Căutați cea mai mică valoare a unei funcții. Folosind derivata pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții continue pe un interval

Uneori, în problemele B14 există funcții „proaste” pentru care este greu de găsit derivata. Anterior, acest lucru era doar pe sonde, dar acum aceste sarcini sunt atât de comune încât nu mai pot fi ignorate atunci când se pregătesc pentru acest examen. În acest caz, funcționează și alte trucuri, dintre care unul este monotonitatea. Definiție Funcția f (x) se numește monoton crescătoare pe segment dacă pentru orice puncte x 1 și x 2 ale acestui segment este valabilă următoarele: x 1

Definiție. Funcția f (x) se numește monoton descrescătoare pe segment dacă pentru orice puncte x 1 și x 2 ale acestui segment este valabil: x 1 f (x 2). Cu alte cuvinte, pentru o funcție crescătoare, cu cât x este mai mare, cu atât f(x) este mai mare. Pentru o funcție descrescătoare, opusul este adevărat: cu cât x este mai mare, cu atât f(x) este mai mic.

Exemple. Logaritmul crește monoton dacă baza a > 1 și scade monoton dacă 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0) 1 și scade monoton dacă 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> 1 și scade monoton dacă 0 0. f (x) = log a x (a > 0 ; a 1; x > 0)"> 1, și scade monoton dacă 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)" title="Exemple Logaritmul este monoton crescător dacă baza a > 1 și monoton descrescător dacă 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> title="Exemple. Logaritmul crește monoton dacă baza a > 1 și scade monoton dacă 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> !}

Exemple. Functie exponentiala se comportă similar cu logaritmul: crește pentru a > 1 și scade pentru 0 0: 1 și descrescătoare la 0 0:"> 1 și descrescătoare la 0 0:"> 1 și descrescătoare la 0 0:" title="Exemple. Funcția exponențială se comportă ca un logaritm: crește pentru a > 1 și scade pentru 0 0:"> title="Exemple. Funcția exponențială se comportă similar cu logaritmul: crește pentru a > 1 și scade pentru 0 0:"> !}

0) sau în jos (a 0) sau în jos (a 9 Coordonatele vârfurilor parabolei Cel mai adesea, argumentul funcției este înlocuit cu un trinom pătrat de forma Graficul său este o parabolă standard în care ne interesează ramurile: Ramurile parabolei pot merge în sus (pentru a > 0) sau în jos (a 0) sau cel mai mare (a 0) sau în jos (a 0) sau în jos (a 0) sau cel mai mare (a 0) sau în jos (a 0) sau în jos (a title=" Coordonatele vertexului parabolă) Cel mai adesea, argumentul funcției se înlocuiește cu un trinom pătrat de forma Graficul său este o parabolă standard, în care ne interesează ramurile: Ramurile unei parabole pot merge în sus (pentru a > 0) sau în jos (a

Nu există niciun segment în starea problemei. Prin urmare, nu este nevoie să se calculeze f(a) și f(b). Rămâne să luăm în considerare doar punctele extremum; Dar există un singur astfel de punct - acesta este vârful parabolei x 0, ale cărui coordonate sunt calculate literalmente verbal și fără derivate.

Astfel, soluția problemei este mult simplificată și redusă la doar doi pași: Scrieți ecuația parabolei și găsiți vârful acesteia folosind formula: Aflați valoarea funcției inițiale în acest punct: f (x 0). Dacă niciunul conditii suplimentare nu, acesta ar fi raspunsul.

0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title=" Aflați cea mai mică valoare a funcției: Soluție: Sub rădăcină este funcţie pătratică Graficul acestei funcții este o parabolă cu ramuri în sus, deoarece coeficientul a = 1 > 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" clasa ="link_thumb"> 18 Găsiți cea mai mică valoare a funcției: Soluție: Există o funcție pătratică sub rădăcină.Graficul acestei funcții este o parabolă cu ramuri în sus, deoarece coeficientul a \u003d 1\u003e 0. Partea de sus a parabolei: x 0 \ u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 1) \u003d 6/2 = 3 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 6/(2) 1) = 6/2 = 3"> 0. Partea de sus a parabolei: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="Găsiți cea mai mică valoare a funcției: Soluție: Sub rădăcină este o funcție pătratică. Graficul acestei funcții este o parabolă cu ramuri în sus, deoarece coeficientul a \u003d 1\u003e 0. Partea de sus a parabolei: x 0 \u003d b / ( 2a) \u003d 6 / (2 1) \u003d 6/2 \u003d 3"> title="Găsiți cea mai mică valoare a funcției: Soluție: Există o funcție pătratică sub rădăcină.Graficul acestei funcții este o parabolă cu ramuri în sus, deoarece coeficientul a \u003d 1\u003e 0. Partea de sus a parabolei: x 0 \ u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 1) \u003d 6/2 = 3"> !}

