Solution d'équations exponentielles en ligne avec une solution détaillée. équations exponentielles

22.09.2019

7. Équations exponentielles avec paramètres.

1. Pour quelles valeurs du paramètre p l'équation 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) a-t-elle seule décision?

La solution. Introduisons le changement 2x = t, t > 0, alors l'équation (1) prendra la forme t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Le discriminant de l'équation (2) est D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

L'équation (1) a une solution unique si l'équation (2) a une racine positive. Ceci est possible dans les cas suivants.

1. Si D = 0, c'est-à-dire p = 1, alors l'équation (2) prendra la forme t2 – 2t + 1 = 0, donc t = 1, donc l'équation (1) a une solution unique x = 0.

2. Si p1, alors 9(p – 1)2 > 0, alors l'équation (2) a deux racines différentes t1 = p, t2 = 4p – 3. L'ensemble des systèmes satisfait la condition du problème

En remplaçant t1 et t2 dans les systèmes, nous avons

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

La solution. Laisser alors l'équation (3) prendra la forme t2 – 6t – a = 0. (4)

Trouvons les valeurs du paramètre a pour lesquelles au moins une racine de l'équation (4) vérifie la condition t > 0.

Introduisons la fonction f(t) = t2 – 6t – a. Les cas suivants sont possibles.

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Cas 2. L'équation (4) a une solution positive unique si

D = 0, si a = – 9, alors l'équation (4) prendra la forme (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Cas 3. L'équation (4) a deux racines, mais l'une d'elles ne satisfait pas l'inégalité t > 0. Ceci est possible si

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Ainsi, en a 0 l'équation (4) a une seule racine positive . Alors l'équation (3) a une solution unique

Pour un< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

si un< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
si a = – 9, alors x = – 1;

si a  0, alors

Comparons les méthodes de résolution des équations (1) et (3). A noter que lors de la résolution de l'équation (1) on a réduit à une équation quadratique dont le discriminant est un carré plein ; ainsi, les racines de l'équation (2) ont été immédiatement calculées par la formule des racines de l'équation quadratique, puis des conclusions ont été tirées concernant ces racines. L'équation (3) a été réduite à une équation quadratique (4), dont le discriminant n'est pas un carré parfait, par conséquent, lors de la résolution de l'équation (3), il est conseillé d'utiliser des théorèmes sur l'emplacement des racines d'un trinôme carré et un modèle graphique. Notez que l'équation (4) peut être résolue en utilisant le théorème de Vieta.

Résolvons des équations plus complexes.

Tâche 3. Résoudre l'équation

La solution. ODZ : x1, x2.

Introduisons un remplaçant. Soit 2x = t, t > 0, alors suite aux transformations l'équation prendra la forme t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Trouvons les valeurs de a pour lesquelles au moins une racine de l'équation (*) satisfait la condition t > 0.

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Réponse : si a > - 13, a  11, a  5, alors si a - 13,

a = 11, a = 5, alors il n'y a pas de racines.

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Rappelons d'abord les formules de base des degrés et leurs propriétés.

Produit d'un nombre un se produit n fois sur lui-même, on peut écrire cette expression sous la forme a a … a=a n

1. un 0 = 1 (un ≠ 0)

3. une n une m = une n + m

4. (un n) m = un nm

5. une n b n = (ab) n

7. un n / un m \u003d un n - m

Équations de puissance ou exponentielles- ce sont des équations dans lesquelles les variables sont en puissances (ou exposants), et la base est un nombre.

Exemples d'équations exponentielles :

Dans cet exemple, le nombre 6 est la base, il est toujours en bas, et la variable X degré ou mesure.

Donnons d'autres exemples d'équations exponentielles.
2 × *5=10
16x-4x-6=0

Voyons maintenant comment les équations exponentielles sont résolues ?

Prenons une équation simple :

2 x = 2 3

Un tel exemple peut être résolu même dans l'esprit. On voit que x=3. Après tout, pour que les côtés gauche et droit soient égaux, vous devez mettre le chiffre 3 au lieu de x.
Voyons maintenant comment cette décision doit être prise :

2 x = 2 3
x = 3

Pour résoudre cette équation, nous avons supprimé mêmes motifs(c'est-à-dire deux) et a écrit ce qui restait, ce sont des degrés. Nous avons eu la réponse que nous cherchions.

Résumons maintenant notre solution.

Algorithme de résolution de l'équation exponentielle :
1. Besoin de vérifier le même si les bases de l'équation à droite et à gauche. Si les motifs ne sont pas les mêmes, nous recherchons des options pour résoudre cet exemple.
2. Une fois que les bases sont les mêmes, assimiler degré et résoudre la nouvelle équation résultante.

Résolvons maintenant quelques exemples :

Commençons simple.

Les bases des côtés gauche et droit sont égales au nombre 2, ce qui signifie que nous pouvons rejeter la base et égaliser leurs degrés.

x+2=4 L'équation la plus simple s'est avérée.
x=4 - 2
x=2
Réponse : x=2

Dans l'exemple suivant, vous pouvez voir que les bases sont différentes, ce sont 3 et 9.

3 3x - 9x + 8 = 0

Pour commencer, nous transférons le neuf sur le côté droit, nous obtenons:

Maintenant, vous devez faire les mêmes bases. On sait que 9=3 2 . Utilisons la formule de puissance (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Nous obtenons 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 maintenant vous pouvez voir que dans la gauche et côté droit les bases sont les mêmes et égales à trois, ce qui signifie que nous pouvons les éliminer et égaliser les degrés.

3x=2x+16 a obtenu l'équation la plus simple
3x-2x=16
x=16
Réponse : x=16.

Regardons l'exemple suivant :

2 2x + 4 - 10 4x \u003d 2 4

Tout d'abord, nous regardons les bases, les bases sont différentes deux et quatre. Et nous devons être les mêmes. On transforme le quadruple selon la formule (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

Et nous utilisons également une formule a n a m = a n + m :

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Ajouter à l'équation :

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Nous avons donné un exemple pour les mêmes raisons. Mais d'autres chiffres 10 et 24 interfèrent avec nous, que faire d'eux ? Si vous regardez attentivement, vous pouvez voir que sur le côté gauche, nous répétons 2 2x, voici la réponse - nous pouvons mettre 2 2x hors parenthèses :

2 2x (2 4 - 10) = 24

Calculons l'expression entre parenthèses :

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

On divise l'équation entière par 6 :

Imaginez 4=2 2 :

2 2x \u003d 2 2 bases sont les mêmes, jetez-les et égalisez les degrés.
2x \u003d 2 s'est avéré être l'équation la plus simple. On le divise par 2, on obtient
x = 1
Réponse : x = 1.

Résolvons l'équation :

9x - 12*3x +27= 0

Transformons :
9 x = (3 2) x = 3 2x

On obtient l'équation :
3 2x - 12 3x +27 = 0

Nos bases sont les mêmes, égales à 3. Dans cet exemple, il est clair que le premier triple a un degré deux fois (2x) que le second (juste x). Dans ce cas, vous pouvez décider méthode de substitution. Le nombre avec le plus petit degré est remplacé par :

Alors 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Nous remplaçons tous les degrés par des x dans l'équation avec t :

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
On a équation quadratique. On résout par le discriminant, on obtient :
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Retour aux variables X.

On prend t 1 :
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

C'est-à-dire,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Une racine a été trouvée. Nous recherchons le second, à partir de t 2 :
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Réponse : x 1 \u003d 2 ; x2 = 1.

Sur le site, vous pouvez dans la section AIDE À DÉCIDER poser des questions d'intérêt, nous vous répondrons certainement.

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Dans cette leçon, nous allons considérer la solution d'équations exponentielles plus complexes, rappeler les principales dispositions théoriques concernant la fonction exponentielle.

