Conceptul de bază al teoriei probabilităților. Legile teoriei probabilităților

dar și toate mai departe

frecvențele observate se stabilizează

la

Care este aplicarea practică a metodelor teoriei probabilităților?

Uz practic metodele teoriei probabilităților este de a recalcula probabilitățile evenimentelor „complexe” prin probabilitățile „evenimentelor simple”.

Exemplu. Probabilitatea ca o stemă să cadă într-o singură aruncare a unei monede corecte este ½ (frecvența observată de cădere dintr-o stemă tinde spre acest număr cu un număr mare de aruncări). Este necesar să se găsească probabilitatea ca, după trei aruncări ale monedei corecte, să cadă 2 steme.

Răspuns: Formula lui Berulli dă această întrebare:

0,375 (adică un astfel de eveniment are loc în 37,5% din cazuri cu 2 aruncări ale monedei corecte).

trăsătură caracteristică teoria modernă probabilitatea este faptul că, în ciuda orientării sale practice, folosește cele mai recente secțiuni din aproape toate secțiunile de matematică.

Concepte de bază: populație generală și eșantion.

Iată un tabel de corelare a conceptelor principale ale populației generale și eșantionului.

Populația	Eșantion de populație
Variabilă aleatoare (x, h, z)	Semnul (x, y, z)
Probabilitatea p, gena p	Frecvența relativă p, pselect
Distribuția probabilității	Distribuția de frecvență
Parametru (caracteristic distribuției de probabilitate)	Statisticile (o funcție a valorilor eșantionului de caracteristici) sunt utilizate pentru a evalua unul sau altul parametru al distribuției generale de probabilitate
Exemple de parametri și statistici corespunzătoare
Variabile aleatoare univariate (distribuții univariate)
Valorea estimata(m, Mx)	Media aritmetică (m, )
Moda (lună)	Moda (lună)
Mediană (eu)	Mediană (eu)
	Abateri standard)
Dispersie (s 2 , Dx)	Dispersie (s 2 , Dx)
Variabile aleatoare bivariate (distribuții bivariate)
Coeficientul de corelație r(x, h)	Coeficient de corelație r(x, y)
Variabile aleatoare multivariate (distribuții multivariate)
Coeficienții ecuației de regresie b 1 ,b 2 ,…,b n	Coeficienții ecuației de regresie b 1 , b 2 , … , b n

Analiza variatiei

Planul cursului.

1. Analiza unidirecțională a varianței.

Întrebări de curs.

Coeficient de corelație

Acceptă valori în intervalul de la -1 la +1

Cantitate fără dimensiuni

Afișează etanșeitatea conexiunii (conexiunea ca sincronicitate, consistenta) între caracteristici

Coeficientul de regresie

Poate lua orice valoare

Legat de unitățile de măsură pentru ambele caracteristici

Arată structura relației dintre caracteristici: caracterizează legătura ca dependență, influență, stabilește relații cauză-efect.

Semnul coeficientului indică direcția conexiunii

Complicație de model

Efectul cumulativ al tuturor factorilor independenți asupra variabilei dependente nu poate fi reprezentat ca o simplă sumă a mai multor regresii perechi.

Acest efect cumulativ se găsește printr-o metodă mai complexă - metoda regresiei multiple.

Etapele corelaţiei şi analiza regresiei:

· Identificarea relației dintre caracteristici;

· Definirea formei de comunicare;

· Determinarea puterii, etanșeității și direcției de comunicare.

Sarcini care trebuie rezolvate după citirea acestei prelegeri:

Este posibil să scrieți ecuații de regresie directă și inversă pentru cantități date. Construiți diagrame adecvate. Aflați coeficientul de corelație al mărimilor considerate. După criteriul lui Student, testați ipoteza semnificației corelației. Folosim comenzile: LINEST și Chart Wizard în Excel.

Literatură.

1. Note de curs.

1. Gmurman, V.E. Teoria Probabilității și Statistica Matematică. - M.: Şcoala superioară, 2003. - 479 p.

1.8. Concepte de bază de proiectare a experimentelor și câteva recomandări

Planul cursului.

1. Planificarea experimentului: principalele etape și principii.

2. Conceptul de experiment, răspuns, suprafață de răspuns, spațiu factorial.

3. Determinarea scopului planificării experimentului.

4. Principalele etape de planificare:

Întrebări de curs:

1. Concepte de bază. Formularea problemei.

Proiectarea experimentului este controlul optim (cel mai eficient) al experimentului pentru a obține maximum de informații posibile pe baza cantității minime admisibile de date. Prin experiment în sine înțelegem un sistem de operații, acțiuni sau observații care vizează obținerea de informații despre un obiect.

Teoria planificării experimentelor presupune prezența anumitor cunoștințe și poate fi distinsă condiționat pasii urmatori planificare:

1) colectarea și prelucrarea primară a datelor statistice

2) determinarea estimărilor punctuale și pe intervale ale distribuției

3) și prelucrarea lor ulterioară, ceea ce presupune cunoaștere metode statistice măsurători ale unei variabile aleatorii, teoria testării ipotezelor statistice, metode de planificare a unui experiment, în special, un experiment pasiv, metode de analiză a varianței, metode de găsire a extremului funcției de răspuns;

2) întocmirea unui plan de experiment, efectuarea experimentului în sine, procesarea rezultatelor experimentului, evaluarea acurateței experimentului.

Deci, să dăm conceptul experimentului în sine.

Experiment. Experimentul este principala și cea mai perfectă metodă de cunoaștere, care poate fi activă sau pasivă.

Activ - principalul tip de experiment, care se desfășoară în condiții controlate și controlate, care are următoarele avantaje:

1) rezultatele observațiilor variabile aleatoare independente distribuite normal;

2) varianțele sunt egale între ele (datorită faptului că estimările eșantionului sunt omogene);

3) variabile independente sunt măsurate cu o mică eroare în comparație cu eroarea valorii y ;

4) experimentul activ este mai bine organizat: utilizare optimă spațiul factorilor vă permite să obțineți informații maxime despre procesele sau fenomenele studiate la costuri minime.

Un experiment pasiv nu depinde de experimentator, care în acest caz acționează ca un observator extern.

Atunci când se planifica un experiment, obiectul studiat este prezentat ca o „cutie neagră”, care este afectată de factori controlabili și necontrolați:

Aici - factori controlați; - factori necontrolați, - parametrii de optimizare care pot caracteriza funcţionarea obiectului.

Factori. Fiecare factor poate lua un anumit număr de valori numite niveluri factori. Se numește setul de niveluri posibile ale unui factor domeniul definirii factori, care pot fi continui sau discreti, limitati si nelimitati. Factorii pot fi:

- compatibil: se presupune admisibilitatea oricărei combinații de factori care nu ar trebui să afecteze conservarea procesului studiat;

- independent: nu ar trebui să existe o corelație între factori, adică este posibilă modificarea valorii fiecăruia dintre factorii considerați în sistem independent unul de celălalt. Încălcarea a cel puțin una dintre aceste cerințe duce fie la imposibilitatea utilizării planificării experimentelor, fie la dificultăți foarte grave. Alegerea potrivita Factorii vă permit să stabiliți clar condițiile experimentului.

