Finden Sie die Fläche des Trapezes entlang der Seiten. So finden Sie die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes

Was ist ein gleichschenkliges Trapez? Dies ist eine geometrische Figur, deren gegenüberliegende, nicht parallele Seiten gleich sind. Es gibt einige verschiedene Formeln um die Fläche eines Trapezes zu finden mit unterschiedliche Bedingungen, die in den Aufgaben angegeben sind. Das heißt, die Fläche lässt sich ermitteln, wenn Höhe, Seiten, Winkel, Diagonalen usw. angegeben werden. Es ist auch unmöglich, nicht zu erwähnen, dass es für gleichschenklige Trapeze einige „Ausnahmen“ gibt, dank derer die Flächensuche und die Formel selbst erheblich vereinfacht werden. Nachfolgend werden beschrieben detaillierte Lösungen jeweils mit Beispielen.

Notwendige Eigenschaften zum Ermitteln der Fläche eines gleichschenkligen Trapezes

Wir haben bereits herausgefunden, dass eine geometrische Figur, die entgegengesetzte, nicht parallele, sondern gleiche Seiten hat, ein Trapez und ein gleichschenkliges ist. Es gibt Sonderfälle, in denen ein Trapez als gleichschenklig betrachtet wird.

• Dies sind die Bedingungen für Winkelgleichheit. Also ein zwingender Punkt: Die Winkel an der Basis (siehe Bild unten) müssen gleich sein. In unserem Fall ist Winkel BAD = Winkel CDA und Winkel ABC = Winkel BCD
• Zweite wichtige Regel– In einem solchen Trapez müssen die Diagonalen gleich sein. Daher ist AC = BD.
• Dritter Aspekt: entgegengesetzte Winkel Trapeze sollten sich zu 180 Grad addieren. Dies bedeutet, dass Winkel ABC + Winkel CDA = 180 Grad. Das Gleiche gilt für die Winkel BCD und BAD.
• Viertens: Wenn ein Trapez die Beschreibung eines Kreises um sich herum ermöglicht, dann ist es gleichschenklig.

So finden Sie die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes – Formeln und ihre Beschreibungen

• S = (a+b)h/2 ist die gebräuchlichste Formel zum Ermitteln der Fläche, wo A – untere Basis, B ist die obere Basis und h ist die Höhe.

• Wenn die Höhe unbekannt ist, können Sie sie mit einer ähnlichen Formel suchen: h = c*sin(x), wobei c entweder AB oder CD ist. sin(x) ist der Sinus des Winkels an einer beliebigen Basis, d. h. Winkel DAB = Winkel CDA = x. Letztlich sieht die Formel so aus: S = (a+b)*c*sin(x)/2.
• Die Höhe kann auch mit dieser Formel ermittelt werden:

• Die endgültige Formel sieht so aus:

• Die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes lässt sich durch die Mittellinie und die Höhe ermitteln. Die Formel lautet: S = mh.

Betrachten wir den Zustand, wenn ein Kreis in ein Trapez eingeschrieben ist.

In dem auf dem Bild gezeigten Fall

QN = D = H – der Durchmesser des Kreises und gleichzeitig die Höhe des Trapezes;

LO, ON, OQ = R – Radien des Kreises;

DC = a – obere Basis;

AB = b – untere Basis;

DAB, ABC, BCD, CDA – Alpha, Beta – Winkel der Basen des Trapezes.

In einem ähnlichen Fall kann die Fläche mithilfe der folgenden Formeln ermittelt werden:

• Versuchen wir nun, die Fläche durch die Diagonalen und die Winkel zwischen ihnen zu ermitteln.

In der Abbildung bezeichnen wir AC, DB – Diagonalen – d. Winkel COB, Geburtsdatum – Alpha; DOC, AOB – Beta. Formel für die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes unter Verwendung der Diagonalen und des Winkels zwischen ihnen, ( S ) Ist:

In der Mathematik sind verschiedene Arten von Vierecken bekannt: Quadrat, Rechteck, Raute, Parallelogramm. Darunter ist ein Trapez – eine Art konvexes Viereck, bei dem zwei Seiten parallel sind und die anderen beiden nicht. Die parallelen gegenüberliegenden Seiten werden als Basen und die anderen beiden als seitliche Seiten des Trapezes bezeichnet. Das Segment, das die Mittelpunkte der Seiten verbindet, wird Mittellinie genannt. Es gibt verschiedene Arten von Trapezen: gleichschenklig, rechteckig, gebogen. Für jeden Trapeztyp gibt es Formeln zur Flächenermittlung.

