Toate formulele pentru progresia aritmetică. Progresia algebrică
Citeste si
Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)
Progresie aritmetică este o serie de numere în care fiecare număr este mai mare (sau mai mic) decât precedentul cu aceeași cantitate.
Acest subiect pare adesea complex și de neînțeles. Indici de litere al n-lea termen progresii, diferențe de progresie - toate acestea sunt oarecum confuze, da... Să ne dăm seama ce înseamnă progresia aritmetică și totul se va îmbunătăți imediat.)
Conceptul de progresie aritmetică.
Progresia aritmetică este un concept foarte simplu și clar. Ai vreo îndoială? Degeaba.) Vezi singur.
Voi scrie o serie neterminată de numere:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Poți extinde această serie? Ce numere vor urma, după cele cinci? Toată lumea... uh..., pe scurt, toată lumea își va da seama că vor urma numerele 6, 7, 8, 9 etc.
Să complicăm sarcina. Vă dau o serie neterminată de numere:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Veți putea să prindeți modelul, să extindeți seria și să denumiți al șaptelea numărul rândului?
Dacă ți-ai dat seama că acest număr este 20, felicitări! Nu numai că ai simțit puncte cheie ale progresiei aritmetice, dar și le-a folosit cu succes în afaceri! Dacă nu ți-ai dat seama, citește mai departe.
Acum să traducem punctele cheie din senzații în matematică.)
Primul punct cheie.
Progresia aritmetică se ocupă de serii de numere. Acest lucru este confuz la început. Suntem obișnuiți să rezolvăm ecuații, să desenăm grafice și toate astea... Dar aici extindem seria, găsim numărul seriei...
E bine. Doar că progresiile sunt prima cunoaștere cu o nouă ramură a matematicii. Secțiunea se numește „Serii” și funcționează în mod specific cu serii de numere și expresii. Obisnuieste-te.)
Al doilea punct cheie.
Într-o progresie aritmetică, orice număr este diferit de cel precedent cu aceeași sumă.
În primul exemplu, această diferență este una. Indiferent de numărul pe care îl luați, este cu unul mai mult decât cel anterior. În al doilea - trei. Orice număr este cu trei mai mult decât precedentul. De fapt, acest moment ne oferă posibilitatea de a înțelege modelul și de a calcula numerele ulterioare.
Al treilea punct cheie.
Acest moment nu este izbitor, da... Dar este foarte, foarte important. Aici era: Fiecare număr de progresie este la locul său. Există primul număr, există al șaptelea, există al patruzeci și cinci, etc. Dacă le amesteci la întâmplare, modelul va dispărea. De asemenea, progresia aritmetică va dispărea. Ceea ce a mai rămas este doar o serie de numere.
Asta e toată ideea.
Desigur, în subiect nou apar noi termeni și denumiri. Trebuie să le cunoști. Altfel nu vei înțelege sarcina. De exemplu, va trebui să decideți ceva de genul:
Notați primii șase termeni ai progresiei aritmetice (a n), dacă a 2 = 5, d = -2,5.
Inspirant?) Scrisori, niște indexuri... Și sarcina, apropo, nu ar putea fi mai simplă. Trebuie doar să înțelegeți semnificația termenilor și a denumirilor. Acum vom stăpâni această chestiune și ne vom întoarce la sarcină.
Termeni și denumiri.
Progresie aritmetică este o serie de numere în care fiecare număr este diferit de cel precedent cu aceeași sumă.
Această cantitate se numește . Să ne uităm la acest concept mai detaliat.
Diferența de progresie aritmetică.
Diferența de progresie aritmetică este valoarea cu care orice număr de progresie Mai mult precedentul.
unu punct important. Vă rugăm să acordați atenție cuvântului "Mai mult". Din punct de vedere matematic, aceasta înseamnă că fiecare număr de progresie este prin adăugarea diferența de progresie aritmetică față de numărul anterior.
Pentru a calcula, să zicem al doilea numerele seriei, trebuie primul număr adăuga tocmai această diferență a unei progresii aritmetice. Pentru calcul a cincea- este necesara diferenta adăuga La Al patrulea, bine, etc.
Diferența de progresie aritmetică Pot fi pozitiv, atunci fiecare număr din serie se va dovedi a fi real mai mult decât precedentul. Această progresie se numește crescând. De exemplu:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Aici se obține fiecare număr prin adăugarea număr pozitiv, +5 față de cel precedent.
Diferența poate fi negativ, atunci fiecare număr din serie va fi mai puțin decât precedentul. Această progresie se numește (nu o să crezi!) in scadere.
De exemplu:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Aici se obține și fiecare număr prin adăugarea la precedentul, dar deja un număr negativ, -5.
Apropo, atunci când lucrați cu progresie, este foarte util să determinați imediat natura acesteia - dacă este în creștere sau în scădere. Acest lucru vă ajută foarte mult să navigați prin decizie, să vă identificați greșelile și să le corectați înainte de a fi prea târziu.
Diferența de progresie aritmetică notată de obicei prin literă d.
Cum să găsești d? Foarte simplu. Este necesar să se scadă din orice număr din serie anterior număr. Scădea. Apropo, rezultatul scăderii se numește „diferență”.)
Să definim, de exemplu, d pentru creșterea progresiei aritmetice:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Luăm orice număr din serie pe care îl dorim, de exemplu, 11. Scădem din el numărul anterior acestea. 8:
Acesta este răspunsul corect. Pentru această progresie aritmetică, diferența este de trei.
O poți lua orice număr de progresie, deoarece pentru o anumită progresie d-întotdeauna la fel. Cel puțin undeva la începutul rândului, cel puțin la mijloc, cel puțin oriunde. Nu poți lua doar primul număr. Pur și simplu pentru că primul număr nici unul precedent.)
Apropo, știind asta d=3, găsirea celui de-al șaptelea număr al acestei progresii este foarte simplă. Să adăugăm 3 la al cincilea număr - obținem al șaselea, va fi 17. Să adăugăm trei la al șaselea număr, obținem al șaptelea număr - douăzeci.
