Trouver l'angle entre deux droites du plan. Les problèmes les plus simples avec une ligne droite dans un avion

Oh-oh-oh-oh-oh ... eh bien, c'est minuscule, comme si vous lisiez la phrase pour vous-même =) Cependant, la relaxation aidera, d'autant plus que j'ai acheté des accessoires appropriés aujourd'hui. Par conséquent, passons à la première section, j'espère qu'à la fin de l'article, je garderai une humeur joyeuse.

Disposition mutuelle de deux lignes droites

Le cas où la salle chante en chœur. Deux lignes peuvent:

1) correspondre ;

2) être parallèle : ;

3) ou se croisent en un seul point : .

Aide pour les nuls : s'il vous plaît rappelez-vous signe mathématique intersection, cela se produira très souvent. L'entrée signifie que la ligne coupe la ligne au point.

Comment déterminer la position relative de deux lignes ?

Commençons par le premier cas :

Deux droites coïncident si et seulement si leurs coefficients respectifs sont proportionnels, c'est-à-dire qu'il existe un nombre "lambda" tel que les égalités

Considérons des droites et composons trois équations à partir des coefficients correspondants : . De chaque équation, il résulte que, par conséquent, ces lignes coïncident.

En effet, si tous les coefficients de l'équation multiplier par -1 (changer de signe), et tous les coefficients de l'équation réduire de 2, on obtient la même équation : .

Le deuxième cas où les droites sont parallèles :

Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs coefficients aux variables sont proportionnels : , mais.

Prenons l'exemple de deux lignes droites. On vérifie la proportionnalité des coefficients correspondants pour les variables :

Cependant, il est clair que.

Et le troisième cas, lorsque les lignes se croisent :

Deux droites se coupent si et seulement si leurs coefficients des variables ne sont PAS proportionnels, c'est-à-dire qu'il n'y a PAS une telle valeur de "lambda" que les égalités soient remplies

Ainsi, pour les droites nous allons composer un système :

De la première équation, il s'ensuit que , et de la seconde équation : , d'où, le système est incohérent(pas de solutions). Ainsi, les coefficients aux variables ne sont pas proportionnels.

Conclusion : les lignes se croisent

Dans les problèmes pratiques, le schéma de solution que nous venons de considérer peut être utilisé. Soit dit en passant, il est très similaire à l'algorithme de vérification de la colinéarité des vecteurs, que nous avons examiné dans la leçon. Le concept de (non) dépendance linéaire des vecteurs. Base vectorielle. Mais il existe un package plus civilisé :

Exemple 1

Découvrez la position relative des lignes :

La solution basée sur l'étude des vecteurs directeurs des droites :

a) À partir des équations, nous trouvons les vecteurs directeurs des lignes : .

, donc les vecteurs ne sont pas colinéaires et les lignes se coupent.

Au cas où, je mettrai une pierre avec des pointeurs au carrefour:

Les autres sautent par-dessus la pierre et suivent, directement vers Kashchei l'Immortel =)

b) Trouvez les vecteurs directeurs des droites :

Les lignes ont le même vecteur de direction, ce qui signifie qu'elles sont soit parallèles, soit identiques. Ici, le déterminant n'est pas nécessaire.

Évidemment, les coefficients des inconnues sont proportionnels, tandis que .

Voyons si l'égalité est vraie :

De cette façon,

c) Trouvez les vecteurs directeurs des droites :

Calculons le déterminant, composé des coordonnées de ces vecteurs :
, par conséquent, les vecteurs directeurs sont colinéaires. Les lignes sont parallèles ou coïncident.

Le facteur de proportionnalité "lambda" est facile à voir directement à partir du rapport des vecteurs de direction colinéaires. Cependant, il peut également être trouvé à travers les coefficients des équations elles-mêmes : .

Voyons maintenant si l'égalité est vraie. Les deux termes libres sont nuls, donc :

La valeur résultante satisfait cette équation(il convient à n'importe quel nombre en général).

Ainsi, les lignes coïncident.