Bereich des Trapezes

Um die Fläche eines Trapezes zu ermitteln, müssen Sie die Länge seiner Grundflächen und die Höhe kennen. Die Höhe eines Trapezes ist eine Strecke senkrecht zu den Grundflächen. Die obere Basis sei a, die untere Basis sei b und die Höhe sei h. Dann können Sie die Fläche S mit der Formel berechnen:

S = ½ * (a+b) * h

diese. Nehmen Sie die Hälfte der Summe der Basen multipliziert mit der Höhe.

Es wird auch möglich sein, die Fläche des Trapezes zu berechnen, wenn Höhe und Mittellinie bekannt sind. Bezeichnen wir die Mittellinie - m. Dann

Lösen wir ein komplizierteres Problem: Die Längen der vier Seiten des Trapezes sind bekannt – a, b, c, d. Dann wird die Fläche mit der Formel ermittelt:

Wenn die Längen der Diagonalen und der Winkel zwischen ihnen bekannt sind, wird die Fläche wie folgt durchsucht:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

wobei d mit den Indizes 1 und 2 Diagonalen sind. In dieser Formel geht der Sinus des Winkels in die Berechnung ein.

Unter Berücksichtigung der bekannten Längen der Grundflächen a und b sowie zweier Winkel an der unteren Grundfläche wird die Fläche wie folgt berechnet:

S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))

Fläche eines gleichschenkligen Trapezes

Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Sonderfall eines Trapezes. Der Unterschied besteht darin, dass ein solches Trapez ein konvexes Viereck ist, dessen Symmetrieachse durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Seiten verläuft. Seine Seiten sind gleich.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes zu ermitteln.

• Durch die Länge von drei Seiten. In diesem Fall stimmen die Längen der Seiten überein, daher werden sie durch einen Wert bezeichnet – c, und a und b – die Längen der Basen:

• Wenn die Länge der oberen Basis, die Seite und der Winkel an der unteren Basis bekannt sind, wird die Fläche wie folgt berechnet:

S = c * sin α * (a + c * cos α)

wobei a die obere Basis und c die Seite ist.

• Wenn anstelle der oberen Basis die Länge der unteren Basis bekannt ist - b, wird die Fläche nach folgender Formel berechnet:

S = c * sin α * (b – c * cos α)

• Wenn zwei Basen und der Winkel an der unteren Basis bekannt sind, wird die Fläche durch den Tangens des Winkels berechnet:

S = ½ * (b2 – a2) * tan α

• Die Fläche wird auch durch die Diagonalen und den Winkel zwischen ihnen berechnet. In diesem Fall sind die Diagonalen gleich lang, daher bezeichnen wir jede mit dem Buchstaben d ohne Indizes:

S = ½ * d2 * sin α

• Berechnen wir die Fläche des Trapezes, indem wir die Länge der Seite, die Mittellinie und den Winkel an der unteren Basis kennen.

Sei die laterale Seite c, die Mittellinie m und der Winkel a, dann gilt:

S = m * c * sin α

Manchmal kann man einem gleichseitigen Trapez einen Kreis einschreiben, dessen Radius r ist.

Es ist bekannt, dass ein Kreis in jedes Trapez eingeschrieben werden kann, wenn die Summe der Grundlängen gleich der Summe der Seitenlängen ist. Dann lässt sich die Fläche durch den Radius des eingeschriebenen Kreises und den Winkel an der unteren Basis ermitteln:

S = 4r2 / sin α

Die gleiche Berechnung erfolgt anhand des Durchmessers D des eingeschriebenen Kreises (er stimmt übrigens mit der Höhe des Trapezes überein):

Unter Kenntnis der Basis und des Winkels wird die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes wie folgt berechnet:

S = a * b / sin α

(Diese und die folgenden Formeln gelten nur für Trapeze mit einem eingeschriebenen Kreis).

Unter Verwendung der Grundflächen und des Radius des Kreises ergibt sich die Fläche wie folgt:

Wenn nur die Grundlagen bekannt sind, wird die Fläche nach der Formel berechnet:

Durch die Grundflächen und die Seitenlinie wird die Fläche des Trapezes mit dem eingeschriebenen Kreis und durch die Grundflächen und die Mittellinie - m wie folgt berechnet:

Fläche eines rechteckigen Trapezes

Ein Trapez heißt rechteckig, wenn eine seiner Seiten senkrecht zur Grundfläche steht. In diesem Fall stimmt die Seitenlänge mit der Höhe des Trapezes überein.

Ein rechteckiges Trapez besteht aus einem Quadrat und einem Dreieck. Nachdem Sie die Fläche jeder Figur ermittelt haben, addieren Sie die Ergebnisse und erhalten Sie die Gesamtfläche der Figur.

Auch zur Berechnung der Fläche eines rechteckigen Trapezes geeignet allgemeine Formeln um die Fläche eines Trapezes zu berechnen.

