Qu'est-ce qu'un angle isocèle. Triangle isocèle

Définition 7. Un triangle isocèle est tout triangle dont les deux côtés sont égaux.
Deux côtés égaux sont appelés latéraux, le troisième - la base.
Définition 8. Si les trois côtés d'un triangle sont égaux, alors le triangle est appelé triangle équilatéral.
Il est privé triangle isocèle.
Théorème 18. La hauteur d'un triangle isocèle, abaissée à la base, est à la fois la bissectrice de l'angle entre côtés égaux, la médiane et l'axe de symétrie de la base.
Preuve. Abaissons la hauteur à la base d'un triangle isocèle. Elle le divisera en deux triangles rectangles égaux (le long de la jambe et de l'hypoténuse). Les angles A et C sont égaux, et la hauteur divise également la base en deux et sera l'axe de symétrie de toute la figure considérée.
Ce théorème peut aussi être formulé comme suit :
Théorème 18.1. La médiane d'un triangle isocèle, abaissée à la base, est à la fois la bissectrice de l'angle entre côtés égaux, hauteur et axe de symétrie de la base.
Théorème 18.2. La bissectrice d'un triangle isocèle, abaissée à la base, est à la fois la hauteur, la médiane et l'axe de symétrie de la base.
Théorème 18.3. L'axe de symétrie d'un triangle isocèle est également la bissectrice de l'angle entre les côtés égaux, la médiane et la hauteur.
La preuve de ces conséquences découle aussi de l'égalité des triangles en lesquels le triangle isocèle est divisé.

Théorème 19. Les angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux.
Preuve. Abaissons la hauteur à la base d'un triangle isocèle. Elle le divisera en deux triangles rectangles égaux (le long de la jambe et de l'hypoténuse), ce qui signifie que les angles correspondants sont égaux, c'est-à-dire ∠ A=∠ C
Les signes d'un triangle isocèle proviennent du théorème 1 et de ses corollaires et du théorème 2.
Théorème 20. Si deux des quatre lignes indiquées (hauteur, médiane, bissectrice, axe de symétrie) coïncident, alors le triangle sera isocèle (ce qui signifie que les quatre lignes coïncideront).
Théorème 21. Si deux angles d'un triangle sont égaux, alors il est isocèle.

Preuve: Semblable à la preuve du théorème direct, mais en utilisant le deuxième critère d'égalité des triangles. Le centre de gravité, les centres des cercles circonscrits et inscrits et le point d'intersection des hauteurs d'un triangle isocèle - tous se trouvent sur son axe de symétrie, c'est-à-dire en haut.
Un triangle équilatéral est isocèle pour chaque paire de ses côtés. Compte tenu de l'égalité de tous ses côtés, les trois angles d'un tel triangle sont égaux. Considérant que la somme des angles de tout triangle est égale à deux angles droits, on voit que chacun des angles d'un triangle équilatéral est égal à 60°. A l'inverse, pour s'assurer que tous les côtés d'un triangle sont égaux, il suffit de vérifier que deux de ses trois angles sont égaux à 60°.
Théorème 22 . Dans un triangle équilatéral, tous les points remarquables coïncident : le centre de gravité, les centres des cercles inscrits et circonscrits, le point d'intersection des hauteurs (appelé orthocentre du triangle).
Théorème 23 . Si deux des quatre points indiqués coïncident, alors le triangle sera équilatéral et, par conséquent, les quatre points nommés coïncideront.
En effet, un tel triangle sera, d'après le précédent, isocèle par rapport à toute paire de côtés, c'est-à-dire équilatéral. Un triangle équilatéral est aussi appelé triangle rectangle. L'aire d'un triangle isocèle est égale à la moitié du produit du carré du côté et du sinus de l'angle entre les côtés
Considérez cette formule pour un triangle équilatéral, alors l'angle alpha sera de 60 degrés. La formule deviendra alors la suivante :

Théorème d1 . Dans un triangle isocèle, les médianes tracées sur les côtés sont égales.

Preuve: Soit ABC un triangle isocèle (AC = BC), AK et BL ses médianes. Alors les triangles AKB et ALB sont congruents selon le second critère d'égalité des triangles. Ils ont un côté commun AB, les côtés AL et BK sont égaux à la moitié des côtés d'un triangle isocèle, et les angles LAB et KBA sont égaux aux angles à la base d'un triangle isocèle. Comme les triangles sont congrus, leurs côtés AK et LB sont égaux. Mais AK et LB sont les médianes d'un triangle isocèle dessiné sur ses côtés.
Théorème d2 . Dans un triangle isocèle, les bissectrices tracées sur les côtés sont égales.

