avons toutes les données, il ne reste plus qu'à substituer dans la formule et à calculer.

Pour représenter au moins approximativement les "échelles" d'un nombre donné, on transforme en utilisant les propriétés du degré :

Bien sûr, si vous le souhaitez, vous pouvez prendre une calculatrice et calculer le type de nombre que vous obtenez, et sinon, vous devrez me croire sur parole : la valeur finale de l'expression sera.
C'est-à-dire:

quintillion quadrillion trillion milliards de millions de milliers.

Fuh) Si vous voulez imaginer l'énormité de ce nombre, estimez la taille de la grange qui serait nécessaire pour accueillir la quantité totale de grain.
Avec une hauteur de grange de m et une largeur de m, sa longueur devrait s'étendre à km, c'est-à-dire deux fois plus loin de la Terre au Soleil.

Si le roi était fort en mathématiques, il pourrait proposer au savant lui-même de compter les grains, car pour compter un million de grains, il lui faudrait au moins une journée de comptage inlassable, et vu qu'il faut compter les quintillions, il faudrait compter les grains toute sa vie.

Et maintenant nous allons résoudre un problème simple sur la somme des termes d'une progression géométrique.
Vasya, une élève de 5e année, est tombée malade de la grippe, mais continue d'aller à l'école. Chaque jour, Vasya infecte deux personnes qui, à leur tour, infectent deux autres personnes, et ainsi de suite. Une seule personne dans la classe. Dans combien de jours toute la classe aura-t-elle la grippe ?

Ainsi, le premier membre d'une progression géométrique est Vasya, c'est-à-dire une personne. ème membre de la progression géométrique, ce sont les deux personnes qu'il a infectées le premier jour de son arrivée. La somme totale des membres de la progression est égale au nombre d'élèves 5A. On parle alors d'une progression dans laquelle :

Remplaçons nos données dans la formule de la somme des termes d'une progression géométrique :

Toute la classe tombera malade en quelques jours. Vous ne croyez pas aux formules et aux chiffres ? Essayez de décrire vous-même « l'infection » des élèves. Passé? Regarde à quoi ça ressemble pour moi :

Calculez vous-même combien de jours les élèves auraient la grippe si tout le monde infectait une personne et qu'il y avait une personne dans la classe.

Quelle valeur avez-vous obtenu ? Il s'est avéré que tout le monde a commencé à tomber malade après une journée.

Comme vous pouvez le voir, une telle tâche et son dessin ressemblent à une pyramide, dans laquelle chaque suite "apporte" de nouvelles personnes. Cependant, tôt ou tard vient un moment où ce dernier ne peut attirer personne. Dans notre cas, si nous imaginons que la classe est isolée, la personne de ferme la chaîne (). Ainsi, si une personne était impliquée dans une pyramide financière dans laquelle de l'argent était donné si vous ameniez deux autres participants, alors la personne (ou dans le cas général) n'amènerait personne, respectivement, perdrait tout ce qu'elle a investi dans cette arnaque financière .

Tout ce qui a été dit ci-dessus fait référence à une progression géométrique décroissante ou croissante, mais, comme vous vous en souvenez, nous avons un type spécial - une progression géométrique décroissante à l'infini. Comment calculer la somme de ses membres ? Et pourquoi ce type de progression a-t-il certaines caractéristiques ? Découvrons-le ensemble.

Donc, pour commencer, regardons à nouveau cette image d'une progression géométrique décroissante à l'infini de notre exemple :

Et maintenant regardons la formule de la somme d'une progression géométrique, dérivée un peu plus tôt :
ou

À quoi nous efforçons-nous? C'est vrai, le graphique montre qu'il tend vers zéro. Autrement dit, quand, il sera presque égal, respectivement, lors du calcul de l'expression, nous obtiendrons presque. À cet égard, nous pensons que lors du calcul de la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante, cette tranche peut être négligée, car elle sera égale.

- la formule est la somme des termes d'une progression géométrique infiniment décroissante.

IMPORTANT! Nous utilisons la formule pour la somme des termes d'une progression géométrique infiniment décroissante uniquement si la condition indique explicitement que nous devons trouver la somme sans fin le nombre de membres.