1. Définition et propriétés d'une fonction exponentielle, technique de résolution des équations exponentielles les plus simples

Rappeler la définition et les principales propriétés d'une fonction exponentielle. C'est sur les propriétés que repose la solution de toutes les équations et inégalités exponentielles.

Fonction exponentielle est une fonction de la forme , où la base est le degré et Ici x est une variable indépendante, un argument ; y - variable dépendante, fonction.

Riz. 1. Graphique de la fonction exponentielle

Le graphique montre un exposant croissant et décroissant, illustrant la fonction exponentielle à une base supérieure à un et inférieure à un, mais supérieure à zéro, respectivement.

Les deux courbes passent par le point (0;1)

Propriétés de la fonction exponentielle:

Domaine: ;

Plage de valeurs : ;

La fonction est monotone, croît comme , décroît comme .

Une fonction monotone prend chacune de ses valeurs avec une seule valeur d'argument.

Lorsque l'argument augmente de moins à plus l'infini, la fonction augmente de zéro, inclus, à plus l'infini. Au contraire, lorsque l'argument augmente de moins à plus l'infini, la fonction diminue de l'infini à zéro inclus.

2. Solution d'équations exponentielles typiques

Rappelez-vous comment résoudre les équations exponentielles les plus simples. Leur solution est basée sur la monotonie de la fonction exponentielle. Presque toutes les équations exponentielles complexes sont réduites à de telles équations.

L'égalité des exposants à bases égales est due à la propriété de la fonction exponentielle, à savoir sa monotonie.

Méthode de résolution :

Égalisez les bases des degrés;

Exposants d'égalité.

Passons à des équations exponentielles plus complexes, notre objectif est de réduire chacune d'entre elles au plus simple.

Débarrassons-nous de la racine du côté gauche et réduisons les degrés à la même base :

Afin de réduire une équation exponentielle complexe à une simple, un changement de variables est souvent utilisé.

Utilisons la propriété degree :

Nous introduisons un remplaçant. Laisse , alors . Avec un tel remplacement, il est évident que y prend strictement valeurs positives. On a:

Nous multiplions l'équation résultante par deux et transférons tous les termes sur le côté gauche :

La première racine ne satisfait pas l'intervalle des valeurs y, nous l'écartons. On a:

Ramenons les degrés au même indicateur :

Nous introduisons un remplacement :

Laissez alors . Avec ce remplacement, il est évident que y prend des valeurs strictement positives. On a:

Nous savons comment résoudre des équations quadratiques similaires, nous écrivons la réponse :

Pour vous assurer que les racines sont trouvées correctement, vous pouvez vérifier selon le théorème de Vieta, c'est-à-dire trouver la somme des racines et leur produit et vérifier avec les coefficients correspondants de l'équation.

On a:

3. Technique de résolution d'équations exponentielles homogènes du second degré

Étudions ce qui suit genre importantéquations exponentielles :

Les équations de ce type sont dites homogènes du second degré par rapport aux fonctions f et g. Sur son côté gauche se trouve un trinôme carré par rapport à f de paramètre g ou un trinôme carré par rapport à g de paramètre f.

Méthode de résolution :

Cette équation peut être résolu comme un carré, mais il est plus facile de le faire dans l'autre sens. Deux cas doivent être envisagés :

Dans le premier cas, on obtient

Dans le second cas, on a le droit de diviser par le degré le plus élevé et on obtient :

Il faut introduire un changement de variables , on obtient une équation quadratique pour y :

Notez que les fonctions f et g peuvent être arbitraires, mais nous nous intéressons au cas où ce sont des fonctions exponentielles.

4. Exemples de résolution d'équations homogènes

Déplaçons tous les termes vers le côté gauche de l'équation :

Puisque les fonctions exponentielles acquièrent des valeurs strictement positives, nous avons le droit de diviser immédiatement l'équation par , sans considérer le cas où :

On a:

Nous introduisons un remplacement : (selon les propriétés de la fonction exponentielle)

On a une équation quadratique :

Nous déterminons les racines selon le théorème de Vieta :

La première racine ne satisfait pas l'intervalle des valeurs y, on l'écarte, on obtient :

Utilisons les propriétés du degré et réduisons tous les degrés à des bases simples :

Il est facile de remarquer les fonctions f et g :

Puisque les fonctions exponentielles acquièrent des valeurs strictement positives, nous avons le droit de diviser immédiatement l'équation par , sans considérer le cas où .

Qu'est-ce qu'une équation exponentielle ? Exemples.

Donc, une équation exponentielle... Une nouvelle exposition unique à notre exposition générale d'une grande variété d'équations !) Comme c'est presque toujours le cas, le mot-clé de tout nouveau terme mathématique est l'adjectif correspondant qui le caractérise. Donc ici aussi. Le mot clé dans le terme "équation exponentielle" est le mot "démonstratif". Qu'est-ce que ça veut dire? Ce mot signifie que l'inconnu (x) est quel que soit le degré. Et seulement là ! C'est extrêmement important.

Par exemple, ces équations simples :

3 x +1 = 81

5x + 5x +2 = 130

4 2 2 × -17 2 × +4 = 0

Ou même ces monstres :

2 péché x = 0,5

Je vous demande de prêter immédiatement attention à une chose importante : dans terrains degrés (en bas) - Seulement les chiffres. Mais en indicateurs degrés (en haut) - une grande variété d'expressions avec x. Absolument aucun.) Tout dépend de l'équation spécifique. Si, soudainement, x apparaît ailleurs dans l'équation, en plus de l'indicateur (par exemple, 3 x \u003d 18 + x 2), alors une telle équation sera déjà une équation type mixte. De telles équations n'ont pas de règles claires pour la résolution. Par conséquent, dans cette leçon, nous ne les considérerons pas. Pour le plus grand plaisir des étudiants.) Nous ne considérerons ici que des équations exponentielles sous une forme "pure".

D'une manière générale, même les équations exponentielles pures ne sont pas clairement résolues dans tous les cas et pas toujours. Mais parmi la riche variété d'équations exponentielles, certains types peuvent et doivent être résolus. Ce sont ces types d'équations que nous allons considérer avec vous. Et nous allons certainement résoudre les exemples.) Nous nous installons donc confortablement et - sur la route ! Comme dans les "shooters" informatiques, notre parcours passera par les niveaux.) De l'élémentaire au simple, du simple au moyen et du moyen au complexe. En cours de route, vous attendrez également un niveau secret - des astuces et des méthodes pour résoudre des exemples non standard. Celles que vous ne lirez pas dans la plupart des manuels scolaires... Bon, à la fin, bien sûr, le boss final vous attend sous forme de devoirs.)

Niveau 0. Quelle est l'équation exponentielle la plus simple ? Solution des équations exponentielles les plus simples.

Pour commencer, regardons quelques éléments élémentaires francs. Il faut bien commencer quelque part, n'est-ce pas ? Par exemple, cette équation :

2 x = 2 2

Même sans aucune théorie, par simple logique et bon sens il est clair que x = 2. Il n'y a pas d'autre moyen, n'est-ce pas ? Aucune autre valeur de x n'est bonne ... Maintenant, tournons notre attention vers entrée de décision cette équation exponentielle cool:

2 x = 2 2

X = 2

Ce qui nous est arrivé? Et ce qui suit s'est produit. En fait, nous avons pris et ... juste jeté les mêmes bases (deux) ! Complètement jeté. Et, qu'est-ce qui plaît, faites mouche !

Oui, en effet, si dans l'équation exponentielle à gauche et à droite sont le même nombres à n'importe quel degré, alors ces nombres peuvent être ignorés et simplement égaliser les exposants. Les mathématiques le permettent.) Et ensuite, vous pouvez travailler séparément avec des indicateurs et résoudre une équation beaucoup plus simple. C'est génial, non ?

