Ecuații diferențiale de ordinul întâi. Exemple de soluții.
Ecuații diferențiale cu variabile separabile

Ecuații diferențiale (DE). Aceste două cuvinte îl îngrozesc de obicei pe laicul obișnuit. Ecuațiile diferențiale par a fi ceva scandalos și greu de stăpânit pentru mulți studenți. Uuuuuu... ecuații diferențiale, cum aș supraviețui la toate astea?!

O astfel de opinie și o astfel de atitudine este fundamental greșită, pentru că de fapt ECUATIILE DIFERENTIALE SUNT SIMPLE SI CHIAR DISTRACTIVE. Ce trebuie să știi și să poți învăța să rezolvi ecuații diferențiale? Pentru a studia cu succes diferențele, trebuie să fii bun la integrare și diferențiere. Cu cât subiectele sunt mai bine studiate Derivată a unei funcții a unei variabileȘi Integrală nedefinită, cu atât va fi mai ușor de înțeles ecuațiile diferențiale. Voi spune mai multe, dacă ai abilități de integrare mai mult sau mai puțin decente, atunci subiectul este practic stăpânit! Cu cât mai multe integrale tipuri variateștii să te decizi – cu atât mai bine. De ce? Trebuie să te integrezi mult. Și diferențiați. De asemenea recomand cu caldura invata sa gasesti.

În 95% din cazuri în munca de control sunt 3 tipuri ecuatii diferentiale prima comanda: ecuații separabile, pe care o vom trata în această lecție; ecuații omogeneȘi ecuații liniare neomogene. Pentru începătorii să studieze difuzoarele, vă sfătuiesc să citiți lecțiile din această secvență, iar după ce ați studiat primele două articole, nu va strica să vă consolidați abilitățile într-un atelier suplimentar - ecuaţii care se reduc la omogene.

Există și mai rare tipuri de ecuații diferențiale: ecuații în diferențiale totale, ecuații lui Bernoulli și altele. Dintre ultimele două tipuri, cele mai importante sunt ecuațiile în diferențiale totale, deoarece, pe lângă acest DE, consider material nou – integrare parțială.

Dacă mai ai doar o zi sau două, Acea pentru preparare ultra-rapidă Există curs blitzîn format pdf.

Deci, reperele sunt setate - să mergem:

Să ne amintim mai întâi ecuațiile algebrice obișnuite. Acestea conțin variabile și numere. Cel mai simplu exemplu: . Ce înseamnă să rezolvi o ecuație obișnuită? Aceasta înseamnă să găsești set de numere care satisfac această ecuație. Este ușor de observat că ecuația copiilor are o singură rădăcină: . Pentru distracție, să facem o verificare, să înlocuim rădăcina găsită în ecuația noastră:

- se obtine egalitatea corecta, ceea ce inseamna ca solutia este gasita corect.

Difuzele sunt aranjate aproape în același mod!

Ecuație diferențială prima comandaîn general conţine:
1) variabilă independentă;
2) variabilă dependentă (funcție);
3) derivata întâi a funcției: .

În unele ecuații de ordinul 1, este posibil să nu existe „x” sau (și) „y”, dar acest lucru nu este esențial - important astfel încât în ​​DU a fost prima derivată și nu a avut derivate de ordin superior - , etc.

Ce înseamnă ? A rezolva o ecuație diferențială înseamnă a găsi set de toate funcțiile care satisfac această ecuație. Un astfel de set de funcții are adesea forma ( este o constantă arbitrară), care este numită soluție generală a ecuației diferențiale.

Exemplul 1

Rezolvați ecuația diferențială

Muniție completă. Unde sa încep soluţie?

În primul rând, trebuie să rescrieți derivatul într-o formă ușor diferită. Reamintim notația greoaie, pe care mulți dintre voi probabil l-au considerat ridicolă și inutilă. Acesta este cel care domnește în difuzoare!

În al doilea pas, să vedem dacă se poate divizarea variabilelor? Ce înseamnă separarea variabilelor? Aproximativ vorbind, pe partea stângă a trebuie să plecăm doar "jocuri", A pe drumul cel bun organiza doar x-uri. Separarea variabilelor se realizează cu ajutorul manipulărilor „școlare”: paranteze, transfer de termeni dintr-o parte în parte cu o schimbare de semn, transfer de factori de la o parte la alta conform regulii proporției etc.

Diferențiale și sunt multiplicatori completi și participanți activi la ostilități. În acest exemplu, variabilele sunt ușor separate prin factori de inversare conform regulii proporției:

Variabilele sunt separate. În partea stângă - doar "Joc", în partea dreaptă - doar "X".

Etapa următoare – integrarea ecuațiilor diferențiale. Este simplu, agățăm integrale pe ambele părți:

Desigur, trebuie luate integrale. În acest caz, acestea sunt tabelare:

După cum ne amintim, o constantă este atribuită oricărei antiderivate. Există două integrale aici, dar este suficient să scrieți constanta o dată (deoarece o constantă + o constantă este încă egală cu o altă constantă). În cele mai multe cazuri, este plasat pe partea dreaptă.

Strict vorbind, după ce integralele sunt luate, ecuația diferențială este considerată rezolvată. Singurul lucru este că „y”-ul nostru nu este exprimat prin „x”, adică soluția este prezentată în implicit formă. Soluția implicită a unei ecuații diferențiale se numește integrala generala a ecuatiei diferentiale. Adică este integrală comună.

Un răspuns în această formă este destul de acceptabil, dar există o opțiune mai bună? Să încercăm să obținem decizie comună.

Vă rog, amintiți-vă prima tehnică, este foarte comun și des folosit în sarcini practice: dacă un logaritm apare în partea dreaptă după integrare, atunci în multe cazuri (dar în niciun caz întotdeauna!) este de asemenea recomandabil să scrieți constanta sub logaritm.

Acesta este, ÎN LOC DEînregistrările sunt de obicei scrise .

De ce este nevoie de asta? Și pentru a facilita exprimarea „y”. Folosim proprietatea logaritmilor . În acest caz:

Acum logaritmii și modulele pot fi eliminate:

Funcția este prezentată explicit. Aceasta este soluția generală.

Răspuns: decizie comună: .

Răspunsurile la multe ecuații diferențiale sunt destul de ușor de verificat. În cazul nostru, acest lucru se face destul de simplu, luăm soluția găsită și o diferențiem:

Apoi înlocuim derivata în ecuația originală:

- se obține egalitatea corectă, ceea ce înseamnă că soluția generală satisface ecuația , care trebuia verificată.

Dând o constantă diverse sensuri, puteți obține infinit de multe decizii private ecuație diferențială. Este clar că oricare dintre funcțiile , etc. satisface ecuatia diferentiala .

Uneori se numește soluția generală familie de funcții. ÎN acest exemplu decizie comună - aceasta este o familie funcții liniare, sau mai bine zis, o familie de proporționalități directe.

