NUMERISCHE SEQUENZEN VI

§ 148. Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression

Wenn wir bisher von Summen sprechen, sind wir immer davon ausgegangen, dass die Anzahl der Terme in diesen Summen endlich ist (z. B. 2, 15, 1000 usw.). Bei der Lösung einiger Probleme (insbesondere der höheren Mathematik) muss man sich jedoch mit der Summe unendlich vieler Terme befassen

S= A 1 + A 2 + ... + A N + ... . (1)

Wie hoch sind diese Beträge? A-Priorat die Summe einer unendlichen Anzahl von Termen A 1 , A 2 , ..., A N , ... heißt der Grenzwert der Summe S N Erste P Zahlen wann P -> ∞ :

S=S N = (A 1 + A 2 + ... + A N ). (2)

Grenze (2) kann natürlich existieren oder auch nicht. Dementsprechend sagen sie, dass die Summe (1) existiert oder nicht existiert.

Wie können wir herausfinden, ob die Summe (1) im Einzelfall existiert? Gemeinsame Entscheidung Dieses Thema geht weit über den Rahmen unseres Programms hinaus. Es gibt jedoch einen wichtigen Sonderfall, den wir jetzt berücksichtigen müssen. Wir werden über die Summierung der Terme einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression sprechen.

Lassen A 1 , A 1 Q , A 1 Q 2, ... ist eine unendlich abnehmende geometrische Folge. Das bedeutet, dass | Q |< 1. Сумма первых P Die Bedingungen dieser Progression sind gleich

Aus den wichtigsten Sätzen über Grenzen Variablen(siehe § 136) wir erhalten:

Aber 1 = 1, a qn = 0. Daher

Die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge ist also gleich dem ersten Term dieser Folge geteilt durch eins minus dem Nenner dieser Folge.

1) Die Summe der geometrischen Progression 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... ist gleich

und die Summe der geometrischen Progression beträgt 12; -6; 3; - 3 / 2 , ... gleich

2) Wandeln Sie einen einfachen periodischen Bruch 0,454545 ... in einen gewöhnlichen um.

Um dieses Problem zu lösen, stellen Sie sich diesen Bruch als unendliche Summe vor:

Die rechte Seite dieser Gleichheit ist die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge, deren erster Term gleich 45/100 ist und deren Nenner 1/100 ist. Deshalb

Mit der beschriebenen Methode kann es auch erhalten werden allgemeine Regel Umwandlung einfacher periodischer Brüche in gewöhnliche Brüche (siehe Kapitel II, § 38):

Um einen einfachen periodischen Bruch in einen gewöhnlichen Bruch umzuwandeln, müssen Sie Folgendes tun auf die folgende Weise: Tragen Sie im Zähler die Periode des Dezimalbruchs und im Nenner eine Zahl ein, die aus Neunen besteht und so oft genommen wird, wie es Ziffern in der Periode des Dezimalbruchs gibt.

3) Wandeln Sie den gemischten periodischen Bruch 0,58333 .... in einen gewöhnlichen Bruch um.

Stellen wir uns diesen Bruch als unendliche Summe vor:

Auf der rechten Seite dieser Gleichheit bilden alle Terme, beginnend mit 3/1000, eine unendlich abnehmende geometrische Folge, deren erster Term gleich 3/1000 ist und deren Nenner 1/10 ist. Deshalb

Mit der beschriebenen Methode kann eine allgemeine Regel zur Umwandlung gemischter periodischer Brüche in gewöhnliche Brüche ermittelt werden (siehe Kapitel II, § 38). Wir stellen es hier bewusst nicht vor. Sie müssen sich diese umständliche Regel nicht merken. Es ist viel nützlicher zu wissen, dass jeder gemischte periodische Bruch als Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge und einer bestimmten Zahl dargestellt werden kann. Und die Formel

für die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression müssen Sie sich natürlich erinnern.

Als Übung empfehlen wir Ihnen, sich zusätzlich zu den unten aufgeführten Aufgaben Nr. 995-1000 noch einmal der Aufgabe Nr. 301 § 38 zuzuwenden.

Übungen

995. Wie nennt man die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression?

996. Finden Sie die Summen unendlich abnehmender geometrischer Verläufe:

997. Bei welchen Werten X Fortschreiten

nimmt es unendlich ab? Finden Sie die Summe einer solchen Progression.

998. In einem gleichseitigen Dreieck mit Seite A ein neues Dreieck entsteht durch die Verbindung der Mittelpunkte seiner Seiten; In dieses Dreieck wird auf die gleiche Weise ein neues Dreieck eingeschrieben und so weiter bis ins Unendliche.

a) die Summe der Umfänge aller dieser Dreiecke;

b) die Summe ihrer Flächen.

999. Quadrat mit Seite A ein neues Quadrat wird durch die Verbindung der Mittelpunkte seiner Seiten eingeschrieben; In dieses Quadrat wird auf die gleiche Weise ein Quadrat eingeschrieben und so weiter bis ins Unendliche. Ermitteln Sie die Summe der Umfänge aller dieser Quadrate und die Summe ihrer Flächen.

1000. Stellen Sie eine unendlich abnehmende geometrische Folge zusammen, sodass ihre Summe 25/4 und die Summe der Quadrate ihrer Terme 625/24 beträgt.

Zweck der Lektion: Den Schülern eine neue Art von Sequenz näherbringen – eine unendlich abnehmende geometrische Folge.
Aufgaben:
Formulieren einer ersten Vorstellung vom Grenzwert einer Zahlenfolge;
Kennenlernen einer anderen Möglichkeit, unendliche periodische Brüche in gewöhnliche umzuwandeln, indem man die Formel für die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge verwendet;
Entwicklung intellektueller Qualitäten der Persönlichkeit von Schulkindern wie logisches Denken, Fähigkeit zu bewertenden Handlungen und Verallgemeinerung;
Förderung von Aktivität, gegenseitiger Hilfe, Kollektivismus und Interesse am Thema.

Herunterladen:

Vorschau:

Lektion zum Thema „Unendlich abnehmende geometrische Progression“ (Algebra, 10. Klasse)

Der Zweck der Lektion: Einführung der Schüler in eine neue Art von Sequenz – eine unendlich abnehmende geometrische Progression.

Aufgaben:

Formulieren einer ersten Vorstellung vom Grenzwert einer Zahlenfolge; Kennenlernen einer anderen Möglichkeit, unendliche periodische Brüche in gewöhnliche umzuwandeln, indem man die Formel für die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge verwendet;

Entwicklung intellektueller Qualitäten der Persönlichkeit von Schulkindern wie logisches Denken, Fähigkeit zu bewertenden Handlungen und Verallgemeinerung;

Förderung von Aktivität, gegenseitiger Hilfe, Kollektivismus und Interesse am Thema.

Ausrüstung: Computerkurs, Projektor, Leinwand.

Unterrichtsart: Lektion - ein neues Thema lernen.

Während des Unterrichts

I. Org. Moment. Geben Sie das Thema und den Zweck der Lektion an.

II. Aktualisierung des Wissens der Studierenden.

In der 9. Klasse haben Sie Arithmetik und geometrische Progressionen studiert.

Fragen

1. Definition arithmetische Folge.

(Eine arithmetische Folge ist eine Folge, in der jedes Mitglied

Ab dem zweiten ist es gleich dem vorherigen Term, addiert zur gleichen Zahl.

2. Formel Nr Term einer arithmetischen Folge

3. Formel für die Summe der ersten N Begriffe einer arithmetischen Folge.

( oder )

4. Definition des geometrischen Verlaufs.

(Eine geometrische Folge ist eine Folge von Zahlen ungleich Null

Jeder Term davon, beginnend mit dem zweiten, ist gleich dem vorherigen Term multipliziert mit

Selbe Nummer).

