Les forces agissant perpendiculairement à l'axe de la poutre et situées dans un plan passant par cet axe provoquent une déformation appelée coude transversal. Si le plan d'action des forces mentionnées – plan principal, il y a alors un coude transversal droit (plat). Sinon, la courbure est dite oblique transversale. Une poutre principalement soumise à la flexion est appelée faisceau 1 .

La flexion transversale est essentiellement une combinaison de flexion pure et de cisaillement. En relation avec la courbure des sections transversales due à la répartition inégale des cisaillements le long de la hauteur, la question se pose de la possibilité d'appliquer la formule de contrainte normale σ X dérivée pour la flexion pure basée sur l'hypothèse des sections plates.

1 Une poutre à une travée, ayant aux extrémités, respectivement, un support fixe cylindrique et un support cylindrique mobile dans la direction de l'axe de la poutre, est appelée simple. Une poutre avec une extrémité fixe et l'autre extrémité libre est appelée console. Une poutre simple comportant une ou deux parties suspendues sur un support est appelée console.

Si, en outre, les sections sont éloignées des points d'application de la charge (à une distance non inférieure à la moitié de la hauteur de la section de la poutre), alors, comme dans le cas de la flexion pure, on peut supposer que le les fibres n'exercent pas de pression les unes sur les autres. Cela signifie que chaque fibre subit une tension ou une compression uniaxiale.

Sous l'action d'une charge répartie, les efforts transversaux dans deux sections adjacentes différeront d'une quantité égale à qdx. Par conséquent, la courbure des sections sera également légèrement différente. De plus, les fibres exerceront une pression les unes sur les autres. Une étude approfondie de la question montre que si la longueur de la poutre je assez grand par rapport à sa hauteur h (je/ h> 5), alors même avec une charge répartie, ces facteurs n'ont pas d'effet significatif sur les contraintes normales dans la section et, par conséquent, peuvent ne pas être pris en compte dans les calculs pratiques.

un B C

Riz. 10.5 Fig. 10.6

Dans les sections sous charges concentrées et à proximité de celles-ci, la distribution σ X s'écarte de la loi linéaire. Il s'agit d'un écart qui est de nature locale et qui ne s'accompagne pas d'une augmentation contraintes les plus élevées(dans les fibres extrêmes), en pratique elles ne sont généralement pas prises en compte.

Ainsi, à coude transversal(en avion heu) les contraintes normales sont calculées par la formule

σ X= – [Mz(X)/Iz]y.

Si nous dessinons deux sections adjacentes sur une section de la barre sans charge, la force transversale dans les deux sections sera la même, ce qui signifie que la courbure des sections sera la même. Dans ce cas, tout morceau de fibre un B(Fig.10.5) se déplacera vers une nouvelle position un B", sans subir d'allongement supplémentaire, et donc sans modifier l'amplitude de la contrainte normale.

Déterminons les contraintes de cisaillement dans la section transversale à travers leurs contraintes appariées agissant dans la section longitudinale de la poutre.

Sélectionnez dans la barre un élément de longueur dx(Fig. 10.7 a). Dessinons une section horizontale à distance à de l'axe neutre z, divisant l'élément en deux parties (Fig. 10.7) et considérons l'équilibre de la partie supérieure, qui a une base

largeur b. Conformément à la loi d'appariement des contraintes de cisaillement, les contraintes agissant dans la section longitudinale sont égales aux contraintes agissant dans la section transversale. Dans cet esprit, sous l'hypothèse que les contraintes de cisaillement dans le site b distribué uniformément, on utilise la condition ΣX = 0, on obtient :

N * - (N * +dN *)+

où: N * - résultante des forces normales σ dans la section transversale gauche de l'élément dx dans la zone de «coupure» A * (Fig. 10.7 d):

où: S \u003d - moment statique de la partie «coupée» de la section transversale (zone ombrée sur la Fig. 10.7 c). Par conséquent, nous pouvons écrire :

Ensuite, vous pouvez écrire :

Cette formule a été obtenue au XIXe siècle par le scientifique et ingénieur russe D.I. Zhuravsky et porte son nom. Et bien que cette formule soit approximative, puisqu'elle fait la moyenne de la contrainte sur la largeur de la section, les résultats de calcul obtenus en l'utilisant sont en bon accord avec les données expérimentales.

Pour déterminer les contraintes de cisaillement en un point arbitraire de la section espacé d'une distance y de l'axe z, il faut :

Déterminez à partir du diagramme l'amplitude de la force transversale Q agissant dans la section ;

Calculer le moment d'inertie I z de toute la section ;

Tracez par ce point un plan parallèle au plan xz et déterminer la largeur de section b;

Calculer le moment statique de la zone de coupure S par rapport à l'axe central principal z et substituez les valeurs trouvées dans la formule de Zhuravsky.

Définissons, à titre d'exemple, les contraintes de cisaillement dans une section rectangulaire (Fig. 10.6, c). Moment statique autour de l'axe z parties de la section au-dessus de la ligne 1-1, sur lesquelles la contrainte est déterminée, nous écrivons sous la forme :

Elle évolue selon la loi d'une parabole carrée. Largeur de section V pour une poutre rectangulaire est constante, alors la loi d'évolution des contraintes de cisaillement dans la section sera également parabolique (Fig. 10.6, c). Pour y = et y = − les contraintes tangentielles sont nulles, et sur l'axe neutre z ils atteignent leur point culminant.

Pour une poutre ronde la Coupe transversale sur l'axe neutre que nous avons.

Tâche. Construire les diagrammes Q et M pour une poutre statiquement indéterminée. Nous calculons les poutres selon la formule:

n= Σ R- O— 3 = 4 — 0 — 3 = 1

Faisceau une fois est statiquement indéterminé, ce qui signifie un de réactions est "supplémentaire" inconnu. Pour le "supplément" inconnu on prendra la réaction du support DANS — R B.

Un faisceau statiquement déterminé, qui est obtenu à partir d'un faisceau donné en supprimant la connexion "supplémentaire" est appelé le système principal. (b).

Maintenant, ce système doit être présenté équivalent donné. Pour ce faire, chargez le système principal donné charge, et au point DANS appliquer réaction "supplémentaire" R B(riz. V).

Cependant, pour équivalence ce pas assez, puisque dans un tel faisceau le point DANS Peut être se déplacer verticalement, et dans un faisceau donné (Fig. UN ) cela ne peut pas arriver. Par conséquent, nous ajoutons condition, Quoi déviation t. DANS dans le système principal doit être égal à 0. Déviation t. DANS consiste en déviation de la charge agissante Δ F et de déviation de la réaction "supplémentaire" Δ R

Puis on compose condition de compatibilité de déplacement:

Δ F + Δ R=0 (1)

Il reste maintenant à calculer ces mouvements (flèches).

Chargement basique système charge donnée(riz .G) et construire diagramme de cargaisonM F (riz. d ).

DANS T DANS appliquer et construire ep. (riz. hérisson ).

Par la formule de Simpson, on définit déviation de charge.

Définissons maintenant déviation de l'action de la réaction "supplémentaire" R B , pour cela nous chargeons le système principal R B (riz. h ) et tracer les moments de son action M (riz. Et ).

Composer et décider équation (1):

Construisons ép. Q Et M (riz. à, je ).

Construire un diagramme Q

Construisons un complot M méthode points caractéristiques. Nous organisons des points sur le faisceau - ce sont les points de début et de fin du faisceau ( D,A ), moment concentré ( B ), et noter également comme point caractéristique le milieu d'une charge uniformément répartie ( K ) est un point supplémentaire pour construire une courbe parabolique.