Găsiți cea mai mică valoare a funcției: Soluție Sub logaritm este din nou o funcție pătratică. a = 1 > 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 2/(2) 1) = 2/2 = 1"> 0. Partea de sus a parabolei: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1" title="Găsiți cea mai mică valoare a funcției: Soluție Sub logaritm este din nou o funcție pătratică.Grafic al parabolei cu ramuri în sus, deoarece a \u003d 1\u003e 0. Vârful parabolei: x 0 \u003d b / (2a) \u003d 2 / ( 2 1) \u003d 2/2 \u003d 1"> title="Găsiți cea mai mică valoare a funcției: Soluție Sub logaritm este din nou o funcție pătratică. a = 1 > 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> !}

Găsi cea mai mare valoare funcții: Rezolvare: Exponentul conține o funcție pătratică Să o rescriem în formă normală: Este evident că graficul acestei funcții este o parabolă, se ramifică în jos (a = 1

Consecințele din domeniul funcției Uneori, pentru a rezolva problema B14, nu este suficient să găsim vârful parabolei. Valoarea dorită se poate afla la sfârșitul segmentului și deloc în punctul extremum. Dacă un segment nu este specificat deloc în problemă, ne uităm la zona valorilor admisibile a funcției originale. Și anume:

0 2. Aritmetică Rădăcină pătrată există numai din numere nenegative: 3. Numitorul fracției nu trebuie să fie zero:" title="1. Argumentul logaritmului trebuie să fie pozitiv: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Rădăcina pătrată aritmetică există numai din numere nenegative: 3. Numitorul fracției nu trebuie să fie egal cu zero:" class="link_thumb"> 26 !} 1. Argumentul logaritmului trebuie să fie pozitiv: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Rădăcina pătrată aritmetică există numai din numere nenegative: 3. Numitorul fracției nu trebuie să fie egal cu zero: 0 2. Rădăcina pătrată aritmetică există numai din numere nenegative: 3. Numitorul fracției nu trebuie să fie egal cu zero: „> 0 2. Rădăcina pătrată aritmetică există numai din numere nenegative: 3. Numitorul fracției fracția nu trebuie să fie egală cu zero:"> 0 2. Aritmetică rădăcina pătrată există numai din numere nenegative: 3. Numitorul fracției nu trebuie să fie zero:" title="1. Argumentul logaritmului trebuie să fie pozitiv: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Pătrat aritmetic rădăcina există numai din numere nenegative: 3. Numitorul fracției nu trebuie să fie egal cu zero:"> title="1. Argumentul logaritmului trebuie să fie pozitiv: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Rădăcina pătrată aritmetică există numai din numere nenegative: 3. Numitorul fracției nu trebuie să fie egal cu zero:"> !}

Soluție Rădăcina pătrată este din nou o funcție pătratică. Graficul său este o parabolă, dar ramurile sunt în jos pentru că a = 1
Acum să găsim vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = (2)/(2 · (1)) = 2/(2) = 1 Punctul x 0 = 1 aparține segmentului ODZ și asta este bun. Acum luăm în considerare valoarea funcției în punctul x 0, precum și la sfârșitul ODZ: y (3) \u003d y (1) \u003d 0 Deci, am obținut numerele 2 și 0. Suntem întrebați pentru a găsi cel mai mare număr 2. Răspuns: 2

Vă rugăm să rețineți: inegalitatea este strictă, astfel încât capetele nu aparțin ODZ. În acest fel, logaritmul diferă de rădăcină, unde capetele segmentului ni se potrivesc destul de bine. Căutăm vârful parabolei: x 0 \u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 (1)) \u003d 6 / (2) = 3 Dar din moment ce capetele segmentului nu ne interesează, considerăm valoarea funcției doar în punctul x 0:

Y min = y(3) = log 0,5 (6 ) = = log 0,5 (18 9 5) = log 0,5 4 = 2 Răspuns: -2

În practică, este destul de comun să se folosească derivata pentru a calcula valoarea cea mai mare și cea mai mică a unei funcții. Efectuăm această acțiune atunci când ne dăm seama cum să minimizăm costurile, să creștem profiturile, să calculăm sarcina optimă a producției etc., adică în acele cazuri când este necesar să se determine valoarea optimă a unui parametru. Pentru a rezolva corect astfel de probleme, trebuie să înțelegeți bine care este valoarea cea mai mare și cea mai mică a unei funcții.

Yandex.RTB R-A-339285-1

De obicei definim aceste valori în cadrul unui interval x , care, la rândul său, poate corespunde întregului domeniu de aplicare al funcției sau unei părți a acesteia. Poate fi fie un segment [ a ; b ] , și interval deschis (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b), interval infinit (a ; b), (a ; b ] , [ a ; b ] , [ a ; b), interval infinit (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) sau interval infinit - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

În acest articol, vom descrie modul în care se calculează cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții date explicit cu o variabilă y=f(x) y = f (x).

Definiții de bază

Începem, ca întotdeauna, cu formularea principalelor definiții.