Réponse:

Très bientôt, vous apprendrez (ou même avez déjà appris) à résoudre verbalement le problème considéré littéralement en quelques secondes. À cet égard, je ne vois aucune raison d'offrir quoi que ce soit pour solution indépendante, il vaut mieux poser une autre brique importante dans la fondation géométrique :

Comment tracer une ligne parallèle à une ligne donnée ?

Pour l'ignorance de cela la tâche la plus simple punit sévèrement le Rossignol le Voleur.

Exemple 2

La droite est donnée par l'équation . Écrivez une équation pour une droite parallèle qui passe par le point.

La solution: Indiquez la ligne inconnue par la lettre . Que dit la condition à ce sujet ? La droite passe par le point. Et si les lignes sont parallèles, alors il est évident que le vecteur directeur de la ligne "ce" convient également pour construire la ligne "de".

Nous retirons le vecteur de direction de l'équation :

Réponse:

La géométrie de l'exemple semble simple :

La vérification analytique comprend les étapes suivantes :

1) On vérifie que les droites ont le même vecteur directeur (si l'équation de la droite n'est pas correctement simplifiée, alors les vecteurs seront colinéaires).

2) Vérifiez si le point satisfait l'équation résultante.

La vérification analytique dans la plupart des cas est facile à effectuer verbalement. Regardez les deux équations et beaucoup d'entre vous comprendront rapidement comment les lignes sont parallèles sans aucun dessin.

Les exemples d'auto-résolution aujourd'hui seront créatifs. Parce que vous devez encore rivaliser avec Baba Yaga, et elle, vous savez, est une amoureuse de toutes sortes d'énigmes.

Exemple 3

Ecrire une équation pour une droite passant par un point parallèle à la droite si

Il existe une manière rationnelle et pas très rationnelle de résoudre. Plus coupe courte- à la fin de la leçon.

Nous avons fait un peu de travail avec des lignes parallèles et nous y reviendrons plus tard. Le cas des lignes coïncidentes n'a que peu d'intérêt, considérons donc un problème que vous connaissez bien du programme scolaire :

Comment trouver le point d'intersection de deux droites ?

Si droit se croisent au point , alors ses coordonnées sont la solution systèmes d'équations linéaires

Comment trouver le point d'intersection des lignes? Résolvez le système.

Voilà pour vous signification géométrique du système de deux équations linéaires avec deux inconnues sont deux droites qui se croisent (le plus souvent) sur un plan.

Exemple 4

Trouver le point d'intersection des lignes

La solution: Il existe deux façons de résoudre - graphique et analytique.

La manière graphique consiste simplement à tracer les lignes données et à trouver le point d'intersection directement à partir du dessin :

Voici notre propos : . Pour vérifier, vous devez substituer ses coordonnées dans chaque équation d'une ligne droite, elles doivent correspondre à la fois ici et là. En d'autres termes, les coordonnées d'un point sont la solution du système . En fait, nous avons considéré une manière graphique de résoudre systèmes d'équations linéaires avec deux équations, deux inconnues.

La méthode graphique, bien sûr, n'est pas mauvaise, mais il y a des inconvénients notables. Non, le fait n'est pas que les élèves de septième année décident de cette façon, le fait est qu'il faudra du temps pour faire un dessin correct et EXACT. De plus, certaines lignes ne sont pas si faciles à construire et le point d'intersection lui-même peut se trouver quelque part dans le trentième royaume en dehors de la feuille de cahier.

Par conséquent, il est plus opportun de rechercher le point d'intersection par la méthode analytique. Résolvons le système :

Pour résoudre le système, la méthode d'addition terme à terme des équations a été utilisée. Pour développer les compétences pertinentes, visitez la leçon Comment résoudre un système d'équations ?

Réponse:

La vérification est triviale - les coordonnées du point d'intersection doivent satisfaire chaque équation du système.

Exemple 5

Trouvez le point d'intersection des lignes si elles se croisent.

Ceci est un exemple à faire soi-même. La tâche peut être commodément divisée en plusieurs étapes. L'analyse de la condition suggère qu'il est nécessaire:
1) Ecrire l'équation d'une droite.
2) Ecrire l'équation d'une droite.
3) Découvrez la position relative des lignes.
4) Si les lignes se croisent, trouvez le point d'intersection.