Déterminer les moments de flexion aux points. Règle des signes cm. - .

L'instant dans DANS nous déterminerons de la manière suivante. Définissons d'abord :

indiquer POUR entrons milieu zone avec une charge uniformément répartie.

Construire un diagramme M . Parcelle UN B – courbe parabolique(règle du "parapluie"), intrigue BD – ligne oblique droite.

Pour une poutre, définissez soutenir les réactions et tracer les diagrammes des moments fléchissants ( M) Et efforts transversaux (Q).

1. Nous désignons les soutiens des lettres UN Et DANS et diriger les réactions de soutien RA Et R B .

Compilation équations d'équilibre.

Examen

Notez les valeurs RA Et R B sur schéma de calcul.

2. Traçage efforts transversaux méthode sections. Nous plaçons les sections sur zones caractéristiques(entre les changements). Selon le fil dimensionnel - 4 sections, 4 sections.

seconde. 1-1 déplacer gauche.

La section traverse la section avec charge uniformément répartie, notez la taille z 1 à gauche de la rubrique avant le début de la section. Longueur du terrain 2 m. Règle des signes Pour Q - cm.

Nous construisons sur la valeur trouvée diagrammeQ.

seconde. 2-2 aller à droite.

La section traverse à nouveau la zone avec une charge uniformément répartie, notez la taille z 2 à droite de la section jusqu'au début de la section. Longueur du terrain 6 m.

Construire un diagramme Q.

seconde. 3-3 aller à droite.

seconde. 4-4 déplacer vers la droite.

Nous construisons diagrammeQ.

3. Construction schémas M méthode points caractéristiques.

point caractéristique- un point, tout perceptible sur le faisceau. Ce sont les points UN, DANS, AVEC, D , ainsi que le point POUR , dans lequel Q=0 Et le moment de flexion a un extremum. aussi dans milieu la console met un point supplémentaire E, puisque dans cette zone sous une charge uniformément répartie le diagramme M décrit courbé ligne, et il est construit, au moins, selon 3 points.

Ainsi, les points sont placés, nous procédons à la détermination des valeurs qu'ils contiennent moments de flexion. Règle des signes - voir..

Parcelles NA, AD – courbe parabolique(la règle « parapluie » pour les spécialités mécaniques ou la « règle voile » pour la construction), les sections CC, SW – lignes obliques droites.

Moment à un point D devrait être déterminé à gauche et à droite de ce point D . Le moment même dans ces expressions Exclu. À ce point D on a deux valeurs de différence par le montant m – sautà sa taille.

Maintenant, nous devons déterminer le moment au point POUR (Q=0). Cependant, nous définissons d'abord position ponctuelle POUR , désignant la distance de celui-ci au début de la section par l'inconnu X .

T POUR fait parti deuxième zone caractéristique, équation de la force de cisaillement(voir au dessus)

Mais la force transversale en t. POUR est égal à 0 , UN z 2 est égal à inconnu X .

On obtient l'équation :

sachant maintenant X, déterminer le moment en un point POUR sur le côté droit.

Construire un diagramme M . La construction est faisable pour mécanique spécialités, report valeurs positives en hautà partir de la ligne zéro et en utilisant la règle "parapluie".

Pour un schéma donné d'une poutre en porte-à-faux, il est nécessaire de tracer les diagrammes de la force transversale Q et du moment de flexion M, d'effectuer un calcul de conception en sélectionnant une section circulaire.

Matériau - bois, résistance de conception du matériau R=10MPa, M=14kN m, q=8kN/m

Il existe deux manières de construire des diagrammes dans une poutre en porte-à-faux avec encastrement rigide - l'habituel, après avoir déterminé les réactions d'appui, et sans définir les réactions d'appui, si l'on considère les sections, en partant de l'extrémité libre de la poutre et en écartant les côté gauche avec l'encastrement. Construisons des diagrammes ordinaire chemin.

1. Définir soutenir les réactions.

Charge uniformément répartie q remplacer la force conditionnelle Q= q 0,84=6,72 kN

Dans un encastrement rigide, il y a trois réactions d'appui - verticale, horizontale et moment, dans notre cas, la réaction horizontale est 0.

Allons trouver vertical soutenir la réaction RA Et moment de référence M UNà partir des équations d'équilibre.

Dans les deux premières sections à droite, il n'y a pas de force transversale. Au début d'une section avec une charge uniformément répartie (à droite) Q=0, dans le dos - l'ampleur de la réaction R. A.
3. Pour construire, nous allons composer des expressions pour leur définition sur des sections. Nous traçons le diagramme des moments sur les fibres, c'est-à-dire bas.

(l'intrigue des moments simples a déjà été construite plus tôt)

Nous résolvons l'équation (1), réduisons par EI

L'indétermination statique révélée, la valeur de la réaction "extra" est trouvée. Vous pouvez commencer à tracer les diagrammes Q et M pour un faisceau statiquement indéterminé... Nous esquissons le schéma de faisceau donné et indiquons la valeur de réaction Rb. Dans ce faisceau, les réactions dans la terminaison ne peuvent pas être déterminées si vous allez vers la droite.

Bâtiment parcelles Q pour une poutre statiquement indéterminée

Terrain Q.

Tracer M

On définit M au point d'extremum - au point POUR. Définissons d'abord sa position. Nous notons la distance à elle comme inconnue " X". Alors

Nous traçons M.

Détermination des contraintes de cisaillement dans une section en I. Considérez la rubrique Je rayonne. S x \u003d 96,9 cm 3; Yx = 2030 cm 4 ; Q=200kN

Pour déterminer la contrainte de cisaillement, on utilise formule, où Q est l'effort transversal dans la section, S x 0 est le moment statique de la partie de la section transversale située d'un côté de la couche dans laquelle les contraintes de cisaillement sont déterminées, I x est le moment d'inertie de toute la traverse section, b est la largeur de la section à l'endroit où la contrainte de cisaillement est déterminée

Calculer maximum contrainte de cisaillement :

Calculons le moment statique pour étagère supérieure:

Calculons maintenant les contraintes de cisaillement:

Nous construisons diagramme de contrainte de cisaillement :

Calculs de conception et de vérification. Pour une poutre avec des diagrammes d'efforts internes construits, sélectionnez une section sous forme de deux canaux à partir de la condition de résistance selon contraintes normales. Vérifiez la résistance de la poutre à l'aide de la condition de résistance au cisaillement et du critère de résistance énergétique. Donné:

Montrons une poutre avec construit tracés Q et M

D'après le diagramme des moments fléchissants, le dangereux est partie C, dans lequel M C \u003d M max \u003d 48,3 kNm.

Condition de résistance pour les contraintes normales car ce faisceau a la forme σ max \u003d M C / W X ≤σ adm . Il est nécessaire de sélectionner une section à partir de deux canaux.

Déterminer la valeur calculée requise module de section axiale :

Pour une section sous forme de deux canaux, selon accepter deux canaux №20a, le moment d'inertie de chaque voie je x =1670cm 4, Alors moment de résistance axial de toute la section :

Surtension (sous-tension) aux points dangereux, on calcule selon la formule : Alors on obtient sous-tension:

Vérifions maintenant la force du faisceau, basée sur conditions de résistance aux contraintes de cisaillement. Selon diagramme des forces de cisaillement dangereux sont des sections dans la section BC et la section D. Comme on peut le voir sur le schéma, Q max \u003d 48,9 kN.

Condition de résistance pour les contraintes de cisaillement ressemble à:

Pour le canal n ° 20 a: moment statique de la zone S x 1 \u003d 95,9 cm 3, moment d'inertie de la section I x 1 \u003d 1670 cm 4, épaisseur de paroi d 1 \u003d 5,2 mm, épaisseur moyenne de l'étagère t 1 \u003d 9,7 mm , hauteur du canal h 1 \u003d 20 cm, largeur de l'étagère b 1 \u003d 8 cm.

