Die Summe der entgegengesetzten Winkel eines in einen Kreis eingeschriebenen Vierecks. Beschriftetes Viereck

Die Summe der entgegengesetzten Winkel eines in einen Kreis eingeschriebenen Vierecks.  Beschriftetes Viereck
Die Summe der entgegengesetzten Winkel eines in einen Kreis eingeschriebenen Vierecks. Beschriftetes Viereck

Ein Viereck ist in einen Kreis eingeschrieben, wenn alle seine Eckpunkte auf dem Kreis liegen. Ein solcher Kreis wird von einem Viereck umschrieben.

So wie nicht jedes Viereck um einen Kreis beschrieben werden kann, kann nicht jedes Viereck in einen Kreis eingeschrieben werden.

Ein in einen Kreis eingeschriebenes konvexes Viereck hat die Eigenschaft, dass sich seine entgegengesetzten Winkel zu 180° addieren. Wenn also ein Viereck ABCD gegeben ist, in dem Winkel A entgegengesetzt zu Winkel C und Winkel B entgegengesetzt zu Winkel D ist, dann ist ∠A + ∠C = 180° und ∠B + ∠D = 180°.

Wenn ein Paar entgegengesetzter Winkel eines Vierecks im Allgemeinen 180° ergibt, dann ergibt die Summe des anderen Paares denselben Betrag. Dies folgt aus der Tatsache, dass in einem konvexen Viereck die Winkelsumme immer 360° beträgt. Diese Tatsache ergibt sich wiederum aus der Tatsache, dass bei konvexen Polygonen die Winkelsumme durch die Formel 180° * (n – 2) bestimmt wird, wobei n die Anzahl der Winkel (oder Seiten) ist.

Sie können die Eigenschaft eines beschrifteten Vierecks nachweisen auf die folgende Weise. In den Kreis O sei ein Viereck ABCD einbeschrieben. Wir müssen beweisen, dass ∠B + ∠D = 180°.

Winkel B ist in einen Kreis eingeschrieben. Wie Sie wissen, entspricht ein solcher Winkel der Hälfte des Bogens, auf dem er ruht. In diesem Fall wird Winkel B durch den Bogen-ADC unterstützt, was ∠B = ½◡ADC bedeutet. (Da der Bogen gleich dem Winkel zwischen den ihn bildenden Radien ist, können wir schreiben, dass ∠B = ½∠AOC, dessen innerer Bereich den Punkt D enthält.)

Auf der anderen Seite ruht der Winkel D des Vierecks auf dem Bogen ABC, d. h. ∠D = ½◡ABC.

Da die Seiten der Winkel B und D den Kreis an denselben Punkten (A und C) schneiden, teilen sie den Kreis nur in zwei Bögen – ◡ADC und ◡ABC. Da ein vollständiger Kreis 360° ergibt, ist ◡ADC + ◡ABC = 360°.

Somit wurden die folgenden Gleichheiten erhalten:

∠B = ½◡ADC
∠D = ½◡ABC
◡ADC + ◡ABC = 360°

Lassen Sie uns die Winkelsumme ausdrücken:

∠B + ∠D = ½◡ADC + ½◡ABC

Setzen wir ½ aus Klammern:

∠B + ∠D = ½(◡ADC + ◡ABC)

Ersetzen wir die Summe der Bögen durch ihren Zahlenwert:

∠B + ∠D = ½ * 360° = 180°

Wir haben herausgefunden, dass die Summe der entgegengesetzten Winkel eines eingeschriebenen Vierecks 180° beträgt. Das musste bewiesen werden.

Die Tatsache, dass ein beschriftetes Viereck diese Eigenschaft hat (die Summe der entgegengesetzten Winkel beträgt 180°), bedeutet nicht, dass jedes Viereck, dessen Summe der entgegengesetzten Winkel 180° beträgt, in einen Kreis eingeschrieben werden kann. Obwohl dies in Wirklichkeit der Fall ist. Diese Tatsache wird aufgerufen eingeschriebener viereckiger Test und ist wie folgt formuliert: Wenn die Summe der entgegengesetzten Winkel eines konvexen Vierecks 180° beträgt, dann kann um dieses herum ein Kreis beschrieben (oder in einen Kreis eingeschrieben) werden.

Sie können den Test für ein beschriftetes Viereck durch Widerspruch beweisen. Gegeben sei ein Viereck ABCD, dessen entgegengesetzte Winkel B und D 180° ergeben. In diesem Fall liegt der Winkel D nicht auf dem Kreis. Nehmen Sie dann einen Punkt E auf der Linie, die das Segment CD enthält, so dass er auf dem Kreis liegt. Das Ergebnis ist ein zyklisches Viereck ABCE. Dieses Viereck hat entgegengesetzte Winkel B und E, was bedeutet, dass sie zusammen 180° ergeben. Dies folgt aus der Eigenschaft eines beschrifteten Vierecks.

