Comme vous vous en souvenez peut-être du programme scolaire en géométrie, un triangle est une figure formée de trois segments reliés par trois points qui ne se trouvent pas sur une ligne droite. Le triangle forme trois angles, d'où le nom de la figure. La définition peut être différente. Un triangle peut aussi être appelé un polygone à trois coins, la réponse sera tout aussi vraie. Les triangles sont divisés en fonction du nombre de côtés égaux et de la taille des angles dans les figures. Distinguez donc les triangles isocèles, équilatéraux et scalènes, ainsi que rectangulaires, à angle aigu et à angle obtus, respectivement.

Il existe de nombreuses formules pour calculer l'aire d'un triangle. Choisissez comment trouver l'aire d'un triangle, c'est-à-dire quelle formule utiliser, seulement vous. Mais il convient de noter seulement certaines des notations utilisées dans de nombreuses formules pour calculer l'aire d'un triangle. Alors souviens-toi:

S est l'aire du triangle,

a, b, c sont les côtés du triangle,

h est la hauteur du triangle,

R est le rayon du cercle circonscrit,

p est le demi-périmètre.

Voici les notations de base qui peuvent s'avérer utiles si vous avez complètement oublié le cours de géométrie. Ci-dessous sont les plus compréhensibles et non options complexes calculer l'aire inconnue et mystérieuse d'un triangle. Ce n'est pas difficile et sera utile à la fois pour les besoins de votre ménage et pour aider vos enfants. Rappelons-nous comment calculer l'aire d'un triangle aussi simple que d'égrener des poires :

Dans notre cas, l'aire du triangle est : S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 cm². Rappelez-vous que la superficie est mesurée en centimètres carrés (cm²).

Triangle rectangle et son aire.

Un triangle rectangle est un triangle avec un angle égal à 90 degrés (donc appelé triangle rectangle). Un angle droit est formé de deux droites perpendiculaires (dans le cas d'un triangle, deux segments perpendiculaires). Dans un triangle rectangle, il ne peut y avoir qu'un seul angle droit, car la somme de tous les angles d'un triangle est de 180 degrés. Il s'avère que 2 autres angles doivent diviser les 90 degrés restants entre eux, par exemple, 70 et 20, 45 et 45, etc. Donc, vous vous souvenez de l'essentiel, il reste à savoir comment trouver la zone triangle rectangle. Imaginez que nous ayons un tel triangle rectangle devant nous et que nous devions trouver son aire S.

1. Le moyen le plus simple de déterminer l'aire d'un triangle rectangle est calculé à l'aide de la formule suivante :

Dans notre cas, l'aire d'un triangle rectangle est : S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 cm².

En principe, il n'est plus nécessaire de vérifier l'aire d'un triangle d'une autre manière, puisque dans la vie de tous les jours, cela vous sera utile et seul celui-ci vous aidera. Mais il existe également des options pour mesurer l'aire d'un triangle à travers des angles aigus.

2. Pour les autres méthodes de calcul, vous devez disposer d'un tableau de cosinus, sinus et tangentes. Jugez par vous-même, voici quelques options pour calculer les aires d'un triangle rectangle que vous pouvez toujours utiliser :

Nous avons décidé d'utiliser la première formule et avec de petites taches (nous avons dessiné dans un cahier et utilisé une vieille règle et un rapporteur), mais nous avons obtenu le bon calcul :

S \u003d (2,5 * 2,5) / (2 * 0,9) \u003d (3 * 3) / (2 * 1,2). Nous avons obtenu de tels résultats 3,6 = 3,7, mais compte tenu du décalage de cellule, nous pouvons pardonner cette nuance.

Triangle isocèle et son aire.

Si vous êtes confronté à la tâche de calculer la formule d'un triangle isocèle, le moyen le plus simple consiste à utiliser la principale et, comme on le considère comme la formule classique pour l'aire d'un triangle.