Pour transversale sections de deux canaux :

S x \u003d 2S x 1 \u003d 2 95,9 \u003d 191,8 cm 3,

Je x \u003d 2I x 1 \u003d 2 1670 \u003d 3340 cm 4,

b \u003d 2d 1 \u003d 2 0,52 \u003d 1,04 cm.

Détermination de la valeur contrainte de cisaillement maximale :

τ max \u003d 48,9 10 3 191,8 10 -6 / 3340 10 -8 1,04 10 -2 \u003d 27 MPa.

Comme vu, τmax<τ adm (27MPa<75МПа).

Ainsi, condition de résistance est remplie.

Nous vérifions la résistance de la poutre selon le critère énergétique.

Par considération diagrammes Q et M s'ensuit que la section C est dangereuse, dans lequel M C = M max = 48,3 kNm et Q C = Q max = 48,9 kN.

Dépensons analyse de l'état de contrainte aux points de la section С

définissons contraintes normales et de cisaillementà plusieurs niveaux (marqués sur le schéma de coupe)

Niveau 1-1 : y 1-1 =h 1 /2=20/2=10cm.

Normale et tangente tension:

Principal tension:

Niveau 2-2 : y 2-2 \u003d h 1 / 2-t 1 \u003d 20 / 2-0,97 \u003d 9,03 cm.

Principaux stress :

Niveau 3-3 : y 3-3 \u003d h 1 / 2-t 1 \u003d 20 / 2-0,97 \u003d 9,03 cm.

Contraintes normales et de cisaillement :

Principaux stress :

Contraintes extrêmes de cisaillement :

Niveau 4-4 : y 4-4 =0.

(au milieu, les contraintes normales sont nulles, les contraintes tangentielles sont maximales, elles ont été trouvées dans le test de résistance aux contraintes tangentielles)

Principaux stress :

Contraintes extrêmes de cisaillement :

Niveau 5-5 :

Contraintes normales et de cisaillement :

Principaux stress :

Contraintes extrêmes de cisaillement :

Niveau 6-6 :

Contraintes normales et de cisaillement :

Principaux stress :

Contraintes extrêmes de cisaillement :

Niveau 7-7 :

Contraintes normales et de cisaillement :

Principaux stress :

Contraintes extrêmes de cisaillement :

D'après les calculs effectués diagrammes de contraintes σ, τ, σ 1 , σ 3 , τ max et τ min sont présentés dans la fig.

Analyse ces le diagramme montre, qui est dans la section transversale de la poutre les points dangereux sont au niveau 3-3 (ou 5-5), dans lequel:

En utilisant critère énergétique de résistance, on a

D'une comparaison des contraintes équivalentes et admissibles, il s'ensuit que la condition de résistance est également satisfaite

(135,3 MPa<150 МПа).

La poutre continue est chargée dans toutes les portées. Construire les diagrammes Q et M pour une poutre continue.

1. Définir degré d'incertitude statique poutres selon la formule :

n= Sop -3= 5-3 =2, Où Sop - le nombre de réactions inconnues, 3 - le nombre d'équations de la statique. Pour résoudre ce faisceau, il faut deux équations supplémentaires.

2. Dénoter Nombres prend en charge avec zéro en ordre ( 0,1,2,3 )

3. Dénoter numéros de plage Depuis le premier en ordre ( v 1, v 2, v 3)

4. Chaque travée est considérée comme faisceau simple et construire des schémas pour chaque poutre simple Q et M Ce qui concerne faisceau simple, nous noterons avec l'indice "0", qui fait référence à continu faisceau, nous noterons sans cet indice. Ainsi, est la force transversale et le moment de flexion pour une poutre simple.

10.1. Concepts généraux et définitions

plier- il s'agit d'un type de chargement dans lequel la tige est chargée avec des moments dans des plans passant par l'axe longitudinal de la tige.

Une tige qui travaille en flexion s'appelle une poutre (ou poutre). À l'avenir, nous considérerons des poutres droites dont la section transversale présente au moins un axe de symétrie.

Dans la résistance des matériaux, la flexion est plate, oblique et complexe.

virage à plat- flexion, dans laquelle toutes les forces de flexion de la poutre se situent dans l'un des plans de symétrie de la poutre (dans l'un des plans principaux).

Les plans d'inertie principaux de la poutre sont les plans passant par les axes principaux des sections transversales et l'axe géométrique de la poutre (axe x).

virage oblique- flexion, dans laquelle les charges agissent dans un plan qui ne coïncide pas avec les plans d'inertie principaux.

Courbure complexe- flexion, dans laquelle les charges agissent dans différents plans (arbitraires).

10.2. Détermination des forces de flexion internes

Considérons deux cas caractéristiques de flexion : dans le premier cas, la poutre en porte-à-faux est fléchie par le moment concentré Mo ; dans le second, par la force concentrée F.

En utilisant la méthode des sections mentales et en compilant les équations d'équilibre pour les parties coupées de la poutre, nous déterminons les efforts internes dans les deux cas :

Le reste des équations d'équilibre est évidemment identiquement égal à zéro.

Ainsi, dans le cas général de flexion à plat dans la section de poutre, sur six efforts internes, deux surviennent - moment de flexion Mz et force de cisaillement Qy (ou lors de la flexion autour d'un autre axe principal - le moment de flexion My et la force transversale Qz).

Dans ce cas, conformément aux deux cas de chargement considérés, la flexion à plat peut être divisée en pure et transversale.

Courbure pure- flexion à plat, dans laquelle seulement un effort interne sur six apparaît dans les sections de la tige - un moment de flexion (voir le premier cas).

coude transversal- flexion, dans laquelle, en plus du moment de flexion interne, un effort transversal apparaît également dans les sections de la tige (voir le deuxième cas).

A proprement parler, seule la flexion pure appartient aux types simples de résistance ; la flexion transversale est conditionnellement appelée types simples de résistance, car dans la plupart des cas (pour des poutres suffisamment longues), l'action d'une force transversale peut être négligée dans les calculs de résistance.

Lors de la détermination des efforts internes, nous respecterons la règle de signes suivante :

1) l'effort transversal Qy est considéré comme positif s'il tend à faire tourner l'élément de poutre considéré dans le sens des aiguilles d'une montre ;

2) le moment de flexion Mz est considéré comme positif si, lorsque l'élément de poutre est plié, les fibres supérieures de l'élément sont comprimées et les fibres inférieures sont étirées (règle parapluie).

Ainsi, la solution du problème de détermination des efforts internes lors de la flexion sera construite selon le schéma suivant : 1) dans un premier temps, en considérant les conditions d'équilibre de la structure dans son ensemble, on détermine, si nécessaire, des réactions inconnues de les appuis (notez que pour une poutre en porte-à-faux, des réactions dans l'encastrement peuvent être et ne pas être trouvées si l'on considère la poutre depuis l'extrémité libre) ; 2) à la deuxième étape, nous sélectionnons les sections caractéristiques de la poutre, en prenant comme limites des sections les points d'application des forces, les points de changement de forme ou de dimensions de la poutre, les points de fixation de la poutre ; 3) à la troisième étape, nous déterminons les efforts internes dans les sections de poutre, en tenant compte des conditions d'équilibre des éléments de poutre dans chacune des sections.