Voici l'idée clé pour résoudre n'importe quelle équation exponentielle (oui, exactement n'importe laquelle !) : en utilisant transformations identiques il est nécessaire de s'assurer que la gauche et la droite dans l'équation sont le même nombres de base dans diverses puissances. Et puis vous pouvez supprimer en toute sécurité les mêmes bases et assimiler les exposants. Et travaillez avec une équation plus simple.

Et maintenant, nous nous souvenons de la règle de fer : il est possible de supprimer les mêmes bases si et seulement si dans l'équation à gauche et à droite les nombres de base sont dans une fière solitude.

Qu'est-ce que cela signifie, dans un splendide isolement ? Cela signifie sans voisins ni coefficients. J'explique.

Par exemple, dans l'équation

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Vous ne pouvez pas supprimer les triplés ! Pourquoi? Parce qu'à gauche, nous n'avons pas seulement un trois degrés solitaire, mais travailler 3 3x-5 . Un triple supplémentaire gêne : un coefficient, vous comprenez.)

On peut dire la même chose de l'équation

5 3x = 5 2x +5x

Ici aussi, toutes les bases sont les mêmes - cinq. Mais à droite nous n'avons pas un seul degré de cinq : il y a la somme des degrés !

Bref, on n'a le droit de supprimer les mêmes bases que lorsque notre équation exponentielle ressemble à ça et seulement comme ça :

unF (X) = un g (X)

Ce type d'équation exponentielle est appelé le plus simple. Ou scientifiquement, canonique . Et quelle que soit l'équation tordue devant nous, d'une manière ou d'une autre, nous la réduirons à une forme aussi simple (canonique). Ou, dans certains cas, de agrégatséquations de ce genre. Alors notre équation la plus simple peut être dans vue générale réécrire comme ceci :

F(x) = g(x)

Et c'est tout. Ce sera la transformation équivalente. En même temps, absolument toutes les expressions avec x peuvent être utilisées comme f(x) et g(x). Peu importe.

Peut-être un étudiant particulièrement curieux demandera-t-il : pourquoi diable écartons-nous si facilement et simplement les mêmes bases à gauche et à droite et assimilons-nous les exposants ? L'intuition est l'intuition, mais soudain, dans une équation et pour une raison quelconque, cette approche se révélera fausse ? Est-il toujours légal de lancer les mêmes buts ? Malheureusement, pour une réponse mathématique rigoureuse à cette intérêt Demander vous devez aller assez loin et sérieusement dans théorie générale comportement de l'appareil et de la fonction. Et un peu plus précisément - dans le phénomène stricte monotonie. En particulier, la stricte monotonie fonction exponentielley= un x. Parce qu'il fonction exponentielle et ses propriétés sous-tendent la solution des équations exponentielles, oui.) Une réponse détaillée à cette question sera donnée dans une leçon spéciale distincte consacrée à la résolution d'équations complexes non standard en utilisant la monotonie de différentes fonctions.)

Expliquer ce point en détail maintenant, c'est seulement sortir le cerveau d'un écolier moyen et lui faire peur à l'avance avec une théorie sèche et lourde. Je ne le ferai pas.) Pour notre principal ce moment une tâche - apprenez à résoudre des équations exponentielles ! Le plus simple ! Par conséquent, jusqu'à ce que nous transpirions et rejetions hardiment les mêmes raisons. ce boîte, croyez-moi sur parole !) Et puis nous résolvons déjà l'équation équivalente f (x) = g (x). En règle générale, il est plus simple que l'exponentielle d'origine.

On suppose, bien sûr, que les gens savent déjà résoudre au moins , et des équations, déjà sans x dans les indicateurs.) Qui ne sait toujours pas comment, n'hésitez pas à fermer cette page, à parcourir les liens appropriés et à remplir les anciennes lacunes. Sinon, vous aurez du mal, oui...

Je passe sous silence les équations irrationnelles, trigonométriques et autres brutales qui peuvent également émerger lors du processus d'élimination des bases. Mais ne vous inquiétez pas, pour l'instant on ne considérera pas l'étain franc en termes de diplômes : c'est trop tôt. Nous nous entraînerons uniquement sur les équations les plus simples.)

Considérons maintenant les équations qui nécessitent un effort supplémentaire pour les réduire au plus simple. Pour les distinguer, appelons-les équations exponentielles simples. Alors passons au niveau suivant !

Niveau 1. Équations exponentielles simples. Reconnaître les diplômes ! indicateurs naturels.

Les règles clés pour résoudre toutes les équations exponentielles sont règles de gestion des diplômes. Sans ces connaissances et ces compétences, rien ne fonctionnera. Hélas. Donc, s'il y a des problèmes avec les diplômes, alors pour commencer, vous êtes les bienvenus. De plus, nous avons également besoin de . Ces transformations (jusqu'à deux !) sont à la base de la résolution de toutes les équations des mathématiques en général. Et pas seulement des vitrines. Alors, ceux qui ont oublié, faites aussi un tour sur le lien : je les mets pour une raison.

Mais seules des actions avec des pouvoirs et des transformations identiques ne suffisent pas. Cela demande aussi de l'observation personnelle et de l'ingéniosité. Nous avons besoin des mêmes terrains, n'est-ce pas ? Nous examinons donc l'exemple et les recherchons sous une forme explicite ou déguisée !

Par exemple, cette équation :

3 2x – 27x +2 = 0

Regardez d'abord terrains. Ils sont différents! Trois et vingt-sept. Mais il est trop tôt pour paniquer et sombrer dans le désespoir. Il est temps de s'en souvenir

27 = 3 3

Les nombres 3 et 27 sont parents en degré ! De plus, parents.) Par conséquent, nous avons parfaitement le droit d'écrire:

27 x +2 = (3 3) x+2

Et maintenant, nous connectons nos connaissances sur actions avec pouvoirs(et je vous avais prévenu !). Il existe une telle formule très utile:

(suis) n = une mn

Maintenant, si vous l'exécutez dans le cours, cela se passe généralement bien :

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

L'exemple d'origine ressemble maintenant à ceci :

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

Super, les bases des diplômes se sont alignées. Ce que nous recherchions. La moitié du travail est faite.) Et maintenant, nous lançons la transformation d'identité de base - nous transférons 3 3 (x +2) vers la droite. Personne n'a annulé les actions élémentaires des mathématiques, oui.) On obtient :

3 2 x = 3 3(x +2)

Qu'est-ce qui nous donne ce genre d'équation? Et le fait que maintenant notre équation est réduite à la forme canonique: debout à gauche et à droite mêmes numéros(triples) en puissances. Et les deux triplés - dans un splendide isolement. Nous supprimons hardiment les triplets et obtenons :

2x = 3(x+2)

Nous résolvons cela et obtenons:

X=-6

C'est tout ce qu'on peut en dire. C'est la bonne réponse.)

Et maintenant nous comprenons le cours de la décision. Qu'est-ce qui nous a sauvés dans cet exemple ? Nous avons été sauvés par la connaissance des degrés du triplet. De quelle façon précisément? Nous identifié numéro 27 crypté trois ! Cette astuce (encoder la même base sous des nombres différents) est l'une des plus populaires dans les équations exponentielles ! A moins que ce ne soit le plus populaire. Oui, et aussi, d'ailleurs. C'est pourquoi l'observation et la capacité à reconnaître les puissances d'autres nombres dans les nombres sont si importantes dans les équations exponentielles !

Conseils pratiques :

Vous devez connaître les pouvoirs des nombres populaires. Dans le visage!

Bien sûr, n'importe qui peut relancer deux à la septième puissance ou trois à la cinquième. Pas dans mon esprit, donc au moins sur un brouillon. Mais dans les équations exponentielles, il est beaucoup plus souvent nécessaire de ne pas élever à une puissance, mais, au contraire, de savoir quel nombre et dans quelle mesure se cache derrière le nombre, disons, 128 ou 243. Et c'est déjà plus compliqué que la simple exponentiation, vous voyez. Sentez la différence, comme on dit !