Mais d'abord, avant de trouver l'aire d'un triangle isocèle, nous allons découvrir de quel type de figure il s'agit. Un triangle isocèle est un triangle dont les deux côtés sont de même longueur. Ces deux côtés sont appelés les côtés, le troisième côté est appelé la base. Ne confondez pas un triangle isocèle avec un triangle équilatéral, c'est-à-dire un triangle équilatéral dont les trois côtés sont égaux. Dans un tel triangle, il n'y a pas de tendances particulières aux angles, ou plutôt à leur taille. Cependant, les angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux, mais différents de l'angle entre les côtés égaux. Donc, vous connaissez déjà la première et principale formule, il reste à savoir quelles autres formules pour déterminer l'aire d'un triangle isocèle sont connues :

du sommet opposé) et divisez le produit obtenu par deux. Sous la forme cela ressemble de la manière suivante:

S = ½ * une * h,

où:
S est l'aire du triangle,
a est la longueur de son côté,
h est la hauteur abaissée de ce côté.

La longueur et la hauteur des côtés doivent être présentées dans les mêmes unités. Dans ce cas, l'aire du triangle se révélera dans les unités "" correspondantes.

Exemple.
Sur l'un des côtés d'un triangle scalène de 20 cm de long, une perpendiculaire du sommet opposé de 10 cm de long est abaissée.
L'aire du triangle est requise.
La solution.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Si vous connaissez les longueurs de deux côtés d'un triangle scalène et l'angle entre eux, utilisez la formule :

S = ½ * a * b * sinγ,

où : a, b sont les longueurs de deux côtés arbitraires, et γ est l'angle entre eux.

En pratique, par exemple, lors de la mesure d'un terrain, l'utilisation des formules ci-dessus est parfois difficile, car elle nécessite des constructions supplémentaires et la mesure des angles.

Si vous connaissez les longueurs des trois côtés d'un triangle scalène, utilisez la formule de Heron :

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c sont les longueurs des côtés du triangle,
ð – demi-périmètre : p = (a+b+c)/2.

Si, en plus des longueurs de tous les côtés, le rayon du cercle inscrit dans le triangle est connu, alors utilisez la formule compacte suivante :

où : r est le rayon du cercle inscrit (p est le demi-périmètre).

Pour calculer l'aire d'un triangle scalène du cercle circonscrit et la longueur de ses côtés, utilisez la formule :

où : R est le rayon du cercle circonscrit.

Si la longueur de l'un des côtés du triangle et de trois angles est connue (en principe, deux suffisent - la valeur du troisième est calculée à partir de l'égalité de la somme des trois angles du triangle - 180º), alors utilisez la formule:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

où α est la valeur de l'angle opposé au côté a ;
β, γ sont les valeurs des deux angles restants du triangle.

La nécessité de trouver divers éléments, y compris la zone Triangle, apparue bien des siècles avant notre ère chez les astronomes La Grèce ancienne. Carré Triangle peut être calculé différentes façons en utilisant différentes formules. La méthode de calcul dépend des éléments Triangle connu.

Instruction

Si à partir de la condition nous connaissons les valeurs des deux côtés b, c et l'angle formé par eux ?, alors l'aire Triangle ABC se trouve par la formule :
S = (bcsin?)/2.

Si à partir de la condition nous connaissons les valeurs des deux côtés a, b et l'angle non formé par eux ?, alors l'aire Triangle ABC se trouve comme suit :
Trouver l'angle ?, péché ? = bsin?/a, plus loin sur le tableau nous déterminons l'angle lui-même.
Trouver un angle ? = 180°- ?- ?.
Trouvez la zone elle-même S = (absin?)/2.

Si à partir de la condition nous connaissons les valeurs de seulement trois côtés Triangle a, b et c, alors l'aire Triangle ABC se trouve par la formule :
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) , où p est le demi-périmètre p = (a+b+c)/2

Si, à partir de l'état du problème, nous connaissons la hauteur Triangle h et le côté auquel cette hauteur est abaissée, alors l'aire Triangle ABC par formule :
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Si nous connaissons les valeurs des côtés Triangle a, b, c et le rayon de la circonscrite près de la donnée Triangle R, alors l'aire de ce Triangle ABC est déterminé par la formule :
S = abc/4R.
Si trois côtés a, b, c et le rayon de l'inscrit dans sont connus, alors l'aire Triangle ABC se trouve par la formule :
S = pr, où p est le demi-périmètre, p = (a+b+c)/2.