După o discuție detaliată a primului exemplu, este oportun să răspundem la câteva întrebări naive despre ecuațiile diferențiale:

1)În acest exemplu, am reușit să separăm variabilele. Este întotdeauna posibil să faci asta? Nu, nu întotdeauna. Și chiar mai des variabilele nu pot fi separate. De exemplu, în ecuații omogene de ordinul întâi trebuie înlocuit mai întâi. În alte tipuri de ecuații, de exemplu, într-o ecuație liniară neomogenă de ordinul întâi, trebuie să utilizați diverse trucuri și metode pentru a găsi o soluție generală. Ecuațiile variabile separabile pe care le considerăm în prima lecție sunt cel mai simplu tip de ecuații diferențiale.

2) Este întotdeauna posibil să se integreze o ecuație diferențială? Nu, nu întotdeauna. Este foarte ușor să vii cu o ecuație „fantezică” care nu poate fi integrată, în plus, există integrale care nu pot fi luate. Dar astfel de DE pot fi rezolvate aproximativ folosind metode speciale. D'Alembert și Cauchy garantează... ... ugh, lurkmore. Tocmai am citit multe, aproape că am adăugat "din cealaltă lume".

3) În acest exemplu, am obținut o soluție sub forma unei integrale generale . Este întotdeauna posibil să găsim o soluție generală din integrala generală, adică să exprimăm „y” într-o formă explicită? Nu, nu întotdeauna. De exemplu: . Ei bine, cum pot exprima „y” aici?! În astfel de cazuri, răspunsul trebuie scris ca o integrală generală. În plus, uneori se poate găsi o soluție generală, dar este scrisă atât de greoaie și stângace încât este mai bine să lăsați răspunsul sub forma unei integrale generale

4) ...poate suficient pentru moment. În primul exemplu, ne-am întâlnit Încă unul punct important , dar pentru a nu acoperi „manențele” cu o avalanșă de informații noi, o las până la următoarea lecție.

Să nu ne grăbim. O altă telecomandă simplă și o altă soluție tipică:

Exemplul 2

Găsiți o anumită soluție a ecuației diferențiale care satisface condiția inițială

Soluţie: după condiţia pe care se cere să se găsească decizie privată DE care satisface o condiție inițială dată. Acest tip de interogare se mai numește Problema Cauchy.

În primul rând, găsim o soluție generală. Nu există o variabilă „x” în ecuație, dar acest lucru nu ar trebui să fie jenant, principalul lucru este că are prima derivată.

Rescriem derivata în forma necesară:

Evident, variabilele pot fi împărțite, băieții la stânga, fetele la dreapta:

Integram ecuatia:

Se obține integrala generală. Aici am desenat o constantă cu o stea de accent, fapt este că foarte curând se va transforma într-o altă constantă.

Acum încercăm să convertim integrala generală într-o soluție generală (exprimați „y” în mod explicit). Ne amintim de școala veche, bună: . În acest caz:

Constanta din indicator pare cumva nu cușer, deci este de obicei coborâtă din cer pe pământ. În detaliu, se întâmplă așa. Folosind proprietatea gradelor, rescriem funcția în felul următor:

Dacă este o constantă, atunci este și o constantă, redesemnați-o cu litera:

Amintiți-vă că „demolarea” unei constante este a doua tehnică, care este adesea folosit în cursul rezolvării ecuațiilor diferențiale.

Deci solutia generala este: O familie atât de frumoasă de funcții exponențiale.

În etapa finală, trebuie să găsiți o anumită soluție care să satisfacă condiția inițială dată. Este si simplu.

Care este sarcina? Trebuie să ridic astfel de valoarea constantei pentru a satisface condiţia .

Îl poți aranja în moduri diferite, dar cel mai de înțeles, poate, va fi așa. În soluția generală, în loc de „x”, înlocuim zero, iar în loc de „y”, doi:



Acesta este,

versiune standard proiecta:

Acum înlocuim valoarea găsită a constantei în soluția generală:
– aceasta este soluția specială de care avem nevoie.

Răspuns: solutie privata:

Hai să facem o verificare. Verificarea unei anumite soluții include două etape:

În primul rând, este necesar să se verifice dacă soluția particulară găsită într-adevăr satisface condiția inițială? În loc de „x” înlocuim zero și vedem ce se întâmplă:
- da, într-adevăr, s-a obținut un deuce, ceea ce înseamnă că condiția inițială este îndeplinită.

A doua etapă este deja familiară. Luăm soluția particulară rezultată și găsim derivata:

Înlocuiți în ecuația inițială:

- se obţine egalitatea corectă.

Concluzie: soluția particulară este găsită corect.

Să trecem la exemple mai semnificative.

Exemplul 3

Rezolvați ecuația diferențială

Soluţie: Rescriem derivata sub forma de care avem nevoie:

Evaluarea dacă variabilele pot fi separate? Poate sa. Transferăm al doilea termen în partea dreaptă cu o schimbare de semn:

Și inversăm factorii conform regulii proporției:

Variabilele sunt separate, să integrăm ambele părți:

Trebuie să te avertizez că vine ziua judecății. Daca nu ai invatat bine integrale nedefinite, a rezolvat câteva exemple, apoi nu există încotro - trebuie să le stăpânești acum.

Integrala laturii stângi este ușor de găsit, cu integrala cotangentei ne ocupăm de tehnica standard pe care am considerat-o în lecție Integrarea funcţiilor trigonometrice anul trecut:

În partea dreaptă, avem un logaritm și, conform primei mele recomandări tehnice, constanta ar trebui scrisă și sub logaritm.

Acum încercăm să simplificăm integrala generală. Deoarece avem doar logaritmi, este foarte posibil (și necesar) să scăpăm de ei. Prin utilizarea proprietăți cunoscute„împachetează” maxim logaritmii. Voi scrie cu mare detaliu:

Ambalajul este complet pentru a fi zdrențuit barbar:

Este posibil să exprimați „y”? Poate sa. Ambele părți trebuie să fie pătrate.

Dar nu trebuie.

Al treilea sfat tehnic: dacă pentru a obține o soluție generală trebuie să ridici la o putere sau să prinzi rădăcini, atunci În cele mai multe cazuri ar trebui să vă abțineți de la aceste acțiuni și să lăsați răspunsul sub forma unei integrale generale. Faptul este că soluția generală va arăta îngrozitor - cu rădăcini mari, semne și alte gunoi.

Prin urmare, scriem răspunsul ca o integrală generală. Este considerată o formă bună să o prezinți sub formă, adică pe partea dreaptă, dacă este posibil, lăsați doar o constantă. Nu este necesar să faceți acest lucru, dar este întotdeauna benefic să-i faceți pe plac profesorului ;-)

Răspuns: integrala generala:

! Notă: integrala generală a oricărei ecuații poate fi scrisă în mai multe moduri. Astfel, dacă rezultatul tău nu a coincis cu un răspuns cunoscut anterior, atunci asta nu înseamnă că ai rezolvat incorect ecuația.

Integrala generală este de asemenea verificată destul de ușor, principalul lucru este să poți găsi derivata unei functii definita implicit. Să diferențiem răspunsul:

Înmulțim ambii termeni cu:

Și împărțim la:

Ecuația diferențială inițială a fost obținută exact, ceea ce înseamnă că integrala generală a fost găsită corect.