Parametrii cercetați trebuie să îndeplinească o serie de cerințe:

- eficiență, contribuind la atingerea rapidă a obiectivului;

- universalitatea, caracteristică nu numai obiectului studiat;

- omogenitatea statistică, care presupune respectarea, până la eroarea experimentală, cu un anumit set de valori ale factorilor unei anumite valori ale factorilor;

- exprimarea cantitativă printr-un număr;

- simplitatea calculelor;

- existenţa în orice stare a obiectului.

Model. Relația dintre parametrul de ieșire (răspuns) și parametrii de intrare (factori) se numește funcție de răspuns și are următoarea formă:

(1)

Aici - răspunsul (rezultatul experimentului); - variabile (factori) independente care pot fi variate la stabilirea experimentelor.

Raspuns. Răspunsul este rezultatul experienței în condiții adecvate, care se mai numește și funcție de obiectiv, criteriu de eficiență, criteriu de optimitate, parametru de optimizare etc.

În teoria planificării experimentelor, se impun cerințe pentru parametrul de optimizare, a cărui îndeplinire este necesară pentru solutie de succes sarcini. Alegerea parametrului de optimizare ar trebui să se bazeze pe o sarcină clar formulată, pe o înțelegere clară a scopului final al studiului. Parametrul de optimizare trebuie să fie eficient în sens statistic, adică determinat cu suficientă acuratețe. Cu o eroare mare în determinarea sa, este necesar să se mărească numărul de experimente paralele.

Este de dorit ca parametrii de optimizare să fie cât mai mici posibil. Cu toate acestea, nu ar trebui să încercăm să reduceți numărul de parametri de optimizare datorită caracterului complet al caracteristicilor sistemului. De asemenea, este de dorit ca sistemul în întregime să fie caracterizat de parametri simpli de optimizare care au o semnificație fizică clară. Firesc, simplu, cu claritate simțul fizic Parametrul de optimizare protejează experimentatorul de multe greșeli și îl scutește de multe dificultăți asociate cu rezolvarea diverselor probleme metodologice de experimentare și interpretare tehnologică a rezultatelor obținute.

Analogul geometric al parametrului (funcția de răspuns) corespunzător ecuației (1) se numește suprafață de răspuns, iar spațiul în care este construită suprafața specificată se numește spațiu factor. În cel mai simplu caz, când este investigată dependența răspunsului de un factor, suprafața de răspuns este o linie pe un plan, adică în spațiu bidimensional. În general, atunci când sunt luați în considerare factorii, ecuația (1) descrie suprafața de răspuns în - spatiul dimensional. Deci, de exemplu, cu doi factori, spațiul factorilor este un plan factorial.

Scopul planificării experimentului este obținerea unui model matematic al obiectului sau procesului studiat. Cu cunoștințe foarte limitate despre mecanismul procesului, expresia analitică a funcției de răspuns este necunoscută, prin urmare, se folosesc de obicei modele matematice polinomiale (polinoame algebrice), numite ecuații de regresie, forma generala care:

(2)

Unde - coeficienții de regresie ale probei care pot fi obținuți cu ajutorul rezultatelor experimentului.

4. Principalele etape ale planificării experimentului includ:

1. Colectarea, studiul, analiza tuturor datelor despre obiect.

2. Factori de codificare.

3. Întocmirea unei matrice de planificare a experimentului.

4. Verificarea reproductibilității experimentelor.

5. Calculul estimărilor coeficienților ecuației de regresie.

6. Verificarea semnificaţiei coeficienţilor de regresie.

7. Verificarea adecvării modelului rezultat.

8. Trecerea la variabile fizice.

Literatură

1. Note de curs.

4.1 Lanțuri Markov. caracteristici aleatorii. Metoda Monte Carlo. Modelare prin simulare. Planificarea rețelei. Programare dinamică și cu numere întregi

Planul cursului.

1. Metode Monte Carlo.

2. Metoda testelor statistice (metode Monte Carlo)

Întrebări de curs.

Ce este studiul teoriei probabilităților?

Teoria probabilității studiază așa-numitele evenimente aleatoare și stabilește tipare în manifestarea unor astfel de evenimente, putem spune că teoria probabilității este o ramură a matematicii în care sunt studiate modele matematice ale experimentelor aleatoare, i.e. experimente, ale căror rezultate nu pot fi determinate fără ambiguitate de condițiile experimentului.

Pentru a introduce conceptul de eveniment aleatoriu, este necesar să luăm în considerare câteva exemple de experimente reale.

2. Dați conceptul de experiment aleator și dați exemple de experimente aleatorii.

Iată câteva exemple de experimente aleatorii:

1. Aruncarea unică a unei monede.

2. Aruncarea unică a unui zar.

3. Selectarea aleatorie a unei mingi dintr-o urnă.

4. Măsurarea timpului de funcționare al unui bec.

5. Măsurarea numărului de apeluri care sosesc la PBX pe unitatea de timp.

Un experiment este aleatoriu dacă este imposibil de prezis rezultatul nu numai al primului experiment, dar și toate mai departe. De exemplu, unii reactie chimica, al cărui rezultat este necunoscut. Dacă se efectuează o dată și se obține un anumit rezultat, atunci cu experimente ulterioare în aceleași condiții, aleatorietatea dispare.

Sunt oricâte exemple îți plac de acest gen. Care este generalitatea experimentelor cu rezultate aleatorii? Se pare că, în ciuda faptului că este imposibil să se prezică rezultatul fiecăruia dintre experimentele de mai sus, în practică, un model de un anumit tip a fost observat de mult timp pentru ei, și anume: atunci când se desfășoară un numar mare teste frecvențele observate apariția fiecărui eveniment aleatoriu se stabilizează acestea. din ce în ce mai puțin diferit de un anumit număr numit probabilitatea unui eveniment.

Frecvența observată a evenimentului A () este raportul dintre numărul de apariții ale evenimentului A () și numărul total de încercări (N):

Această proprietate a stabilității frecvenței face posibilă, fără a putea prezice rezultatul unui experiment individual, să prezică cu acuratețe proprietățile fenomenelor asociate experimentului în cauză. Prin urmare, metodele teoriei probabilităților din viața modernă pătruns în toate sferele activității umane, și nu numai în științele naturii, economie, ci și în științele umaniste, precum istoria, lingvistica etc. Pe baza acestei abordări definiția statistică a probabilității.

la (frecvența observată a unui eveniment tinde spre probabilitatea acestuia cu creșterea numărului de experimente, adică cu n).

Cu toate acestea, definiția probabilității în termeni de frecvență nu este satisfăcătoare pentru teoria probabilității ca știință matematică. Acest lucru se datorează faptului că este practic imposibil să se efectueze un număr infinit de teste și frecvența observată variază de la experiență la experiență. Prin urmare, A.N. Kolmogorov a propus o definiție axiomatică a probabilității, care este acceptată în prezent.

Mama a spălat cadrul

Sub cortina lungi vacanța de vară este timpul să revenim încet la matematica superioară și să deschidem solemn un fișier Verd gol pentru a începe crearea unei noi secțiuni - . Mărturisesc că primele rânduri nu sunt ușoare, dar primul pas este la jumătatea drumului, așa că sugerez tuturor să studieze cu atenție articolul introductiv, după care va fi de 2 ori mai ușor să stăpânească subiectul! Nu exagerez deloc. ... In ajunul zilei de 1 Septembrie care urmeaza imi aduc aminte de clasa intai si amorsa .... Literele formează silabe, silabele în cuvinte, cuvintele în propoziții scurte - Mama a spălat cadrul. Face față cu terver și statistici matematice la fel de ușor ca să înveți să citești! Cu toate acestea, pentru aceasta este necesar să cunoașteți termenii, conceptele și denumirile cheie, precum și unele reguli specifice, cărora le este dedicată această lecție.