Puisque la capacité à reconnaître les degrés dans le visage est utile non seulement à ce niveau, mais aussi aux suivants, voici une petite tâche pour vous :

Déterminez quelles puissances et quels nombres sont des nombres :

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Réponses (éparpillées, bien sûr) :

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Oui oui! Ne soyez pas surpris qu'il y ait plus de réponses que de tâches. Par exemple, 2 8 , 4 4 et 16 2 sont tous 256.

Niveau 2. Équations exponentielles simples. Reconnaître les diplômes ! Exposants négatifs et fractionnaires.

A ce niveau, nous utilisons déjà au maximum notre connaissance des diplômes. A savoir, nous impliquons des indicateurs négatifs et fractionnaires dans ce processus fascinant ! Oui oui! Nous devons augmenter notre puissance, n'est-ce pas ?

Par exemple, cette terrible équation :

Encore une fois, regardez d'abord les fondations. Les bases sont différentes ! Et cette fois, ils ne se ressemblent même pas de loin ! 5 et 0.04... Et pour éliminer les bases, il faut les mêmes... Que faire ?

C'est bon! En fait, tout est pareil, seule la connexion entre les cinq et 0,04 est visuellement mal visible. Comment sort-on ? Et passons à la fraction habituelle dans le nombre 0,04 ! Et là, voyez-vous, tout est formé.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Ouah! Il s'avère que 0,04 est 1/25 ! Eh bien, qui aurait pensé!)

Bien comment? Maintenant, la connexion entre les chiffres 5 et 1/25 est plus facile à voir ? C'est ce que c'est...

Et maintenant, selon les règles de fonctionnement avec des pouvoirs avec indicateur négatif boîte d'une main fermeécrire:

C'est super. Nous sommes donc arrivés à la même base - cinq. Nous remplaçons maintenant le nombre inconfortable 0,04 dans l'équation par 5 -2 et obtenons :

Toujours selon les règles des opérations avec puissances, on peut maintenant écrire :

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

Au cas où, je vous rappelle (du coup, qui ne sait pas) que les règles de base des actions à degrés sont valables pour n'importe quel indicateurs ! Y compris pour les négatifs.) N'hésitez donc pas à prendre et à multiplier les indicateurs (-2) et (x-1) selon la règle correspondante. Notre équation va de mieux en mieux :

Tout! En plus des cinq solitaires dans les degrés à gauche et à droite, il n'y a rien d'autre. L'équation est réduite à la forme canonique. Et puis - le long de la piste moletée. Nous supprimons les cinq et assimilons les indicateurs :

X 2 –6 X+5=-2(X-1)

L'exemple est presque terminé. Les mathématiques élémentaires des classes moyennes restent - nous ouvrons (correctement!) Les parenthèses et collectons tout à gauche:

X 2 –6 X+5 = -2 X+2

X 2 –4 X+3 = 0

Nous résolvons cela et obtenons deux racines:

X 1 = 1; X 2 = 3

C'est tout.)

Maintenant réfléchissons encore. Dans cet exemple, nous avons à nouveau dû reconnaître le même nombre à des degrés divers ! A savoir, voir le cinq chiffré dans le nombre 0.04. Et cette fois, en degré négatif ! Comment avons-nous fait ça? En déplacement - pas question. Mais après le passage de fraction décimale 0,04 à la fraction ordinaire 1/25 tout était mis en valeur ! Et puis toute la décision est allée comme sur des roulettes.)

Par conséquent, un autre conseil pratique vert.

S'il y a des fractions décimales dans l'équation exponentielle, alors nous passons des fractions décimales aux fractions ordinaires. À fractions communes il est beaucoup plus facile de reconnaître les puissances de nombreux nombres populaires ! Après reconnaissance, on passe des fractions aux puissances avec des exposants négatifs.

Gardez à l'esprit qu'une telle feinte dans les équations exponentielles se produit très, très souvent ! Et la personne n'est pas dans le sujet. Il regarde, par exemple, les nombres 32 et 0,125 et s'énerve. Il lui est inconnu que c'est le même diable, seulement dans divers degrés… Mais vous êtes déjà dans le sujet !)

Résous l'équation:

Dans! Cela ressemble à une horreur tranquille... Cependant, les apparences sont trompeuses. C'est l'équation exponentielle la plus simple, malgré son caractère terrifiant apparence. Et maintenant je vais vous le montrer.)

Premièrement, nous traitons tous les nombres assis dans les bases et dans les coefficients. Ils sont évidemment différents, oui. Mais nous prenons toujours le risque et essayons de les faire le même! Essayons d'arriver à le même nombre à des degrés différents. Et, de préférence, le nombre le plus petit possible. Alors, commençons à déchiffrer !

Eh bien, tout est clair avec les quatre à la fois - c'est 2 2 . Donc, déjà quelque chose.)

Avec une fraction de 0,25 - ce n'est pas encore clair. Besoin de vérifier. Nous utilisons des conseils pratiques - passez du décimal à l'ordinaire :

0,25 = 25/100 = 1/4

Déjà bien mieux. Pour l'instant, il est déjà clairement visible que 1/4 est 2 -2. Génial, et le nombre 0,25 s'apparente également à un deux.)

Jusqu'ici tout va bien. Mais le pire de tous reste - la racine carrée de deux ! Que faire de ce poivre ? Peut-il aussi être représenté comme une puissance de deux ? Et qui sait...

Eh bien, encore une fois, nous grimpons dans notre trésor de connaissances sur les diplômes ! Cette fois, nous connectons en plus nos connaissances sur les racines. Depuis le cours de la 9e année, vous et moi avons dû supporter que toute racine, si vous le souhaitez, puisse toujours être transformée en diplôme avec une fraction.

Comme ça:

Dans notre cas:

Comment! Il s'avère que la racine carrée de deux est 2 1/2. C'est ça!

C'est très bien! Tous nos chiffres inconfortables se sont en fait avérés être un diable crypté.) Je ne discute pas, quelque part très sophistiqué crypté. Mais nous augmentons également notre professionnalisme dans la résolution de tels chiffrements ! Et puis tout est déjà évident. Nous remplaçons les nombres 4, 0,25 et la racine de deux dans notre équation par une puissance de deux :

Tout! Les bases de tous les diplômes de l'exemple sont devenues les mêmes - deux. Et maintenant, les actions standard avec degrés sont utilisées :

suisun = suis + n

une m:une n = une m-n

(suis) n = une mn

Pour le côté gauche, vous obtenez :

2 -2 (2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

Pour le côté droit sera:

Et maintenant, notre équation diabolique a commencé à ressembler à ceci :

Pour ceux qui n'ont pas compris comment exactement cette équation s'est avérée, alors la question n'est pas sur les équations exponentielles. La question porte sur les actions avec des pouvoirs. J'ai demandé d'urgence de répéter à ceux qui ont des problèmes!

Voici la ligne d'arrivée ! La forme canonique de l'équation exponentielle est obtenue ! Bien comment? Vous ai-je convaincu que ce n'est pas si effrayant ? ;) Nous enlevons les deux et assimilons les indicateurs :

Il ne reste plus qu'à le résoudre équation linéaire. Comment? Avec l'aide de transformations identiques, bien sûr.) Résolvez ce qui est déjà là ! Multipliez les deux parties par deux (pour supprimer la fraction 3/2), déplacez les termes avec des X vers la gauche, sans X vers la droite, amenez des semblables, comptez - et vous serez heureux !

Tout devrait bien se passer :

X=4

Repensons maintenant à la décision. Dans cet exemple, nous avons été sauvés par la transition de racine carrée à degré avec exposant 1/2. De plus, seule une transformation aussi rusée nous a permis d'atteindre partout la même base (diable), ce qui a sauvé la situation ! Et, sinon, nous aurions toutes les chances de geler pour toujours et de ne jamais faire face à cet exemple, oui ...