• Wenn die Längen der Basen und die Höhe (bzw. die senkrechte Seitenseite) bekannt sind, wird die Fläche nach folgender Formel berechnet:

S = (a + b) * h / 2

Die Seite c kann als h (Höhe) wirken. Dann sieht die Formel so aus:

S = (a + b) * c / 2

• Eine andere Möglichkeit, die Fläche zu berechnen, besteht darin, die Länge der Mittellinie mit der Höhe zu multiplizieren:

oder durch die Länge der seitlichen senkrechten Seite:

• Die nächste Berechnungsmethode besteht darin, das halbe Produkt der Diagonalen und den Sinus des Winkels zwischen ihnen zu berechnen:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

Wenn die Diagonalen senkrecht sind, vereinfacht sich die Formel zu:

S = ½ * d1 * d2

• Eine andere Möglichkeit zur Berechnung besteht darin, den Halbumfang (die Summe der Längen zweier gegenüberliegender Seiten) und den Radius des eingeschriebenen Kreises zu verwenden.

Diese Formel gilt für Basen. Wenn wir die Längen der Seiten nehmen, dann ist eine davon gleich dem Doppelten des Radius. Die Formel sieht folgendermaßen aus:

S = (2r + c) * r

• Wenn ein Kreis in ein Trapez eingeschrieben ist, wird die Fläche auf die gleiche Weise berechnet:

wobei m die Länge der Mittellinie ist.

Fläche eines gebogenen Trapezes

Ein gekrümmtes Trapez ist eine flache Figur, die durch den Graphen eines Nichtnegativs begrenzt wird kontinuierliche Funktion y = f(x), definiert auf der Strecke , der Abszissenachse und den Geraden x = a, x = b. Im Wesentlichen sind zwei seiner Seiten parallel zueinander (die Basen), die dritte Seite verläuft senkrecht zu den Basen und die vierte ist eine Kurve, die dem Graphen der Funktion entspricht.

Die Fläche eines krummlinigen Trapezes wird durch das Integral unter Verwendung der Newton-Leibniz-Formel gesucht:

So werden Flächen berechnet verschiedene Arten Trapez. Zusätzlich zu den Eigenschaften der Seiten haben Trapeze jedoch die gleichen Winkeleigenschaften. Wie bei allen existierenden Vierecken beträgt die Summe der Innenwinkel eines Trapezes 360 Grad. Und die Summe der an die Seite angrenzenden Winkel beträgt 180 Grad.

Die Praxis des Einheitlichen Staatsexamens und des Staatsexamens im letzten Jahr zeigt, dass Geometrieprobleme vielen Schülern Schwierigkeiten bereiten. Sie können sie problemlos bewältigen, wenn Sie sich alle notwendigen Formeln merken und das Lösen von Problemen üben.

In diesem Artikel sehen Sie Formeln zum Ermitteln der Fläche eines Trapezes sowie Beispiele für Probleme mit Lösungen. Sie können in KIMs bei Zertifizierungsprüfungen oder bei Olympiaden auf dieselben stoßen. Behandeln Sie sie daher sorgfältig.

Was müssen Sie über das Trapez wissen?

Erinnern wir uns zunächst einmal daran Trapez wird ein Viereck genannt, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten, auch Grundflächen genannt, parallel sind und die anderen beiden nicht.

Bei einem Trapez kann die Höhe (senkrecht zur Basis) auch abgesenkt werden. Die Mittellinie wird gezeichnet – das ist eine gerade Linie, die parallel zu den Basen verläuft und der Hälfte ihrer Summe entspricht. Sowie Diagonalen, die sich schneiden können und spitze und stumpfe Winkel bilden. Oder in manchen Fällen im rechten Winkel. Wenn das Trapez außerdem gleichschenklig ist, kann darin ein Kreis eingeschrieben werden. Und beschreibe einen Kreis darum.

Trapezflächenformeln

Schauen wir uns zunächst die Standardformeln zum Ermitteln der Fläche eines Trapezes an. Im Folgenden betrachten wir Möglichkeiten zur Berechnung der Fläche von gleichschenkligen und krummlinigen Trapezen.

Stellen Sie sich also vor, Sie hätten ein Trapez mit den Grundflächen a und b, bei dem die Höhe h auf die größere Grundfläche abgesenkt ist. Die Flächenberechnung einer Figur ist in diesem Fall so einfach wie das Schälen von Birnen. Sie müssen lediglich die Summe der Längen der Basen durch zwei teilen und das Ergebnis mit der Höhe multiplizieren: S = 1/2(a + b)*h.