Si ABC est équilatéral, alors l'aire est trouvée par la formule :
S = (a^2v3)/4.
Si le triangle ABC est isocèle, alors l'aire est déterminée par la formule :
S = (cv(4a^2-c^2))/4, où c est Triangle.
Si le triangle ABC est un triangle rectangle, alors l'aire est déterminée par la formule :
S = ab/2, où a et b sont des jambes Triangle.
Si le triangle ABC est un triangle rectangle isocèle, alors l'aire est déterminée par la formule :
S = c^2/4 = a^2/2, où c est l'hypoténuse Triangle, a=b - jambe.

Vidéos connexes

Sources:

• comment mesurer l'aire d'un triangle

Astuce 3 : Comment trouver l'aire d'un triangle si vous connaissez l'angle

Connaître un seul paramètre (la valeur de l'angle) ne suffit pas pour trouver l'aire trois carré . S'il existe des dimensions supplémentaires, vous pouvez choisir l'une des formules dans lesquelles la valeur de l'angle est également utilisée comme l'une des variables connues pour déterminer la surface. Quelques-unes des formules les plus couramment utilisées sont énumérées ci-dessous.

Instruction

Si, en plus de l'angle (γ) formé par les deux côtés trois carré , les longueurs de ces côtés (A et B) sont également connues, alors carré Les chiffres (S) peuvent être définis comme la moitié du produit des longueurs des côtés et du sinus de cet angle connu : S=½×A×B×sin(γ).

La notion de domaine

Le concept d'aire de toute figure géométrique, en particulier un triangle, sera associé à une figure telle qu'un carré. Pour une aire unitaire de toute figure géométrique, nous prendrons l'aire d'un carré dont le côté est égal à un. Pour être complet, nous rappelons deux propriétés fondamentales du concept d'aires formes géométriques.

Propriété 1 : Si les figures géométriques sont égales, alors leurs aires sont également égales.

Propriété 2 : Tout chiffre peut être divisé en plusieurs chiffres. De plus, l'aire de la figure d'origine est égale à la somme des valeurs des aires de toutes les figures qui la composent.

Prenons un exemple.

Exemple 1

Il est évident que l'un des côtés du triangle est la diagonale du rectangle , qui a un côté de longueur $5$ (depuis $5$ cellules) et l'autre $6$ (depuis $6$ cellules). Par conséquent, l'aire de ce triangle sera égale à la moitié d'un tel rectangle. L'aire du rectangle est

Alors l'aire du triangle est

Réponse : 15 $.

Ensuite, considérons plusieurs méthodes pour trouver les aires des triangles, à savoir en utilisant la hauteur et la base, en utilisant la formule de Heron et l'aire d'un triangle équilatéral.

Comment trouver l'aire d'un triangle en utilisant la hauteur et la base

Théorème 1

L'aire d'un triangle peut être trouvée comme la moitié du produit de la longueur d'un côté par la hauteur dessinée de ce côté.

Mathématiquement ça ressemble à ça

$S=\frac(1)(2)αh$

où $a$ est la longueur du côté, $h$ est la hauteur qui y est tracée.

Preuve.

Considérons le triangle $ABC$ où $AC=α$. La hauteur $BH$ est tracée de ce côté et vaut $h$. Construisons-le jusqu'au carré $AXYC$ comme dans la figure 2.

L'aire du rectangle $AXBH$ est $h\cdot AH$, et celle du rectangle $HBYC$ est $h\cdot HC$. Alors

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Par conséquent, l'aire souhaitée du triangle, selon la propriété 2, est égale à

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ fraction(1)(2)αh$

Le théorème a été démontré.

Exemple 2

Trouvez l'aire du triangle dans la figure ci-dessous, si la cellule a une aire égale à un

La base de ce triangle est $9$ (puisque $9$ est $9$ cellules). La hauteur est également de 9 $. Alors, par le théorème 1, on obtient

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$

Réponse : 40,5 $.

La formule du Héron

Théorème 2

Si on nous donne trois côtés d'un triangle $α$, $β$ et $γ$, alors son aire peut être trouvée comme suit

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

ici $ρ$ désigne le demi-périmètre de ce triangle.

Preuve.

Considérez la figure suivante :

Par le théorème de Pythagore, à partir du triangle $ABH$ on obtient

A partir du triangle $CBH$, par le théorème de Pythagore, on a

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

De ces deux relations on obtient l'égalité

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Puisque $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, alors $α+β+γ=2ρ$, donc

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

D'après le théorème 1, on obtient

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Le triangle est l'une des formes géométriques les plus courantes, que nous connaissons déjà dans école primaire. La question de savoir comment trouver l'aire d'un triangle est posée à tous les étudiants en cours de géométrie. Alors, quelles sont les caractéristiques de la recherche de l'aire d'une figure donnée qui peut être distinguée? Dans cet article, nous examinerons les formules de base nécessaires pour accomplir une telle tâche, et analyserons également les types de triangles.