Exemplul 4

Găsiți o anumită soluție a ecuației diferențiale care satisface condiția inițială. Efectuați o verificare.

Acesta este un exemplu pentru solutie independenta.

Vă reamintesc că algoritmul constă din două etape:
1) găsirea unei soluții generale;
2) găsirea soluției particulare necesare.

Verificarea se efectuează și în doi pași (vezi eșantionul din Exemplul nr. 2), aveți nevoie de:
1) asigurați-vă că soluția particulară găsită satisface condiția inițială;
2) verificați dacă o anumită soluție satisface în general ecuația diferențială.

Soluție completăși răspunsul la sfârșitul lecției.

Exemplul 5

Găsiți o anumită soluție a unei ecuații diferențiale , satisfacand conditia initiala . Efectuați o verificare.

Soluţie: Mai întâi, să găsim o soluție generală.Această ecuație conține deja diferențiale gata făcute și , ceea ce înseamnă că soluția este simplificată. Separarea variabilelor:

Integram ecuatia:

Integrala din stânga este tabelară, integrala din dreapta este luată metoda de însumare a funcţiei sub semnul diferenţialului:

Integrala generală a fost obținută, este posibilă exprimarea cu succes a soluției generale? Poate sa. Atârnăm logaritmi pe ambele părți. Deoarece sunt pozitive, semnele modulo sunt redundante:

(Sper că toată lumea înțelege transformarea, astfel de lucruri ar trebui deja cunoscute)

Deci solutia generala este:

Să găsim o anumită soluție corespunzătoare condiției inițiale date.
În soluția generală, în loc de „x”, înlocuim zero și în loc de „y”, logaritmul a doi:

Design mai familiar:

Inlocuim valoarea gasita a constantei in solutia generala.

Răspuns: solutie privata:

Verificați: În primul rând, verificați dacă condiția inițială este îndeplinită:
- totul este bine.

Acum să verificăm dacă soluția particulară găsită satisface ecuația diferențială. Găsim derivata:

Să ne uităm la ecuația inițială: – se prezintă în diferențiale. Există două moduri de a verifica. Este posibil să se exprime diferența față de derivata găsită:

Înlocuim soluția particulară găsită și diferența rezultată în ecuația originală :

Folosim identitatea logaritmică de bază:

Se obține egalitatea corectă, ceea ce înseamnă că soluția particulară este găsită corect.

A doua modalitate de verificare este oglindită și mai familiară: din ecuație exprimă derivata, pentru aceasta împărțim toate piesele la:

Și în DE transformat înlocuim soluția particulară obținută și derivata găsită. Ca urmare a simplificărilor, ar trebui să se obțină și egalitatea corectă.

Exemplul 6

Rezolvați ecuația diferențială. Exprimați răspunsul ca o integrală generală.

Acesta este un exemplu de auto-rezolvare, soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Ce dificultăți așteaptă în rezolvarea ecuațiilor diferențiale cu variabile separabile?

1) Nu este întotdeauna evident (în special pentru un ceainic) că variabilele pot fi separate. Luați în considerare un exemplu condiționat: . Aici trebuie să scoateți factorii din paranteze: și să separați rădăcinile:. Cum să procedați în continuare este clar.

2) Dificultăți în integrarea în sine. Integrale apar adesea nu sunt cele mai simple și dacă există defecte în abilitățile de a găsi integrală nedefinită, atunci va fi dificil cu multe difuzoare. În plus, compilatorii de colecții și manuale sunt populari cu logica „deoarece ecuația diferențială este simplă, atunci cel puțin integralele vor fi mai complicate”.

3) Transformări cu o constantă. După cum toată lumea a observat, o constantă în ecuațiile diferențiale poate fi gestionată destul de liber, iar unele transformări nu sunt întotdeauna clare pentru un începător. Să ne uităm la un alt exemplu ipotetic: . În ea, este recomandabil să înmulțiți toți termenii cu 2: . Constanta rezultată este, de asemenea, un fel de constantă, care poate fi notată prin: . Da, și deoarece există un logaritm în partea dreaptă, este recomandabil să rescrieți constanta ca o altă constantă: .

Problema este că adesea nu se deranjează cu indici și folosesc aceeași literă. Ca urmare, procesul-verbal de decizie ia următoarea formă:

Ce erezie? Iată erorile! Strict vorbind, da. Totuși, din punct de vedere de fond, nu există erori, deoarece în urma transformării unei constante variabile se obține în continuare o constantă variabilă.

Sau alt exemplu, să presupunem că în cursul rezolvării ecuației se obține o integrală generală. Acest răspuns arată urât, așa că este recomandabil să schimbați semnul fiecărui termen: . Formal, există din nou o eroare - în dreapta, ar trebui să fie scrisă . Dar este subînțeles informal că „minus ce” este încă o constantă ( care la fel de bine capătă orice valoare!), deci punerea unui „minus” nu are sens și poți folosi aceeași literă.

Voi încerca să evit o abordare neglijentă și, totuși, voi pune diferiți indici pentru constante atunci când le convertesc.

Exemplul 7

Rezolvați ecuația diferențială. Efectuați o verificare.

Soluţie: Această ecuație admite separarea variabilelor. Separarea variabilelor:

Integram:

Constanta de aici nu trebuie definită sub logaritm, deoarece nu va ieși nimic bun din ea.

Răspuns: integrala generala:

Verificați: diferențiați răspunsul (funcție implicită):

Scăpăm de fracții, pentru aceasta înmulțim ambii termeni cu:

S-a obținut ecuația diferențială inițială, ceea ce înseamnă că integrala generală a fost găsită corect.

Exemplul 8

Găsiți o anumită soluție pentru DE.
,

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Singurul indiciu este că aici obțineți o integrală generală și, mai corect, trebuie să încercați să găsiți nu o soluție anume, ci integrală privată. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Ecuații diferențiale de ordinul întâi rezolvate în raport cu derivata

Cum se rezolvă ecuații diferențiale de ordinul întâi

Să avem o ecuație diferențială de ordinul întâi rezolvată în raport cu derivata:
.
Împărțind această ecuație la , la , obținem ecuația formei:
,
Unde .

În continuare, ne uităm să vedem dacă aceste ecuații aparțin unuia dintre tipurile enumerate mai jos. Dacă nu, atunci rescriem ecuația sub formă de diferențiale. Pentru a face acest lucru, scriem și înmulțim ecuația cu . Obținem ecuația sub formă de diferențiale:
.

Dacă această ecuație nu este o ecuație în diferențiale totale, atunci considerăm că în această ecuație este o variabilă independentă și este o funcție a . Să împărțim ecuația la:
.
În continuare, ne uităm să vedem dacă această ecuație aparține unuia dintre tipurile enumerate mai jos, având în vedere că și au fost schimbate.

Dacă nu se găsește un tip pentru această ecuație, atunci ne uităm să vedem dacă este posibil să simplificăm ecuația printr-o simplă substituție. De exemplu, dacă ecuația este:
,
atunci observăm că . Apoi facem o înlocuire. După aceea, ecuația va lua o formă mai simplă:
.