Să definim d pentru progresia aritmetică descrescătoare:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Vă reamintesc că, indiferent de semne, să se determine d nevoie de la orice număr ia-l pe cel precedent. Alegeți orice număr de progres, de exemplu -7. Numărul său anterior este -2. Apoi:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Diferența unei progresii aritmetice poate fi orice număr: întreg, fracțional, irațional, orice număr.
Alți termeni și denumiri.
Fiecare număr din serie este numit membru al unei progresii aritmetice.
Fiecare membru al progresiei are propriul său număr. Cifrele sunt strict în ordine, fără trucuri. Primul, al doilea, al treilea, al patrulea etc. De exemplu, în progresia 2, 5, 8, 11, 14, ... doi este primul termen, cinci este al doilea, unsprezece este al patrulea, bine, înțelegeți...) Vă rugăm să înțelegeți clar - numerele în sine poate fi absolut orice, întreg, fracționat, negativ, orice, dar numerotarea numerelor- strict în ordine!
Cum se scrie o progresie în vedere generala? Nici o problemă! Fiecare număr dintr-o serie este scris ca o literă. Pentru a desemna o progresie aritmetică, se folosește de obicei litera A. Numărul membrului este indicat printr-un index în dreapta jos. Scriem termeni separați prin virgule (sau punct și virgulă), astfel:
un 1, un 2, un 3, un 4, un 5, .....
a 1- acesta este primul număr, a 3- al treilea etc. Nimic de lux. Această serie poate fi scrisă pe scurt astfel: (un n).
Se întâmplă progrese finit și infinit.
Final progresia are un număr limitat de membri. Cinci, treizeci și opt, orice. Dar este un număr finit.
Infinit progresie - are un număr infinit de membri, după cum ați putea ghici.)
Puteți scrie progresia finală printr-o serie ca aceasta, toți termenii și un punct la sfârșit:
un 1, un 2, un 3, un 4, un 5.
Sau așa, dacă sunt mulți membri:
un 1, un 2, ... un 14, un 15.
În intrarea scurtă va trebui să indicați suplimentar numărul de membri. De exemplu (pentru douăzeci de membri), astfel:
(a n), n = 20
O progresie infinită poate fi recunoscută prin punctele de suspensie de la sfârșitul rândului, ca în exemplele din această lecție.
Acum puteți rezolva sarcinile. Sarcinile sunt simple, doar pentru înțelegerea semnificației unei progresii aritmetice.
Exemple de sarcini privind progresia aritmetică.
Să ne uităm la sarcina dată mai sus în detaliu:
1. Scrieți primii șase termeni ai progresiei aritmetice (a n), dacă a 2 = 5, d = -2,5.
Traducem sarcina într-un limbaj ușor de înțeles. Este dată o progresie aritmetică infinită. Al doilea număr al acestei progresii este cunoscut: a 2 = 5. Diferența de progresie este cunoscută: d = -2,5. Trebuie să găsim primul, al treilea, al patrulea, al cincilea și al șaselea termen al acestei progresii.
Pentru claritate, voi scrie o serie în funcție de condițiile problemei. Primii șase termeni, în care al doilea termen este cinci:
un 1, 5, un 3, un 4, un 5, un 6,...
a 3 = a 2 + d
Înlocuiți în expresie a 2 = 5Și d = -2,5. Nu uita de minus!
a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Al treilea mandat s-a dovedit mai putin de doi. Totul este logic. Dacă numărul este mai mare decât cel precedent negativ valoare, ceea ce înseamnă că numărul în sine va fi mai mic decât cel anterior. Progresia este în scădere. Bine, să luăm în considerare.) Numărăm al patrulea termen al seriei noastre:
a 4 = a 3 + d
a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
un 5 = a 4 + d
un 5=0+(-2,5)= - 2,5
a 6 = un 5 + d
a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Deci, au fost calculati termeni de la al treilea la al saselea. Rezultatul este următoarea serie:
a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....
Rămâne de găsit primul termen a 1 conform binecunoscutei secunde. Acesta este un pas în cealaltă direcție, spre stânga.) Deci, diferența de progresie aritmetică d nu trebuie adăugată a 2, A la pachet:
a 1 = a 2 - d
a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Asta este. Răspuns la sarcină:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
În treacăt, aș dori să notez că am rezolvat această sarcină recurent cale. Acest cuvânt teribil înseamnă doar căutarea unui membru al progresiei conform numărului anterior (adiacent). Vom analiza mai jos alte moduri de a lucra cu progresia.
Din această sarcină simplă se poate trage o concluzie importantă.
Tine minte:
Dacă cunoaștem cel puțin un termen și diferența unei progresii aritmetice, putem găsi orice termen al acestei progresii.
Vă amintiți? Această concluzie simplă vă permite să rezolvați majoritatea problemelor cursului școlar pe această temă. Toate sarcinile se învârt în jurul trei principale parametri: membru al unei progresii aritmetice, diferență a unei progresii, număr al unui membru al progresiei. Toate.
Desigur, toată algebra anterioară nu este anulată.) Inegalitățile, ecuațiile și alte lucruri sunt atașate progresiei. Dar conform progresiei în sine- totul se învârte în jurul a trei parametri.
De exemplu, să ne uităm la câteva sarcini populare pe acest subiect.
2. Scrieți progresia aritmetică finită ca o serie dacă n=5, d = 0,4 și a 1 = 3,6.
Totul este simplu aici. Totul a fost deja dat. Trebuie să vă amintiți cum sunt numărați membrii unei progresii aritmetice, să-i numărați și să le scrieți. Este recomandabil să nu pierdeți cuvintele din condițiile sarcinii: „final” și „ n=5". Pentru a nu număra până nu ești complet albastru la față.) Există doar 5 (cinci) membri în această progresie:
a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4
a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4
a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
un 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Rămâne să scrieți răspunsul:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
O altă sarcină:
3. Stabiliți dacă numărul 7 va fi membru al progresiei aritmetice (a n), dacă a 1 = 4,1; d = 1,2.
Hmm... Cine știe? Cum să determine ceva?