Le développement d'un algorithme d'action est typique de nombreux problèmes géométriques, et je m'y attarderai à plusieurs reprises.

Solution complète et la réponse à la fin de la leçon :

Une paire de chaussures n'a pas encore été usée, car nous sommes arrivés à la deuxième partie de la leçon :

Les lignes perpendiculaire. La distance d'un point à une ligne.
Angle entre les lignes

Commençons par un exemple typique et très tâche importante. Dans la première partie, nous avons appris à construire une ligne droite parallèle à celle donnée, et maintenant la hutte sur les cuisses de poulet tournera à 90 degrés :

Comment tracer une ligne perpendiculaire à une ligne donnée ?

Exemple 6

La droite est donnée par l'équation . Ecrire l'équation d'une droite perpendiculaire passant par un point.

La solution: On sait par hypothèse que . Ce serait bien de trouver le vecteur directeur de la droite. Comme les droites sont perpendiculaires, l'astuce est simple :

De l'équation on « enlève » le vecteur normal : , qui sera le vecteur directeur de la droite.

On compose l'équation d'une droite par un point et un vecteur directeur :

Réponse:

Déplions le croquis géométrique :

Hmmm... Ciel orange, mer orange, chameau orange.

Vérification analytique de la solution :

1) Extraire les vecteurs directeurs des équations et avec l'aide produit scalaire de vecteurs on en déduit que les droites sont bien perpendiculaires : .

Au fait, vous pouvez utiliser des vecteurs normaux, c'est encore plus simple.

2) Vérifiez si le point satisfait l'équation résultante .

La vérification, encore une fois, est facile à effectuer verbalement.

Exemple 7

Trouver le point d'intersection des droites perpendiculaires, si l'équation est connue et point.

Ceci est un exemple à faire soi-même. Il y a plusieurs actions dans la tâche, il est donc pratique d'organiser la solution point par point.

Notre passionnant voyage continue :

Distance d'un point à une ligne

Devant nous se trouve une bande rectiligne de la rivière et notre tâche est de l'atteindre par le plus court chemin. Il n'y a pas d'obstacles et l'itinéraire le plus optimal sera le mouvement le long de la perpendiculaire. Autrement dit, la distance d'un point à une ligne est la longueur du segment perpendiculaire.

La distance en géométrie est traditionnellement désignée par la lettre grecque « ro », par exemple : - la distance du point « em » à la droite « de ».

Distance d'un point à une ligne s'exprime par la formule

Exemple 8

Trouver la distance d'un point à une droite

La solution : tout ce dont vous avez besoin est de substituer soigneusement les nombres dans la formule et de faire les calculs :

Réponse:

Exécutons le dessin :

La distance trouvée du point à la ligne est exactement la longueur du segment rouge. Si vous faites un dessin sur du papier quadrillé à l'échelle de 1 unité. \u003d 1 cm (2 cellules), alors la distance peut être mesurée avec une règle ordinaire.

Considérons une autre tâche selon le même dessin :

La tâche consiste à trouver les coordonnées du point , qui est symétrique au point par rapport à la ligne . Je propose d'effectuer les actions par vous-même, cependant, je vais décrire l'algorithme de solution avec des résultats intermédiaires :

1) Trouver une droite perpendiculaire à une droite.

2) Trouvez le point d'intersection des lignes : .

Ces deux actions sont décrites en détail dans cette leçon.

3) Le point est le milieu du segment. Nous connaissons les coordonnées du milieu et de l'une des extrémités. Par formules pour les coordonnées du milieu du segment trouver .

Il ne sera pas superflu de vérifier que la distance est également égale à 2,2 unités.

Des difficultés ici peuvent survenir dans les calculs, mais dans la tour, une microcalculatrice aide beaucoup, vous permettant de compter fractions communes. J'ai conseillé plusieurs fois et je recommanderai à nouveau.

Comment trouver la distance entre deux droites parallèles ?

