Trouvez la plus grande racine du journal de l'équation. Équations logarithmiques

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Équations logarithmiques. Nous continuons à considérer les tâches de la partie B de l'examen d'État unifié en mathématiques. Nous avons déjà considéré les solutions de certaines équations dans les articles "", "". Dans cet article, nous allons considérer les équations logarithmiques. Je dois dire tout de suite qu'il n'y aura pas de transformations complexes lors de la résolution de telles équations à l'USE. Ils sont simples.

Il suffit de connaître et de comprendre l'identité logarithmique de base, de connaître les propriétés du logarithme. Faites attention au fait qu'après la décision, il est OBLIGATOIRE de faire une vérification - substituez la valeur résultante dans l'équation d'origine et calculez, en conséquence, l'égalité correcte doit être obtenue.

Définition:

Le logarithme du nombre a à la base b est l'exposant,auquel b doit être élevé pour obtenir a.

Par exemple:

Log 3 9 = 2 puisque 3 2 = 9

Propriétés des logarithmes :

Cas particuliers de logarithmes :

Nous résolvons des problèmes. Dans le premier exemple, nous allons faire une vérification. Effectuez vous-même les vérifications suivantes.

Trouvez la racine de l'équation : log 3 (4–x) = 4

Puisque log b a = x b x = a, alors

3 4 \u003d 4 - x

x = 4 - 81

x = -77

Examen:

log 3 (4–(–77)) = 4

bûche 3 81 = 4

3 4 = 81 Correct.

Réponse : - 77

Décider vous-même:

Trouver la racine de l'équation : log 2 (4 - x) = 7

Trouver la racine de l'équation log 5(4 + x) = 2

Nous utilisons l'identité logarithmique de base.

Puisque log a b = x b x = a, alors

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x=21

Examen:

bûche 5 (4 + 21) = 2

bûche 5 25 = 2

5 2 = 25 Correct.

Réponse : 21

Trouvez la racine de l'équation log 3 (14 - x) = log 3 5.

La propriété suivante a lieu, sa signification est la suivante: si sur les côtés gauche et droit de l'équation nous avons des logarithmes avec la même base, alors nous pouvons assimiler les expressions sous les signes des logarithmes.

14 - x = 5

x=9

Faites un chèque.

Réponse : 9

Décider vous-même:

Trouvez la racine de l'équation log 5 (5 - x) = log 5 3.

Trouvez la racine de l'équation : log 4 (x + 3) = log 4 (4x - 15).

Si log c a = log c b, alors a = b

x + 3 = 4x - 15

3x = 18

x=6

Faites un chèque.

Réponse : 6

Trouvez la racine de l'équation log 1/8 (13 - x) = - 2.

(1/8) -2 = 13 - x

8 2 \u003d 13 - x

x = 13 - 64

x = -51

Faites un chèque.

Un petit ajout - ici la propriété est utilisée

diplôme().

Réponse : - 51

Décider vous-même:

Trouver la racine de l'équation : log 1/7 (7 - x) = - 2

Trouvez la racine de l'équation log 2 (4 - x) = 2 log 2 5.

Transformons le côté droit. utilisez la propriété :

log a b m = m∙ log a b

log 2 (4 - x) = log 2 5 2

Si log c a = log c b, alors a = b

4 – x = 5 2

4 - x = 25

x = -21

Faites un chèque.

Réponse : - 21

Décider vous-même:

Trouvez la racine de l'équation : log 5 (5 - x) = 2 log 5 3

Résoudre l'équation log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Si log c a = log c b, alors a = b

x2 + 4x = x2 + 11

4x = 11

x=2,75

Faites un chèque.

Réponse : 2,75

Décider vous-même:

Trouvez la racine de l'équation log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).

Résolvez l'équation log 2 (2 - x) = log 2 (2 - 3x) +1.

Obligatoire avec côté droitéquations pour obtenir une expression de la forme :

bûche 2 (......)

Représenter 1 comme un logarithme de base 2 :

1 = journal 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

log 2 (2 - x) = log 2 (2 - 3x) + log 2 2

On a:

log 2 (2 - x) = log 2 2 (2 - 3x)

Si log c a = log c b, alors a = b, alors

2-x = 4-6x

5x = 2

x=0,4

Faites un chèque.