Dar mai întâi, vă rugăm să acceptați felicitările mele pentru început (continuare, finalizare, notați dacă este necesar) an scolarși acceptă cadoul. Cel mai bun cadou este o carte și muncă independentă Recomand următoarea literatură:

1) Gmurman V.E. Teoria Probabilității și Statistica Matematică

legendar tutorial peste zece ediții. Diferă prin inteligibilitate și prezentarea simplă supremă a materialului, iar primele capitole sunt complet accesibile, cred, deja pentru elevii din clasele 6-7.

2) Gmurman V.E. Ghid pentru rezolvarea problemelor în probabilitate și statistică matematică

Reșebnik al aceluiași Vladimir Efimovici cu exemple și sarcini detaliate.

NECESAR descărcați ambele cărți de pe Internet sau obțineți originalele lor de hârtie! O versiune din anii 60-70 va funcționa, ceea ce este și mai bine pentru manechin. Deși expresia „probabilitate pentru manechin” sună destul de ridicol, deoarece aproape totul este limitat la elementar operatii aritmetice. Alunecă, însă, pe alocuri derivateȘi integrale, dar asta doar pe alocuri.

Voi încerca să obțin aceeași claritate a prezentării, dar trebuie să vă avertizez că cursul meu este concentrat rezolvarea problemelor iar calculele teoretice sunt reduse la minimum. Astfel, dacă aveți nevoie de o teorie detaliată, dovezi de teoreme (teoremă-teoremă!), vă rugăm să consultați manualul. Ei bine, cine vrea invata sa rezolvi problemeleîn teoria probabilităţilor şi statistica matematică în cel mai scurt timp posibil, urmați-mă!

Suficient pentru a începe =)

Pe măsură ce citiți articolele, este recomandabil să vă familiarizați (cel puțin pe scurt) cu sarcini suplimentare de tipurile luate în considerare. Pe pagina Soluții gata făcute pentru matematică superioară vor fi plasate pdf-ki relevante cu exemple de soluții. De asemenea ajutor semnificativ va reda IDZ 18.1 Ryabushko(mai ușor) și a rezolvat IDZ conform colecției lui Chudesenko(mai dificil).

1) sumă două evenimente şi se numeşte eveniment care constă în faptul că sau eveniment sau eveniment sau ambele evenimente în același timp. În cazul în care evenimentele incompatibil, ultima variantă dispare, adică poate apărea sau eveniment sau eveniment .

Regula se aplică și mai multor termeni, de exemplu, un eveniment este ceea ce se va întâmpla cel puțin unul din evenimente , A dacă evenimentele sunt incompatibile – acela si singurul eveniment din această sumă: sau eveniment, sau eveniment, sau eveniment, sau eveniment, sau eveniment .

O multime de exemple:

Evenimentul (atunci când aruncați un zar nu scade 5 puncte) este aceea sau 1, sau 2, sau 3, sau 4, sau 6 puncte.

Eveniment (va scadea nu mai două puncte) este că 1 sau 2puncte.

Eveniment (va fi un număr par de puncte) este că sau 2 sau 4 sau 6 puncte.

Evenimentul este că o carte de culoare roșie (inima) va fi extrasă din pachet sau tamburin), iar evenimentul - că „imaginea” va fi extrasă (jack sau doamnă sau rege sau as).

Un pic mai interesant este cazul evenimentelor comune:

Evenimentul este că de pe punte va fi extras un club sauȘapte sauşapte de cluburi Conform definiției de mai sus, măcar ceva- sau orice club sau orice șapte sau "încrucișarea" lor - șapte cluburi. Este ușor de calculat că acest eveniment corespunde la 12 rezultate elementare (9 cărți de club + 3 șapte rămase).

Evenimentul este că mâine la ora 12.00 MĂRÂNU UNUL dintre evenimentele comune sumabile, și anume:

- sau va fi doar ploaie / doar tunete / doar soare;
- sau vor veni doar câteva perechi de evenimente (ploaie + furtună / ploaie + soare / furtună + soare);
– sau toate cele trei evenimente vor apărea în același timp.

Adică, evenimentul include 7 rezultate posibile.

Al doilea pilon al algebrei evenimentelor:

2) muncă două evenimente și numiți evenimentul, care constă în apariția comună a acestor evenimente, cu alte cuvinte, înmulțirea înseamnă că în anumite împrejurări va veni Și eveniment, Și eveniment . O afirmație similară este adevărată pentru un număr mai mare de evenimente, de exemplu, lucrarea implică că, în anumite condiții, va exista Și eveniment, Și eveniment, Și eveniment, …, Și eveniment .

Luați în considerare un proces în care sunt aruncate două monede și următoarele evenimente:

- capete vor cădea pe prima monedă;
- prima moneda va ateriza cozi;
- moneda a 2-a va ateriza capete;
- a 2-a monedă va apărea cozi.

Apoi:
Și pe 2) va cădea un vultur;
- evenimentul constă în faptul că pe ambele monede (la data de 1 Și pe a 2-a) vor cădea cozile;
– evenimentul este că prima monedă va ateriza capete Și pe cozile monedei a 2-a;
- evenimentul este că prima monedă va veni în cozi Și pe moneda a 2-a un vultur.

Este ușor de observat că evenimentele incompatibil (deoarece nu poate, de exemplu, să cadă 2 capete și 2 cozi în același timp)și formă grup complet (din moment ce luate în considerare Toate posibile rezultate ale aruncării a două monede). Să rezumam aceste evenimente: . Cum se interpretează această intrare? Foarte simplu - înmulțirea înseamnă conexiune logică ȘI, iar adaosul este SAU. Astfel, suma este ușor de citit într-un limbaj uman de înțeles: „vor cădea doi vulturi sau două cozi sau capete pe prima monedă Și pe a 2-a coadă sau capete pe prima monedă Și vultur pe a 2-a monedă »

Acesta a fost un exemplu când într-un singur test sunt implicate mai multe obiecte, in acest caz doua monede. O altă schemă folosită în mod obișnuit în practică este teste repetate când, de exemplu, același zar este aruncat de 3 ori la rând. Ca o demonstrație, luați în considerare următoarele evenimente:

- la prima aruncare vor cădea 4 puncte;
- la a 2-a aruncare vor cădea 5 puncte;
- la a 3-a aruncare vor cădea 6 puncte.

Apoi evenimentul constă în faptul că la prima rolă vor cădea 4 puncte Șiîn a doua rolă va scădea 5 puncte Șiîn a treia rolă, vor scădea 6 puncte. Evident, în cazul unui zar, vor exista semnificativ mai multe combinații (rezultate) decât dacă am arunca o monedă.

... Înțeleg că, poate, ei nu înțeleg prea bine exemple interesante, dar acestea sunt lucruri care se întâlnesc des în sarcini și nu pot fi evitate. Pe lângă o monedă, un zar și un pachet de cărți, urne cu bile colorate, mai mulți anonimi trăgând în țintă și un muncitor neobosit care măcina constant câteva detalii =)

Probabilitatea evenimentului

Probabilitatea evenimentului este un concept central în teoria probabilității. ...Un lucru logic mortal, dar trebuia să începi de undeva =) Există mai multe abordări ale definiției sale:

;
Definiția geometrică a probabilității ;
Definiția statistică a probabilității .