Preuve: Soit ABC un triangle isocèle (AC = BC), AK et BL ses bissectrices. Les triangles AKB et ALB sont congrus selon le deuxième critère d'égalité des triangles. Ils ont un côté commun AB, les angles LAB et KBA sont égaux aux angles à la base d'un triangle isocèle, et les angles LBA et KAB sont égaux à la moitié des angles à la base d'un triangle isocèle. Puisque les triangles sont congrus, leurs côtés AK et LB - les bissectrices du triangle ABC - sont égaux. Le théorème a été démontré.
Théorème d3 . Dans un triangle isocèle, les hauteurs abaissées aux côtés sont égales.

Preuve: Soit ABC un triangle isocèle (AC = BC), AK et BL ses hauteurs. Alors les angles ABL et KAB sont égaux, puisque les angles ALB et AKB sont des angles droits, et les angles LAB et ABK sont égaux comme les angles à la base d'un triangle isocèle. Ainsi, les triangles ALB et AKB sont congrus selon le deuxième critère d'égalité des triangles : ils ont un côté AB commun, les angles KAB et LBA sont égaux d'après ce qui précède, et les angles LAB et KBA sont égaux comme les angles à la base de un triangle isocèle. Si les triangles sont égaux, leurs côtés AK et BL sont également égaux. Q.E.D.

Sujet de la leçon

Triangle isocèle

Le but de la leçon

Présenter aux élèves le triangle isocèle ;
Continuez à former les compétences de construction de triangles rectangles;
Développer les connaissances des écoliers sur les propriétés des triangles isocèles;
Consolider les connaissances théoriques dans la résolution de problèmes.

Objectifs de la leçon

Être capable de formuler, de prouver et d'utiliser le théorème sur les propriétés d'un triangle isocèle dans le processus de résolution de problèmes ;
Poursuivre le développement de la perception consciente du matériel pédagogique, de la pensée logique, de la maîtrise de soi et des compétences d'auto-évaluation ;
Susciter l'intérêt cognitif pour les cours de mathématiques ;
Cultiver l'activité, la curiosité et l'organisation.

Plan de cours

1. Concepts généraux et les définitions d'un triangle isocèle.
2. Propriétés d'un triangle isocèle.
3. Signes d'un triangle isocèle.
4. Questions et tâches.

Triangle isocèle

Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés égaux, appelés les côtés d'un triangle isocèle, et son troisième côté est appelé la base.

Le sommet de cette figure est celui qui se trouve en face de sa base.

L'angle opposé à la base est appelé l'angle au sommet de ce triangle, et les deux autres angles sont appelés les angles à la base du triangle isocèle.

Types de triangles isocèles

Un triangle isocèle, comme les autres figures, peut avoir différents types. Les triangles isocèles comprennent les triangles aigus, rectangles, obtus et équilatéraux.

Un triangle aigu a tous les angles aigus.
Un triangle rectangle a un angle droit à son sommet et des angles aigus à sa base.
obtus a angle obtus au sommet, et à sa base les angles sont aigus.
Un équilatéral a tous ses angles et ses côtés égaux.

Propriétés d'un triangle isocèle

Les angles opposés par rapport aux côtés égaux d'un triangle isocèle sont égaux entre eux;

Les bissectrices, les médianes et les hauteurs tirées d'angles opposés aux côtés égaux d'un triangle sont égales les unes aux autres.

La bissectrice, la médiane et la hauteur, dirigées et dessinées à la base du triangle, coïncident l'une avec l'autre.

Les centres des cercles inscrits et circonscrits se trouvent à la hauteur, bissectrice et médiane, (ils coïncident) tirés vers la base.

Les angles opposés aux côtés égaux d'un triangle isocèle sont toujours aigus.

Ces propriétés d'un triangle isocèle sont utilisées pour résoudre des problèmes.