Definiția 1

Cea mai mare valoare a funcției y = f (x) pe un interval x este valoarea m a x y = f (x 0) x ∈ X , care, pentru orice valoare x x ∈ X , x ≠ x 0, face ca inegalitatea f (x) ) ≤ f (x 0) .

Definiția 2

Cea mai mică valoare a funcției y = f (x) pe un interval x este valoarea m i n x ∈ X y = f (x 0) , care, pentru orice valoare x ∈ X , x ≠ x 0, face ca inegalitatea f(X f (x) ≥ f(x0) .

Aceste definiții sunt destul de evidente. Și mai ușor, puteți spune acest lucru: cea mai mare valoare a unei funcții este cea mai mare mare importanță pe un interval cunoscut la abscisă x 0 , iar cea mai mică este cea mai mică valoare acceptată pe același interval la x 0 .

Definiția 3

Punctele staționare sunt astfel de valori ale argumentului funcției la care derivata sa devine 0.

De ce trebuie să știm ce sunt punctele staționare? Pentru a răspunde la această întrebare, trebuie să ne amintim teorema lui Fermat. Din aceasta rezultă că un punct staționar este un punct în care se află extremul unei funcții diferențiabile (adică, minimul sau maximul ei local). În consecință, funcția va lua cea mai mică sau cea mai mare valoare pe un anumit interval exact în unul dintre punctele staționare.

O altă funcție poate lua cea mai mare sau cea mai mică valoare în acele puncte în care funcția în sine este definită, iar derivata sa prima nu există.

Prima întrebare care apare atunci când studiem acest subiect este: în toate cazurile, putem determina valoarea maximă sau minimă a unei funcții pe un interval dat? Nu, nu putem face acest lucru atunci când limitele intervalului dat vor coincide cu limitele domeniului de definiție sau dacă avem de-a face cu un interval infinit. De asemenea, se întâmplă ca o funcție într-un interval dat sau la infinit să ia infinitezimal sau infinit valori mari. În aceste cazuri, nu este posibil să se determine valoarea cea mai mare și/sau cea mai mică.

Aceste momente vor deveni mai înțelese după imaginea din grafice:

Prima figură ne arată funcția care ia cel mai mare și cea mai mică valoare(m a x y şi m i n y) în punctele staţionare situate pe segmentul [ - 6 ; 6].

Să examinăm în detaliu cazul indicat în al doilea grafic. Să schimbăm valoarea segmentului în [ 1 ; 6] și obținem că cea mai mare valoare a funcției va fi atinsă în punctul cu abscisa în limita dreaptă a intervalului, iar cea mai mică - în punctul staționar.

În figura a treia, abscisele punctelor reprezintă punctele de limită ale segmentului [ - 3 ; 2]. Ele corespund celei mai mari și mai mici valori a funcției date.

Acum să ne uităm la a patra imagine. În ea, funcția ia m a x y (cea mai mare valoare) și m i n y (cea mai mică valoare) în punctele staționare din intervalul deschis (- 6 ; 6) .

Dacă luăm intervalul [ 1 ; 6) , atunci putem spune că cea mai mică valoare a funcției de pe ea va fi atinsă într-un punct staționar. Nu vom ști valoarea maximă. Funcția ar putea lua cea mai mare valoare la x egală cu 6 dacă x = 6 aparține intervalului. Acest caz este prezentat în Figura 5.

Pe graficul 6, această funcție capătă cea mai mică valoare în marginea dreaptă a intervalului (- 3 ; 2 ] , și nu putem trage concluzii definitive despre cea mai mare valoare.

În figura 7, vedem că funcția va avea m a x y în punctul staționar, având o abscisă egală cu 1 . Funcția își atinge valoarea minimă la limita intervalului cu partea dreapta. La minus infinit, valorile funcției se vor apropia asimptotic de y = 3 .

Dacă luăm un interval x ∈ 2 ; + ∞ , atunci vom vedea că funcția dată nu va lua asupra ei nici cea mai mică, nici cea mai mare valoare. Dacă x tinde spre 2, atunci valorile funcției vor tinde spre minus infinit, deoarece linia dreaptă x = 2 este o asimptotă verticală. Dacă abscisa tinde spre plus infinit, atunci valorile funcției se vor apropia asimptotic de y = 3. Acesta este cazul prezentat în figura 8.

În acest paragraf, vom oferi o secvență de acțiuni care trebuie efectuate pentru a găsi cea mai mare sau cea mai mică valoare a unei funcții pe un anumit interval.

