C'est ce qu'on appelle une progression arithmétique. Progression arithmétique

19.10.2019

Progression arithmétique

Progression arithmétique une séquence est appelée, dont chaque membre, à partir du second, est égal au précédent, auquel s'ajoute le même nombre.

un 1 , un 2 , un 3 , . . . , un, . . .

est une progression arithmétique si pour tout entier naturel n condition est remplie :

un +1 = un + ré,

où ré - un certain nombre.

Ainsi, la différence entre le membre suivant et le membre précédent d'une progression arithmétique donnée est toujours constante :

un 2 - un 1 = un 3 - un 2 = . . . = un +1 - un = ré.

Numéro ré appelé la différence d'une progression arithmétique.

Pour fixer une progression arithmétique, il suffit de préciser son premier terme et sa différence.

Par exemple,

si un 1 = 3, ré = 4 , alors les cinq premiers termes de la suite se trouvent comme suit :

un 1 =3,

un 2 = un 1 + ré = 3 + 4 = 7,

un 3 = un 2 + ré= 7 + 4 = 11,

un 4 = un 3 + ré= 11 + 4 = 15,

un 5 = un 4 + ré= 15 + 4 = 19. ◄

Pour une progression arithmétique avec le premier terme un 1 et différence ré son n

un = un 1 + (n- 1)ré.

Par exemple,

trouver le trentième terme d'une suite arithmétique

1, 4, 7, 10, . . .

un 1 =1, ré = 3,

un 30 = un 1 + (30 - 1)ré= 1 + 29· 3 = 88. ◄

un n-1 = un 1 + (n- 2)ré,

un= un 1 + (n- 1)ré,

un +1 = un 1 + nd,

alors évidemment

un=	un n-1 + un n+1
	2

chaque membre de la progression arithmétique, à partir du second, est égal à la moyenne arithmétique des membres précédents et suivants.

les nombres a, b et c sont des membres consécutifs d'une progression arithmétique si et seulement si l'un d'eux est égal à la moyenne arithmétique des deux autres.

Par exemple,

un = 2n- 7 , est une progression arithmétique.

Utilisons la déclaration ci-dessus. Nous avons:

un = 2n- 7,

un n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

un n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Par conséquent,

un n+1 + un n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = un,
2		2

◄

Notez que n -ième membre d'une progression arithmétique peut être trouvé non seulement à travers un 1 , mais aussi tout précédent un k

un = un k + (n- k)ré.

Par exemple,

pour un 5 peut être écrit

un 5 = un 1 + 4ré,

un 5 = un 2 + 3ré,

un 5 = un 3 + 2ré,

un 5 = un 4 + ré. ◄

un = un n-k + kd,

un = un n+k - kd,

alors évidemment

un=	un nk + un n+k
	2

tout membre d'une suite arithmétique, à partir du second, est égal à la moitié de la somme des membres de cette suite arithmétique également espacés de celle-ci.

De plus, pour toute progression arithmétique, l'égalité est vraie :

une m + une n = une k + une l,

m + n = k + l.

Par exemple,

en progression arithmétique

1) un 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (un 9 + un 11 )/2;

2) 28 = un 10 = un 3 + 7ré= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28 ;

3) un 10= 28 = (19 + 37)/2 = (un 7 + un 13)/2;

4) une 2 + une 12 = une 5 + une 9, car

un 2 + un 12= 4 + 34 = 38,

un 5 + un 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= un 1 + un 2 + un 3 + . . .+ un,

première n membres d'une progression arithmétique est égal au produit de la moitié de la somme des termes extrêmes par le nombre de termes :

De là, en particulier, il résulte que s'il faut sommer les termes

un k, un k +1 , . . . , un,

alors la formule précédente conserve sa structure :

Par exemple,

en progression arithmétique 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Si une progression arithmétique est donnée, alors les quantités un 1 , un, ré, n etS n liés par deux formules :

Par conséquent, si les valeurs de trois de ces quantités sont données, alors les valeurs correspondantes des deux autres quantités sont déterminées à partir de ces formules combinées dans un système de deux équations à deux inconnues.

Progression arithmétique est une suite monotone. Où:

si ré > 0 , alors il est croissant ;
si ré < 0 , alors il est décroissant ;
si ré = 0 , alors la suite sera stationnaire.

Progression géométrique

progression géométrique on appelle une suite dont chaque terme, à partir du second, est égal au précédent, multiplié par le même nombre.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

est une progression géométrique si pour tout entier naturel n condition est remplie :

b n +1 = b n · q,

où q ≠ 0 - un certain nombre.

Ainsi, le rapport du terme ultérieur de ce progression géométrique au précédent il y a un nombre constant :

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Numéro q appelé dénominateur d'une progression géométrique.

Pour fixer une progression géométrique, il suffit de préciser son premier terme et son dénominateur.

Par exemple,

si b 1 = 1, q = -3 , alors les cinq premiers termes de la suite se trouvent comme suit :

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 et dénominateur q son n -ème terme peut être trouvé par la formule :

b n = b 1 · qn -1 .

Par exemple,

trouver le septième terme d'une progression géométrique 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

alors évidemment

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

chaque membre de la progression géométrique, à partir du second, est égal à la moyenne géométrique (proportionnelle) des membres précédents et suivants.

Puisque la réciproque est également vraie, l'assertion suivante est vraie :

les nombres a, b et c sont des membres consécutifs d'une progression géométrique si et seulement si le carré de l'un d'eux est égal au produit des deux autres, c'est-à-dire que l'un des nombres est la moyenne géométrique des deux autres.

Par exemple,

montrons que la suite donnée par la formule b n= -3 2 n , est une progression géométrique. Utilisons la déclaration ci-dessus. Nous avons:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Par conséquent,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

ce qui prouve l'assertion demandée. ◄

Notez que n ème terme d'une progression géométrique peut être trouvé non seulement par b 1 , mais aussi tout terme antérieur b k , pour laquelle il suffit d'utiliser la formule

b n = b k · qn - k.

Par exemple,

pour b 5 peut être écrit

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

alors évidemment

b n 2 = b n - k· b n + k

le carré de tout membre d'une suite géométrique, à partir du second, est égal au produit des membres de cette suite équidistants de celle-ci.

De plus, pour toute progression géométrique, l'égalité est vraie :

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ je.

Par exemple,

exponentiellement

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , car

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

première n membres d'une progression géométrique avec un dénominateur q ≠ 0 calculé par la formule :

Et quand q = 1 - selon la formule

S n= n.b. 1

Notez que si nous devons additionner les termes

b k, b k +1 , . . . , b n,

alors la formule est utilisée:

S n- Sk -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - k +1	.
	1 - q

Par exemple,

exponentiellement 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Si une progression géométrique est donnée, alors les quantités b 1 , b n, q, n et S n liés par deux formules :

Par conséquent, si les valeurs de trois de ces quantités sont données, les valeurs correspondantes des deux autres quantités sont déterminées à partir de ces formules combinées dans un système de deux équations à deux inconnues.

Pour une progression géométrique avec le premier terme b 1 et dénominateur q ce qui suit a lieu propriétés de monotonie :

la progression est croissante si l'une des conditions suivantes est remplie :

b 1 > 0 et q> 1;

b 1 < 0 et 0 < q< 1;

Une progression est décroissante si l'une des conditions suivantes est remplie :

b 1 > 0 et 0 < q< 1;

b 1 < 0 et q> 1.

Si un q< 0 , alors la progression géométrique est à signes alternés : ses termes impairs sont de même signe que son premier terme, et les termes pairs sont de signe opposé. Il est clair qu'une progression géométrique alternée n'est pas monotone.

