Image de signes mathématiques. Signes et symboles mathématiques
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Le cours utilise langage géométrique, composé de notations et de symboles adoptés dans le cours de mathématiques (notamment dans le nouveau cours de géométrie au lycée).
Toute la variété des désignations et des symboles, ainsi que les liens entre eux, peuvent être divisés en deux groupes :
groupe I - désignations de figures géométriques et relations entre elles;
les désignations du groupe II des opérations logiques, constituant la base syntaxique du langage géométrique.
Ce qui suit est liste complète symboles mathématiques utilisés dans ce cours. Attention particulière est attribué aux symboles utilisés pour désigner les projections de formes géométriques.
Groupe I
SYMBOLES DÉSIGNÉS FIGURES GÉOMÉTRIQUES ET RELATIONS ENTRE ELLES
A. Désignation des formes géométriques
1. La figure géométrique est notée - F.
2. Les points sont indiqués majuscules Alphabet latin ou chiffres arabes :
A, B, C, D, ... , L, M, N, ...
1,2,3,4,...,12,13,14,...
3. Les lignes arbitrairement situées par rapport aux plans de projection sont indiquées par des lettres minuscules de l'alphabet latin :
a, b, c, d, ... , l, m, n, ...
Les lignes de niveau sont indiquées : h - horizontales ; f- frontale.
La notation suivante est également utilisée pour les lignes droites :
(AB) - une ligne droite passant par les points A et B ;
[AB) - un rayon avec le début au point A ;
[AB] - un segment de droite délimité par les points A et B.
4. Les surfaces sont désignées par des lettres minuscules de l'alphabet grec :
α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...
Pour souligner la façon dont la surface est définie, vous devez spécifier les éléments géométriques par lesquels elle est définie, par exemple :
α(a || b) - le plan α est déterminé par les droites parallèles a et b ;
β(d 1 d 2 gα) - la surface β est déterminée par les guides d 1 et d 2 , la génératrice g et le plan de parallélisme α.
5. Les angles sont indiqués :
∠ABC - angle avec le sommet au point B, ainsi que ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...
6. Angulaire : la valeur (mesure en degrés) est indiquée par le signe placé au-dessus de l'angle :
La valeur de l'angle ABC ;
La valeur de l'angle φ.
Un angle droit est marqué d'un carré avec un point à l'intérieur
7. Les distances entre les figures géométriques sont indiquées par deux segments verticaux - ||.
Par exemple:
|AB| - distance entre les points A et B (longueur du segment AB) ;
|Aa| - distance du point A à la ligne a ;
|Aα| - distances du point A à la surface α ;
|ab| - distance entre les lignes a et b ;
|αβ| distance entre les surfaces α et β.
8. Pour les plans de projection, les désignations suivantes sont acceptées : π 1 et π 2, où π 1 est le plan de projection horizontal ;
π 2 -plan friuntal des projections.
Lors du remplacement de plans de projection ou de l'introduction de nouveaux plans, ces derniers désignent π 3, π 4, etc.
9. Les axes de projection sont notés : x, y, z, où x est l'axe des x ; y est l'axe y ; z - appliquer l'axe.
La droite constante du diagramme de Monge est notée k.
10. Les projections de points, lignes, surfaces, toute figure géométrique sont indiquées par les mêmes lettres (ou chiffres) que l'original, avec l'ajout d'un exposant correspondant au plan de projection sur lequel elles ont été obtenues :
A", B", C", D", ... , L", M", N", projections horizontales de points ; A", B", C", D", ... , L", M " , N", ... projections frontales de points ; a" , b" , c" , d" , ... , l", m" , n" , - projections horizontales de lignes ; a" ,b" , c" , d" , ... , l" , m " , n" , ... projections frontales de lignes ; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... projections horizontales des surfaces ; α", β", γ", δ",...,ζ " ,η",ν",... projections frontales des surfaces.