În acest articol, mă voi concentra pe definiția clasică a probabilităților, care este cea mai utilizată în sarcinile educaționale.

Notaţie. Probabilitatea unui eveniment este notă cu o literă latină majusculă, iar evenimentul în sine este luat între paranteze, acționând ca un fel de argument. De exemplu:

De asemenea, o literă mică este utilizată pe scară largă pentru a reprezenta probabilitatea. În special, se pot abandona denumirile greoaie ale evenimentelor și probabilitățile lor în favoarea următorului stil:

este probabilitatea ca aruncarea unei monede să aibă ca rezultat capete;
- probabilitatea ca 5 puncte să cadă în urma aruncării unui zar;
este probabilitatea ca o carte din costumul clubului să fie extrasă din pachet.

Această opțiune este populară în rezolvarea problemelor practice, deoarece vă permite să reduceți semnificativ introducerea soluției. Ca și în primul caz, este convenabil să folosiți aici subscripte/superindice „vorbitoare”.

Toată lumea a ghicit de mult despre numerele pe care tocmai le-am scris mai sus, iar acum vom afla cum au ieșit:

Definiția clasică a probabilității:

Probabilitatea ca un eveniment să apară într-un test este raportul, unde:

este numărul total al tuturor la fel de posibil, elementar rezultatele acestui test, care formează grup complet de evenimente;

- cantitate elementar rezultate favorabil eveniment .

Când o monedă este aruncată, fie capete, fie cozi pot cădea - aceste evenimente se formează grup complet, astfel, numărul total de rezultate ; în timp ce fiecare dintre ei elementarȘi la fel de posibil. Evenimentul este favorizat de rezultat (capete). Conform definiției clasice a probabilităților: .

În mod similar, ca rezultat al aruncării unui zar, pot apărea rezultate elementare la fel de posibile, formând un grup complet, iar evenimentul este favorizat de un singur rezultat (lansarea unui cinci). De aceea: .NU SE ACCEPTĂ SĂ FACĂ (deși nu este interzis să-ți dai seama de procentele din mintea ta).

Se obișnuiește să se folosească fracții dintr-o unitate, și, evident, probabilitatea poate varia în . Mai mult, dacă , atunci evenimentul este imposibil, Dacă - de încredere, iar dacă , atunci vorbim despre Aleatoriu eveniment.

! Dacă în cursul rezolvării oricărei probleme obțineți o altă valoare a probabilității - căutați o eroare!

În abordarea clasică a definiției probabilității, valorile extreme (zero și unu) sunt obținute prin exact același raționament. Lasă 1 minge să fie extrasă la întâmplare dintr-o urnă care conține 10 bile roșii. Luați în considerare următoarele evenimente:

într-un singur proces, un eveniment improbabil nu va avea loc.

De aceea, nu vei lovi Jackpot-ul la loterie dacă probabilitatea acestui eveniment este, să zicem, 0,00000001. Da, da, ești tu - cu singurul bilet dintr-o anumită circulație. Cu toate acestea, mai multe bilete și mai multe extrageri nu te vor ajuta prea mult. ... Când le spun altora despre asta, aproape întotdeauna aud drept răspuns: „dar cineva câștigă”. Bine, atunci haideți să facem următorul experiment: vă rugăm să cumpărați orice bilet de loterie astăzi sau mâine (nu întârziați!). Și dacă câștigați ... ei bine, cel puțin mai mult de 10 kilograme de ruble, asigurați-vă că vă dezabonați - voi explica de ce s-a întâmplat acest lucru. Pentru un procent, desigur =) =)

Dar nu trebuie să fii trist, pentru că există un principiu opus: dacă probabilitatea unui eveniment este foarte aproape de unitate, atunci într-un singur test este aproape sigur se va întâmpla. Prin urmare, înainte de un salt cu parașuta, nu vă fie teamă, dimpotrivă - zâmbește! La urma urmei, trebuie să apară circumstanțe absolut de neconceput și fantastice pentru ca ambele parașute să eșueze.

Deși toate acestea sunt poezie, deoarece, în funcție de conținutul evenimentului, primul principiu se poate dovedi a fi vesel, iar al doilea - trist; sau chiar ambele sunt paralele.

Probabil suficient deocamdată, la clasă Sarcini pentru definirea clasică a probabilității vom stoarce maximum din formulă. În partea finală a acestui articol, luăm în considerare o teoremă importantă:

Suma probabilităților evenimentelor care formează un grup complet este egală cu unu. Aproximativ vorbind, dacă evenimentele formează un grup complet, atunci cu 100% probabilitate unul dintre ele se va întâmpla. În cel mai simplu caz, evenimentele opuse formează un grup complet, de exemplu:

- în urma aruncării unei monede, un vultur va cădea;
- ca urmare a aruncării unei monede, vor cădea cozi.

Conform teoremei:

Este clar că aceste evenimente sunt la fel de probabile și probabilitățile lor sunt aceleași. .

Din cauza egalității probabilităților, evenimentele la fel de probabile sunt adesea numite echiprobabil . Și aici este răsucitorul de limbi pentru a determina gradul de intoxicație a rezultat =)

Exemplu de zaruri: evenimentele sunt opuse, deci .

Teorema luată în considerare este convenabilă prin faptul că vă permite să găsiți rapid probabilitatea evenimentului opus. Deci, dacă cunoașteți probabilitatea ca un cinci să cadă, este ușor să calculați probabilitatea ca acesta să nu cadă:

Acest lucru este mult mai ușor decât însumarea probabilităților a cinci rezultate elementare. Pentru rezultatele elementare, apropo, această teoremă este valabilă și:
. De exemplu, dacă este probabilitatea ca trăgătorul să lovească ținta, atunci este probabilitatea ca acesta să rateze.

! În teoria probabilității, nu este de dorit să se folosească literele și în orice alt scop.

În cinstea Zilei Cunoașterii, nu voi întreba teme pentru acasă=), dar este foarte important să poți răspunde la următoarele întrebări:

Ce tipuri de evenimente există?
– Ce este șansa și posibilitatea egală a unui eveniment?
– Cum înțelegeți termenii compatibilitate/incompatibilitate a evenimentelor?
– Ce este un grup complet de evenimente, evenimente opuse?
Ce înseamnă adunarea și înmulțirea evenimentelor?
– Care este esența definiției clasice a probabilității?
– De ce este utilă teorema de adunare pentru probabilitățile evenimentelor care formează un grup complet?

Nu, nu trebuie să înghesui nimic, acestea sunt doar bazele teoriei probabilităților - un fel de primer care se va potrivi în capul tău destul de repede. Și pentru ca acest lucru să se întâmple cât mai curând posibil, vă sugerez să citiți lecțiile

Secțiunea 12. Teoria probabilității.

