Hookesches Zug- und Druckgesetz. Relatives Spannungsdiagramm von Weichstahl

23.06.2020

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Die Gesetze von R. Hooke und S. Poisson

Betrachten wir die in Abb. gezeigten Verformungen des Stabes. 2.2.

Reis. 2.2 Längs- und Querverformungen wenn es gedehnt wird

Bezeichnen wir mit der absoluten Dehnung des Stabes. Im gestreckten Zustand ist dies ein positiver Wert. Durch – absolute Querverformung. Im gestreckten Zustand ist dies ein negativer Wert. Die Vorzeichen von und ändern sich entsprechend während der Kompression.

Beziehung

(Epsilon) oder , (2.2)

namens relative Dehnung. Unter Spannung ist es positiv.

Beziehung

Oder , (2.3)

wird als relative Querdehnung bezeichnet. Bei Dehnung ist es negativ.

R. Hooke entdeckte 1660 ein Gesetz, das besagte: „Wie groß ist die Dehnung, so groß ist die Kraft.“ In der modernen Schrift wird das Gesetz von R. Hooke wie folgt geschrieben:

das heißt, die Spannung ist proportional zur relativen Dehnung. Dabei ist der Elastizitätsmodul erster Art von E. Young eine physikalische Konstante im Rahmen des Gesetzes von R. Hooke. Für Verschiedene Materialien es ist anders. Für Stahl beträgt er beispielsweise 2 · 10 6 kgf/cm 2 (2 · 10 5 MPa), für Holz – 1 · 10 5 kgf/cm 2 (1 · 10 4 MPa), für Gummi – 100 kgf/cm 2 ( 10 MPa) usw.

In Anbetracht dessen erhalten wir a

wo ist die Längskraft am Kraftabschnitt?

– Länge des Leistungsteils;

– Steifigkeit bei Zug und Druck.

Das heißt, die absolute Verformung ist proportional zur auf den Kraftabschnitt wirkenden Längskraft, der Länge dieses Abschnitts und umgekehrt proportional zur Zug-Druck-Steifigkeit.

Bei der Berechnung wird auf die Einwirkung äußerer Lasten zurückgegriffen

wo ist die äußere Längskraft;

– die Länge des Stababschnitts, auf den es einwirkt. Dabei kommt der Grundsatz der Unabhängigkeit der Krafteinwirkung zur Anwendung*).

S. Poisson hat bewiesen, dass das Verhältnis gilt Konstante, das heißt, unterschiedlich für verschiedene Materialien

oder , (2.7)

Wo ist das S. Poisson-Verhältnis? Dies ist im Allgemeinen ein negativer Wert. In Fachbüchern wird sein Wert mit „modulo“ angegeben. Für Stahl beträgt er beispielsweise 0,25...0,33, für Gusseisen 0,23...0,27, für Gummi 0,5 und für Kork 0. Bei Holz kann er jedoch auch mehr als 0,5 betragen.

Experimentelle Studie Verformungsprozesse und

Zerstörung von gestreckten und komprimierte Stangen

Der russische Wissenschaftler V.V. Kirpichev bewies, dass die Verformungen geometrisch ähnlicher Proben ähnlich sind, wenn die auf sie einwirkenden Kräfte ähnlich wirken, und dass man anhand der Testergebnisse einer kleinen Probe die mechanischen Eigenschaften des Materials beurteilen kann. In diesem Fall wird natürlich der Skalenfaktor berücksichtigt, für den ein experimentell ermittelter Skalenfaktor eingeführt wird.

Zugfestigkeitstabelle für Weichstahl

An Zugmaschinen werden Versuche mit gleichzeitiger Aufzeichnung des Bruchdiagramms in den Koordinaten – Kraft, – absolute Verformung durchgeführt (Abb. 2.3, a). Anschließend wird das Experiment neu berechnet, um ein bedingtes Diagramm in Koordinaten zu erstellen (Abb. 2.3, b).

Aus dem Diagramm (Abb. 2.3, a) ist Folgendes ersichtlich:

– Das Hookesche Gesetz gilt bis zu diesem Punkt;

– von Punkt zu Punkt bleiben die Verformungen elastisch, aber das Hookesche Gesetz gilt nicht mehr;

– Von Punkt zu Punkt nehmen die Verformungen zu, ohne dass sich die Belastung erhöht. Dabei wird das Zementgerüst aus Ferritkörnern des Metalls zerstört und die Belastung auf diese Körner übertragen. Chernov-Luders-Scherlinien erscheinen (in einem Winkel von 45° zur Probenachse);

– von Punkt zu Punkt – die Stufe der Sekundärhärtung des Metalls. An dem Punkt, an dem die Belastung ihr Maximum erreicht, kommt es zu einer Verengung im geschwächten Abschnitt der Probe – dem „Hals“;

– an der Stelle – wird die Probe zerstört.