5. Formel Nr Term der geometrischen Progression

6. Formel für die Summe der ersten N Mitglieder einer geometrischen Folge.

7. Welche anderen Formeln kennen Sie?

(, Wo ; ;

; , )

Aufgaben

1. Der arithmetische Fortschritt ist durch die Formel gegeben a n = 7 – 4n . Finden Sie eine 10. (-33)

2. In der arithmetischen Folge a 3 = 7 und a 5 = 1 . Finden Sie eine 4. (4)

3. In der arithmetischen Folge a 3 = 7 und a 5 = 1 . Finden Sie eine 17. (-35)

4. In der arithmetischen Folge a 3 = 7 und a 5 = 1 . Finden Sie S 17. (-187)

5. Für geometrische ProgressionFinden Sie den fünften Begriff.

6. Für geometrische Progression Finden Sie den n-ten Term.

7. Exponentiell b 3 = 8 und b 5 = 2. Finden Sie b 4 . (4)

8. Exponentiell b 3 = 8 und b 5 = 2. Finden Sie b 1 und q.

9. Exponentiell b 3 = 8 und b 5 = 2. Finden Sie S5. (62)

III. Ein neues Thema lernen(Demonstration der Präsentation).

Betrachten Sie ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 1. Zeichnen wir ein weiteres Quadrat, dessen Seite halb so groß ist wie das erste Quadrat, dann ein weiteres, dessen Seite halb so groß ist wie das zweite, dann das nächste usw. Jedes Mal ist die Seite des neuen Quadrats gleich der Hälfte des vorherigen.

Als Ergebnis erhielten wir eine Folge von Quadratseitenmit dem Nenner eine geometrische Folge bilden.

Und was ganz wichtig ist: Je mehr wir solche Quadrate bauen, desto kleiner wird die Seite des Quadrats. Zum Beispiel ,

Diese. Mit zunehmender Zahl n nähern sich die Terme der Progression Null.

Anhand dieser Abbildung können Sie eine andere Sequenz betrachten.

Zum Beispiel die Flächenfolge von Quadraten:

Und noch einmal, wenn n steigt auf unbestimmte Zeit, dann nähert sich der Bereich so nah an Null, wie Sie möchten.

Schauen wir uns ein anderes Beispiel an. Ein gleichseitiges Dreieck mit einer Seitenlänge von 1 cm. Konstruieren wir das folgende Dreieck mit den Eckpunkten in den Mittelpunkten der Seiten des ersten Dreiecks, gemäß dem Satz über die Mittellinie des Dreiecks – die Seite des zweiten ist gleich der Hälfte der Seite des ersten, die Seite des dritten ist gleich der halben Seite des 2. usw. Wieder erhalten wir eine Folge von Seitenlängen von Dreiecken.

Bei .

Betrachten wir eine geometrische Folge mit negativem Nenner.

Dann wieder mit steigenden Zahlen N Die Bedingungen der Progression nähern sich Null.

Achten wir auf die Nenner dieser Folgen. Überall waren die Nenner im absoluten Wert kleiner als 1.

Wir können daraus schließen: Eine geometrische Folge nimmt unendlich ab, wenn der Modul ihres Nenners kleiner als 1 ist.

Frontalarbeit.

Definition:

Geometrischer Verlauf heißt unendlich abnehmend, wenn der Modul seines Nenners kleiner als eins ist..

Anhand der Definition können Sie entscheiden, ob ein geometrischer Verlauf unendlich abnehmend ist oder nicht.

Aufgabe

Ist die Folge eine unendlich abnehmende geometrische Folge, wenn sie durch die Formel gegeben ist:

Lösung:

Finden wir q.

; ; ; .

dieser geometrische Verlauf nimmt unendlich ab.

B) Diese Folge ist keine unendlich abnehmende geometrische Folge.

Betrachten Sie ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 1. Teilen Sie es in zwei Hälften, eine der Hälften in zwei Hälften usw. Die Flächen aller resultierenden Rechtecke bilden einen unendlich abnehmenden geometrischen Verlauf:

Die Summe der Flächen aller auf diese Weise erhaltenen Rechtecke ist gleich der Fläche des 1. Quadrats und gleich 1.

Aber auf der linken Seite dieser Gleichheit steht die Summe unendlich vieler Terme.

Betrachten wir die Summe der ersten n Terme.

Nach der Formel für die Summe der ersten n Terme einer geometrischen Folge ist sie gleich.

Wenn n steigt also unbegrenzt

oder . Daher, d.h. .

Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen ProgressionEs gibt eine Sequenzbegrenzung S 1, S 2, S 3, …, S n, ….

Zum Beispiel für den Fortschritt,

wir haben

Als

Die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progressionkann mit der Formel ermittelt werden.

III. Verständnis und Festigung(Aufgaben erledigen).

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

IV. Zusammenfassend.

Welche Sequenz haben Sie heute kennengelernt?

Definieren Sie einen unendlich abnehmenden geometrischen Verlauf.

Wie kann man beweisen, dass eine geometrische Folge unendlich abnehmend ist?

Geben Sie die Formel für die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression an.

V. Hausaufgaben.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

Vorschau:

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Folienunterschriften:

Jeder sollte in der Lage sein, konsequent zu denken, mit Beweisen zu urteilen und falsche Schlussfolgerungen zu widerlegen: ein Physiker und ein Dichter, ein Traktorfahrer und ein Chemiker. E. Kolman In der Mathematik sollte man sich nicht an die Formeln erinnern, sondern an die Denkprozesse. V. P. Ermakov Es ist einfacher, die Quadratur eines Kreises zu finden, als einen Mathematiker zu überlisten. Augustus de Morgan Welche Wissenschaft könnte edler, bewundernswerter und nützlicher für die Menschheit sein als die Mathematik? Franklin

Unendlich abnehmende geometrische Progression, Klasse 10

ICH. Arithmetische und geometrische Folgen. Fragen 1. Definition der arithmetischen Folge. Eine arithmetische Folge ist eine Folge, in der jeder Term, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen Term ist, addiert zur gleichen Zahl. 2. Formel für das n-te Glied einer arithmetischen Folge. 3. Formel für die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge. 4. Definition des geometrischen Verlaufs. Eine geometrische Folge ist eine Folge von Zahlen ungleich Null, deren jedes Glied, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen Glied multipliziert mit derselben Zahl 5 ist. Formel für das n-te Glied einer geometrischen Folge. 6. Formel für die Summe der ersten n Terme einer geometrischen Folge.

II. Arithmetische Folge. Aufgaben Eine arithmetische Folge ergibt sich aus der Formel a n = 7 – 4 n Finden Sie a 10 . (-33) 2. In der arithmetischen Folge ist a 3 = 7 und a 5 = 1. Finden Sie eine 4. (4) 3. In der arithmetischen Folge a 3 = 7 und a 5 = 1. Finden Sie eine 17. (-35) 4. In der arithmetischen Folge ist a 3 = 7 und a 5 = 1. Finden Sie S 17. (-187)

II. Geometrischer Verlauf. Aufgaben 5. Finden Sie für eine geometrische Folge den fünften Term. 6. Finden Sie für eine geometrische Folge den n-ten Term. 7. Im geometrischen Verlauf b 3 = 8 und b 5 = 2. Finden Sie b 4 . (4) 8. Im geometrischen Verlauf ist b 3 = 8 und b 5 = 2. Finden Sie b 1 und q. 9. Im geometrischen Verlauf b 3 = 8 und b 5 = 2. Finden Sie S5. (62)

Definition: Eine geometrische Folge heißt unendlich fallend, wenn der Modul ihres Nenners kleiner als eins ist.

Problem Nr. 1 Ist die Folge eine unendlich abnehmende geometrische Folge, wenn sie durch die Formel gegeben ist: Lösung: a) Diese geometrische Folge ist unendlich abnehmend. b) Diese Folge ist keine unendlich abnehmende geometrische Folge.