Si un nombre spécifique n est indiqué, alors nous utilisons la formule pour la somme de n termes, même si ou.

Et maintenant, pratiquons.

1. Trouver la somme des premiers termes d'une progression géométrique avec et.
2. Trouver la somme des termes d'une progression géométrique infiniment décroissante avec et.

J'espère que vous avez été très prudent. Comparez nos réponses :

Maintenant que vous savez tout sur la progression géométrique, il est temps de passer de la théorie à la pratique. Les problèmes exponentiels les plus courants rencontrés à l'examen sont les problèmes d'intérêts composés. C'est d'eux que nous parlerons.

Problèmes de calcul des intérêts composés.

Vous devez avoir entendu parler de la formule dite des intérêts composés. Comprenez-vous ce qu'elle veut dire? Sinon, découvrons-le, car après avoir réalisé le processus lui-même, vous comprendrez immédiatement ce que la progression géométrique a à voir avec cela.

Nous allons tous à la banque et savons qu'il y a conditions différentes sur les cautions : il s'agit à la fois d'une durée et d'une maintenance supplémentaire, et d'un pourcentage avec deux différentes façons son calcul - simple et complexe.

DE intérêt simple tout est plus ou moins clair : les intérêts sont facturés une fois à la fin de la durée du dépôt. Autrement dit, si nous parlons de mettre 100 roubles par an sous, ils ne seront crédités qu'à la fin de l'année. En conséquence, à la fin du dépôt, nous recevrons des roubles.

Intérêts composés est une option dans laquelle capitalisation des intérêts, c'est à dire. leur addition au montant de l'acompte et le calcul ultérieur des revenus non pas à partir du montant initial, mais à partir du montant cumulé de l'acompte. La capitalisation ne se produit pas constamment, mais avec une certaine périodicité. En règle générale, ces périodes sont égales et le plus souvent les banques utilisent un mois, un trimestre ou un an.

Disons que nous mettons tous les mêmes roubles par an, mais avec une capitalisation mensuelle de la caution. Qu'obtenons-nous ?

Vous comprenez tout ici ? Si ce n'est pas le cas, procédons étape par étape.

Nous avons apporté des roubles à la banque. À la fin du mois, nous devrions avoir sur notre compte un montant composé de nos roubles plus les intérêts sur ceux-ci, c'est-à-dire :

Je suis d'accord?

Nous pouvons le sortir du support et nous obtenons alors :

D'accord, cette formule ressemble déjà plus à celle que nous avons écrite au début. Reste à traiter les pourcentages

Dans l'état du problème, on nous parle de l'annuel. Comme vous le savez, nous ne multiplions pas par - nous convertissons les pourcentages en décimales, C'est:

Droit? Maintenant, vous demandez, d'où vient le numéro? Très simple!
Je répète: l'état du problème dit environ ANNUEL intérêts courus MENSUEL. Comme vous le savez, dans une année de mois, respectivement, la banque nous facturera une partie des intérêts annuels par mois :

Réalisé? Essayez maintenant d'écrire à quoi ressemblerait cette partie de la formule si je disais que les intérêts sont calculés quotidiennement.
Avez-vous réussi? Comparons les résultats :

Bien fait! Revenons à notre tâche: notez combien sera crédité sur notre compte pour le deuxième mois, en tenant compte du fait que des intérêts sont facturés sur le montant du dépôt accumulé.
Voici ce qui m'est arrivé :

Ou, en d'autres termes :

Je pense que vous avez déjà remarqué un schéma et vu une progression géométrique dans tout cela. Écrivez à quoi son membre sera égal, ou, en d'autres termes, combien d'argent nous recevrons à la fin du mois.
A fait? Vérification!

Comme vous pouvez le voir, si vous mettez de l'argent dans une banque pendant un an à un intérêt simple, vous recevrez des roubles, et si vous le mettez à un taux composé, vous recevrez des roubles. Le bénéfice est faible, mais cela ne se produit que durant la ème année, mais sur une période plus longue, la capitalisation est beaucoup plus rentable :

Considérons un autre type de problèmes d'intérêts composés. Après ce que vous avez compris, ce sera élémentaire pour vous. Donc la tâche est :

Zvezda a commencé à investir dans l'industrie en 2000 avec un capital en dollars. Chaque année depuis 2001, elle réalise un bénéfice égal au capital de l'année précédente. Quel bénéfice la société Zvezda recevra-t-elle à la fin de 2003, si le bénéfice n'a pas été retiré de la circulation ?