Dacă acest lucru nu ajută, atunci încercăm să găsim un factor de integrare.

Ecuații de variabile separabile

;
.
Împărțiți și integrați. Când primim:
.

Ecuații care se reduc la ecuații cu variabile separabile

Ecuații omogene

Rezolvam prin substitutie:
,
unde este o funcție a . Apoi
;
.
Separați variabilele și integrați.

Ecuații care se reduc la omogene

Introducem variabile si:
;
.
Constantele și sunt alese astfel încât termenii liberi să dispară:
;
.
Ca rezultat, obținem o ecuație omogenă în variabile și .

Ecuații omogene generalizate

Facem o înlocuire. Obținem o ecuație omogenă în variabile și .

Ecuații diferențiale liniare

Există trei metode de rezolvare a ecuațiilor liniare.

2) Metoda Bernoulli.
Căutăm o soluție sub forma unui produs a două funcții și dintr-o variabilă:
.
;
.
Putem alege una dintre aceste funcții în mod arbitrar. Prin urmare, pe măsură ce alegem orice soluție diferită de zero a ecuației:
.

3) Metoda de variație a constantei (Lagrange).
Aici rezolvăm mai întâi ecuația omogenă:

Decizie comună ecuația omogenă are forma:
,
unde este o constantă. În continuare, înlocuim constanta cu o funcție în funcție de variabilă:
.
Înlocuiți în ecuația inițială. Ca rezultat, obținem o ecuație din care determinăm .

ecuațiile lui Bernoulli

Prin substituție, ecuația Bernoulli este redusă la o ecuație liniară.

Această ecuație poate fi rezolvată și prin metoda Bernoulli. Adică, căutăm o soluție sub forma unui produs a două funcții în funcție de variabilă:
.
Inlocuim in ecuatia initiala:
;
.
Pe măsură ce alegem orice soluție diferită de zero a ecuației:
.
După ce am determinat , obținem o ecuație cu variabile separabile pentru .

Ecuații Riccati

Nu se rezolvă în vedere generala. Substituţie

ecuația Riccati se reduce la forma:
,
unde este o constantă; ; .
În continuare, înlocuirea:

arată ca:
,
Unde .

Proprietățile ecuației Riccati și câteva cazuri speciale ale soluției acesteia sunt prezentate pe pagină
Ecuația diferențială Riccati >>>

Ecuații Jacobi

Rezolvată prin înlocuire:
.

Ecuații în diferențiale totale

Dat fiind
.
Când această condiție este îndeplinită, expresia din partea stângă a egalității este diferența unei anumite funcții:
.
Apoi
.
De aici obținem integrala ecuației diferențiale:
.

Pentru a găsi funcția , cea mai convenabilă modalitate este metoda de selecție succesivă a diferenţialului. Pentru aceasta se folosesc formule:
;
;
;
.

Factorul integrator

Dacă ecuația diferențială de ordinul întâi nu este redusă la niciunul dintre tipurile enumerate, atunci puteți încerca să găsiți un factor de integrare. Un factor de integrare este o astfel de funcție, atunci când este înmulțită cu acesta, ecuația diferențială devine o ecuație în diferențiale totale. O ecuație diferențială de ordinul întâi are un număr infinit de factori integratori. Cu toate acestea, nu există metode generale de găsire a factorului integrator.

Ecuații nerezolvate pentru derivata y"

Ecuații care admit o soluție în raport cu derivata y"

Mai întâi trebuie să încercați să rezolvați ecuația în raport cu derivata. Dacă este posibil, atunci ecuația poate fi redusă la unul dintre tipurile enumerate mai sus.

Ecuații care permit factorizarea

Dacă puteți factoriza ecuația:
,
atunci problema se reduce la soluția secvențială a ecuațiilor mai simple:
;
;

;
. Noi credem . Apoi
sau .
În continuare, integrăm ecuația:
;
.
Ca urmare, obținem expresia celei de-a doua variabile prin intermediul parametrului.

Ecuații mai generale:
sau
sunt rezolvate si sub forma parametrica. Pentru a face acest lucru, trebuie să alegeți o funcție, astfel încât din ecuația originală să puteți exprima sau prin parametrul .
Pentru a exprima a doua variabilă în termeni de parametru, integrăm ecuația:
;
.

Ecuații rezolvate în raport cu y

Ecuațiile lui Clairaut

Această ecuație are o soluție generală

Ecuații Lagrange

Cautam o solutie in forma parametrica. Presupunem , unde este un parametru.

Ecuații care duc la ecuația Bernoulli

Aceste ecuații sunt reduse la ecuația Bernoulli dacă căutăm soluțiile lor într-o formă parametrică prin introducerea unui parametru și făcând o substituție.

Referinte:
V.V. Stepanov, Curs de ecuații diferențiale, LKI, 2015.
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Culegere de probleme de matematică superioară, Lan, 2003.

I. Ecuații diferențiale obișnuite

1.1. Concepte de bază și definiții

O ecuație diferențială este o ecuație care leagă o variabilă independentă X, funcția dorită yși derivatele sau diferențialele sale.

Simbolic, ecuația diferențială se scrie după cum urmează:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

O ecuație diferențială se numește obișnuită dacă funcția dorită depinde de o variabilă independentă.

Prin rezolvarea ecuației diferențiale se numește o astfel de funcție care transformă această ecuație într-o identitate.

Ordinea ecuației diferențiale este ordinul celei mai mari derivate din această ecuație

Exemple.

1. Considerăm ecuația diferențială de ordinul întâi

Soluția acestei ecuații este funcția y = 5 ln x. Într-adevăr, prin înlocuire y"în ecuație, obținem - o identitate.

Și asta înseamnă că funcția y = 5 ln x– este soluția acestei ecuații diferențiale.

2. Considerăm ecuația diferențială de ordinul doi y" - 5y" + 6y = 0. Funcția este soluția acestei ecuații.

Într-adevăr, .

Înlocuind aceste expresii în ecuație, obținem: , - identitate.

Și asta înseamnă că funcția este soluția acestei ecuații diferențiale.

Integrarea ecuațiilor diferențiale este procesul de găsire a soluțiilor ecuațiilor diferențiale.

Soluția generală a ecuației diferențiale se numește o funcție a formei , care include tot atâtea constante arbitrare independente câte ordinea ecuației.

Rezolvarea parțială a ecuației diferențiale se numește soluția obținută din soluția generală pentru diferite valori numerice ale constantelor arbitrare. Valorile constantelor arbitrare se găsesc la anumite valori inițiale ale argumentului și funcției.

Graficul unei anumite soluții a unei ecuații diferențiale se numește curbă integrală.

Exemple

1. Găsiți o anumită soluție pentru o ecuație diferențială de ordinul întâi

xdx + ydy = 0, Dacă y= 4 at X = 3.