Par conséquent, nous ne négligeons pas les prochains conseils pratiques :

S'il y a des racines dans l'équation exponentielle, alors nous passons des racines aux puissances avec des exposants fractionnaires. Très souvent, seule une telle transformation clarifie la situation ultérieure.

Bien sûr, les puissances négatives et fractionnaires sont déjà beaucoup plus difficiles. degrés naturels. Du moins en termes de perception visuelle et, surtout, de reconnaissance de droite à gauche !

Il est clair qu'élever directement, par exemple, un deux à la puissance -3 ou un quatre à la puissance -3/2 n'est pas un si gros problème. Pour ceux qui connaissent.)

Mais allez, par exemple, réalisez immédiatement que

0,125 = 2 -3

Ici, seule la pratique et la règle de l'expérience riche, oui. Et, bien sûr, une vue dégagée, Qu'est-ce qu'un exposant négatif et un exposant fractionnaire. Aussi bien que - conseils pratiques! Oui, oui, ceux vert.) J'espère qu'ils vous aideront néanmoins à mieux naviguer dans toute la diversité des diplômes et augmenteront considérablement vos chances de réussite ! Ne les négligeons donc pas. je ne suis pas en vain en vert J'écris parfois.)

D'un autre côté, si vous devenez « vous » même avec des pouvoirs aussi exotiques que négatifs et fractionnaires, vos possibilités de résolution d'équations exponentielles augmenteront considérablement et vous serez déjà capable de gérer presque tous les types d'équations exponentielles. Eh bien, si ce n'est pas le cas, alors 80 % de toutes les équations exponentielles - bien sûr ! Oui, oui, je ne plaisante pas !

Ainsi, notre première partie de connaissance des équations exponentielles est arrivée à sa conclusion logique. Et, comme entraînement intermédiaire, je suggère traditionnellement de résoudre un peu par vous-même.)

Exercice 1.

Pour que mes propos sur le déchiffrement des degrés négatifs et fractionnaires ne soient pas vains, je propose de jouer un petit jeu!

Exprimez le nombre sous la forme d'une puissance de deux :

Réponses (en désordre):

Passé? Excellent! Ensuite, nous faisons une mission de combat - nous résolvons les équations exponentielles les plus simples et les plus simples !

Tâche 2.

Résolvez des équations (toutes les réponses sont un gâchis !) :

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16x+3 = 0

Réponses:

x=16

X 1 = -1; X 2 = 2

X = 5

Passé? En effet, beaucoup plus facile !

Puis on résout le jeu suivant :

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0,2 - x 7 x

Réponses:

X 1 = -2; X 2 = 2

X = 0,5

X 1 = 3; X 2 = 5

Et ces exemples d'un gauche? Excellent! Vous grandissez ! Ensuite, voici quelques exemples supplémentaires pour votre collation :

Réponses:

X = 6

X = 13/31

X = -0,75

X 1 = 1; X 2 = 8/3

Et c'est décidé ? Eh bien, respectez! Je retire mon chapeau.) Ainsi, la leçon n'a pas été vaine, et Premier niveau la résolution d'équations exponentielles peut être considérée comme maîtrisée avec succès. Ahead - les prochains niveaux et des équations plus complexes! Et de nouvelles techniques et approches. Et des exemples non standard. Et de nouvelles surprises.) Tout cela - dans la prochaine leçon !

Quelque chose n'a pas fonctionné ? Donc, très probablement, les problèmes sont dans . Ou en . Ou les deux à la fois. Ici, je suis impuissant. Je ne peux encore une fois offrir qu'une seule chose - ne soyez pas paresseux et parcourez les liens.)

À suivre.)

Premier niveau

équations exponentielles. Guide complet (2019)

Bonjour! Aujourd'hui, nous allons discuter avec vous de la façon de résoudre des équations qui peuvent être à la fois élémentaires (et j'espère qu'après avoir lu cet article, presque toutes le seront pour vous), et celles auxquelles on donne généralement un "remplissage". Apparemment, pour s'endormir complètement. Mais je vais essayer de faire de mon mieux pour que maintenant vous n'ayez pas d'ennuis face à ce type d'équation. Je ne tournerai plus autour du pot, mais je vais tout de suite révéler un petit secret : aujourd'hui nous allons étudier équations exponentielles.

Avant de procéder à une analyse des moyens de les résoudre, je vais immédiatement vous esquisser un cercle de questions (assez restreint) que vous devriez répéter avant de vous précipiter à l'assaut de ce sujet. Donc, pour de meilleurs résultats, veuillez répéter:

propriétés et
Solution et équations

Répété? Formidable! Il ne vous sera alors pas difficile de remarquer que la racine de l'équation est un nombre. Es-tu sûr de comprendre comment j'ai fait ? Vérité? Puis nous continuons. Maintenant, répondez-moi à la question, qu'est-ce qui est égal à la troisième puissance ? Vous avez absolument raison: . Huit est quelle puissance de deux ? C'est vrai - le troisième ! Car. Eh bien, essayons maintenant de résoudre le problème suivant : laissez-moi multiplier le nombre par lui-même une fois et obtenez le résultat. La question est, combien de fois ai-je multiplié par moi-même ? Vous pouvez bien sûr vérifier cela directement :

\begin(aligner) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( aligner)

Ensuite, vous pouvez conclure que j'ai multiplié les temps par lui-même. Comment cela peut-il être vérifié autrement ? Et voici comment : directement par la définition du diplôme : . Mais, vous devez l'admettre, si je demandais combien de fois deux doivent être multipliés par lui-même pour obtenir, disons, vous me diriez : je ne vais pas me tromper et multiplier par moi-même jusqu'à ce que j'aie le visage bleu. Et il aurait parfaitement raison. Car comment peux-tu notez brièvement toutes les actions(et la concision est la soeur du talent)

où - c'est le très "fois" quand vous multipliez par lui-même.

Je pense que vous savez (et si vous ne savez pas, de toute urgence, de toute urgence, refaites les diplômes!) qu'alors mon problème sera écrit sous la forme:

Comment pouvez-vous raisonnablement conclure que :

Alors, tranquillement, j'ai écrit le plus simple équation exponentielle :

Et même trouvé racine. Ne pensez-vous pas que tout est assez trivial? C'est exactement ce que je pense aussi. Voici un autre exemple pour vous :

Mais que faire? Après tout, il ne peut pas être écrit comme un degré d'un nombre (raisonnable). Ne désespérons pas et notons que ces deux nombres sont parfaitement exprimés en termes de puissance du même nombre. Quoi? Droit: . Ensuite, l'équation d'origine est transformée sous la forme :

D'où, comme vous l'avez déjà compris, . Ne tirons plus et écrivons définition:

Dans notre cas avec vous : .

Ces équations sont résolues en les réduisant à la forme :

avec solution ultérieure de l'équation

En fait, nous l'avons fait dans l'exemple précédent : nous avons obtenu cela. Et nous avons résolu l'équation la plus simple avec vous.