Devoirs

1. Définissez un triangle isocèle.
2. Quelle est la particularité de ce triangle ?
3. Quelle est la différence entre un triangle isocèle et un triangle rectangle ?
4. Nommez les propriétés d'un triangle isocèle que vous connaissez.
5. Pensez-vous qu'il est possible en pratique de vérifier l'égalité des angles à la base et comment le faire ?

Exercer

Et maintenant, faisons un petit quiz et découvrons comment vous avez appris le nouveau matériel.

Écoutez attentivement les questions et répondez si l'énoncé suivant est vrai :

1. Un triangle peut-il être considéré comme isocèle si ses deux côtés sont égaux ?
2. Une bissectrice est un segment qui relie le sommet d'un triangle au milieu du côté opposé ?
3. Une bissectrice est-elle un segment qui divise l'angle qui coupe en deux un sommet avec un point du côté opposé ?

Conseils pour résoudre les problèmes de triangle isocèle :

1. Pour déterminer le périmètre d'un triangle isocèle, il suffit de multiplier la longueur du côté par 2 et d'ajouter ce produit à la longueur de la base du triangle.
2. Si le périmètre et la longueur de la base d'un triangle isocèle sont connus dans le problème, alors pour trouver la longueur du côté latéral, il suffit de soustraire la longueur de la base du périmètre et de diviser la différence trouvée par 2.
3. Et pour trouver la longueur de la base d'un triangle isocèle, connaissant à la fois le périmètre et la longueur du côté, il vous suffit de multiplier le côté par deux et de soustraire ce produit du périmètre de notre triangle.

Tâches:

1. Parmi les triangles de la figure, déterminez-en un supplémentaire et expliquez votre choix :

2. Déterminez lesquels des triangles illustrés sur la figure sont isocèles, nommez leurs bases et leurs côtés et calculez également leur périmètre.

3. Le périmètre d'un triangle isocèle est de 21 cm. Trouve les côtés de ce triangle si l'un d'eux est plus grand de 3 cm. Combien de solutions ce problème peut-il avoir ?

4. On sait que si le côté latéral et l'angle opposé à la base d'un triangle isocèle sont égaux au côté latéral et à l'angle de l'autre, alors ces triangles seront égaux. Démontrez cette affirmation.

5. Réfléchissez et dites, est-ce qu'un triangle isocèle est équilatéral ? Et est-ce que tout triangle équilatéral sera isocèle ?

6. Si les côtés d'un triangle isocèle mesurent 4 m et 5 m, alors quel sera son périmètre ? Combien de solutions ce problème peut-il avoir ?

7. Si l'un des angles d'un triangle isocèle est égal à 91 degrés, alors à quoi sont égaux les autres angles ?

8. Réfléchissez et répondez, quels angles un triangle doit-il avoir pour qu'il soit à la fois rectangulaire et isocèle ?

Connaissez-vous le triangle de Pascal ? Le triangle de Pascal est souvent demandé pour tester les compétences de base en programmation. En général, le triangle de Pascal fait référence à la combinatoire et à la théorie des probabilités. Quel est donc ce triangle ?

Le triangle de Pascal est un triangle arithmétique infini ou un tableau en forme de triangle formé à l'aide de coefficients binomiaux. En mots simples, le sommet et les côtés de ce triangle sont des unités, et il est rempli des sommes des deux nombres situés au-dessus. Vous pouvez ajouter un tel triangle à l'infini, mais si vous le tracez, nous obtenons un triangle isocèle avec des lignes symétriques autour de son axe vertical.

Pensez où dans Vie courante Avez-vous déjà rencontré des triangles isocèles ? N'est-il pas vrai que les toits des maisons et des structures architecturales anciennes les rappellent beaucoup ? Et rappelez-vous, quelle est la base des pyramides égyptiennes ? Où avez-vous déjà vu des triangles isocèles ?

Les triangles isocèles des temps anciens ont aidé les Grecs et les Égyptiens à déterminer les distances et les hauteurs. Ainsi, par exemple, les anciens Grecs l'utilisaient pour déterminer de loin la distance au navire dans la mer. Et les anciens Égyptiens déterminaient la hauteur de leurs pyramides en raison de la longueur de l'ombre portée, parce que. c'était un triangle isocèle.