1. Mai întâi, să găsim domeniul funcției. Să verificăm dacă segmentul specificat în condiție este inclus în el.
2. Acum să calculăm punctele conținute în acest segment la care derivata întâi nu există. Cel mai adesea ele pot fi găsite în funcții al căror argument este scris sub semnul modulului sau în funcții de putere, al cărui exponent este un număr fracțional rațional.
3. În continuare, aflăm care puncte staționare se încadrează într-un segment dat. Pentru a face acest lucru, trebuie să calculați derivata funcției, apoi să o echivalați cu 0 și să rezolvați ecuația rezultată, apoi să alegeți rădăcinile adecvate. Dacă nu obținem un singur punct staționar sau nu se încadrează într-un anumit segment, atunci trecem la pasul următor.
4. Să determinăm ce valori va lua funcția în punctele staționare date (dacă există) sau în acele puncte în care derivata întâi nu există (dacă există), sau calculăm valorile pentru x = a și x = b .
5. 5. Avem o serie de valori ale funcției, dintre care acum trebuie să alegem cea mai mare și cea mai mică. Acestea vor fi cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției pe care trebuie să o găsim.

Să vedem cum să aplicăm corect acest algoritm atunci când rezolvăm probleme.

Exemplul 1

Condiție: este dată funcția y = x 3 + 4 x 2. Determinați valoarea sa cea mai mare și cea mai mică pe segmentele [ 1 ; 4 ] şi [ - 4 ; - 1 ] .

Soluţie:

Să începem prin a găsi domeniul acestei funcții. În acest caz, va fi mulțimea tuturor numerelor reale, cu excepția lui 0. Cu alte cuvinte, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; +∞ . Ambele segmente specificate în condiție vor fi în interiorul zonei de definire.

Acum calculăm derivata funcției conform regulii de diferențiere a unei fracții:

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Am învățat că derivata funcției va exista în toate punctele segmentelor [ 1 ; 4 ] şi [ - 4 ; - 1 ] .

Acum trebuie să determinăm punctele staționare ale funcției. Să facem asta cu ecuația x 3 - 8 x 3 = 0. Are o singură rădăcină reală, care este 2. Va fi un punct staționar al funcției și va cădea în primul segment [ 1 ; 4 ] .

Să calculăm valorile funcției la capetele primului segment și la punctul dat, adică. pentru x = 1, x = 2 și x = 4:

y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y(2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y(4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Am obţinut că cea mai mare valoare a funcţiei m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 se va realiza la x = 1 , iar cel mai mic m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – la x = 2 .

Al doilea segment nu include niciun punct staționar, așa că trebuie să calculăm valorile funcției numai la sfârșitul segmentului dat:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Prin urmare, m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Răspuns: Pentru segmentul [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , pentru segmentul [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Vezi poza:

Înainte de a studia Pe aici, vă sfătuim să repetați cum să calculați corect limita unilaterală și limita la infinit, precum și să învățați metodele de bază pentru a le găsi. Pentru a găsi cea mai mare și/sau cea mai mică valoare a unei funcții pe un interval deschis sau infinit, efectuăm următorii pași în secvență.

1. Mai întâi trebuie să verificați dacă intervalul dat va fi un subset al domeniului funcției date.
2. Să determinăm toate punctele care sunt cuprinse în intervalul necesar și la care derivata întâi nu există. De obicei, ele apar în funcțiile în care argumentul este inclus în semnul modulului și în funcțiile de putere cu un exponent rațional fracțional. Dacă aceste puncte lipsesc, atunci puteți trece la pasul următor.
3. Acum determinăm care puncte staționare se încadrează într-un interval dat. Mai întâi, echivalăm derivata cu 0, rezolvăm ecuația și găsim rădăcini potrivite. Dacă nu avem un singur punct staționar sau nu se încadrează în intervalul specificat, atunci trecem imediat la acțiuni ulterioare. Ele sunt determinate de tipul de interval.

• Dacă intervalul arată ca [ a ; b) , atunci trebuie să calculăm valoarea funcției în punctul x = a și limita unilaterală lim x → b - 0 f (x) .
• Dacă intervalul are forma (a ; b ] , atunci trebuie să calculăm valoarea funcției în punctul x = b și limita unilaterală lim x → a + 0 f (x) .
• Dacă intervalul are forma (a ; b) , atunci trebuie să calculăm limitele unilaterale lim x → b - 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) .
• Dacă intervalul arată ca [ a ; + ∞) , atunci este necesar să se calculeze valoarea în punctul x = a și limita la plus infinit lim x → + ∞ f (x) .
• Dacă intervalul arată ca (- ∞ ; b ] , se calculează valoarea în punctul x = b și limita la minus infinit lim x → - ∞ f (x) .
• Dacă - ∞ ; b , atunci considerăm limita unilaterală lim x → b - 0 f (x) și limita la minus infinit lim x → - ∞ f (x)
• Dacă - ∞ ; + ∞ , atunci considerăm limitele la minus și plus infinit lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. La sfârșit, trebuie să trageți o concluzie pe baza valorilor obținute ale funcției și limitelor. Există multe opțiuni aici. Deci, dacă limita unilaterală este egală cu minus infinit sau plus infinit, atunci este imediat clar că nu se poate spune nimic despre cea mai mică și mai mare valoare a funcției. Mai jos vom lua în considerare un exemplu tipic. Descrieri detaliate te ajută să înțelegi ce este. Dacă este necesar, puteți reveni la figurile 4 - 8 din prima parte a materialului.