Produit du premier n les termes d'une progression géométrique peuvent être calculés par la formule :

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Par exemple,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Progression géométrique décroissante à l'infini

Progression géométrique décroissante à l'infini est appelée une progression géométrique infinie dont le module dénominateur est inférieur à 1 , C'est

|q| < 1 .

Notez qu'une progression géométrique décroissante à l'infini peut ne pas être une séquence décroissante. Cela correspond au cas

1 < q< 0 .

Avec un tel dénominateur, la séquence est en alternance de signes. Par exemple,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

La somme d'une progression géométrique infiniment décroissante nommer le nombre auquel la somme des premiers n termes de la progression avec une augmentation illimitée du nombre n . Ce nombre est toujours fini et s'exprime par la formule

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Par exemple,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Relation entre les progressions arithmétiques et géométriques

Les progressions arithmétiques et géométriques sont étroitement liées. Considérons seulement deux exemples.

un 1 , un 2 , un 3 , . . . ré , alors

b un 1 , b un 2 , b un 3 , . . . b d .

Par exemple,

1, 3, 5, . . . — progression arithmétique avec différence 2 et

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . est une progression géométrique avec un dénominateur 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . est une progression géométrique avec un dénominateur q , alors

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — progression arithmétique avec différence enregistrer unq .

Par exemple,

2, 12, 72, . . . est une progression géométrique avec un dénominateur 6 et

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — progression arithmétique avec différence lg 6 . ◄

La somme d'une progression arithmétique.

La somme d'une progression arithmétique est une chose simple. Tant dans le sens que dans la formule. Mais il y a toutes sortes de tâches sur ce sujet. De l'élémentaire à assez solide.

Voyons d'abord le sens et la formule de la somme. Et puis nous déciderons. Pour votre propre plaisir.) La signification de la somme est aussi simple que mugir. Pour trouver la somme d'une progression arithmétique, il suffit d'additionner soigneusement tous ses membres. Si ces termes sont peu nombreux, vous pouvez ajouter sans aucune formule. Mais s'il y en a beaucoup, ou beaucoup... l'addition est embêtante.) Dans ce cas, la formule sauve.

La formule de somme est simple :

Voyons quel type de lettres sont incluses dans la formule. Cela éclaircira beaucoup.

S n est la somme d'une progression arithmétique. Résultat de l'addition tout membres, avec première sur dernière. C'est important. Additionnez exactement tout membres d'affilée, sans lacunes ni sauts. Et, exactement, à partir de première. Dans des problèmes comme trouver la somme des troisième et huitième termes, ou la somme des termes cinq à vingt, l'application directe de la formule sera décevante.)

un 1 - la première membre de la progression. Tout est clair ici, c'est simple première numéro de ligne.

un- dernière membre de la progression. Le dernier numéro de la ligne. Pas un nom très familier, mais, lorsqu'il est appliqué au montant, il est très approprié. Ensuite, vous verrez par vous-même.

n est le numéro du dernier membre. Il est important de comprendre que dans la formule ce nombre coïncide avec le nombre de membres ajoutés.

Définissons le concept dernière membre un. Question de remplissage : quel type de membre dernière, si donné sans fin progression arithmétique?

Pour une réponse confiante, vous devez comprendre la signification élémentaire d'une progression arithmétique et ... lire attentivement le devoir !)

Dans la tâche de trouver la somme d'une progression arithmétique, le dernier terme apparaît toujours (directement ou indirectement), qui devrait être limité. Sinon, un montant fini et spécifique n'existe tout simplement pas. Pour la solution, peu importe le type de progression donné : fini ou infini. Peu importe comment il est donné : par une série de nombres, ou par la formule du nième membre.

Le plus important est de comprendre que la formule fonctionne du premier terme de la progression au terme avec le nombre n.m. En fait, le nom complet de la formule ressemble à ceci : la somme des n premiers termes d'une progression arithmétique. Le nombre de ces tout premiers membres, c'est-à-dire n, est déterminé uniquement par la tâche. Dans la tâche, toutes ces précieuses informations sont souvent cryptées, oui... Mais rien, dans les exemples ci-dessous nous vous dévoilerons ces secrets.)

Exemples de tâches pour la somme d'une progression arithmétique.

Principalement, informations utiles:

La principale difficulté des tâches pour la somme d'une progression arithmétique est la détermination correcte des éléments de la formule.

Les auteurs des missions cryptent ces mêmes éléments avec une imagination débordante.) L'essentiel ici est de ne pas avoir peur. Comprendre l'essence des éléments, il suffit juste de les déchiffrer. Voyons quelques exemples en détail. Commençons par une tâche basée sur un vrai GIA.

1. La progression arithmétique est donnée par la condition : a n = 2n-3,5. Trouver la somme des 10 premiers termes.

Bon travail. Facile.) Pour déterminer le montant selon la formule, que devons-nous savoir ? Premier membre un 1, dernier terme un, oui le numéro du dernier terme n.m.

Où obtenir le dernier numéro de membre n? Oui, au même endroit, dans l'état ! Il dit trouver la somme 10 premiers membres. Eh bien, quel sera le numéro dernière, dixième membre ?) Vous n'allez pas le croire, son nombre est dixième !) Par conséquent, au lieu de un nous remplacerons dans la formule un 10, mais plutôt n- Dix. Encore une fois, le nombre du dernier membre est le même que le nombre de membres.

Il reste à déterminer un 1 et un 10. Ceci est facilement calculé par la formule du nième terme, qui est donnée dans l'énoncé du problème. Vous ne savez pas comment faire ? Visitez la leçon précédente, sans cela - rien.

un 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

un 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Nous avons découvert la signification de tous les éléments de la formule pour la somme d'une progression arithmétique. Il reste à les substituer, et compter :

C'est tout ce qu'on peut en dire. Réponse : 75.

Une autre tâche basée sur le GIA. Un peu plus compliqué :

2. Soit une progression arithmétique (a n) dont la différence est de 3,7 ; un 1 \u003d 2.3. Trouver la somme des 15 premiers termes.

Nous écrivons immédiatement la formule de somme :

Cette formule nous permet de trouver la valeur de n'importe quel membre par son numéro. Nous recherchons une substitution simple :

un 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Il reste à substituer tous les éléments de la formule à la somme d'une progression arithmétique et à calculer la réponse :

Réponse : 423.

Soit dit en passant, si dans la formule de somme au lieu de un il suffit de substituer la formule du nième terme, on obtient :

Nous en donnons des semblables, nous obtenons une nouvelle formule pour la somme des membres d'une progression arithmétique :

Comme vous pouvez le voir, il n'est pas nécessaire nième terme un. Dans certaines tâches, cette formule aide beaucoup, oui ... Vous vous souvenez de cette formule. Et vous pouvez simplement le retirer au bon moment, comme ici. Après tout, la formule de la somme et la formule du nième terme doivent être rappelées de toutes les manières.)

Maintenant, la tâche sous la forme d'un court cryptage):

3. Trouvez la somme de tous les nombres positifs à deux chiffres qui sont des multiples de trois.

Comment! Pas de premier membre, pas de dernier, pas de progression du tout... Comment vivre !?

Vous devrez penser avec votre tête et retirer de la condition tous les éléments de la somme d'une progression arithmétique. Quels sont les nombres à deux chiffres - nous le savons. Ils se composent de deux nombres.) Quel nombre à deux chiffres sera première? 10, probablement.) dernière chose nombre à deux chiffres ? 99, bien sûr ! Les trois chiffres le suivront...