Soluţie. Integrând ambele părți ale ecuației, obținem

Cometariu. O constantă arbitrară C obținută ca rezultat al integrării poate fi reprezentată în orice formă convenabilă pentru transformări ulterioare. În acest caz, ținând cont de ecuația canonică a cercului, este convenabil să se reprezinte o constantă arbitrară С sub forma .

este soluția generală a ecuației diferențiale.

O soluție particulară a unei ecuații care satisface condițiile inițiale y = 4 at X = 3 se găsește din general prin substituirea condițiilor inițiale în soluția generală: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Înlocuind C=5 în soluția generală, obținem x2+y2 = 5 2 .

Aceasta este o soluție particulară a ecuației diferențiale obținute din soluția generală în condiții inițiale date.

2. Aflați soluția generală a ecuației diferențiale

Rezolvarea acestei ecuații este orice funcție de forma , unde C este o constantă arbitrară. Într-adevăr, substituind în ecuații, obținem: , .

Prin urmare, această ecuație diferențială are un număr infinit de soluții, deoarece pentru diferite valori ale constantei C, egalitatea determină soluții diferite ale ecuației.

De exemplu, prin substituție directă, se poate verifica dacă funcțiile sunt soluții ale ecuației .

O problemă în care este necesar să se găsească o anumită soluție a ecuației y" = f(x, y) satisfacerea conditiei initiale y(x0) = y0, se numește problema Cauchy.

Soluția ecuației y" = f(x, y), îndeplinind condiția inițială, y(x0) = y0, se numește o soluție la problema Cauchy.

Rezolvarea problemei Cauchy are un sens geometric simplu. Într-adevăr, conform acestor definiții, pentru a rezolva problema Cauchy y" = f(x, y) dat fiind y(x0) = y0, înseamnă a găsi curba integrală a ecuației y" = f(x, y) care trece printr-un punct dat M0 (x0,y 0).

II. Ecuații diferențiale de ordinul întâi

2.1. Noțiuni de bază

O ecuație diferențială de ordinul întâi este o ecuație de formă F(x,y,y") = 0.

Ecuația diferențială de ordinul întâi include derivata întâi și nu include derivate de ordin superior.

Ecuația y" = f(x, y) se numește ecuație de ordinul întâi rezolvată în raport cu derivata.

O soluție generală a unei ecuații diferențiale de ordinul întâi este o funcție de forma , care conține o constantă arbitrară.

Exemplu. Să considerăm o ecuație diferențială de ordinul întâi.

Soluția acestei ecuații este funcția .

Într-adevăr, înlocuind în această ecuație cu valoarea ei, obținem

acesta este 3x=3x

Prin urmare, funcția este o soluție generală a ecuației pentru orice constantă C.

Găsiți o soluție particulară a acestei ecuații care satisface condiția inițială y(1)=1Înlocuirea condițiilor inițiale x=1, y=1în soluția generală a ecuației , obținem de unde C=0.

Astfel, se obține o soluție particulară din cea generală prin substituirea în această ecuație a valorii rezultate C=0 este o decizie privată.

2.2. Ecuații diferențiale cu variabile separabile

O ecuație diferențială cu variabile separabile este o ecuație de forma: y"=f(x)g(y) sau prin diferenţiale , unde f(x)Și g(y) sunt date funcții.

Pentru cei y, pentru care , ecuația y"=f(x)g(y) este echivalentă cu ecuația în care variabila y este prezentă doar pe partea stângă, iar variabila x este prezentă doar pe partea dreaptă. Ei spun, „în ecuație y"=f(x)g(y separarea variabilelor.

Tip ecuație se numește ecuație de variabilă separată.

După integrarea ambelor părți ale ecuației De X, primim G(y) = F(x) + C este soluția generală a ecuației, unde G(y)Și F(x) sunt niste antiderivate, respectiv, ale functiilor si f(x), C constantă arbitrară.

Algoritm pentru rezolvarea unei ecuații diferențiale de ordinul întâi cu variabile separabile

Exemplul 1

rezolva ecuatia y" = xy

Soluţie. Derivată a unei funcții y"înlocui cu

separăm variabilele

Să integrăm ambele părți ale egalității:

Exemplul 2

2aa" = 1- 3x 2, Dacă y 0 = 3 la x0 = 1

Aceasta este o ecuație de variabilă separată. Să o reprezentăm în diferențe. Pentru a face acest lucru, rescriem această ecuație sub forma De aici

Integrând ambele părți ale ultimei egalități, găsim

Înlocuirea valorilor inițiale x 0 = 1, y 0 = 3 găsi CU 9=1-1+C, adică C = 9.

Prin urmare, integrala parțială dorită va fi sau

Exemplul 3

Scrieți o ecuație pentru o curbă care trece printr-un punct M(2;-3)şi având o tangentă cu pantă

Soluţie. Conform conditiei

Aceasta este o ecuație de variabilă separabilă. Împărțind variabilele, obținem:

Integrând ambele părți ale ecuației, obținem:

Folosind condițiile inițiale, x=2Și y=-3 găsi C:

Prin urmare, ecuația dorită are forma

2.3. Ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi

O ecuație diferențială liniară de ordinul întâi este o ecuație de formă y" = f(x)y + g(x)

Unde f(x)Și g(x)- unele funcţii date.

Dacă g(x)=0 atunci ecuația diferențială liniară se numește omogenă și are forma: y" = f(x)y

Dacă atunci ecuația y" = f(x)y + g(x) numite eterogene.

Soluție generală a unei ecuații diferențiale liniare omogene y" = f(x)y dat de formula: unde CU este o constantă arbitrară.

În special, dacă C \u003d 0, atunci solutia este y=0 Dacă ecuația liniară omogenă are forma y" = ky Unde k este o constantă, atunci soluția sa generală are forma: .

Rezolvarea generală a unei ecuații diferențiale liniare neomogene y" = f(x)y + g(x) dat de formula ,

acestea. este egală cu suma soluției generale a ecuației liniare omogene corespunzătoare și a soluției particulare a acestei ecuații.

Pentru o ecuație liniară neomogenă de formă y" = kx + b,

Unde kȘi b- unele numere și o anumită soluție vor fi o funcție constantă. Prin urmare, soluția generală are forma .

Exemplu. rezolva ecuatia y" + 2y +3 = 0

Soluţie. Reprezentăm ecuația sub formă y" = -2y - 3 Unde k=-2, b=-3 Soluția generală este dată de formula .

Prin urmare, unde C este o constantă arbitrară.

2.4. Rezolvarea ecuațiilor diferențiale liniare de ordinul întâi prin metoda Bernoulli

Găsirea unei soluții generale pentru o ecuație diferențială liniară de ordinul întâi y" = f(x)y + g(x) reduce la rezolvarea a două ecuații diferențiale cu variabile separate folosind substituția y=uv, Unde uȘi v- funcții necunoscute de la X. Această metodă de soluție se numește metoda Bernoulli.

