So ermitteln Sie die Fläche eines Polygons, wenn der Umfang bekannt ist. Fläche eines Polygons

22.09.2019

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Geometrieprobleme erfordern oft die Berechnung der Fläche eines Polygons. Darüber hinaus kann es eine ziemlich unterschiedliche Form haben – vom bekannten Dreieck bis zu einem N-Eck mit einer unvorstellbaren Anzahl von Eckpunkten. Darüber hinaus können diese Polygone konvex oder konkav sein. In jedem spezifische Situation soll beginnen Aussehen Figuren. Auf diese Weise können Sie den optimalen Weg zur Lösung des Problems wählen. Die Zahl kann sich als richtig erweisen, was die Lösung des Problems erheblich vereinfacht.

Eine kleine Theorie über Polygone

Wenn Sie drei oder mehr Schnittlinien zeichnen, bilden diese eine bestimmte Figur. Sie ist das Polygon. Anhand der Anzahl der Schnittpunkte wird deutlich, wie viele Eckpunkte es haben wird. Sie geben der resultierenden Figur den Namen. Das kann sein:

Eine solche Figur wird sicherlich durch zwei Positionen charakterisiert:

Angrenzende Seiten gehören nicht zur gleichen Linie.
Nicht benachbarte haben keine gemeinsamen Punkte, das heißt, sie schneiden sich nicht.

Um zu verstehen, welche Eckpunkte benachbart sind, müssen Sie prüfen, ob sie zur gleichen Seite gehören. Wenn ja, dann benachbarte. Andernfalls können sie durch ein Segment verbunden werden, das als Diagonale bezeichnet werden muss. Sie können nur in Polygonen durchgeführt werden, die mehr als drei Eckpunkte haben.

Welche Arten davon gibt es?

Ein Polygon mit mehr als vier Ecken kann konvex oder konkav sein. Der Unterschied zwischen letzterem besteht darin, dass einige seiner Eckpunkte auf gegenüberliegenden Seiten einer geraden Linie liegen können, die durch eine beliebige Seite des Polygons gezogen wird. Im konvexen Fall liegen alle Eckpunkte immer auf der gleichen Seite einer solchen Geraden.

In einem Schulgeometriekurs wird die meiste Zeit konvexen Figuren gewidmet. Daher erfordern die Probleme das Ermitteln der Fläche eines konvexen Polygons. Dann gibt es eine Formel für den Radius des umschriebenen Kreises, mit der Sie für jede Figur den gewünschten Wert ermitteln können. In anderen Fällen gibt es keine klare Lösung. Für ein Dreieck ist die Formel eine, für ein Quadrat oder Trapez ist sie jedoch völlig anders. In Situationen, in denen die Figur unregelmäßig ist oder viele Scheitelpunkte vorhanden sind, ist es üblich, sie in einfache und bekannte zu unterteilen.

Was tun, wenn die Figur drei oder vier Eckpunkte hat?

Im ersten Fall stellt sich heraus, dass es sich um ein Dreieck handelt, und Sie können eine der Formeln verwenden:

S = 1/2 * a * n, wobei a die Seite und n die Höhe dazu ist;
S = 1/2 * a * b * sin (A), wobei a, b die Seiten des Dreiecks sind, A der Winkel zwischen den bekannten Seiten;
S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), wobei c die Seite des Dreiecks ist, zu den beiden bereits angegebenen ist p der Halbumfang, d. h. die Summe aller drei Seiten geteilt durch zwei.

Eine Figur mit vier Eckpunkten könnte sich als Parallelogramm herausstellen:

S = a * n;
S = 1/2 * d 1 * d 2 * sin(α), wobei d 1 und d 2 Diagonalen sind, α der Winkel zwischen ihnen ist;
S = a * in * sin(α).

Formel für die Fläche eines Trapezes: S = n * (a + b) / 2, wobei a und b die Längen der Basen sind.

Was tun mit einem regelmäßigen Polygon, das mehr als vier Eckpunkte hat?

Zunächst zeichnet sich eine solche Figur dadurch aus, dass alle Seiten gleich sind. Außerdem hat das Polygon gleiche Winkel.

Wenn Sie um eine solche Figur einen Kreis zeichnen, stimmt sein Radius mit dem Segment vom Mittelpunkt des Polygons bis zu einem der Eckpunkte überein. Daher, um die Fläche zu berechnen regelmäßiges Vieleck Bei einer beliebigen Anzahl von Eckpunkten benötigen Sie die folgende Formel:

S n = 1/2 * n * R n 2 * sin (360º/n), wobei n die Anzahl der Eckpunkte des Polygons ist.