Multiples de trois... Hm... Ce sont des nombres qui sont divisibles par trois, ici ! Dix n'est pas divisible par trois, 11 n'est pas divisible... 12... est divisible ! Alors, quelque chose se dessine. Vous pouvez déjà écrire une série en fonction de l'état du problème :

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Cette série sera-t-elle une progression arithmétique ? Bien sûr! Chaque terme diffère du précédent strictement par trois. Si 2, ou 4, est ajouté au terme, disons, le résultat, c'est-à-dire un nouveau nombre ne sera plus divisé par 3. Vous pouvez immédiatement déterminer la différence de la progression arithmétique au tas : ré = 3. Utile!)

Ainsi, nous pouvons noter en toute sécurité certains paramètres de progression :

Quel sera le nombre n dernier membre ? Quiconque pense que 99 se trompe fatalement ... Les chiffres - ils vont toujours dans une rangée, et nos membres sautent par-dessus les trois premiers. Ils ne correspondent pas.

Il y a deux solutions ici. Une façon est pour les super travailleurs. Vous pouvez peindre la progression, toute la série de nombres et compter le nombre de termes avec votre doigt.) La deuxième façon est pour les réfléchis. Vous devez vous souvenir de la formule pour le nième terme. Si la formule est appliquée à notre problème, nous obtenons que 99 est le trentième membre de la progression. Ceux. n = 30.

Regardons la formule de la somme d'une progression arithmétique :

Nous regardons et nous réjouissons.) Nous avons retiré tout le nécessaire pour calculer le montant à partir de l'état du problème :

un 1= 12.

un 30= 99.

S n = S 30.

Ce qui reste est l'arithmétique élémentaire. Remplacez les nombres dans la formule et calculez :

Réponse : 1665

Un autre type de puzzles populaires :

4. Une progression arithmétique est donnée :

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Trouver la somme des termes du vingtième au trente-quatrième.

Nous regardons la formule de la somme et ... nous sommes contrariés.) La formule, je vous le rappelle, calcule la somme Depuis le premier membre. Et dans le problème, vous devez calculer la somme depuis le vingtième... La formule ne fonctionnera pas.

Vous pouvez, bien sûr, peindre toute la progression d'affilée et placer les membres de 20 à 34. Mais ... d'une manière ou d'une autre, cela s'avère stupide et long, n'est-ce pas?)

Il existe une solution plus élégante. Séparons notre série en deux parties. La première partie sera du premier mandat au XIXe. La seconde partie - vingt à trente-quatre. Il est clair que si l'on calcule la somme des termes de la première partie S 1-19, ajoutons-le à la somme des membres de la deuxième partie S 20-34, on obtient la somme de la progression du premier terme au trente-quatrième S 1-34. Comme ça:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Cela montre que pour trouver la somme S 20-34 peut se faire par simple soustraction

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Les deux sommes du côté droit sont considérées Depuis le premier membre, c'est-à-dire la formule de somme standard leur est tout à fait applicable. Commençons-nous?

Nous extrayons les paramètres de progression de la condition de tâche :

d = 1,5.

un 1= -21,5.

Pour calculer les sommes des 19 premiers et des 34 premiers termes, nous aurons besoin des 19e et 34e termes. On les compte selon la formule du nième terme, comme dans le problème 2 :

un 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

un 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Il ne reste rien. Soustrayez la somme de 19 termes de la somme de 34 termes :

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Réponse : 262,5

Une remarque importante ! Il existe une fonctionnalité très utile pour résoudre ce problème. Au lieu d'un calcul direct ce dont vous avez besoin (S 20-34), nous avons compté ce qui, semble-t-il, n'est pas nécessaire - S 1-19. Et puis ils ont déterminé S 20-34, en supprimant l'inutile du résultat complet. Une telle "feinte avec les oreilles" sauve souvent des énigmes diaboliques.)

Dans cette leçon, nous avons examiné des problèmes pour lesquels il suffit de comprendre le sens de la somme d'une progression arithmétique. Eh bien, vous devez connaître quelques formules.)

conseils pratiques:

Lors de la résolution d'un problème pour la somme d'une progression arithmétique, je recommande d'écrire immédiatement les deux formules principales de ce sujet.

Formule du nième membre :

Ces formules vous indiqueront immédiatement ce qu'il faut rechercher, dans quelle direction penser pour résoudre le problème. Aide.

Et maintenant les tâches pour une solution indépendante.

5. Trouvez la somme de tous les nombres à deux chiffres qui ne sont pas divisibles par trois.

Cool?) L'indice est caché dans la note du problème 4. Eh bien, le problème 3 vous aidera.

6. La progression arithmétique est donnée par la condition : a 1 =-5,5 ; un n+1 = un n +0,5. Trouver la somme des 24 premiers termes.

Insolite ?) C'est une formule récurrente. Vous pouvez lire à ce sujet dans la leçon précédente. N'ignorez pas le lien, de telles énigmes se trouvent souvent dans le GIA.

7. Vasya a économisé de l'argent pour les vacances. Autant que 4550 roubles! Et j'ai décidé de donner à la personne la plus aimée (moi-même) quelques jours de bonheur). Vivez magnifiquement sans rien vous priver. Dépensez 500 roubles le premier jour et dépensez 50 roubles de plus chaque jour suivant que le précédent ! Jusqu'à ce que l'argent soit épuisé. Combien de jours de bonheur Vasya a-t-il eu ?

Est-ce difficile ?) Une formule supplémentaire de la tâche 2 vous aidera.

Réponses (en désordre) : 7, 3240, 6.

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En étudiant l'algèbre en école d'enseignement général(9e année) L'un des sujets importants est l'étude des séquences numériques, qui comprennent des progressions - géométriques et arithmétiques. Dans cet article, nous allons considérer une progression arithmétique et des exemples avec des solutions.

Qu'est-ce qu'une progression arithmétique ?

Pour comprendre cela, il est nécessaire de donner une définition de la progression considérée, ainsi que de donner les formules de base qui seront ensuite utilisées pour résoudre les problèmes.

On sait que dans certaines progressions algébriques le 1er terme est égal à 6, et le 7ème terme est égal à 18. Il faut trouver la différence et restituer cette suite au 7ème terme.

Utilisons la formule pour déterminer le terme inconnu : a n = (n - 1) * d + a 1 . Nous y substituons les données connues de la condition, c'est-à-dire les nombres a 1 et a 7, nous avons: 18 \u003d 6 + 6 * d. A partir de cette expression, vous pouvez facilement calculer la différence : d = (18 - 6) / 6 = 2. Ainsi, la première partie du problème a été résolue.

Pour restituer une séquence jusqu'à 7 termes, il faut utiliser la définition progression algébrique, c'est-à-dire a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d et ainsi de suite. Du coup, on restaure la suite entière : a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , un 6 = 14 + 2 = 16 et 7 = 18.

Exemple #3 : faire une progression

Compliquons encore plus l'état du problème. Vous devez maintenant répondre à la question de savoir comment trouver une progression arithmétique. On peut donner l'exemple suivant : on donne deux nombres, par exemple 4 et 5. Il faut faire une progression algébrique pour que trois termes supplémentaires s'intercalent entre eux.