Nehmen wir einen anderen Fall: Angenommen, in einem Trapez gibt es zusätzlich zur Höhe eine Mittellinie m. Wir kennen die Formel zum Ermitteln der Länge der Mittellinie: m = 1/2(a + b). Daher können wir die Formel für die Fläche eines Trapezes zu Recht auf die folgende Form vereinfachen: S = m* h. Mit anderen Worten: Um die Fläche eines Trapezes zu ermitteln, müssen Sie die Mittellinie mit der Höhe multiplizieren.

Betrachten wir eine andere Option: Das Trapez enthält Diagonalen d 1 und d 2, die sich nicht im rechten Winkel α schneiden. Um die Fläche eines solchen Trapezes zu berechnen, müssen Sie das Produkt der Diagonalen durch zwei teilen und das Ergebnis mit dem Sinus des Winkels zwischen ihnen multiplizieren: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Betrachten Sie nun die Formel zum Ermitteln der Fläche eines Trapezes, wenn außer den Längen aller seiner Seiten nichts darüber bekannt ist: a, b, c und d. Es ist sperrig und komplexe Formel, aber es wird für Sie nützlich sein, sich daran zu erinnern, nur für den Fall: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Die obigen Beispiele gelten übrigens auch für den Fall, dass Sie die Formel für die Fläche eines rechteckigen Trapezes benötigen. Dabei handelt es sich um ein Trapez, dessen Seite im rechten Winkel an die Basen angrenzt.

Gleichschenkliges Trapez

Ein Trapez, dessen Seiten gleich sind, heißt gleichschenklig. Wir werden mehrere Optionen für die Formel für die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes betrachten.

Erste Option: für den Fall, dass ein Kreis mit dem Radius r in ein gleichschenkliges Trapez eingeschrieben ist und die Seite und die größere Grundfläche geformt sind scharfe Eckeα. Ein Kreis kann in ein Trapez eingeschrieben werden, vorausgesetzt, dass die Summe der Längen seiner Grundflächen gleich der Summe der Längen der Seiten ist.

Die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes wird wie folgt berechnet: Multiplizieren Sie das Quadrat des Radius des eingeschriebenen Kreises mit vier und dividieren Sie alles durch sinα: S = 4r 2 /sinα. Eine andere Flächenformel ist ein Sonderfall für die Option, wenn der Winkel zwischen der großen Basis und der Seite 30 0 beträgt: S = 8r2.

Zweite Möglichkeit: Diesmal nehmen wir ein gleichschenkliges Trapez, in das zusätzlich die Diagonalen d 1 und d 2 eingezeichnet sind, sowie die Höhe h. Stehen die Diagonalen eines Trapezes senkrecht zueinander, ist die Höhe halb so groß wie die Summe der Grundflächen: h = 1/2(a + b). Mit diesem Wissen lässt sich die Ihnen bereits bekannte Formel für die Fläche eines Trapezes leicht in diese Form umwandeln: S = h 2.

Formel für die Fläche eines gebogenen Trapezes

Beginnen wir damit, herauszufinden, was ein gebogenes Trapez ist. Stellen Sie sich eine Koordinatenachse und einen Graphen einer stetigen und nicht negativen Funktion f vor, die innerhalb eines bestimmten Segments auf der x-Achse ihr Vorzeichen nicht ändert. Ein krummliniges Trapez wird durch den Graphen der Funktion y = f(x) gebildet - oben befindet sich die x-Achse unten (Segment) und an den Seiten - gerade Linien zwischen den Punkten a und b und dem Graphen von die Funktion.

Es ist unmöglich, die Fläche einer solchen nicht standardmäßigen Figur mit den oben genannten Methoden zu berechnen. Hier müssen Sie sich bewerben mathematische Analyse und verwende das Integral. Nämlich: die Newton-Leibniz-Formel - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). In dieser Formel ist F die Stammfunktion unserer Funktion auf dem ausgewählten Segment. Und die Fläche eines krummlinigen Trapezes entspricht dem Inkrement der Stammfunktion auf einem gegebenen Segment.

Beispiele für Probleme

Um Ihnen das Verständnis all dieser Formeln im Kopf zu erleichtern, finden Sie hier einige Beispiele für Aufgaben zum Ermitteln der Fläche eines Trapezes. Am besten versuchen Sie zunächst, die Probleme selbst zu lösen und vergleichen erst dann die Antwort, die Sie erhalten, mit der fertigen Lösung.

Aufgabe 1: Gegeben sei ein Trapez. Seine größere Basis ist 11 cm, die kleinere 4 cm. Das Trapez hat Diagonalen, eine 12 cm lang, die zweite 9 cm.

Lösung: Konstruieren Sie ein trapezförmiges AMRS. Zeichnen Sie eine Gerade РХ durch den Scheitelpunkt P, sodass sie parallel zur Diagonale MC verläuft und die Gerade AC im Punkt X schneidet. Sie erhalten ein Dreieck APХ.