11. Les traces de plans (surfaces) sont indiquées par les mêmes lettres que l'horizontale ou frontale, avec l'ajout d'un indice 0α, soulignant que ces lignes se trouvent dans le plan de projection et appartiennent au plan (surface) α.
Donc : h 0α - trace horizontale du plan (surface) α ;
f 0α - trace frontale du plan (surface) α.
12. Les traces de lignes droites (lignes) sont indiquées par des lettres majuscules, qui commencent les mots qui définissent le nom (en transcription latine) du plan de projection que la ligne traverse, avec un indice indiquant l'appartenance à la ligne.
Par exemple: H a - trace horizontale d'une ligne droite (ligne) a;
F a - trace frontale d'une ligne droite (ligne) a.
13. La séquence de points, de lignes (de n'importe quelle figure) est marquée par les indices 1,2,3,..., n :
A 1, A 2, A 3,..., A n;
une 1 , une 2 , une 3 ,...,une n ;
α 1 , α 2 , α 3 ,...,α n ;
F 1 , F 2 , F 3 ,..., F n etc.
La projection auxiliaire du point, obtenue à la suite de la transformation pour obtenir la valeur réelle de la figure géométrique, est désignée par la même lettre avec l'indice 0 :
A 0 , B 0 , C 0 , D 0 , ...
Projections axonométriques
14. Les projections axonométriques des points, lignes, surfaces sont indiquées par les mêmes lettres que la nature avec l'ajout de l'exposant 0 :
A 0, B 0, C 0, D 0, ...
1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...
une 0 , b 0 , c 0 , d 0 , ...
α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ...
15. Les projections secondaires sont indiquées en ajoutant un exposant 1 :
A 1 0 , B 1 0 , C 1 0 , D 1 0 , ...
1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...
une 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...
α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , ...
Pour faciliter la lecture des dessins du manuel, plusieurs couleurs ont été utilisées dans la conception du matériel illustratif, chacune ayant une certaine signification sémantique : les lignes noires (points) indiquent les données initiales ; couleur verte utilisé pour les lignes de constructions graphiques auxiliaires; les lignes rouges (points) montrent les résultats des constructions ou les éléments géométriques auxquels une attention particulière doit être accordée.
| non. | La désignation | Contenu | Exemple de notation symbolique |
|---|---|---|---|
| 1 | ≡ | Match | (AB) ≡ (CD) - une droite passant par les points A et B, coïncide avec la droite passant par les points C et D |
| 2 | ≅ | Conforme | ∠ABC≅∠MNK - l'angle ABC est congru à l'angle MNK |
| 3 | ∼ | Similaire | ΔABS∼ΔMNK - les triangles ABC et MNK sont semblables |
| 4 | || | Parallèle | α||β - le plan α est parallèle au plan β |
| 5 | ⊥ | Perpendiculaire | a⊥b - les droites a et b sont perpendiculaires |
| 6 | croiser | avec d - les lignes c et d se coupent | |
| 7 | Tangentes | t l - la droite t est tangente à la droite l. βα - plan β tangent à la surface α |
|
| 8 | → | Sont affichés | F 1 → F 2 - la figure F 1 est mappée sur la figure F 2 |
| 9 | S | centre de projections. Si le centre de projection n'est pas un bon point, sa position est indiquée par une flèche, indiquant la direction de projection | - |
| 10 | s | Sens de projection | - |
| 11 | P | Projection parallèle | p s α Projection parallèle - projection parallèle au plan α dans la direction s |
| non. | La désignation | Contenu | Exemple de notation symbolique | Un exemple de notation symbolique en géométrie |
|---|---|---|---|---|
| 1 | M,N | Ensembles | - | - |
| 2 | ABC,... | Définir les éléments | - | - |
| 3 | { ... } | Comprend... | F(A, B, C,... ) | Ф(A, B, C,...) - la figure Ф se compose des points A, B, C, ... |
| 4 | ∅ | Ensemble vide | L - ∅ - l'ensemble L est vide (ne contient aucun élément) | - |
