Équations de puissance et expressions comment résoudre. Équations en ligne

22.09.2019

équations exponentielles sans solutions

Examinons deux autres situations qui déroutent souvent les élèves :
- un nombre positif à la puissance est égal à zéro, par exemple, $2^x=0$ ;
- un nombre positif à la puissance est égal à un nombre négatif, par exemple $2^x=-4$.

Essayons de le résoudre par la force brute. Si x est un nombre positif, alors à mesure que x croît, la puissance entière $2^x$ ne fera que croître :

$x=1$; $2^1=2$
$x=2$; $2^2=4$
$x=3$; $2^3=8$.

$x=0$; $2^0=1$

Passé aussi. Il y a des x négatifs. En se souvenant de la propriété $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$, on vérifie :

$x=-1$; $2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)$
$x=-2$; $2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)$
$x=-3$; $2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)$

Malgré le fait que le nombre diminue à chaque étape, il n'atteindra jamais zéro. Donc le degré négatif ne nous a pas non plus épargnés. Nous arrivons à une conclusion logique :

Un nombre positif à n'importe quelle puissance restera un nombre positif.

Ainsi, les deux équations ci-dessus n'ont pas de solutions.

équations exponentielles avec différentes bases

En pratique, il existe parfois des équations exponentielles avec des bases différentes non réductibles entre elles, et en même temps avec les mêmes exposants. Ils ressemblent à ceci : $a^(f(x))=b^(f(x))$, où $a$ et $b$ sont des nombres positifs.

Par exemple:

$7^(x)=11^(x)$
$5^(x+2)=3^(x+2)$
$15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)$

De telles équations peuvent être facilement résolues en divisant par l'une des parties de l'équation (généralement en divisant par le côté droit, c'est-à-dire par \ (b ^ (f (x)) \). Vous pouvez diviser de cette manière, car un nombre positif est positif à n'importe quel degré (c'est-à-dire que nous ne divisons pas par zéro.) Nous obtenons :

$\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))$ $=1$

Exemple . Résolvez l'équation exponentielle $5^(x+7)=3^(x+7)$
La solution:

$5^(x+7)=3^(x+7)$		Ici, nous ne pouvons pas transformer un cinq en un trois, ou vice versa (du moins sans utiliser). On ne peut donc pas arriver à la forme $a^(f(x))=a^(g(x))$. Dans le même temps, les indicateurs sont les mêmes. Divisons l'équation par le côté droit, c'est-à-dire par $3^(x+7)$ (nous pouvons le faire, car nous savons que le triplet ne sera nul à aucun degré).
$\frac(5^(x+7))(3^(x+7))$ $=$$\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )$		Rappelez-vous maintenant la propriété $(\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)$ et utilisez-la de la gauche dans la direction opposée. A droite, on réduit simplement la fraction.
$(\frac(5)(3))^(x+7)$ $=1$		Cela ne semblait pas aller mieux. Mais souvenez-vous d'une autre propriété du degré : $a^0=1$, autrement dit : "tout nombre à la puissance zéro est égal à $1$". L'inverse est également vrai : "une unité peut être représentée comme n'importe quel nombre élevé à la puissance zéro". Nous l'utilisons en rendant la base de droite identique à celle de gauche.
$(\frac(5)(3))^(x+7)$ $=$ $(\frac(5)(3))^0$		Voila ! Nous nous débarrassons des fondations.
		Nous écrivons la réponse.

Réponse : $-7$.

Parfois, la "similitude" des exposants n'est pas évidente, mais l'utilisation habile des propriétés du degré résout ce problème.

Exemple . Résoudre l'équation exponentielle $7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)$
La solution:

$7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)$		L'équation a l'air bien triste... Non seulement les bases ne peuvent pas être réduites au même nombre (sept ne sera pas égal à $\frac(1)(3)$), mais en plus les indicateurs sont différents... Cependant, utilisons l'exposant du degré gauche deux.
$7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)$		En gardant à l'esprit la propriété $(a^b)^c=a^(b c)$ , transformez à gauche : $7^(2(x-2))=7^(2 (x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)$.
$49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)$		Maintenant, en se souvenant de la propriété de puissance négative $a^(-n)=\frac(1)(a)^n$, on transforme à droite : $(\frac(1)(3))^(- x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)$
$49^(x-2)=3^(x-2)$		Alléluia! Les scores sont les mêmes ! Agissant selon le schéma qui nous est déjà familier, nous décidons avant la réponse.

Réponse : $2$.