Cum-cum... Notează progresia sub forma unei serii și vezi dacă va fi un șapte acolo sau nu! Numaram:
a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3
a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5
a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Acum se vede clar că suntem doar șapte strecurat prin intre 6,5 si 7,7! Șapte nu s-au înscris în seria noastră de numere și, prin urmare, șapte nu vor fi un membru al progresiei date.
Răspuns: nu.
Iată o problemă bazată pe opțiune reală GIA:
4. Se scriu mai mulți termeni consecutivi ai progresiei aritmetice:
...; 15; X; 9; 6; ...
Iată o serie scrisă fără sfârșit și fără început. Fără numere de membri, fără diferențe d. E bine. Pentru a rezolva problema, este suficient să înțelegeți semnificația unei progresii aritmetice. Să ne uităm și să vedem ce este posibil a sti din seria asta? Care sunt cei trei parametri principali?
Numerele membrilor? Nu există un singur număr aici.
Dar sunt trei numere și - atenție! - cuvânt "consistent" in conditie. Aceasta înseamnă că numerele sunt strict în ordine, fără lacune. Sunt două în acest rând? vecine numere cunoscute? Da, am! Acestea sunt 9 și 6. Prin urmare, putem calcula diferența progresiei aritmetice! Scădeți din șase anterior număr, adică nouă:
Au mai rămas doar fleacuri. Ce număr va fi cel anterior pentru X? Cincisprezece. Aceasta înseamnă că X poate fi găsit cu ușurință prin simplă adăugare. Adăugați diferența progresiei aritmetice la 15:
Asta e tot. Răspuns: x=12
Următoarele probleme le rezolvăm singuri. Notă: aceste probleme nu se bazează pe formule. Pur și simplu pentru a înțelege semnificația unei progresii aritmetice.) Scriem doar o serie de numere și litere, ne uităm și ne dăm seama.
5. Aflați primul termen pozitiv al progresiei aritmetice dacă a 5 = -3; d = 1,1.
6. Se știe că numărul 5,5 este membru al progresiei aritmetice (a n), unde a 1 = 1,6; d = 1,3. Determinați numărul n al acestui termen.
7. Se știe că în progresia aritmetică a 2 = 4; a 5 = 15,1. Găsiți un 3.
8. Se scriu mai mulți termeni consecutivi ai progresiei aritmetice:
...; 15,6; X; 3,4; ...
Găsiți termenul progresiei indicat de litera x.
9. Trenul a început să se deplaseze din gară, crescând uniform viteza cu 30 de metri pe minut. Care va fi viteza trenului în cinci minute? Dati raspunsul in km/ora.
10. Se știe că în progresia aritmetică a 2 = 5; a 6 = -5. Găsiți un 1.
Răspunsuri (în dezordine): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.
S-a rezolvat totul? Uimitor! Puteți stăpâni progresia aritmetică pentru mai mult nivel inalt, în lecțiile următoare.
Nu a mers totul? Nici o problemă. În Secțiunea Specială 555, toate aceste probleme sunt defalcate bucată cu bucată.) Și, desigur, este descrisă una simplă tehnica practica, care evidențiază imediat soluția la astfel de sarcini clar, clar, dintr-o privire!
Apropo, în puzzle-ul trenului există două probleme de care oamenii se poticnesc adesea. Unul este pur în termeni de progresie, iar al doilea este general pentru orice problemă de matematică și fizică. Aceasta este o traducere a dimensiunilor de la una la alta. Arată cum trebuie rezolvate aceste probleme.
În această lecție am analizat semnificația elementară a unei progresii aritmetice și principalii ei parametri. Acest lucru este suficient pentru a rezolva aproape toate problemele pe această temă. Adăuga d la numere, scrie o serie, totul se va rezolva.
Soluția cu degetul funcționează bine pentru bucăți foarte scurte dintr-un rând, ca în exemplele din această lecție. Dacă seria este mai lungă, calculele devin mai complicate. De exemplu, dacă în problema 9 din întrebare înlocuim "cinci minute" pe „treizeci și cinci de minute” problema se va agrava semnificativ.)
Și există și sarcini simple în esență, dar absurde în ceea ce privește calculele, de exemplu:
Este dată o progresie aritmetică (a n). Aflați un 121 dacă a 1 =3 și d=1/6.
Deci ce, vom adăuga 1/6 de multe, de multe ori?! Poți să te sinucizi!?
Puteți.) Dacă nu cunoașteți o formulă simplă prin care puteți rezolva astfel de sarcini într-un minut. Această formulă va fi în lecția următoare. Și acolo se rezolvă această problemă. Intr-un minut.)
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)
Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
Care este esența principală a formulei?
Această formulă vă permite să găsiți orice CU NUMĂRUL LUI " n" .
Desigur, trebuie să cunoști și primul termen a 1 si diferenta de progresie d, ei bine, fără acești parametri nu puteți nota o anumită progresie.
Memorarea (sau cribing) acestei formule nu este suficientă. Trebuie să-i înțelegeți esența și să aplicați formula în diverse probleme. Și, de asemenea, să nu uite la momentul potrivit, da...) Cum nu uita- Nu știu. Si aici cum să-ți amintești Dacă este necesar, cu siguranță te voi sfătui. Pentru cei care finalizează lecția până la sfârșit.)
Deci, să ne uităm la formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice.
Ce este o formulă în general? Apropo, aruncați o privire dacă nu l-ați citit. Totul este simplu acolo. Rămâne să ne dăm seama ce este al n-lea termen.
Progresia în general poate fi scrisă ca o serie de numere:
un 1, un 2, un 3, un 4, un 5, .....
a 1- denotă primul termen al unei progresii aritmetice, a 3- al treilea membru, a 4- al patrulea și așa mai departe. Dacă suntem interesați de al cincilea mandat, să presupunem că lucrăm cu un 5, dacă o sută douăzecea - s un 120.