Types de triangles

Vous pouvez tout à fait trouver l'aire d'un triangle différentes façons, parce qu'en géométrie il y a plus d'un type de figure contenant trois angles. Ces types incluent :

• obtus.
• Équilatéral (correct).
• Triangle rectangle.
• Isocèle.

Examinons de plus près chacun de types existants Triangles.

Une telle figure géométrique est considérée comme la plus courante dans la résolution de problèmes géométriques. Lorsqu'il devient nécessaire de dessiner un triangle arbitraire, cette option vient à la rescousse.

Dans un triangle aigu, comme son nom l'indique, tous les angles sont aigus et totalisent 180°.

Un tel triangle est également très courant, mais est un peu moins courant qu'un triangle à angle aigu. Par exemple, lors de la résolution de triangles (c'est-à-dire que vous connaissez plusieurs de ses côtés et angles et que vous devez trouver les éléments restants), vous devez parfois déterminer si l'angle est obtus ou non. Le cosinus est un nombre négatif.

Dans la valeur de l'un des angles dépasse 90°, les deux angles restants peuvent donc prendre de petites valeurs (par exemple, 15° voire 3°).

Pour trouver l'aire d'un triangle de ce type, vous devez connaître certaines des nuances, dont nous parlerons ensuite.

Triangles réguliers et isocèles

polygone régulier Une figure est appelée une figure qui comprend n angles, dans laquelle tous les côtés et angles sont égaux. C'est le triangle rectangle. Puisque la somme de tous les angles d'un triangle est de 180°, chacun des trois angles est de 60°.

Le triangle rectangle, en raison de sa propriété, est aussi appelé une figure équilatérale.

Il convient également de noter qu'un seul cercle peut être inscrit dans un triangle régulier et qu'un seul cercle peut être circonscrit autour de celui-ci, et leurs centres sont situés en un point.

Outre le type équilatéral, on peut également distinguer un triangle isocèle, qui en diffère légèrement. Dans un tel triangle, deux côtés et deux angles sont égaux entre eux, et le troisième côté (auquel angles égaux) est la base.

La figure montre un triangle isocèle DEF dont les angles D et F sont égaux et dont DF est la base.

Triangle rectangle

Un triangle rectangle est ainsi nommé parce que l'un de ses angles est un angle droit, c'est-à-dire égal à 90°. Les deux autres angles totalisent 90°.

Le plus grand côté d'un tel triangle, opposé à un angle de 90 °, est l'hypoténuse, tandis que les deux autres de ses côtés sont les jambes. Pour ce type de triangles, le théorème de Pythagore s'applique :

La somme des carrés des longueurs des jambes est égale au carré de la longueur de l'hypoténuse.

La figure montre un triangle rectangle BAC avec l'hypoténuse AC et les jambes AB et BC.

Pour trouver l'aire d'un triangle à angle droit, vous devez connaître les valeurs numériques de ses jambes.

Passons aux formules permettant de trouver l'aire d'une figure donnée.

Formules de base pour trouver la zone

En géométrie, on distingue deux formules qui conviennent pour trouver l'aire de la plupart des types de triangles, à savoir pour les angles aigus, obtus, réguliers et triangles isocèles. Analysons chacun d'eux.

À côté et en hauteur

Cette formule est universelle pour trouver l'aire de la figure que nous considérons. Pour ce faire, il suffit de connaître la longueur du côté et la longueur de la hauteur qui y est dessinée. La formule elle-même (la moitié du produit de la base et de la hauteur) est la suivante :

où A est le côté triangle donné, et H est la hauteur du triangle.

Par exemple, pour trouver l'aire d'un triangle à angle aigu ACB, vous devez multiplier son côté AB par la hauteur CD et diviser la valeur résultante par deux.

Cependant, il n'est pas toujours facile de trouver l'aire d'un triangle de cette manière. Par exemple, pour utiliser cette formule pour un triangle à angle obtus, vous devez continuer l'un de ses côtés et ensuite seulement lui tracer une hauteur.