Condiție: dată o funcție y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Calculați valoarea sa cea mai mare și cea mai mică în intervalele - ∞ ; - 4 , - ∞ ; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2 ) , [ 1 ; 2 ) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; +∞).

Soluţie

În primul rând, găsim domeniul funcției. Numitorul fracției este un trinom pătrat, care nu trebuie să meargă la 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Am obținut domeniul de aplicare al funcției, căruia îi aparțin toate intervalele specificate în condiție.

Acum să diferențiem funcția și să obținem:

y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " == 3 e 1 x 2 + x - 6 1 "x 2 + x - 6 - 1 x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 (2 x + 1) e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

În consecință, derivatele unei funcții există pe întregul domeniu al definiției acesteia.

Să trecem la găsirea punctelor staționare. Derivata functiei devine 0 la x = - 1 2 . Acesta este un punct staționar care se află în intervalele (- 3 ; 1 ] și (- 3 ; 2) .

Să calculăm valoarea funcției la x = - 4 pentru intervalul (- ∞ ; - 4 ] , precum și limita la minus infinit:

y (- 4) \u003d 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Deoarece 3 e 1 6 - 4 > - 1 , atunci m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4 . Acest lucru nu ne permite să determinăm în mod unic cea mai mică valoare a funcției. Putem doar să concluzionam că există o limită sub - 1, deoarece funcția se apropie asimptotic de această valoare la minus infinit.

O caracteristică a celui de-al doilea interval este că nu are un singur punct staționar și nici o singură limită strictă. Prin urmare, nu putem calcula nici cea mai mare, nici cea mai mică valoare a funcției. Prin definirea limitei la minus infinit și deoarece argumentul tinde spre - 3 în partea stângă, obținem doar intervalul de valori:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Aceasta înseamnă că valorile funcției vor fi localizate în intervalul - 1; +∞

Pentru a afla valoarea maximă a funcției în al treilea interval, determinăm valoarea acesteia în punctul staționar x = - 1 2 dacă x = 1 . De asemenea, trebuie să cunoaștem limita unilaterală pentru cazul în care argumentul tinde spre - 3 pe partea dreaptă:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

S-a dovedit că funcția va lua cea mai mare valoare într-un punct staționar m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. În ceea ce privește cea mai mică valoare, nu o putem determina. știi, este prezența unei limite inferioare la -4.

Pentru intervalul (- 3 ; 2), să luăm rezultatele calculului anterior și să calculăm încă o dată cu ce este egală limita unilaterală atunci când tindem spre 2 din partea stângă:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Prin urmare, m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 , iar cea mai mică valoare nu poate fi determinată, iar valorile funcției sunt mărginite de jos de numărul - 4 .

Pe baza a ceea ce am făcut în cele două calcule anterioare, putem afirma că pe intervalul [ 1 ; 2) funcția va lua cea mai mare valoare la x = 1 și este imposibil să găsiți cea mai mică.

Pe intervalul (2 ; + ∞), funcția nu va atinge nici cea mai mare, nici cea mai mică valoare, adică. va lua valori din intervalul - 1; +∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

După ce am calculat cu ce va fi valoarea funcției la x = 4 , aflăm că m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , iar funcția dată la plus infinit se va apropia asimptotic de dreapta y = - 1 .

Să comparăm ceea ce am obținut în fiecare calcul cu graficul funcției date. În figură, asimptotele sunt afișate prin linii punctate.

Atât am vrut să vorbim despre găsirea celei mai mari și mai mici valori a unei funcții. Acele secvențe de acțiuni pe care le-am dat vă vor ajuta să faceți calculele necesare cât mai rapid și simplu posibil. Dar amintiți-vă că este adesea util să aflați mai întâi la ce intervale va scădea funcția și pe care va crește, după care se pot trage concluzii suplimentare. Astfel, puteți determina mai precis valoarea cea mai mare și cea mai mică a funcției și puteți justifica rezultatele.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Procesul de găsire a celor mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un segment amintește de un zbor fascinant în jurul unui obiect (un grafic al unei funcții) pe un elicopter cu tragere dintr-un tun cu rază lungă de acțiune în anumite puncte și alegând dintre aceste puncte puncte foarte speciale pentru lovituri de control. Punctele sunt selectate într-un anumit mod și în conformitate cu anumite reguli. După ce reguli? Vom vorbi mai departe despre asta.

Dacă funcţia y = f(X) continuu pe segmentul [ A, b] , apoi ajunge pe acest segment cel mai puţin Și cele mai mari valori . Acest lucru se poate întâmpla fie în puncte extremum sau la capetele segmentului. Prin urmare, pentru a găsi cel mai puţin Și cele mai mari valori ale funcției , continuu pe intervalul [ A, b] , trebuie să-i calculați valorile în totalitate puncte criticeși la capetele segmentului, apoi alegeți cel mai mic și cel mai mare dintre ele.