Cum îl putem defini în termeni generali? orice termenul unei progresii aritmetice, cu orice număr? Foarte simplu! Ca aceasta:
un n
Asta e al n-lea termen al unei progresii aritmetice. Litera n ascunde toate numerele de membru simultan: 1, 2, 3, 4 și așa mai departe.
Și ce ne oferă un astfel de record? Gândește-te, în loc de un număr au notat o scrisoare...
Această notație ne oferă un instrument puternic pentru a lucra cu progresia aritmetică. Folosind notația un n, putem găsi rapid orice membru orice progresie aritmetică. Și rezolvă o grămadă de alte probleme de progres. Vei vedea singur mai departe.
În formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1- primul termen al unei progresii aritmetice;
n- numarul membrului.
Formula conectează parametrii cheie ai oricărei progresii: un n; a 1; dȘi n. Toate problemele de progresie gravitează în jurul acestor parametri.
Formula al n-lea termen poate fi folosită și pentru a scrie o anumită progresie. De exemplu, problema poate spune că progresia este specificată de condiția:
a n = 5 + (n-1) 2.
O astfel de problemă poate fi o fundătură... Nu există nici o serie, nici o diferență... Dar, comparând condiția cu formula, este ușor de înțeles că în această progresie a 1 =5 și d=2.
Și poate fi și mai rău!) Dacă luăm aceeași condiție: a n = 5 + (n-1) 2, Da, deschideți parantezele și aduceți altele asemănătoare? Obținem o nouă formulă:
a n = 3 + 2n.
Acest Doar nu general, ci pentru o evoluție specifică. Aici se ascunde capcana. Unii oameni cred că primul termen este un trei. Deși în realitate primul termen este cinci... Puțin mai jos vom lucra cu o astfel de formulă modificată.
În problemele de progresie există o altă notație - un n+1. Acesta este, după cum ați ghicit, termenul „n plus primul” al progresiei. Sensul său este simplu și inofensiv.) Acesta este un membru al progresiei al cărui număr este mai mare decât numărul n cu unul. De exemplu, dacă într-o problemă luăm un n al cincilea termen atunci un n+1 va fi al șaselea membru. etc.
Cel mai adesea desemnarea un n+1 găsite în formulele de recurenţă. Nu vă fie frică de acest cuvânt înfricoșător!) Acesta este doar o modalitate de a exprima un membru al unei progresii aritmetice prin cea precedentă. Să presupunem că ni se oferă o progresie aritmetică în această formă, folosind o formulă recurentă:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
Al patrulea - prin al treilea, al cincilea - prin al patrulea și așa mai departe. Cum putem număra imediat, să zicem, al douăzecilea termen? un 20? Dar nu există nicio cale!) Până nu aflăm al 19-lea termen, nu îl putem număra pe al 20-lea. Aceasta este diferența fundamentală dintre formula recurentă și formula celui de-al n-lea termen. Funcționează recurent numai prin anterior termen, iar formula celui de-al n-lea termen este prin primul si permite pe loc găsiți orice membru după numărul său. Fără a calcula întreaga serie de numere în ordine.
Într-o progresie aritmetică, este ușor să transformi o formulă recurentă într-una obișnuită. Numărați o pereche de termeni consecutivi, calculați diferența d, găsiți, dacă este necesar, primul termen a 1, scrieți formula în forma ei obișnuită și lucrați cu ea. Astfel de sarcini sunt adesea întâlnite în Academia de Științe de Stat.
Aplicarea formulei pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice.
Mai întâi, să ne uităm la aplicarea directă a formulei. La sfârșitul lecției anterioare a apărut o problemă:
Este dată o progresie aritmetică (a n). Aflați un 121 dacă a 1 =3 și d=1/6.
Această problemă poate fi rezolvată fără formule, pur și simplu pe baza semnificației unei progresii aritmetice. Adăugați și adăugați... O oră sau două.)
Și conform formulei, soluția va dura mai puțin de un minut. Puteți să-l cronometrați.) Să decidem.
Condițiile oferă toate datele pentru utilizarea formulei: a 1 =3, d=1/6. Rămâne să ne dăm seama ce este egal n. Nici o problemă! Trebuie să găsim un 121. Deci scriem:
Vă rugam să acordați atentie! În loc de index n a apărut un anumit număr: 121. Ceea ce este destul de logic.) Ne interesează membrul progresiei aritmetice. numărul o sută douăzeci şi unu. Acesta va fi al nostru n. Acesta este sensul n= 121 vom înlocui în continuare în formulă, între paranteze. Înlocuim toate numerele în formulă și calculăm:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Asta este. La fel de repede se putea găsi termenul cinci sute al zecelea, iar o mie și al treilea, oricare. punem in schimb n numărul dorit în indexul literei " A"și între paranteze, și numărăm.
Permiteți-mi să vă reamintesc ideea: această formulă vă permite să găsiți orice termen de progresie aritmetică CU NUMĂRUL LUI " n" .
Să rezolvăm problema într-un mod mai viclean. Să întâlnim următoarea problemă:
Aflați primul termen al progresiei aritmetice (a n), dacă a 17 =-2; d=-0,5.
Dacă aveți dificultăți, vă spun primul pas. Scrieți formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice! Da Da. Scrieți cu mâinile, chiar în caiet:
| a n = a 1 + (n-1)d |
Și acum, privind literele formulei, înțelegem ce date avem și ce lipsește? Disponibil d=-0,5, există un al șaptesprezecelea membru... Asta e? Dacă crezi că asta este, atunci nu vei rezolva problema, da...
Mai avem un număr n! In conditie a 17 =-2 ascuns doi parametri. Aceasta este atât valoarea celui de-al șaptesprezecelea termen (-2), cât și numărul său (17). Acestea. n=17. Acest „fleeac” alunecă adesea pe lângă cap și fără el, (fără „fleeac”, nu cap!) problema nu poate fi rezolvată. Deși... și fără cap.)