Algoritm pentru rezolvarea unei ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi

y" = f(x)y + g(x)

1. Introduceți o înlocuire y=uv.

2. Diferențiază această egalitate y"=u"v + uv"

3. Înlocuitor yȘi y" V ecuația dată: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) sau u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Grupați termenii ecuației astfel încât u scoate-l din paranteze:

5. Din paranteză, echivalându-l cu zero, găsiți funcția

Aceasta este o ecuație separabilă:

Împărțiți variabilele și obțineți:

Unde . .

6. Înlocuiți valoarea primită vîn ecuație (de la punctul 4):

și găsiți funcția Aceasta este o ecuație separabilă:

7. Scrieți soluția generală sub forma: , adică .

Exemplul 1

Găsiți o anumită soluție a ecuației y" = -2y +3 = 0 Dacă y=1 la x=0

Soluţie. Să rezolvăm prin înlocuire y=uv,.y"=u"v + uv"

Înlocuind yȘi y"în această ecuație, obținem

Grupând al doilea și al treilea termen din partea stângă a ecuației, scoatem factorul comun u din paranteze

Echivalăm expresia dintre paranteze cu zero și, după ce am rezolvat ecuația rezultată, găsim funcția v = v(x)

Avem o ecuație cu variabile separate. Integram ambele părți ale acestei ecuații: Găsiți funcția v:

Înlocuiți valoarea rezultată vîn ecuație obținem:

Aceasta este o ecuație de variabilă separată. Integram ambele parti ale ecuatiei: Să găsim funcția u = u(x,c) Să găsim o soluție generală: Să găsim o soluție particulară a ecuației care satisface condițiile inițiale y=1 la x=0:

III. Ecuații diferențiale de ordin superior

3.1. Concepte de bază și definiții

O ecuație diferențială de ordinul doi este o ecuație care conține derivate nu mai mari decât ordinul doi. În cazul general, ecuația diferențială de ordinul doi se scrie astfel: F(x,y,y",y") = 0

Soluția generală a unei ecuații diferențiale de ordinul doi este o funcție de forma , care include două constante arbitrare C1Și C2.

O soluție particulară a unei ecuații diferențiale de ordinul doi este o soluție obținută din cea generală pentru unele valori ale constantelor arbitrare C1Și C2.

3.2. Ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul doi cu rapoarte constante.

Ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți se numește ecuație de formă y" + py" + qy = 0, Unde pȘi q sunt valori constante.

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți

1. Scrieți ecuația diferențială sub forma: y" + py" + qy = 0.

2. Alcătuiți ecuația caracteristică a acestuia, notând y" prin r2, y" prin r, yîn 1: r2 + pr +q = 0

Instruire

Dacă ecuația este prezentată ca: dy/dx = q(x)/n(y), referiți-vă la categoria ecuațiilor diferențiale cu variabile separabile. Ele pot fi rezolvate scriind condiția în diferențiale astfel: n(y)dy = q(x)dx. Apoi integrați ambele părți. În unele cazuri, soluția este scrisă sub formă de integrale luate din funcții cunoscute. De exemplu, în cazul lui dy/dx = x/y, obținem q(x) = x, n(y) = y. Scrieți-l ca ydy = xdx și integrați. Ar trebui să obțineți y^2 = x^2 + c.

la liniar ecuații atribuiți ecuațiile „întâi”. O funcție necunoscută cu derivatele sale este inclusă într-o astfel de ecuație doar până la primul grad. Liniara are forma dy/dx + f(x) = j(x), unde f(x) si g(x) sunt functii dependente de x. Soluția se scrie folosind integrale luate din funcții cunoscute.

Rețineți că multe ecuații diferențiale sunt ecuații de ordinul doi (conțin derivate secunde).De exemplu, aceasta este ecuația mișcării armonice simple, scrisă ca una generală: md 2x / dt 2 = -kx. Astfel de ecuații au, în , soluții parțiale. Ecuația mișcării armonice simple este un exemplu de ceva destul de important: ecuații diferențiale liniare care au un coeficient constant.

Daca in conditiile problemei exista doar unul ecuație liniară, ceea ce înseamnă că vi se oferă condiții suplimentare datorită cărora puteți găsi o soluție. Citiți cu atenție problema pentru a găsi aceste condiții. Dacă variabile x și y sunt distanța, viteza, greutatea - nu ezitați să setați limita x≥0 și y≥0. Este foarte posibil ca x sau y să ascundă numărul de , mere etc. – atunci valorile pot fi doar . Dacă x este vârsta fiului, este clar că acesta nu poate fi mai în vârstă decât tatăl său, așa că indicați acest lucru în condițiile problemei.

Surse:

• cum se rezolvă o ecuație cu o variabilă

Problemele pentru calculul diferențial și integral sunt elemente importante consolidarea teoriei analiză matematică, o secțiune de matematică superioară studiată la universități. diferenţial ecuația se rezolvă prin metoda integrării.

Instruire

Calcul diferenţial examinează proprietățile. Invers, integrarea unei functii permite, in functie de proprietatile date, i.e. derivate sau diferențiale ale unei funcții pentru a o găsi în sine. Aceasta este soluția ecuației diferențiale.

Oricare este un raport între o valoare necunoscută și datele cunoscute. În cazul unei ecuații diferențiale, rolul necunoscutului îl joacă funcția, iar rolul cantităților cunoscute îl joacă derivatele sale. În plus, raportul poate conține o variabilă independentă: F(x, y(x), y'(x), y''(x),..., y^n(x)) = 0, unde x este o necunoscută variabilă, y (x) este funcția care trebuie determinată, ordinea ecuației este ordinea maximă a derivatei (n).

O astfel de ecuație se numește ecuație diferențială obișnuită. Dacă există mai multe variabile independente în relația și derivate parțiale (diferențiale) ale funcțiilor față de aceste variabile, atunci ecuația se numește ecuație diferențială cu derivate parțiale și are forma: x∂z/∂y - ∂z/∂ x = 0, unde z(x, y) este funcția necesară.

Deci, pentru a învăța cum să rezolvi ecuațiile diferențiale, trebuie să poți găsi antiderivate, adică. rezolva problema diferentierii inverse. De exemplu: Rezolvați ecuația de ordinul întâi y’ = -y/x.

Soluție Înlocuiește y' cu dy/dx: dy/dx = -y/x.

Aduceți ecuația într-o formă convenabilă pentru integrare. Pentru a face acest lucru, înmulțiți ambele părți cu dx și împărțiți cu y:dy/y = -dx/x.

Integrați: ∫dy/y = - ∫dx/x + Сln |y| = - log |x| +C.

Această soluție se numește ecuație diferențială generală. C este o constantă al cărei set de valori determină setul de soluții ale ecuației. Pentru orice sens specific C va fi singura soluție. O astfel de soluție este o soluție particulară a unei ecuații diferențiale.

Rezolvarea majorității ecuațiilor superioare grade nu are o formulă clară, cum ar fi găsirea rădăcinilor unui pătrat ecuații. Cu toate acestea, există mai multe metode de reducere care vă permit să transformați ecuația cel mai înalt grad la o vedere mai vizuală.

Instruire

Cea mai comună metodă de rezolvare a ecuațiilor de grade superioare este expansiunea. Această abordare este o combinație a selecției rădăcinilor întregi, a divizorilor termenului liber și a împărțirii ulterioare a polinomului general în forma (x - x0).