Exemple 9

Trouver la distance entre deux droites parallèles

Ceci est un autre exemple de solution indépendante. Un petit indice : il existe une infinité de façons de résoudre. Débriefing à la fin de la leçon, mais mieux vaut essayer de deviner par vous-même, je pense que vous avez bien réussi à disperser votre ingéniosité.

Angle entre deux lignes

Quel que soit le coin, puis le jambage :


En géométrie, l'angle entre deux lignes droites est considéré comme le PLUS PETIT angle, d'où il s'ensuit automatiquement qu'il ne peut pas être obtus. Dans la figure, l'angle indiqué par l'arc rouge n'est pas considéré comme l'angle entre les lignes qui se croisent. Et son voisin "vert" ou orienté à l'opposé coin cramoisi.

Si les lignes sont perpendiculaires, alors n'importe lequel des 4 angles peut être considéré comme l'angle entre eux.

Comment les angles sont-ils différents? Orientation. Premièrement, la direction de "défilement" du coin est fondamentalement importante. Deuxièmement, un angle orienté négativement est écrit avec un signe moins, par exemple, si .

Pourquoi ai-je dit cela ? Il semble que vous puissiez vous débrouiller avec le concept habituel d'angle. Le fait est que dans les formules par lesquelles nous trouverons les angles, un résultat négatif peut facilement être obtenu, et cela ne devrait pas vous surprendre. Un angle avec un signe moins n'est pas pire et a une signification géométrique très spécifique. Dans le dessin pour un angle négatif, il est impératif d'indiquer son orientation (sens horaire) par une flèche.

Comment trouver l'angle entre deux droites ? Il existe deux formules de travail :

Exemple 10

Trouver l'angle entre les lignes

La solution et Première méthode

Considérez deux lignes donné par des équations dans vue générale:

Si droit pas perpendiculaire, alors orienté l'angle entre eux peut être calculé à l'aide de la formule :

Portons une attention particulière au dénominateur - c'est exactement produit scalaire vecteurs directeurs des droites :

Si , alors le dénominateur de la formule s'annule, et les vecteurs seront orthogonaux et les lignes seront perpendiculaires. C'est pourquoi une réserve a été émise sur la non-perpendicularité des lignes dans la formulation.

Sur la base de ce qui précède, la solution est commodément formalisée en deux étapes :

1) Calculer produit scalaire vecteurs directeurs des droites :
donc les lignes ne sont pas perpendiculaires.

2) On trouve l'angle entre les droites par la formule :

En utilisant fonction inverse facile à trouver le coin lui-même. Dans ce cas, nous utilisons l'impair de l'arc tangent (voir Fig. Graphiques et propriétés des fonctions élémentaires):

Réponse:

Dans la réponse, indiquez valeur exacte, ainsi qu'une valeur approximative (de préférence en degrés et en radians) calculée à l'aide d'une calculatrice.

Eh bien, moins, donc moins, ça va. Voici une illustration géométrique :

Il n'est pas surprenant que l'angle se soit avéré être d'orientation négative, car dans l'état du problème, le premier nombre est une ligne droite et la «torsion» de l'angle a commencé précisément à partir de celle-ci.

Si vous voulez vraiment obtenir un angle positif, vous devez échanger les lignes droites, c'est-à-dire prendre les coefficients de la deuxième équation , et prenez les coefficients de la première équation . En bref, vous devez commencer par un direct .

Avec l'aide de ce calculateur en ligne trouver l'angle entre les lignes. donné solution détaillée avec des explications. Pour calculer l'angle entre les lignes, définissez la dimension (2-si une ligne droite est considérée dans un plan, 3- si une ligne droite est considérée dans l'espace), entrez les éléments de l'équation dans les cellules et cliquez sur le " bouton Résoudre". Voir la partie théorique ci-dessous.

×

Avertissement

Effacer toutes les cellules ?

Fermer Effacer

Instruction de saisie de données. Les nombres sont saisis sous forme de nombres entiers (exemples : 487, 5, -7623, etc.), de nombres décimaux (par exemple, 67, 102,54, etc.) ou de fractions. La fraction doit être saisie sous la forme a/b, où a et b (b>0) sont des nombres entiers ou décimaux. Exemples 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, etc.