Avant de commencer à résoudre ce problème, il est nécessaire de comprendre quelle place les nombres donnés occuperont dans la progression future. Puisqu'il y aura trois autres termes entre eux, alors un 1 \u003d -4 et un 5 \u003d 5. Ceci étant établi, nous passons à une tâche similaire à la précédente. Encore une fois, pour le nième terme, on utilise la formule, on obtient : a 5 \u003d a 1 + 4 * d. De : d \u003d (un 5 - un 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Ici, nous n'avons pas reçu une valeur entière de la différence, mais c'est nombre rationnel, donc les formules de la progression algébrique restent les mêmes.

Ajoutons maintenant la différence trouvée à un 1 et restaurez les membres manquants de la progression. On obtient : a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d 5, qui coïncidait avec l'état du problème.

Exemple #4 : Le premier membre de la progression

Nous continuons à donner des exemples de progression arithmétique avec une solution. Dans tous les problèmes précédents, le premier nombre de la progression algébrique était connu. Considérons maintenant un problème d'un autre type : donnons deux nombres, où a 15 = 50 et a 43 = 37. Il faut trouver à partir de quel nombre commence cette suite.

Les formules utilisées jusqu'ici supposent la connaissance de a 1 et d. On ne sait rien de ces chiffres dans l'état du problème. Néanmoins, écrivons les expressions pour chaque terme sur lequel nous avons des informations : a 15 = a 1 + 14 * d et a 43 = a 1 + 42 * d. Nous avons obtenu deux équations dans lesquelles il y a 2 quantités inconnues (a 1 et d). Cela signifie que le problème se réduit à résoudre un système d'équations linéaires.

Le système spécifié est plus facile à résoudre si vous exprimez un 1 dans chaque équation, puis comparez les expressions résultantes. Première équation : a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d ; deuxième équation: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. En égalant ces expressions, nous obtenons: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, d'où la différence d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (seulement 3 décimales sont données).

Connaissant d, vous pouvez utiliser n'importe laquelle des 2 expressions ci-dessus pour un 1 . Par exemple, d'abord: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

En cas de doute sur le résultat, vous pouvez le vérifier, par exemple, déterminer le 43e membre de la progression, qui est spécifié dans la condition. Nous obtenons: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Une petite erreur est due au fait que l'arrondi au millième a été utilisé dans les calculs.

Exemple #5 : Somme

Voyons maintenant quelques exemples avec des solutions pour la somme d'une progression arithmétique.

Soit une progression numérique de la forme suivante : 1, 2, 3, 4, ...,. Comment calculer la somme de 100 de ces nombres ?

Grâce au développement de la technologie informatique, ce problème peut être résolu, c'est-à-dire additionner séquentiellement tous les nombres qui Machine à calculer fera dès que la personne appuie sur la touche Entrée. Cependant, le problème peut être résolu mentalement si vous faites attention que la série de nombres présentée est une progression algébrique et que sa différence est de 1. En appliquant la formule de la somme, nous obtenons : S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Il est curieux de noter que ce problème est appelé "Gaussien" car dans début XVIII du siècle, le célèbre Allemand, encore âgé de seulement 10 ans, a su le résoudre dans sa tête en quelques secondes. Le garçon ne connaissait pas la formule de la somme d'une progression algébrique, mais il a remarqué que si vous additionnez des paires de nombres situés aux bords de la séquence, vous obtenez toujours le même résultat, c'est-à-dire 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., et puisque ces sommes seront exactement 50 (100/2), alors pour obtenir la bonne réponse, il suffit de multiplier 50 par 101.

Exemple #6 : somme des termes de n à m

Un autre exemple typique de la somme d'une progression arithmétique est le suivant : étant donné une suite de nombres : 3, 7, 11, 15, ..., il faut trouver quelle sera la somme de ses termes de 8 à 14.

Le problème est résolu de deux manières. La première d'entre elles consiste à trouver des termes inconnus de 8 à 14, puis à les additionner séquentiellement. Comme il y a peu de termes, cette méthode n'est pas assez laborieuse. Néanmoins, il est proposé de résoudre ce problème par la deuxième méthode, qui est plus universelle.

L'idée est d'obtenir une formule pour la somme d'une progression algébrique entre les termes m et n, où n > m sont des entiers. Dans les deux cas, nous écrivons deux expressions pour la somme :

S m \u003d m * (un m + un 1) / 2.
S n \u003d n * (un n + un 1) / 2.

Puisque n > m, il est évident que la somme 2 inclut la première. La dernière conclusion signifie que si nous prenons la différence entre ces sommes et y ajoutons le terme a m (dans le cas de la différence, il est soustrait de la somme S n), alors nous obtenons la réponse nécessaire au problème. Nous avons: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + un n * n / 2 + un m * (1- m / 2). Il est nécessaire de substituer des formules pour a n et a m dans cette expression. On obtient alors : S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = une 1 * (n - m + 1) + ré * n * (n - 1) / 2 + ré * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

La formule résultante est quelque peu lourde, cependant, la somme S mn ne dépend que de n, m, a 1 et d. Dans notre cas, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. En substituant ces nombres, on obtient : S mn = 301.

Comme on peut le voir à partir des solutions ci-dessus, tous les problèmes sont basés sur la connaissance de l'expression du nième terme et de la formule de la somme de l'ensemble des premiers termes. Avant de commencer à résoudre l'un de ces problèmes, il est recommandé de lire attentivement la condition, de comprendre clairement ce que vous voulez trouver, et ensuite seulement de procéder à la solution.

Une autre astuce consiste à rechercher la simplicité, c'est-à-dire que si vous pouvez répondre à la question sans utiliser de calculs mathématiques complexes, vous devez le faire, car dans ce cas, la probabilité de faire une erreur est moindre. Par exemple, dans l'exemple d'une progression arithmétique avec la solution n ° 6, on pourrait s'arrêter à la formule S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, et diviser tâche commune en sous-problèmes séparés (dans ce cas, trouvez d'abord les termes a n et a m).

En cas de doute sur le résultat obtenu, il est recommandé de le vérifier, comme cela a été fait dans certains des exemples donnés. Comment trouver une progression arithmétique, découvert. Une fois que vous avez compris, ce n'est pas si difficile.

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Progression arithmétique

La progression arithmétique est type particulier sous-séquence. Par conséquent, avant de définir la progression arithmétique (puis géométrique), nous devons discuter brièvement notion importante suite de nombres.

Sous-séquence

Imaginez un appareil sur l'écran duquel certains chiffres s'affichent les uns après les autres. Disons 2 ; sept; 13; une; 6 ; 0 ; 3 ; : : : Un tel ensemble de nombres n'est qu'un exemple de séquence.

Définition. Séquence numérique il s'agit d'un ensemble de nombres dans lequel chaque nombre peut se voir attribuer un nombre unique (c'est-à-dire mis en correspondance avec un nombre naturel unique)1. Le nombre avec le numéro n est appelé le nième membre de la séquence.

Ainsi, dans l'exemple ci-dessus, le premier nombre a le nombre 2, qui est le premier membre de la séquence, qui peut être noté a1 ; le nombre cinq a le nombre 6 qui est le cinquième membre de la séquence, qui peut être noté a5 . En général, le nième membre d'une séquence est noté an (ou bn , cn , etc.).

Une situation très pratique est lorsque le nième membre de la séquence peut être spécifié par une formule. Par exemple, la formule an = 2n 3 spécifie la séquence : 1 ; une; 3 ; 5 ; sept; : : : La formule an = (1)n définit la suite : 1; une; une; une; : : :

Tous les ensembles de nombres ne sont pas une séquence. Ainsi, un segment n'est pas une séquence ; il contient ¾trop de numéros¿ pour être renumérotés. L'ensemble R de tous les nombres réels n'est pas non plus une suite. Ces faits sont prouvés au cours de l'analyse mathématique.