En pratique, cette formule est utilisée plus souvent que d'autres.

Deux côtés et un coin

Cette formule, comme la précédente, convient à la plupart des triangles et, dans sa signification, est une conséquence de la formule permettant de trouver l'aire du côté et de la hauteur d'un triangle. Autrement dit, la formule considérée peut être facilement déduite de la précédente. Son libellé ressemble à ceci :

S = ½*sinO*A*B,

où A et B sont les côtés du triangle et O est l'angle entre les côtés A et B.

Rappelons que le sinus d'un angle peut être visualisé dans un tableau spécial nommé d'après le remarquable mathématicien soviétique V. M. Bradis.

Et passons maintenant à d'autres formules qui ne conviennent qu'à des types de triangles exceptionnels.

Aire d'un triangle rectangle

En plus de la formule universelle, qui inclut la nécessité de tracer une hauteur dans un triangle, l'aire d'un triangle contenant un angle droit peut être trouvée à partir de ses jambes.

Ainsi, l'aire d'un triangle contenant un angle droit est la moitié du produit de ses jambes, soit :

où a et b sont les côtés d'un triangle rectangle.

triangle rectangle

Ce type de figures géométriques se distingue par le fait que son aire peut être trouvée avec la valeur spécifiée d'un seul de ses côtés (puisque tous les côtés d'un triangle régulier sont égaux). Ainsi, après avoir rencontré la tâche de «trouver l'aire d'un triangle lorsque les côtés sont égaux», vous devez utiliser la formule suivante:

S = A 2 *√3 / 4,

où A est le côté d'un triangle équilatéral.

La formule du Héron

La dernière option pour trouver l'aire d'un triangle est la formule de Heron. Pour l'utiliser, vous devez connaître les longueurs des trois côtés de la figure. La formule de Heron ressemble à ceci :

S = √p (p - une) (p - b) (p - c),

où a, b et c sont les côtés du triangle donné.

Parfois, la tâche est donnée: "l'aire d'un triangle régulier consiste à trouver la longueur de son côté". Dans ce cas, vous devez utiliser la formule que nous connaissons déjà pour trouver l'aire d'un triangle régulier et en déduire la valeur du côté (ou de son carré) :

A 2 \u003d 4S / √3.

Problèmes d'examen

Il existe de nombreuses formules dans les tâches du GIA en mathématiques. De plus, il est assez souvent nécessaire de trouver l'aire d'un triangle sur du papier quadrillé.

Dans ce cas, il est plus pratique de tracer la hauteur sur l'un des côtés de la figure, de déterminer sa longueur par cellules et d'utiliser la formule universelle pour trouver l'aire :

Ainsi, après avoir étudié les formules présentées dans l'article, vous n'aurez aucun problème à trouver l'aire d'un triangle de quelque nature que ce soit.

Instruction

Des soirées et les coins sont considérés comme des éléments de base un. Un triangle est complètement défini par l'un des éléments de base suivants : soit trois côtés, soit un côté et deux angles, soit deux côtés et un angle entre eux. Pour exister Triangle définis par trois côtés a, b, c, il faut et il suffit que les inégalités, dites inégalités Triangle:
a+b > c
a+c > b
b+c > a.

Pour la construction Triangle sur trois côtés a, b, c, il faut partir du point C du segment CB=a comment tracer un cercle de rayon b avec un compas. Ensuite, de la même manière, tracez un cercle à partir du point B avec un rayon égal au côté c. Leur point d'intersection A est le troisième sommet de la Triangle ABC, où AB=c, CB=a, CA=b - côtés Triangle. Le problème a , si les côtés a, b, c satisfont les inégalités Triangle spécifié à l'étape 1.

L'aire de S ainsi construite Triangle ABC de côtés connus a, b, c, est calculé par la formule de Heron :
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
où a, b, c sont des côtés Triangle, p est le demi-périmètre.
p = (a+b+c)/2

Si le triangle est équilatéral, c'est-à-dire que tous ses côtés sont égaux (a=b=c). Triangle calculé par la formule :
S=(a^2 v3)/4

Si le triangle est rectangle, c'est-à-dire que l'un de ses angles est de 90 ° et que les côtés qui le forment sont des jambes, le troisième côté est l'hypoténuse. Dans ce cas carré est égal au produit des jambes divisé par deux.
S=ab/2

Trouver carré Triangle, vous pouvez utiliser l'une des nombreuses formules. Choisissez la formule en fonction des données déjà connues.