Acum putem pur și simplu să substituim datele noastre în formula:
a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
O da, un 17știm că este -2. Bine, hai să înlocuim:
-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Asta e practic tot. Rămâne să exprimăm primul termen al progresiei aritmetice din formulă și să-l calculăm. Raspunsul va fi: a 1 = 6.
Această tehnică - scrierea unei formule și pur și simplu înlocuirea datelor cunoscute - este de mare ajutor în sarcini simple. Ei bine, desigur, trebuie să poți exprima o variabilă dintr-o formulă, dar ce să faci!? Fără această abilitate, matematica nu poate fi studiată deloc...
Un alt puzzle popular:
Aflați diferența progresiei aritmetice (a n), dacă a 1 =2; a 15 =12.
Ce facem? Vei fi surprins, noi scriem formula!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Să luăm în considerare ceea ce știm: a 1 =2; a 15 =12; și (voi evidenția în special!) n=15. Simțiți-vă liber să înlocuiți acest lucru în formula:
12=2 + (15-1)d
Facem aritmetica.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Acesta este răspunsul corect.
Deci, sarcinile pentru un n, un 1Și d hotărât. Tot ce rămâne este să înveți cum să găsești numărul:
Numărul 99 este un membru al progresiei aritmetice (a n), unde a 1 =12; d=3. Găsiți numărul acestui membru.
Înlocuim cantitățile cunoscute de noi în formula celui de-al n-lea termen:
a n = 12 + (n-1) 3
La prima vedere, există două cantități necunoscute aici: un n și n. Dar un n- acesta este un membru al progresiei cu un număr n...Și îl cunoaștem pe acest membru al progresiei! Este 99. Nu-i știm numărul. n, Deci, acest număr este ceea ce trebuie să găsiți. Inlocuim termenul progresiei 99 in formula:
99 = 12 + (n-1) 3
Exprimăm din formulă n, noi gândim. Primim raspunsul: n=30.
Și acum o problemă pe același subiect, dar mai creativ):
Determinați dacă numărul 117 este membru al progresiei aritmetice (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Să scriem din nou formula. Ce, nu există parametri? Hm... De ce ni se dau ochi?) Vedem primul termen al progresiei? V-om vedea. Acesta este -3,6. Puteți scrie în siguranță: a 1 = -3,6. Diferență d Poți spune din serial? Este ușor dacă știi care este diferența unei progresii aritmetice:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Deci, am făcut cel mai simplu lucru. Rămâne să ne ocupăm de numărul necunoscut n iar numărul de neînțeles 117. În problema anterioară, cel puțin se știa că era dat termenul progresiei. Dar aici nici nu știm... Ce să facem!? Ei bine, ce să faci, ce să faci... Pornește Abilități creative!)
Noi presupune că 117 este, până la urmă, un membru al progresiei noastre. Cu un număr necunoscut n. Și, la fel ca în problema anterioară, să încercăm să găsim acest număr. Acestea. scriem formula (da, da!)) și înlocuim numerele noastre:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Din nou exprimăm din formulăn, numărăm și obținem:
Hopa! Numărul s-a dovedit fracționat! O sută și jumătate. Și numere fracționale în progresii nu poate fi. Ce concluzie putem trage? Da! Numărul 117 nu este membru al progresiei noastre. Este undeva între termenii o sută și primul și o sută și al doilea. Dacă numărul s-a dovedit natural, adică este un întreg pozitiv, atunci numărul ar fi un membru al progresiei cu numărul găsit. Și în cazul nostru, răspunsul la problemă va fi: Nu.
O sarcină bazată pe o versiune reală a GIA:
O progresie aritmetică este dată de condiția:
a n = -4 + 6,8n
Găsiți primul și al zecelea termen al progresiei.
Aici progresia este stabilită într-un mod neobișnuit. Un fel de formulă... Se întâmplă.) Cu toate acestea, această formulă (cum am scris mai sus) - de asemenea formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice! Ea permite, de asemenea găsiți orice membru al progresiei după numărul său.
Căutăm primul membru. Cel care gândește. că primul termen este minus patru este fatal greșit!) Deoarece formula din problemă este modificată. Primul termen al progresiei aritmetice în el ascuns. Este în regulă, îl vom găsi acum.)
La fel ca în problemele anterioare, înlocuim n=1în această formulă:
a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8
Aici! Primul termen este 2,8, nu -4!
Căutăm al zecelea termen în același mod:
a 10 = -4 + 6,8 10 = 64
Asta este.
Și acum, pentru cei care au citit aceste rânduri, bonusul promis.)
Să presupunem că, într-o situație dificilă de luptă a examenului de stat sau a examenului unificat de stat, ați uitat formula utilă pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice. Îmi amintesc ceva, dar cumva nesigur... Or n acolo, sau n+1 sau n-1... Cum sa fii!?
Calm! Această formulă este ușor de obținut. Nu foarte strict, dar pentru încredere și decizia corectă cu siguranță suficient!) Pentru a trage o concluzie, este suficient să vă amintiți semnificația elementară a unei progresii aritmetice și să aveți câteva minute de timp. Trebuie doar să desenezi o imagine. Pentru claritate.
Desenați o linie numerică și marcați-o pe prima. al doilea, al treilea etc. membrii. Și notăm diferența dîntre membri. Ca aceasta:
Ne uităm la imagine și ne gândim: ce înseamnă al doilea termen? Al doilea unu d:
A 2 =a 1 + 1 d
Care este al treilea termen? Al treilea termenul este egal cu primul termen plus Două d.
A 3 =a 1 + 2 d
Ai inteles? Nu degeaba evidențiez câteva cuvinte cu caractere aldine. Bine, încă un pas).
Care este al patrulea termen? Al patrulea termenul este egal cu primul termen plus Trei d.