Die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge ist der Grenzwert der Folge S 1, S 2, S 3, ..., S n, .... Zum Beispiel für die Progression, die wir haben: Da die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression mithilfe der Formel ermittelt werden kann

Erledigung der Aufgaben Finden Sie die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge mit dem ersten Term 3 und dem zweiten 0,3. 2. Nr. 13; Nr. 14; Lehrbuch, S. 138 3. Nr. 15(1;3); Nr.16(1;3) Nr.18(1;3); 4. Nr. 19; Nr. 20.

Welche Sequenz haben Sie heute kennengelernt? Definieren Sie einen unendlich abnehmenden geometrischen Verlauf. Wie kann man beweisen, dass eine geometrische Folge unendlich abnehmend ist? Geben Sie die Formel für die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression an. Fragen

Der berühmte polnische Mathematiker Hugo Steinhaus behauptet scherzhaft, dass es ein Gesetz gibt, das wie folgt formuliert ist: Ein Mathematiker wird es besser machen. Wenn Sie nämlich zwei Personen, von denen einer Mathematiker ist, damit beauftragen, eine ihnen unbekannte Arbeit auszuführen, dann wird das Ergebnis immer das Folgende sein: Der Mathematiker wird es besser machen. Hugo Steinhaus 14.01.1887-25.02.1972

Lektion und Präsentation zum Thema: „Zahlenfolgen. Geometrischer Verlauf“

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Leute, heute lernen wir eine andere Art von Fortschritt kennen.
Das Thema der heutigen Lektion ist der geometrische Verlauf.

Geometrischer Verlauf

Definition. Eine numerische Folge, bei der jeder Term, beginnend mit dem zweiten, gleich dem Produkt des vorherigen und einer festen Zahl ist, wird als geometrische Folge bezeichnet.
Definieren wir unsere Sequenz rekursiv: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
wobei b und q bestimmte gegebene Zahlen sind. Die Zahl q wird als Nenner der Progression bezeichnet.

Beispiel. 1,2,4,8,16... Eine geometrische Folge, bei der der erste Term gleich eins ist und $q=2$.

Beispiel. 8,8,8,8... Eine geometrische Folge, bei der der erste Term gleich acht ist,
und $q=1$.

Beispiel. 3,-3,3,-3,3... Geometrische Folge, bei der der erste Term gleich drei ist,
und $q=-1$.

Der geometrische Verlauf hat die Eigenschaften der Monotonie.
Wenn $b_(1)>0$, $q>1$,
dann nimmt die Folge zu.
Wenn $b_(1)>0$, $0 Die Sequenz wird normalerweise in der Form $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$ bezeichnet.

Wenn in einer geometrischen Folge die Anzahl der Elemente endlich ist, wird die Folge genau wie in einer arithmetischen Folge eine endliche geometrische Folge genannt.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Beachten Sie, dass, wenn eine Folge eine geometrische Folge ist, auch die Folge der Termquadrate eine geometrische Folge ist. In der zweiten Sequenz ist der erste Term gleich $b_(1)^2$ und der Nenner ist gleich $q^2$.

Formel für den n-ten Term einer geometrischen Folge

Der geometrische Verlauf kann auch in analytischer Form angegeben werden. Mal sehen, wie das geht:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Wir erkennen leicht das Muster: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Unsere Formel heißt „Formel des n-ten Termes einer geometrischen Folge“.

Kehren wir zu unseren Beispielen zurück.

Beispiel. 1,2,4,8,16... Geometrische Folge, bei der der erste Term gleich eins ist,
und $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Beispiel. 16,8,4,2,1,1/2… Eine geometrische Folge, bei der der erste Term gleich sechzehn ist und $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Beispiel. 8,8,8,8... Eine geometrische Folge, bei der der erste Term gleich acht ist und $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Beispiel. 3,-3,3,-3,3... Eine geometrische Folge, bei der der erste Term gleich drei ist und $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Beispiel. Gegeben sei eine geometrische Folge $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Es ist bekannt, dass $b_(1)=6, q=3$. Finden Sie $b_(5)$.
b) Es ist bekannt, dass $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Finden Sie n.
c) Es ist bekannt, dass $q=-2, b_(6)=96$. Finden Sie $b_(1)$.
d) Es ist bekannt, dass $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Finden Sie q.

Lösung.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, da $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Beispiel. Die Differenz zwischen dem siebten und fünften Term der geometrischen Folge beträgt 192, die Summe des fünften und sechsten Termes der Folge beträgt 192. Finden Sie den zehnten Term dieser Folge.

Lösung.
Wir wissen: $b_(7)-b_(5)=192$ und $b_(5)+b_(6)=192$.
Wir wissen auch: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Dann:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Wir haben ein Gleichungssystem erhalten:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Wenn wir unsere Gleichungen gleichsetzen, erhalten wir:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Wir haben zwei Lösungen q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Setzen Sie nacheinander in die zweite Gleichung ein:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ keine Lösungen.
Wir haben Folgendes: $b_(1)=4, q=2$.
Finden wir den zehnten Term: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Summe einer endlichen geometrischen Folge

Lassen Sie uns eine endliche geometrische Folge haben. Berechnen wir, genau wie bei einer arithmetischen Folge, die Summe ihrer Terme.

Gegeben sei eine endliche geometrische Folge: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Führen wir die Bezeichnung für die Summe ihrer Terme ein: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
Für den Fall, dass $q=1$. Alle Terme der geometrischen Folge sind gleich dem ersten Term, dann ist es offensichtlich, dass $S_(n)=n*b_(1)$.
Betrachten wir nun den Fall $q≠1$.
Lassen Sie uns den obigen Betrag mit q multiplizieren.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Notiz:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Wir haben die Formel für die Summe einer endlichen geometrischen Folge erhalten.

Beispiel.
Ermitteln Sie die Summe der ersten sieben Terme einer geometrischen Folge, deren erster Term 4 und deren Nenner 3 ist.

Lösung.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Beispiel.
Finden Sie den fünften Term der bekannten geometrischen Folge: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

Lösung.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
341q $ = 1364 $.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Charakteristische Eigenschaft des geometrischen Verlaufs

Leute, eine geometrische Progression ist gegeben. Schauen wir uns die drei aufeinanderfolgenden Mitglieder an: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Wir wissen das:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Dann:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Wenn die Progression endlich ist, gilt diese Gleichheit für alle Terme außer dem ersten und dem letzten.
Wenn nicht im Voraus bekannt ist, welche Form die Folge hat, aber bekannt ist: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Dann können wir mit Sicherheit sagen, dass es sich um eine geometrische Folge handelt.

Eine Zahlenfolge ist nur dann eine geometrische Folge, wenn das Quadrat jedes Elements gleich dem Produkt der beiden benachbarten Elemente der Folge ist. Vergessen Sie nicht, dass diese Bedingung für eine endliche Progression im ersten und letzten Term nicht erfüllt ist.

Schauen wir uns diese Identität an: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ wird als Durchschnitt bezeichnet geometrische Zahlen A und B.

Der Modul jedes Termes einer geometrischen Folge ist gleich dem geometrischen Mittel seiner beiden benachbarten Terme.

Beispiel.
Finden Sie x so, dass $x+2; 2x+2; 3x+3$ waren drei aufeinanderfolgende Glieder einer geometrischen Folge.

Lösung.
Verwenden wir die charakteristische Eigenschaft:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ und $x_(2)=-1$.
Ersetzen wir unsere Lösungen nacheinander in den ursprünglichen Ausdruck:
Mit $x=2$ erhalten wir die Folge: 4;6;9 – eine geometrische Folge mit $q=1,5$.
Für $x=-1$ erhalten wir die Folge: 1;0;0.
Antwort: $x=2.$

Probleme, die selbstständig gelöst werden müssen

1. Finden Sie den achten ersten Term der geometrischen Folge 16;-8;4;-2….
2. Finden Sie den zehnten Term der geometrischen Folge 11,22,44….
3. Es ist bekannt, dass $b_(1)=5, q=3$. Finden Sie $b_(7)$.
4. Es ist bekannt, dass $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Finden Sie n.
5. Ermitteln Sie die Summe der ersten 11 Terme der geometrischen Folge 3;12;48….
6. Finden Sie x mit $3x+4; 2x+4; x+5$ sind drei aufeinanderfolgende Terme einer geometrischen Folge.