Reis. 2.3 Diagramme des Stahlbruchs unter Zug und Druck

Mithilfe der Diagramme können Sie die folgenden wichtigsten mechanischen Eigenschaften von Stahl ermitteln:

– Grenze der Verhältnismäßigkeit – höchste Spannung, bis zu dem das Hookesche Gesetz gültig ist (2100...2200 kgf/cm 2 oder 210...220 MPa);

– Elastizitätsgrenze – die höchste Spannung, bei der Verformungen noch elastisch bleiben (2300 kgf/cm 2 oder 230 MPa);

– Streckgrenze – Spannung, bei der die Verformungen zunehmen, ohne die Belastung zu erhöhen (2400 kgf/cm 2 oder 240 MPa);

- Zugfestigkeit – Spannung, die der größten Belastung entspricht, der die Probe während des Experiments standgehalten hat (3800...4700 kgf/cm 2 oder 380...470 MPa);

Das Verhältnis der absoluten Dehnung eines Stabes zu seiner ursprünglichen Länge wird relative Dehnung (- Epsilon) oder Längsdeformation genannt. Die Längsdehnung ist eine dimensionslose Größe. Dimensionslose Verformungsformel:

Bei Zug gilt die Längsdehnung als positiv, bei Druck als negativ.
Durch die Verformung verändern sich auch die Querabmessungen des Stabes: Bei Dehnung nehmen sie ab, bei Stauchung vergrößern sie sich. Wenn das Material isotrop ist, sind seine Querverformungen gleich:
.
Es wurde experimentell festgestellt, dass bei Zug (Druck) im Rahmen elastischer Verformungen das Verhältnis von Quer- zu Längsverformung für ein gegebenes Material ein konstanter Wert ist. Der Modul des Verhältnisses von Quer- zu Längsdehnung, Poissonzahl oder Querdehnungsverhältnis genannt, wird nach folgender Formel berechnet:

Für verschiedene Materialien variiert die Poissonzahl innerhalb bestimmter Grenzen. Zum Beispiel für Kork, für Gummi, für Stahl, für Gold.

Hookes Gesetz
Die elastische Kraft, die in einem Körper bei seiner Verformung entsteht, ist direkt proportional zur Größe dieser Verformung
Für einen dünnen Zugstab hat das Hookesche Gesetz die Form:

Hierbei handelt es sich um die Kraft, mit der die Stange gedehnt (komprimiert) wird, um die absolute Dehnung (Kompression) der Stange und um den Elastizitätskoeffizienten (oder Steifigkeitskoeffizienten).
Der Elastizitätskoeffizient hängt sowohl von den Materialeigenschaften als auch von den Abmessungen des Stabes ab. Es ist möglich, die Abhängigkeit von den Abmessungen des Stabes (Querschnittsfläche und Länge) explizit zu isolieren, indem man den Elastizitätskoeffizienten als schreibt

Die Größe wird als Elastizitätsmodul erster Art oder Elastizitätsmodul bezeichnet und ist eine mechanische Eigenschaft des Materials.
Wenn Sie die relative Dehnung eingeben

Und die Normalspannung im Querschnitt

Dann wird das Hookesche Gesetz in relativen Einheiten geschrieben als

In dieser Form gilt es für beliebige kleine Materialmengen.
Auch bei der Berechnung gerader Stäbe wird die Notation des Hookeschen Gesetzes in relativer Form verwendet

Elastizitätsmodul
Elastizitätsmodul (E-Modul) - physikalische Größe, charakterisiert die Eigenschaften eines Materials, Zug/Druck während der elastischen Verformung standzuhalten.
Der Elastizitätsmodul wird berechnet auf die folgende Weise:

Wo:
E - Elastizitätsmodul,
F - Stärke,
S ist die Fläche, über die die Kraft verteilt wird,
l ist die Länge des verformbaren Stabes,
x ist der Modul der Längenänderung des Stabes infolge elastischer Verformung (gemessen in den gleichen Einheiten wie die Länge l).
Mithilfe des Elastizitätsmoduls wird die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Longitudinalwelle in einem dünnen Stab berechnet:

Wo ist die Dichte des Stoffes?
Poissonzahl
Poissonzahl (bezeichnet als oder) - Absolutwert das Verhältnis der relativen Querverformung zur Längsverformung einer Materialprobe. Dieser Koeffizient hängt nicht von der Körpergröße ab, sondern von der Beschaffenheit des Materials, aus dem die Probe besteht.
Die gleichung
,
Wo
- Poissonzahl;
- Verformung in Querrichtung (negativ bei axialer Spannung, positiv bei axialer Kompression);
- Längsverformung (positiv bei axialer Spannung, negativ bei axialer Kompression).