Daraus lässt sich leicht ein für spezielle Fälle nützliches finden:

Dreieck: S = (3√3)/4 * R 2 ;
Quadrat: S = 2 * R 2 ;
Sechseck: S = (3√3)/2 * R 2.

Die Situation mit der falschen Figur

Die Lösung, wie man die Fläche eines Polygons ermittelt, wenn es nicht regelmäßig ist und keiner der bisher bekannten Figuren zugeordnet werden kann, ist der Algorithmus:

Teilen Sie es in einfache Formen, zum Beispiel Dreiecke, auf, damit sie sich nicht schneiden.
Berechnen Sie ihre Flächen mit einer beliebigen Formel.
Addieren Sie alle Ergebnisse.

Was tun, wenn das Problem die Koordinaten der Eckpunkte eines Polygons angibt?

Das heißt, für jeden Punkt ist eine Menge von Zahlenpaaren bekannt, die die Seiten der Figur begrenzen. Normalerweise werden sie als (x 1 ; y 1) für den ersten, (x 2 ; y 2) für den zweiten geschrieben und der n-te Scheitelpunkt hat die folgenden Werte (x n ; y n). Dann wird die Fläche des Polygons als Summe von n Termen bestimmt. Jeder von ihnen sieht so aus: ((y i+1 +y i)/2) * (x i+1 - x i). In diesem Ausdruck variiert i von eins bis n.

Es ist zu beachten, dass das Vorzeichen des Ergebnisses vom Durchlauf der Figur abhängt. Wenn Sie die obige Formel verwenden und im Uhrzeigersinn vorgehen, ist die Antwort negativ.

Beispielaufgabe

Zustand. Die Koordinaten der Eckpunkte werden durch die folgenden Werte angegeben (0,6; 2,1), (1,8; 3,6), (2,2; 2,3), (3,6; 2,4), (3,1; 0,5). Sie müssen die Fläche eines Polygons berechnen.

Lösung. Gemäß der obigen Formel ist der erste Term gleich (1,8 + 0,6)/2 * (3,6 – 2,1). Hier müssen Sie nur die Werte für Y und X vom zweiten und ersten Punkt übernehmen. Eine einfache Rechnung führt zum Ergebnis 1,8.

Der zweite Term wird auf ähnliche Weise erhalten: (2,2 + 1,8)/2 * (2,3 - 3,6) = -2,6. Haben Sie bei der Lösung solcher Probleme keine Angst vor negativen Größen. Alles läuft wie es soll. Dies ist geplant.

Die Werte für den dritten (0,29), vierten (-6,365) und fünften Term (2,96) werden auf ähnliche Weise ermittelt. Dann beträgt die endgültige Fläche: 1,8 + (-2,6) + 0,29 + (-6,365) + 2,96 = - 3,915.

Ratschläge zur Lösung eines Problems, bei dem ein Polygon auf kariertem Papier gezeichnet wird

Was am häufigsten rätselhaft ist, ist, dass die Daten nur die Größe der Zelle enthalten. Es stellt sich jedoch heraus, dass keine weiteren Informationen erforderlich sind. Eine Empfehlung zur Lösung dieses Problems besteht darin, die Figur in viele Dreiecke und Rechtecke aufzuteilen. Ihre Flächen lassen sich ganz einfach anhand der Seitenlängen berechnen, die dann einfach addiert werden können.

Aber es gibt oft einen einfacheren Ansatz. Es besteht darin, eine Figur in ein Rechteck zu zeichnen und dessen Fläche zu berechnen. Berechnen Sie dann die Flächen der Elemente, die sich als überflüssig erwiesen haben. Subtrahieren Sie sie von allgemeine Bedeutung. Diese Option erfordert manchmal eine etwas geringere Anzahl von Aktionen.

Inhalt:

Es ist sehr einfach, die Fläche eines regelmäßigen Dreiecks (es ist ein Polygon!) zu berechnen, und im Fall eines unregelmäßigen Zehnecks (es ist auch ein Polygon!) sehr schwierig. In diesem Artikel erfahren Sie, wie Sie die Fläche verschiedener Polygone berechnen.