10.3. Dépendances différentielles en flexion

Établissons quelques relations entre les efforts internes et les charges de flexion externes, ainsi que les caractéristiques des diagrammes Q et M, dont la connaissance facilitera la construction des diagrammes et vous permettra de contrôler leur exactitude. Par commodité de notation, on notera : M≡Mz, Q≡Qy.

Allouons un petit élément dx dans une section d'une poutre avec une charge arbitraire à un endroit où il n'y a pas de forces et de moments concentrés. Puisque toute la poutre est en équilibre, l'élément dx sera également en équilibre sous l'action des efforts transversaux qui lui sont appliqués, des moments de flexion et de la charge extérieure. Étant donné que Q et M varient généralement le long de

l'axe de la poutre, alors dans les sections de l'élément dx il y aura des forces transversales Q et Q + dQ, ainsi que des moments de flexion M et M + dM. A partir de la condition d'équilibre de l'élément sélectionné, on obtient

La première des deux équations écrites donne la condition

A partir de la seconde équation, en négligeant le terme q dx (dx/2) comme quantité infinitésimale du second ordre, on trouve

En considérant les expressions (10.1) et (10.2) ensemble, on obtient

Les relations (10.1), (10.2) et (10.3) sont dites différentielles dépendances de D. I. Zhuravsky en flexion.

L'analyse des dépendances différentielles ci-dessus en flexion nous permet d'établir quelques caractéristiques (règles) pour construire des diagrammes de moments fléchissants et d'efforts tranchants : a - dans les zones où il n'y a pas de charge répartie q, les diagrammes Q sont limités à des droites parallèles à la base, et les schémas M sont des droites inclinées ; b - dans les sections où une charge répartie q est appliquée à la poutre, les diagrammes Q sont limités par des droites inclinées, et les diagrammes M sont limités par des paraboles quadratiques.

Dans ce cas, si nous construisons le diagramme M "sur une fibre étirée", alors la convexité de la parabole sera dirigée dans la direction d'action de q, et l'extremum sera situé dans la section où le diagramme Q coupe la base doubler; c - dans les sections où une force concentrée est appliquée à la poutre, sur le diagramme Q il y aura des sauts de la valeur et dans la direction de cette force, et sur le diagramme M il y a des plis, la pointe dirigée dans la direction de cette force; d - dans les sections où un moment concentré est appliqué à la poutre, il n'y aura aucun changement sur le diagramme Q, et sur le diagramme M, il y aura des sauts de la valeur de ce moment ; e - dans les sections où Q>0, le moment M augmente, et dans les sections où Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Contraintes normales en flexion pure d'une poutre droite

Considérons le cas d'une flexion plane pure d'une poutre et dérivons une formule pour déterminer les contraintes normales pour ce cas.

A noter que dans la théorie de l'élasticité il est possible d'obtenir une dépendance exacte pour les contraintes normales en flexion pure, mais si pour résoudre ce problème par des méthodes de résistance des matériaux, il faut introduire quelques hypothèses.

Il existe trois hypothèses de ce type pour la flexion :

a - l'hypothèse des sections plates (hypothèse de Bernoulli) - les sections sont plates avant déformation et restent plates après déformation, mais ne tournent que autour d'une certaine ligne, appelée axe neutre de la section de poutre. Dans ce cas, les fibres du faisceau, situées d'un côté de l'axe neutre, seront étirées, et de l'autre, comprimées ; les fibres situées sur l'axe neutre ne changent pas de longueur;

b - l'hypothèse de la constance des contraintes normales - les contraintes agissant à la même distance y de l'axe neutre sont constantes sur toute la largeur de la poutre ;

c – hypothèse de l'absence de pressions latérales – les fibres longitudinales voisines ne s'appuient pas les unes sur les autres.

Le côté statique du problème

Pour déterminer les contraintes dans les sections transversales de la poutre, nous considérons tout d'abord les côtés statiques du problème. En appliquant la méthode des sections mentales et en compilant les équations d'équilibre pour la partie coupée de la poutre, nous trouvons les efforts internes lors de la flexion. Comme indiqué précédemment, la seule force interne agissant dans la section de la barre en flexion pure est le moment de flexion interne, ce qui signifie que les contraintes normales qui lui sont associées apparaîtront ici.

Nous trouvons la relation entre les efforts internes et les contraintes normales dans la section de la poutre en considérant les contraintes sur la zone élémentaire dA, sélectionnée dans la section transversale A de la poutre en un point de coordonnées y et z (l'axe y est dirigé vers le bas pour plus de facilité d'analyse):

Comme nous pouvons le voir, le problème est intérieurement statiquement indéterminé, puisque la nature de la distribution des contraintes normales sur la section transversale est inconnue. Pour résoudre le problème, considérons le modèle géométrique des déformations.

Le côté géométrique du problème

Considérons la déformation d'un élément de poutre de longueur dx sélectionné à partir d'une tige de flexion en un point arbitraire de coordonnée x. Compte tenu de l'hypothèse précédemment acceptée des sections plates, après avoir plié la section de la poutre, tourner par rapport à l'axe neutre (n.r.) d'un angle dϕ, tandis que la fibre ab, qui est à une distance y de l'axe neutre, se transformera en un arc de cercle a1b1, et sa longueur changera d'une certaine taille. On rappelle ici que la longueur des fibres situées sur l'axe neutre ne change pas, et donc l'arc a0b0 (dont on note le rayon de courbure par ρ) a la même longueur que le segment a0b0 avant déformation a0b0=dx.

Trouvons la déformation linéaire relative εx de la fibre ab de la poutre courbe :