Es stellt sich heraus, dass ∠B + ∠D = 180° und ∠B + ∠E = 180°. Der Winkel D des Vierecks ABCD in Bezug auf das Dreieck AED ist jedoch außen und daher größer als der Winkel E dieses Dreiecks. Damit sind wir bei einem Widerspruch angelangt. Das heißt, wenn die Summe der entgegengesetzten Winkel eines Vierecks 180° ergibt, dann kann es immer in einen Kreis eingeschrieben werden.

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Material aus Wikipedia – der freien Enzyklopädie

  • In der euklidischen Geometrie gilt beschriftetes Viereck ist ein Viereck, dessen Eckpunkte alle auf demselben Kreis liegen. Dieser Kreis heißt umschriebener Kreis Viereck, und die Eckpunkte sollen auf demselben Kreis liegen. Der Mittelpunkt dieses Kreises und sein Radius werden jeweils genannt Center Und Radius umschriebener Kreis. Andere Bezeichnungen für dieses Viereck: Ein Viereck liegt auf einem Kreis, die Seiten des letzten Vierecks sind Sehnen des Kreises. Ein konvexes Viereck wird üblicherweise als konvexes Viereck angenommen. Die unten angegebenen Formeln und Eigenschaften gelten im konvexen Fall.
  • Sie sagen das, wenn Um ein Viereck kann ein Kreis gezeichnet werden, Das In diesen Kreis ist das Viereck eingeschrieben, umgekehrt.

Allgemeine Kriterien für die Beschriftung eines Vierecks

  • Um ein konvexes Viereck \Pi Bogenmaß), das heißt:
\angle A+\angle C = \angle B + \angle D = 180^\circ

oder in der Figurenschreibweise:

\alpha + \gamma = \beta + \delta = \pi = 180^(\circ).

  • Es ist möglich, einen Kreis um jedes Viereck zu beschreiben, bei dem sich die vier Mittelsenkrechten seiner Seiten in einem Punkt schneiden (oder Mittelsenkrechten seiner Seiten, d. h. Senkrechte zu den Seiten, die durch ihre Mittelpunkte verlaufen).
  • Sie können einen Kreis um jedes Viereck beschreiben, das einen solchen hat Außenecke, grenzt an gegebener Innenwinkel, ist genau gleich dem anderen gegenüberliegenden Innenwinkel gegebene Innenecke. Im Wesentlichen handelt es sich bei dieser Bedingung um die Bedingung der Antiparallelität zweier gegenüberliegender Seiten des Vierecks. In Abb. Unten sind die äußeren und angrenzenden inneren Ecken eines grünen Fünfecks dargestellt.
\displaystyle AX\cdot XC = BX\cdot XD.
  • Überschneidung X kann innerhalb oder außerhalb des Kreises liegen. Im ersten Fall erhalten wir das zyklische Viereck is A B C D, und im letzteren Fall erhalten wir ein eingeschriebenes Viereck ABDC. Beim Schnitt innerhalb eines Kreises besagt die Gleichheit, dass das Produkt der Längen der Segmente, in denen sich der Punkt befindet X teilt eine Diagonale, ist gleich dem Produkt der Längen der Segmente, in denen der Punkt liegt X teilt eine andere Diagonale. Diese Bedingung ist als „Schnittakkordsatz“ bekannt. In unserem Fall sind die Diagonalen des eingeschriebenen Vierecks die Sehnen des Kreises.
  • Ein weiteres Aufnahmekriterium. Konvexes Viereck A B C D Ein Kreis ist genau dann eingeschrieben, wenn
\tan(\frac(\alpha)(2))\tan(\frac(\gamma)(2))=\tan(\frac(\beta)(2))\tan(\frac(\delta)( 2))=1.

Besondere Kriterien für die Beschriftung eines Vierecks

Ein einfaches eingeschriebenes (ohne sich selbst schneidendes) Viereck ist konvex. Ein Kreis kann genau dann um ein konvexes Viereck beschrieben werden, wenn die Summe seiner entgegengesetzten Winkel gleich 180° ist ( \Pi Bogenmaß). Sie können einen Kreis beschreiben um:

  • irgendein Antiparallelogramm
  • jedes Rechteck (ein Sonderfall ist ein Quadrat)
  • jedes gleichschenklige Trapez
  • jedes Viereck, das zwei gegenüberliegende rechte Winkel hat.

Eigenschaften

Formeln mit Diagonalen

ef=ac+bd; \frac(e)(f) = \frac(a\cdot d+b\cdot c)(a\cdot b+c\cdot d).

In der letzten Formel des Paares angrenzende Seiten Zähler A Und D, B Und C Legen Sie ihre Enden auf eine diagonale Länge e. Eine ähnliche Aussage gilt für den Nenner.