| 5 | ∈ | Appartient à, est un élément | 2∈N (où N est l'ensemble nombres naturels) - le nombre 2 appartient à l'ensemble N | A ∈ a - le point A appartient à la droite a (le point A est sur la droite a) |
| 6 | ⊂ | Comprend, contient | N⊂M - l'ensemble N est une partie (sous-ensemble) de l'ensemble M de tous les nombres rationnels | a⊂α - la droite a appartient au plan α (entendu au sens : l'ensemble des points de la droite a est un sous-ensemble des points du plan α) |
| 7 | ∪ | Une association | C \u003d A U B - l'ensemble C est une union d'ensembles A et B; (1, 2. 3, 4.5) = (1.2.3)∪(4.5) | ABCD = ∪ [BC] ∪ - ligne brisée, ABCD est réunion de segments [AB], [BC], |
| 8 | ∩ | Intersection de plusieurs | М=К∩L - l'ensemble М est l'intersection des ensembles К et L (contient des éléments appartenant à la fois à l'ensemble K et à l'ensemble L). M ∩ N = ∅- intersection des ensembles M et N est l'ensemble vide (les ensembles M et N n'ont pas d'éléments communs) | a = α ∩ β - la ligne a est l'intersection plans α et β et ∩ b = ∅ - les droites a et b ne se coupent pas (pas de point commun) |
| non. | La désignation | Contenu | Exemple de notation symbolique |
|---|---|---|---|
| 1 | ∧ | conjonction de phrases; correspond à l'union "et". La phrase (p∧q) est vraie si et seulement si p et q sont tous les deux vrais | α∩β = ( K:K∈α∧K∈β) L'intersection des surfaces α et β est un ensemble de points (droite), constitué de tous ceux et uniquement des points K qui appartiennent à la fois à la surface α et à la surface β |
| 2 | ∨ | Disjonction de phrases; correspond à l'union "ou". Phrase (p∨q) vrai quand au moins une des phrases p ou q est vraie (c'est-à-dire p ou q ou les deux). | - |
| 3 | ⇒ | L'implication est une conséquence logique. La phrase p⇒q signifie : "si p, alors q" | (a||c∧b||c)⇒a||b. Si deux droites sont parallèles à une troisième, alors elles sont parallèles entre elles. |
| 4 | ⇔ | La phrase (p⇔q) est comprise dans le sens : "si p, alors q ; si q, alors p" | А∈α⇔А∈l⊂α. Un point appartient à un plan s'il appartient à une ligne appartenant à ce plan. L'inverse est également vrai : si un point appartient à une droite, appartenant au plan, alors il appartient aussi au plan lui-même. |
| 5 | ∀ | Le quantificateur général se lit comme suit : pour tout le monde, pour tout le monde, pour n'importe qui. L'expression ∀(x)P(x) signifie : "pour tout x : propriété P(x)" | ∀(ΔABC)( = 180°) Pour tout (pour tout) triangle, la somme des valeurs de ses angles aux sommets est de 180° |
| 6 | ∃ | Le quantificateur existentiel se lit : existe. L'expression ∃(x)P(x) signifie : "il y a x qui a la propriété P(x)" | (∀α)(∃a) Pour tout plan α, il existe une droite a n'appartenant pas au plan α et parallèle au plan α |
| 7 | ∃1 | Le quantificateur d'unicité de l'existence se lit comme suit : il existe un unique (-th, -th)... L'expression ∃1(x)(Px) signifie : "il existe un unique (un seul) x, ayant la propriété Rx" | (∀ A, B)(A≠B)(∃1a)(a∋A, B) Pour deux divers points A et B il y a une seule ligne a, passant par ces points. |
| 8 | (px) | Négation de l'énoncé P(x) | ab(∃α )(α⊃а, b) Si les droites a et b se coupent, alors il n'y a pas de plan a qui les contienne |
| 9 | \ | Signe négatif | ≠ - le segment [AB] n'est pas égal au segment .a?b - la droite a n'est pas parallèle à la droite b |
Comme vous le savez, les mathématiques aiment la précision et la brièveté - ce n'est pas pour rien qu'une seule formule peut forme verbale occuper un paragraphe, et parfois une page entière de texte. Ainsi, les éléments graphiques utilisés à travers le monde en science sont conçus pour augmenter la vitesse d'écriture et la compacité de la présentation des données. De plus, les graphiques standardisés peuvent être reconnus par un locuteur natif de n'importe quelle langue qui possède des connaissances de base dans le domaine concerné.