Progression arithmétique : définitions de base

Nous sommes maintenant prêts à définir une progression arithmétique.

Définition. Une progression arithmétique est une séquence dans laquelle chaque terme (à partir du second) est égal à la somme du terme précédent et d'un nombre fixe (appelé la différence de la progression arithmétique).

Par exemple, séquence 2 ; 5 ; huit; Onze; : : : est une progression arithmétique avec premier terme 2 et différence 3. Séquence 7; 2 ; 3 ; huit; : : : est une progression arithmétique avec premier terme 7 et différence 5. Séquence 3; 3 ; 3 ; : : : est une progression arithmétique à différence nulle.

Définition équivalente : Une suite an est appelée progression arithmétique si la différence an+1 an est une valeur constante (non dépendante de n).

Une progression arithmétique est dite croissante si sa différence est positive, et décroissante si sa différence est négative.

1 Et voici une définition plus concise : une suite est une fonction définie sur l'ensemble des nombres naturels. Par exemple, la suite de nombres réels est la fonction f : N ! R

Par défaut, les séquences sont considérées comme infinies, c'est-à-dire contenant un nombre infini de nombres. Mais personne ne prend la peine de considérer également les suites finies ; en fait, tout ensemble fini de nombres peut être appelé une séquence finie. Par exemple, la séquence finale 1 ; 2 ; 3 ; quatre ; 5 se compose de cinq nombres.

Formule du nième membre d'une progression arithmétique

Il est facile de comprendre qu'une progression arithmétique est entièrement déterminée par deux nombres : le premier terme et la différence. Dès lors, la question se pose : comment, connaissant le premier terme et la différence, trouver un terme arbitraire d'une suite arithmétique ?

Il n'est pas difficile d'obtenir la formule désirée pour le nième terme d'une progression arithmétique. Laissez un

progression arithmétique avec différence d. Nous avons:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::):
En particulier, nous écrivons :
a2 = a1 + d ;
a3 = a2 + ré = (a1 + ré) + ré = a1 + 2d ;
a4 = a3 + ré = (a1 + 2d) + ré = a1 + 3d ;
et maintenant il devient clair que la formule pour un est :
an = a1 + (n 1)d :

Tâche 1. En progression arithmétique 2; 5 ; huit; Onze; : : : trouver la formule du nième terme et calculer le centième terme.

La solution. D'après la formule (1) on a :

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1 :

a100 = 3 100 1 = 299 :

Propriété et signe de la progression arithmétique

propriété d'une progression arithmétique. En progression arithmétique et pour tout

En d'autres termes, chaque membre de la progression arithmétique (à partir du second) est la moyenne arithmétique des membres voisins.

	Preuve. Nous avons:
	une n 1+ une n+1		(un ré) + (un + ré)

c'est ce qu'il fallait.

Plus généralement, la progression arithmétique an satisfait l'égalité

une n = une n k+ une n+k

pour tout n > 2 et tout k naturel< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Il s'avère que la formule (2) est non seulement une condition nécessaire mais aussi une condition suffisante pour qu'une suite soit une progression arithmétique.

Signe d'une progression arithmétique. Si l'égalité (2) est vraie pour tout n > 2, alors la séquence an est une progression arithmétique.

Preuve. Réécrivons la formule (2) comme suit :

une na n 1= une n+1a n :

Cela montre que la différence an+1 an ne dépend pas de n, et cela signifie simplement que la suite an est une suite arithmétique.

La propriété et le signe d'une progression arithmétique peuvent être formulés comme une seule déclaration; pour plus de commodité, nous le ferons pour trois nombres (c'est la situation qui se produit souvent dans les problèmes).

Caractérisation d'une progression arithmétique. Trois nombres a, b, c forment une suite arithmétique si et seulement si 2b = a + c.

Problème 2. (Université d'État de Moscou, Faculté d'économie, 2007) Trois nombres 8x, 3 x2 et 4 dans l'ordre spécifié forment une progression arithmétique décroissante. Trouvez x et écrivez la différence de cette progression.

La solution. Par la propriété d'une progression arithmétique, on a :

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1 ; x=5 :

Si x = 1, alors une progression décroissante de 8, 2, 4 est obtenue avec une différence de 6. Si x = 5, alors une progression croissante de 40, 22, 4 est obtenue ; ce cas ne fonctionne pas.

Réponse : x = 1, la différence est de 6.

La somme des n premiers termes d'une progression arithmétique

La légende raconte qu'une fois, le professeur a dit aux enfants de trouver la somme des nombres de 1 à 100 et s'est assis pour lire le journal tranquillement. Cependant, en quelques minutes, un garçon a dit qu'il avait résolu le problème. C'était Carl Friedrich Gauss, 9 ans, qui deviendra plus tard l'un des plus grands mathématiciens de l'histoire.

L'idée de Little Gauss était la suivante. Laisser

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100 :

Écrivons cette somme dans l'ordre inverse :

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

et additionnez ces deux formules :

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1) :

Chaque terme entre parenthèses est égal à 101, et il y a 100 termes au total.

2S = 101 100 = 10100 ;

Nous utilisons cette idée pour dériver la formule de somme

S = a1 + a2 + : : : + une + une n n : (3)

Une modification utile de la formule (3) est obtenue en y substituant la formule pour le nième terme an = a1 + (n 1)d :

		2a1 + (n 1)d

Tâche 3. Trouver la somme de tous les nombres positifs à trois chiffres divisibles par 13.

La solution. Les nombres à trois chiffres multiples de 13 forment une progression arithmétique avec le premier terme 104 et la différence 13 ; Le nième terme de cette progression est :

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n :

Découvrons combien de membres contient notre progression. Pour cela, on résout l'inégalité :

un 6999; 91 + 13n 6999 ;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69 :

Il y a donc 69 membres dans notre progression. Selon la formule (4) nous trouvons le montant requis :

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674 : 2

Oui, oui : la progression arithmétique n'est pas un jouet pour vous :)

Eh bien, mes amis, si vous lisez ce texte, alors la preuve du plafond interne me dit que vous ne savez toujours pas ce qu'est une progression arithmétique, mais vous voulez vraiment (non, comme ceci : SOOOOO !) le savoir. Par conséquent, je ne vous tourmenterai pas avec de longues présentations et je me mettrai immédiatement au travail.

Pour commencer, quelques exemples. Considérez plusieurs ensembles de nombres :

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Quel est le point commun entre tous ces ensembles ? A première vue, rien. Mais en fait il y a quelque chose. À savoir: chaque élément suivant diffère du précédent par le même nombre.

Jugez par vous-même. Le premier ensemble n'est que des nombres consécutifs, chacun plus que le précédent. Dans le second cas, la différence entre numéros debout est déjà égal à cinq, mais cette différence est toujours constante. Dans le troisième cas, il y a des racines en général. Cependant, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, tandis que $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, c'est-à-dire auquel cas chaque élément suivant augmente simplement de $\sqrt(2)$ (et n'ayez pas peur que ce nombre soit irrationnel).

Donc : toutes ces séquences sont simplement appelées des progressions arithmétiques. Donnons une définition stricte :

Définition. Une séquence de nombres dans laquelle chaque suivant diffère du précédent exactement de la même quantité est appelée une progression arithmétique. Le montant même par lequel les nombres diffèrent s'appelle la différence de progression et est le plus souvent désigné par la lettre $d$.

Notation : $\left(((a)_(n)) \right)$ est la progression elle-même, $d$ est sa différence.