  • Formeln für Diagonallängen(Folgen ):
e = \sqrt(\frac((ac+bd)(ad+bc))(ab+cd)) Und f = \sqrt(\frac((ac+bd)(ab+cd))(ad+bc))

Formeln mit Winkeln

Für ein zyklisches Viereck mit einer Folge von Seiten A , B , C , D, mit Halbumfang P und Winkel A zwischen den Parteien A Und D, trigonometrische Winkelfunktionen A werden durch Formeln angegeben

\cos A = \frac(a^2 + d^2 - b^2 - c^2)(2(ad + bc)), \sin A = \frac(2\sqrt((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)))((ad+bc)), \tan \frac(A)(2) = \sqrt(\frac((p-a)(p-d))((p-b)(p-c))).

Ecke θ zwischen den Diagonalen steht:S.26

\tan \frac(\theta)(2) = \sqrt(\frac((p-b)(p-d))((p-a)(p-c))).

  • Wenn gegenüberliegende Seiten A Und C sich in einem Winkel schneiden φ , dann ist es gleich
\cos(\frac(\varphi)(2))=\sqrt(\frac((p-b)(p-d)(b+d)^2)((ab+cd)(ad+bc))),

Wo P Es gibt einen Halbumfang. :S.31

Radius eines um ein Viereck umschriebenen Kreises

Parameshvara-Formel

Wenn es sich um ein Viereck mit aufeinanderfolgenden Seiten handelt A , B , C , D und Halbumfang P in einen Kreis eingeschrieben, dann ist sein Radius gleich Parameshwars Formel:P. 84

R= \frac(1)(4) \sqrt(\frac((ab+cd)(ad+bc)(ac+bd))((p-a)(p-b)(p-c)(p-d))).

Es wurde im 15. Jahrhundert (ca. 1380–1460) vom indischen Mathematiker Parameshwar abgeleitet.

  • Konvexes Viereck (siehe Abbildung rechts), gebildet aus vier Daten Mikels gerade Linien, ist genau dann in einen Kreis eingeschrieben, wenn der Mikel-Punkt M eines Vierecks liegt auf einer Linie, die zwei der sechs Schnittpunkte der Linien verbindet (diejenigen, die keine Eckpunkte des Vierecks sind). Das ist wenn M liegt auf E.F..

Ein Kriterium dafür, dass ein aus zwei Dreiecken bestehendes Viereck in einen bestimmten Kreis eingeschrieben ist

f^2 = \frac((ac+bd)(ad+bc))((ab+cd)).
  • Die letzte Bedingung gibt den Ausdruck für die Diagonale an F ein Viereck, das durch die Länge seiner vier Seiten in einen Kreis eingeschrieben ist ( A, B, C, D). Diese Formel folgt unmittelbar beim Multiplizieren und Gleichsetzen des linken und rechten Teils von Formeln, die das Wesentliche ausdrücken Der erste und zweite Satz des Ptolemäus(siehe oben).

Ein Kriterium dafür, dass ein durch eine gerade Linie aus einem Dreieck geschnittenes Viereck in einen bestimmten Kreis eingeschrieben ist

  • Eine gerade Linie, die antiparallel zur Seite des Dreiecks verläuft und diese schneidet, schneidet daraus ein Viereck ab, um das sich immer ein Kreis beschreiben lässt.
  • Folge. Um ein Antiparallelogramm herum, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten antiparallel sind, ist es immer möglich, einen Kreis zu beschreiben.

Fläche eines in einen Kreis eingeschriebenen Vierecks

Variationen der Brahmagupta-Formel

S=\sqrt((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)), wobei p der Halbumfang des Vierecks ist. S= \frac(1)(4) \sqrt(- \begin(vmatrix)

a & b & c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & -d & a & b \\ -d & c & b & a \end(vmatrix))

Andere Flächenformeln

S = \tfrac(1)(2)(ab+cd)\sin(B) S = \tfrac(1)(2)(ac+bd)\sin(\theta),

Wo θ jeder Winkel zwischen den Diagonalen. Vorausgesetzt, der Winkel A Da es sich nicht um eine gerade Linie handelt, kann die Fläche auch wie folgt ausgedrückt werden: S. 26

S = \tfrac(1)(4)(a^2-b^2-c^2+d^2)\tan(A). \displaystyle S=2R^2\sin(A)\sin(B)\sin(\theta),

Wo R ist der Radius des Umkreises. Als direkte Konsequenz haben wir die Ungleichung

S\le 2R^2,

wobei Gleichheit genau dann möglich ist, wenn dieses Viereck ein Quadrat ist.

Brahmagupta-Vierecke

Brahmagupta-Viereck ist ein in einen Kreis eingeschriebenes Viereck mit ganzzahligen Seitenlängen, ganzzahligen Diagonalen und ganzzahliger Fläche. Alle möglichen Brahmagupta-Vierecke mit Seiten A , B , C , D, mit Diagonalen e , F, mit Fläche S und der Radius des umschriebenen Kreises R kann durch Entfernen der Nenner der folgenden Ausdrücke mit rationalen Parametern erhalten werden T , u, Und v :

a= b=(1+u^2)(v-t)(1+tv) c=t(1+u^2)(1+v^2) d=(1+v^2)(u-t)(1+tu) e=u(1+t^2)(1+v^2) f=v(1+t^2)(1+u^2) S=UV 4R=(1+u^2)(1+v^2)(1+t^2).