Geometrische Progression ist Zahlenfolge, dessen erster Term ungleich Null ist und jeder nachfolgende Term gleich dem vorherigen Term multipliziert mit derselben Zahl ungleich Null ist.

Konzept der geometrischen Progression

Der geometrische Verlauf wird mit b1,b2,b3, …, bn, … bezeichnet.

Das Verhältnis eines beliebigen Termes des geometrischen Fehlers zu seinem vorherigen Term ist gleich der gleichen Zahl, d. h. b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Dies ergibt sich direkt aus der Definition einer arithmetischen Folge. Diese Zahl wird als Nenner einer geometrischen Folge bezeichnet. Normalerweise wird der Nenner einer geometrischen Folge mit dem Buchstaben q bezeichnet.

Die Summe einer unendlichen geometrischen Folge für |q|<1

Eine Möglichkeit, eine geometrische Folge anzugeben, besteht darin, ihren ersten Term b1 und den Nenner des geometrischen Fehlers q anzugeben. Beispiel: b1=4, q=-2. Diese beiden Bedingungen definieren den geometrischen Verlauf 4, -8, 16, -32, ….

Wenn q>0 (q ist ungleich 1), dann ist die Folge eine monotone Folge. Beispielsweise ist die Folge 2, 4,8,16,32, ... eine monoton steigende Folge (b1=2, q=2).

Wenn der Nenner im geometrischen Fehler q=1 ist, dann sind alle Terme der geometrischen Folge einander gleich. In solchen Fällen spricht man von einer konstanten Abfolge.

Damit eine Zahlenfolge (bn) eine geometrische Folge ist, ist es notwendig, dass jedes ihrer Mitglieder, beginnend mit dem zweiten, das geometrische Mittel benachbarter Mitglieder ist. Das heißt, es ist notwendig, die folgende Gleichung zu erfüllen
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), für jedes n>0, wobei n zur Menge der natürlichen Zahlen N gehört.

Setzen wir nun (Xn) – eine geometrische Folge. Der Nenner der geometrischen Folge q und |q|∞).
Wenn wir nun mit S die Summe einer unendlichen geometrischen Folge bezeichnen, dann gilt folgende Formel:
S=x1/(1-q).

Schauen wir uns ein einfaches Beispiel an:

Finden Sie die Summe der unendlichen geometrischen Folge 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ….

Um S zu finden, verwenden wir die Formel für die Summe einer unendlichen arithmetischen Folge. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Erste Ebene

Geometrischer Verlauf. Umfassender Leitfaden mit Beispielen (2019)

Zahlenfolge

Setzen wir uns also hin und beginnen mit dem Schreiben einiger Zahlen. Zum Beispiel:

Sie können beliebige Zahlen schreiben, und es können so viele davon sein, wie Sie möchten (in unserem Fall gibt es sie). Egal wie viele Zahlen wir schreiben, wir können immer sagen, welche die erste, welche die zweite ist und so weiter, bis zur letzten, das heißt, wir können sie nummerieren. Dies ist ein Beispiel für eine Zahlenfolge:

Zahlenfolge ist eine Menge von Zahlen, denen jeweils eine eindeutige Nummer zugewiesen werden kann.

Zum Beispiel für unsere Sequenz:

Die zugewiesene Nummer ist nur für eine Nummer in der Sequenz spezifisch. Mit anderen Worten, es gibt keine drei Sekunden langen Zahlen in der Sequenz. Die zweite Zahl ist (wie auch die te Zahl) immer gleich.

Die Zahl mit der Zahl wird als n-tes Glied der Folge bezeichnet.

Normalerweise nennen wir die gesamte Sequenz mit einem Buchstaben (zum Beispiel), und jedes Mitglied dieser Sequenz ist derselbe Buchstabe mit einem Index. gleich der Zahl dieses Mitglied: .

In unserem Fall:

Die gebräuchlichsten Progressionsarten sind Arithmetik und Geometrie. In diesem Thema werden wir über den zweiten Typ sprechen – geometrischer Verlauf.

Warum ist eine geometrische Progression erforderlich und welche Geschichte hat sie?

Schon in der Antike beschäftigte sich der italienische Mathematikermönch Leonardo von Pisa (besser bekannt als Fibonacci) mit den praktischen Bedürfnissen des Handels. Der Mönch stand vor der Aufgabe, mit Hilfe dessen festzustellen geringste Menge Gewichte Kann man die Ware wiegen? Fibonacci beweist in seinen Werken, dass ein solches Gewichtungssystem optimal ist: Dies ist eine der ersten Situationen, in denen Menschen mit einer geometrischen Progression zu tun hatten, von der Sie wahrscheinlich schon gehört haben und zumindest haben allgemeines Konzept. Wenn Sie das Thema vollständig verstanden haben, überlegen Sie, warum ein solches System optimal ist.

Derzeit manifestiert sich in der Lebenspraxis die geometrische Progression bei der Anlage von Geld bei einer Bank, wenn der Zinsbetrag auf den auf dem Konto für die Vorperiode angesammelten Betrag angerechnet wird. Mit anderen Worten: Wenn Sie Geld auf ein Festgeld bei einer Sparkasse legen, erhöht sich die Einlage nach einem Jahr um den ursprünglichen Betrag, d. h. Der neue Betrag entspricht dem Beitrag multipliziert mit. In einem weiteren Jahr erhöht sich dieser Betrag um, d.h. Der zu diesem Zeitpunkt erhaltene Betrag wird erneut mit multipliziert und so weiter. Ähnliche Situation beschrieben in Aufgaben zur Berechnung der sogenannten Zinseszins- Der Prozentsatz wird jedes Mal vom Betrag auf dem Konto abgezogen, unter Berücksichtigung früherer Zinsen. Wir werden etwas später über diese Aufgaben sprechen.

Es gibt viele weitere einfache Fälle, in denen geometrische Progression angewendet wird. Zum Beispiel die Ausbreitung der Grippe: Eine Person infizierte eine andere Person, diese infizierte wiederum eine andere Person, und so ist die zweite Infektionswelle eine Person, und sie infizierte wiederum eine andere Person ... und so weiter. .

Übrigens ist eine Finanzpyramide, das gleiche MMM, eine einfache und trockene Berechnung, die auf den Eigenschaften einer geometrischen Progression basiert. Interessant? Lass es uns herausfinden.

Geometrischer Verlauf.

Nehmen wir an, wir haben eine Zahlenfolge:

Sie werden sofort antworten, dass dies einfach ist und der Name einer solchen Folge eine arithmetische Folge mit der Differenz ihrer Terme ist. Wie wäre es damit:

Wenn Sie die vorherige Zahl von der nächsten Zahl subtrahieren, werden Sie feststellen, dass Sie jedes Mal eine neue Differenz erhalten (und so weiter), aber die Folge existiert definitiv und ist leicht zu erkennen – jede nachfolgende Zahl ist um ein Vielfaches größer als die vorherige!

Diese Art von Zahlenfolge wird aufgerufen geometrischer Verlauf und ist bezeichnet.

Geometrische Progression () ist eine numerische Folge, deren erster Term von Null verschieden ist und jeder Term, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen ist, multipliziert mit derselben Zahl. Diese Zahl wird als Nenner einer geometrischen Folge bezeichnet.

Die Einschränkungen, dass der erste Term ( ) nicht gleich ist und nicht zufällig sind. Nehmen wir an, dass es keine gibt und der erste Term immer noch gleich ist und q gleich ist, hmm.. lass es sein, dann stellt sich heraus:

Stimmen Sie zu, dass dies kein Fortschritt mehr ist.

Wie Sie wissen, erhalten wir die gleichen Ergebnisse, wenn es eine andere Zahl als Null gibt, a. In diesen Fällen gibt es einfach keine Progression, da die gesamte Zahlenreihe entweder nur aus Nullen oder aus einer Zahl besteht und der Rest aus Nullen besteht.