Wir betrachten zwei Figuren, die als Ergebnis dieser Manipulationen erhalten wurden: das Dreieck APX und das Parallelogramm CMRX.

Dank des Parallelogramms erfahren wir, dass PX = MC = 12 cm und CX = MR = 4 cm. Daraus können wir die Seite AX des Dreiecks ARX berechnen: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

Wir können auch beweisen, dass das Dreieck APX rechtwinklig ist (wenden Sie dazu den Satz des Pythagoras an – AX 2 = AP 2 + PX 2). Und berechnen Sie seine Fläche: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.

Als nächstes müssen Sie beweisen, dass die Dreiecke AMP und PCX flächengleich sind. Grundlage wird die Gleichheit der Parteien MR und CX sein (oben bereits nachgewiesen). Und auch die Höhen, die Sie auf diesen Seiten absenken – sie entsprechen der Höhe des AMRS-Trapezes.

All dies lässt uns sagen, dass S AMPC = S APX = 54 cm 2 ist.

Aufgabe #2: Gegeben ist das trapezförmige KRMS. Auf seinen lateralen Seiten befinden sich die Punkte O und E, während OE und KS parallel sind. Es ist auch bekannt, dass die Flächen der Trapeze ORME und OKSE im Verhältnis 1:5 stehen. RM = a und KS = b. Sie müssen OE finden.

Lösung: Zeichnen Sie eine Linie parallel zu RK durch den Punkt M und bezeichnen Sie den Schnittpunkt mit OE als T. A ist der Schnittpunkt einer Linie, die durch den Punkt E parallel zu RK gezogen wird, mit der Basis KS.

Lassen Sie uns eine weitere Notation einführen – OE = x. Und auch die Höhe h 1 für das Dreieck TME und die Höhe h 2 für das Dreieck AEC (Sie können die Ähnlichkeit dieser Dreiecke unabhängig beweisen).

Wir gehen davon aus, dass b > a. Die Flächen der Trapeze ORME und OKSE stehen im Verhältnis 1:5, was uns das Recht gibt, die folgende Gleichung zu erstellen: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Lassen Sie uns transformieren und erhalten: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Da die Dreiecke TME und AEC ähnlich sind, gilt h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Kombinieren wir beide Einträge und erhalten: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Somit ist OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Abschluss

Geometrie ist nicht die einfachste Wissenschaft, aber mit den Prüfungsfragen kommt man durchaus zurecht. Es reicht aus, bei der Vorbereitung ein wenig Ausdauer an den Tag zu legen. Und denken Sie natürlich an alle notwendigen Formeln.

Wir haben versucht, alle Formeln zur Berechnung der Fläche eines Trapezes an einem Ort zu sammeln, damit Sie sie bei der Prüfungsvorbereitung und der Überarbeitung des Stoffes verwenden können.

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Um sich im Geometrieunterricht sicher zu fühlen und Probleme erfolgreich zu lösen, reicht es nicht aus, die Formeln zu lernen. Sie müssen zuerst verstanden werden. Angst zu haben und noch mehr Formeln zu hassen, ist unproduktiv. In diesem Artikel werden in verständlicher Sprache verschiedene Möglichkeiten analysiert, die Fläche eines Trapezes zu ermitteln. Um die entsprechenden Regeln und Theoreme besser zu verstehen, werden wir ihren Eigenschaften etwas Aufmerksamkeit schenken. Dies hilft Ihnen zu verstehen, wie die Regeln funktionieren und in welchen Fällen bestimmte Formeln angewendet werden sollten.

Ein Trapez definieren

Was ist das insgesamt für eine Zahl? Ein Trapez ist ein Polygon mit vier Ecken und zwei parallelen Seiten. Die anderen beiden Seiten des Trapezes können in unterschiedlichen Winkeln geneigt sein. Seine parallelen Seiten werden Basen genannt, und für nichtparallele Seiten wird die Bezeichnung „Seiten“ oder „Hüften“ verwendet. Solche Figuren sind im Alltag durchaus üblich. Die Konturen des Trapezes sind in den Silhouetten von Kleidung, Einrichtungsgegenständen, Möbeln, Geschirr und vielem mehr zu sehen. Trapez passiert verschiedene Typen: ungleichseitig, gleichseitig und rechteckig. Wir werden ihre Typen und Eigenschaften später in diesem Artikel genauer untersuchen.