Schritte

1 Berechnung der Fläche eines regelmäßigen Vielecks mittels Apothem

1 Formel zum Ermitteln der Fläche eines regelmäßigen Polygons: Fläche = 1/2 x Umfang x Apothem.
- Der Umfang ist die Summe der Seiten eines Polygons.
- Ein Apothem ist ein Segment, das den Mittelpunkt eines Polygons und die Mitte einer seiner Seiten verbindet (das Apothem steht senkrecht zur Seite).
2 Finden Sie das Apothem. Es wird normalerweise in der Problemstellung angegeben. Zum Beispiel sei ein Sechseck gegeben, dessen Apothem 10√3 ist.
3 Finden Sie den Umfang. Wenn der Umfang in der Problemstellung nicht angegeben ist, kann er mit dem bekannten Apothem ermittelt werden.
- Ein Sechseck kann in 6 gleichseitige Dreiecke unterteilt werden. Das Apothem halbiert eine Seite und erzeugt ein rechtwinkliges Dreieck mit Winkeln von 30-60-90 Grad.
- IN rechtwinkliges Dreieck die Seite gegenüber dem 60-Grad-Winkel ist x√3; ein Winkel von 30 Grad ist gleich „x“; ein Winkel von 90 Grad entspricht 2x. Wenn der Wert der Seite x√3 10√3 ist, dann ist x = 10.
- „x“ ist die halbe Länge der Basis des Dreiecks. Verdoppeln Sie es und Sie erhalten die volle Länge der Basis. In unserem Beispiel beträgt die Basis des Dreiecks 20 Einheiten. Die Basis des Dreiecks wiederum ist die Seite des Sechsecks. Somit beträgt der Umfang des Sechsecks 20 x 6 = 120.
4 Setzen Sie die Apothem- und Umfangswerte in die Formel ein. In unserem Beispiel:
- Fläche = 1/2 x 120 x 10√3
- Fläche = 60 x 10√3
- Fläche = 600√3
5 Vereinfachen Sie Ihre Antwort. Möglicherweise müssen Sie die Antwort als schreiben Dezimal(das heißt, die Wurzel entfernen). Finden Sie mit einem Taschenrechner √3 und multiplizieren Sie die resultierende Zahl mit 600: √3 x 600 = 1039,2. Dies ist Ihre endgültige Antwort.

2 Berechnung der Fläche eines regelmäßigen Polygons mit anderen Formeln

1 . Formel: Fläche = 1/2 x Grundfläche x Höhe.
- Wenn Sie ein Dreieck mit einer Basis von 10 und einer Höhe von 8 erhalten, dann ist seine Fläche = 1/2 x 8 x 10 = 40.
2 . Um die Fläche eines Quadrats zu ermitteln, quadrieren Sie einfach die Länge einer Seite. Wenn wir die Grundfläche eines Quadrats mit seiner Höhe multiplizieren, erhalten wir das gleiche Ergebnis, da Grundfläche und Höhe gleich sind.
- Wenn die Seite eines Quadrats 6 ist, dann ist seine Fläche = 6 x 6 = 36.
3 . Formel: Fläche = Länge x Breite.
- Wenn die Länge eines Rechtecks 4 und die Breite 3 beträgt, dann ist seine Fläche = 4 x 3 = 12.
4 . Formel: Fläche = [(Basis1 + Basis2) x Höhe] / 2.
- Zum Beispiel sei ein Trapez mit den Grundflächen 6 und 8 und der Höhe 10 gegeben. Seine Fläche = [(6 + 8) 10]/2 = (14 x 10)/2 = 140/2 = 70.

3 Berechnung der Fläche eines unregelmäßigen Polygons

1 Verwenden Sie die Koordinaten der Eckpunkte des unregelmäßigen Polygons. Wenn Sie die Koordinaten der Scheitelpunkte kennen, können Sie die Fläche eines unregelmäßigen Polygons bestimmen.
2 Machen Sie einen Tisch. Notieren Sie die Koordinaten der Eckpunkte (x, y) (wählen Sie die Eckpunkte nacheinander gegen den Uhrzeigersinn aus). Schreiben Sie am Ende der Liste noch einmal die Koordinaten des ersten Scheitelpunkts.
3 Multiplizieren Sie den X-Koordinatenwert des ersten Scheitelpunkts mit dem Y-Koordinatenwert des zweiten Scheitelpunkts (usw.). Addieren Sie die Ergebnisse (in unserem Beispiel beträgt die Summe 82).
4 Multiplizieren Sie den y-Koordinatenwert des ersten Scheitelpunkts mit dem x-Koordinatenwert des zweiten Scheitelpunkts (usw.). Addieren Sie die Ergebnisse (in unserem Beispiel beträgt die Summe -38).
5 Subtrahieren Sie den Betrag, den Sie in Schritt 4 erhalten haben, von dem Betrag, den Sie in Schritt 3 erhalten haben. In unserem Beispiel: (82) - (-38) = 120.
6 Teilen Sie das Ergebnis durch 2, um die Fläche des Polygons zu ermitteln: S=120/2 = 60 (quadratische Einheiten).