Să fie, de exemplu, să se determine valoarea maximă a funcției f(X) pe segmentul [ A, b] . Pentru a face acest lucru, găsiți toate punctele sale critice situate pe [ A, b] .

punct critic se numeste punctul in care functie definita, si ea derivat fie este zero, fie nu există. Apoi ar trebui să calculați valorile funcției în punctele critice. Și, în sfârșit, ar trebui să comparăm valorile funcției în punctele critice și la capetele segmentului ( f(A) Și f(b) ). Cel mai mare dintre aceste numere va fi cea mai mare valoare a funcției pe interval [A, b] .

Problema găsirii cele mai mici valori ale funcției .

Căutăm împreună cele mai mici și cele mai mari valori ale funcției

Exemplul 1. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment [-1, 2] .

Soluţie. Găsim derivata acestei funcții. Echivalează derivata cu zero () și obține două puncte critice: și . Pentru a găsi cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, este suficient să calculați valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul , deoarece punctul nu aparține segmentului [-1, 2] . Aceste valori ale funcției sunt următoarele: , , . Rezultă că cea mai mică valoare a funcției(marcat cu roșu pe graficul de mai jos), egal cu -7, este atins la capătul din dreapta al segmentului - în punctul , și cel mai mare(de asemenea roșu pe grafic), este egal cu 9, - în punctul critic .

Dacă funcția este continuă într-un anumit interval și acest interval nu este un segment (dar este, de exemplu, un interval; diferența dintre un interval și un segment: punctele limită ale intervalului nu sunt incluse în interval, ci punctele de limită ale segmentului sunt incluse în segment), apoi printre valorile funcției este posibil să nu fie cel mai mic și cel mai mare. Deci, de exemplu, funcția descrisă în figura de mai jos este continuă pe ]-∞, +∞[ și nu are cea mai mare valoare.

Cu toate acestea, pentru orice interval (închis, deschis sau infinit), este valabilă următoarea proprietate a funcțiilor continue.

Exemplul 4. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment [-1, 3] .

Soluţie. Găsim derivata acestei funcții ca derivată a coeficientului:

.

Echivalăm derivata cu zero, ceea ce ne oferă un punct critic: . Aparține intervalului [-1, 3] . Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Să comparăm aceste valori. Concluzie: egal cu -5/13, la punctul și cea mai mare valoare egal cu 1 la punctul .

Continuăm să căutăm împreună cele mai mici și cele mai mari valori ale funcției

Sunt profesori care, pe tema găsirii celor mai mici și mai mari valori ale unei funcții, nu dau elevilor exemple mai complicate decât cele luate în considerare, adică acelea în care funcția este un polinom sau o fracție, numărătorul. iar numitorul cărora sunt polinoame. Dar nu ne vom limita la astfel de exemple, deoarece printre profesori sunt iubitori de a-i face pe elevi să gândească în întregime (tabelul derivatelor). Prin urmare, se vor folosi logaritmul și funcția trigonometrică.

Exemplul 6. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment .

Soluţie. Găsim derivata acestei funcții ca derivat al produsului :

Echivalăm derivata cu zero, ceea ce dă un punct critic: . Aparține segmentului. Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Rezultatul tuturor acțiunilor: funcția își atinge valoarea minimă, egal cu 0, într-un punct și într-un punct și cea mai mare valoare egal cu e² , la punctul .

Exemplul 7. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment .

Soluţie. Găsim derivata acestei funcții:

Echivalează derivata cu zero:

Singurul punct critic aparține segmentului . Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Concluzie: funcția își atinge valoarea minimă, egal cu , la punctul și cea mai mare valoare, egal cu , la punctul .

În problemele extreme aplicate, găsirea celor mai mici (mai mari) valori ale funcției, de regulă, se reduce la găsirea minimului (maximului). Dar nu minimele sau maximele în sine prezintă un interes practic mai mare, ci valorile argumentului la care sunt atinse. La rezolvarea problemelor aplicate, apare o dificultate suplimentară - compilarea funcțiilor care descriu fenomenul sau procesul luat în considerare.

Exemplul 8 Un rezervor cu o capacitate de 4, avand forma unui paralelipiped cu baza patrata si deschis in varf, trebuie sa fie cositorit. Care ar trebui să fie dimensiunile rezervorului, astfel încât să ia cea mai mică cantitate material?

Soluţie. Lăsa X- partea de bază h- inaltimea rezervorului, S- suprafața sa fără acoperire, V- volumul acestuia. Suprafața rezervorului este exprimată prin formula , adică este o funcție a două variabile. A exprima Sîn funcție de o variabilă, folosim faptul că , de unde . Înlocuind expresia găsită hîn formula pentru S:

Să examinăm această funcție pentru un extremum. Este definită și diferențiabilă peste tot în ]0, +∞[ , și

.