Beispiele

  • Besondere in einen Kreis eingeschriebene Vierecke sind: Rechteck, Quadrat, gleichschenkliges oder gleichschenkliges Trapez, Antiparallelogramm.

In einen Kreis eingeschriebene Vierecke mit senkrechten Diagonalen (eingeschriebene orthodiagonale Vierecke)

Eigenschaften von Vierecken, die in einen Kreis mit senkrechten Diagonalen eingeschrieben sind

Umkreisradius und Fläche

Nehmen Sie für ein Viereck, das in einen Kreis mit senkrechten Diagonalen eingeschrieben ist, an, dass der Schnittpunkt der Diagonalen eine Diagonale in Längensegmente unterteilt P 1 und P 2 und teilt die andere Diagonale in Längensegmente Q 1 und Q 2. Dann (Die erste Gleichheit ist Satz 11 von Archimedes) Buch der Lemmas)

D^2=p_1^2+p_2^2+q_1^2+q_2^2=a^2+c^2=b^2+d^2,

Wo D- Durchmesser des Kreises. Dies ist wahr, weil die Diagonalen senkrecht zur Kreissehne verlaufen. Aus diesen Gleichungen folgt der Radius des umschriebenen Kreises R kann geschrieben werden als

R=\tfrac(1)(2)\sqrt(p_1^2+p_2^2+q_1^2+q_2^2)

oder in Bezug auf die Seiten eines Vierecks in der Form

R=\tfrac(1)(2)\sqrt(a^2+c^2)=\tfrac(1)(2)\sqrt(b^2+d^2).

Daraus folgt auch

a^2+b^2+c^2+d^2=8R^2.

  • Für eingeschriebene ordiagonale Vierecke gilt der Satz von Brahmagupta:

Wenn ein zyklisches Viereck senkrechte Diagonalen hat, die sich in einem Punkt schneiden M, dann zwei Paare davon antimediatris durch einen Punkt gehen M.

Kommentar. In diesem Satz unter Anti-Mediatrix das Segment verstehen F.E. Viereck in der Abbildung rechts (analog zur Mittelsenkrechten (Mediatrix) zur Seite des Dreiecks). Es steht senkrecht auf einer Seite und verläuft gleichzeitig durch die Mitte der gegenüberliegenden Seite des Vierecks.

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Anmerkungen

  1. Bradley, Christopher J. (2007), Die Algebra der Geometrie: Kartesische, flächenhafte und projektive Koordinaten,Highperception, p. 179, ISBN 1906338000, OCLC
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  3. Siddons, A. W. & Hughes, R. T. (1929) Trigonometrie, Cambridge University Press, S. 202, O.C.L.C.
  4. Durell, C. V. & Robson, A. (2003), , Courier Dover, ISBN 978-0-486-43229-8 ,
  5. Alsina, Claudi & Nelsen, Roger B. (2007), „“, Forum Geometricorum T. 7: 147–9 ,
  6. Johnson, Roger A., Erweiterte euklidische Geometrie, Dover Publ., 2007 (ursprünglich 1929).
  7. Hoehn, Larry (März 2000), „Zirkumradius eines zyklischen Vierecks“, Mathematische Zeitung T. 84 (499): 69–70
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  9. Altshiller-Court, Nathan (2007), Hochschulgeometrie: Eine Einführung in die moderne Geometrie des Dreiecks und des Kreises(2. Aufl.), Courier Dover, S. 131, 137–8, ISBN 978-0-486-45805-2, OCLC
  10. Honsberger, Ross (1995), , Episoden der euklidischen Geometrie des 19. und 20. Jahrhunderts, Bd. 37, New Mathematical Library, Cambridge University Press, S. 35–39, ISBN 978-0-88385-639-0
  11. Weisstein, Eric W.(Englisch) auf der Wolfram MathWorld-Website.
  12. Bradley, Christopher (2011), ,
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  16. Andreescu, Titu & Enescu, Bogdan (2004), , Schätze der Mathematikolympiade, Springer, S. 44–46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8
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  20. Johnson, Roger A., Erweiterte euklidische Geometrie, Dover Publ. Co., 2007
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  26. Prasolov, Viktor, ,
  27. Alsina, Claudi & Nelsen, Roger (2009), , , Mathematical Association of America, p. 64, ISBN 978-0-88385-342-9 ,
  28. Sastry, K.R.S. (2002). "" (PDF). Forum Geometricorum 2 : 167–173.
  29. Posamentier, Alfred S. & Salkind, Charles T. (1970), , Anspruchsvolle Probleme in der Geometrie(2. Aufl.), Courier Dover, S. 104–5, ISBN 978-0-486-69154-1
  30. .
  31. .
  32. .

siehe auch








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Ziele.