Cela semble n'avoir rien de compliqué, n'est-ce pas ? Entraînons-nous d'abord sur le plus simple. exemples:

Nous voyons à nouveau que les côtés droit et gauche de l'équation doivent être représentés comme une puissance d'un nombre. Certes, cela a déjà été fait à gauche, mais à droite, il y a un numéro. Mais, ça va, après tout, et mon équation se transforme miraculeusement en ceci :

Qu'avais-je à faire ici ? Quelle règle ? Règle du pouvoir au pouvoir qui se lit :

Et qu'est-ce qui se passerait si:

Avant de répondre à cette question, remplissons avec vous le tableau suivant :

Il ne nous est pas difficile de remarquer que moins, plus moins de valeur, mais néanmoins, toutes ces valeurs Au dessus de zéro. ET CE SERA TOUJOURS AINSI !!! La même propriété est vraie POUR TOUTE BASE AVEC TOUT INDEX !! (pour tout et). Alors que pouvons-nous conclure sur l'équation? Et en voici une : elle n'a pas de racines! Comme toute équation n'a pas de racines. Maintenant pratiquons et Résolvons quelques exemples simples :

Allons vérifier:

1. Rien ne vous est demandé ici, si ce n'est de connaître les propriétés des puissances (que je vous ai d'ailleurs demandé de répéter !) En règle générale, tout aboutit à la plus petite base : , . Alors l'équation originale sera équivalente à la suivante : Tout ce dont j'ai besoin est d'utiliser les propriétés des puissances : lors de la multiplication de nombres avec la même base, les exposants sont ajoutés et lors de la division, ils sont soustraits. Alors j'obtiendrai : Eh bien, maintenant avec une conscience claire, je vais passer de l'équation exponentielle à l'équation linéaire : \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(aligner)

2. Dans le deuxième exemple, il faut être plus prudent : le problème est que sur le côté gauche, on ne pourra pas représenter le même nombre comme une puissance. Dans ce cas, il est parfois utile représentent des nombres comme un produit de puissances avec des bases différentes, mais les mêmes exposants :

Le côté gauche de l'équation prendra la forme : Qu'est-ce que cela nous a donné ? Et voici quoi : Les nombres avec des bases différentes mais le même exposant peuvent être multipliés.Dans ce cas, les bases sont multipliées, mais l'exposant ne change pas :

Appliqué à ma situation, cela donnera :

\begin (aligner)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400, \\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400, \\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(aligner)

Pas mal, non ?

3. Je n'aime pas ça quand j'ai deux termes d'un côté de l'équation, et aucun de l'autre (parfois, bien sûr, c'est justifié, mais ce n'est plus le cas maintenant). Déplacez le terme moins vers la droite :

Maintenant, comme avant, j'écrirai tout par les puissances du triple :

J'additionne les puissances à gauche et j'obtiens une équation équivalente

Vous pouvez facilement trouver sa racine :

4. Comme dans l'exemple trois, le terme avec un moins - une place sur le côté droit !

A gauche, presque tout me va, sauf quoi ? Oui, le "mauvais degré" du diable me dérange. Mais je peux facilement résoudre ce problème en écrivant: . Eureka - à gauche, toutes les bases sont différentes, mais tous les diplômes sont les mêmes ! Nous multiplions rapidement!

Là encore, tout est clair: (si vous n'avez pas compris comment par magie j'ai obtenu la dernière égalité, faites une pause d'une minute, faites une pause et relisez très attentivement les propriétés du degré. Qui a dit que vous pouviez sauter le degré avec un exposant négatif ? Eh bien, ici, je suis à peu près comme personne). Maintenant j'obtiendrai :

\begin (aligner)
& ((2)^(4\left((x) -9 \right)))=((2)^(-1)) \\
&4((x) -9)=-1 \\
&x=\frac(35)(4). \\
\end(aligner)

Voici les tâches à pratiquer, auxquelles je ne donnerai que les réponses (mais sous une forme « mixte »). Résolvez-les, vérifiez, et nous continuerons nos recherches !

Prêt? Réponses comme ceux-ci :

n'importe quel chiffre

Bon, d'accord, je plaisantais ! Voici les grandes lignes des solutions (certaines sont assez brèves !)

Ne pensez-vous pas que ce n'est pas un hasard si une fraction à gauche est une autre "inversée" ? Ce serait un péché de ne pas utiliser ceci :

Cette règle est très souvent utilisée lors de la résolution d'équations exponentielles, souvenez-vous-en bien !

Alors l'équation d'origine devient :

En résolvant cette équation quadratique, vous obtiendrez les racines suivantes :

2. Une autre solution : diviser les deux parties de l'équation par l'expression à gauche (ou à droite). Je vais diviser par ce qui est à droite, alors j'obtiendrai :

Où (pourquoi ?!)

3. Je ne veux même pas me répéter, tout a déjà été tellement "mâché".

4. équivalent à une équation quadratique, les racines

5. Vous devez utiliser la formule donnée dans la première tâche, puis vous obtiendrez cela :

L'équation s'est transformée en une identité triviale, ce qui est vrai pour tout. Alors la réponse est n'importe quel nombre réel.

Eh bien, vous êtes ici et pratiqué pour décider les équations exponentielles les plus simples. Maintenant, je veux vous donner quelques exemples de vie qui vous aideront à comprendre pourquoi ils sont nécessaires en principe. Ici, je vais donner deux exemples. L'un d'eux est assez courant, mais l'autre a plus d'intérêt scientifique que pratique.

Exemple 1 (marchand) Laissez-vous avoir des roubles, mais vous voulez le transformer en roubles. La banque vous propose de vous retirer cet argent à un taux d'intérêt annuel avec une capitalisation mensuelle des intérêts (mensual couru). La question est de savoir pendant combien de mois devez-vous ouvrir un dépôt afin de percevoir le montant final souhaité ? Une tâche assez banale, n'est-ce pas ? Néanmoins, sa solution est liée à la construction de l'équation exponentielle correspondante : Soit - le montant initial, - le montant final, - le taux d'intérêt de la période, - le nombre de périodes. Alors:

Dans notre cas (si le taux est annuel, alors il est calculé par mois). Pourquoi est-il divisé en ? Si vous ne connaissez pas la réponse à cette question, souvenez-vous du sujet "" ! On obtient alors l'équation suivante :

Cette équation exponentielle ne peut déjà être résolue qu'avec une calculatrice (son apparence le laisse entendre, et cela nécessite la connaissance des logarithmes, que nous connaîtrons un peu plus tard), ce que je ferai: ... Ainsi, pour recevoir un million, il faut cotiser pendant un mois (pas très vite, non ?).

Exemple 2 (plutôt scientifique). Malgré son, un certain "isolement", je vous recommande de faire attention à lui : il "se glisse régulièrement dans l'examen !! (la tâche est tirée de la version "réelle") Lors de la désintégration d'un isotope radioactif, sa masse diminue selon la loi, où (mg) est la masse initiale de l'isotope, (min.) est le temps écoulé depuis la moment initial, (min.) est la demi-vie. Au moment initial, la masse de l'isotope est de mg. Sa demi-vie est de min. Dans combien de minutes la masse de l'isotope sera-t-elle égale à mg ? C'est bon : on prend juste et on substitue toutes les données dans la formule qui nous est proposée :

Divisons les deux parties par, "dans l'espoir" qu'à gauche on obtienne quelque chose de digeste :

Eh bien, nous avons beaucoup de chance ! Il se tient à gauche, puis passons à l'équation équivalente :

Où min.

Comme vous pouvez le voir, les équations exponentielles ont une application très réelle dans la pratique. Maintenant, je veux discuter avec vous d'une autre façon (simple) de résoudre des équations exponentielles, qui consiste à retirer le facteur commun des parenthèses, puis à regrouper les termes. N'ayez pas peur de mes propos, vous avez déjà rencontré cette méthode en 7ème quand vous avez étudié les polynômes. Par exemple, si vous deviez factoriser l'expression :

Regroupons : les premier et troisième termes, ainsi que les deuxième et quatrième. Il est clair que le premier et le troisième sont la différence des carrés :

et les deuxième et quatrième ont un facteur commun de trois :

Alors l'expression originale est équivalente à ceci :

Où retirer le facteur commun n'est plus difficile:

Par conséquent,

Voici à peu près comment nous agirons lors de la résolution d'équations exponentielles : recherchez la "communauté" entre les termes et retirez-la des parenthèses, puis - quoi qu'il arrive, je crois que nous aurons de la chance =)) Par exemple :

À droite, c'est loin de la puissance sept (j'ai vérifié!) Et à gauche - un peu mieux, vous pouvez bien sûr "couper" le facteur a du premier terme et du second, puis traiter avec ce que vous avez reçu, mais faisons plus prudemment avec vous. Je ne veux pas m'occuper des fractions qui sont inévitablement produites par la "sélection", alors ne devrais-je pas mieux endurer ? Alors je n'aurai pas de fractions: comme on dit, les loups sont pleins et les moutons sont en sécurité:

Compter l'expression entre parenthèses. Comme par magie, comme par magie, il s'avère que (étonnamment, mais à quoi d'autre pouvons-nous nous attendre ?).