1. Introducere

2. Cele mai simple concepte ale teoriei probabilităților

3. Algebra evenimentelor

4. Probabilitatea unui eveniment aleatoriu

5. Probabilităţi geometrice

6. Probabilităţi clasice. Formule combinatorice.

7. Probabilitate condiționată. Independenta evenimentelor.

8. Formula probabilitate deplinăși formule Bayes

9. Schema testelor repetate. Formula Bernoulli și asimptoticele sale

10. Variabile aleatorii (RV)

11. Seria de distribuție DSW

12. Funcția de distribuție cumulativă

13. Funcția de distribuție a NSV

14. Densitatea de probabilitate a NSV

15. Caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare

16. Exemple de distribuții ST importante

16.1. Distribuția binomială a DSV.

16.2. Distribuția Poisson

16.3. Distribuția uniformă a HCW.

16.4. Distributie normala.

17. Teoreme limită ale teoriei probabilităților.

Introducere

Teoria probabilității, ca multe alte discipline matematice, s-a dezvoltat din nevoile practicii. În același timp, studiind procesul real, a fost necesar să se creeze un model matematic abstract al procesului real. De obicei, luați în considerare principalele, cele mai semnificative forţe motrice proces real, eliminând din considerare pe cele secundare, care se numesc aleatoriu. Desigur, ceea ce este considerat principal și ceea ce este secundar este o sarcină separată. Rezolvarea acestei probleme determină nivelul de abstractizare, simplitatea sau complexitatea modelului matematic și nivelul de adecvare a modelului la procesul real. În esență, orice model abstract este rezultatul a două aspirații opuse: simplitatea și adecvarea realității.

De exemplu, în teoria împușcării, au fost dezvoltate formule destul de simple și convenabile pentru determinarea traiectoriei de zbor a unui proiectil dintr-un pistol situat într-un punct (Fig. 1).

În anumite condiții, teoria menționată este suficientă, de exemplu, cu pregătirea masivă de artilerie.

Cu toate acestea, este clar că dacă se trag mai multe focuri de la o armă în aceleași condiții, atunci traiectorii vor fi apropiate, dar totuși diferite. Și dacă dimensiunea țintei este mică în comparație cu zona de dispersie, atunci apar întrebări specifice legate tocmai de influența factorilor care nu sunt luați în considerare în cadrul modelului propus. În același timp, contabilitate factori suplimentari va duce la un model prea complex, care este aproape imposibil de utilizat. În plus, există mulți dintre acești factori aleatori, natura lor fiind cel mai adesea necunoscută.

În exemplul de mai sus, astfel de întrebări specifice care depășesc modelul determinist sunt, de exemplu, următoarele: câte focuri trebuie trase pentru a garanta înfrângerea țintei cu o anumită certitudine (de exemplu, pe )? cum să efectueze împușcare pentru a cheltui cea mai mică cantitate scoici? și așa mai departe.

După cum vom vedea mai târziu, cuvintele „aleatorie”, „probabilitate” vor deveni termeni matematici stricti. Cu toate acestea, ele sunt foarte frecvente în vorbire colocvială. În același timp, se crede că adjectivul „aleatoriu” este opus „obișnuit”. Totuși, acest lucru nu este așa, deoarece natura este aranjată în așa fel încât procesele aleatorii dezvăluie tipare, dar în anumite condiții.

Condiția principală se numește caracter de masă.

De exemplu, dacă arunci o monedă, nu poți prezice ce va cădea, o stemă sau un număr - poți doar ghici. Cu toate acestea, dacă această monedă este aruncată număr mare ori în care ponderea stemei nu va diferi cu mult de un anumit număr apropiat de 0,5 (în continuare vom numi acest număr probabilitate). Mai mult, odată cu creșterea numărului de aruncări, abaterea de la acest număr va scădea. Această proprietate se numește durabilitate indicatori medii (în acest caz, ponderea stemelor). Trebuie spus că la primii pași ai teoriei probabilității, când a fost necesar să se verifice în practică prezența proprietății stabilității, nici marii oameni de știință nu au considerat greu să efectueze propria verificare. Deci, este cunoscută experiența lui Buffon, care a aruncat o monedă de 4040 de ori, iar stema a căzut de 2048 de ori, prin urmare, proporția (sau frecvența relativă) a pierderii stemei este de 0,508, care este aproape intuitiv. la numărul așteptat 0,5.

Prin urmare, este de obicei definit subiectul teoriei probabilităților ca ramură a matematicii care studiază legile proceselor aleatoare de masă.

Trebuie spus că, în ciuda faptului că cele mai mari realizări teoriile probabilității datează de la începutul secolului trecut, mai ales datorită construcției axiomatice a teoriei în lucrările lui A.N. Kolmogorov (1903-1987), interesul pentru studiul șanselor a apărut cu mult timp în urmă.

La început, interesele au fost asociate cu încercările de a aplica o abordare numerică a jocurilor de noroc. Primele rezultate destul de interesante ale teoriei probabilității sunt de obicei asociate cu lucrările lui L. Pacioli (1494), D. Cardano (1526) și N. Tartaglia (1556).

Mai târziu, B. Pascal (1623-1662), P. Fermat (1601-1665), H. Huygens (1629-1695) au pus bazele teoriei probabilităților clasice. La începutul secolului al XVIII-lea, J. Bernoulli (1654-1705) a format conceptul de probabilitate a unui eveniment întâmplător ca raport dintre numărul de șanse favorabile și numărul tuturor posibilelor. E. Borel (1871-1956), A. Lomnitsky (1881-1941), R. Mises (1883-1953) și-au construit teoriile pe utilizarea conceptului de măsură a unei mulțimi.

Punctul de vedere teoretic al mulțimilor în forma sa cea mai completă a fost prezentat în 1933. UN. Kolmogorov în monografia sa „Conceptele de bază ale teoriei probabilităților”. Din acest moment teoria probabilității devine o știință matematică riguroasă.

O mare contribuție la dezvoltarea teoriei probabilităților a avut-o matematicienii ruși P.L. Cebyshev (1821-1894), A.A. Markov (1856-1922), S.N. Bernstein (1880-1968) și alții.

Teoria probabilității se dezvoltă rapid în prezent.

Cele mai simple concepte ale teoriei probabilităților

Ca orice disciplină matematică, teoria probabilității începe cu introducerea celor mai simple concepte care nu sunt definite, ci doar explicate.

Unul dintre conceptele de bază este experienţă. Experiența este înțeleasă ca un anumit set de condiții care pot fi reproduse de un număr nelimitat de ori. Vom numi fiecare implementare a acestui complex o experiență sau un test. Rezultatele experimentului pot fi diferite și aici se manifestă elementul șansă. Sunt numite diferite rezultate sau rezultate ale experienței evenimente(mai precis evenimente aleatorii). Astfel, în timpul implementării experimentului, poate apărea unul sau altul. Cu alte cuvinte, un eveniment aleatoriu este rezultatul unei experiențe, care, în timpul implementării experienței, poate apărea (apare) sau nu.

Experiența va fi indicată cu litera , iar evenimentele aleatoare sunt de obicei notate cu majuscule

Adesea, într-un experiment, se pot evidenția în avans rezultatele sale, care pot fi numite cele mai simple, care nu pot fi descompuse în altele mai simple. Se numesc astfel de evenimente evenimente elementare(sau cazuri).