Lehrreich. Schaffung von Voraussetzungen für die erfolgreiche Beherrschung des Konzepts des beschriebenen Vierecks, seiner Eigenschaften, Merkmale und die Beherrschung der Fähigkeiten, diese in der Praxis anzuwenden.

Entwicklung. Entwicklung mathematischer Fähigkeiten, Schaffung von Voraussetzungen für die Fähigkeit, Vorwärts- und Rückwärtsgedanken zu verallgemeinern und anzuwenden.

Lehrreich. Den Sinn für Schönheit durch die Ästhetik der Zeichnungen kultivieren und das Ungewöhnliche überraschen

Entscheidung, Organisationsbildung, Verantwortung für die Ergebnisse der eigenen Arbeit.

1. Studieren Sie die Definition eines umschriebenen Vierecks.

2. Beweisen Sie die Eigenschaft der Seiten des umschriebenen Vierecks.

3. Führen Sie die Dualität der Eigenschaften der Summen gegenüberliegender Seiten und entgegengesetzter Winkel eingeschriebener und umschriebener Vierecke ein.

4. Vermittlung von Erfahrungen in der praktischen Anwendung der betrachteten Theoreme bei der Lösung von Problemen.

5. Führen Sie eine erste Überwachung des Assimilationsniveaus des neuen Materials durch.

Ausrüstung:

  • Computer, Projektor;
  • Lehrbuch „Geometrie. 10-11 Klassen“ für die Allgemeinbildung. Institutionen: Basis und Profil. automatische Ebenen EIN V. Pogorelow.

Software: Microsoft Word, Microsoft Power Punkt.

Verwendung eines Computers bei der Vorbereitung eines Lehrers auf eine Unterrichtsstunde.

Mit einem Standard-Windows-Betriebssystemprogramm wurde für den Unterricht Folgendes erstellt:

  1. Präsentation.
  2. Tische.
  3. Blaupausen.
  4. Handzettel.

Unterrichtsplan

  • Zeit organisieren. (2 Minuten.)
  • Hausaufgaben überprüfen. (5 Minuten.)
  • Neues Material lernen. (28 Min.)
  • Selbstständige Arbeit. (7 Min.)
  • Hausaufgaben.(1 Minute.)
  • Zusammenfassung der Lektion. (2 Minuten.)
  • Während des Unterrichts

    1. Organisatorischer Moment. Grüße. Geben Sie das Thema und den Zweck der Lektion an. Notieren Sie Datum und Thema der Lektion in Ihrem Notizbuch.

    2. Hausaufgaben überprüfen.

    3. Neues Material studieren.

    Arbeiten Sie am Konzept eines umschriebenen Polygons.

    Definition. Das Polygon heißt beschriebenüber einen Kreis, wenn Alle seine Seiten Sorge irgendein Kreis.

    Frage. Welche der vorgeschlagenen Polygone werden beschrieben und welche nicht und warum?

    <Презентация. Слайд №2>

    Beweis der Eigenschaften des umschriebenen Vierecks.

    <Презентация. Слайд №3>

    Satz. In einem umschriebenen Viereck sind die Summen der gegenüberliegenden Seiten gleich.

    Die Studierenden arbeiten mit dem Lehrbuch und schreiben die Formulierung des Satzes in ein Notizbuch.

    1. Präsentieren Sie die Formulierung des Theorems in Form eines Bedingungssatzes.

    2. Was ist die Bedingung des Satzes?

    3. Was ist die Schlussfolgerung des Theorems?

    Antwort. Wenn ein Viereck wird um einen Kreis herum beschrieben, Das die Summen der gegenüberliegenden Seiten sind gleich.

    Der Nachweis wird geführt, die Studierenden machen sich Notizen in ihren Heften.

    <Презентация. Слайд №4>

    Lehrer. Notiz Dualität Situationen für Seiten und Winkel von umschriebenen und eingeschriebenen Vierecken.

    Festigung des erworbenen Wissens.

    Aufgaben.

  • Die gegenüberliegenden Seiten des beschriebenen Vierecks betragen 8 m und 12 m. Ist es möglich, den Umfang zu finden?
  • Aufgaben basierend auf fertigen Zeichnungen.<Презентация. Слайд №5>
  • Antwort. 1. 10 m. 2. 20 m. 3. 21 m

    Beweis der Charakteristik eines umschriebenen Vierecks.

    Geben Sie den umgekehrten Satz an.

    Antwort. Wenn in einem Viereck die Summen der gegenüberliegenden Seiten gleich sind, kann darin ein Kreis eingeschrieben werden. (Zurück zu Folie 2, Abb. 7) <Презентация. Слайд №2>

    Lehrer. Klären Sie die Formulierung des Satzes.