Et juste quelques remarques importantes. Premièrement, la progression n'est prise en compte que ordonné séquence de nombres : ils sont autorisés à être lus strictement dans l'ordre dans lequel ils sont écrits - et rien d'autre. Vous ne pouvez pas réorganiser ou échanger des numéros.

Deuxièmement, la séquence elle-même peut être finie ou infinie. Par exemple, l'ensemble (1 ; 2 ; 3) est évidemment une progression arithmétique finie. Mais si vous écrivez quelque chose comme (1; 2; 3; 4; ...) - c'est déjà une progression infinie. Les points de suspension après les quatre, pour ainsi dire, suggèrent que beaucoup de chiffres vont plus loin. Une infinité, par exemple. :)

Je tiens également à souligner que les progressions augmentent et diminuent. Nous en avons déjà vu de plus en plus - le même ensemble (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ...). Voici des exemples de progressions décroissantes :

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

D'accord, d'accord : le dernier exemple peut sembler trop compliqué. Mais le reste, je pense, vous comprenez. Par conséquent, nous introduisons de nouvelles définitions :

Définition. Une progression arithmétique s'appelle :

croissant si chaque élément suivant est supérieur au précédent ;

décroissant, si, au contraire, chaque élément suivant est inférieur au précédent.

De plus, il existe des séquences dites "stationnaires" - elles consistent en le même nombre répétitif. Par exemple, (3 ; 3 ; 3 ; ...).

Une seule question demeure : comment distinguer une progression croissante d'une progression décroissante ? Heureusement, tout ici ne dépend que du signe du nombre $d$, c'est-à-dire différences de progression :

Si $d \gt 0$, alors la progression est croissante ;
Si $d \lt 0$, alors la progression est évidemment décroissante ;
Enfin, il y a le cas $d=0$, auquel cas toute la progression se réduit à la séquence stationnaire mêmes numéros: (1 ; 1 ; 1 ; 1 ; ...) etc.

Essayons de calculer la différence $d$ pour les trois progressions décroissantes ci-dessus. Pour ce faire, il suffit de prendre deux éléments adjacents (par exemple, le premier et le deuxième) et de soustraire du nombre à droite, le nombre à gauche. Il ressemblera à ceci:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Comme on le voit, en tout trois cas la différence est bien négative. Et maintenant que nous avons plus ou moins compris les définitions, il est temps de comprendre comment les progressions sont décrites et quelles propriétés elles ont.

Membres de la progression et de la formule récurrente

Comme les éléments de nos séquences ne sont pas interchangeables, ils peuvent être numérotés :

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \droit$\]

Les éléments individuels de cet ensemble sont appelés membres de la progression. Ils sont ainsi indiqués à l'aide d'un numéro : le premier membre, le deuxième membre, etc.

De plus, comme nous le savons déjà, les membres voisins de la progression sont liés par la formule :

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

En bref, pour trouver le $n$ième terme de la progression, il faut connaître le $n-1$ième terme et la différence $d$. Une telle formule est appelée récurrente, car avec son aide, vous pouvez trouver n'importe quel nombre, ne connaissant que le précédent (et en fait, tous les précédents). C'est très gênant, il existe donc une formule plus délicate qui réduit tout calcul au premier terme et à la différence :

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Vous avez probablement déjà rencontré cette formule. Ils aiment le donner dans toutes sortes d'ouvrages de référence et de reshebniks. Et dans tout manuel sensé de mathématiques, c'est l'un des premiers.

Cependant, je vous suggère de pratiquer un peu.

Tâche numéro 1. Écrivez les trois premiers termes de la progression arithmétique $\left(((a)_(n)) \right)$ si $((a)_(1))=8,d=-5$.

La solution. Ainsi, nous connaissons le premier terme $((a)_(1))=8$ et la différence de progression $d=-5$. Utilisons la formule que nous venons de donner et remplaçons $n=1$, $n=2$ et $n=3$ :

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d ; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8 ; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3 ; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(aligner)\]

Réponse : (8 ; 3 ; -2)

C'est tout! Notez que notre progression est décroissante.

Bien sûr, $n=1$ n'aurait pas pu être substitué - nous connaissons déjà le premier terme. Cependant, en substituant l'unité, nous nous sommes assurés que même pour le premier terme, notre formule fonctionne. Dans d'autres cas, tout se résumait à une arithmétique banale.

Tâche numéro 2. Écrivez les trois premiers termes d'une progression arithmétique si son septième terme est −40 et son dix-septième terme est −50.

La solution. Nous écrivons la condition du problème dans les termes habituels :

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(aligner) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \droit.\]

Je mets le signe du système car ces exigences doivent être remplies simultanément. Et maintenant on remarque que si on soustrait la première équation de la deuxième équation (on a le droit de faire ça, parce qu'on a un système), on obtient ceci :

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40 ; \\ & 10d=-10 ; \\&d=-1. \\ \end(aligner)\]

Juste comme ça, on a trouvé la différence de progression ! Il reste à substituer le nombre trouvé dans l'une des équations du système. Par exemple, dans le premier :

\[\begin(matrice) ((a)_(1))+6d=-40 ;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40 ; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrice)\]

Maintenant, connaissant le premier terme et la différence, il reste à trouver les deuxième et troisième termes :

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35 ; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(aligner)\]

Prêt! Problème résolu.

Réponse : (-34 ; -35 ; -36)

Remarquez une curieuse propriété de la progression que nous avons découverte : si nous prenons les $n$ième et $m$ième termes et les soustrayons l'un de l'autre, nous obtenons la différence de la progression multipliée par le nombre $n-m$ :

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Simple mais très propriété utile, que vous devez absolument connaître - avec son aide, vous pouvez accélérer considérablement la résolution de nombreux problèmes de progression. En voici un excellent exemple :

Tâche numéro 3. Le cinquième terme de la progression arithmétique est 8,4 et son dixième terme est 14,4. Trouvez le quinzième terme de cette progression.

La solution. Puisque $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, et nous devons trouver $((a)_(15))$, nous notons ce qui suit :

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d ; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(aligner)\]

Mais par condition $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, donc $5d=6$, d'où on a :

\[\begin(aligner) & ((a)_(15))-14,4=6 ; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \end(aligner)\]

Réponse : 20.4

C'est tout! Nous n'avons pas eu besoin de composer de systèmes d'équations et de calculer le premier terme et la différence - tout a été décidé en quelques lignes seulement.

Considérons maintenant un autre type de problème - la recherche de membres négatifs et positifs de la progression. Ce n'est un secret pour personne que si la progression augmente, alors que son premier terme est négatif, alors tôt ou tard des termes positifs y apparaîtront. Et inversement : les termes d'une progression décroissante deviendront tôt ou tard négatifs.

Dans le même temps, il est loin d'être toujours possible de trouver ce moment "sur le front", en triant séquentiellement les éléments. Souvent, les problèmes sont conçus de telle manière que sans connaître les formules, les calculs prendraient plusieurs feuilles - nous nous endormirions jusqu'à ce que nous trouvions la réponse. Par conséquent, nous essaierons de résoudre ces problèmes plus rapidement.

Tâche numéro 4. Combien de termes négatifs dans une progression arithmétique -38,5 ; -35,8 ; …?

La solution. Donc, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, dont on trouve immédiatement la différence :

Notez que la différence est positive, donc la progression est croissante. Le premier terme est négatif, donc en effet à un moment donné nous tomberons sur des nombres positifs. La seule question est de savoir quand cela se produira.