Für verschiedene Materialien variiert die Poissonzahl innerhalb bestimmter Grenzen. Zum Beispiel für Kork, für Gummi, für Stahl, für Gold.

Die Größe wird als Elastizitätsmodul erster Art oder Elastizitätsmodul bezeichnet und ist eine mechanische Eigenschaft des Materials.
Wenn Sie die relative Dehnung eingeben

Und die Normalspannung im Querschnitt

Dann wird das Hookesche Gesetz in relativen Einheiten geschrieben als

In dieser Form gilt es für beliebige kleine Materialmengen.
Auch bei der Berechnung gerader Stäbe wird die Notation des Hookeschen Gesetzes in relativer Form verwendet

Elastizitätsmodul
Der Elastizitätsmodul (E-Modul) ist eine physikalische Größe, die die Eigenschaften eines Materials charakterisiert, um Zug/Druck bei elastischer Verformung standzuhalten.
Der Elastizitätsmodul wird wie folgt berechnet:

Wo ist die Dichte des Stoffes?
Poissonzahl
Die Poissonzahl (bezeichnet als oder) ist der absolute Wert des Verhältnisses der relativen Querverformung zur Längsverformung einer Materialprobe. Dieser Koeffizient hängt nicht von der Körpergröße ab, sondern von der Beschaffenheit des Materials, aus dem die Probe besteht.
Die gleichung
,
Wo
- Poissonzahl;
- Verformung in Querrichtung (negativ bei axialer Spannung, positiv bei axialer Kompression);
- Längsverformung (positiv bei axialer Spannung, negativ bei axialer Kompression).

Wenn Zugkräfte entlang der Achse des Balkens wirken, nimmt seine Länge zu und seine Querabmessungen ab. Wenn Druckkräfte wirken, tritt das gegenteilige Phänomen auf. In Abb. Abbildung 6 zeigt einen Balken, der durch zwei Kräfte P gedehnt wird. Infolge der Spannung verlängerte sich der Balken um den Betrag Δ l, Was heisst absolute Dehnung, und wir bekommen absolute Querkontraktion Δа .

Man nennt das Verhältnis der absoluten Dehnung und Verkürzung zur ursprünglichen Länge bzw. Breite des Balkens relative Verformung. In diesem Fall spricht man von der relativen Verformung Längsverformung, A - relative Querverformung. Man nennt das Verhältnis der relativen Querdehnung zur relativen Längsdehnung Poissonzahl: (3.1)

Die Poissonzahl für jedes Material als elastische Konstante wird experimentell bestimmt und liegt innerhalb der Grenzen: ; für Stahl.

Im Rahmen elastischer Verformungen wurde festgestellt, dass die Normalspannung direkt proportional zur relativen Längsverformung ist. Diese Abhängigkeit heißt Hookesches Gesetz:

, (3.2)

Wo E- Proportionalitätskoeffizient, genannt Modul der normalen Elastizität.

Spannungen und Dehnungen bei Zug und Druck stehen in einem linearen Zusammenhang zueinander, der als bezeichnet wird Hookes Gesetz , benannt nach dem englischen Physiker R. Hooke (1653-1703), der dieses Gesetz begründete.
Das Hookesche Gesetz lässt sich wie folgt formulieren: Normalspannung ist direkt proportional zur relativen Dehnung oder Verkürzung .

Mathematisch lässt sich diese Abhängigkeit wie folgt schreiben:

σ = Eε.

Hier E – Proportionalitätskoeffizient, der die Steifigkeit des Holzmaterials charakterisiert, d. h. seine Fähigkeit, Verformungen zu widerstehen; er heißt Längselastizitätsmodul , oder Elastizitätsmodul erster Art .
Der Elastizitätsmodul wird wie die Spannung ausgedrückt in Pascal (Pa) .