De exemplu, rezolvați ecuația x^4 + x³ + 2 x² - x - 3 = 0. Soluție. Membrul liber al acestui polinom este -3, prin urmare, divizorii săi întregi pot fi ±1 și ±3. Substituiți-le unul câte unul în ecuație și aflați dacă obțineți identitatea: 1: 1 + 1 + 2 - 1 - 3 = 0.

A doua rădăcină x = -1. Împărțiți la expresia (x + 1). Scrieți ecuația rezultată (x - 1) (x + 1) (x² + x + 3) = 0. Gradul a scăzut la al doilea, prin urmare, ecuația poate avea încă două rădăcini. Pentru a le găsi, rezolvați ecuația pătratică: x² + x + 3 = 0D = 1 - 12 = -11

Discriminantul este o valoare negativă, ceea ce înseamnă că ecuația nu mai are rădăcini reale. Găsi rădăcini complexe ecuații: x = (-2 + i √11)/2 și x = (-2 – i √11)/2.

O altă metodă de rezolvare a unei ecuații de grad superior este schimbarea variabilelor pentru a o pătra. Această abordare este utilizată atunci când toate puterile ecuației sunt pare, de exemplu: x^4 - 13 x² + 36 = 0

Acum găsiți rădăcinile ecuației inițiale: x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2.

Sfat 10: Cum să determinați ecuațiile redox

O reacție chimică este un proces de transformare a substanțelor care are loc odată cu modificarea compoziției lor. Acele substanțe care intră în reacție se numesc inițiale, iar cele care se formează în urma acestui proces se numesc produse. Se întâmplă ca în timpul reactie chimica elementele care alcătuiesc materiile prime îşi schimbă starea de oxidare. Adică, ei pot accepta electronii altor oameni și pot oferi ai lor. În ambele cazuri, taxa lor se modifică. Astfel de reacții se numesc reacții redox.