A 4 =a 1 + 3 d
Este timpul să ne dăm seama că numărul de lacune, adică. d, Mereu cu unul mai puțin decât numărul membrului pe care îl căutați n. Adică la număr n, numărul de spații voi n-1. Prin urmare, formula va fi (fără variații!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
În general, imaginile vizuale sunt de mare ajutor în rezolvarea multor probleme de matematică. Nu neglija pozele. Dar dacă este dificil să desenezi o imagine, atunci... doar o formulă!) În plus, formula celui de-al n-lea termen vă permite să conectați întregul arsenal puternic al matematicii la soluție - ecuații, inegalități, sisteme etc. Nu poți introduce o imagine în ecuație...
Sarcini pentru soluție independentă.
A încălzi:
1. În progresia aritmetică (a n) a 2 =3; a 5 =5,1. Găsiți un 3.
Sugestie: conform imaginii, problema poate fi rezolvată în 20 de secunde... Conform formulei, se dovedește mai dificil. Dar pentru stăpânirea formulei, este mai util.) În Secțiunea 555, această problemă este rezolvată folosind atât imaginea, cât și formula. Simte diferenta!)
Și aceasta nu mai este o încălzire.)
2. În progresia aritmetică (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Aflați un 3 .
Ce, nu vrei să faci un desen?) Desigur! Mai bine dupa formula, da...
3. Progresia aritmetică este dată de condiția:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Găsiți termenul o sută douăzeci și cinci al acestei progresii.
În această sarcină, progresia este specificată în mod recurent. Dar numărând până la al o sută douăzeci și cinci de termen... Nu toată lumea este capabilă de o asemenea ispravă.) Dar formula celui de-al n-lea termen este în puterea tuturor!
4. Având în vedere o progresie aritmetică (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Aflați numărul celui mai mic termen pozitiv al progresiei.
5. Conform condițiilor sarcinii 4, găsiți suma celor mai mici termeni pozitivi și cei mai mari negativi ai progresiei.
6. Produsul termenilor al cincilea și al doisprezecelea al unei progresii aritmetice crescătoare este egal cu -2,5, iar suma celor trei și al unsprezecelea termeni este egală cu zero. Găsiți un 14.
Nu este cea mai ușoară sarcină, da...) Metoda „degetului” nu va funcționa aici. Va trebui să scrieți formule și să rezolvați ecuații.
Răspunsuri (în dezordine):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
S-a întâmplat? E dragut!)
Nu merge totul? Se întâmplă. Apropo, există un punct subtil în ultima sarcină. Va fi necesară atenție când citiți problema. Și logica.
Soluția la toate aceste probleme este discutată în detaliu în Secțiunea 555. Și elementul de fantezie pentru al patrulea și un moment subtil pentru al șaselea și abordări generale pentru a rezolva orice probleme care implică formula celui de-al n-lea termen - totul este scris. Vă recomand.
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)
Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
I. V. Yakovlev | Materiale de matematică | MathUs.ru
Progresie aritmetică
Progresia aritmetică este tip special ulterior. Prin urmare, înainte de a defini o progresie aritmetică (și apoi geometrică), trebuie să discutăm pe scurt concept important succesiune de numere.
Urmare
Imaginează-ți un dispozitiv pe ecranul căruia anumite numere sunt afișate unul după altul. Să spunem 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Acest set de numere este tocmai un exemplu de succesiune.
Definiție. Secvență de numere acesta este un set de numere în care fiecărui număr i se poate atribui un număr unic (adică asociat cu un singur număr natural)1. Numărul cu numărul n este numit al n-lea termen secvente.
Deci, în exemplul de mai sus, primul număr este 2, acesta este primul membru al secvenței, care poate fi notat cu a1; numărul cinci are numărul 6 este al cincilea termen al șirului, care poate fi notat cu a5. În general, al n-lea termen al unei secvențe este notat cu un (sau bn, cn etc.).
O situație foarte convenabilă este atunci când al n-lea termen al secvenței poate fi specificat printr-o formulă. De exemplu, formula an = 2n 3 specifică succesiunea: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Formula an = (1)n specifică succesiunea: 1; 1; 1; 1; : : :
Nu orice set de numere este o secvență. Astfel, un segment nu este o succesiune; conține „prea multe” numere pentru a fi renumerotate. Mulțimea R a tuturor numerelor reale nu este, de asemenea, o secvență. Aceste fapte sunt dovedite în cursul analizei matematice.
Progresia aritmetică: definiții de bază
Acum suntem gata să definim o progresie aritmetică.
Definiție. O progresie aritmetică este o succesiune în care fiecare termen (începând cu al doilea) este egal cu suma termenului anterior și a unui număr fix (numit diferența progresiei aritmetice).
De exemplu, secvența 2; 5; 8; unsprezece; : : : este o progresie aritmetică cu primul termen 2 și diferența 3. Secvența 7; 2; 3; 8; : : : este o progresie aritmetică cu primul termen 7 și diferența 5. Secvența 3; 3; 3; : : : este o progresie aritmetică cu o diferență egală cu zero.
Definiție echivalentă: șirul an se numește progresie aritmetică dacă diferența an+1 an este o valoare constantă (independentă de n).
O progresie aritmetică se numește crescătoare dacă diferența este pozitivă și descrescătoare dacă diferența este negativă.
1 Iată o definiție mai concisă: o secvență este o funcție definită pe o mulțime numere naturale. De exemplu, o succesiune de numere reale este o funcție f: N ! R.
În mod implicit, secvențele sunt considerate infinite, adică care conțin un număr infinit de numere. Dar nimeni nu ne deranjează să luăm în considerare secvențe finite; de fapt, orice set finit de numere poate fi numită o secvență finită. De exemplu, secvența finală este 1; 2; 3; 4; 5 este format din cinci numere.
Formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice
Este ușor de înțeles că o progresie aritmetică este complet determinată de două numere: primul termen și diferența. Prin urmare, se pune întrebarea: cum, cunoscând primul termen și diferența, găsim un termen arbitrar al unei progresii aritmetice?