Wenn Sie die Koordinaten der Eckpunkte im Uhrzeigersinn schreiben, erhalten Sie eine negative Fläche. Daher kann es verwendet werden, um den Zyklus oder die Reihenfolge einer bestimmten Menge von Eckpunkten zu beschreiben, die ein Polygon bilden.
Diese Formel ermittelt die Fläche anhand der Form des Polygons. Wenn das Polygon die Form der Zahl 8 hat, muss die Fläche mit Eckpunkten im Uhrzeigersinn von der Fläche mit Eckpunkten gegen den Uhrzeigersinn subtrahiert werden.

1.1 Flächenberechnung in der Antike

1.2 Unterschiedliche Ansätze zum Studium der Konzepte „Fläche“, „Polygon“, „Fläche eines Polygons“

1.2.1 Der Flächenbegriff. Bereichseigenschaften

1.2.2 Konzept des Polygons

1.2.3 Das Konzept der Fläche eines Polygons. Beschreibende Definition

1.3 Verschiedene Formeln Bereiche von Polygonen

1.4 Herleitung von Formeln für die Flächen von Polygonen

1.4.1 Fläche eines Dreiecks. Herons Formel

1.4.2 Fläche eines Rechtecks

1.4.3 Fläche eines Trapezes

1.4.4 Fläche eines Vierecks

1.4.5 Universelle Formel

1.4.6 Fläche von n-Eck

1.4.7 Berechnen der Fläche eines Polygons aus den Koordinaten seiner Eckpunkte

1.4.8 Picksche Formel

1.5 Satz des Pythagoras über die Summe der Flächen von Quadraten, die auf den Schenkeln eines rechtwinkligen Dreiecks aufgebaut sind

1.6 Gleichmäßige Anordnung von Dreiecken. Bolyay-Gerwin-Theorem

1.7 Flächenverhältnis gleichartiger Dreiecke

1,8 Figuren mit der größten Fläche

1.8.1 Trapez oder Rechteck

1.8.2 Bemerkenswerte Eigenschaft des Platzes

1.8.3 Abschnitte anderer Formen

1.8.4 Dreieck mit der größten Fläche

Kapitel 2. Methodische Merkmale der Untersuchung der Flächen von Polygonen im Mathematikunterricht

2.1 Thematische Planung und Besonderheiten des Unterrichts in Lehrveranstaltungen mit vertieftem Mathematikstudium

2.2 Methodik zur Durchführung des Unterrichts

2.3 Ergebnisse experimenteller Arbeiten

Abschluss

Literatur

Einführung

Das Thema „Fläche der Polygone“ ist ein fester Bestandteil des Schulmathematikkurses, was ganz selbstverständlich ist. Schließlich ist die Entstehung der Geometrie historisch gesehen mit der Notwendigkeit verbunden, Grundstücke der einen oder anderen Form zu vergleichen. Es ist jedoch zu beachten, dass Bildungsmöglichkeiten für die Behandlung dieses Themas in weiterführende Schule sind noch lange nicht ausgeschöpft.

Die Hauptaufgabe des Mathematikunterrichts in der Schule besteht darin, sicherzustellen, dass die Schüler das in der Mathematik erforderliche System der mathematischen Kenntnisse und Fähigkeiten gut und bewusst beherrschen Alltagsleben Und Arbeitstätigkeit jedes Mitglied moderne Gesellschaft, ausreichend zum Lernen verwandte Disziplinen und Weiterbildung.

Neben der Lösung des Hauptproblems beinhaltet das vertiefte Studium der Mathematik die Bildung eines nachhaltigen Interesses der Studierenden für das Fach, die Identifizierung und Entwicklung ihrer mathematischen Fähigkeiten, die Orientierung an Berufen, die einen wesentlichen Bezug zur Mathematik haben, und die Vorbereitung auf ein Studium an einer Universität .