Ensuite, nous réduisons les deux côtés de l'équation par ce facteur. Nous obtenons: où.

Voici un exemple plus compliqué (un peu, vraiment):

Voici le problème! Nous n'avons aucun terrain d'entente ici ! Ce n'est pas tout à fait clair quoi faire maintenant. Et faisons ce que nous pouvons : dans un premier temps, nous allons déplacer les « quatre » dans un sens, et les « cinq » dans l'autre :

Retirons maintenant le "commun" à gauche et à droite :

Et maintenant ? Quel est l'intérêt d'un regroupement aussi stupide ? A première vue, ce n'est pas du tout visible, mais regardons plus en profondeur :

Eh bien, maintenant faisons en sorte qu'à gauche nous n'ayons que l'expression c, et à droite - tout le reste. Comment pouvons-nous le faire? Et voici comment : Divisez d'abord les deux côtés de l'équation par (pour nous débarrasser de l'exposant à droite), puis divisez les deux côtés par (pour vous débarrasser du facteur numérique à gauche). On obtient finalement :

Incroyable! À gauche, nous avons une expression et à droite - juste. Alors on en déduit immédiatement que

Voici un autre exemple pour renforcer:

je lui apporterai solution courte(pas vraiment la peine d'expliquer), essayez de comprendre vous-même toutes les "subtilités" de la solution.

Maintenant, la consolidation finale du matériel couvert. Essayez de résoudre les problèmes suivants par vous-même. Je ne donnerai que de brèves recommandations et astuces pour les résoudre :

Prenons le facteur commun entre parenthèses :
Nous représentons la première expression sous la forme : , divisons les deux parties par et obtenons que
, puis l'équation d'origine est convertie sous la forme : Eh bien, maintenant un indice - cherchez où vous et moi avons déjà résolu cette équation !
Imaginez comment, comment, ah, eh bien, puis divisez les deux parties par, pour obtenir l'équation exponentielle la plus simple.
Sortez-le des crochets.
Sortez-le des crochets.

ÉQUATIONS D'EXPOSITION. NIVEAU MOYEN

Je suppose qu'après avoir lu le premier article, qui racontait que sont les équations exponentielles et comment les résoudre tu as maîtrisé minimum nécessaire connaissances nécessaires pour résoudre des exemples simples.

Maintenant, je vais analyser une autre méthode pour résoudre des équations exponentielles, c'est

"méthode d'introduction d'une nouvelle variable" (ou substitution). Il résout la plupart des problèmes "difficiles", sur le thème des équations exponentielles (et pas seulement des équations). Cette méthode est l'une des plus utilisées en pratique. Tout d'abord, je vous recommande de vous familiariser avec le sujet.

Comme vous l'avez déjà compris d'après son nom, l'essence de cette méthode est d'introduire un tel changement de variable que votre équation exponentielle se transformera miraculeusement en une que vous pourrez déjà facilement résoudre. Il ne vous reste plus qu'après avoir résolu cette « équation très simplifiée » de faire un « remplacement inversé » : c'est-à-dire de revenir du remplacé au remplacé. Illustrons ce que nous venons de dire avec un exemple très simple :

Exemple 1:

Cette équation est résolue par une "simple substitution", comme l'appellent avec mépris les mathématiciens. En effet, la substitution est ici la plus évidente. Il suffit de voir que

Alors l'équation d'origine devient :

Si nous imaginons en plus comment, alors il est tout à fait clair ce qui doit être remplacé : bien sûr, . Que devient alors l'équation originale ? Et voici quoi :

Vous pouvez facilement trouver ses racines par vous-même :. Que devons-nous faire maintenant? Il est temps de revenir à la variable d'origine. Qu'est-ce que j'ai oublié d'inclure ? A savoir: lors du remplacement d'un certain degré par une nouvelle variable (c'est-à-dire lors du remplacement d'un type), je serai intéressé par que des racines positives ! Vous-même pouvez facilement répondre pourquoi. Ainsi, vous ne nous intéressez pas, mais la deuxième racine nous convient tout à fait :

Alors où.

Réponse:

Comme vous pouvez le voir, dans l'exemple précédent, le remplaçant demandait nos mains. Malheureusement, ce n'est pas toujours le cas. Cependant, n'allons pas directement au triste, mais pratiquons sur un autre exemple avec un remplacement assez simple

Exemple 2

Il est clair qu'il sera très probablement nécessaire de remplacer (c'est la plus petite des puissances incluses dans notre équation), cependant, avant d'introduire un remplacement, notre équation doit être "préparée" pour cela, à savoir : , . Ensuite, vous pouvez remplacer, en conséquence, j'obtiendrai l'expression suivante :

Oh horreur : une équation cubique avec des formules absolument terribles pour sa solution (enfin, parlant en termes généraux). Mais ne désespérons pas tout de suite, mais réfléchissons à ce que nous devrions faire. Je suggérerai de tricher : nous savons que pour obtenir une "belle" réponse, nous devons obtenir une puissance de trois (pourquoi serait-ce le cas, hein ?). Et essayons de deviner au moins une racine de notre équation (je vais commencer à deviner à partir des puissances de trois).

Première supposition. N'est pas une racine. Hélas et euh...

.
Le côté gauche est égal.
Partie droite : !
Il y a! Deviné la première racine. Maintenant, les choses vont devenir plus faciles !

Connaissez-vous le schéma de division "corner" ? Bien sûr, vous le savez, vous l'utilisez lorsque vous divisez un nombre par un autre. Mais peu de gens savent que la même chose peut être faite avec des polynômes. Il y a un merveilleux théorème :

Applicable à ma situation, il me dit ce qui est divisible sans reste par. Comment s'effectue le partage ? C'est comme ça:

Je regarde sur quel monôme je dois multiplier pour obtenir Clear, puis :

Je soustrais l'expression résultante de, j'obtiens:

Maintenant, que dois-je multiplier pour obtenir ? Il est clair que sur, alors j'obtiendrai:

et soustrayez à nouveau l'expression résultante de celle qui reste :

Eh bien, la dernière étape, je multiplie par et soustrais de l'expression restante :

Hourra, la division est terminée ! Qu'avons-nous accumulé en privé ? Par lui-même: .

Ensuite, nous avons obtenu le développement suivant du polynôme original :

Résolvons la deuxième équation :

Il a des racines :

Puis l'équation d'origine :

a trois racines :

Bien sûr, nous écartons la dernière racine, car elle est inférieure à zéro. Et les deux premiers après le remplacement inverse nous donneront deux racines :

Réponse: ..

Par cet exemple, je ne voulais pas du tout vous effrayer, je me suis plutôt fixé comme objectif de montrer que bien qu'on ait eu un remplacement assez simple, néanmoins, cela a conduit à un assez équation complexe, dont la solution nous a demandé des compétences particulières. Eh bien, personne n'est à l'abri de cela. Mais le changement dans ce cas était assez évident.

Voici un exemple avec une substitution un peu moins évidente :

Ce que nous devons faire n'est pas du tout clair : le problème est que dans notre équation, il y a deux bases différentes et qu'une base ne peut pas être obtenue à partir de l'autre en l'élevant à une puissance (raisonnable, naturellement). Cependant, que voyons-nous ? Les deux bases ne diffèrent que par le signe et leur produit est la différence de carrés égale à un :

Définition:

Ainsi, les nombres qui sont des bases dans notre exemple sont conjugués.