Echivalăm derivata cu zero () și găsim punctul critic. În plus, la , derivata nu există, dar această valoare nu este inclusă în domeniul definiției și, prin urmare, nu poate fi un punct extremum. Deci, - singurul punct critic. Să verificăm prezența unui extremum folosind al doilea semn suficient. Să găsim derivata a doua. Când derivata a doua este mai mare decât zero (). Aceasta înseamnă că atunci când funcția atinge un minim . Pentru că asta minim - singurul extrem al acestei funcții, este cea mai mică valoare a acesteia. Deci, partea bazei rezervorului ar trebui să fie egală cu 2 m și înălțimea acestuia.

Exemplul 9 Din paragraf A, situat pe linia de cale ferata, pana la punct CU, la distanță de el l, mărfurile trebuie transportate. Costul transportului unei unități de greutate pe unitate de distanță pe calea ferată este egal cu , iar pe autostradă este egal cu . Până în ce punct M linii calea ferata ar trebui construită o autostradă astfel încât transportul mărfurilor din A V CU a fost cel mai economic AB se presupune că calea ferată este dreaptă)?

mic și drăguț sarcină simplă din categoria celor care servesc drept colac de salvare pentru un elev plutitor. În natură, tărâmul somnoros de la jumătatea lunii iulie, așa că este timpul să vă acomodați cu un laptop pe plajă. Dis de dimineață, o rază de soare de teorie a jucat pentru a se concentra în curând asupra practică, care, în ciuda luminozității sale declarate, conține fragmente de sticlă în nisip. În acest sens, recomand să luați în considerare cu conștiință câteva exemple din această pagină. Pentru solutii sarcini practice trebuie să poată găsiți derivateși înțelegeți materialul articolului Intervale de monotonitate și extreme ale unei funcții.

În primul rând, pe scurt despre principalul lucru. Într-o lecție despre continuitatea functiei Am dat definiția continuității la un punct și a continuității pe un interval. Comportamentul exemplar al unei funcții pe un segment este formulat într-un mod similar. O funcție este continuă pe un segment dacă:

1) este continuu pe intervalul ;
2) continuă într-un punct pe dreapta iar la punct stânga.

Al doilea paragraf se ocupă de așa-numitul continuitate unilaterală funcţionează la un punct. Există mai multe abordări ale definiției sale, dar voi rămâne la linia începută mai devreme:

Funcția este continuă într-un punct pe dreapta, dacă este definită într-un punct dat și limita sa din dreapta coincide cu valoarea funcției într-un punct dat: . Este continuu la punct stânga, dacă este definită într-un punct dat și limita sa din stânga este egală cu valoarea din acel punct:

Imaginați-vă că punctele verzi sunt unghiile pe care este atașată banda magică de cauciuc:

Luați mental linia roșie în mâini. Evident, indiferent cât de mult am întinde graficul în sus și în jos (de-a lungul axei), funcția va rămâne în continuare limitat- un gard viu deasupra, un gard viu dedesubt, iar produsul nostru pășește într-un padoc. Prin urmare, o funcție continuă pe un segment este mărginită pe acesta. În cursul analizei matematice, acest fapt aparent simplu este afirmat și dovedit riguros Prima teoremă a lui Weierstrass.… Mulți oameni sunt enervați că afirmațiile elementare sunt plictisitoare fundamentate în matematică, dar acest lucru are o semnificație importantă. Să presupunem că un anumit locuitor din Evul Mediu Terry a tras graficul în cer dincolo de limitele vizibilității, acesta a fost inserat. Înainte de inventarea telescopului, funcția limitată în spațiu nu era deloc evidentă! Într-adevăr, de unde știi ce ne așteaptă dincolo de orizont? La urma urmei, cândva Pământul era considerat plat, așa că astăzi chiar și teleportarea obișnuită necesită dovezi =)

Conform a doua teoremă Weierstrass, continuu pe segmentfuncția își atinge marginea superioară exactă si a lui marginea de jos exactă .

Numărul este de asemenea numit valoarea maximă a funcției pe segmentși notat cu , iar numărul - valoarea minimă a funcției pe segment marcat .

În cazul nostru:

Notă : în teorie, înregistrările sunt comune .

În linii mari, cea mai mare valoare este situată acolo unde este cel mai mult punct inalt grafică, iar cel mai mic - unde este punctul cel mai de jos.

Important! După cum sa subliniat deja în articolul despre extreme ale funcției, cea mai mare valoare a functieiȘi cea mai mică valoare a funcției – NU E LA FEL, Ce functia maximaȘi funcția minimă. Deci, în acest exemplu, numărul este minimul funcției, dar nu valoarea minimă.

Apropo, ce se întâmplă în afara segmentului? Da, chiar și inundația, în contextul problemei luate în considerare, acest lucru nu ne interesează deloc. Sarcina implică doar găsirea a două numere si asta e!