L'histoire des signes et symboles mathématiques remonte à plusieurs siècles - certains d'entre eux ont été inventés au hasard et étaient destinés à désigner d'autres phénomènes ; d'autres sont devenus le produit des activités de scientifiques qui façonnent délibérément langage artificiel et guidé par des considérations purement pratiques.
Plus et moins
L'histoire de l'origine des symboles désignant les opérations arithmétiques les plus simples n'est pas connue avec certitude. Cependant, il existe une hypothèse assez probable sur l'origine du signe plus, qui ressemble à des lignes horizontales et verticales croisées. Conformément à cela, le symbole d'addition provient de l'union latine et, qui est traduit en russe par "et". Peu à peu, afin d'accélérer le processus d'écriture, le mot a été réduit à une croix orientée verticalement, ressemblant à la lettre t. Le premier exemple fiable d'une telle réduction date du 14ème siècle.
Le signe moins généralement accepté est apparu, apparemment, plus tard. Au XIVe et même au XVe siècle, la littérature scientifique utilisait toute la ligne symboles désignant l'opération de soustraction, et seulement au 16ème siècle "plus" et "moins" dans leur forme moderne ont commencé à se rencontrer dans des travaux mathématiques ensemble.
Multiplication et division
Curieusement, les signes et symboles mathématiques de ces deux opérations arithmétiques pas entièrement normalisé même aujourd'hui. Une notation populaire pour la multiplication est la croix diagonale proposée par le mathématicien Oughtred au 17ème siècle, que l'on peut voir, par exemple, sur les calculatrices. Dans les cours de mathématiques à l'école, la même opération est généralement représentée par un point - Par ici proposé au même siècle par Leibniz. Une autre méthode de représentation est l'astérisque, qui est le plus souvent utilisé dans la représentation informatique. divers calculs. Il a été proposé de l'utiliser tous dans le même 17ème siècle, Johann Rahn.
Pour l'opération de division, un signe de barre oblique (proposé par Ougtred) et une ligne horizontale avec des points au-dessus et en dessous (le symbole a été introduit par Johann Rahn) sont fournis. La première version de la désignation est plus populaire, mais la seconde est également assez courante.
Les signes et symboles mathématiques et leurs significations changent parfois avec le temps. Cependant, les trois méthodes de représentation graphique de la multiplication, ainsi que les deux méthodes de division, sont dans une certaine mesure cohérentes et pertinentes aujourd'hui.
Égalité, identité, équivalence
Comme pour de nombreux autres signes et symboles mathématiques, la notation de l'égalité était à l'origine verbale. Pendant assez longtemps, la désignation généralement acceptée était l'abréviation ae du latin aequalis (« égal »). Cependant, au XVIe siècle, un mathématicien gallois du nom de Robert Record a proposé deux lignes horizontales, l'une en dessous de l'autre, comme symbole. Selon le scientifique, il est impossible de trouver quoi que ce soit de plus égal l'un à l'autre que deux segments parallèles.
Malgré le fait qu'un signe similaire ait été utilisé pour indiquer le parallélisme des lignes, le nouveau symbole d'égalité a progressivement gagné en popularité. Soit dit en passant, des signes tels que «plus» et «moins», représentant des tiques tournées dans des directions différentes, ne sont apparus qu'aux XVIIe et XVIIIe siècles. Aujourd'hui, ils semblent intuitifs pour n'importe quel étudiant.
Un peu plus signes complexes les équivalences (deux lignes ondulées) et les identités (trois lignes parallèles horizontales) n'ont été utilisées que dans la seconde moitié du XIXe siècle.