Coude droit. Flexion transversale à plat Tracé des diagrammes des facteurs d'efforts internes des poutres Tracé des diagrammes Q et M selon les équations Tracé des diagrammes Q et M à l'aide de sections caractéristiques (points) Calculs de résistance en flexion directe des poutres Contraintes principales en flexion. Vérification complète de la résistance des poutres Comprendre le centre de flexion Détermination des déplacements dans les poutres lors de la flexion. Concepts de déformation des poutres et conditions de leur rigidité Équation différentielle de l'axe plié de la poutre Méthode d'intégration directe Exemples de détermination des déplacements dans les poutres par la méthode d'intégration directe Signification physique des constantes d'intégration Méthode des paramètres initiaux (équation universelle de l'axe plié de la poutre). Exemples de détermination des déplacements dans une poutre par la méthode des paramètres initiaux Détermination des déplacements par la méthode de Mohr. La règle d'A.K. Vereshchagin. Calcul de l'intégrale de Mohr selon A.K. Vereshchagin Exemples de détermination des déplacements au moyen de l'intégrale de Mohr Bibliographie Flexion directe. Coude transversal plat. 1.1. Tracé des diagrammes des facteurs de force internes pour les poutres La flexion directe est un type de déformation dans lequel deux facteurs de force internes apparaissent dans les sections transversales de la barre : un moment de flexion et une force transversale. Dans un cas particulier, l'effort transversal peut être égal à zéro, alors la flexion est dite pure. Avec une flexion transversale plate, toutes les forces sont situées dans l'un des principaux plans d'inertie de la tige et sont perpendiculaires à son axe longitudinal, les moments sont situés dans le même plan (Fig. 1.1, a, b). Riz. 1.1 La force transversale dans une section transversale arbitraire de la poutre est numériquement égale à la somme algébrique des projections sur la normale à l'axe de la poutre de toutes les forces externes agissant sur un côté de la section considérée. La force transversale dans la section m-n de la poutre (Fig. 1.2, a) est considérée comme positive si la résultante des forces externes à gauche de la section est dirigée vers le haut et vers la droite - vers le bas et négative - dans le cas contraire (Fig. 1.2, b). Riz. 1.2 Lors du calcul de la force transversale dans une section donnée, les forces externes situées à gauche de la section sont prises avec un signe plus si elles sont dirigées vers le haut et avec un signe moins si elles sont dirigées vers le bas. Pour le côté droit de la poutre - vice versa. 5 Le moment de flexion dans une section arbitraire de la poutre est numériquement égal à la somme algébrique des moments autour de l'axe central z de la section de toutes les forces externes agissant sur un côté de la section considérée. Le moment de flexion dans la section m-n de la poutre (Fig. 1.3, a) est considéré comme positif si le moment résultant des forces externes est dirigé dans le sens des aiguilles d'une montre depuis la section à gauche de la section, et dans le sens inverse des aiguilles d'une montre vers la droite, et négatif - dans le cas contraire (fig. 1.3b). Riz. 1.3 Lors du calcul du moment de flexion dans une section donnée, les moments des forces externes situées à gauche de la section sont considérés comme positifs s'ils sont dirigés dans le sens des aiguilles d'une montre. Pour le côté droit de la poutre - vice versa. Il convient de déterminer le signe du moment de flexion par la nature de la déformation de la poutre. Le moment de flexion est considéré comme positif si, dans la section considérée, la partie coupée du faisceau se plie avec une convexité vers le bas, c'est-à-dire que les fibres inférieures sont étirées. Sinon, le moment de flexion dans la section est négatif. Entre le moment de flexion M, l'effort transversal Q et l'intensité de la charge q, il existe des dépendances différentielles. 1. La première dérivée de la force transversale le long de l'abscisse de la section est égale à l'intensité de la charge répartie, c'est-à-dire . (1.1) 2. La dérivée première du moment fléchissant le long de l'abscisse de la section est égale à la force transversale, c'est-à-dire . (1.2) 3. La dérivée seconde par rapport à l'abscisse de la section est égale à l'intensité de la charge répartie, soit . (1.3) On considère que la charge répartie dirigée vers le haut est positive. Un certain nombre de conclusions importantes découlent des dépendances différentielles entre M, Q, q : 1. Si sur la section de la poutre : a) l'effort transversal est positif, alors le moment de flexion augmente ; b) l'effort transversal est négatif, alors le moment fléchissant diminue ; c) l'effort transversal est nul, alors le moment fléchissant a une valeur constante (flexion pure) ; 6 d) la force transversale passe par zéro en changeant de signe de plus à moins, max M M, sinon M Mmin. 2. S'il n'y a pas de charge répartie sur la section de poutre, la force transversale est constante et le moment de flexion change de manière linéaire. 3. S'il y a une charge uniformément répartie sur la section de la poutre, alors la force transversale change selon une loi linéaire, et le moment de flexion - selon la loi d'une parabole carrée, convexe dans la direction de la charge (en cas du tracé de M du côté des fibres étirées). 4. Dans la section sous la force concentrée, le diagramme Q a un saut (par l'amplitude de la force), le diagramme M a une rupture dans la direction de la force. 5. Dans la section où un moment concentré est appliqué, le diagramme M a un saut égal à la valeur de ce moment. Cela ne se reflète pas dans le graphique Q. Sous chargement complexe, les poutres construisent des diagrammes d'efforts transversaux Q et de moments de flexion M. Le tracé Q (M) est un graphique montrant la loi de variation de l'effort transversal (moment de flexion) sur la longueur de la poutre. A partir de l'analyse des diagrammes M et Q, des sections dangereuses du faisceau sont établies. Les ordonnées positives du diagramme Q sont tracées vers le haut et les ordonnées négatives sont tracées vers le bas à partir de la ligne de base tracée parallèlement à l'axe longitudinal du faisceau. Les ordonnées positives du diagramme M sont posées et les ordonnées négatives sont tracées vers le haut, c'est-à-dire que le diagramme M est construit à partir du côté des fibres étirées. La construction des diagrammes Q et M pour les poutres doit commencer par la définition des réactions d'appui. Pour une poutre avec une extrémité fixe et l'autre extrémité libre, le tracé de Q et M peut être démarré à partir de l'extrémité libre sans définir de réactions dans l'encastrement. 1.2. La construction des diagrammes Q et M selon les équations de Balk est divisée en sections, à l'intérieur desquelles les fonctions du moment de flexion et de l'effort tranchant restent constantes (sans discontinuités). Les limites des sections sont les points d'application des forces concentrées, les paires de forces et les lieux de variation de l'intensité de la charge répartie. Sur chaque section, une section arbitraire est prise à une distance x de l'origine, et les équations Q et M sont établies pour cette section. Les tracés Q et M sont construits à l'aide de ces équations. Exemple 1.1 Construire des tracés des efforts tranchants Q et de flexion moments M pour une poutre donnée (Fig. 1.4a). Solution : 1. Détermination des réactions des supports. On compose les équations d'équilibre : à partir desquelles on obtient Les réactions des supports sont correctement définies. La poutre a quatre sections Fig. 1.4 chargements : CA, AD, DB, BE. 2. Tracé Q. Tracé SA. Sur la section CA 1, on trace une section arbitraire 1-1 à une distance x1 de l'extrémité gauche de la poutre. Nous définissons Q comme la somme algébrique de toutes les forces externes agissant à gauche de la section 1-1 : Le signe moins est pris car la force agissant à gauche de la section est dirigée vers le bas. L'expression de Q ne dépend pas de la variable x1. Le tracé Q dans cette section sera représenté par une ligne droite parallèle à l'axe des x. Parcelle AD. Sur le site, nous dessinons une section arbitraire 2-2 à une distance x2 de l'extrémité gauche de la poutre. Nous définissons Q2 comme la somme algébrique de toutes les forces extérieures agissant à gauche de la section 2-2 : 8 La valeur de Q est constante sur la section (ne dépend pas de la variable x2). Le tracé Q sur le tracé est une ligne droite parallèle à l'axe des x. Site de la BD. Sur le site, nous dessinons une section arbitraire 3-3 à une distance x3 de l'extrémité droite de la poutre. Nous définissons Q3 comme la somme algébrique de toutes les forces externes agissant à droite de la section 3-3 : L'expression résultante est l'équation d'une droite inclinée. Parcelle B.E. Sur le site, nous dessinons une section 4-4 à une distance x4 de l'extrémité droite de la poutre. Nous définissons Q comme la somme algébrique de toutes les forces externes agissant à droite de la section 4-4 : 4 Ici, le signe plus est pris car la charge résultante à droite de la section 4-4 est dirigée vers le bas. Sur la base des valeurs obtenues, nous construisons des diagrammes Q (Fig. 1.4, b). 3. Tracer M. Parcelle m1. Nous définissons le moment de flexion dans la section 1-1 comme la somme algébrique des moments des forces agissant à gauche de la section 1-1. est l'équation d'une droite. Section A 3 Définissez le moment de flexion dans la section 2-2 comme la somme algébrique des moments des forces agissant à gauche de la section 2-2. est l'équation d'une droite. Plot DB 4 Nous définissons le moment de flexion dans la section 3-3 comme la somme algébrique des moments des forces agissant à droite de la section 3-3. est l'équation d'une parabole carrée. 