Tu auras besoin de

• connaissance des formules pour trouver l'aire d'un triangle

Instruction

Si vous connaissez la valeur de l'un des côtés et la valeur de la hauteur abaissée de ce côté à partir du coin opposé, vous pouvez trouver l'aire en utilisant ce qui suit : S = a*h/2, où S est l'aire de ​​le triangle, a est l'un des côtés du triangle, et h - hauteur, au côté a.

Il existe un moyen connu pour déterminer l'aire d'un triangle si trois de ses côtés sont connus. Elle est la formule de Heron. Pour simplifier son enregistrement, une valeur intermédiaire est introduite - un demi-périmètre: p \u003d (a + b + c) / 2, où a, b, c - . Alors la formule de Heron est la suivante : S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^1, ^ exponentiation.

Supposons que vous connaissiez l'un des côtés d'un triangle et trois angles. Il est alors facile de trouver l'aire du triangle : S = a²sinα sinγ / (2sinβ), où β est l'angle opposé au côté a, et α et γ sont les angles adjacents au côté.

Vidéos connexes

Remarque

Le plus formule générale, qui convient à tous les cas - c'est la formule de Heron.

Sources:

Astuce 3 : Comment trouver l'aire d'un triangle étant donné trois côtés

Trouver l'aire d'un triangle est l'une des tâches les plus courantes en planimétrie scolaire. Connaître les trois côtés d'un triangle suffit pour déterminer l'aire de n'importe quel triangle. Dans les cas particuliers et les triangles équilatéraux, il suffit de connaître les longueurs de deux et d'un côté, respectivement.

Tu auras besoin de

• longueurs des côtés des triangles, formule de Heron, théorème du cosinus

Instruction

La formule de Heron pour l'aire d'un triangle est la suivante : S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Si vous peignez le demi-périmètre p, alors vous obtenez : S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) /2) ) = (carré((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Vous pouvez également dériver une formule pour l'aire d'un triangle à partir de considérations, par exemple, en appliquant le théorème du cosinus.

Selon la loi des cosinus, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). En utilisant la notation introduite, ceux-ci peuvent également être sous la forme : b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Par conséquent, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

L'aire d'un triangle est également trouvée par la formule S = a*c*sin(ABC)/2 à travers deux côtés et l'angle entre eux. Le sinus de l'angle ABC peut être exprimé en utilisant l'identité trigonométrique de base : sin (ABC) = sqrt (1- ((cos (ABC)) ^ 2) En remplaçant le sinus dans la formule de l'aire et en le peignant, vous pouvez venir à la formule de l'aire d'un triangle ABC.

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Pour travaux de réparation peut être nécessaire de mesurer carré des murs. C'est plus facile à calculer quantité requise peinture ou papier peint. Pour les mesures, il est préférable d'utiliser un ruban à mesurer ou un ruban centimétrique. Les mesures doivent être prises après des murs ont été alignés.

Tu auras besoin de

• -roulette;
• -échelle.

Instruction

Compter carré murs, vous devez connaître la hauteur exacte des plafonds, ainsi que mesurer la longueur le long du sol. Cela se fait comme suit: prenez un centimètre, posez-le sur le socle. Habituellement, un centimètre ne suffit pas pour toute la longueur, alors fixez-le dans le coin, puis déroulez-le à la longueur maximale. À ce stade, mettez une marque avec un crayon, notez le résultat et effectuez d'autres mesures de la même manière, en commençant par le dernier point de mesure.

Plafonds standard typiques - 2 mètres 80 centimètres, 3 mètres et 3 mètres 20 centimètres, selon la maison. Si la maison a été construite avant les années 50, la hauteur réelle est probablement légèrement inférieure à celle indiquée. Si vous calculez carré pour les travaux de réparation, une petite marge ne fera pas de mal - considérez en fonction de la norme. Si vous avez encore besoin de connaître la hauteur réelle, prenez des mesures. Le principe est similaire à la mesure de la longueur, mais vous aurez besoin d'un escabeau.