Dans ce cas, le geste intelligent serait multiplier les deux membres de l'équation par le nombre conjugué.

Par exemple, sur, alors le côté gauche de l'équation deviendra égal, et le côté droit. Si nous faisons un remplacement, alors notre équation originale avec vous deviendra comme ceci :

ses racines, alors, mais en se souvenant de cela, nous obtenons cela.

Réponse: , .

En règle générale, la méthode de remplacement suffit à résoudre la plupart des équations exponentielles "scolaires". Les tâches suivantes sont extraites du USE C1 ( niveau élevé des difficultés). Vous êtes déjà suffisamment alphabétisé pour résoudre ces exemples par vous-même. Je ne donnerai que le remplacement requis.

Résous l'équation:
Trouvez les racines de l'équation :
Résous l'équation: . Trouvez toutes les racines de cette équation qui appartiennent au segment :

Maintenant, pour quelques explications et réponses rapides :

Ici, il suffit de noter que et. Alors l'équation d'origine sera équivalente à celle-ci : Cette équation est résolue en remplaçant Faites vous-même les calculs suivants. Au final, votre tâche se réduira à résoudre le trigonométrique le plus simple (en fonction du sinus ou du cosinus). Nous discuterons de la solution de tels exemples dans d'autres sections.
Ici, vous pouvez même vous passer d'un remplacement : déplacez simplement le sous-traitant vers la droite et représentez les deux bases par des puissances de deux : puis passez immédiatement à l'équation quadratique.
La troisième équation est également résolue de manière assez classique : imaginez comment. Ensuite, en remplaçant, nous obtenons une équation quadratique : alors,
Savez-vous déjà ce qu'est un logarithme ? Pas? Alors lisez d'urgence le sujet!

La première racine, évidemment, n'appartient pas au segment, et la seconde est incompréhensible ! Mais nous le saurons très bientôt ! Puisque, alors (c'est une propriété du logarithme !) comparons :

Soustrayez des deux parties, alors nous obtenons:

Le côté gauche peut être représenté par :

multiplier les deux côtés par :

peut être multiplié par, alors

Alors comparons :

depuis:

Alors la deuxième racine appartient à l'intervalle désiré

Réponse:

Comme tu vois, la sélection des racines des équations exponentielles nécessite une connaissance assez approfondie des propriétés des logarithmes, je vous conseille donc d'être aussi prudent que possible lors de la résolution d'équations exponentielles. Comme vous le savez, en mathématiques tout est interconnecté ! Comme le disait mon professeur de maths : "On ne peut pas lire les maths comme l'histoire du jour au lendemain."

En règle générale, tous la difficulté à résoudre les problèmes C1 est précisément la sélection des racines de l'équation. Entraînons-nous avec un autre exemple :

Il est clair que l'équation elle-même est résolue assez simplement. Après avoir effectué la substitution, nous réduisons notre équation initiale à la suivante :

Regardons d'abord la première racine. Comparez et : depuis, alors. (propriété de la fonction logarithmique, at). Alors il est clair que la première racine n'appartient pas non plus à notre intervalle. Maintenant la deuxième racine : . Il est clair que (puisque la fonction est croissante). Il reste à comparer et

puisque, alors, en même temps. Ainsi, je peux "enfoncer une cheville" entre et. Cette cheville est un nombre. La première expression est inférieure à et la seconde est supérieure à. Alors la deuxième expression est supérieure à la première et la racine appartient à l'intervalle.

Réponse: .

En conclusion, regardons un autre exemple d'équation où le remplacement est plutôt non standard :

Commençons tout de suite par ce que vous pouvez faire et ce que - en principe, vous pouvez, mais il vaut mieux ne pas le faire. Il est possible - de tout représenter par les puissances de trois, deux et six. Où cela mène-t-il ? Oui, et n'aboutira à rien : un méli-mélo de diplômes, dont certains seront assez difficiles à éliminer. Que faut-il alors ? Notons qu'un Et que va-t-il nous donner ? Et le fait que l'on puisse réduire la solution de cet exemple à la solution d'une équation exponentielle assez simple ! Tout d'abord, réécrivons notre équation comme suit :

Maintenant, nous divisons les deux côtés de l'équation résultante en :

Eurêka ! Maintenant que nous pouvons remplacer, nous obtenons :

Eh bien, maintenant c'est à votre tour de résoudre des problèmes de démonstration, et je ne leur donnerai que de brefs commentaires afin que vous ne vous égariez pas le droit chemin! Bonne chance!

1. Le plus difficile ! Voir un remplaçant ici, c'est oh, comme c'est moche ! Néanmoins, cet exemple peut être complètement résolu en utilisant sélection d'un carré complet. Pour le résoudre, il suffit de noter que :

Alors voici votre remplaçant :

(Notez qu'ici, avec notre remplacement, nous ne pouvons pas éliminer la racine négative !!! Et pourquoi, qu'en pensez-vous ?)

Maintenant, pour résoudre l'exemple, vous devez résoudre deux équations :

Les deux sont résolus par le "remplacement standard" (mais le second dans un exemple !)

2. Remarquez cela et faites une substitution.

3. Développez le nombre en facteurs premiers entre eux et simplifiez l'expression résultante.

4. Divisez le numérateur et le dénominateur de la fraction par (ou si vous préférez) et effectuez la substitution ou.

5. Notez que les nombres et sont conjugués.

ÉQUATIONS D'EXPOSITION. NIVEAU AVANCÉ

De plus, regardons une autre façon - solution d'équations exponentielles par la méthode logarithmique. Je ne peux pas dire que la solution des équations exponentielles par cette méthode soit très populaire, mais dans certains cas seulement, elle peut nous conduire à bonne décision notre équation. Surtout souvent, il est utilisé pour résoudre le soi-disant " équations mixtes' : c'est-à-dire ceux où il existe des fonctions de différents types.

Par exemple, une équation comme :

dans le cas général, il ne peut être résolu qu'en prenant le logarithme des deux parties (par exemple, par base), dans lequel l'équation d'origine se transforme en la suivante :

Considérons l'exemple suivant :

Il est clair que nous ne nous intéressons qu'à l'ODZ de la fonction logarithmique. Cependant, cela découle non seulement de l'ODZ du logarithme, mais pour une autre raison. Je pense qu'il ne vous sera pas difficile de deviner lequel.

Prenons le logarithme des deux côtés de notre équation à la base :

Comme vous pouvez le voir, prendre le logarithme de notre équation originale nous a rapidement conduit à la bonne (et belle !) réponse. Entraînons-nous avec un autre exemple :

Là aussi, il n'y a pas lieu de s'inquiéter : on prend le logarithme des deux côtés de l'équation en fonction de la base, on obtient alors :

Faisons un remplacement :

Cependant, nous avons raté quelque chose! Avez-vous remarqué où j'ai fait une erreur? Après tout, alors :

qui ne satisfait pas à l'exigence (pensez d'où il vient !)

Réponse:

Essayez d'écrire la solution des équations exponentielles ci-dessous :

Maintenant, vérifiez votre solution avec ceci :

1. On logarithme les deux parties à la base, étant donné que :

(la deuxième racine ne nous convient pas à cause du remplacement)

2. Logarithme à la base :

Transformons l'expression résultante sous la forme suivante :

ÉQUATIONS D'EXPOSITION. BRÈVE DESCRIPTION ET FORMULE DE BASE

équation exponentielle

Tapez l'équation :

appelé l'équation exponentielle la plus simple.

Propriétés du diplôme

Approches de solutions

Réduction à la même base
Réduction au même exposant
Substitution de variables
Simplifiez l'expression et appliquez l'une des propositions ci-dessus.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) pas de racine
	1) 7;1 2) pas de racine 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) pas de racine 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

A1	1) -0,2 ;2 2) log52 3) –log52 4) 2
À2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) pas de racine 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) pas de racine 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
À2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) pas de racines

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

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