Le capital de la société Zvezda en 2000.
- le capital de la société Zvezda en 2001.
- le capital de la société Zvezda en 2002.
- le capital de la société Zvezda en 2003.

Ou nous pouvons écrire brièvement :

Pour notre cas :

2000, 2001, 2002 et 2003.

Respectivement:
roubles
Notez que dans ce problème nous n'avons pas de division ni par ni par, puisque le pourcentage est donné ANNUELLEMENT et il est calculé ANNUELLEMENT. Autrement dit, lors de la lecture du problème des intérêts composés, faites attention au pourcentage qui est donné et à la période pendant laquelle il est facturé, puis procédez aux calculs.
Vous savez maintenant tout sur la progression géométrique.

Entraînement.

1. Trouver un terme d'une progression géométrique si on sait que, et
2. Trouver la somme des premiers termes d'une progression géométrique, si on sait que, et
3. MDM Capital a commencé à investir dans l'industrie en 2003 avec un capital en dollars. Chaque année depuis 2004, elle réalise un bénéfice égal au capital de l'année précédente. Société "MSK" flux de trésorerie" a commencé à investir dans l'industrie en 2005 pour un montant de 10 000 $, commençant à réaliser un bénéfice à partir de 2006 d'un montant de. De combien de dollars le capital d'une entreprise dépasse-t-il celui d'une autre fin 2007, si les bénéfices n'étaient pas retirés de la circulation ?

Réponses:

1. Puisque la condition du problème ne dit pas que la progression est infinie et qu'il est nécessaire de trouver la somme d'un nombre spécifique de ses membres, le calcul est effectué selon la formule :
2. 
   Société « MDM Capital » :

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - augmente de 100%, soit 2 fois.
   Respectivement:
   roubles
   Flux de trésorerie MSK :

   2005, 2006, 2007.
   - augmente de, c'est-à-dire de fois.
   Respectivement:
   roubles
   roubles

Résumons.

1) Une progression géométrique ( ) est une suite numérique dont le premier terme est différent de zéro et dont chaque terme, à partir du second, est égal au précédent multiplié par le même nombre. Ce nombre est appelé le dénominateur d'une progression géométrique.

2) L'équation des membres d'une progression géométrique -.

3) peut prendre n'importe quelle valeur, à l'exception de et.

• si, alors tous les membres suivants de la progression ont le même signe - ils positif;
• si, alors tous les membres suivants de la progression signes alternatifs ;
• quand - la progression est dite infiniment décroissante.

4) , at - propriété d'une progression géométrique (termes voisins)

ou
, à (termes équidistants)

Lorsque vous le trouverez, n'oubliez pas que il devrait y avoir deux réponses..

Par exemple,

5) La somme des membres d'une progression géométrique est calculée par la formule :
ou

Si la progression est décroissante à l'infini, alors :
ou

IMPORTANT! Nous utilisons la formule de la somme des termes d'une progression géométrique infiniment décroissante uniquement si la condition indique explicitement que nous devons trouver la somme d'un nombre infini de termes.

6) Les tâches pour les intérêts composés sont également calculées par la formule du ème membre d'une progression géométrique, à condition que en espèces non retiré de la circulation :

PROGRESSION GÉOMÉTRIQUE. EN BREF SUR LE PRINCIPAL

Progression géométrique( ) est une suite numérique dont le premier terme est différent de zéro, et chaque terme, à partir du second, est égal au précédent, multiplié par le même nombre. Ce numéro s'appelle le dénominateur d'une progression géométrique.

Dénominateur d'une progression géométrique peut prendre n'importe quelle valeur à l'exception de et.

• Si, alors tous les membres suivants de la progression ont le même signe - ils sont positifs;
• si, alors tous les membres suivants de la progression alternent les signes ;
• quand - la progression est dite infiniment décroissante.

Équation des membres d'une progression géométrique - .

La somme des termes d'une progression géométrique calculé par la formule :
ou