Die qualifizierende Arbeit umfasst die Inhalte eines allgemeinbildenden Schulmathematikkurses sowie eine Reihe zusätzlicher Fragen, die direkt an diesen Kurs angrenzen und ihn entlang der ideologischen Grundlinien vertiefen.

Die Aufnahme zusätzlicher Fragen dient zwei miteinander verbundenen Zwecken. Dabei handelt es sich einerseits um die Schaffung einer Grundlage für die Befriedigung der Interessen und Entwicklung der Fähigkeiten mathematikbegeisterter Studierender in Verbindung mit den Hauptabschnitten des Studiums, andererseits um die Erfüllung von die inhaltlichen Lücken des Hauptstudiums zu schließen und den Inhalten des Vertiefungsstudiums die nötige Integrität zu verleihen.

Die Qualifikationsarbeit besteht aus einer Einleitung, zwei Kapiteln, einem Fazit und zitierter Literatur. Im ersten Kapitel werden die theoretischen Grundlagen der Untersuchung der Flächen von Polygonen erörtert, und im zweiten Kapitel geht es direkt um die methodischen Besonderheiten der Flächenuntersuchung.

Kapitel 1. Theoretische Basis Untersuchung der Flächen von Polygonen

1.1 Flächenberechnung in der Antike

Die Anfänge des geometrischen Wissens rund um die Vermessung von Flächen gehen in den Tiefen von Jahrtausenden verloren.

Bereits vor 4.000 bis 5.000 Jahren konnten die Babylonier die Fläche eines Rechtecks und eines Trapezes in Quadrateinheiten bestimmen. Das Quadrat dient aufgrund seiner vielen bemerkenswerten Eigenschaften seit langem als Maßstab für die Flächenmessung: gleiche Seiten, gleiche und rechte Winkel, Symmetrie und allgemeine Formvollkommenheit. Quadrate lassen sich leicht konstruieren, oder Sie können eine Fläche lückenlos füllen.

IN antikes China Das Flächenmaß war ein Rechteck. Als Maurer die Fläche einer rechteckigen Hauswand bestimmten, multiplizierten sie die Höhe und Breite der Wand. Dies ist die in der Geometrie akzeptierte Definition: Die Fläche eines Rechtecks ist gleich dem Produkt seiner angrenzenden Seiten. Beide Seiten müssen in den gleichen linearen Einheiten ausgedrückt werden. Ihr Produkt ist die Fläche des Rechtecks, ausgedrückt in den entsprechenden Quadrateinheiten. Wenn beispielsweise Höhe und Breite einer Wand in Dezimetern gemessen werden, wird das Produkt beider Messungen in Quadratdezimetern ausgedrückt. Und wenn die Fläche jedes gegenüberliegenden Floßes ein Quadratdezimeter beträgt, gibt das resultierende Produkt die Anzahl der für die Verkleidung erforderlichen Fliesen an. Dies folgt aus der Aussage, die der Flächenmessung zugrunde liegt: Die Fläche einer Figur, die aus sich nicht schneidenden Figuren besteht, ist gleich der Summe ihrer Flächen.

Die alten Ägypter verwendeten vor 4.000 Jahren fast die gleichen Techniken wie wir, um die Fläche eines Rechtecks, Dreiecks und Trapezes zu messen: Die Basis des Dreiecks wurde in zwei Hälften geteilt und mit der Höhe multipliziert; Bei einem Trapez wurde die Summe der parallelen Seiten halbiert und mit der Höhe usw. multipliziert. Fläche berechnen

Viereck mit Seiten (Abb. 1.1) wurde die Formel verwendet

(1.1)

diese. Die Halbsummen der gegenüberliegenden Seiten wurden multipliziert.

Diese Formel ist für jedes Viereck eindeutig falsch; daraus folgt insbesondere, dass die Flächen aller Rauten gleich sind. Mittlerweile ist es offensichtlich, dass die Flächen solcher Rauten von der Größe der Winkel an den Eckpunkten abhängen. Diese Formel gilt nur für ein Rechteck. Mit seiner Hilfe können Sie näherungsweise die Fläche von Vierecken berechnen, deren Winkel nahe an rechten Winkeln liegen.