Multipliez les chiffres obtenus - c'est carré ton des murs. Certes, pour les travaux de peinture ou pour qu'il soit nécessaire de soustraire carré porte et ouvertures de fenêtres. Pour ce faire, posez un centimètre le long de l'ouverture. Si nous parlons d'une porte que vous allez changer plus tard, alors effectuez-la avec le cadre de porte, en tenant compte uniquement carré l'ouverture elle-même. La surface de la fenêtre est calculée le long du périmètre de son cadre. Après carré fenêtre et porte calculées, soustrayez le résultat de la surface totale de la pièce obtenue.

Veuillez noter que les mesures de la longueur et de la largeur de la pièce sont effectuées ensemble, il est plus facile de fixer un centimètre ou un ruban à mesurer et, par conséquent, d'obtenir un résultat plus précis. Prenez la même mesure plusieurs fois pour vous assurer que les chiffres que vous obtenez sont exacts.

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Trouver le volume d'un triangle est en effet une tâche non triviale. Le fait est qu'un triangle est une figure à deux dimensions, c'est-à-dire il se trouve entièrement dans un plan, ce qui signifie qu'il n'a tout simplement pas de volume. Bien sûr, vous ne pouvez pas trouver quelque chose qui n'existe pas. Mais n'abandonnons pas ! Nous pouvons faire l'hypothèse suivante - le volume d'une figure à deux dimensions, c'est son aire. Nous recherchons l'aire du triangle.

Tu auras besoin de

• feuille de papier, crayon, règle, calculatrice

Instruction

Dessinez sur une feuille de papier avec une règle et un crayon. En examinant attentivement le triangle, vous pouvez vous assurer qu'il n'en a vraiment pas, puisqu'il est dessiné sur un plan. Étiquetez les côtés du triangle : laissez un côté être le côté « a », l'autre côté « b » et le troisième côté « c ». Étiquetez les sommets du triangle avec les lettres "A", "B" et "C".

Mesurez n'importe quel côté du triangle avec une règle et notez le résultat. Après cela, restaurez la perpendiculaire au côté mesuré à partir du sommet opposé, une telle perpendiculaire sera la hauteur du triangle. Dans le cas représenté sur la figure, la perpendiculaire "h" est restaurée au côté "c" à partir du sommet "A". Mesurez la hauteur résultante avec une règle et notez le résultat de la mesure.

Il peut arriver que vous ayez du mal à restituer la perpendiculaire exacte. Dans ce cas, vous devez utiliser une formule différente. Mesurez tous les côtés du triangle avec une règle. Après cela, calculez le demi-périmètre du triangle "p" en ajoutant les longueurs résultantes des côtés et en divisant leur somme par deux. Ayant à votre disposition la valeur du demi-périmètre, vous pouvez utiliser la formule Heron. Pour ce faire, vous devez extraire Racine carrée parmi les suivants : p(p-a)(p-b)(p-c).

Vous avez obtenu la zone souhaitée du triangle. Le problème de trouver le volume d'un triangle n'a pas été résolu, mais comme mentionné ci-dessus, le volume n'est pas . Vous pouvez trouver le volume qui est essentiellement un triangle dans le monde 3D. Si nous imaginons que notre triangle d'origine est devenu une pyramide tridimensionnelle, le volume d'une telle pyramide sera le produit de la longueur de sa base et de l'aire du triangle que nous avons reçu.

Remarque

Les calculs seront plus précis plus vous prendrez les mesures avec soin.

Sources:

• Calculatrice All-to-All - Portail de référence
• volume du triangle en 2019

Les trois points qui définissent de manière unique un triangle dans le système de coordonnées cartésien sont ses sommets. Connaissant leur position par rapport à chacun des axes de coordonnées, vous pouvez calculer tous les paramètres de cette figure plate, y compris celui limité par son périmètre carré. Cela peut se faire de plusieurs manières.

Instruction

Utiliser la formule de Heron pour calculer la surface Triangle. Il s'agit des dimensions des trois côtés de la figure, alors commencez les calculs avec. La longueur de chaque côté doit être égale à la racine de la somme des carrés des longueurs de ses projections sur les axes de coordonnées. Si l'on note les coordonnées A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) et C(X₃,Y₃,Z₃), les longueurs de leurs côtés peuvent s'exprimer comme suit : AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Pour simplifier les calculs, entrez une variable auxiliaire - le demi-périmètre (P). À partir de là, c'est la moitié de la somme des longueurs de tous les côtés: P \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).