Signe de l'inconnu - "X"
L'histoire de l'émergence des signes et symboles mathématiques connaît et est très cas intéressants repenser les graphiques à mesure que la science progresse. Le symbole de l'inconnu, aujourd'hui appelé "x", trouve son origine au Moyen-Orient à l'aube du dernier millénaire.
Retour au 10ème siècle dans le monde arabe, célèbre pour cela période historique par leurs scientifiques, le concept d'inconnu était désigné par un mot qui se traduit littéralement par "quelque chose" et commence par le son "Sh". Afin d'économiser du matériel et du temps, le mot dans les traités a commencé à être réduit à la première lettre.
Après plusieurs décennies, les œuvres écrites des érudits arabes se sont retrouvées dans les villes Péninsule Ibérique, dans l'actuelle Espagne. Les traités scientifiques ont commencé à être traduits dans la langue nationale, mais une difficulté est survenue - il n'y a pas de phonème "Sh" en espagnol. Les mots arabes empruntés commençant par lui étaient écrits selon une règle spéciale et précédés de la lettre X. La langue scientifique de l'époque était le latin, dans lequel le signe correspondant s'appelait "X".
Ainsi, le signe, à première vue, n'étant qu'un symbole choisi au hasard, a une histoire profonde et est à l'origine une abréviation du mot arabe pour «quelque chose».
Notation des autres inconnues
Contrairement à "X", Y et Z, qui nous sont familiers depuis l'école, ainsi que a, b, c, ont une histoire d'origine beaucoup plus prosaïque.
Au 17ème siècle, un livre de Descartes intitulé "Géométrie" a été publié. Dans ce livre, l'auteur propose de normaliser les symboles dans les équations : conformément à son idée, les trois dernières lettres alphabet latin(à partir de "X") a commencé à désigner inconnu, et les trois premiers - valeurs connues.
Termes trigonométriques
L'histoire d'un mot tel que "sinus" est vraiment inhabituelle.
Initialement pertinent fonctions trigonométriques nommé en Inde. Le mot correspondant au concept de sinus signifiait littéralement "chaîne". À l'apogée de la science arabe, des traités indiens ont été traduits, et le concept, qui n'avait pas d'analogue dans arabe, transcrit. Par coïncidence, ce qui s'est passé dans la lettre ressemblait à un vrai mot existant"dépression", dont la sémantique n'avait rien à voir avec le terme d'origine. En conséquence, lorsque les textes arabes ont été traduits en latin au 12ème siècle, le mot "sinus" est apparu, signifiant "dépression" et fixé comme un nouveau concept mathématique.
Mais les signes et symboles mathématiques pour la tangente et la cotangente ne sont toujours pas normalisés - dans certains pays, ils sont généralement écrits comme tg, et dans d'autres - comme tan.
Quelques autres signes
Comme on peut le voir à partir des exemples décrits ci-dessus, l'émergence des signes et symboles mathématiques a eu lieu en grande partie aux XVIe et XVIIe siècles. La même période a vu l'émergence des formes habituelles d'enregistrement d'aujourd'hui telles que le pourcentage, Racine carrée, diplôme.
Un pourcentage, c'est-à-dire un centième, a longtemps été désigné par cto (abréviation du latin cento). On pense que le signe généralement accepté aujourd'hui est apparu à la suite d'une erreur d'impression il y a environ quatre cents ans. L'image résultante a été perçue comme un bon moyen de réduire et de s'enraciner.
Le signe racine était à l'origine une lettre stylisée R (abréviation du mot latin radix, "racine"). La ligne supérieure, sous laquelle l'expression est écrite aujourd'hui, servait de parenthèses et était un caractère séparé, séparé de la racine. Les parenthèses ont été inventées plus tard - elles sont devenues largement diffusées grâce aux activités de Leibniz (1646-1716). Grâce à son propre travail, le symbole intégral a également été introduit dans la science, ressemblant à une lettre S allongée - une abréviation du mot "somme".