Um den Bereich zu bestimmen

gleichschenkligen Dreiecks(Abb. 1.2), in dem die Ägypter eine Näherungsformel verwendeten:

(1.2)

Reis. 1.2 Der in diesem Fall begangene Fehler ist umso kleiner, je kleiner der Unterschied zwischen der Seite und der Höhe des Dreiecks ist, mit anderen Worten, je näher der Scheitelpunkt (und ) an der Basis der Höhe von liegt. Deshalb gilt die Näherungsformel (1.2) nur für Dreiecke mit einem relativ kleinen Winkel an der Spitze.

Doch bereits die alten Griechen wussten, wie man die Flächen von Polygonen richtig ermittelt. In seinen „Elementen“ verwendet Euklid nicht das Wort „Fläche“, da er unter dem Wort „Figur“ selbst einen durch das eine oder andere begrenzten Teil der Ebene versteht geschlossene Linie. Euklid drückt das Ergebnis der Flächenmessung nicht durch eine Zahl aus, sondern vergleicht die Flächen verschiedener Figuren miteinander.

Wie andere antike Wissenschaftler beschäftigt sich Euklid mit der Umwandlung einiger Figuren in andere gleich großer Figuren. Die Fläche einer zusammengesetzten Figur ändert sich nicht, wenn ihre Teile anders angeordnet sind, ohne sich jedoch zu überschneiden. So ist es beispielsweise möglich, anhand der Formeln für die Fläche eines Rechtecks Formeln für die Flächen anderer Figuren zu finden. So wird ein Dreieck in Teile geteilt, aus denen dann ein gleich großes Rechteck gebildet werden kann. Aus dieser Konstruktion folgt, dass die Fläche eines Dreiecks gleich der Hälfte des Produkts aus Grundfläche und Höhe ist. Indem sie auf einen solchen Nachschnitt zurückgreifen, stellen sie fest, dass die Fläche eines Parallelogramms gleich dem Produkt aus Grundfläche und Höhe ist und die Fläche eines Trapezes das Produkt der halben Summe aus Grundfläche und Höhe ist .

Wenn Maurer eine Wand mit komplexer Konfiguration verfliesen müssen, können sie die Fläche der Wand bestimmen, indem sie die Anzahl der für die Verkleidung verwendeten Fliesen zählen. Einige Fliesen müssen natürlich abgebrochen werden, damit die Kanten der Verkleidung mit der Wandkante übereinstimmen. Die Anzahl aller bei der Arbeit verwendeten Fliesen schätzt die Wandfläche bei einem Überschuss, die Anzahl der ungebrochenen Fliesen – bei einem Mangel. Mit abnehmender Zellengröße nimmt die Abfallmenge ab und die Wandfläche, bestimmt durch die Anzahl der Fliesen, wird immer genauer berechnet.

Einer der späteren griechischen Mathematiker und Enzyklopädisten, deren Werke überwiegend angewandter Natur waren, war Heron von Alexandria, der im 1. Jahrhundert lebte. N. e. Da er ein hervorragender Ingenieur war, wurde er auch „Heron der Mechaniker“ genannt. In seinem Werk „Dioptrics“ beschreibt Heron verschiedene Autos und praktische Messwerkzeuge.

Eines von Herons Büchern hieß „Geometrie“ und ist eine Art Sammlung von Formeln und entsprechenden Problemen. Es enthält Beispiele zur Berechnung der Flächen von Quadraten, Rechtecken und Dreiecken. Über die Ermittlung der Fläche eines Dreiecks anhand seiner Seiten schreibt Heron: „Angenommen, eine Seite des Dreiecks hat beispielsweise eine Länge von 13 Messschnüren, die zweite 14 und die dritte 15. Um die Fläche zu ermitteln, fahren Sie fort.“ wie folgt. Addiere 13, 14 und 15; es wird 42 sein. Die Hälfte davon wird 21 sein. Subtrahieren Sie davon die drei Seiten nacheinander; Subtrahieren Sie zuerst 13 – Sie haben 8, dann 14 – Sie haben 7 und schließlich 15 – Sie haben 6. Jetzt multiplizieren Sie sie: 21 mal 8 ergibt 168, nehmen Sie dies 7 Mal – Sie erhalten 1176, und nehmen Sie Dies noch 6 Mal – Sie erhalten 7056. Von hier aus Quadratwurzel wird 84 sein. So viele Messschnüre wird es im Bereich des Dreiecks geben.“

Ein Polygon ist eine flache oder konvexe Figur, die aus sich schneidenden Geraden (mehr als 3) und Formen besteht große Menge Schnittpunkte von Linien. Ein weiteres Polygon kann als geschlossene gestrichelte Linie definiert werden. Auf andere Weise können die Schnittpunkte als Eckpunkte der Figur bezeichnet werden. Abhängig von der Anzahl der Eckpunkte kann die Figur als Fünfeck, Sechseck usw. bezeichnet werden. Der Winkel eines Polygons ist der Winkel, den die Seiten bilden, die sich an einem Scheitelpunkt treffen. Der Winkel liegt innerhalb des Polygons. Darüber hinaus können die Winkel unterschiedlich sein, bis zu 180 Grad. es gibt auch Außenecken, die normalerweise an die innere angrenzen.