Eigenschaften eines Trapezes

Lassen Sie uns kurz auf die Eigenschaften dieser Figur eingehen. Die Summe der an jede Seite angrenzenden Winkel beträgt immer 180°. Dabei ist zu beachten, dass sich alle Winkel eines Trapezes zu 360° addieren. Das Trapez hat das Konzept einer Mittellinie. Wenn Sie die Mittelpunkte der Seiten mit einem Segment verbinden, ist dies die Mittellinie. Es wird mit m bezeichnet. Die Mittellinie hat wichtige Eigenschaften: Sie verläuft immer parallel zu den Basen (wir erinnern uns, dass die Basen auch zueinander parallel sind) und gleich ihrer Halbsumme:

Diese Definition muss gelernt und verstanden werden, denn sie ist der Schlüssel zur Lösung vieler Probleme!

Bei einem Trapez können Sie die Höhe jederzeit bis zur Basis senken. Eine Höhe ist eine Senkrechte, oft mit dem Symbol h bezeichnet, die von einem beliebigen Punkt einer Basis zu einer anderen Basis oder deren Verlängerung verläuft. Mithilfe der Mittellinie und der Höhe können Sie die Fläche des Trapezes ermitteln. Solche Probleme treten im schulischen Geometrieunterricht am häufigsten auf und tauchen regelmäßig bei Prüfungs- und Prüfungsarbeiten auf.

Die einfachsten Formeln für die Fläche eines Trapezes

Schauen wir uns die beiden beliebtesten und einfachsten Formeln an, mit denen die Fläche eines Trapezes ermittelt wird. Es reicht aus, die Höhe mit der halben Summe der Grundflächen zu multiplizieren, um leicht zu finden, was Sie suchen:

S = h*(a + b)/2.

In dieser Formel bezeichnen a, b die Basen des Trapezes, h die Höhe. Zur besseren Lesbarkeit werden in diesem Artikel Multiplikationszeichen in Formeln mit einem Symbol (*) gekennzeichnet, obwohl in offizielle Nachschlagewerke Das Multiplikationszeichen wird normalerweise weggelassen.

Schauen wir uns ein Beispiel an.

Gegeben: Ein Trapez mit zwei Grundflächen gleich 10 und 14 cm, die Höhe beträgt 7 cm. Wie groß ist die Fläche des Trapezes?

Schauen wir uns die Lösung für dieses Problem an. Mit dieser Formel müssen Sie zunächst die Halbsumme der Basen ermitteln: (10+14)/2 = 12. Die Halbsumme ist also gleich 12 cm. Jetzt multiplizieren wir die Halbsumme mit der Höhe: 12*7 = 84. Was wir suchen, ist gefunden. Antwort: Die Fläche des Trapezes beträgt 84 Quadratmeter. cm.

Die zweite bekannte Formel besagt: Die Fläche eines Trapezes ist gleich dem Produkt aus der Mittellinie und der Höhe des Trapezes. Das heißt, es folgt tatsächlich aus dem vorherigen Konzept der Mittellinie: S=m*h.

Verwendung von Diagonalen für Berechnungen

Eine andere Möglichkeit, die Fläche eines Trapezes zu ermitteln, ist eigentlich nicht so kompliziert. Es ist mit seinen Diagonalen verbunden. Mit dieser Formel müssen Sie zum Ermitteln der Fläche das Halbprodukt seiner Diagonalen (d 1 d 2) mit dem Sinus des Winkels zwischen ihnen multiplizieren:

S = ½ d 1 d 2 sin A.

Betrachten wir ein Problem, das die Anwendung dieser Methode zeigt. Gegeben: ein Trapez mit einer Diagonalenlänge von 8 bzw. 13 cm. Der Winkel a zwischen den Diagonalen beträgt 30°. Finden Sie die Fläche des Trapezes.

Lösung. Mit der obigen Formel lässt sich der Bedarf leicht berechnen. Wie Sie wissen, beträgt sin 30° 0,5. Daher ist S = 8*13*0,5=52. Antwort: Die Fläche beträgt 52 Quadratmeter. cm.

Ermitteln der Fläche eines gleichschenkligen Trapezes

Ein Trapez kann gleichschenklig (gleichschenklig) sein. Seine Seiten sind gleich und die Winkel an den Basen sind gleich, was durch die Abbildung gut veranschaulicht wird. Ein gleichschenkliges Trapez hat die gleichen Eigenschaften wie ein normales, zusätzlich zu einigen besonderen Eigenschaften. Um ein gleichschenkliges Trapez kann ein Kreis umschrieben werden, und darin kann ein Kreis eingeschrieben werden.

Welche Methoden gibt es, die Fläche einer solchen Figur zu berechnen? Die folgende Methode erfordert viele Berechnungen. Um es verwenden zu können, müssen Sie die Werte des Sinus (sin) und des Kosinus (cos) des Winkels an der Basis des Trapezes kennen. Um sie zu berechnen, benötigen Sie entweder Bradis-Tabellen oder einen technischen Taschenrechner. Hier ist die Formel:

S= C*Sünde A*(A - C*cos A),

Wo Mit- seitlicher Oberschenkel, A- Winkel an der unteren Basis.