Depuis l'Antiquité, les gens ont déjà apprécié la beauté et l'aspect pratique de cette figure, car les formes de triangles nous entourent partout. En traversant différents villages, nous voyons les toits des maisons et autres structures qui nous rappellent un triangle isocèle Lorsque nous allons dans un magasin, nous voyons des sacs de nourriture et de jus forme triangulaire et même certains visages humains sont de forme triangulaire. Ce chiffre est si populaire qu'il peut être trouvé à chaque tournant.

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Triangle isocèle est un triangle dont les deux côtés ont la même longueur. Les côtés égaux sont appelés latéraux, et le dernier - la base. Par définition, un triangle régulier est aussi isocèle, mais l'inverse n'est pas vrai.

Propriétés

• Les angles opposés aux côtés égaux d'un triangle isocèle sont égaux entre eux. Les bissectrices, les médianes et les hauteurs tirées de ces angles sont également égales.
• La bissectrice, la médiane, la hauteur et la bissectrice perpendiculaire dessinées à la base coïncident les unes avec les autres. Les centres des cercles inscrits et circonscrits se trouvent sur cette ligne.
• Les angles opposés aux côtés égaux sont toujours aigus (déduit de leur égalité).

Laisser un est la longueur de deux côtés égaux d'un triangle isocèle, b- la longueur du troisième côté, α et β - angles correspondants, R- rayon du cercle circonscrit, r- le rayon de l'inscrit.

Les côtés peuvent être trouvés comme ceci:

Les angles peuvent être exprimés de la manière suivante :

Le périmètre d'un triangle isocèle peut être calculé de l'une des manières suivantes :

L'aire d'un triangle peut être calculée de l'une des manières suivantes :

(Formule de Héron).

panneaux

• Les deux angles d'un triangle sont égaux.
• La hauteur est la même que la médiane.
• La hauteur coïncide avec la bissectrice.
• La bissectrice est la même que la médiane.
• Les deux hauteurs sont égales.
• Les deux médianes sont égales.
• Deux bissectrices sont égales (théorème de Steiner-Lemus).

voir également

Fondation Wikimédia. 2010 .

Voyez ce qu'est le "triangle isocèle" dans d'autres dictionnaires :

TRIANGLE ISOSHELES, UN TRIANGLE ayant deux côtés égaux en longueur; les angles de ces côtés sont également égaux ... Dictionnaire encyclopédique scientifique et technique

Et (simple) triangle, triangle, mari. 1. Une figure géométrique délimitée par trois lignes droites se coupant mutuellement formant trois angles internes (mat.). Triangle obtus. Triangle aigu. Triangle rectangle.… … Dictionnaire Ouchakov

ISOSHELES, oy, oy : triangle isocèle à deux côtés égaux. | nom isocèle, et, épouses. Dictionnaire explicatif d'Ozhegov. SI. Ozhegov, N.Yu. Shvedova. 1949 1992 ... Dictionnaire explicatif d'Ozhegov

Triangle- ▲ un polygone ayant trois angles triangle est le polygone le plus simple ; est donnée par 3 points qui ne sont pas sur la même droite. triangulaire. angle aigu. à angle aigu. triangle rectangle: cathéter. hypoténuse. triangle isocèle. ▼… … Dictionnaire idéographique de la langue russe

Triangle- TRIANGLE1, dont a, m ou avec def. Un objet qui a la forme d'une figure géométrique délimitée par trois lignes droites qui se croisent formant trois angles internes. Elle a trié les lettres de son mari, les triangles jaunis de première ligne. TRIANGLE2, a, m ... ... Dictionnaire explicatif des noms russes

Ce terme a d'autres significations, voir Triangle (significations). Un triangle (dans l'espace euclidien) est figure géométrique, formé de trois segments qui relient trois points qui ne se trouvent pas sur une ligne droite. Trois points, ... ... Wikipedia

Triangle (polygone)- Triangles : 1 aigu, rectangulaire et obtus ; 2 réguliers (équilatéraux) et isocèles ; 3 bissectrices ; 4 médianes et centre de gravité ; 5 hauteurs ; 6 orthocentre ; 7 ligne médiane. TRIANGLE, polygone à 3 côtés. Parfois sous... Dictionnaire encyclopédique illustré

Dictionnaire encyclopédique

Triangle- un; m.1) a) Une figure géométrique délimitée par trois droites sécantes formant trois angles intérieurs. Rectangulaire, triangle isocèle/lin. Calculer l'aire du triangle. b) rép. quoi ou avec def. Une figure ou un objet d'une telle forme. ... ... Dictionnaire de nombreuses expressions