Réponse : 0,4

Décider vous-même: Ensuite, vous devez décider équation quadratique. D'ailleurs,

les racines sont 6 et -4.

Racine "-4" n'est pas une solution puisque la base du logarithme doit être Au dessus de zéro, et quand "– 4" est égal à " – 5". La solution est la racine 6.Faites un chèque.

Réponse : 6.

R manger seul :

Résolvez l'équation log x –5 49 = 2. Si l'équation a plus d'une racine, répondez par la plus petite.

Comme vous pouvez le voir, pas de transformations complexes avec des équations logarithmiquesnon. Il suffit de connaître les propriétés du logarithme et de pouvoir les appliquer. Dans les tâches USE liées à la transformation d'expressions logarithmiques, des transformations plus sérieuses sont effectuées et des compétences plus approfondies en résolution sont requises. Nous examinerons de tels exemples, ne le manquez pas!Je te souhaite du succès!!!

Sincèrement, Alexandre Krutitskikh.

P.S: Je vous serais reconnaissant de parler du site dans les réseaux sociaux.

Algèbre 11e année

Sujet : "Méthodes de résolution d'équations logarithmiques"

Objectifs de la leçon:

éducatif: la formation de connaissances sur différentes façons résoudre des équations logarithmiques, la capacité de les appliquer dans chaque situation particulière et choisissez n'importe quelle méthode à résoudre;

développement : développement des compétences pour observer, comparer, appliquer les connaissances dans une nouvelle situation, identifier des modèles, généraliser ; formation de compétences de contrôle mutuel et de maîtrise de soi;

éducatif: éducation à une attitude responsable envers le travail éducatif, perception attentive du matériel de la leçon, exactitude de la tenue des dossiers.

Type de leçon: une leçon de familiarisation avec du nouveau matériel.

"L'invention des logarithmes, en raccourcissant le travail de l'astronome, a allongé sa vie."
Mathématicien et astronome français P.S. Laplace

Pendant les cours

I. Définir l'objectif de la leçon

La définition étudiée du logarithme, les propriétés des logarithmes et la fonction logarithmique nous permettront de résoudre des équations logarithmiques. Toutes les équations logarithmiques, quelle que soit leur complexité, sont résolues à l'aide des mêmes algorithmes. Nous examinerons ces algorithmes aujourd'hui dans la leçon. Il y en a peu. Si vous les maîtrisez, alors n'importe quelle équation avec des logarithmes sera faisable pour chacun d'entre vous.

Écrivez dans votre cahier le sujet de la leçon : "Méthodes pour résoudre des équations logarithmiques". J'invite tout le monde à coopérer.

II. Actualisation des connaissances de base

Préparons-nous à étudier le sujet de la leçon. Vous résolvez chaque tâche et écrivez la réponse, vous ne pouvez pas écrire la condition. Travailler en équipe de deux.

1) Pour quelles valeurs de x la fonction a-t-elle un sens :

(Les réponses sont vérifiées pour chaque diapositive et les erreurs sont triées)

2) Les graphiques de fonction correspondent-ils ?

3) Réécrivez les égalités en égalités logarithmiques :

4) Écrivez les nombres sous forme de logarithmes de base 2 :

5) Calculez :

6) Essayez de restaurer ou de compléter les éléments manquants dans ces égalités.

III. Présentation du nouveau matériel

La déclaration s'affiche à l'écran :

"L'équation est la clé d'or qui déverrouille tous les sésames mathématiques."
Mathématicien polonais moderne S. Koval

Essayez de formuler la définition d'une équation logarithmique. (Une équation contenant l'inconnue sous le signe du logarithme).

Envisager l'équation logarithmique la plus simple :Journalunx = b(où a>0, a ≠ 1). Puisque la fonction logarithmique augmente (ou diminue) sur l'ensemble des nombres positifs et prend toutes les valeurs réelles, il découle du théorème racine que pour tout b équation donnée a, et de plus, une seule solution, et positive.

Rappelez-vous la définition d'un logarithme. (Le logarithme du nombre x à la base a est l'exposant auquel la base a doit être élevée pour obtenir le nombre x). Il résulte immédiatement de la définition du logarithme que undans est une telle solution.