Werte E für verschiedene Materialien werden experimentell ermittelt, deren Werte sind den entsprechenden Nachschlagewerken zu entnehmen.
Also für Stahl E = (1,96...2,16) x 105 MPa, für Kupfer E = (1,00...1,30) x 105 MPa usw.

Es ist zu beachten, dass das Hookesche Gesetz nur innerhalb bestimmter Belastungsgrenzen gültig ist.
Wenn wir die zuvor erhaltenen Werte der relativen Dehnung und Spannung in die Formel des Hookeschen Gesetzes einsetzen: ε = Δl/l ,σ = N / A , dann können Sie die folgende Abhängigkeit erhalten:

Δl = N l / (E A).

Produkt aus Elastizitätsmodul und Querschnittsfläche E × A , im Nenner stehend, wird als Abschnittssteifigkeit bei Zug und Druck bezeichnet; es charakterisiert sowohl die physikalischen und mechanischen Eigenschaften des Balkenmaterials als auch die geometrischen Abmessungen des Querschnitts dieses Balkens.

Die obige Formel kann wie folgt gelesen werden: Die absolute Dehnung oder Verkürzung eines Balkens ist direkt proportional zur Längskraft und Länge des Balkens und umgekehrt proportional zur Steifigkeit des Balkenquerschnitts.
Ausdruck E A / l angerufen Steifigkeit des Balkens bei Zug und Druck .

Die obigen Formeln des Hookeschen Gesetzes gelten nur für Balken und deren Abschnitte mit konstantem Querschnitt, aus demselben Material und mit konstanter Kraft. Bei einem Balken mit mehreren Abschnitten, die sich in Material, Querschnittsabmessungen und Längskraft unterscheiden, wird die Längenänderung des gesamten Balkens als algebraische Summe der Verlängerung oder Verkürzung einzelner Abschnitte bestimmt:

Δl = Σ (Δl i)

Verformung

Verformung(Englisch) Verformung) ist eine Veränderung der Form und Größe eines Körpers (oder eines Körperteils) unter dem Einfluss äußerer Kräfte, mit Änderungen der Temperatur, der Luftfeuchtigkeit, Phasenumwandlungen und anderen Einflüssen, die eine Veränderung der Position von Körperpartikeln bewirken. Wenn die Spannung zunimmt, kann die Verformung zum Bruch führen. Die Fähigkeit von Materialien, Verformung und Zerstörung unter dem Einfluss von zu widerstehen verschiedene Arten Belastungen werden charakterisiert mechanische Eigenschaften diese Materialien.

Auf das Erscheinen dieses oder jenes Art der Verformung Die Art der Belastungen, denen der Körper ausgesetzt ist, hat einen großen Einfluss. Allein Verformungsprozesse sind mit der vorherrschenden Wirkung der tangentialen Spannungskomponente verbunden, andere mit der Wirkung ihrer normalen Komponente.

Arten der Verformung

Je nach Art der auf den Körper ausgeübten Belastung Arten der Verformung wie folgt aufgeteilt:

Zugbelastung;
Kompressionsbelastung;
Scherverformung (oder Scherverformung);
Torsionsverformung;
Biegeverformung.

ZU die einfachsten Verformungsarten umfassen: Zugverformung, Druckverformung, Scherverformung. Außerdem werden folgende Verformungsarten unterschieden: Verformung durch allseitigen Druck, Torsion, Biegung, wobei es sich um verschiedene Kombinationen der einfachsten Verformungsarten (Scherung, Kompression, Zug) handelt, da die auf einen Körper ausgeübte Kraft üblicherweise einer Verformung ausgesetzt ist nicht senkrecht zu seiner Oberfläche, sondern in einem Winkel gerichtet, was sowohl Normal- als auch Schubspannungen verursacht. Untersuchung von Verformungsarten Beteiligt sind Wissenschaften wie Festkörperphysik, Materialwissenschaften und Kristallographie.

In Festkörpern, insbesondere Metallen, gibt es sie zwei Haupttypen von Verformungen- elastische und plastische Verformung, physikalische Einheit die unterschiedlich sind.

Scherung ist eine Form der Verformung, bei der in Querschnitten ausschließlich Scherkräfte auftreten.. Ein solcher Spannungszustand entspricht der Einwirkung zweier gleicher, entgegengesetzt gerichteter und unendlich nahe beieinander liegender Stangen Scherkräfte(Abb. 2.13, a, b), was eine Scherung entlang einer Ebene zwischen den Kräften verursacht.