9 Trouvez trois valeurs aux extrémités de la section et au point de coordonnée xk , où Section BE 1 Définissez le moment de flexion dans la section 4-4 comme la somme algébrique des moments des forces agissant à droite de la section 4- 4. - l'équation d'une parabole carrée on trouve trois valeurs de M4 : Sur la base des valeurs obtenues, on construit un tracé M (Fig. 1.4, c). Dans les coupes CA et AD, le tracé Q est limité par des droites parallèles à l'axe des abscisses, et dans les coupes DB et BE, par des droites obliques. Dans les sections C, A et B sur le diagramme Q, il y a des sauts par l'amplitude des forces correspondantes, ce qui sert à vérifier l'exactitude de la construction du diagramme Q. Dans les sections où Q  0, les moments augmentent de de gauche à droite. Dans les sections où Q  0, les moments diminuent. Sous les forces concentrées, il y a des plis dans la direction de l'action des forces. Sous le moment concentré, il y a un saut de la valeur du moment. Cela indique l'exactitude du tracé de M. Exemple 1.2 Construisez les tracés Q et M pour une poutre sur deux supports, chargée d'une charge répartie, dont l'intensité varie linéairement (Fig. 1.5, a). Solution Détermination des réactions d'appui. La résultante de la charge répartie est égale à l'aire du triangle représentant le diagramme de charge et est appliquée au centre de gravité de ce triangle. Nous formons les sommes des moments de toutes les forces relatives aux points A et B : Tracer Q. Traçons une section arbitraire à une distance x du support gauche. L'ordonnée du diagramme de charge correspondant à la section est déterminée à partir de la similarité des triangles La résultante de la partie de la charge située à gauche de la section L'effort tranchant dans la section est égal à zéro : Le tracé Q est représenté sur figue. 1.5, b. Le moment de flexion dans une section arbitraire est égal à Le moment de flexion change selon la loi d'une parabole cubique : La valeur maximale du moment de flexion est dans la section, où 0, c'est-à-dire à. 1.5, ch. 1.3. Construction des diagrammes Q et M par sections caractéristiques (points) A partir des relations différentielles entre M, Q, q et des conclusions qui en découlent, il convient de construire des diagrammes Q et M par sections caractéristiques (sans formuler d'équations). En utilisant cette méthode, les valeurs de Q et M sont calculées dans les sections caractéristiques. Les sections caractéristiques sont les sections limites des sections, ainsi que les sections où le facteur de force interne donné a une valeur extrême. Dans les limites entre les sections caractéristiques, le tracé 12 du diagramme est établi à partir des dépendances différentielles entre M, Q, q et les conclusions qui en découlent. Exemple 1.3 Construisez les diagrammes Q et M pour la poutre de la fig. 1.6, un. Riz. 1.6. Solution : Nous commençons à tracer les diagrammes Q et M à partir de l'extrémité libre de la poutre, tandis que les réactions dans l'encastrement peuvent être omises. La poutre a trois zones de chargement : AB, BC, CD. Il n'y a pas de charge répartie dans les sections AB et BC. Les efforts transversaux sont constants. Le tracé Q est limité par des droites parallèles à l'axe des abscisses. Les moments de flexion changent linéairement. Le tracé M est limité aux droites inclinées sur l'axe des abscisses. Sur la section CD, il y a une charge uniformément répartie. Les forces transversales changent linéairement et les moments de flexion changent selon la loi d'une parabole carrée avec une convexité dans la direction de la charge répartie. A la limite des sections AB et BC, la force transversale change brusquement. A la frontière des sections BC et CD, le moment de flexion change brusquement. 1. Tracé Q. Nous calculons les valeurs des forces transversales Q dans les sections limites des sections: Sur la base des résultats des calculs, nous construisons un diagramme Q pour la poutre (Fig. 1, b). Il ressort du diagramme Q que l'effort transversal dans la section CD est égal à zéro dans la section espacée d'une distance qa a q du début de cette section. Dans cette section, le moment de flexion a une valeur maximale. 2. Construction du diagramme M. Nous calculons les valeurs des moments de flexion dans les sections limites des sections: Exemple 1.4 Selon le diagramme donné des moments de flexion (Fig. 1.7, a) pour la poutre (Fig. 1.7, b), déterminez les charges agissantes et tracez Q. Le cercle indique le sommet de la parabole carrée. Solution : Déterminer les charges agissant sur la poutre. La section AC est chargée avec une charge uniformément répartie, puisque le diagramme M de cette section est une parabole carrée. Dans la section de référence B, un moment concentré est appliqué à la poutre, agissant dans le sens des aiguilles d'une montre, car sur le diagramme M, nous avons un saut vers le haut de l'amplitude du moment. Dans la section NE, le faisceau n'est pas chargé puisque le diagramme M de cette section est limité par une droite inclinée. La réaction du support B est déterminée à partir de la condition que le moment de flexion dans la section C est égal à zéro, c'est-à-dire Pour déterminer l'intensité de la charge répartie, nous composons une expression pour le moment de flexion dans la section A comme la somme des moments de forces à droite et égales à zéro. Nous déterminons maintenant la réaction du support A. Pour ce faire, nous composons une expression des moments de flexion dans la section comme la somme des moments des forces à gauche.Le schéma de calcul d'une poutre avec une charge est illustré à la fig. 1.7, ch. En partant de l'extrémité gauche de la poutre, nous calculons les valeurs des forces transversales dans les sections limites des sections: Le tracé Q est illustré à la fig. 1.7, d. Le problème considéré peut être résolu en compilant les dépendances fonctionnelles pour M, Q dans chaque section. Choisissons l'origine des coordonnées à l'extrémité gauche de la poutre. Sur la section AC, le tracé M s'exprime par une parabole carrée dont l'équation est de la forme Constantes a, b, c, on trouve à partir de la condition que la parabole passe par trois points de coordonnées connues : En substituant les coordonnées de les points dans l'équation de la parabole, on obtient : L'expression du moment fléchissant sera , on obtient la dépendance de l'effort transversal Après différenciation de la fonction Q, on obtient une expression de l'intensité de la charge répartie Dans la section NE , l'expression du moment de flexion est représentée par une fonction linéaire Pour déterminer les constantes a et b, on utilise les conditions que cette droite passe par deux points dont on connaît les coordonnées On obtient deux équations : ,b dont on a a 20. L'équation pour le moment de flexion dans la section NE sera Après une double différenciation de M2, nous trouverons Sur la base des valeurs trouvées de M et Q, nous construisons des diagrammes de moments de flexion et d'efforts tranchants pour la poutre. En plus de la charge répartie, des forces concentrées sont appliquées à la poutre dans trois sections, où il y a des sauts sur le diagramme Q, et des moments concentrés dans la section où il y a un saut sur le diagramme M. Exemple 1.5 Pour une poutre (Fig. 1.8, a), déterminez la position rationnelle de la charnière C, à laquelle le moment de flexion le plus grand dans la travée est égal au moment de flexion dans l'encastrement (en valeur absolue). Construire des diagrammes Q et M. Solution Détermination des réactions des appuis. Malgré le fait que le nombre total de liens de support est de quatre, le faisceau est statiquement déterminé. Le moment fléchissant dans l'articulation C est égal à zéro, ce qui nous permet de faire une équation supplémentaire : la somme des moments autour de l'articulation de toutes les forces extérieures agissant sur un côté de cette articulation est égale à zéro. Composez la somme des moments de toutes les forces à droite de l'articulation C. Le diagramme Q pour la poutre est limité par une droite inclinée, puisque q = const. Nous déterminons les valeurs des efforts transversaux dans les sections limites de la poutre : L'abscisse xK de la section, où Q = 0, est déterminée à partir de l'équation d'où le tracé M pour la poutre est limité par une parabole carrée. Les expressions des moments de flexion dans les sections, où Q = 0, et dans la terminaison s'écrivent respectivement comme suit : A partir de la condition d'égalité des moments, on obtient une équation quadratique pour le paramètre x souhaité : La valeur réelle est x2x 1 .029 m. Nous déterminons les valeurs numériques des efforts transversaux et des moments de flexion dans les sections caractéristiques de la poutre. 1.8, c - tracé M. Le problème considéré pourrait être résolu en divisant la poutre articulée en ses éléments constitutifs, comme indiqué sur la fig. 1.8, d. Au début, les réactions des supports VC et VB sont déterminées. Les tracés Q et M sont construits pour la poutre de suspension SV à partir de l'action de la charge qui lui est appliquée. Ensuite, ils se déplacent vers la poutre principale AC, en la chargeant d'une force supplémentaire VC, qui est la force de pression de la poutre CB sur la poutre AC. Après cela, les diagrammes Q et M sont construits pour le faisceau AC. 1.4. Calculs de résistance pour la flexion directe des poutres Calcul de résistance pour les contraintes normales et de cisaillement. Avec une flexion directe d'une poutre, des contraintes normales et de cisaillement apparaissent dans ses sections transversales (Fig. 1.9). 