În plus, soluția este pur analitică, prin urmare, nu e nevoie să desenezi!

Algoritmul se află la suprafață și se sugerează din figura de mai sus:

1) Găsiți valorile funcției în puncte critice, care aparțin acestui segment.

Mai prindeți o bunătate: nu este nevoie să verificați o condiție suficientă pentru un extremum, deoarece, așa cum tocmai am arătat, prezența unui minim sau maxim nu este încă garantat care este valoarea minimă sau maximă. Funcția demonstrativă atinge maximul și, prin voința sorții, același număr este cea mai mare valoare a funcției pe intervalul . Dar, desigur, o astfel de coincidență nu are loc întotdeauna.

Deci, la primul pas, este mai rapid și mai ușor să calculați valorile funcției în punctele critice aparținând segmentului, fără a vă deranja dacă au extreme sau nu.

2) Calculăm valorile funcției la capetele segmentului.

3) Dintre valorile funcției găsite în paragrafele 1 și 2, selectăm cea mai mică și cea mai mare număr mare, notează răspunsul.

Ne așezăm pe malul mării albastre și lovim călcâiele în ape puțin adânci:

Exemplul 1

Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un segment

Soluţie:
1) Calculați valorile funcției în punctele critice aparținând acestui segment:

Să calculăm valoarea funcției în al doilea punct critic:

2) Calculați valorile funcției la capetele segmentului:

3) Rezultate „îndrăznețe” au fost obținute cu exponențiali și logaritmi, ceea ce complică semnificativ compararea acestora. Din acest motiv, ne vom înarma cu un calculator sau Excel și vom calcula valorile aproximative, fără a uita că:

Acum totul este clar.

Răspuns:

Exemplu fracționar-rațional pentru decizie independentă:

Exemplul 6

Găsiți valorile maxime și minime ale unei funcții pe un segment

Cum să găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un segment?

Pentru aceasta urmam binecunoscutul algoritm:

1 . Găsim funcții ODZ.

2 . Găsirea derivatei unei funcții

3 . Echivalează derivata cu zero

4 . Găsim intervalele la care derivata își păstrează semnul, iar din acestea determinăm intervalele de creștere și scădere a funcției:

Dacă pe intervalul I derivata funcției 0" title="f^(prim)(x)>0">, то функция !} crește în acest interval.

Dacă pe intervalul I derivata funcției , atunci funcția scade în acest interval.

5 . Găsim punctele maxime și minime ale funcției.

ÎN funcția punct maxim, derivata își schimbă semnul din „+” în „-”.

ÎN punctul minim al funcțieiderivatul schimbă semnul de la „-” la „+”.

6 . Găsim valoarea funcției la capetele segmentului,

• apoi comparăm valoarea funcției la capetele segmentului și la punctele maxime și alegeți cea mai mare dintre ele dacă trebuie să găsiți cea mai mare valoare a funcției
• sau comparăm valoarea funcției la capetele segmentului și la punctele minime și alegeți cel mai mic dintre ele dacă trebuie să găsiți cea mai mică valoare a funcției

Totuși, în funcție de modul în care funcția se comportă pe interval, acest algoritm poate fi redus semnificativ.

Luați în considerare funcția . Graficul acestei funcții arată astfel:

Să luăm în considerare câteva exemple de rezolvare a problemelor din Open Task Bank pentru

1 . Sarcina B15 (#26695)

Pe tăietură.

1. Funcția este definită pentru toate valorile reale ale lui x

Evident, această ecuație nu are soluții, iar derivata este pozitivă pentru toate valorile lui x. Prin urmare, funcția crește și ia cea mai mare valoare la capătul drept al intervalului, adică la x=0.

Raspuns: 5.

2 . Sarcina B15 (nr. 26702)

Găsiți cea mai mare valoare a unei funcții pe segment.

1.Funcția ODZ title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Derivata este zero la , cu toate acestea, în aceste puncte nu își schimbă semnul:

Prin urmare, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} crește și ia cea mai mare valoare la capătul drept al intervalului, la .

Pentru a clarifica de ce derivata nu își schimbă semnul, transformăm expresia pentru derivată după cum urmează:

Title="y^(prim)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Raspuns: 5.

3 . Sarcina B15 (#26708)

Găsiți cea mai mică valoare a funcției pe intervalul .

1. Funcții ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Să plasăm rădăcinile acestei ecuații pe un cerc trigonometric.

Intervalul conține două numere: și

Să punem semnele. Pentru a face acest lucru, determinăm semnul derivatei în punctul x=0: . La trecerea prin puncte și derivata își schimbă semnul.

Să descriem schimbarea semnelor derivatei funcției pe linia de coordonate:

Evident, punctul este un punct minim (unde derivata își schimbă semnul de la „-” la „+”), iar pentru a găsi cea mai mică valoare a funcției pe interval, trebuie să comparați valorile funcției în punctul minim și la capătul din stânga segmentului, .