Lassen Sie uns nun ausführlicher über den Nenner der geometrischen Folge sprechen, also o.

Wiederholen wir: - Das ist die Nummer Wie oft ändert sich jeder nachfolgende Begriff? geometrischer Verlauf.

Was denkst du, könnte es sein? Das ist richtig, positiv und negativ, aber nicht Null (darüber haben wir etwas weiter oben gesprochen).

Nehmen wir an, dass unseres positiv ist. Sei in unserem Fall a. Welchen Wert hat der zweite Term und? Das können Sie ganz einfach beantworten:

Alles ist richtig. Wenn also, dann haben alle nachfolgenden Terme der Progression das gleiche Vorzeichen – sie sind positiv.

Was ist, wenn es negativ ist? Zum Beispiel ein. Welchen Wert hat der zweite Term und?

Das ist eine ganz andere Geschichte

Versuchen Sie, die Bedingungen dieser Progression zu zählen. Wie viel hast du bekommen? Bei mir. Wenn also, dann wechseln sich die Vorzeichen der Terme der geometrischen Folge ab. Das heißt, wenn Sie eine Progression mit wechselnden Vorzeichen für ihre Mitglieder sehen, dann ist ihr Nenner negativ. Dieses Wissen kann Ihnen helfen, sich bei der Lösung von Problemen zu diesem Thema zu testen.

Jetzt üben wir ein wenig: Versuchen wir herauszufinden, welche Zahlenfolgen eine geometrische Folge und welche eine arithmetische Folge sind:

Habe es? Vergleichen wir unsere Antworten:

• Geometrischer Verlauf - 3, 6.
• Arithmetische Folge - 2, 4.
• Es handelt sich weder um eine arithmetische noch um eine geometrische Folge – 1, 5, 7.

Kehren wir zu unserer letzten Folge zurück und versuchen, ihr Mitglied zu finden, genau wie in der arithmetischen Folge. Wie Sie vielleicht schon vermutet haben, gibt es zwei Möglichkeiten, es zu finden.

Wir multiplizieren nacheinander jeden Term mit.

Der te Term der beschriebenen geometrischen Folge ist also gleich.

Wie Sie bereits vermutet haben, werden Sie nun selbst eine Formel ableiten, die Ihnen hilft, jedes Mitglied der geometrischen Folge zu finden. Oder haben Sie es bereits selbst entwickelt und beschrieben, wie Sie Schritt für Schritt das richtige Mitglied finden? Wenn ja, dann überprüfen Sie die Richtigkeit Ihrer Argumentation.

Lassen Sie uns dies am Beispiel der Suche nach dem th-Term dieser Progression veranschaulichen:

Mit anderen Worten:

Finden Sie selbst den Wert des Termes der gegebenen geometrischen Folge.

Passiert? Vergleichen wir unsere Antworten:

Bitte beachten Sie, dass Sie genau die gleiche Zahl wie bei der vorherigen Methode erhalten haben, als wir nacheinander mit jedem vorherigen Term der geometrischen Folge multipliziert haben.
Versuchen wir, diese Formel zu „entpersonalisieren“ – bringen wir sie in eine allgemeine Form und erhalten:

Die abgeleitete Formel gilt für alle Werte – sowohl positive als auch negative. Überprüfen Sie dies selbst, indem Sie die Terme der geometrischen Folge mit den folgenden Bedingungen berechnen: , a.

Hast du gezählt? Vergleichen wir die Ergebnisse:

Stimmen Sie zu, dass es möglich wäre, einen Term einer Progression auf die gleiche Weise wie einen Term zu finden, allerdings besteht die Möglichkeit einer falschen Berechnung. Und wenn wir den dritten Term der geometrischen Folge bereits gefunden haben, was könnte dann einfacher sein, als den „abgeschnittenen“ Teil der Formel zu verwenden?

Unendlich abnehmender geometrischer Verlauf.

Vor kurzem haben wir darüber gesprochen, dass er entweder größer oder kleiner als Null sein kann, es gibt jedoch spezielle Werte, für die der geometrische Verlauf aufgerufen wird unendlich abnehmend.

Warum wird Ihrer Meinung nach dieser Name vergeben?
Schreiben wir zunächst eine geometrische Folge auf, die aus Termen besteht.
Sagen wir dann:

Wir sehen, dass jeder nachfolgende Term um einen Faktor kleiner ist als der vorherige, aber wird es eine Zahl geben? Sie werden sofort mit „Nein“ antworten. Deshalb nimmt es unendlich ab – es nimmt immer weiter ab, wird aber nie Null.

Um klar zu verstehen, wie dies visuell aussieht, versuchen wir, eine Grafik unseres Fortschritts zu zeichnen. Für unseren Fall hat die Formel also die folgende Form:

In Diagrammen sind wir es gewohnt, Abhängigkeiten darzustellen, daher:

Das Wesen des Ausdrucks hat sich nicht geändert: Im ersten Eintrag haben wir die Abhängigkeit des Wertes eines Mitglieds einer geometrischen Folge von seiner Ordnungszahl gezeigt, und im zweiten Eintrag haben wir einfach den Wert eines Mitglieds einer geometrischen Folge angenommen als , und bezeichnete die Ordnungszahl nicht als, sondern als. Jetzt muss nur noch ein Diagramm erstellt werden.
Lass sehen was du bekommen hast. Hier ist die Grafik, die ich erstellt habe:

Siehst du? Die Funktion nimmt ab, strebt gegen Null, überschreitet sie jedoch nie, ist also unendlich fallend. Markieren wir unsere Punkte im Diagramm und geben gleichzeitig an, was die Koordinate und die Bedeutung sind:

Versuchen Sie, einen Graphen einer geometrischen Folge schematisch darzustellen, wenn auch ihr erster Term gleich ist. Analysieren Sie, was der Unterschied zu unserem vorherigen Diagramm ist.

Hast du es geschafft? Hier ist die Grafik, die ich erstellt habe:

Nachdem Sie nun die Grundlagen des Themas der geometrischen Progression vollständig verstanden haben: Sie wissen, was sie ist, Sie wissen, wie man ihren Begriff findet und Sie wissen auch, was eine unendlich abnehmende geometrische Progression ist, kommen wir zu ihrer Haupteigenschaft.

Eigenschaft der geometrischen Progression.

Erinnern Sie sich an die Eigenschaft der Terme einer arithmetischen Folge? Ja, ja, wie findet man den Wert einer bestimmten Zahl einer Progression, wenn es vorherige und nachfolgende Werte der Terme dieser Progression gibt? Erinnerst du dich? Das hier:

Jetzt stehen wir vor genau der gleichen Frage nach den Termen einer geometrischen Folge. Um eine solche Formel abzuleiten, beginnen wir mit dem Zeichnen und Denken. Sie werden sehen, es ist ganz einfach, und wenn Sie es vergessen, können Sie es selbst herausholen.

Nehmen wir eine weitere einfache geometrische Folge, in der wir wissen und. Wie findet man? Mit der arithmetischen Progression ist es einfach und unkompliziert, aber wie sieht es hier aus? Tatsächlich gibt es auch in der Geometrie nichts Kompliziertes – Sie müssen nur jeden uns gegebenen Wert gemäß der Formel aufschreiben.

Sie fragen sich vielleicht: Was sollen wir jetzt dagegen tun? Ja, ganz einfach. Lassen Sie uns zunächst diese Formeln in einem Bild darstellen und versuchen, verschiedene Manipulationen damit durchzuführen, um den Wert zu ermitteln.

Lassen Sie uns von den uns gegebenen Zahlen abstrahieren und uns nur auf ihren Ausdruck durch die Formel konzentrieren. Wir müssen den hervorgehobenen Wert finden orange, wobei die angrenzenden Elemente bekannt sind. Versuchen wir, mit ihnen zu produzieren verschiedene Aktionen, wodurch wir bekommen können.