Notez le titre : Méthodes de résolution d'équations logarithmiques

1. Par définition du logarithme.

C'est ainsi que des équations simples de la forme sont résolues.

Envisager N° 514(un): Résous l'équation

Comment proposez-vous de le résoudre ? (Par définition du logarithme)

La solution. , D'où 2x - 4 = 4 ; x = 4.

Dans cette tâche, 2x - 4 > 0, puisque > 0, par conséquent, les racines étrangères ne peuvent pas apparaître, et il n'est pas nécessaire de vérifier. La condition 2x - 4 > 0 n'est pas nécessaire d'écrire dans cette tâche.

2. La potentialisation(passage du logarithme de l'expression donnée à cette expression elle-même).

Envisager N° 519(g) : log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

Quelle fonctionnalité avez-vous remarquée ? (Les bases sont les mêmes et les logarithmes des deux expressions sont égaux). Ce qui peut être fait? (potentialiser).

Dans ce cas, il faut tenir compte du fait que toute solution est contenue parmi tous les x dont les expressions logarithmiques sont positives.

Solution : ODZ :

X2+8>0 inégalité supplémentaire

log5(x2+8) = log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)=log5(8x+8)

potentialiser l'équation d'origine

on obtient l'équation x2+8= 8x+8

On le résout : x2-8x=0

Réponse : 0 ; huit

À vue générale passage à un système équivalent:

L'équation

(Le système contient une condition redondante - une des inégalités peut être ignorée).

Question à la classe: Laquelle de ces trois solutions avez-vous le plus aimée ? (Discussion des méthodes).

Vous avez le droit de décider de quelque manière que ce soit.

3. Introduction d'une nouvelle variable.

Envisager N° 520(g). .

Qu'avez-vous remarqué ? (Il s'agit d'une équation quadratique pour log3x) Des suggestions ? (Introduire une nouvelle variable)

La solution. ODZ : x > 0.

Soit , alors l'équation prendra la forme :. Discriminant D > 0. Racines par le théorème de Vieta :.

Revenons au remplacement : ou .

En résolvant les équations logarithmiques les plus simples, on obtient :

Réponse : 27 ;

4. Logarithme des deux côtés de l'équation.

Résous l'équation:.

Solution : ODZ : x>0, prendre le logarithme des deux membres de l'équation en base 10 :

Appliquer la propriété du logarithme du degré :

(lgx + 3) lgx = 4

Soit lgx = y, alors (y + 3)y = 4

, (D > 0) les racines selon le théorème de Vieta : y1 = -4 et y2 = 1.

Revenons au remplacement, on obtient : lgx = -4,; logx = 1, .

Réponse : 0,0001 ; Dix.

5. Réduction à une base.

N° 523(c). Résous l'équation:

Solution : ODZ : x>0. Passons à la base 3.

6. Méthode fonctionnelle-graphique.

№ 509(d). Résolvez graphiquement l'équation : = 3 - x.

Comment proposez-vous de résoudre? (Construisez des graphiques de deux fonctions y \u003d log2x et y \u003d 3 - x par points et recherchez l'abscisse des points d'intersection des graphiques).

Voir votre solution sur la diapositive.

Existe-t-il un moyen d'éviter de comploter . C'est comme suit : si une des fonctions y = f(x) augmente et l'autre y = g(x) décroît sur l'intervalle X, alors l'équation f(x)=g(x) a au plus une racine sur l'intervalle X.

S'il y a une racine, alors on peut la deviner.

Dans notre cas, la fonction augmente pour x>0, et la fonction y \u003d 3 - x diminue pour toutes les valeurs de x, y compris x>0, ce qui signifie que l'équation n'a pas plus d'une racine. Notez que pour x = 2, l'équation se transforme en une vraie égalité, puisque .

« Utilisation correcte les méthodes peuvent être apprises
il suffit de les appliquer à divers exemples».
Historien danois des mathématiques G. G. Zeiten

jev. Devoirs

P. 39 considérons l'exemple 3, résolvez n° 514 (b), n° 529 (b), n° 520 (b), n° 523 (b)

V. Résumé de la leçon

Quelles méthodes de résolution d'équations logarithmiques avons-nous envisagées dans la leçon ?

Dans les prochaines leçons, nous étudierons des équations plus complexes. Pour les résoudre, les méthodes étudiées sont utiles.