1. Angle entre les lignes d'un plan

Les droites sont données par les équations canoniques

1.1. Déterminer l'angle entre les lignes

Laissez les lignes dans l'espace à deux dimensions L 1 et L

Ainsi, à partir de la formule (1.4), on peut trouver l'angle entre les lignes L 1 et L 2. Comme on peut le voir sur la Fig.1, les lignes qui se croisent forment des angles adjacents φ et φ une . Si l'angle trouvé est supérieur à 90°, alors vous pouvez trouver l'angle minimum entre les lignes L 1 et L 2: φ 1 =180-φ .

De la formule (1.4) on peut déduire les conditions de parallélisme et de perpendicularité de deux droites.

Exemple 1. Déterminer l'angle entre les lignes

Simplifions et résolvons :

1.2. État des lignes parallèles

Laisser φ =0. Alors cosφ=1. Dans ce cas, l'expression (1.4) prendra la forme suivante :

,

,

Exemple 2. Déterminer si les droites sont parallèles

L'égalité (1.9) est satisfaite, donc les droites (1.10) et (1.11) sont parallèles.

Réponse. Les droites (1.10) et (1.11) sont parallèles.

1.3. La condition de perpendicularité des lignes

Laisser φ =90°. Alors cosφ=0. Dans ce cas, l'expression (1.4) prendra la forme suivante :

Exemple 3. Déterminer si les lignes sont perpendiculaires

La condition (1.13) est satisfaite, donc les droites (1.14) et (1.15) sont perpendiculaires.

Réponse. Les droites (1.14) et (1.15) sont perpendiculaires.

Les droites sont données par les équations générales

1.4. Déterminer l'angle entre les lignes

Soit deux lignes L 1 et L 2 sont donnés par des équations générales

A partir de la définition du produit scalaire de deux vecteurs, on a :

Exemple 4. Trouver l'angle entre les lignes

Substitution de valeurs UN 1 , B 1 , UN 2 , B 2 dans (1.23), on obtient :

Cet angle est supérieur à 90°. Trouvez l'angle minimum entre les lignes. Pour ce faire, soustrayez cet angle de 180 :

D'autre part, la condition des droites parallèles L 1 et L 2 est équivalent à la condition des vecteurs colinéaires n 1 et n 2 et peut être représenté comme suit :

L'égalité (1.24) est satisfaite, donc les droites (1.26) et (1.27) sont parallèles.

Réponse. Les droites (1.26) et (1.27) sont parallèles.

1.6. La condition de perpendicularité des lignes

La condition de perpendicularité des lignes L 1 et L 2 peut être extrait de la formule (1.20) en remplaçant parce que(φ )=0. Alors le produit scalaire ( n 1 ,n 2)=0. Où

L'égalité (1.28) est satisfaite, donc les droites (1.29) et (1.30) sont perpendiculaires.

Réponse. Les droites (1.29) et (1.30) sont perpendiculaires.

2. Angle entre les lignes dans l'espace

2.1. Déterminer l'angle entre les lignes

Laisse les lignes dans l'espace L 1 et L 2 sont donnés par les équations canoniques

où | q 1 | et | q 2 | modules de vecteur de direction q 1 et q 2 respectivement, φ -angle entre les vecteurs q 1 et q 2 .

De l'expression (2.3) on obtient :

.

Simplifions et résolvons :

.

Trouvons le coin φ

un. Soit deux droites, ces droites, comme il a été indiqué au chapitre 1, forment divers angles positifs et négatifs, qui peuvent être soit aigus, soit obtus. Connaissant l'un de ces angles, on peut facilement en trouver un autre.

Soit dit en passant, pour tous ces angles, la valeur numérique de la tangente est la même, la différence ne peut être que dans le signe

Équations de lignes. Les nombres sont les projections des vecteurs directeurs des première et deuxième droites, l'angle entre ces vecteurs est égal à l'un des angles formés par les droites. Par conséquent, le problème se réduit à déterminer l'angle entre les vecteurs, nous obtenons

Pour simplifier, on peut s'entendre sur un angle entre deux droites pour comprendre un angle aigu positif (comme, par exemple, sur la Fig. 53).