Reis. 2.13. Dehnungs- und Schubspannung

Der Scherung geht eine Verformung – Verzerrung – voraus rechter Winkel zwischen zwei zueinander senkrechten Geraden. Gleichzeitig an den Kanten des ausgewählten Elements (Abb. 2.13, V) Tangentialspannungen entstehen. Der Betrag der Verschiebung der Flächen wird aufgerufen absolute Verschiebung. Der Wert der absoluten Verschiebung hängt von der Entfernung ab H zwischen den Wirkungsebenen der Kräfte F. Die Scherverformung wird vollständiger durch den Winkel charakterisiert, um den sich die rechten Winkel des Elements ändern – relative Verschiebung:

. (2.27)

Mit der zuvor besprochenen Schnittmethode lässt sich leicht überprüfen, dass an den Seitenflächen des ausgewählten Elements nur Scherkräfte auftreten Q=F, das sind die resultierenden Tangentialspannungen:

Dabei ist zu berücksichtigen, dass die Schubspannungen gleichmäßig verteilt sind Querschnitt A, ihr Wert wird durch die Beziehung bestimmt:

. (2.29)

Es wurde experimentell festgestellt, dass innerhalb der Grenzen elastischer Verformungen die Größe der Tangentialspannungen proportional zur relativen Scherung ist (Hookes Gesetz unter Scherung):

Wo G– Elastizitätsmodul unter Scherung (E-Modul zweiter Art).

Es besteht ein Zusammenhang zwischen Längselastizität und Schubmoduln

Wo ist die Poissonzahl?

Ungefähre Werte des Scherelastizitätsmoduls, MPa: Stahl – 0,8·10 5 ; Gusseisen - 0,45 10 5; Kupfer – 0,4·10 4; Aluminium – 0,26·10 5; Reifen – 4.

2.4.1.1. Berechnungen der Scherfestigkeit

Reine Scherung in realen Strukturen ist äußerst schwierig umzusetzen, da durch die Verformung der verbundenen Elemente bereits bei relativ geringem Abstand der Kraftwirkungsebenen eine zusätzliche Biegung des Stabes auftritt. Allerdings sind in einer Reihe von Bauwerken die Normalspannungen in den Abschnitten gering und können vernachlässigt werden. In diesem Fall hat die Bedingung für die Festigkeitszuverlässigkeit des Teils die Form:

, (2.31)

Wo liegen die zulässigen Schubspannungen, die üblicherweise in Abhängigkeit vom Wert der zulässigen Zugspannung zugeordnet werden:

– für Kunststoffe unter statischer Belastung =(0,5...0,6) ;

– für fragile – =(0,7 ... 1,0) .

2.4.1.2. Berechnungen der Schubsteifigkeit

Es geht ihnen darum, elastische Verformungen zu begrenzen. Durch gemeinsames Lösen der Gleichungen (2.27)–(2.30) wird die Größe der absoluten Verschiebung bestimmt:

, (2.32)

Wo ist die Schubsteifigkeit?

Drehung

2.4.2.1. Drehmomentdiagramme erstellen

2.4.2.2. Torsionsverformung

2.4.2.4. Geometrische Eigenschaften von Abschnitten

2.4.2.5. Berechnungen der Festigkeit und Torsionssteifigkeit

Torsion ist eine Form der Verformung im Einzelfall Leistungsfaktor– Drehmoment.

Eine Torsionsverformung entsteht, wenn ein Balken mit Kräftepaaren belastet wird, deren Wirkungsebenen senkrecht zu seiner Längsachse liegen.

2.4.2.1. Drehmomentdiagramme erstellen

Um die Spannungen und Verformungen des Balkens zu bestimmen, wird ein Drehmomentdiagramm erstellt, das die Verteilung der Drehmomente über die Länge des Balkens zeigt. Wenn man die Schnittmethode anwendet und jeden Teil im Gleichgewicht betrachtet, wird deutlich, dass das Moment der inneren elastischen Kräfte (Drehmoment) die Wirkung äußerer (rotierender) Momente auf den betrachteten Teil des Balkens ausgleichen muss. Es ist üblich, ein Moment als positiv zu betrachten, wenn der Beobachter den betrachteten Abschnitt von der Seite der äußeren Normalen betrachtet und ein Drehmoment sieht T, gegen den Uhrzeigersinn gerichtet. In der Gegenrichtung wird dem Moment ein Minuszeichen zugewiesen.