MAIS; M. 1. Figure géométrique délimitée par trois droites sécantes formant trois angles intérieurs. Rectangulaire, isocèle M. Calculez l'aire du triangle. // quoi ou avec def. Une figure ou un objet d'une telle forme. T. toit. T.… … Dictionnaire encyclopédique

Les premiers historiens de notre civilisation - les anciens Grecs - mentionnent l'Egypte comme le berceau de la géométrie. Il est difficile d'être en désaccord avec eux, sachant avec quelle étonnante précision les tombes géantes des pharaons ont été érigées. Arrangement mutuel les plans des pyramides, leurs proportions, leur orientation par rapport aux points cardinaux - il serait impensable d'atteindre une telle perfection sans connaître les bases de la géométrie.

Le mot même "géométrie" peut être traduit par "mesure de la terre". De plus, le mot "terre" n'agit pas comme une planète - partie système solaire, mais comme un avion. Marquage des zones pour l'entretien Agriculture, très probablement, est la base très originale de la science des formes géométriques, de leurs types et propriétés.

Un triangle est la figure spatiale la plus simple de la planimétrie, ne contenant que trois points - des sommets (il n'y en a pas moins). La fondation des fondations est peut-être la raison pour laquelle quelque chose de mystérieux et d'ancien semble s'y trouver. L'œil qui voit tout à l'intérieur d'un triangle est l'un des premiers signes occultes connus, et la géographie de sa distribution et sa période sont tout simplement incroyables. Des anciennes civilisations égyptiennes, sumériennes, aztèques et autres aux communautés plus modernes d'amoureux occultes dispersés dans le monde entier.

Que sont les triangles

Un triangle scalène ordinaire est une figure géométrique fermée, composée de trois segments de longueurs différentes et de trois angles, dont aucun n'est droit. En plus de cela, il existe plusieurs types spéciaux.

Un triangle aigu a tous ses angles inférieurs à 90 degrés. En d'autres termes, tous les angles d'un tel triangle sont aigus.

Un triangle rectangle, sur lequel les écoliers ont pleuré à tout moment à cause de l'abondance de théorèmes, a un angle d'une valeur de 90 degrés, ou, comme on l'appelle aussi, un angle droit.

Un triangle obtus se distingue par le fait que l'un de ses angles est obtus, c'est-à-dire que sa valeur est supérieure à 90 degrés.

Un triangle équilatéral a trois côtés de même longueur. Dans une telle figure, tous les angles sont également égaux.

Et enfin, pour un triangle isocèle de trois partis les deux sont égaux.

Caractéristiques distinctives

Les propriétés d'un triangle isocèle déterminent également sa différence principale - l'égalité des deux côtés. Ces côtés égaux sont généralement appelés les hanches (ou, plus souvent, les côtés), mais le troisième côté est appelé la "base".

Dans la figure considérée, a = b.

Le deuxième signe d'un triangle isocèle découle du théorème des sinus. Puisque les côtés a et b sont égaux, les sinus de leurs angles opposés sont également égaux :

a/sin γ = b/sin α, d'où on a : sin γ = sin α.

De l'égalité des sinus découle l'égalité des angles : γ = α.

Ainsi, le deuxième signe d'un triangle isocèle est l'égalité de deux angles adjacents à la base.

Troisième signe. Dans un triangle, des éléments tels que la hauteur, la bissectrice et la médiane sont distingués.

Si, au cours de la résolution du problème, il s'avère que dans le triangle considéré, deux de ces éléments coïncident: la hauteur avec la bissectrice; bissectrice avec médiane ; médiane avec la hauteur - nous pouvons certainement conclure que le triangle est isocèle.

Propriétés géométriques d'une figure

1. Propriétés d'un triangle isocèle. L'une des qualités distinctives de la figure est l'égalité des angles adjacents à la base:

<ВАС = <ВСА.

2. Une autre propriété discutée ci-dessus : la médiane, la bissectrice et la hauteur dans un triangle isocèle sont les mêmes si elles sont construites du sommet à la base.

3. L'égalité des bissectrices tirées des sommets à la base :

Si AE est la bissectrice de l'angle BAC et CD est la bissectrice de l'angle BCA, alors : AE = DC.