Essayons de savoir : combien de temps (c'est-à-dire jusqu'à quel entier naturel $n$) la négativité des termes est conservée :

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0 ; \\ & -385+27n-27 \lt 0 ; \\ & 27n \lt 412 ; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(aligner)\]

La dernière ligne nécessite des éclaircissements. Nous savons donc que $n \lt 15\frac(7)(27)$. Par contre, seules les valeurs entières du nombre nous conviendront (en plus : $n\in \mathbb(N)$), donc le plus grand nombre autorisé est précisément $n=15$, et en aucun cas 16.

Tâche numéro 5. En progression arithmétique $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Trouver le numéro du premier terme positif de cette progression.

Ce serait exactement le même problème que le précédent, mais nous ne savons pas $((a)_(1))$. Mais les termes voisins sont connus : $((a)_(5))$ et $((a)_(6))$, on peut donc trouver facilement la différence de progression :

De plus, essayons d'exprimer le cinquième terme en fonction du premier et de la différence en utilisant la formule standard :

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d ; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d ; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3 ; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(aligner)\]

On procède maintenant par analogie avec le problème précédent. Nous découvrons à quel moment de notre séquence les nombres positifs apparaîtront :

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0 ; \\ & 3n \gt 165 ; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \end(aligner)\]

La solution entière minimale de cette inégalité est le nombre 56.

Veuillez noter que dans la dernière tâche tout a été réduit à une stricte inégalité, donc l'option $n=55$ ne nous conviendra pas.

Maintenant que nous avons appris à résoudre des problèmes simples, passons à des problèmes plus complexes. Mais d'abord, apprenons une autre propriété très utile des progressions arithmétiques, qui nous fera gagner beaucoup de temps et de cellules inégales à l'avenir. :)

Moyenne arithmétique et tirets égaux

Considérons plusieurs termes consécutifs de la progression arithmétique croissante $\left(((a)_(n)) \right)$. Essayons de les marquer sur une droite numérique :

Membres de la progression arithmétique sur la droite numérique

J'ai spécifiquement noté les membres arbitraires $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, et non aucun $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ etc. Parce que la règle, que je vais maintenant vous dire, fonctionne de la même manière pour tous les "segments".

Et la règle est très simple. Rappelons-nous la formule récursive et notons-la pour tous les membres marqués :

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d ; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d ; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d ; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d ; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d ; \\ \end(aligner)\]

Cependant, ces égalités peuvent être réécrites différemment :

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d ; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d ; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d ; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d ; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d ; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d ; \\ \end(aligner)\]

Eh bien, et alors ? Mais le fait que les termes $((a)_(n-1))$ et $((a)_(n+1))$ soient à la même distance de $((a)_(n)) $ . Et cette distance est égale à $d$. La même chose peut être dite à propos des termes $((a)_(n-2))$ et $((a)_(n+2))$ - ils sont également supprimés de $((a)_(n) )$ par la même distance égale à $2d$. Vous pouvez continuer indéfiniment, mais la photo illustre bien le sens

Les membres de la progression se trouvent à la même distance du centre

Qu'est-ce que cela signifie pour nous? Cela signifie que vous pouvez trouver $((a)_(n))$ si les nombres voisins sont connus :

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Nous en avons déduit un énoncé magnifique : chaque membre d'une progression arithmétique est égal à la moyenne arithmétique des membres voisins ! De plus, nous pouvons dévier de notre $((a)_(n))$ vers la gauche et vers la droite non pas d'un pas, mais de $k$ pas — et la formule sera toujours correcte :

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Ceux. nous pouvons facilement trouver des $((a)_(150))$ si nous connaissons $((a)_(100))$ et $((a)_(200))$, car $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. À première vue, il peut sembler que ce fait ne nous donne rien d'utile. Cependant, dans la pratique, de nombreuses tâches sont spécialement "affinées" pour l'utilisation de la moyenne arithmétique. Regarde:

Tâche numéro 6. Trouver toutes les valeurs de $x$ telles que les nombres $-6((x)^(2))$, $x+1$ et $14+4((x)^(2))$ soient des membres consécutifs de une progression arithmétique (dans un ordre spécifié).

La solution. Comme ces nombres sont membres d'une progression, la condition de moyenne arithmétique est satisfaite pour eux : l'élément central $x+1$ peut être exprimé en termes d'éléments voisins :

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(aligner)\]

Il s'est avéré classique équation quadratique. Ses racines : $x=2$ et $x=-3$ sont les réponses.

Réponse : -3 ; 2.

Tâche numéro 7. Trouvez les valeurs de $$ telles que les nombres $-1;4-3;(()^(2))+1$ forment une progression arithmétique (dans cet ordre).

La solution. Encore une fois, nous exprimons le moyen terme en termes de moyenne arithmétique des termes voisins :

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x ; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(aligner)\]

Une autre équation quadratique. Et encore deux racines : $x=6$ et $x=1$.

Réponse 1; 6.

Si, au cours de la résolution d'un problème, vous obtenez des chiffres brutaux ou si vous n'êtes pas complètement sûr de l'exactitude des réponses trouvées, il existe une merveilleuse astuce qui vous permet de vérifier : avons-nous correctement résolu le problème ?

Disons que dans le problème 6 nous avons les réponses -3 et 2. Comment pouvons-nous vérifier que ces réponses sont correctes ? Branchons-les simplement dans l'état d'origine et voyons ce qui se passe. Permettez-moi de vous rappeler que nous avons trois nombres ($-6(()^(2))$, $+1$ et $14+4(()^(2))$), qui devraient former une progression arithmétique. Remplacez $x=-3$ :

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2 ; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(aligner)\]

Nous avons obtenu les nombres -54 ; -2 ; 50 qui diffèrent de 52 est sans aucun doute une progression arithmétique. La même chose se produit pour $x=2$ :

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3 ; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(aligner)\]

Encore une progression, mais avec une différence de 27. Ainsi, le problème est résolu correctement. Ceux qui le souhaitent peuvent vérifier par eux-mêmes la deuxième tâche, mais je dirai tout de suite : tout est correct là aussi.

En général, en résolvant les dernières tâches, nous sommes tombés sur un autre fait intéressant, dont il faut aussi se souvenir :

Si trois nombres sont tels que le second est la moyenne du premier et du dernier, alors ces nombres forment une progression arithmétique.

À l'avenir, la compréhension de cet énoncé nous permettra de littéralement « construire » les progressions nécessaires en fonction de l'état du problème. Mais avant de nous engager dans une telle "construction", nous devons prêter attention à un autre fait, qui découle directement de ce qui a déjà été considéré.

Regroupement et somme d'éléments

Revenons à nouveau à la droite numérique. On y note plusieurs membres de la progression, entre lesquels, peut-être. vaut beaucoup d'autres membres:

6 éléments marqués sur la droite numérique

Essayons d'exprimer la "queue gauche" en termes de $((a)_(n))$ et $d$, et la "queue droite" en termes de $((a)_(k))$ et $ d$. C'est très simple:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d ; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d ; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d ; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(aligner)\]

Notez maintenant que les sommes suivantes sont égales :

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S ; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S \end(aligner)\]

En termes simples, si nous considérons comme départ deux éléments de la progression, qui au total sont égaux à un certain nombre $S$, puis nous commençons à partir de ces éléments dans des directions opposées (l'un vers l'autre ou vice versa pour nous éloigner), alors les sommes des éléments sur lesquels on tombera seront également égales$S$. Cela peut être mieux représenté graphiquement :

Les mêmes tirets donnent des sommes égales

Comprendre ce fait nous permettra de résoudre les problèmes fondamentalement plus haut niveau complexité que celles décrites ci-dessus. Par exemple, ceux-ci :

Tâche numéro 8. Déterminer la différence d'une progression arithmétique dans laquelle le premier terme est 66 et le produit des deuxième et douzième termes est le plus petit possible.