Nu este dificil să obțineți formula necesară pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice. Lasă an
progresie aritmetică cu diferență d. Avem: | |
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :): | |
În special, scriem: | |
a2 = a1 + d; | |
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d; | |
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d; | |
și acum devine clar că formula pentru an este: | |
an = a1 + (n 1)d: |
Problema 1. În progresia aritmetică 2; 5; 8; unsprezece; : : : găsiți formula pentru al n-lea termen și calculați al sutelea termen.
Soluţie. Conform formulei (1) avem:
an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:
a100 = 3 100 1 = 299:
Proprietatea și semnul progresiei aritmetice
Proprietatea progresiei aritmetice. În progresie aritmetică an pentru orice
Cu alte cuvinte, fiecare membru al unei progresii aritmetice (începând de la al doilea) este media aritmetică a membrilor săi vecini.
Dovada. Avem: | ||||
a n 1+ a n+1 | (an d) + (an + d) | |||
care este ceea ce s-a cerut.
Mai general, progresia aritmetică an satisface egalitatea
a n = a n k+ a n+k
pentru orice n > 2 și orice k natural< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
Se pare că formula (2) servește nu numai ca o condiție necesară, ci și ca o condiție suficientă pentru ca șirul să fie o progresie aritmetică.
Semnul progresiei aritmetice. Dacă egalitatea (2) este valabilă pentru toate n > 2, atunci șirul an este o progresie aritmetică.
Dovada. Să rescriem formula (2) în felul următor:
a na n 1= a n+1a n:
Din aceasta putem vedea că diferența an+1 an nu depinde de n, și asta înseamnă tocmai că șirul an este o progresie aritmetică.
Proprietatea și semnul unei progresii aritmetice pot fi formulate sub forma unui enunț; Pentru comoditate, vom face acest lucru pentru trei numere (aceasta este situația care apare adesea în probleme).
Caracterizarea unei progresii aritmetice. Trei numere a, b, c formează o progresie aritmetică dacă și numai dacă 2b = a + c.
Problema 2. (MSU, Facultatea de Economie, 2007) Trei numere 8x, 3 x2 și 4 în ordinea indicată formează o progresie aritmetică descrescătoare. Găsiți x și indicați diferența acestei progresii.
Soluţie. Prin proprietatea progresiei aritmetice avem:
2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x = 5:
Dacă x = 1, atunci obținem o progresie descrescătoare de 8, 2, 4 cu o diferență de 6. Dacă x = 5, atunci obținem o progresie crescătoare de 40, 22, 4; acest caz nu este potrivit.
Răspuns: x = 1, diferența este 6.
Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice
Legenda spune că într-o zi profesorul le-a spus copiilor să găsească suma numerelor de la 1 la 100 și s-a așezat în liniște să citească ziarul. Cu toate acestea, în câteva minute, un băiat a spus că a rezolvat problema. Acesta a fost Carl Friedrich Gauss, în vârstă de 9 ani, mai târziu unul dintre cei mai mari matematicieni din istorie.
Ideea micuțului Gauss a fost următoarea. Lăsa
S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:
Să scriem această sumă în ordine inversă:
S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;
și adăugați aceste două formule:
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
Fiecare termen dintre paranteze este egal cu 101 și există 100 de astfel de termeni în total.
2S = 101 100 = 10100;
Folosim această idee pentru a deriva formula sumei
S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)
O modificare utilă a formulei (3) se obține dacă înlocuim formula celui de-al n-lea termen an = a1 + (n 1)d în ea:
2a1 + (n 1)d | |||||
Problema 3. Aflați suma tuturor numerelor pozitive din trei cifre divizibile cu 13.
Soluţie. Numerele din trei cifre care sunt multipli ai lui 13 formează o progresie aritmetică, primul termen fiind 104 și diferența fiind 13; Al n-lea termen al acestei progresii are forma:
an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:
Să aflăm câți termeni conține progresia noastră. Pentru a face acest lucru, rezolvăm inegalitatea:
un 6 999; 91 + 13n 6 999;
n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:
Deci, sunt 69 de membri în progresul nostru. Folosind formula (4) găsim cantitatea necesară:
S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2
Probleme privind progresia aritmetică existau deja în cele mai vechi timpuri. Au apărut și au cerut o soluție pentru că aveau o nevoie practică.
Deci, într-unul din papirusuri Egiptul antic„, care are un conținut matematic – papirusul Rhind (sec. XIX î.Hr.) – conține următoarea sarcină: împărțiți zece măsuri de pâine între zece persoane, cu condiția ca diferența dintre fiecare dintre ele să fie de o opteme din măsură”.
Și în lucrările de matematică ale grecilor antici există teoreme elegante legate de progresia aritmetică. Astfel, Hypsicles din Alexandria (secolul al II-lea, care a compilat multe probleme interesante și a adăugat cartea a XIV-a la Elementele lui Euclid), a formulat ideea: „Într-o progresie aritmetică care are un număr par de termeni, suma termenilor din a doua jumătate. este mai mare decât suma termenilor primului de pe pătrat 1/2 numere de membri.”
Secvența este notată cu un. Numerele unei secvențe sunt numite membrii acesteia și sunt de obicei notate cu litere cu indici care indică număr de serie acest membru (a1, a2, a3 ... citește: „un 1”, „un 2”, „un 3” și așa mai departe).
Secvența poate fi infinită sau finită.
Ce este o progresie aritmetică? Prin ea înțelegem pe cel obținut prin adăugarea termenului anterior (n) cu același număr d, care este diferența de progresie.
Dacă d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, atunci această progresie este considerată în creștere.
O progresie aritmetică se numește finită dacă sunt luați în considerare doar primii săi termeni. La foarte cantitati mari membri este deja o progresie nesfârșită.
Orice progresie aritmetică este definită de următoarea formulă:
an =kn+b, în timp ce b și k sunt niște numere.
Afirmația opusă este absolut adevărată: dacă o secvență este dată de o formulă similară, atunci este exact o progresie aritmetică care are proprietățile:
- Fiecare termen al progresiei este media aritmetică a termenului anterior și a celui următor.