Zusatz.
Versuchen wir, zwei Ausdrücke hinzuzufügen, und wir erhalten:

Wie Sie sehen, können wir diesen Ausdruck in keiner Weise ausdrücken, daher werden wir eine andere Option ausprobieren – die Subtraktion.

Subtraktion.

Wie Sie sehen, können wir dies auch nicht ausdrücken. Versuchen wir daher, diese Ausdrücke miteinander zu multiplizieren.

Multiplikation.

Schauen Sie sich nun genau an, was wir erhalten, indem wir die Terme der uns gegebenen geometrischen Progression mit dem vergleichen, was gefunden werden muss:

Ratet mal, wovon ich rede? Das ist richtig, um herauszufinden, müssen wir nehmen Quadratwurzel aus den geometrischen Folgezahlen neben der gewünschten miteinander multipliziert:

Bitte schön. Sie haben selbst die Eigenschaft der geometrischen Progression abgeleitet. Versuchen Sie, diese Formel einzuschreiben Gesamtansicht. Passiert?

Bedingung für vergessen? Überlegen Sie, warum es wichtig ist, und versuchen Sie es beispielsweise selbst zu berechnen. Was wird in diesem Fall passieren? Das ist richtig, völliger Unsinn, denn die Formel sieht so aus:

Vergessen Sie daher diese Einschränkung nicht.

Berechnen wir nun, was es bedeutet

Korrekte Antwort - ! Wenn Sie bei der Berechnung den zweiten möglichen Wert nicht vergessen haben, sind Sie in Ordnung und können sofort mit dem Training fortfahren. Wenn Sie es vergessen haben, lesen Sie, was unten besprochen wird, und achten Sie darauf, warum es notwendig ist, beide Wurzeln aufzuschreiben in der Antwort.

Zeichnen wir unsere beiden geometrischen Verläufe – einen mit einem Wert und den anderen mit einem Wert – und prüfen wir, ob beide eine Daseinsberechtigung haben:

Um zu überprüfen, ob eine solche geometrische Folge existiert oder nicht, muss geprüft werden, ob alle ihre gegebenen Terme gleich sind? Berechnen Sie q für den ersten und zweiten Fall.

Sehen Sie, warum wir zwei Antworten schreiben müssen? Denn das Vorzeichen des gesuchten Begriffs hängt davon ab, ob es positiv oder negativ ist! Und da wir nicht wissen, was es ist, müssen wir beide Antworten mit einem Plus und einem Minus schreiben.

Nachdem Sie nun die Hauptpunkte gemeistert und die Formel für die Eigenschaft der geometrischen Progression abgeleitet haben, finden, kennen und

Vergleichen Sie Ihre Antworten mit den richtigen:

Was denken Sie, was wäre, wenn uns nicht die Werte der Terme der geometrischen Folge neben der gewünschten Zahl, sondern in gleichem Abstand davon gegeben würden? Zum Beispiel müssen wir finden, und gegeben und. Können wir die Formel, die wir in diesem Fall abgeleitet haben, verwenden? Versuchen Sie, diese Möglichkeit auf die gleiche Weise zu bestätigen oder zu widerlegen, indem Sie beschreiben, woraus jeder Wert besteht, wie Sie es bei der ursprünglichen Ableitung der Formel getan haben.
Was hast du bekommen?

Schauen Sie nun noch einmal genau hin.
und entsprechend:

Daraus können wir schließen, dass die Formel funktioniert nicht nur mit Nachbarn mit den gewünschten Termen des geometrischen Verlaufs, aber auch mit äquidistant von dem, was die Mitglieder suchen.

Somit hat unsere Ausgangsformel die Form:

Das heißt, wenn wir das im ersten Fall gesagt haben, sagen wir jetzt, dass es jedem gleich sein kann natürliche Zahl, was kleiner ist. Die Hauptsache ist, dass es für beide angegebenen Zahlen gleich ist.

Übe weiter konkrete Beispiele, sei einfach äußerst vorsichtig!

1. , . Finden.
2. , . Finden.
3. , . Finden.

Entschieden? Ich hoffe, Sie waren äußerst aufmerksam und haben einen kleinen Haken bemerkt.

Vergleichen wir die Ergebnisse.

In den ersten beiden Fällen wenden wir ruhig die obige Formel an und erhalten folgende Werte:

Im dritten Fall, bei näherer Betrachtung Seriennummer Bei den uns gegebenen Zahlen verstehen wir, dass sie nicht den gleichen Abstand von der gesuchten Zahl haben: Es handelt sich um die vorherige Zahl, die jedoch an der Position entfernt wurde, sodass die Formel nicht angewendet werden kann.

Wie man es löst? Es ist eigentlich gar nicht so schwierig, wie es scheint! Schreiben wir auf, woraus jede uns gegebene Zahl und die Zahl, nach der wir suchen, besteht.

Also haben wir und. Mal sehen, was wir mit ihnen machen können? Ich schlage vor, durch zu dividieren. Wir bekommen:

Wir setzen unsere Daten in die Formel ein:

Den nächsten Schritt, den wir finden können, müssen wir gehen Kubikwurzel aus der resultierenden Zahl.

Schauen wir uns nun noch einmal an, was wir haben. Wir haben es, aber wir müssen es finden, und es ist wiederum gleich:

Wir haben alle notwendigen Daten für die Berechnung gefunden. Ersetzen Sie in die Formel:

Unsere Antwort: .

Versuchen Sie, ein anderes ähnliches Problem selbst zu lösen:
Gegeben: ,
Finden:

Wie viel hast du bekommen? Bei mir - .

Wie Sie sehen, brauchen Sie im Wesentlichen Merken Sie sich nur eine Formel- . Den Rest können Sie jederzeit problemlos selbst abheben. Schreiben Sie dazu einfach die einfachste geometrische Folge auf ein Blatt Papier und notieren Sie, was jede ihrer Zahlen gemäß der oben beschriebenen Formel bedeutet.

Die Summe der Terme einer geometrischen Folge.

Schauen wir uns nun Formeln an, mit denen wir schnell die Summe der Terme einer geometrischen Folge in einem bestimmten Intervall berechnen können:

Um die Formel für die Summe der Terme einer endlichen geometrischen Folge abzuleiten, multiplizieren Sie alle Teile der obigen Gleichung mit. Wir bekommen:

Schauen Sie genau hin: Was haben die letzten beiden Formeln gemeinsam? Das ist richtig, zum Beispiel gemeinsame Mitglieder und so weiter, mit Ausnahme des ersten und letzten Mitglieds. Versuchen wir, die 1. von der 2. Gleichung zu subtrahieren. Was hast du bekommen?

Drücken Sie nun den Term der geometrischen Progression durch die Formel aus und setzen Sie den resultierenden Ausdruck in unsere letzte Formel ein:

Gruppieren Sie den Ausdruck. Du solltest bekommen:

Jetzt bleibt nur noch Folgendes zu sagen:

Dementsprechend in diesem Fall.

Was ist, wenn? Welche Formel funktioniert dann? Stellen Sie sich eine geometrische Folge vor. Wie ist sie? Richtige Zeile identische Zahlen, dementsprechend sieht die Formel so aus:

Es gibt viele Legenden sowohl über die arithmetische als auch über die geometrische Progression. Eine davon ist die Legende von Set, dem Schöpfer des Schachs.

Viele Menschen wissen, dass das Schachspiel in Indien erfunden wurde. Als der Hindu-König sie traf, war er von ihrem Witz und den vielfältigen Stellungen, die ihr möglich waren, begeistert. Als der König erfuhr, dass es von einem seiner Untertanen erfunden worden war, beschloss er, ihn persönlich zu belohnen. Er rief den Erfinder zu sich und befahl ihm, ihn um alles zu bitten, was er wollte, und versprach, selbst den geschicktesten Wunsch zu erfüllen.