Application

La résolution de tout type d'équations en ligne sur le site pour consolider le matériel étudié par les étudiants et les écoliers.Résolution d'équations en ligne. Équations en ligne. Il existe des types d'équations algébriques, paramétriques, transcendantales, fonctionnelles, différentielles et autres. Certaines classes d'équations ont des solutions analytiques, ce qui est pratique en ce sens qu'elles donnent non seulement la valeur exacte de la racine, mais vous permettent d'écrire la solution dans le forme d'une formule pouvant inclure des paramètres. Les expressions analytiques permettent non seulement de calculer les racines, mais d'analyser leur existence et leur nombre en fonction des valeurs des paramètres, ce qui est souvent encore plus important pour une utilisation pratique que les valeurs spécifiques des racines. Solution d'équations en ligne Equations en ligne. La solution de l'équation consiste à trouver de telles valeurs des arguments pour lesquels cette égalité est atteinte. Des conditions supplémentaires (entier, réel, etc.) peuvent être imposées sur les valeurs possibles des arguments. Solution d'équations en ligne Equations en ligne. Vous pouvez résoudre l'équation en ligne instantanément et avec une grande précision du résultat. Les arguments des fonctions données (parfois appelées "variables") dans le cas d'une équation sont appelés "inconnues". Les valeurs des inconnues pour lesquelles cette égalité est atteinte sont appelées solutions ou racines de l'équation donnée. On dit que les racines satisfont une équation donnée. Résoudre une équation en ligne signifie trouver l'ensemble de toutes ses solutions (racines) ou prouver qu'il n'y a pas de racines. Solution d'équations en ligne Equations en ligne. Équivalent ou équivalent sont appelés équations, dont les ensembles de racines coïncident. Les équations équivalentes sont également considérées comme n'ayant pas de racine. L'équivalence des équations a la propriété de symétrie : si une équation est équivalente à une autre, alors la seconde équation est équivalente à la première. L'équivalence des équations a la propriété de transitivité : si une équation est équivalente à une autre, et la seconde est équivalente à la troisième, alors la première équation est équivalente à la troisième. La propriété d'équivalence des équations permet d'effectuer avec elles des transformations sur lesquelles reposent les méthodes pour les résoudre. Solution d'équations en ligne Equations en ligne. Le site vous permettra de résoudre l'équation en ligne. Les équations pour lesquelles des solutions analytiques sont connues comprennent des équations algébriques, pas supérieures au quatrième degré : une équation linéaire, une équation quadratique, une équation cubique et une équation du quatrième degré. Les équations algébriques de degrés supérieurs n'ont généralement pas de solution analytique, bien que certaines d'entre elles puissent être réduites à des équations de degrés inférieurs. Les équations qui incluent des fonctions transcendantes sont appelées transcendantes. Parmi elles, des solutions analytiques sont connues pour certaines équations trigonométriques, puisque les zéros des fonctions trigonométriques sont bien connus. Dans le cas général, lorsqu'une solution analytique ne peut être trouvée, des méthodes numériques sont utilisées. Les méthodes numériques ne donnent pas une solution exacte, mais permettent seulement de réduire l'intervalle dans lequel se trouve la racine à une certaine valeur prédéterminée. Résolution d'équations en ligne.. Équations en ligne.. Au lieu d'une équation en ligne, nous allons présenter comment la même expression forme une dépendance linéaire et non seulement le long d'une droite tangente, mais aussi au point même d'inflexion du graphe. Cette méthode est indispensable à tout moment dans l'étude du sujet. Il arrive souvent que la solution des équations s'approche de la valeur finale au moyen de nombres infinis et de vecteurs d'écriture. Il est nécessaire de vérifier les données initiales et c'est l'essence de la tâche. Sinon, la condition locale est convertie en formule. L'inversion de droite d'une fonction donnée, que le calculateur d'équation calculera sans grand retard d'exécution, sera compensée par le privilège de l'espace. Il s'agira de la performance des élèves dans un environnement scientifique. Cependant, comme tout ce qui précède, cela nous aidera dans le processus de recherche, et lorsque vous résolvez complètement l'équation, enregistrez la réponse obtenue aux extrémités du segment de ligne droite. Les lignes dans l'espace se coupent en un point, et ce point est appelé coupé par des lignes. L'intervalle sur la ligne est marqué comme indiqué précédemment. Le poste le plus élevé sur l'étude des mathématiques sera publié. Attribuer une valeur d'argument à partir d'une surface définie paramétriquement et résoudre une équation en ligne pourra indiquer les principes d'un appel productif à une fonction. La bande de Möbius, ou comme on l'appelle l'infini, ressemble à un huit. Il s'agit d'une surface unilatérale et non bilatérale. Selon le principe bien connu de tous, nous accepterons objectivement les équations linéaires comme désignation de base telles qu'elles sont dans le domaine d'étude. Seules deux valeurs d'arguments donnés successivement sont capables de révéler la direction du vecteur. Supposer qu'une solution différente des équations en ligne est bien plus qu'une simple résolution signifie obtenir une version complète de l'invariant à la sortie. Sans une approche intégrée, il est difficile pour les étudiants d'apprendre ce matériel. Comme auparavant, pour chaque cas particulier, notre calculateur d'équation en ligne pratique et intelligent aidera tout le monde dans un moment difficile, car il vous suffit de spécifier les paramètres d'entrée et le système calculera la réponse