    Satz. Wenn die Summen der gegenüberliegenden Seiten konvex Wenn ein Viereck gleich ist, kann darin ein Kreis eingeschrieben werden.

    Arbeiten mit dem Lehrbuch. Machen Sie sich mit dem Beweis des Tests für ein umschriebenes Viereck anhand des Lehrbuchs vertraut.

    Anwendung des erworbenen Wissens.

    3. Aufgaben basierend auf fertigen Zeichnungen.

    1. Ist es möglich, einen Kreis in ein Viereck mit gegenüberliegenden Seiten von 9 m und 4 m, 10 m und 3 m einzuschreiben?

    2. Ist es möglich, einem gleichschenkligen Trapez mit einer Grundfläche von 1 m und 9 m und einer Höhe von 3 m einen Kreis einzuschreiben?

    <Презентация. Слайд №6>

    Schriftliche Arbeit in Notizbüchern

    .

    Aufgabe. Finden Sie den Radius eines Kreises, der in eine Raute mit Diagonalen von 6 m und 8 m eingeschrieben ist.

    <Презентация. Слайд № 7>

    4. Selbstständiges Arbeiten.

      1 Option

    1. Ist es möglich, einen Kreis einzuschreiben?

    1) in ein Rechteck mit den Seiten 7 m und 10 m,

    2. Die gegenüberliegenden Seiten eines um einen Kreis umschriebenen Vierecks betragen 7 m und 10 m.

    Finden Sie den Umfang des Vierecks.

    3. Ein gleichseitiges Trapez mit den Grundflächen 4 m und 16 m wird um einen Kreis beschrieben.

    1) Radius des eingeschriebenen Kreises,

    Option 2

    1. Ist es möglich, einen Kreis einzuschreiben:

    1) in einem Parallelogramm mit den Seiten 6 m und 13 m,

    2) im Quadrat?

    2. Die gegenüberliegenden Seiten eines um einen Kreis umschriebenen Vierecks betragen 9 m und 11 m. Ermitteln Sie den Umfang des Vierecks.

    3. Ein gleichseitiges Trapez mit einer Seitenlänge von 5 m wird um einen Kreis mit einem Radius von 2 m umschrieben.

    1) die Basis des Trapezes,

    2) Radius des umschriebenen Kreises.

    5. Hausaufgaben. S.86, Nr. 28, 29, 30.

    6. Zusammenfassung der Lektion. Die selbstständige Arbeit wird überprüft und benotet.

    <Презентация. Слайд № 8>

    "Kreis" Wir haben gesehen, dass ein Kreis um jedes Dreieck herum beschrieben werden kann. Das heißt, für jedes Dreieck gibt es einen Kreis, auf dem alle drei Eckpunkte des Dreiecks „sitzen“. So:

    Frage: Lässt sich das Gleiche auch über ein Viereck sagen? Stimmt es, dass es immer einen Kreis geben wird, auf dem alle vier Eckpunkte des Vierecks „sitzen“?

    Es stellt sich heraus, dass dies NICHT WAHR ist! Ein Viereck kann NICHT IMMER in einen Kreis eingeschrieben werden. Es gibt eine sehr wichtige Bedingung:

    Auf unserem Bild:

    .

    Schauen Sie, die Winkel und liegen einander gegenüber, das heißt, sie sind entgegengesetzt. Was ist dann mit den Winkeln und? Scheinen sie auch Gegensätze zu sein? Ist es möglich, Winkel und anstelle von Winkeln und zu nehmen?

    Natürlich kannst du! Die Hauptsache ist, dass das Viereck zwei entgegengesetzte Winkel hat, deren Summe gleich ist. Die verbleibenden zwei Winkel addieren sich dann ebenfalls von selbst. Glaubst du nicht? Stellen wir sicher. Sehen:

    Lassen. Erinnern Sie sich an die Summe aller vier Winkel eines Vierecks? Sicherlich, . Das heißt – immer! . Aber, → .

    Da ist Magie!

    Denken Sie also genau daran:

    Wenn ein Viereck in einen Kreis eingeschrieben ist, dann ist die Summe zweier seiner entgegengesetzten Winkel gleich

    umgekehrt:

    Wenn ein Viereck zwei entgegengesetzte Winkel hat, deren Summe gleich ist, dann ist das Viereck zyklisch.

    Wir werden dies alles hier nicht beweisen (bei Interesse schauen Sie sich die nächsten Theorieebenen an). Aber sehen wir uns an, wozu diese bemerkenswerte Tatsache führt: dass in einem eingeschriebenen Viereck die Summe der entgegengesetzten Winkel gleich ist.

    Mir kommt zum Beispiel die Frage in den Sinn: Ist es möglich, einen Kreis um ein Parallelogramm zu beschreiben? Probieren wir zunächst die „Poke-Methode“ aus.

    Irgendwie klappt es nicht.