18 Fig. 1.9 Les contraintes normales sont liées au moment de flexion, les contraintes de cisaillement sont liées à l'effort transversal. En flexion pure directe, les contraintes de cisaillement sont nulles. Les contraintes normales en un point arbitraire de la section transversale de la poutre sont déterminées par la formule (1.4) où M est le moment fléchissant dans la section donnée ; Iz est le moment d'inertie de la section par rapport à l'axe neutre z ; y est la distance entre le point où la contrainte normale est déterminée et l'axe z neutre. Les contraintes normales le long de la hauteur de la section changent linéairement et atteignent la plus grande valeur aux points les plus éloignés de l'axe neutre.Si la section est symétrique par rapport à l'axe neutre (Fig. 1.11), alors 1.11 les plus grandes contraintes de traction et de compression sont les mêmes et sont déterminées par la formule,  - moment axial de résistance de section en flexion. Pour une section rectangulaire de largeur b et de hauteur h : (1.7) Pour une section circulaire de diamètre d : (1.8) Pour une section annulaire   sont respectivement les diamètres intérieur et extérieur de l'anneau. Pour les poutres en matières plastiques, les plus rationnelles sont les formes symétriques à 20 sections (poutre en I, caisson, annulaire). Pour les poutres en matériaux fragiles qui ne résistent pas de la même manière à la traction et à la compression, les sections dissymétriques autour de l'axe neutre z (ta-br., en U, poutre en I asymétrique) sont rationnelles. Pour les poutres de section constante en matériaux plastiques avec des formes de section symétriques, la condition de résistance s'écrit comme suit : (1.10) où Mmax est le moment de flexion maximal modulo ; - contrainte admissible pour le matériau. Pour les poutres de section constante en matériaux plastiques avec des formes de section dissymétriques, la condition de résistance s'écrit sous la forme suivante : (1. 11) Pour les poutres en matériaux fragiles avec des sections asymétriques autour de l'axe neutre, si le diagramme M est sans ambiguïté (Fig. 1.12), deux conditions de résistance doivent être écrites - la distance de l'axe neutre aux points les plus éloignés du zones étirées et comprimées de la section dangereuse, respectivement ; P - contraintes admissibles, respectivement, en traction et en compression. Fig.1.12. 21 Si le diagramme de moment de flexion comporte des sections de signes différents (Fig. 1.13), alors en plus de vérifier la section 1-1, où Mmax agit, il est nécessaire de calculer les contraintes de traction maximales pour la section 2-2 (avec le moment le plus grand du signe opposé). Riz. 1.13 Parallèlement au calcul de base des contraintes normales, il est parfois nécessaire de vérifier la résistance de la poutre pour les contraintes de cisaillement. Les contraintes de cisaillement dans les poutres sont calculées par la formule de D. I. Zhuravsky (1.13) où Q est la force transversale dans la section transversale considérée de la poutre ; Szots est le moment statique autour de l'axe neutre de l'aire de la partie de la section située d'un côté de la ligne droite passant par le point donné et parallèle à l'axe z; b est la largeur de la section au niveau du point considéré ; Iz est le moment d'inertie de toute la section autour de l'axe neutre z. Dans de nombreux cas, les contraintes de cisaillement maximales se produisent au niveau de la couche neutre de la poutre (rectangle, poutre en I, cercle). Dans de tels cas, la condition de résistance pour les contraintes de cisaillement s'écrit, (1.14) où Qmax est la force transversale avec le module le plus élevé ; - contrainte de cisaillement admissible pour le matériau. Pour une section de poutre rectangulaire, la condition de résistance a la forme (1.15) A est l'aire de la section transversale de la poutre. Pour une section circulaire, la condition de résistance est représentée par (1.16) Pour une section en I, la condition de résistance s'écrit comme suit : (1.17) d est l'épaisseur de paroi de la poutre en I. Habituellement, les dimensions de la section transversale de la poutre sont déterminées à partir de la condition de résistance aux contraintes normales. La vérification de la résistance des poutres aux contraintes de cisaillement est obligatoire pour les poutres courtes et les poutres de toute longueur, s'il existe des forces concentrées de grande amplitude près des supports, ainsi que pour les poutres en bois, rivetées et soudées. Exemple 1.6 Vérifier la résistance d'une poutre caissonnée (Fig. 1.14) pour les contraintes normales et de cisaillement, si MPa. Construire des diagrammes dans la section dangereuse du faisceau. Riz. 1.14 Décision 23 1. Tracer les tracés Q et M à partir des sections caractéristiques. En considérant le côté gauche de la poutre, on obtient Le diagramme des efforts transversaux est représenté sur la fig. 1.14, ch. Le tracé des moments de flexion est illustré à la fig. 5.14, g 2. Caractéristiques géométriques de la section transversale 3. Les contraintes normales les plus élevées dans la section C, où Mmax agit (modulo) : MPa. Les contraintes normales maximales dans la poutre sont pratiquement égales à celles admissibles. 4. Les plus grandes contraintes tangentielles dans la section C (ou A), où max Q agit (modulo) : Voici le moment statique de l'aire de la demi-section par rapport à l'axe neutre ; b2 cm est la largeur de la section au niveau de l'axe neutre. Fig. 5. Contraintes tangentielles en un point (dans le mur) de la coupe C : Fig. 1.15 Ici Szomc 834.5 108 cm3 est le moment statique de l'aire de la partie de la section située au-dessus de la droite passant par le point K1 ; b2 cm est l'épaisseur de paroi au niveau du point K1. Les tracés  et  pour la section C de la poutre sont illustrés à la fig. 1.15. Exemple 1.7 Pour la poutre illustrée à la fig. 1.16, a, il faut : 1. Construire des diagrammes des forces transversales et des moments de flexion le long des sections caractéristiques (points). 2. Déterminez les dimensions de la section transversale sous la forme d'un cercle, d'un rectangle et d'une poutre en I à partir de la condition de résistance aux contraintes normales, comparez les aires de la section transversale. 3. Vérifiez les dimensions sélectionnées des sections de poutre pour les contraintes de cisaillement. Donné : Solution : 1. Déterminer les réactions des supports de poutre Vérifier : 2. Tracer les diagrammes Q et M. Valeurs des efforts transversaux dans les sections caractéristiques de la poutre 25 Fig. 1.16 Dans les sections CA et AD, l'intensité de charge q = const. Par conséquent, dans ces coupes, le diagramme Q est limité à des droites inclinées sur l'axe. Dans la section DB, l'intensité de la charge répartie q \u003d 0, donc, dans cette section, le diagramme Q est limité à une droite parallèle à l'axe x. Le diagramme Q pour la poutre est illustré à la fig. 1.16b. Valeurs des moments de flexion dans les sections caractéristiques de la poutre : Dans la deuxième section, nous déterminons l'abscisse x2 de la section, dans laquelle Q = 0 : Le moment maximal dans la deuxième section Le diagramme M pour la poutre est illustré à la fig. . 1.16, ch. 2. On compose la condition de résistance aux contraintes normales à partir de laquelle on détermine le module de section axiale requis à partir de l'expression déterminée du diamètre requis d d'une poutre de section circulaire Aire de section circulaire Pour une poutre rectangulaire Hauteur de section requise Aire de section rectangulaire Selon les tableaux de GOST 8239-89, on trouve la valeur supérieure la plus proche du moment de résistance axial 597 cm3, ce qui correspond à la poutre en I n° 33 avec les caractéristiques : A z 9840 cm4. Contrôle de tolérance : (sous-charge de 1 % des 5 % autorisés) la poutre en I n° 30 la plus proche (W 2 cm3) entraîne une surcharge importante (plus de 5 %). On accepte finalement la poutre en I n°33. On compare les aires des sections circulaires et rectangulaires avec la plus petite aire A de la poutre en I : Des trois sections considérées, la section en I est la plus économique. 3. Nous calculons les plus grandes contraintes normales dans la section dangereuse 27 de la poutre en I (Fig. 1.17, a): Contraintes normales dans le mur près de la semelle de la section de poutre en I. 1.17b. 5. Nous déterminons les plus grandes contraintes de cisaillement pour les sections sélectionnées de la poutre. a) section rectangulaire de la poutre : b) section circulaire de la poutre : c) section en I de la poutre : contraintes de cisaillement dans le mur près de la semelle de la poutre en I dans la section dangereuse A (à droite) (au point 2 ): Le diagramme des contraintes de cisaillement dans les sections dangereuses de la poutre en I est illustré à la fig. 1,17, po. Les contraintes de cisaillement maximales dans la poutre ne dépassent pas les contraintes admissibles Exemple 1.8 Déterminer la charge admissible sur la poutre (Fig. 1.18, a), si 60MPa, les dimensions de la section sont données (Fig. 1.19, a). Construire un diagramme des contraintes normales dans la section dangereuse de la poutre sous la charge admissible. Fig 1.18 1. Détermination des réactions des supports de poutre. Compte tenu de la symétrie du système 2. Construction des diagrammes Q et M à partir des coupes caractéristiques. Efforts tranchants dans les sections caractéristiques de la poutre : Le diagramme Q pour la poutre est représenté sur la fig. 5.18b. Moments fléchissants dans les sections caractéristiques de la poutre Pour la deuxième moitié de la poutre, les ordonnées M sont le long des axes de symétrie. Le diagramme M pour le faisceau est illustré à la fig. 1.18b. 3. Caractéristiques géométriques de la section (Fig. 1.19). Nous divisons la figure en deux éléments simples: une poutre en I - 1 et un rectangle - 2. Fig. 1.19 Selon l'assortiment pour la poutre en I n° 20, nous avons Pour un rectangle : Moment statique de l'aire de la section par rapport à l'axe z1 Distance de l'axe z1 au centre de gravité de la section Moment d'inertie de la section par rapport à l'axe central principal z de toute la section selon les formules de transition vers le point dangereux d'axes parallèles "a" (Fig. 1.19) dans la section dangereuse I (Fig. 1.18): Après avoir remplacé les données numériques 5. Avec un charge dans la section dangereuse, les contraintes normales aux points "a" et "b" seront égales : la section dangereuse 1-1 est illustrée à la fig. 1.19b.