Alors la tangente de cet angle sera toujours positive. Ainsi, si un signe moins est obtenu du côté droit de la formule (1), alors nous devons le rejeter, c'est-à-dire ne conserver que la valeur absolue.

Exemple. Déterminer l'angle entre les lignes

Par la formule (1) nous avons

Avec. S'il est indiqué lequel des côtés de l'angle est son début et lequel est sa fin, alors, en comptant toujours la direction de l'angle dans le sens antihoraire, nous pouvons extraire quelque chose de plus des formules (1). Comme il est facile de voir sur la Fig. 53 le signe obtenu du côté droit de la formule (1) indiquera lequel - aigu ou obtus - l'angle forme la seconde ligne avec la première.

(En effet, sur la Fig. 53, nous voyons que l'angle entre les premier et deuxième vecteurs de direction est soit égal à l'angle souhaité entre les lignes, soit en diffère de ± 180 °.)

ré. Si les droites sont parallèles, alors leurs vecteurs directeurs sont également parallèles. En appliquant la condition de parallélisme de deux vecteurs, on obtient !

C'est une condition nécessaire et suffisante pour que deux droites soient parallèles.

Exemple. Direct

sont parallèles car

e. Si les droites sont perpendiculaires, alors leurs vecteurs directeurs sont également perpendiculaires. En appliquant la condition de perpendicularité de deux vecteurs, on obtient la condition de perpendicularité de deux droites, à savoir

Exemple. Direct

perpendiculaire parce que

En relation avec les conditions de parallélisme et de perpendicularité, nous allons résoudre les deux problèmes suivants.

F. Tracer une droite parallèle à une droite donnée passant par un point

La décision est prise comme ça. Puisque la ligne souhaitée est parallèle à celle donnée, alors pour son vecteur directeur nous pouvons prendre le même que celui de la ligne donnée, c'est-à-dire un vecteur avec des projections A et B. Et alors l'équation de la ligne souhaitée s'écrira sous la forme (§ 1)

Exemple. Équation d'une droite passant par un point (1; 3) parallèle à une droite

sera le prochain !

g. Tracer une ligne passant par un point perpendiculaire à la ligne donnée

Ici, il ne convient plus de prendre un vecteur de projections A et comme vecteur directeur, mais il faut gagner un vecteur perpendiculaire à celui-ci. Les projections de ce vecteur doivent donc être choisies selon la condition que les deux vecteurs soient perpendiculaires, c'est-à-dire selon la condition

Cette condition peut être remplie d'une infinité de façons, puisqu'il y a ici une équation à deux inconnues, mais le plus simple est de la prendre, alors l'équation de la droite recherchée s'écrira sous la forme

Exemple. Équation d'une droite passant par un point (-7; 2) dans une droite perpendiculaire

sera la suivante (selon la seconde formule) !

h. Dans le cas où les droites sont données par des équations de la forme

Définition. Si deux droites sont données y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , alors angle vif entre ces lignes sera défini comme

Deux droites sont parallèles si k 1 = k 2 . Deux droites sont perpendiculaires si k 1 = -1/ k 2 .

Théorème. Les droites Ax + Vy + C \u003d 0 et A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sont parallèles lorsque les coefficients A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB sont proportionnels. Si aussi С 1 = λС, alors les droites coïncident. Les coordonnées du point d'intersection de deux droites sont trouvées comme solution du système d'équations de ces droites.

Équation d'une droite passant par un point donné

Perpendiculaire à cette ligne

Définition. La ligne passant par le point M 1 (x 1, y 1) et perpendiculaire à la ligne y \u003d kx + b est représentée par l'équation :

Distance d'un point à une ligne

Théorème. Si un point M(x 0, y 0) est donné, alors la distance à la ligne Ax + Vy + C \u003d 0 est définie comme

.