Seta bat um Zeit zum Nachdenken, und als Seta am nächsten Tag vor dem König erschien, überraschte er den König mit der beispiellosen Bescheidenheit seiner Bitte. Er bat darum, ein Weizenkorn für das erste Feld des Schachbretts zu geben, ein Weizenkorn für das zweite, ein Weizenkorn für das dritte, ein viertes usw.

Der König war wütend und vertrieb Seth mit der Begründung, dass die Bitte des Dieners der Großzügigkeit des Königs unwürdig sei, versprach aber, dass der Diener seine Körner für alle Quadrate des Bretts erhalten würde.

Und nun die Frage: Berechnen Sie anhand der Formel für die Summe der Terme einer geometrischen Folge, wie viele Körner Seth erhalten sollte?

Beginnen wir mit der Überlegung. Da Seth gemäß der Bedingung ein Weizenkorn für das erste Feld des Schachbretts, für das zweite, für das dritte, für das vierte usw. verlangte, sehen wir, dass es sich bei dem Problem um eine geometrische Folge handelt. Was bedeutet es in diesem Fall?
Rechts.

Gesamtquadrate des Schachbretts. Jeweils, . Wir haben alle Daten, es bleibt nur noch, sie in die Formel einzubauen und zu berechnen.

Um uns die „Skala“ einer gegebenen Zahl zumindest annähernd vorzustellen, transformieren wir mithilfe der Gradeigenschaften:

Wenn Sie möchten, können Sie natürlich einen Taschenrechner nehmen und berechnen, welche Zahl am Ende herauskommt. Wenn nicht, müssen Sie sich auf mein Wort verlassen: Der Endwert des Ausdrucks wird sein.
Also:

Trillionen Billiarden Billionen Milliarden Millionen Tausend.

Puh) Wenn Sie sich vorstellen wollen, wie enorm diese Zahl ist, dann schätzen Sie ab, wie groß eine Scheune sein müsste, um die gesamte Getreidemenge unterzubringen.
Wenn die Scheune m hoch und m breit ist, müsste ihre Länge sich über km erstrecken, d. h. doppelt so weit wie von der Erde zur Sonne.

Wäre der König gut in Mathematik gewesen, hätte er den Wissenschaftler selbst einladen können, die Körner zu zählen, denn um eine Million Körner zu zählen, bräuchte er mindestens einen Tag unermüdlichen Zählens, und wenn man bedenkt, dass es notwendig ist, Trillionen zu zählen, die Körner müsste sein ganzes Leben lang gezählt werden.

Lassen Sie uns nun ein einfaches Problem lösen, bei dem es um die Summe der Terme einer geometrischen Folge geht.
Ein Schüler der 5A-Klasse, Vasya, erkrankte an der Grippe, geht aber weiterhin zur Schule. Jeden Tag infiziert Vasya zwei Menschen, die wiederum zwei weitere Menschen infizieren und so weiter. Es gibt nur Leute in der Klasse. In wie vielen Tagen wird die ganze Klasse an Grippe erkranken?

Der erste Begriff der geometrischen Progression ist also Vasya, also eine Person. Der dritte Term der geometrischen Progression sind die beiden Menschen, die er am ersten Tag seiner Ankunft infizierte. Die Gesamtsumme der Progressionssemester entspricht der Anzahl der 5A-Studierenden. Dementsprechend sprechen wir von einem Verlauf, bei dem:

Setzen wir unsere Daten in die Formel für die Summe der Terme einer geometrischen Folge ein:

Die ganze Klasse wird innerhalb weniger Tage krank. Glauben Sie nicht an Formeln und Zahlen? Versuchen Sie, die „Ansteckung“ der Studierenden selbst darzustellen. Passiert? Schauen Sie, wie es bei mir aussieht:

Berechnen Sie selbst, wie viele Tage es dauern würde, bis Schüler an Grippe erkranken, wenn jeder eine Person anstecken würde und nur eine Person in der Klasse wäre.

Welchen Wert hast du bekommen? Es stellte sich heraus, dass alle nach einem Tag krank wurden.

Wie Sie sehen, ähneln eine solche Aufgabe und die Zeichnung dafür einer Pyramide, in die jede weitere neue Leute „bringt“. Früher oder später kommt jedoch der Moment, in dem Letzteres niemanden anziehen kann. Wenn wir uns in unserem Fall vorstellen, dass die Klasse isoliert ist, schließt die Person aus die Kette (). Wenn also eine Person an einer Finanzpyramide beteiligt wäre, bei der Geld gespendet wird, wenn man zwei andere Teilnehmer mitbringt, dann würde die Person (oder im Allgemeinen) niemanden mitbringen und dementsprechend alles verlieren, was sie in diesen Finanzbetrug investiert hat.

Alles, was oben gesagt wurde, bezieht sich auf einen abnehmenden oder zunehmenden geometrischen Verlauf, aber wie Sie sich erinnern, haben wir einen besonderen Typ – einen unendlich abnehmenden geometrischen Verlauf. Wie berechnet man die Summe seiner Mitglieder? Und warum weist diese Art der Progression bestimmte Merkmale auf? Lassen Sie es uns gemeinsam herausfinden.

Schauen wir uns also zunächst noch einmal diese Zeichnung einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression aus unserem Beispiel an:

Schauen wir uns nun die etwas früher abgeleitete Formel für die Summe einer geometrischen Folge an:
oder

Was streben wir an? Das ist richtig, die Grafik zeigt, dass es gegen Null tendiert. Das heißt, at wird nahezu gleich sein bzw. wenn wir den Ausdruck berechnen, erhalten wir fast. In diesem Zusammenhang glauben wir, dass diese Klammer bei der Berechnung der Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge vernachlässigt werden kann, da sie gleich ist.

- Formel ist die Summe der Terme einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge.

WICHTIG! Wir verwenden die Formel für die Summe der Terme einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge nur, wenn die Bedingung ausdrücklich besagt, dass wir die Summe finden müssen unendlich Anzahl der Mitglieder.

Wenn eine bestimmte Zahl n angegeben ist, verwenden wir die Formel für die Summe von n Termen, auch wenn oder.

Jetzt lasst uns üben.

1. Ermitteln Sie die Summe der ersten Terme der geometrischen Folge mit und.
2. Finden Sie die Summe der Terme einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge mit und.

Ich hoffe, Sie waren äußerst vorsichtig. Vergleichen wir unsere Antworten:

Jetzt wissen Sie alles über geometrische Progression und es ist Zeit, von der Theorie zur Praxis überzugehen. Die häufigsten geometrischen Progressionsprobleme, die in der Prüfung auftreten, sind Probleme bei der Berechnung des Zinseszinses. Über diese werden wir sprechen.

Probleme bei der Berechnung des Zinseszinses.

Sie haben wahrscheinlich schon von der sogenannten Zinseszinsformel gehört. Verstehen Sie, was es bedeutet? Wenn nicht, lassen Sie es uns herausfinden, denn sobald Sie den Prozess selbst verstanden haben, werden Sie sofort verstehen, was die geometrische Progression damit zu tun hat.

Wir gehen alle zur Bank und wissen, dass es welche gibt unterschiedliche Bedingungen auf Einlagen: Dies ist die Laufzeit und Zusatzleistung und Zinsen mit zwei verschiedene Wege seine Berechnungen - einfach und komplex.

MIT einfaches Interesse Alles ist mehr oder weniger klar: Die Zinsen fallen einmalig am Ende der Einlagenlaufzeit an. Das heißt, wenn wir sagen, dass wir 100 Rubel für ein Jahr einzahlen, werden diese erst am Ende des Jahres gutgeschrieben. Dementsprechend erhalten wir am Ende der Einzahlung Rubel.

Zinseszins- Dies ist eine Option, in der es auftritt Zinskapitalisierung, d.h. deren Addition zum Einzahlungsbetrag und anschließende Berechnung des Einkommens nicht aus dem ursprünglichen, sondern aus dem kumulierten Einzahlungsbetrag. Die Großschreibung erfolgt nicht ständig, sondern mit einer gewissen Häufigkeit. In der Regel sind diese Zeiträume gleich und am häufigsten verwenden Banken einen Monat, ein Quartal oder ein Jahr.