Exemplul 1 Lasă o monedă să fie aruncată. Rezultatele experienței sunt: ​​pierderea stemei (notăm acest eveniment cu litera ); pierderea unei cifre (notate cu ). Apoi putem scrie: experiență = (aruncarea unei monede), rezultate: Este clar că evenimentele elementare din această experiență. Cu alte cuvinte, enumerarea tuturor evenimentelor elementare ale experienței o descrie complet. Cu această ocazie, vom spune că experiența este un spațiu al evenimentelor elementare, iar în cazul nostru, experiența poate fi scrisă pe scurt ca: = (aruncarea unei monede) = (G; C).

Exemplul 2. =(monedă aruncată de două ori)= Iată o descriere verbală a experienței și o listă a tuturor evenimentelor elementare: înseamnă că la început stema a căzut în timpul primei aruncări a monedei, la a doua - și stema; înseamnă că la prima aruncare a unei monede a căzut o stemă, la a doua un număr etc.

Exemplul 3Într-un sistem de coordonate, punctele sunt aruncate într-un pătrat. În acest exemplu, evenimentele elementare sunt puncte cu coordonate care satisfac inegalitățile date. Pe scurt este scris în felul următor:

Un colon în acolade înseamnă că este format din puncte, dar nu oricare, ci doar din acelea care îndeplinesc condiția (sau condițiile) specificate după două puncte (în exemplul nostru, acestea sunt inegalități).

Exemplul 4 Moneda este aruncată până când apare prima stemă. Cu alte cuvinte, aruncarea monedelor continuă până când apare o stemă. În acest exemplu, evenimentele elementare pot fi enumerate, deși numărul lor este infinit:

Rețineți că în exemplele 3 și 4 spațiul evenimentelor elementare are un număr infinit de rezultate. În exemplul 4, acestea pot fi listate, adică numara. Un astfel de set se numește numărabil. În exemplul 3, spațiul este de nenumărat.

Să mai luăm în considerare două evenimente care sunt prezente în orice experiment și care au o mare importanță teoretică.

Să sunăm la eveniment imposibil dacă, ca urmare a experienței, nu se produce neapărat. Il vom nota prin semnul multimii goale . Dimpotrivă, se numește un eveniment care va avea loc cu siguranță ca urmare a experienței de încredere. Un anumit eveniment este notat în același mod ca spațiul evenimentelor elementare însuși - prin litera .

De exemplu, atunci când aruncați un zar, evenimentul (mai puțin de 9 puncte au căzut) este sigur, iar evenimentul (exact 9 puncte au căzut) este imposibil.

Astfel, spațiul evenimentelor elementare poate fi precizat printr-o descriere verbală, enumerarea tuturor evenimentelor sale elementare, stabilirea unor reguli sau condiții prin care se obțin toate evenimentele sale elementare.

Algebra evenimentelor

Până acum am vorbit doar despre evenimente elementare ca fiind rezultatele imediate ale experienței. Totuși, în cadrul experienței, se poate vorbi și despre alte evenimente aleatorii, pe lângă cele elementare.

Exemplul 5 La aruncarea unui zar, pe lângă evenimentele elementare de cădere, respectiv, unu, doi, ..., șase, putem vorbi despre alte evenimente: (pierderea unui număr par), (scăderea unui număr impar), (scăderea unui număr care este multiplu de trei), (scăderea unui număr mai mic de 4) și așa mai departe. ÎN acest exemplu evenimentele specificate, cu excepția sarcinii verbale, pot fi specificate prin enumerarea evenimentelor elementare:

Formarea de noi evenimente din evenimente elementare, precum și din alte evenimente, se realizează cu ajutorul operațiunilor (sau acțiunilor) asupra evenimentelor.

Definiție. Produsul a două evenimente este evenimentul constând în faptul că, în urma experimentului, Și eveniment, Și eveniment, adică ambele evenimente vor avea loc împreună (simultan).

Semnul produsului (punct) nu este adesea pus:

Definiție. Suma a două evenimente este un eveniment constând în faptul că, în urma unui experiment, sau eveniment, sau eveniment, sau ambele împreună (în același timp).

În ambele definiții, am subliniat în mod deliberat conjuncțiile ȘiȘi sau- să atragă atenția cititorului asupra discursului său atunci când rezolvă probleme. Dacă pronunțăm unirea „și”, atunci vorbim despre produsul evenimentelor; dacă se pronunță uniunea „sau”, atunci evenimentele trebuie adăugate. Totodată, observăm că unirea „sau” în vorbirea cotidiană este adesea folosită în sensul excluderii unuia dintre cele două: „numai sau numai”. În teoria probabilității, o astfel de excepție nu este presupusă: și , și , și înseamnă apariția unui eveniment

Dacă sunt specificate prin enumerarea evenimentelor elementare, atunci evenimentele complexe sunt ușor de obținut folosind operațiile specificate. Pentru a obține, trebuie să găsiți toate evenimentele elementare care aparțin ambelor evenimente, dacă nu există, atunci este, de asemenea, ușor să compuneți Suma evenimentelor: trebuie să luați oricare dintre cele două evenimente și să adăugați la el acele evenimente elementare. din celălalt eveniment care nu sunt cuprinse în primul.

În exemplul 5, obținem, în special,

Operaţiile introduse se numesc binare, deoarece definit pentru două evenimente. De mare importanță este următoarea operație unară (definită pentru un singur eveniment): evenimentul este apelat opus eveniment dacă constă în faptul că în această experienţă evenimentul nu s-a produs. Din definiție reiese clar că fiecare eveniment și opusul său au următoarele proprietăți: Operația introdusă este numită plus evenimentele A.

Rezultă că, dacă este dat de o enumerare a evenimentelor elementare, atunci, cunoscând definiția evenimentului , este ușor de obținut acesta este format din toate evenimentele elementare ale spațiului care nu aparțin.În special, de exemplu 5, evenimentul

Dacă nu există paranteze, atunci se setează următoarea prioritate în executarea operațiilor: adunare, înmulțire, adunare.

Deci, cu ajutorul operațiilor introduse, spațiul evenimentelor elementare este completat cu alte evenimente aleatorii, care formează așa-numitele evenimente. algebra evenimentelor.

Exemplul 6 Trăgătorul a tras trei focuri în țintă. Luați în considerare evenimentele = (trăgătorul a lovit ținta când I-a lovitură), i = 1,2,3.

Să compunem câteva evenimente din aceste evenimente (să nu uităm de cele opuse). Nu oferim comentarii lungi; Credem că cititorul le va conduce independent.

Evenimentul B = (toate trei lovituri au lovit ținta). Mai multe detalii: B = ( Și primul, Și al doilea, Și a treia lovitură a lovit ținta). a folosit unirea Și, prin urmare, evenimentele sunt multiplicate:

În mod similar:

C = (niciunul dintre lovituri nu a lovit ținta)

E = (o lovitură a lovit ținta)

D \u003d (ținta lovită la a doua lovitură) \u003d;

F = (ținta lovită de două lovituri)

H = (ținta va avea cel puțin o lovitură)

După cum știți, la matematică mare importanță are o interpretare geometrică a obiectelor, conceptelor și formulelor analitice.