Beispielsweise hat die Gleichgewichtsbedingung für den linken Teil des Balkens die Form (Abb. 2.14):

– im Querschnitt A-A:

– im Querschnitt B-B:

Die Grenzen der Abschnitte beim Aufbau des Diagramms sind die Wirkungsebenen der Drehmomente.

Reis. 2.14. Berechnungsschema Balken (Welle) in Torsion

2.4.2.2. Torsionsverformung

Wenn eingeschaltet Seitenfläche Tragen Sie ein Netz auf einen Stab mit rundem Querschnitt auf (Abb. 2.15, A) aus äquidistanten Kreisen und Generatoren und wende Kräftepaare mit Momenten auf die freien Enden an T in Ebenen senkrecht zur Stabachse, dann mit geringer Verformung (Abb. 2.15, B) kann gefunden werden:

Reis. 2.15. Torsionsverformungsmuster

· die Erzeugenden des Zylinders verwandeln sich in Schraubenlinien großer Schritt;

· Die durch das Gitter gebildeten Quadrate verwandeln sich in Rauten, d. h. es kommt zu einer Querschnittsverschiebung;

· Die vor der Verformung runden und flachen Abschnitte behalten nach der Verformung ihre Form;

· der Abstand zwischen den Querschnitten ändert sich praktisch nicht;

· Ein Abschnitt dreht sich relativ zu einem anderen um einen bestimmten Winkel.

Basierend auf diesen Beobachtungen basiert die Balkentorsionstheorie auf folgenden Annahmen:

· Querschnitte des Trägers, die vor der Verformung flach und normal zur Achse waren, bleiben nach der Verformung flach und normal zur Achse;

Gleich beabstandete Querschnitte drehen sich relativ zueinander um gleiche Winkel;

· die Querschnittsradien verbiegen sich bei der Verformung nicht;

· Im Querschnitt treten ausschließlich Schubspannungen auf. Normale Spannungen klein. Die Länge des Trägers kann als unverändert betrachtet werden;

· Das Material des Balkens gehorcht bei der Verformung dem Hookeschen Schergesetz: .

Gemäß diesen Hypothesen wird die Torsion eines Stabes mit kreisförmigem Querschnitt als Ergebnis von Scherungen dargestellt, die durch die gegenseitige Drehung der Abschnitte verursacht werden.

Auf einem Stab mit kreisförmigem Querschnitt und Radius R, einseitig abgedichtet und mit Drehmoment belastet T am anderen Ende (Abb. 2.16, A), bezeichnen wir die Erzeugende auf der Mantelfläche ANZEIGE, die unter dem Einfluss des Augenblicks die Position einnehmen wird 1 n. Chr. Auf Distanz Z Wählen Sie aus der Einbettung ein Element mit Länge aus dZ. Durch die Torsion dreht sich das linke Ende dieses Elements um den Winkel , und das rechte Ende um den Winkel (). Prägend Sonne Element wird Position einnehmen B 1 C 1, um einen Winkel von der ursprünglichen Position abweichend. Aufgrund der Kleinheit dieses Winkels

Das Verhältnis stellt den Verdrehungswinkel pro Längeneinheit des Stabes dar und wird aufgerufen relativer Verdrehungswinkel. Dann

Reis. 2.16. Berechnungsschema zur Ermittlung von Spannungen
bei Torsion eines Stabes mit kreisförmigem Querschnitt

Unter Berücksichtigung von (2.33) kann das Hookesche Torsionsgesetz durch den Ausdruck beschrieben werden:

. (2.34)

Aufgrund der Hypothese, dass sich die Radien kreisförmiger Querschnitte nicht verbiegen, treten tangentiale Schubspannungen in der Nähe jedes vom Mittelpunkt entfernten Punktes des Körpers auf (Abb. 2.16, B), sind gleich dem Produkt

diese. proportional zu seinem Abstand zur Achse.

Der Wert des relativen Verdrehwinkels nach Formel (2.35) lässt sich aus der Bedingung ermitteln, dass die Elementarumfangskraft () auf eine Elementarfläche der Größe wirkt dA, im Abstand von der Achse des Balkens gelegen, erzeugt ein Elementarmoment relativ zur Achse (Abb. 2.16, B):

Die Summe der über den gesamten Querschnitt wirkenden Elementarmomente A, gleich dem Drehmoment M Z. Vorausgesetzt, dass:

Das Integral ist eine rein geometrische Eigenschaft und heißt polares Trägheitsmoment des Abschnitts.