Affichage de la dernière diapositive :

« Qu'y a-t-il de plus que tout au monde ?
Espace.
Quel est le plus sage ?
Temps.
Qu'est-ce qui est le plus agréable ?
Réalisez ce que vous voulez."
Thalès

Je veux que chacun réalise ce qu'il veut. Merci pour votre coopération et votre compréhension.

Exemples:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

Comment résoudre des équations logarithmiques :

Lors de la résolution d'une équation logarithmique, vous devez vous efforcer de la convertir sous la forme \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\), puis effectuer la transition vers \(f( x)=g(x) \).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

Exemple:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

Très important! Cette transition ne peut être effectuée que si :

Vous avez écrit pour l'équation d'origine et à la fin, vérifiez si celles trouvées sont incluses dans le DPV. Si cela n'est pas fait, des racines supplémentaires peuvent apparaître, ce qui signifie une mauvaise décision.

Le nombre (ou expression) est le même à gauche et à droite ;

Les logarithmes à gauche et à droite sont "purs", c'est-à-dire qu'il ne devrait pas y en avoir, multiplications, divisions, etc. - uniquement des logarithmes isolés des deux côtés du signe égal.

Par exemple:

Notez que les équations 3 et 4 peuvent être facilement résolues en appliquant les propriétés souhaitées des logarithmes.

Exemple . Résolvez l'équation \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\)

La solution :

Réponse : \(5\)

Exemple : Résoudre l'équation \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

La solution :

Réponse : \(4\); \(2\).

Solution d'équations logarithmiques. Partie 1.

Équation logarithmique appelée une équation dans laquelle l'inconnue est contenue sous le signe du logarithme (en particulier, dans la base du logarithme).

Protozoaires équation logarithmique ressemble à:

Résoudre n'importe quelle équation logarithmique implique le passage des logarithmes aux expressions sous le signe des logarithmes. Cependant, cette action élargit la plage de valeurs valides de l'équation et peut entraîner l'apparition de racines étrangères. Pour éviter l'apparition de racines étrangères vous pouvez le faire de l'une des trois manières suivantes :

1. Faire une transition équivalente de l'équation d'origine à un système comprenant

selon quelle inégalité ou plus facile.

Si l'équation contient une inconnue à la base du logarithme :

puis on passe au système :

2. Trouver séparément la plage des valeurs admissibles de l'équation, puis résoudre l'équation et vérifier si les solutions trouvées satisfont l'équation.

3. Résolvez l'équation, puis faire une vérification : remplacer les solutions trouvées dans l'équation d'origine et vérifier si nous obtenons la bonne égalité.

Une équation logarithmique de n'importe quel niveau de complexité finit toujours par se réduire à l'équation logarithmique la plus simple.

Toutes les équations logarithmiques peuvent être divisées en quatre types :

1 . Équations contenant des logarithmes à la première puissance uniquement. A l'aide de transformations et d'utilisation, ils sont réduits à la forme

Exemple. Résolvons l'équation :

Mettez les expressions sous le signe du logarithme :

Vérifions si notre racine de l'équation satisfait :

Oui, ça satisfait.

Réponse : x=5

2 . Équations contenant des logarithmes à une puissance autre que 1 (en particulier, au dénominateur d'une fraction). Ces équations sont résolues en utilisant introduction d'un changement de variable.

Exemple. Résolvons l'équation :

Trouvons l'équation ODZ :

L'équation contient des logarithmes au carré, elle est donc résolue en utilisant un changement de variable.

Important! Avant d'introduire un remplacement, vous devez "extraire" les logarithmes qui font partie de l'équation en "briques" en utilisant les propriétés des logarithmes.

Lorsque vous "tirez" des logarithmes, il est important d'appliquer très soigneusement les propriétés des logarithmes :

De plus, il y a un endroit plus subtil ici, et afin d'éviter une erreur courante, nous utiliserons une égalité intermédiaire : nous écrivons le degré du logarithme sous cette forme :

De même,

Nous substituons les expressions obtenues dans l'équation d'origine. On a:

Nous voyons maintenant que l'inconnue est contenue dans l'équation en tant que partie de . Nous introduisons le remplacement: . Puisqu'elle peut prendre n'importe quelle valeur réelle, nous n'imposons aucune restriction sur la variable.