Aplicație

Rezolvarea ecuațiilor diferențiale online pe site pentru ca elevii să consolideze materialul pe care l-au studiat. Și exersează-ți abilitățile practice. Ecuații diferențiale online. Difuras online, soluție de matematică online. Rezolvarea pas cu pas a problemelor matematice online. Ordinea sau gradul unei ecuații diferențiale este ordinul cel mai înalt al derivatelor incluse în ea. Ecuații diferențiale online. Procesul de rezolvare a unei ecuații diferențiale se numește integrare. Problema integrării unei ecuații diferențiale se consideră rezolvată dacă funcția necunoscută poate fi cuadraturată, indiferent dacă integrala rezultată este exprimată în forma finală în termeni de funcții cunoscute sau nu. Rezolvarea pas cu pas a ecuațiilor diferențiale online. Toate ecuațiile diferențiale pot fi împărțite în ecuații diferențiale obișnuite (ODE), care includ numai funcții (și derivatele lor) ale unui argument și ecuații diferențiale parțiale (PDE), în care funcțiile de intrare depind de multe variabile. Ecuații diferențiale online. Există, de asemenea, ecuații diferențiale stocastice (SDE) care implică procese aleatorii. Rezolvarea pas cu pas a ecuațiilor diferențiale online. În funcție de combinațiile de derivate, funcții, variabile independente, ecuațiile diferențiale se împart în liniare și neliniare, cu coeficienți constanți sau variabili, omogene sau neomogene. Datorită importanței aplicațiilor, ecuațiile cu diferențe parțiale cvasiliniare (liniare în raport cu derivatele superioare) sunt evidențiate într-o clasă separată. Soluțiile ecuațiilor diferențiale sunt împărțite în soluții generale și soluții particulare. Ecuații diferențiale online. Soluțiile generale includ constante nedeterminate, iar pentru ecuațiile cu diferențe parțiale, funcții arbitrare ale variabilelor independente care pot fi rafinate din conditii suplimentare integrare (condiții inițiale pentru ecuațiile diferențiale obișnuite, condiții inițiale și la limită pentru ecuațiile diferențiale parțiale). Rezolvarea pas cu pas a ecuațiilor diferențiale online. După determinarea formei acestor funcții constante și nedefinite, soluțiile devin particulare. Căutarea de soluții la ecuații diferențiale obișnuite a condus la stabilirea unei clase de funcții speciale - funcții des întâlnite în aplicații care nu sunt exprimate prin cunoscute. functii elementare. Ecuații diferențiale online. Proprietățile lor au fost studiate în detaliu, au fost compilate tabele de valori, au fost determinate interconexiuni etc. Setul de numere enumerate poate fi explorat. Cel mai bun răspuns la problema dată. Cum să găsiți în prima aproximare vectorul de ieșire către regiunea de convergență despre ecuații diferențiale fără a clarifica limita superioară găsită. Alegerea este evidentă pentru creșterea funcțiilor matematice. Există o metodă progresivă peste nivelul cercetării. Pentru a se alinia cu condiția inițială a problemei, soluția diferenţialului va ajuta la găsirea unei valori alese cu o singură valoare. S-ar putea ca el să poată determina imediat necunoscutul. Ca și în exemplul anterior de indicare a unei soluții la o problemă matematică, ecuațiile diferențiale liniare sunt răspunsul la o problemă specifică într-un interval de timp specificat. Menținerea procedurii de studiu nu este definită la nivel local. Se va face astfel încât să existe un exemplu pentru fiecare elev și soluția ecuațiilor diferențiale va fi determinată de persoana desemnată executorului responsabil din cel puțin două valori. Luați o funcție de valoare generală pe un anumit segment și avertizați de-a lungul cărei axe va exista un decalaj. După ce am studiat ecuațiile diferențiale online, este posibil să arătăm fără ambiguitate cât de important este rezultatul, dacă se oferă unul din condițiile inițiale. Decuparea unei regiuni dintr-o definiție de funcție este imposibilă, deoarece nu există o definiție de sarcină la nivel local. Fiind găsit din sistemul de ecuații, răspunsul conține o variabilă care poate fi calculată în sens general, dar în mod firesc se va putea rezolva ecuația diferențială online fără această acțiune de determinare a condiției menționate. Aproape de intervalul segmentului, se poate observa cum soluția ecuațiilor diferențiale online este capabilă să avanseze rezultatul cercetării într-o direcție pozitivă la momentul limitării cunoștințelor elevilor. Cel mai bun nu se obține întotdeauna prin abordarea general acceptată a afacerilor. La nivelul 2x, se pot vizualiza în mod util toate ecuațiile diferențiale liniare naturale necesare, dar capacitatea de a calcula o valoare numerică va duce la o creștere a cunoștințelor. Conform oricărei tehnici din matematică, există ecuații diferențiale care sunt prezentate în expresii esențial diferite, cum ar fi omogene sau complexe. După cheltuire analiza generala studiul funcţiei, devine clar că decizia diferenţialului ca ansamblu de posibilităţi reprezintă o eroare clară a valorilor. Adevărul în ea constă în spațiul de deasupra liniilor de abscisă. Undeva în domeniul definiției functie complexa la un moment dat în definiția sa, ecuațiile diferențiale liniare vor putea reprezenta răspunsul într-o formă analitică. adică, în termeni generali, ca esenţă. Nu se va schimba nimic la schimbarea variabilei. Cu toate acestea, este necesar să privim răspunsul cu un interes deosebit. De fapt, calculatorul schimbă raportul în final, adică modul în care soluția ecuațiilor diferențiale este proporțională cu valoarea globală este indicat în soluția dorită. În unele cazuri, un avertisment de eroare în masă este inevitabil. Ecuații diferențiale Online Implement ideea generala despre sarcină, dar în cele din urmă este necesar să se furnizeze cât mai curând posibil laturi pozitive produs vectorial. În matematică, cazurile de eroare în teoria numerelor nu sunt neobișnuite. Neapărat trebuie verificat. Desigur, este mai bine să acordați acest drept profesioniștilor din domeniul lor și ei sunt cei care vor ajuta la rezolvarea ecuației diferențiale online, deoarece experiența lor este colosală și pozitivă. Diferența de pe suprafețele figurilor și a zonei este de așa natură încât nu soluția ecuațiilor diferențiale online vă va permite să vedeți, dar setul de obiecte care nu se intersectează este astfel încât linia este paralelă cu axa. Drept urmare, puteți obține de două ori mai multe valori. Fiind implicită, noțiunea noastră de corectitudine a notației formale prevede ecuații diferențiale liniare atât în ​​zona de vizualizare, cât și în raport cu supraestimarea deliberată a calității rezultatului. O discuție pe un subiect care este interesant pentru toți studenții este publicată de mai multe ori în recenzie. Pe tot parcursul studiului curs complet prelegeri, ne vom concentra atenția asupra ecuațiilor diferențiale și a domeniilor conexe de studiu științific, dacă acest lucru nu contrazice adevărul. Multe etape pot fi evitate la începutul călătoriei. Dacă soluția diferențială este încă în mod fundamental ceva nou pentru studenți, atunci vechiul nu este deloc uitat, ci progresează în viitor cu o rată ridicată de dezvoltare. Inițial, condițiile pentru o problemă de matematică diferă, dar acest lucru este indicat în paragraful din dreapta. După expirarea timpului specificat prin definiție, nu este exclusă posibilitatea unui rezultat dependent proporțional pe diferite planuri de mișcare ale vectorului. Un astfel de caz simplu este corectat în același mod în care ecuațiile diferențiale liniare sunt descrise pe un calculator într-o formă generală, astfel încât va fi mai rapid și compensarea calculelor nu va duce la o opinie eronată. Doar cinci cazuri numite conform teoriei pot depăși granițele a ceea ce se întâmplă. Soluția noastră de ecuații diferențiale va ajuta la calcularea manuală a valorii în numere deja la primele etape de descompunere a spațiului funcțional. În locurile potrivite, este necesar să se reprezinte punctul de contact al celor patru linii în sens general . Dar dacă trebuie să forțați sarcina, atunci va fi ușor să echivalați complexitatea. Datele inițiale sunt suficiente pentru a proiecta piciorul adiacent, iar ecuațiile diferențiale online arată aliniate la stânga, iar suprafața unilaterală este îndreptată către rotorul vectorial. Peste limita superioară, sunt posibile valori numerice care depășesc condiția indicată. Este posibil să se țină cont de formula matematică și să se rezolve online ecuația diferențială datorită a trei necunoscute în valoarea generală a proporției. Metoda locală de calcul este recunoscută ca fiind valabilă. Sistemul de coordonate este dreptunghiular în mișcare relativă a planului. Soluția generală online a ecuațiilor diferențiale face posibilă tragerea fără ambiguitate a unei concluzii în favoarea unei analize computaționale prin definițiile matricei pe întreaga linie dreaptă situată deasupra graficului unei funcții specificate în mod explicit. Soluția este vizibilă dacă aplicați vectorul de mișcare la punctul de contact al celor trei emisfere. Cilindrul se obține prin rotirea dreptunghiului în jurul laturii și ecuațiile diferențiale liniare pot arăta direcția de mișcare a punctului conform expresiilor date ale legii sale de mișcare. Datele inițiale sunt corecte și problema de matematică este interschimbabilă într-o singură condiție. Cu toate acestea, din cauza circumstanțelor, având în vedere complexitatea subproblemei de setare, ecuațiile diferențiale simplifică procesul de spații numerice calculate la nivelul spațiului tridimensional. Este ușor să demonstrezi contrariul, dar se poate evita, ca în exemplul de mai sus. La matematica superioară, sunt prevăzute următoarele puncte: atunci când o problemă este redusă la o formă simplificată, trebuie extins asupra acesteia cel mai mare efort posibil din partea elevilor. Liniile suprapuse una peste alta cad în offset. Soluția diferențială Pro reia în continuare avantajul metodei menționate pe o linie curbă. Dacă nu recunoașteți la început ceea ce aveți nevoie, atunci formula matematică va face o nouă valoare a expresiei. Scopul este abordarea optimă a rezolvării sarcinilor stabilite de profesor. Nu trebuie să presupuneți că ecuațiile diferențiale liniare într-o formă simplificată vor depăși rezultatul așteptat. Amplasăm trei vectori pe o suprafață compusă finit. ortogonale între ele. Să calculăm produsul. Să efectuăm adăugarea unui număr mai mare de simboluri și să scriem toate variabilele funcției din expresia rezultată. Există o proporție. Câteva acțiuni care preced sfârșitul calculului nu vor da un răspuns fără ambiguitate la soluția ecuațiilor diferențiale imediat, ci numai după ce timpul alocat a trecut de-a lungul axei y. În stânga punctului de discontinuitate, dat implicit din funcție, desenăm o axă ortogonală cu cel mai bun vector crescător și plasăm ecuațiile diferențiale online de-a lungul celei mai mici valori la limită a limitei inferioare a obiectului matematic. Să adăugăm un argument suplimentar în zona de pauză a funcției. În dreapta punctelor dreptei curbe, formulele scrise de noi pentru reducerea la un numitor comun vor ajuta la rezolvarea ecuației diferențiale online. Singura abordare corectă este cea care va face lumină asupra problemelor nerezolvate de la teorie la practică, în cazul general fără echivoc. Linii în direcția coordonatelor puncte date nu a închis niciodată poziția extremă a pătratului, totuși, rezolvarea ecuațiilor diferențiale online ne va ajuta atât studenții, cât și pe noi, și doar începătorii în acest domeniu, să studiem matematica. Vorbim despre posibilitatea substituirii argumentului valorii în toate subliniile semnificative ale unui câmp. În principiu, așa cum ar fi de așteptat, ecuațiile noastre diferențiale liniare sunt ceva izolat într-un singur concept al sensului redus. Pentru a ajuta studenții, unul dintre cele mai bune servicii similare este un calculator. Parcurgeți toate cursurile și alegeți-l pe cel mai potrivit pentru dvs.

=