Ein gleichseitiges Trapez hat gleich lange Diagonalen. Das Umgekehrte gilt auch: Wenn ein Trapez gleiche Diagonalen hat, dann ist es gleichschenklig. Daher die folgende Formel, um die Fläche eines Trapezes zu ermitteln – das halbe Produkt aus dem Quadrat der Diagonalen und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen: S = ½ d 2 sin A.

Ermitteln der Fläche eines rechteckigen Trapezes

Ein Sonderfall eines rechteckigen Trapezes ist bekannt. Dabei handelt es sich um ein Trapez, dessen eine Seite (sein Schenkel) im rechten Winkel an die Grundflächen angrenzt. Es hat die Eigenschaften eines regelmäßigen Trapezes. Darüber hinaus hat sie sehr interessante Funktion. Der Unterschied in den Quadraten der Diagonalen eines solchen Trapezes ist gleich dem Unterschied in den Quadraten seiner Grundflächen. Dabei kommen alle zuvor beschriebenen Methoden zur Flächenberechnung zum Einsatz.

Wir nutzen Einfallsreichtum

Es gibt einen Trick, der helfen kann, wenn Sie bestimmte Formeln vergessen. Schauen wir uns genauer an, was ein Trapez ist. Wenn wir es gedanklich in Teile zerlegen, erhalten wir bekannte und verständliche geometrische Formen: ein Quadrat oder Rechteck und ein Dreieck (eins oder zwei). Wenn die Höhe und die Seiten des Trapezes bekannt sind, können Sie die Formeln für die Fläche eines Dreiecks und eines Rechtecks ​​​​verwenden und dann alle resultierenden Werte addieren.

Lassen Sie uns dies anhand des folgenden Beispiels veranschaulichen. Gegeben sei ein rechteckiges Trapez. Winkel C = 45°, Winkel A, D betragen 90°. Die obere Basis des Trapezes beträgt 20 cm, die Höhe beträgt 16 cm. Sie müssen die Fläche der Figur berechnen.

Diese Figur besteht offensichtlich aus einem Rechteck (wenn zwei Winkel gleich 90° sind) und einem Dreieck. Da das Trapez rechteckig ist, entspricht seine Höhe seiner Seite, also 16 cm. Wir haben ein Rechteck mit Seitenlängen von 20 bzw. 16 cm. Betrachten Sie nun ein Dreieck, dessen Winkel 45° beträgt. Wir wissen, dass eine Seite davon 16 cm beträgt. Da diese Seite auch die Höhe des Trapezes ist (und wir wissen, dass die Höhe zur Basis im rechten Winkel abfällt), beträgt der zweite Winkel des Dreiecks 90°. Daher beträgt der verbleibende Winkel des Dreiecks 45°. Als Konsequenz daraus erhalten wir ein Rechteck gleichschenkligen Dreiecks, dessen beide Seiten gleich sind. Dies bedeutet, dass die andere Seite des Dreiecks gleich der Höhe ist, also 16 cm. Es bleibt die Fläche des Dreiecks und des Rechtecks ​​​​zu berechnen und die resultierenden Werte zu addieren.

Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich dem halben Produkt seiner Schenkel: S = (16*16)/2 = 128. Die Fläche eines Rechtecks ​​ist gleich dem Produkt aus seiner Breite und Länge: S = 20*16 = 320. Wir haben die erforderliche Fläche des Trapezes S = 128 + 320 = 448 Quadratfuß gefunden. Sehen Sie. Mit den obigen Formeln können Sie sich leicht selbst überprüfen, die Antwort wird identisch sein.

Wir verwenden die Pick-Formel

Abschließend stellen wir eine weitere Originalformel vor, die dabei hilft, die Fläche eines Trapezes zu ermitteln. Sie wird als Pick-Formel bezeichnet. Es ist praktisch, wenn das Trapez auf kariertem Papier gezeichnet wird. Ähnliche Probleme treten häufig bei GIA-Materialien auf. Es sieht aus wie das:

S = M/2 + N - 1,

In dieser Formel ist M die Anzahl der Knoten, d.h. Schnittpunkte der Linien der Figur mit den Linien der Zelle an den Grenzen des Trapezes (orangefarbene Punkte in der Abbildung), N ist die Anzahl der Knoten innerhalb der Figur (blaue Punkte). Es ist am bequemsten, es zu verwenden, wenn Sie die Fläche eines unregelmäßigen Polygons ermitteln. Je größer jedoch das Arsenal der verwendeten Techniken ist, desto weniger Fehler treten auf und desto besser sind die Ergebnisse.