În teoria probabilității, este convenabil să se vizualizeze (interpretarea geometrică) a experienței, a evenimentelor aleatoare și a operațiilor asupra lor sub forma așa-numitelor Diagramele Euler-Venn. Concluzia este că orice experiență este identificată (interpretată) cu puncte de aruncare într-un anumit pătrat. Punctele sunt aruncate la întâmplare, astfel încât toate punctele au aceeași șansă de a ateriza oriunde în pătrat. Pătratul definește sfera experienței în cauză. Fiecare eveniment din cadrul experienței este identificat cu o anumită zonă a pieței. Cu alte cuvinte, implementarea unui eveniment înseamnă că un punct aleatoriu pătrunde în zona indicată de literă, apoi operațiile asupra evenimentelor sunt ușor de interpretat geometric (Fig. 2)

A:

A + B: oricare

clocirea

În Fig. 2 a), pentru claritate, evenimentul A este evidențiat cu umbrire verticală, evenimentul B - cu umbrire orizontală. Apoi operația de înmulțire corespunde cu hașura dublă - evenimentul corespunde acelei părți a pătratului care este acoperită cu hașura dublă. Mai mult, dacă atunci și sunt numite evenimente incompatibile. În consecință, operația de adăugare corespunde oricărei hașurare - un eveniment înseamnă o parte a pătratului hașurată de orice hașurare - verticală, orizontală și dublă. Figura 2 b) arată evenimentul, partea umbrită a pătratului îi corespunde - tot ceea ce nu este inclus în zona Operațiuni introduse are următoarele proprietăți principale, dintre care unele sunt valabile pentru operațiuni pe numere cu același nume, dar există sunt de asemenea specifice.

10 . comutativitatea înmulțirii;

20 . comutativitatea adunării;

treizeci . asociativitatea înmulțirii;

40 . asociativitatea adunării,

50 . distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea,

60 . distributivitatea adunării în raport cu înmulțirea;

9 0 . legile dualității lui de Morgan,

10 0 .

1 .A .A+ .A+ =A, 1 .A+ . 1 .A+ = , 1 .A+ =

Exemplul 7 Ivan și Peter au convenit să se întâlnească la un interval de timp de T oră, de exemplu, (0, T). În același timp, au convenit că fiecare dintre ei, venind la o întâlnire, să-l aștepte pe celălalt nu mai mult de o oră.

Să dăm acestui exemplu o interpretare geometrică. Să notăm: ora sosirii lui Ivan la întâlnire; ora sosirii la întâlnirea lui Petru. Conform acordului: 0 . Apoi în sistemul de coordonate obținem: = Este ușor de observat că în exemplul nostru spațiul evenimentelor elementare este un pătrat. 1

0 x corespunde părții din pătrat care se află deasupra acestei linii.În mod similar, a doua inegalitate y≤x+ și; și nu funcționează dacă toate elementele nu funcționează, adică .Astfel, a doua lege a dualității lui de Morgan: se realizează atunci când elementele sunt conectate în paralel.

Exemplul de mai sus arată de ce teoria probabilității găsește mare aplicațieîn fizică, în special, în calculele fiabilității dispozitivelor tehnice reale.

Unii programatori, după ce au lucrat în dezvoltarea de aplicații comerciale convenționale, se gândesc să stăpânească învățarea automată și să devină analist de date. Adesea, ei nu înțeleg de ce funcționează anumite metode, iar majoritatea metodelor de învățare automată par a fi magice. De fapt, învățarea automată se bazează pe statistici matematice, iar aceasta, la rândul său, se bazează pe teoria probabilității. Prin urmare, în acest articol vom acorda atenție conceptelor de bază ale teoriei probabilităților: vom atinge definițiile probabilității, distribuției și vom analiza câteva exemple simple.

Poate știți că teoria probabilității este împărțită condiționat în 2 părți. Teoria probabilității discrete studiază fenomenele care pot fi descrise printr-o distribuție cu un număr finit (sau numărabil) Opțiuni comportament (aruncare de zaruri, monede). Teoria probabilității continue studiază fenomenele distribuite pe o mulțime densă, de exemplu, pe un segment sau într-un cerc.

Puteți lua în considerare subiectul teoriei probabilităților exemplu simplu. Imaginează-ți ca un dezvoltator de shooter. O parte integrantă a dezvoltării jocurilor din acest gen este mecanica de fotografiere. Este clar că un shooter în care toate armele trag absolut precis va fi de puțin interes pentru jucători. Prin urmare, este necesar să adăugați răspândire la armă. Dar pur și simplu randomizarea punctelor de lovituri ale armelor nu va permite ajustarea fină, așa că ajustarea echilibrului jocului va fi dificilă. În același timp, folosind variabile aleatoare și distribuțiile acestora, puteți analiza modul în care va funcționa arma cu o anumită răspândire și puteți ajuta la efectuarea ajustărilor necesare.

Spațiul rezultatelor elementare

Să presupunem că dintr-un experiment aleatoriu pe care îl putem repeta de multe ori (de exemplu, aruncarea unei monede), putem extrage unele informații formalizabile (capete sau cozi). Această informație se numește un rezultat elementar și este util să luăm în considerare ansamblul tuturor rezultatelor elementare, adesea notate cu litera Ω (Omega).

Structura acestui spațiu depinde în întregime de natura experimentului. De exemplu, dacă luăm în considerare tragerea la o țintă circulară suficient de mare, spațiul rezultatelor elementare va fi un cerc, pentru comoditate, plasat cu centrul la zero, iar rezultatul va fi un punct în acest cerc.

În plus, ei iau în considerare seturi de rezultate elementare - evenimente (de exemplu, atingerea „top zece” este un cerc concentric de rază mică cu o țintă). În cazul discret, totul este destul de simplu: putem obține orice eveniment, inclusiv sau excluzând rezultate elementare într-un timp finit. În cazul continuu, însă, totul este mult mai complicat: avem nevoie de o familie de mulțimi suficient de bună de luat în considerare, numită algebră, prin analogie cu numere reale simple care pot fi adunate, scăzute, împărțite și înmulțite. Mulțimile dintr-o algebră pot fi intersectate și combinate, iar rezultatul operației va fi în algebră. Aceasta este o proprietate foarte importantă pentru matematica din spatele tuturor acestor concepte. Familia minimală este formată din doar două seturi - setul gol și spațiul rezultatelor elementare.

Măsură și Probabilitate

Probabilitatea este o modalitate de a trage concluzii despre comportamentul obiectelor foarte complexe fără a înțelege cum funcționează acestea. Astfel, probabilitatea este definită ca o funcție a unui eveniment (din acea familie foarte bună de mulțimi), care returnează un număr - o caracteristică a cât de des poate apărea un astfel de eveniment în realitate. Pentru certitudine, matematicienii au fost de acord că acest număr ar trebui să fie între zero și unu. În plus, acestei funcții sunt impuse cerințe: probabilitatea unui eveniment imposibil este zero, probabilitatea întregului set de rezultate este unitate și probabilitatea combinării a două evenimente independente (mulți disjunctive) este egală cu suma probabilităților. . Un alt nume pentru probabilitate este o măsură de probabilitate. Cea mai des folosită măsură Lebesgue, care generalizează conceptele de lungime, suprafață, volum la orice dimensiuni (volum n-dimensional) și astfel este aplicabilă unei clase largi de mulțimi.

Împreună, setul unui set de rezultate elementare, o familie de seturi și o măsură de probabilitate se numește spațiu de probabilitate. Să ne uităm la modul în care putem construi un spațiu de probabilitate pentru exemplul de tragere la țintă.