Nehmen wir an, dass wir jährlich die gleichen Rubel einzahlen, jedoch mit monatlicher Kapitalisierung der Einlage. Was machen wir?

Verstehst du hier alles? Wenn nicht, lassen Sie es uns Schritt für Schritt herausfinden.

Wir brachten Rubel zur Bank. Am Ende des Monats sollten wir auf unserem Konto einen Betrag haben, der sich aus unseren Rubel plus Zinsen zusammensetzt, das heißt:

Zustimmen?

Wir können es aus der Klammer nehmen und dann erhalten wir:

Stimmen Sie zu, diese Formel ähnelt bereits mehr dem, was wir am Anfang geschrieben haben. Jetzt müssen Sie nur noch die Prozentsätze ermitteln

In der Problemstellung werden wir über Jahresraten informiert. Wie Sie wissen, multiplizieren wir nicht mit, sondern rechnen Prozentsätze in um Dezimalstellen, also:

Rechts? Nun fragen Sie sich vielleicht: Woher kommt die Nummer? Sehr einfach!
Ich wiederhole: In der Problemstellung heißt es etwa JÄHRLICH Zinsen, die anfallen MONATLICH. Wie Sie wissen, berechnet uns die Bank in einem Jahr mit Monaten entsprechend einen Teil der Jahreszinsen pro Monat:

Haben Sie es erkannt? Versuchen Sie nun zu schreiben, wie dieser Teil der Formel aussehen würde, wenn ich sagen würde, dass die Zinsen täglich berechnet werden.
Hast du es geschafft? Vergleichen wir die Ergebnisse:

Gut gemacht! Kehren wir zu unserer Aufgabe zurück: Schreiben Sie, wie viel unserem Konto im zweiten Monat gutgeschrieben wird, und berücksichtigen Sie dabei, dass auf den angesammelten Einzahlungsbetrag Zinsen anfallen.
Folgendes habe ich bekommen:

Oder anders gesagt:

Ich denke, dass Sie in all dem bereits ein Muster und einen geometrischen Verlauf bemerkt haben. Schreiben Sie auf, wie hoch sein Mitglied sein wird, oder mit anderen Worten, wie viel Geld wir am Ende des Monats erhalten werden.
Tat? Lass uns das Prüfen!

Wie Sie sehen, erhalten Sie Rubel, wenn Sie ein Jahr lang Geld zu einem einfachen Zinssatz bei einer Bank anlegen, und wenn Sie zu einem Zinseszinssatz Geld erhalten, erhalten Sie Rubel. Der Nutzen ist gering, aber das passiert nur im Laufe des Jahres, aber über einen längeren Zeitraum ist die Kapitalisierung viel rentabler:

Schauen wir uns eine andere Art von Problem an, bei dem es um Zinseszinsen geht. Nach dem, was Sie herausgefunden haben, wird es für Sie elementar sein. Also die Aufgabe:

Das Unternehmen Zvezda begann im Jahr 2000 mit Kapital in Dollar in die Branche zu investieren. Seit 2001 erhält sie jedes Jahr einen Gewinn in Höhe des Vorjahreskapitals. Wie viel Gewinn wird das Unternehmen Zvezda Ende 2003 erzielen, wenn die Gewinne nicht aus dem Verkehr gezogen würden?

Hauptstadt der Firma Zvezda im Jahr 2000.
- Hauptstadt der Firma Zvezda im Jahr 2001.
- Hauptstadt der Firma Zvezda im Jahr 2002.
- Hauptstadt der Firma Zvezda im Jahr 2003.

Oder wir schreiben kurz:

Für unseren Fall:

2000, 2001, 2002 und 2003.

Jeweils:
Rubel
Bitte beachten Sie, dass wir in diesem Problem weder durch noch durch dividieren, da der Prozentsatz JÄHRLICH angegeben und JÄHRLICH berechnet wird. Das heißt, achten Sie beim Lesen einer Aufgabe zum Zinseszins darauf, welcher Prozentsatz angegeben ist und in welchem ​​Zeitraum er berechnet wird, und fahren Sie erst dann mit den Berechnungen fort.
Jetzt wissen Sie alles über den geometrischen Verlauf.

Ausbildung.

1. Finden Sie den Term der geometrischen Progression, wenn bekannt ist, dass und
2. Finden Sie die Summe der ersten Terme der geometrischen Folge, wenn bekannt ist, dass und
3. Das Unternehmen MDM Capital begann im Jahr 2003 mit Kapital in Dollar in die Branche zu investieren. Seit 2004 erhält sie jedes Jahr einen Gewinn in Höhe des Vorjahreskapitals. Firma MSK Cashflows„Begann im Jahr 2005 mit der Investition in die Branche in Höhe von 10.000 US-Dollar und begann im Jahr 2006 mit der Erzielung eines Gewinns in Höhe von Um wie viel Dollar wäre das Kapital eines Unternehmens Ende 2007 größer als das des anderen, wenn die Gewinne nicht aus dem Verkehr gezogen würden?

Antworten:

1. Da die Problemstellung nicht besagt, dass die Progression unendlich ist und es erforderlich ist, die Summe einer bestimmten Anzahl ihrer Terme zu ermitteln, erfolgt die Berechnung nach der Formel:
2. 
   MDM Capital Company:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - erhöht sich um 100 %, also um das Zweifache.
   Jeweils:
   Rubel
   MSK Cash Flows Unternehmen:

   2005, 2006, 2007.
   - erhöht sich um, das heißt um ein Vielfaches.
   Jeweils:
   Rubel
   Rubel

Fassen wir zusammen.

1) Geometrische Progression ( ) ist eine numerische Folge, deren erster Term von Null verschieden ist und jeder Term, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen ist, multipliziert mit derselben Zahl. Diese Zahl wird als Nenner einer geometrischen Folge bezeichnet.

2) Die Gleichung der Terme der geometrischen Progression lautet .

3) kann beliebige Werte außer und annehmen.

• Wenn, dann haben alle nachfolgenden Terme der Progression das gleiche Vorzeichen – sie sind positiv;
• Wenn, dann alle nachfolgenden Terme der Progression alternative Zeichen;
• wenn - die Progression wird als unendlich abnehmend bezeichnet.

4) , mit - Eigenschaft der geometrischen Progression (benachbarte Begriffe)

oder
, bei (äquidistante Terme)

Wenn Sie es finden, vergessen Sie das nicht Es sollte zwei Antworten geben.

Zum Beispiel,

5) Die Summe der Terme der geometrischen Progression wird nach der Formel berechnet:
oder

Wenn die Progression unendlich abnimmt, dann gilt:
oder

WICHTIG! Wir verwenden die Formel für die Summe der Terme einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge nur dann, wenn die Bedingung ausdrücklich besagt, dass wir die Summe einer unendlichen Anzahl von Termen ermitteln müssen.

6) Probleme mit Zinseszinsen werden auch mit der Formel für den ten Term einer geometrischen Folge berechnet, vorausgesetzt, dass Geldmittel wurden nicht aus dem Verkehr gezogen:

GEOMETRISCHER FORTSCHRITT. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

Geometrischer Verlauf( ) ist eine numerische Folge, deren erster Term von Null verschieden ist und jeder Term, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen ist, multipliziert mit derselben Zahl. Diese Nummer wird angerufen Nenner einer geometrischen Folge.

Nenner der geometrischen Progression kann jeden Wert außer und annehmen.

• Wenn ja, dann haben alle nachfolgenden Terme der Progression das gleiche Vorzeichen – sie sind positiv;
• wenn, dann wechseln alle nachfolgenden Mitglieder der Progression die Vorzeichen;
• wenn - die Progression wird als unendlich abnehmend bezeichnet.

Gleichung der Terme der geometrischen Progression - .

Summe der Terme einer geometrischen Folge berechnet nach der Formel:
oder