Die sich anschließend schneidenden Geraden werden als Seiten des Polygons bezeichnet. Sie können benachbart, benachbart oder nicht benachbart sein. Sehr wichtiges Merkmal vorgeführt geometrische Figur ist, dass sich seine nicht benachbarten Seiten nicht schneiden und daher keine gemeinsamen Punkte haben. Benachbarte Seiten einer Figur dürfen nicht auf derselben Geraden liegen.

Die Eckpunkte einer Figur, die zur gleichen Linie gehören, können als benachbart bezeichnet werden. Wenn Sie eine Linie zwischen zwei nicht benachbarten Eckpunkten zeichnen, erhalten Sie die Diagonale eines Polygons. Was die Fläche der Figur betrifft, so ist dies der Fall Innenteil die Ebene einer geometrischen Figur mit einer großen Anzahl von Eckpunkten, die durch die sie teilenden Polygonsegmente entsteht.

Für die Bestimmung der Fläche der dargestellten geometrischen Figur gibt es keine einheitliche Lösung, da es unendlich viele Varianten der Figur geben kann und es für jede Variante eine eigene Lösung gibt. Allerdings müssen noch einige der gebräuchlichsten Möglichkeiten zum Ermitteln der Fläche einer Figur in Betracht gezogen werden (sie werden in der Praxis am häufigsten verwendet und sind sogar im Lehrplan der Schule enthalten).

Betrachten wir zunächst ein regelmäßiges Vieleck, also eine Figur, bei der auch alle von gleichen Seiten gebildeten Winkel gleich sind. So finden Sie die Fläche eines Polygons in konkretes Beispiel? In diesem Fall ist es möglich, die Fläche einer polygonalen Figur zu ermitteln, wenn der Radius des in die Figur eingeschriebenen oder umschriebenen Kreises angegeben ist. Dazu können Sie die folgende Formel verwenden:

S = ½∙P∙r, wobei r der Radius eines Kreises (einbeschrieben oder umschrieben) und P der Umfang einer geometrischen Polygonfigur ist, die durch Multiplikation der Anzahl der Seiten der Figur mit ihrer Länge ermittelt werden kann.

So finden Sie die Fläche eines Polygons

Um die Frage zu beantworten, wie man die Fläche eines Polygons findet, genügt es, der folgenden interessanten Eigenschaft einer Polygonfigur zu folgen, die einst vom berühmten österreichischen Mathematiker Georg Pieck entdeckt wurde. Mit der Formel S = N + M/2 -1 können Sie beispielsweise die Fläche eines Polygons ermitteln, dessen Eckpunkte sich an den Knoten eines quadratischen Gitters befinden. In diesem Fall ist S dementsprechend die Fläche; N – die Anzahl der quadratischen Gitterknoten, die sich innerhalb einer Figur mit vielen Ecken befinden; M ist die Anzahl der Knoten des quadratischen Gitters, die sich auf den Eckpunkten und Seiten des Polygons befinden. Trotz ihrer Schönheit wird Picks Formel in der praktischen Geometrie praktisch nicht verwendet.

Die einfachste und bekannteste Methode zur Flächenbestimmung, die in der Schule gelernt wird, besteht darin, eine polygonale geometrische Figur in einfachere Teile (Trapeze, Rechtecke, Dreiecke) zu unterteilen. Die Fläche dieser Figuren zu finden ist nicht schwierig. In diesem Fall wird die Fläche des Polygons einfach bestimmt: Sie müssen die Flächen aller Figuren ermitteln, in die das Polygon unterteilt ist.

Grundsätzlich wird die Definition der Fläche eines Polygons in der Mechanik (Abmessungen von Teilen) bestimmt.