Preuve. Soit le point M 1 (x 1, y 1) la base de la perpendiculaire tombée du point M à la droite donnée. Alors la distance entre les points M et M 1 :

(1)

Les coordonnées x 1 et y 1 peuvent être trouvées comme solution du système d'équations :

La deuxième équation du système est l'équation d'une droite passant par point donné M 0 est perpendiculaire à une droite donnée. Si nous transformons la première équation du système sous la forme :

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Par 0 + C = 0,

puis, en résolvant, on obtient :

En remplaçant ces expressions dans l'équation (1), on trouve :

Le théorème a été démontré.

Exemple. Déterminez l'angle entre les lignes : y = -3 x + 7 ; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2 ; tgφ = ; φ= p /4.

Exemple. Montrer que les droites 3x - 5y + 7 = 0 et 10x + 6y - 3 = 0 sont perpendiculaires.

La solution. Nous trouvons: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, donc les lignes sont perpendiculaires.

Exemple. Les sommets du triangle A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) sont donnés. Trouvez l'équation de la hauteur tirée du sommet C.

La solution. On trouve l'équation du côté AB : ; 4 x = 6 y - 6 ;

2x – 3y + 3 = 0 ;

L'équation de hauteur souhaitée est : Ax + By + C = 0 ou y = kx + b. k = . Alors y = . Car la hauteur passe par le point C, alors ses coordonnées vérifient cette équation : d'où b = 17. Total : .

Réponse : 3x + 2a - 34 = 0.

Équation d'une droite passant par un point donné dans cette direction. Équation d'une droite passant par deux points donnés. Angle entre deux lignes. Condition de parallélisme et de perpendicularité de deux droites. Détermination du point d'intersection de deux lignes

1. Équation d'une droite passant par un point donné UN(X 1 , y 1) dans une direction donnée, déterminée par la pente k,

y - y 1 = k(X - X 1). (1)

Cette équation définit un faisceau de droites passant par un point UN(X 1 , y 1), appelé centre du faisceau.

2. Équation d'une droite passant par deux points : UN(X 1 , y 1) et B(X 2 , y 2) s'écrit ainsi :

La pente d'une droite passant par deux points donnés est déterminée par la formule

3. Angle entre droites UN et B est l'angle de rotation de la première droite UN autour du point d'intersection de ces lignes dans le sens antihoraire jusqu'à ce qu'il coïncide avec la deuxième ligne B. Si deux droites sont données par des équations de pente

y = k 1 X + B 1 ,

y = k 2 X + B 2 , (4)

alors l'angle entre eux est déterminé par la formule

Il convient de noter qu'au numérateur de la fraction, la pente de la première droite est soustraite de la pente de la deuxième droite.

Si les équations d'une droite sont données sous forme générale

UN 1 X + B 1 y + C 1 = 0,

UN 2 X + B 2 y + C 2 = 0, (6)

l'angle entre eux est déterminé par la formule

4. Conditions de parallélisme de deux lignes :

a) Si les droites sont données par les équations (4) avec une pente, alors la condition nécessaire et suffisante de leur parallélisme est l'égalité de leurs pentes :

k 1 = k 2 . (8)

b) Pour le cas où les droites sont données par des équations sous forme générale (6), la condition nécessaire et suffisante pour leur parallélisme est que les coefficients aux coordonnées courantes correspondantes dans leurs équations soient proportionnels, c'est-à-dire

5. Conditions de perpendicularité de deux lignes :

a) Dans le cas où les droites sont données par les équations (4) avec une pente, la condition nécessaire et suffisante de leur perpendicularité est qu'elles facteurs de pente sont de grandeur réciproque et de signe opposé, c'est-à-dire

Cette condition peut aussi s'écrire sous la forme

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Si les équations des droites sont données sous la forme générale (6), alors la condition de leur perpendicularité (nécessaire et suffisante) est de vérifier l'égalité

UN 1 UN 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Les coordonnées du point d'intersection de deux droites sont trouvées en résolvant le système d'équations (6). Les droites (6) se coupent si et seulement si

1. Ecrire les équations des droites passant par le point M, dont l'une est parallèle et l'autre perpendiculaire à la droite donnée l.