4. Les propriétés d'un triangle isocèle prévoient également l'égalité des hauteurs tirées des sommets à la base.

Si nous construisons les hauteurs du triangle ABC (où AB = BC) à partir des sommets A et C, alors les segments résultants CD et AE seront égaux.

5. Les médianes tirées des coins à la base se révéleront également égales.

Donc, si AE et DC sont des médianes, c'est-à-dire AD = DB et BE = EC, alors AE = DC.

Hauteur d'un triangle isocèle

L'égalité des côtés et des angles à ceux-ci introduit quelques traits dans le calcul des longueurs des éléments de la figure en question.

La hauteur dans un triangle isocèle divise la figure en 2 triangles rectangles symétriques dont les hypoténuses sont les côtés. La hauteur dans ce cas est déterminée selon le théorème de Pythagore, comme une jambe.

Un triangle peut avoir ses trois côtés égaux, on l'appellera alors équilatéral. La hauteur dans un triangle équilatéral est déterminée de la même manière, seulement pour les calculs, il suffit de connaître une seule valeur - la longueur du côté de ce triangle.

Vous pouvez déterminer la hauteur d'une autre manière, par exemple en connaissant la base et l'angle qui lui est adjacent.

Médiane d'un triangle isocèle

Le type de triangle considéré, en raison des caractéristiques géométriques, est résolu tout simplement par l'ensemble minimum de données initiales. Puisque la médiane d'un triangle isocèle est égale à la fois à sa hauteur et à sa bissectrice, l'algorithme pour la déterminer n'est pas différent de l'ordre dans lequel ces éléments sont calculés.

Par exemple, vous pouvez déterminer la longueur de la médiane par le côté latéral connu et la valeur de l'angle au sommet.

Comment déterminer le périmètre

Puisque la figure planimétrique considérée a deux côtés toujours égaux, pour déterminer le périmètre il suffit de connaître la longueur de la base et la longueur d'un des côtés.

Prenons un exemple lorsque vous devez déterminer le périmètre d'un triangle en fonction de la base et de la hauteur connues.

Le périmètre est égal à la somme de la base et au double de la longueur du côté. Le côté latéral, à son tour, est déterminé en utilisant le théorème de Pythagore comme hypoténuse d'un triangle rectangle. Sa longueur est égale à la racine carrée de la somme du carré de la hauteur et du carré de la moitié de la base.

Aire d'un triangle isocèle

Ne cause généralement pas de difficultés et le calcul de l'aire d'un triangle isocèle. La règle universelle pour déterminer l'aire d'un triangle comme la moitié du produit de la base et de sa hauteur s'applique, bien sûr, dans notre cas. Cependant, les propriétés d'un triangle isocèle facilitent à nouveau la tâche.

Supposons que nous connaissions la hauteur et l'angle adjacent à la base. Vous devez déterminer l'aire de la figure. Vous pouvez le faire de cette façon.

Puisque la somme des angles de tout triangle est de 180°, il n'est pas difficile de déterminer la grandeur de l'angle. De plus, en utilisant la proportion établie selon le théorème des sinus, la longueur de la base du triangle est déterminée. Tout, base et hauteur - des données suffisantes pour déterminer la superficie - sont disponibles.

Autres propriétés d'un triangle isocèle

La position du centre d'un cercle circonscrit à un triangle isocèle dépend de l'angle du sommet. Ainsi, si un triangle isocèle est à angle aigu, le centre du cercle est situé à l'intérieur de la figure.

Le centre d'un cercle circonscrit à un triangle isocèle obtus se trouve à l'extérieur de celui-ci. Et, enfin, si l'angle au sommet est de 90°, le centre se trouve exactement au milieu de la base et le diamètre du cercle passe par la base elle-même.

Pour déterminer le rayon d'un cercle circonscrit à un triangle isocèle, il suffit de diviser la longueur du côté latéral par le double du cosinus de la moitié de l'angle au sommet.

Dans cette leçon, le sujet "Le triangle isocèle et ses propriétés" sera abordé. Vous apprendrez à quoi ressemblent les triangles isocèles et équilatéraux et comment ils sont caractérisés. Démontrer le théorème sur l'égalité des angles à la base d'un triangle isocèle. Considérons également le théorème de la bissectrice (médiane et hauteur) tracé à la base d'un triangle isocèle. À la fin de la leçon, vous aborderez deux problèmes utilisant la définition et les propriétés d'un triangle isocèle.