    Wenden wir nun das Wissen an:

    Nehmen wir an, wir hätten es irgendwie geschafft, einen Kreis auf ein Parallelogramm zu passen. Dann muss es auf jeden Fall sein: , das heißt.

    Erinnern wir uns nun an die Eigenschaften eines Parallelogramms:

    Jedes Parallelogramm hat gleiche entgegengesetzte Winkel.

    Es stellte sich heraus, dass

    Was ist mit den Winkeln und? Naja, natürlich das Gleiche.

    Beschriftet → →

    Parallelogramm→ →

    Erstaunlich, oder?

    Es stellt sich heraus, dass, wenn ein Parallelogramm in einen Kreis eingeschrieben ist, alle seine Winkel gleich sind, das heißt, es ist ein Rechteck!

    Und gleichzeitig - Der Mittelpunkt des Kreises fällt mit dem Schnittpunkt der Diagonalen dieses Rechtecks ​​zusammen. Dies ist sozusagen als Bonus enthalten.

    Nun, das heißt, wir haben herausgefunden, dass ein in einen Kreis eingeschriebenes Parallelogramm so ist Rechteck.

    Lassen Sie uns nun über das Trapez sprechen. Was passiert, wenn ein Trapez in einen Kreis eingeschrieben ist? Aber es stellt sich heraus, dass es so sein wird gleichschenkliges Trapez . Warum?

    Das Trapez sei in einen Kreis eingeschrieben. Andererseits aber aufgrund der Parallelität der Linien und.

    Das bedeutet: → → gleichschenkliges Trapez.

    Noch einfacher als mit einem Rechteck, oder? Aber Sie müssen sich genau daran erinnern – es wird sich als nützlich erweisen:

    Lassen Sie uns die wichtigsten noch einmal auflisten Hauptaussagen Tangente an ein in einen Kreis eingeschriebenes Viereck:

    1. Ein Viereck ist genau dann in einen Kreis eingeschrieben, wenn die Summe seiner beiden gegenüberliegenden Winkel gleich ist
    2. Ein in einen Kreis eingeschriebenes Parallelogramm – auf jeden Fall Rechteck und der Mittelpunkt des Kreises fällt mit dem Schnittpunkt der Diagonalen zusammen
    3. Ein in einen Kreis eingeschriebenes Trapez ist gleichseitig.

    Beschriftetes Viereck. Durchschnittsniveau

    Es ist bekannt, dass es zu jedem Dreieck einen umschriebenen Kreis gibt (das haben wir im Thema „Der umschriebene Kreis“ bewiesen). Was lässt sich über das Viereck sagen? Es stellt sich heraus, dass NICHT JEDES Viereck kann in einen Kreis eingeschrieben werden, und es gibt einen solchen Satz:

    Ein Viereck ist genau dann in einen Kreis eingeschrieben, wenn die Summe seiner entgegengesetzten Winkel gleich ist.

    In unserer Zeichnung -

    Versuchen wir zu verstehen, warum das so ist? Mit anderen Worten, wir werden diesen Satz nun beweisen. Aber bevor Sie es beweisen, müssen Sie verstehen, wie die Aussage selbst funktioniert. Sind Ihnen die Worte „dann und nur dann“ in der Aussage aufgefallen? Solche Worte bedeuten, dass schädliche Mathematiker zwei Aussagen in eine gepackt haben.

    Lassen Sie uns entschlüsseln:

    1. „Dann“ bedeutet: Wenn ein Viereck in einen Kreis eingeschrieben ist, dann ist die Summe zweier seiner gegenüberliegenden Winkel gleich.
    2. „Nur dann“ bedeutet: Wenn ein Viereck zwei entgegengesetzte Winkel hat, deren Summe gleich ist, dann kann ein solches Viereck in einen Kreis eingeschrieben werden.

    Genau wie Alice: „Ich denke, was ich sage“ und „Ich sage, was ich denke.“

    Lassen Sie uns nun herausfinden, warum sowohl 1 als auch 2 wahr sind.

    Erster 1.

    Ein Viereck sei in einen Kreis einbeschrieben. Markieren wir seinen Mittelpunkt und zeichnen wir die Radien und. Was wird passieren? Erinnern Sie sich, dass ein eingeschriebener Winkel halb so groß ist wie der entsprechende Zentralwinkel? Wenn Sie sich erinnern, verwenden wir es jetzt, und wenn nicht, werfen Sie einen Blick auf das Thema "Kreis. Beschrifteter Winkel".

    Beschriftet

    Beschriftet

    Aber schau: .

    Wir bekommen das, wenn - dann eingeschrieben ist

    Nun, es ist klar, dass es auch passt. (wir müssen auch darüber nachdenken).

    Nun „umgekehrt“, also 2.