L'hypothèse des méplats en flexion s'explique par un exemple : appliquons une grille sur la surface latérale d'une poutre non déformée, constituée de droites longitudinales et transversales (perpendiculaires à l'axe). Du fait de la flexion de la poutre, les lignes longitudinales prendront une forme curviligne, tandis que les lignes transversales resteront pratiquement droites et perpendiculaires à l'axe de flexion de la poutre.

Formulation de l'hypothèse de section plane: les sections planes et perpendiculaires à l'axe de la poutre avant , restent planes et perpendiculaires à l'axe courbe après sa déformation.

Cette circonstance indique que lorsque hypothèse de section plate, comme avec et

En plus de l'hypothèse des sections planes, une hypothèse est faite : les fibres longitudinales de la poutre ne se compriment pas lorsqu'elle est pliée.

L'hypothèse des sections plates et l'hypothèse sont appelées La conjecture de Bernoulli.

Considérons une poutre de section rectangulaire subissant une flexion pure (). Sélectionnons un élément de poutre avec une longueur (Fig. 7.8. a). À la suite de la flexion, les sections transversales de la poutre tourneront, formant un angle. Les fibres supérieures sont en compression et les fibres inférieures en tension. Le rayon de courbure de la fibre neutre est noté .

On considère conditionnellement que les fibres changent de longueur, tout en restant droites (Fig. 7.8. b). Puis l'allongement absolu et relatif de la fibre espacée d'une distance y de la fibre neutre :

Montrons que les fibres longitudinales, qui ne subissent ni tension ni compression lors de la flexion de la poutre, passent par l'axe central principal x.

Étant donné que la longueur de la poutre ne change pas pendant la flexion, la force longitudinale (N) résultant de la section transversale doit être nulle. Force longitudinale élémentaire.

Étant donné l'expression :

Le multiplicateur peut être extrait du signe intégral (ne dépend pas de la variable d'intégration).

L'expression représente la section transversale du faisceau par rapport à l'axe des x neutre. Elle est nulle lorsque l'axe neutre passe par le centre de gravité de la section transversale. Par conséquent, l'axe neutre (ligne zéro) lorsque la poutre est pliée passe par le centre de gravité de la section transversale.

Évidemment : le moment fléchissant est associé à des contraintes normales qui se produisent aux points de la section transversale de la tige. Moment de flexion élémentaire créé par la force élémentaire :

,

où est le moment d'inertie axial de la section transversale autour de l'axe neutre x, et le rapport est la courbure de l'axe de la poutre.

Rigidité poutres en flexion(plus il est grand, plus le rayon de courbure est petit).

La formule résultante représente Loi de Hooke en flexion pour une tige: le moment de flexion se produisant dans la section transversale est proportionnel à la courbure de l'axe de la poutre.

Exprimer à partir de la formule de la loi de Hooke pour une tige lors de la flexion du rayon de courbure () et en remplaçant sa valeur dans la formule , on obtient la formule des contraintes normales () en un point arbitraire de la section de la poutre, distant d'une distance y de l'axe neutre x : .

Dans la formule des contraintes normales () en un point arbitraire de la section transversale de la poutre, les valeurs absolues du moment de flexion () et la distance du point à l'axe neutre (coordonnées y) doivent être remplacées . Que la contrainte en un point donné soit de traction ou de compression est facile à établir par la nature de la déformation de la poutre ou par le diagramme des moments de flexion dont les ordonnées sont tracées du côté des fibres comprimées de la poutre.

On peut le voir à partir de la formule : les contraintes normales () évoluent le long de la hauteur de la section transversale de la poutre selon une loi linéaire. Sur la fig. 7.8, le tracé est affiché. Les plus grandes contraintes lors de la flexion de la poutre se produisent aux points les plus éloignés de l'axe neutre. Si une ligne est tracée dans la section transversale de la poutre parallèle à l'axe neutre x, les mêmes contraintes normales apparaissent en tous ses points.

Analyse simple diagrammes de contraintes normales montre que lorsque la poutre est pliée, le matériau situé près de l'axe neutre ne fonctionne pratiquement pas. Par conséquent, afin de réduire le poids de la poutre, il est recommandé de choisir des formes de section dans lesquelles la majeure partie du matériau est retirée de l'axe neutre, comme, par exemple, un profil en I.