Luați în considerare să trageți la o țintă rotundă mare cu raza R care nu poate fi ratată. Ca set de evenimente elementare, punem un cerc centrat la originea coordonatelor razei R . Deoarece vom folosi aria (măsura Lebesgue pentru mulțimi bidimensionale) pentru a descrie probabilitatea unui eveniment, vom folosi familia de mulțimi măsurabile (pentru care există această măsură).

Notă De fapt, acesta este un punct tehnic și în sarcini simple procesul de determinare a măsurii și a familiei de seturi nu joacă un rol deosebit. Dar este necesar să înțelegem că aceste două obiecte există, deoarece în multe cărți despre teoria probabilității, teoremele încep cu cuvintele: „ Fie (Ω,Σ,P) un spațiu de probabilitate...».

După cum sa menționat mai sus, probabilitatea întregului spațiu al rezultatelor elementare trebuie să fie egală cu unu. Aria (măsura bidimensională Lebesgue, pe care o vom nota cu λ 2 (A), unde A este evenimentul) cercului, după formula binecunoscută din școală, este π * R 2 . Apoi putem introduce probabilitatea P(A) = λ 2 (A) / (π *R 2) , iar această valoare va fi deja între 0 și 1 pentru orice eveniment A.

Dacă presupunem că lovirea oricărui punct al țintei este la fel de probabilă, căutarea probabilității ca trăgătorul să lovească o anumită zonă a țintei se reduce la găsirea ariei acestui set (deci putem concluziona că probabilitatea ca lovirea unui anumit punct este zero, deoarece aria punctului este zero).

De exemplu, vrem să știm care este probabilitatea ca trăgătorul să lovească „zece” (evenimentul A – trăgătorul a lovit setul potrivit). În modelul nostru, „zece” este reprezentat de un cerc centrat pe zero și cu raza r. Atunci probabilitatea de a cădea în acest cerc este P(A) = λ 2 /(A)π *R 2 = π * r 2 /(π R 2)= (r/R) 2 .

Aceasta este una dintre cele mai simple varietăți de probleme de „probabilitate geometrică” - majoritatea acestor probleme necesită găsirea unei zone.

variabile aleatoare

O variabilă aleatorie este o funcție care convertește rezultatele elementare în numere reale. De exemplu, în problema luată în considerare, putem introduce o variabilă aleatoare ρ(ω) — distanța de la punctul de impact până la centrul țintei. Simplitatea modelului nostru ne permite să specificăm în mod explicit spațiul rezultatelor elementare: Ω = (ω = (x,y) numere astfel încât x 2 +y 2 ≤ R 2 ) . Atunci variabila aleatoare ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 .

Mijloace de abstractizare din spațiul probabilității. Funcția de distribuție și densitatea

Este bine atunci când structura spațiului este bine cunoscută, dar în realitate nu este întotdeauna cazul. Chiar dacă structura spațiului este cunoscută, aceasta poate fi complexă. Pentru a descrie variabile aleatoare, dacă expresia lor este necunoscută, există conceptul de funcție de distribuție, care se notează cu F ξ (x) = P(ξ< x) (нижний индекс ξ здесь означает случайную величину). Т.е. это вероятность множества всех таких элементарных исходов, для которых значение случайной величины ξ на этом событии меньше, чем заданный параметр x .

Funcția de distribuție are mai multe proprietăți:

1. În primul rând, este între 0 și 1.
2. În al doilea rând, nu scade atunci când argumentul său x crește.
3. În al treilea rând, când numărul -x este foarte mare, funcția de distribuție este aproape de 0, iar când x însuși este mare, funcția de distribuție este aproape de 1.

Probabil, sensul acestei construcții nu este foarte clar la prima lectură. Unul dintre proprietăți utile- funcția de distribuție vă permite să căutați probabilitatea ca valoarea să ia o valoare din interval. Deci, P (variabila aleatoare ξ ia valori din intervalul ) = F ξ (b)-F ξ (a) . Pe baza acestei egalități, putem investiga modul în care această valoare se schimbă dacă limitele a și b ale intervalului sunt apropiate.

Fie d = b-a , atunci b = a+d . Și prin urmare, F ξ (b)-F ξ (a) = F ξ (a+d) - F ξ (a) . Pentru valorile mici ale lui d, diferența de mai sus este, de asemenea, mică (dacă distribuția este continuă). Are sens să luăm în considerare relația p ξ (a,d)= (F ξ (a+d) - F ξ (a))/d . Dacă pentru valori suficient de mici ale lui d, acest raport diferă puțin de o constantă p ξ (a) , care nu depinde de d, atunci în acest moment variabila aleatoare are o densitate egală cu p ξ (a).

Notă Cititorii care au întâlnit anterior conceptul de derivată pot observa că p ξ (a) este derivata funcției F ξ (x) în punctul a . În orice caz, puteți studia conceptul de derivat într-un articol dedicat acestui subiect de pe site-ul Mathprofi.

Acum, semnificația funcției de distribuție poate fi definită după cum urmează: derivata ei (densitatea p ξ , pe care am definit-o mai sus) la punctul a descrie cât de des o variabilă aleatoare va cădea într-un interval mic centrat în punctul a (vecinătatea punctului a) comparativ cu cartierele altor puncte . Cu alte cuvinte, cu cât funcția de distribuție crește mai repede, cu atât este mai probabil ca o astfel de valoare să apară într-un experiment aleatoriu.

Să revenim la exemplu. Putem calcula funcția de distribuție pentru o variabilă aleatoare, ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 , care denotă distanța de la centru până la punctul unei lovituri aleatoare asupra țintei. Prin definiție, F ρ (t) = P(ρ(x,y)< t) . т.е. множество {ρ(x,y) < t)} — состоит из таких точек (x,y) , расстояние от которых до нуля меньше, чем t . Мы уже считали вероятность такого события, когда вычисляли вероятность попадания в «десятку» - она равна t 2 /R 2 . Таким образом, Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t) = t 2 /R 2 , для 0

Putem afla densitatea p ρ a acestei variabile aleatoare. Observăm imediat că este zero în afara intervalului, deoarece funcția de distribuție pe acest interval este neschimbată. La sfârșitul acestui interval, densitatea nu este determinată. În interiorul intervalului, acesta poate fi găsit folosind un tabel de derivate (de exemplu, de pe site-ul Mathprofi) și reguli elementare de diferențiere. Derivata lui t2/R2 este 2t/R2. Aceasta înseamnă că am găsit densitatea pe întreaga axă a numerelor reale.

O altă proprietate utilă a densității este probabilitatea ca o funcție să ia o valoare dintr-un interval este calculată folosind integrala densității pe acest interval (vă puteți familiariza cu ce este aceasta în articole despre integrale proprii, improprii, nedefinite de pe site-ul Mathprofi ).

La prima citire, integrala span a funcției f(x) poate fi considerată ca aria unui trapez curbiliniu. Laturile sale sunt un fragment al axei Ox, un decalaj (a axei de coordonate orizontale), segmente verticale care leagă punctele (a,f(a)), (b,f(b)) pe o curbă cu punctele (a, 0), (b,0 ) pe axa x. Ultima latură este un fragment din graficul funcției f de la (a,f(a)) la (b,f(b)) . Putem vorbi despre integrala pe interval (-∞; b] când, pentru valori negative suficient de mari, a, valoarea integralei pe interval se va schimba neglijabil în comparație cu modificarea numărului a. Integrala peste intervalele este definită într-un mod similar)