Définition:Isocèle On appelle triangle celui qui a deux côtés égaux.

Riz. 1. Triangle isocèle

AB = AC - côtés. BC - base.

L'aire d'un triangle isocèle est la moitié du produit de sa base par sa hauteur.

Définition:équilatéral On appelle un triangle dont les trois côtés sont égaux.

Riz. 2. Triangle équilatéral

AB = BC = SA.

Théorème 1 : Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux.

Donné: AB = CA.

Prouver:∠B = ∠C.

Riz. 3. Tirer le théorème

Preuve: triangle ABC \u003d triangle DIA selon le premier signe (sur deux côtés égaux et l'angle entre eux). De l'égalité des triangles découle l'égalité de tous les éléments correspondants. Donc, ∠B = ∠C, ce qui devait être prouvé.

Théorème 2 : Dans un triangle isocèle bissecteur tiré à la base est médian et haut.

Donné: AB = AC, ∠1 = ∠2.

Prouver: BD = DC, AD perpendiculaire à BC.

Riz. 4. Dessin pour le théorème 2

Preuve: triangle ADB = triangle ADC par le premier trait (AD - commun, AB = AC par condition, ∠BAD = ∠DAC). De l'égalité des triangles découle l'égalité de tous les éléments correspondants. BD = DC puisqu'ils sont opposés à des angles égaux. Donc AD est la médiane. Aussi ∠3 = ∠4 puisqu'ils sont opposés aux côtés égaux. Mais, en plus, ils sont égaux au total. Par conséquent, ∠3 = ∠4 = . Par conséquent, AD est la hauteur du triangle, qui devait être prouvée.

Dans le seul cas a = b = . Dans ce cas, les droites AC et BD sont dites perpendiculaires.

Étant donné que la bissectrice, la hauteur et la médiane sont le même segment, les affirmations suivantes sont également vraies :

La hauteur d'un triangle isocèle tiré à la base est la médiane et la bissectrice.

La médiane d'un triangle isocèle tracé à la base est la hauteur et la bissectrice.

Exemple 1: Dans un triangle isocèle, la base est la moitié de la taille du côté et le périmètre est de 50 cm.Trouvez les côtés du triangle.

Donné: AB = AC, BC = AC. P = 50 cm.

Trouver: C.-B., AC, AB.

La solution:

Riz. 5. Dessin de l'exemple 1

Nous désignons la base BC par a, puis AB \u003d AC \u003d 2a.

2a + 2a + a = 50.

5a = 50, a = 10.

Réponse: BC = 10 cm, AC = AB = 20 cm.

Exemple 2 : Démontrer que tous les angles d'un triangle équilatéral sont égaux.

Donné: AB = BC = SA.

Prouver:∠A = ∠B = ∠C.

Preuve:

Riz. 6. Dessiner par exemple

∠B = ∠C, puisque AB=AC, et ∠A = ∠B, puisque AC = BC.

Par conséquent, ∠A = ∠B = ∠C, ce qui devait être prouvé.

Réponse:Éprouvé.

Dans la leçon d'aujourd'hui, nous avons examiné un triangle isocèle, étudié ses propriétés de base. Dans la prochaine leçon, nous allons résoudre des problèmes sur le thème d'un triangle isocèle, sur le calcul de l'aire d'un triangle isocèle et équilatéral.

1. Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. etc. Géométrie 7. - M. : Lumières.
2. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. et autres Géométrie 7. 5e éd. - M. : Lumières.
3. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Géométrie 7 / V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolova, éd. Sadovnichy V.A. - M. : Éducation, 2010.

1. Dictionnaires et encyclopédies sur "Akademik" ().
2. Festival d'idées pédagogiques "Leçon Ouverte" ().
3. Kaknauchit.ru ().

1. N° 29. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Géométrie 7 / V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolova, éd. Sadovnichy V.A. - M. : Éducation, 2010.

2. Le périmètre d'un triangle isocèle est de 35 cm et la base est trois fois plus petite que le côté. Trouvez les côtés du triangle.

3. Soit : AB = BC. Montrer que ∠1 = ∠2.

4. Le périmètre d'un triangle isocèle est de 20 cm, un de ses côtés est le double de l'autre. Trouvez les côtés du triangle. Combien de solutions le problème a-t-il ?