- Revers: dacă, începând cu al 2-lea, fiecare termen este media aritmetică a termenului anterior și a celui următor, i.e. dacă condiția este îndeplinită, atunci această secvență este o progresie aritmetică. Această egalitate este, de asemenea, un semn al progresiei, motiv pentru care este de obicei numită o proprietate caracteristică a progresiei.
În același mod, teorema care reflectă această proprietate este adevărată: o secvență este o progresie aritmetică numai dacă această egalitate este adevărată pentru oricare dintre termenii șirului, începând cu al 2-lea.
Proprietatea caracteristică pentru oricare patru numere ale unei progresii aritmetice poate fi exprimată prin formula an + am = ak + al, dacă n + m = k + l (m, n, k sunt numere de progresie).
Într-o progresie aritmetică, orice termen necesar (al N-lea) poate fi găsit folosind următoarea formulă:
De exemplu: primul termen (a1) dintr-o progresie aritmetică este dat și egal cu trei, iar diferența (d) este egală cu patru. Trebuie să găsiți al patruzeci și cincilea termen al acestei progresii. a45 = 1+4(45-1)=177
Formula an = ak + d(n - k) vă permite să determinați al n-lea termen al unei progresii aritmetice prin oricare dintre cei k-lea termeni ai săi, cu condiția să fie cunoscut.
Suma termenilor unei progresii aritmetice (adică primii n termeni ai unei progresii finite) se calculează după cum urmează:
Sn = (a1+an) n/2.
Dacă primul termen este de asemenea cunoscut, atunci o altă formulă este convenabilă pentru calcul:
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.
Suma unei progresii aritmetice care conține n termeni se calculează după cum urmează:
Alegerea formulelor pentru calcule depinde de condițiile problemelor și de datele inițiale.
Serii naturale ale oricăror numere, cum ar fi 1,2,3,...,n,...- cel mai simplu exemplu progresie aritmetică.
Pe lângă progresia aritmetică, există și o progresie geometrică, care are proprietăți și caracteristici proprii.
Progresii aritmetice și geometrice
Informații teoretice
Informații teoretice
Progresie aritmetică |
Progresie geometrică |
|
Definiție |
Progresie aritmetică un n este o succesiune în care fiecare membru, începând cu al doilea, este egal cu membrul anterior adăugat la același număr d (d- diferenta de progresie) |
Progresie geometrică b n este o succesiune de numere diferite de zero, fiecare termen al cărora, începând cu al doilea, este egal cu termenul anterior înmulțit cu același număr q (q- numitorul progresiei) |
Formula de recurență |
Pentru orice natural n |
Pentru orice natural n |
Formula al n-lea termen |
a n = a 1 + d (n – 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| Proprietate caracteristică |  |
|
| Suma primilor n termeni |  |
 |
Exemple de sarcini cu comentarii
Exercitiul 1
În progresie aritmetică ( un n) a 1 = -6, a 2
Conform formulei celui de-al n-lea termen:
un 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 d
După condiție:
a 1= -6, atunci un 22= -6 + 21 d .
Este necesar să găsiți diferența de progresii:
d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
un 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Răspuns : un 22 = -48.
Sarcina 2
Aflați al cincilea termen al progresiei geometrice: -3; 6;....
Prima metodă (folosind formula n termeni)
Conform formulei pentru al n-lea termen al unei progresii geometrice:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Deoarece b 1 = -3,
A doua metodă (folosind formula recurentă)
Deoarece numitorul progresiei este -2 (q = -2), atunci:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Răspuns : b 5 = -48.
Sarcina 3
În progresie aritmetică ( a n ) a 74 = 34; un 76= 156. Aflați al șaptezeci și cincilea termen al acestei progresii.
Pentru progresia aritmetică proprietate caracteristică se pare ca 
.
Prin urmare:
.
Să înlocuim datele în formula:
Raspuns: 95.
Sarcina 4
În progresie aritmetică ( a n ) a n= 3n - 4. Aflați suma primilor șaptesprezece termeni.
Pentru a afla suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice, se folosesc două formule:
.
Care dintre ele este mai convenabil de utilizat în acest caz?
Prin condiție, formula pentru al n-lea termen al progresiei inițiale este cunoscută ( un n) un n= 3n - 4. Puteți găsi imediat și a 1, Și un 16 fără a găsi d. Prin urmare, vom folosi prima formulă.
Raspuns: 368.
Sarcina 5
În progresie aritmetică ( un n) a 1 = -6; a 2= -8. Găsiți termenul douăzeci și doi al progresiei.
Conform formulei celui de-al n-lea termen:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.
După condiție, dacă a 1= -6, atunci un 22= -6 + 21d . Este necesar să găsiți diferența de progresii:
d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
un 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Răspuns : un 22 = -48.
Sarcina 6
Se scriu mai mulți termeni consecutivi ai progresiei geometrice:
Găsiți termenul progresiei etichetat x.
Când rezolvăm, vom folosi formula pentru al n-lea termen b n = b 1 ∙ q n - 1 Pentru progresii geometrice. Primul termen al progresiei. Pentru a găsi numitorul progresiei q, trebuie să luați oricare dintre termenii dați ai progresiei și să împărțiți la cel anterior. În exemplul nostru, putem lua și împărți prin. Obținem că q = 3. În loc de n, înlocuim 3 în formulă, deoarece este necesar să găsim al treilea termen al unei progresii geometrice date.
Înlocuind valorile găsite în formulă, obținem:
.
Răspuns : .
Sarcina 7
Din progresiile aritmetice date de formula celui de-al n-lea termen, selectați-l pe cel pentru care este îndeplinită condiția un 27 > 9:
Deoarece condiția dată trebuie îndeplinită pentru al 27-lea termen al progresiei, înlocuim 27 în loc de n în fiecare dintre cele patru progresii. În a 4-a progresie obținem:
.
Raspuns: 4.
Sarcina 8
În progresie aritmetică a 1= 3, d = -1,5. Specifica cea mai mare valoare n pentru care inegalitatea este valabilă un n > -6.