Geometrieprobleme erfordern oft die Berechnung der Fläche eines Polygons. Darüber hinaus kann es eine ziemlich unterschiedliche Form haben – vom bekannten Dreieck bis zu einem N-Eck mit einer unvorstellbaren Anzahl von Eckpunkten. Darüber hinaus können diese Polygone konvex oder konkav sein. In jeder spezifischen Situation ist es notwendig, auf dem Erscheinungsbild der Figur aufzubauen. Auf diese Weise können Sie den optimalen Weg zur Lösung des Problems wählen. Die Zahl kann sich als richtig erweisen, was die Lösung des Problems erheblich vereinfacht.

Eine kleine Theorie über Polygone

Eine solche Figur wird sicherlich durch zwei Positionen charakterisiert:

Benachbarte Seiten gehören nicht zur gleichen Geraden.
Nicht benachbarte haben keine gemeinsamen Punkte, das heißt, sie schneiden sich nicht.

Welche Arten davon gibt es?

Was tun, wenn die Figur drei oder vier Eckpunkte hat?

Im ersten Fall stellt sich heraus, dass es sich um ein Dreieck handelt, und Sie können eine der Formeln verwenden:

S = 1/2 * a * n, wobei a die Seite und n die Höhe dazu ist;
S = 1/2 * a * b * sin (A), wobei a, b die Seiten des Dreiecks sind, A der Winkel zwischen den bekannten Seiten;
S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), wobei c die Seite des Dreiecks ist, zu den beiden bereits angegebenen ist p der Halbumfang, d. h. die Summe aller drei Seiten geteilt durch zwei.

Eine Figur mit vier Eckpunkten könnte sich als Parallelogramm herausstellen:

S = a * n;
S = 1/2 * d 1 * d 2 * sin(α), wobei d 1 und d 2 Diagonalen sind, α der Winkel zwischen ihnen ist;
S = a * in * sin(α).

Formel für die Fläche eines Trapezes: S = n * (a + b) / 2, wobei a und b die Längen der Basen sind.

Was tun mit einem regelmäßigen Polygon, das mehr als vier Eckpunkte hat?

Zunächst zeichnet sich eine solche Figur dadurch aus, dass alle Seiten gleich sind. Außerdem hat das Polygon gleiche Winkel.

Wenn Sie um eine solche Figur einen Kreis zeichnen, stimmt sein Radius mit dem Segment vom Mittelpunkt des Polygons bis zu einem der Eckpunkte überein. Um die Fläche eines regelmäßigen Polygons mit einer beliebigen Anzahl von Eckpunkten zu berechnen, benötigen Sie daher die folgende Formel:

S n = 1/2 * n * R n 2 * sin (360º/n), wobei n die Anzahl der Eckpunkte des Polygons ist.

Daraus lässt sich leicht ein für spezielle Fälle nützliches finden:

Dreieck: S = (3√3)/4 * R 2 ;
Quadrat: S = 2 * R 2 ;
Sechseck: S = (3√3)/2 * R 2.

Die Situation mit der falschen Figur

Die Lösung, wie man die Fläche eines Polygons ermittelt, wenn es nicht regelmäßig ist und keiner der bisher bekannten Figuren zugeordnet werden kann, ist der Algorithmus:

Teilen Sie es in einfache Formen, zum Beispiel Dreiecke, auf, damit sie sich nicht schneiden.
Berechnen Sie ihre Flächen mit einer beliebigen Formel.
Addieren Sie alle Ergebnisse.

Was tun, wenn das Problem die Koordinaten der Eckpunkte eines Polygons angibt?

Es ist zu beachten, dass das Vorzeichen des Ergebnisses vom Durchlauf der Figur abhängt. Wenn Sie die obige Formel verwenden und im Uhrzeigersinn vorgehen, ist die Antwort negativ.

Beispielaufgabe

Zustand. Die Koordinaten der Eckpunkte werden durch die folgenden Werte angegeben (0,6; 2,1), (1,8; 3,6), (2,2; 2,3), (3,6; 2,4), (3,1; 0,5). Sie müssen die Fläche eines Polygons berechnen.

Ratschläge zur Lösung eines Problems, bei dem ein Polygon auf kariertem Papier gezeichnet wird

Aber es gibt oft einen einfacheren Ansatz. Es besteht darin, eine Figur in ein Rechteck zu zeichnen und dessen Fläche zu berechnen. Berechnen Sie dann die Flächen der Elemente, die sich als überflüssig erwiesen haben. Subtrahieren Sie sie vom Gesamtwert. Diese Option erfordert manchmal eine etwas geringere Anzahl von Aktionen.