Enfin, le signe de l'opération exponentiation a été inventé par Descartes et finalisé par Newton dans la seconde moitié du XVIIe siècle.
Désignations ultérieures
Considérant que les images graphiques familières de "plus" et de "moins" ont été mises en circulation il y a seulement quelques siècles, il ne semble pas surprenant que les signes et symboles mathématiques dénotant des phénomènes complexes n'aient commencé à être utilisés qu'au siècle dernier.
Ainsi, une factorielle de la forme point d'exclamation après un nombre ou une variable, n'apparaissait que dans début XIX siècle. A peu près au même moment, le « P » majuscule est apparu pour désigner l'œuvre et le symbole de la limite.
Il est quelque peu étrange que les signes du nombre Pi et de la somme algébrique ne soient apparus qu'au XVIIIe siècle - plus tard que, par exemple, le symbole intégral, bien qu'il semble intuitivement qu'ils soient plus courants. La représentation graphique du rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre provient de la première lettre des mots grecs signifiant « circonférence » et « périmètre ». Et le signe "sigma" pour la somme algébrique a été proposé par Euler dans le dernier quart du 18ème siècle.
Noms de symboles dans différentes langues
Comme vous le savez, la langue de la science en Europe pendant de nombreux siècles a été le latin. Les termes physiques, médicaux et bien d'autres étaient souvent empruntés sous forme de transcriptions, beaucoup moins souvent sous forme de papier calque. Ainsi, de nombreux signes et symboles mathématiques en anglais sont appelés presque de la même manière qu'en russe, en français ou en allemand. Comment essence plus dure phénomènes, plus il est probable que différentes langues il portera le même nom.
Notation informatique des symboles mathématiques
Les signes et symboles mathématiques les plus simples du mot sont indiqués par la combinaison de touches habituelle Maj + un nombre de 0 à 9 dans la disposition russe ou anglaise. Des touches séparées sont réservées à certains signes largement utilisés : plus, moins, égalité, barre oblique.
Si vous souhaitez utiliser des représentations graphiques de l'intégrale, de la somme ou du produit algébrique, du nombre Pi, etc., vous devez ouvrir l'onglet "Insérer" dans Word et trouver l'un des deux boutons : "Formule" ou "Symbole". Dans le premier cas, un constructeur s'ouvrira qui vous permettra de construire une formule entière dans un champ, et dans le second, une table de symboles où vous pourrez trouver tous les symboles mathématiques.
Comment se souvenir des symboles mathématiques
Contrairement à la chimie et à la physique, où le nombre de symboles à retenir peut dépasser la centaine d'unités, les mathématiques fonctionnent avec un nombre relativement restreint de symboles. Nous apprenons les plus simples d'entre eux dans la petite enfance, en apprenant à additionner et à soustraire, et ce n'est qu'à l'université dans certaines spécialités que nous nous familiarisons avec quelques signes et symboles mathématiques complexes. Les images pour enfants aident en quelques semaines à obtenir une reconnaissance instantanée de l'image graphique de l'opération requise, beaucoup plus de temps peut être nécessaire pour maîtriser la compétence de la mise en œuvre même de ces opérations et comprendre leur essence.
Ainsi, le processus de mémorisation des caractères se produit automatiquement et ne nécessite pas beaucoup d'efforts.
Pour terminer
La valeur des signes et symboles mathématiques réside dans le fait qu'ils sont facilement compris par des personnes qui parlent différentes langues et sont porteuses de cultures différentes. Pour cette raison, il est extrêmement utile de comprendre et de pouvoir reproduire des représentations graphiques de divers phénomènes et opérations.
Le haut niveau de standardisation de ces signes détermine leur utilisation dans divers domaines : dans le domaine de la finance, technologies de l'information, ingénierie, etc. Pour quiconque souhaite faire des affaires liées aux nombres et aux calculs, la connaissance des signes et symboles mathématiques et de leur signification devient une nécessité vitale.
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