Die bereitgestellten Informationen erschöpfen natürlich nicht die Arten und Eigenschaften eines Trapezes sowie Methoden zur Bestimmung seiner Fläche. Dieser Artikel gibt einen Überblick über seine wichtigsten Eigenschaften. Beim Lösen geometrischer Probleme ist es wichtig, schrittweise vorzugehen, mit einfachen Formeln und Problemen zu beginnen, das Verständnis konsequent zu festigen und zu einer anderen Komplexitätsebene überzugehen.

Die Zusammenstellung der gebräuchlichsten Formeln hilft den Schülern, die verschiedenen Methoden zur Berechnung der Fläche eines Trapezes zu meistern und sich besser auf Tests vorzubereiten Tests Zu diesem Thema.

Trapez heißt ein Viereck, dessen nur zwei Die Seiten sind parallel zueinander.

Sie werden als Basen der Figur bezeichnet, die übrigen als Seiten. Parallelogramme gelten als Sonderfälle der Figur. Es gibt auch ein gekrümmtes Trapez, das den Graphen einer Funktion enthält. Formeln für die Fläche eines Trapezes umfassen fast alle seine Elemente und Die beste Entscheidung wird abhängig von den angegebenen Werten ausgewählt.
Die Hauptrollen beim Trapez sind der Höhe und der Mittellinie zuzuordnen. Mittellinie- Dies ist eine Linie, die die Mittelpunkte der Seiten verbindet. Höhe Das Trapez wird im rechten Winkel von der oberen Ecke zur Basis gezeichnet.
Die Fläche eines Trapezes durch seine Höhe ist gleich dem Produkt aus der halben Summe der Längen der Grundflächen multipliziert mit der Höhe:

Wenn die Durchschnittslinie gemäß den Bedingungen bekannt ist, wird diese Formel erheblich vereinfacht, da sie der Hälfte der Summe der Basenlängen entspricht:

Wenn gemäß den Bedingungen die Längen aller Seiten angegeben sind, können wir ein Beispiel für die Berechnung der Fläche eines Trapezes anhand dieser Daten betrachten:

Angenommen, wir erhalten ein Trapez mit den Grundflächen a = 3 cm, b = 7 cm und den Seiten c = 5 cm, d = 4 cm. Ermitteln wir die Fläche der Figur:

Fläche eines gleichschenkligen Trapezes

Ein gleichschenkliges Trapez, oder wie es auch genannt wird, wird als separater Fall betrachtet.
Ein Sonderfall ist die Ermittlung der Fläche eines gleichschenkligen (gleichseitigen) Trapezes. Die Formel wird abgeleitet verschiedene Wege– durch Diagonalen, durch an die Grundfläche angrenzende Winkel und den Radius des eingeschriebenen Kreises.
Wenn die Länge der Diagonalen entsprechend den Bedingungen angegeben wird und der Winkel zwischen ihnen bekannt ist, können Sie die folgende Formel verwenden:

Denken Sie daran, dass die Diagonalen eines gleichschenkligen Trapezes einander gleich sind!

Das heißt, wenn Sie eine ihrer Basen, Seiten und Winkel kennen, können Sie die Fläche leicht berechnen.

Fläche eines gebogenen Trapezes

Ein Sonderfall ist gebogenes Trapez. Sie liegt auf der Koordinatenachse und wird durch den Graphen einer stetigen positiven Funktion begrenzt.

Seine Basis liegt auf der X-Achse und ist auf zwei Punkte begrenzt:
Integrale helfen bei der Berechnung der Fläche eines gekrümmten Trapezes.
Die Formel ist so geschrieben:

Betrachten wir ein Beispiel für die Berechnung der Fläche eines gebogenen Trapezes. Die Formel erfordert bestimmte Kenntnisse, um mit bestimmten Integralen arbeiten zu können. Schauen wir uns zunächst den Wert des bestimmten Integrals an:

Hier ist F(a) der Wert der Stammfunktion f(x) am Punkt a, F(b) ist der Wert derselben Funktion f(x) am Punkt b.

Lassen Sie uns nun das Problem lösen. Die Abbildung zeigt ein durch die Funktion begrenztes gebogenes Trapez. Funktion
Wir müssen die Fläche der ausgewählten Figur finden, die ein krummliniges Trapez ist, das oben durch den Graphen begrenzt wird, rechts durch die gerade Linie x =(-8), links durch die gerade Linie x =(-10 ) und die OX-Achse unten.
Wir berechnen die Fläche dieser Figur mit der Formel:

Die Bedingungen des Problems geben uns eine Funktion. Damit finden wir die Werte der Stammfunktion an jedem unserer Punkte:


Jetzt
Antwort: Die Fläche eines gegebenen gekrümmten Trapezes beträgt 4.

Die Berechnung dieses Wertes ist nicht kompliziert. Wichtig ist nur die äußerste Sorgfalt bei den Berechnungen.