La solution. Écrivons tout ce que nous savons :

\[\begin(aligner) & ((a)_(1))=66; \\&d= ? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(aligner)\]

Donc, nous ne connaissons pas la différence de la progression $d$. En fait, toute la solution sera construite autour de la différence, puisque le produit $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ peut être réécrit comme suit :

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d ; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d ; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(aligner)\]

Pour ceux qui sont dans le réservoir : j'ai retiré le facteur commun 11 de la deuxième tranche. Ainsi, le produit recherché est une fonction quadratique par rapport à la variable $d$. Par conséquent, considérons la fonction $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - son graphique sera une parabole avec des branches vers le haut, car si on ouvre les parenthèses, on obtient :

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(aligner)\]

Comme vous pouvez le voir, le coefficient avec le terme le plus élevé est 11 - c'est un nombre positif, donc nous avons vraiment affaire à une parabole avec des branches vers le haut :

programme fonction quadratique- parabole
Attention : cette parabole prend sa valeur minimale à son sommet d'abscisse $((d)_(0))$. Bien sûr, on peut calculer cette abscisse selon le schéma standard (il existe une formule $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), mais il serait beaucoup plus raisonnable de notez que le sommet souhaité se trouve sur l'axe de symétrie de la parabole, donc le point $((d)_(0))$ est équidistant des racines de l'équation $f\left(d \right)=0$ :

\[\begin(aligner) & f\left(d\right)=0 ; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0 ; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(aligner)\]

C'est pourquoi je n'étais pas pressé d'ouvrir les crochets : dans la forme originale, les racines étaient très, très faciles à trouver. L'abscisse est donc égale à la moyenne arithmétique des nombres −66 et −6 :

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Qu'est-ce qui nous donne le nombre découvert ? Avec lui, le produit requis prend plus petite valeur(Au fait, nous n'avons pas calculé $((y)_(\min ))$ - nous ne sommes pas obligés de le faire). En même temps, ce nombre est la différence de la progression initiale, c'est-à-dire nous avons trouvé la réponse. :)

Réponse : -36

Tâche numéro 9. Insérez trois nombres entre les nombres $-\frac(1)(2)$ et $-\frac(1)(6)$ afin qu'avec les nombres donnés ils forment une progression arithmétique.

La solution. En fait, nous devons faire une séquence de cinq nombres, avec le premier et le dernier nombre déjà connus. Dénotons les nombres manquants par les variables $x$, $y$ et $z$ :

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Notez que le nombre $y$ est le "milieu" de notre séquence - il est équidistant des nombres $x$ et $z$, et des nombres $-\frac(1)(2)$ et $-\frac (1)( 6)$. Et si à partir des nombres $x$ et $z$ on est dans ce moment on ne peut pas obtenir $y$, alors la situation est différente avec les fins de progression. Rappelez-vous la moyenne arithmétique :

Maintenant, connaissant $y$, nous allons trouver les nombres restants. Notez que $x$ se situe entre $-\frac(1)(2)$ et $y=-\frac(1)(3)$ vient d'être trouvé. C'est pourquoi

En arguant de la même manière, nous trouvons le nombre restant:

Prêt! Nous avons trouvé les trois numéros. Inscrivons-les dans la réponse dans l'ordre dans lequel ils doivent être insérés entre les chiffres d'origine.

Réponse : $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Tâche numéro 10. Entre les nombres 2 et 42, insérez plusieurs nombres qui, avec les nombres donnés, forment une progression arithmétique, si l'on sait que la somme du premier, du deuxième et du dernier des nombres insérés est 56.

La solution. Encore plus tâche difficile, qui, cependant, est résolu de la même manière que les précédents - par la moyenne arithmétique. Le problème est que nous ne savons pas exactement combien de nombres insérer. Par conséquent, pour être précis, nous supposons qu'après l'insertion, il y aura exactement $n$ nombres, et le premier d'entre eux est 2 et le dernier est 42. Dans ce cas, la progression arithmétique souhaitée peut être représentée par :

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Notez cependant que les nombres $((a)_(2))$ et $((a)_(n-1))$ sont obtenus à partir des nombres 2 et 42 se tenant aux bords d'un pas l'un vers l'autre , c'est-à-dire . au centre de la séquence. Et cela signifie que

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Mais alors l'expression ci-dessus peut être réécrite comme ceci :

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56 ; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56 ; \\ & 44+((a)_(3))=56 ; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(aligner)\]

Connaissant $((a)_(3))$ et $((a)_(1))$, on peut facilement trouver la différence de progression :

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10 ; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d ; \\ & 2d=10\Flèche droite d=5. \\ \end(aligner)\]

Il ne reste plus qu'à trouver les membres restants :

\[\begin(aligner) & ((a)_(1))=2 ; \\ & ((a)_(2))=2+5=7 ; \\ & ((a)_(3))=12 ; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17 ; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22 ; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27 ; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32 ; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37 ; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42 ; \\ \end(aligner)\]

Ainsi, déjà à la 9ème étape, nous arriverons à l'extrémité gauche de la séquence - le nombre 42. Au total, seuls 7 chiffres devaient être insérés : 7 ; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Réponse : 7 ; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Tâches textuelles avec progressions

En conclusion, j'aimerais considérer quelques tâches simples. Eh bien, aussi simples : pour la plupart des élèves qui étudient les mathématiques à l'école et n'ont pas lu ce qui est écrit ci-dessus, ces tâches peuvent sembler être un geste. Néanmoins, ce sont précisément de telles tâches qui se présentent dans l'OGE et l'USE en mathématiques, je vous recommande donc de vous familiariser avec elles.

Tâche numéro 11. L'équipe a produit 62 pièces en janvier et, chaque mois suivant, elle a produit 14 pièces de plus que le mois précédent. Combien de pièces la brigade a-t-elle produites en novembre ?

La solution. Evidemment, le nombre de pièces, peintes par mois, fera l'objet d'une progression arithmétique croissante. Et:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Novembre est le 11e mois de l'année, nous devons donc trouver $((a)_(11))$ :

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Ainsi, 202 pièces seront fabriquées en novembre.

Tâche numéro 12. L'atelier de reliure a relié 216 livres en janvier, et chaque mois il a relié 4 livres de plus que le mois précédent. Combien de livres l'atelier a-t-il reliés en décembre ?

La solution. Tous les mêmes:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Décembre est le 12e dernier mois de l'année, nous recherchons donc $((a)_(12))$ :

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

C'est la réponse - 260 livres seront reliés en décembre.

Eh bien, si vous avez lu jusqu'ici, je m'empresse de vous féliciter: vous avez terminé avec succès le «cours de jeune combattant» dans les progressions arithmétiques. Nous pouvons passer en toute sécurité à la leçon suivante, où nous étudierons la formule de somme de progression, ainsi que les conséquences importantes et très utiles qui en découlent.

C'est ce qu'on appelle une progression arithmétique. Progression arithmétique

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Qu'est-ce qu'une progression arithmétique ?

Exemple #3 : faire une progression

Exemple #4 : Le premier membre de la progression

Exemple #5 : Somme

Exemple #6 : somme des termes de n à m

Membres de la progression et de la formule récurrente

Moyenne arithmétique et tirets égaux

Regroupement et somme d'éléments

Tâches textuelles avec progressions