    Es stellt sich heraus, dass in einem Viereck die Summe zweier entgegengesetzter Winkel gleich ist. Sagen wir mal, lass

    Wir wissen noch nicht, ob wir einen Kreis um ihn herum beschreiben können. Aber wir wissen mit Sicherheit, dass wir garantiert in der Lage sind, einen Kreis um ein Dreieck zu beschreiben. Also machen wir's.

    Wenn ein Punkt nicht auf dem Kreis „sitzt“, landet er zwangsläufig entweder außerhalb oder innerhalb des Kreises.

    Betrachten wir beide Fälle.

    Lassen Sie den Punkt zunächst außen liegen. Dann schneidet das Segment irgendwann den Kreis. Lasst uns verbinden und. Das Ergebnis ist ein beschriftetes (!) Viereck.

    Wir wissen bereits darüber, dass die Summe seiner entgegengesetzten Winkel gleich ist, und zwar gemäß unserer Bedingung.

    Es stellt sich heraus, dass es so sein sollte.

    Dies kann jedoch unmöglich der Fall sein, da - ein äußerer Gesichtspunkt und ein Mittel ist.

    Was ist mit drinnen? Lasst uns ähnliche Dinge tun. Lassen Sie den Punkt im Inneren liegen.

    Dann schneidet die Fortsetzung des Segments den Kreis in einem Punkt. Wiederum - ein eingeschriebenes Viereck, und je nach Bedingung muss es erfüllt sein, aber - ein äußerer Winkel für und bedeutet, das heißt, das kann wiederum nicht sein.

    Das heißt, ein Punkt kann weder außerhalb noch innerhalb des Kreises liegen – er liegt also auf dem Kreis!

    Der ganze Satz ist bewiesen!

    Sehen wir uns nun an, welche guten Konsequenzen dieser Satz hat.

    Folgerung 1

    Ein in einen Kreis eingeschriebenes Parallelogramm kann nur ein Rechteck sein.

    Lassen Sie uns verstehen, warum das so ist. Ein Parallelogramm sei in einen Kreis eingeschrieben. Dann sollte es erledigt sein.

    Aber aus den Eigenschaften eines Parallelogramms wissen wir das.

    Und das Gleiche gilt natürlich auch für die Winkel und.

    Es entsteht also ein Rechteck – alle Ecken liegen aneinander.

    Darüber hinaus gibt es aber noch eine weitere erfreuliche Tatsache: Der Mittelpunkt des um das Rechteck umschriebenen Kreises fällt mit dem Schnittpunkt der Diagonalen zusammen.

    Lassen Sie uns verstehen, warum. Ich hoffe, Sie erinnern sich noch genau daran, dass der durch den Durchmesser begrenzte Winkel eine gerade Linie ist.

    Durchmesser,

    Durchmesser

    was bedeutet, dass es das Zentrum ist. Das ist alles.

    Folgerung 2

    Ein in einen Kreis eingeschriebenes Trapez ist gleichschenklig.

    Das Trapez sei in einen Kreis eingeschrieben. Dann.

    Und auch.

    Haben wir alles besprochen? Nicht wirklich. Tatsächlich gibt es eine andere, „geheime“ Möglichkeit, ein eingeschriebenes Viereck zu erkennen. Wir werden diese Methode nicht sehr streng (aber klar) formulieren, sondern sie erst auf der letzten Ebene der Theorie beweisen.

    Wenn man in einem Viereck ein solches Bild wie hier in der Abbildung beobachten kann (hier sind die auf die Seite der Punkte „blickenden“ Winkel gleich), dann ist ein solches Viereck eingeschrieben.

    Dies ist eine sehr wichtige Zeichnung – bei Problemen ist sie oft leichter zu finden gleiche Winkel, als die Summe der Winkel und.

    Trotz des völligen Mangels an Genauigkeit in unserer Formulierung ist sie korrekt und wird darüber hinaus von den Prüfern des Einheitlichen Staatsexamens stets akzeptiert. Sie sollten etwa Folgendes schreiben:

    „- beschriftet“ – und alles wird gut!

    Vergessen Sie dieses wichtige Zeichen nicht – merken Sie sich das Bild, dann fällt es Ihnen vielleicht rechtzeitig bei der Lösung des Problems ins Auge.

    Beschriftetes Viereck. Kurzbeschreibung und Grundformeln

    Wenn ein Viereck in einen Kreis eingeschrieben ist, dann ist die Summe zweier seiner entgegengesetzten Winkel gleich

    umgekehrt:

    Wenn ein Viereck zwei entgegengesetzte Winkel hat, deren Summe gleich ist, dann ist das Viereck zyklisch.

    Ein Viereck ist genau dann in einen Kreis eingeschrieben, wenn die Summe seiner beiden gegenüberliegenden Winkel gleich ist.

    In einen Kreis eingeschriebenes Parallelogramm- sicherlich ein Rechteck, und der Mittelpunkt des Kreises fällt mit dem Schnittpunkt der Diagonalen zusammen.

    Ein in einen Kreis eingeschriebenes Trapez ist gleichschenklig.