lui-même. Avant de commencer à saisir des données, nous avons besoin d'un outil de saisie, ce qui peut être fait sans trop de difficulté. Le nombre de chaque score de réponse sera une équation quadratique menant à nos conclusions, mais ce n'est pas si facile à faire, car il est facile de prouver le contraire. La théorie, en raison de ses particularités, n'est pas étayée par des connaissances pratiques. Voir une calculatrice de fraction au stade de la publication d'une réponse n'est pas une tâche facile en mathématiques, car l'alternative d'écrire un nombre sur un ensemble augmente la croissance de la fonction. Cependant, il serait incorrect de ne pas parler de la formation des étudiants, nous allons donc exprimer chacun autant qu'il est nécessaire de le faire. L'équation cubique précédemment trouvée appartiendra de plein droit au domaine de la définition, et contiendra l'espace des valeurs numériques, ainsi que des variables symboliques. Ayant appris ou mémorisé le théorème, nos étudiants ne se montreront que du meilleur côté, et nous serons heureux pour eux. Contrairement à l'ensemble des intersections de champs, nos équations en ligne sont décrites par un plan de mouvement le long de la multiplication de deux et trois lignes numériques combinées. Un ensemble en mathématiques n'est pas défini de manière unique. La meilleure solution, selon les élèves, est l'expression écrite complétée jusqu'au bout. Comme on l'a dit dans le langage scientifique, l'abstraction des expressions symboliques n'est pas incluse dans l'état des choses, mais la solution des équations donne un résultat sans ambiguïté dans tous les cas connus. La durée de la session du professeur est basée sur les besoins de cette offre. L'analyse a montré la nécessité de toutes les techniques de calcul dans de nombreux domaines, et il est absolument clair que le calculateur d'équations est un outil indispensable entre les mains douées d'un étudiant. Une approche loyale de l'étude des mathématiques détermine l'importance des points de vue de différentes directions. Vous souhaitez désigner l'un des théorèmes clés et résoudre l'équation de cette manière, en fonction de la réponse dont il sera encore nécessaire de l'appliquer. L'analyse dans ce domaine prend de l'ampleur. Commençons par le début et dérivons la formule. Après avoir franchi le niveau d'augmentation de la fonction, la ligne tangente au point d'inflexion conduira nécessairement au fait que la résolution de l'équation en ligne sera l'un des principaux aspects de la construction du même graphique à partir de l'argument de la fonction. L'approche amateur a le droit d'être appliquée si cette condition ne contredit pas les conclusions des étudiants. C'est la sous-tâche qui place l'analyse des conditions mathématiques en tant qu'équations linéaires dans le domaine existant de la définition d'objet qui est mise en arrière-plan. Le décalage dans le sens de l'orthogonalité annule l'avantage d'une seule valeur absolue. Modulo, la résolution d'équations en ligne donne le même nombre de solutions, si vous ouvrez d'abord les parenthèses avec un signe plus, puis avec un signe moins. Dans ce cas, il y a deux fois plus de solutions et le résultat sera plus précis. Une calculatrice d'équations en ligne stable et correcte est un succès dans la réalisation de l'objectif visé dans la tâche définie par l'enseignant. Il semble possible de choisir la méthode nécessaire en raison des différences importantes dans les points de vue des grands scientifiques. L'équation quadratique résultante décrit la courbe des lignes, la soi-disant parabole, et le signe déterminera sa convexité dans le système de coordonnées carrées. De l'équation, nous obtenons à la fois le discriminant et les racines elles-mêmes selon le théorème de Vieta. Il est nécessaire de présenter l'expression sous forme de fraction propre ou impropre et d'utiliser le calculateur de fraction à la première étape. En fonction de cela, un plan pour nos calculs ultérieurs sera formé. Les mathématiques avec une approche théorique sont utiles à chaque étape. Nous présenterons certainement le résultat sous la forme d'une équation cubique, car nous cacherons ses racines dans cette expression afin de simplifier la tâche d'un étudiant dans une université. Toutes les méthodes sont bonnes si elles conviennent à une analyse superficielle. Les opérations arithmétiques supplémentaires n'entraîneront pas d'erreurs de calcul. Déterminer la réponse avec une précision donnée. En utilisant la solution des équations, avouons-le - trouver une variable indépendante d'une fonction donnée n'est pas si facile, surtout lorsque l'on étudie des droites parallèles à l'infini. Compte tenu de l'exception, le besoin est très évident. La différence de polarité est sans ambiguïté. De l'expérience de l'enseignement dans les instituts, notre professeur a appris la leçon principale, dans laquelle les équations ont été étudiées en ligne au sens mathématique complet. Ici, il s'agissait d'efforts plus importants et de compétences particulières dans l'application de la théorie. En faveur de nos conclusions, il ne faut pas regarder à travers un prisme. Jusqu'à récemment, on croyait qu'un ensemble fermé se développait rapidement sur la zone telle qu'elle est, et la solution des équations devait simplement être étudiée. Lors de la première étape, nous n'avons pas envisagé toutes les options possibles, mais cette approche se justifie plus que jamais. Les actions supplémentaires entre parenthèses justifient quelques avancées le long des axes d'ordonnées et d'abscisses, qui ne peuvent être ignorées à l'œil nu. Il y a un point d'inflexion dans le sens d'une large augmentation proportionnelle d'une fonction. Encore une fois, nous allons prouver comment la condition nécessaire sera appliquée sur tout l'intervalle de diminution de l'une ou l'autre position descendante du vecteur. Dans un espace confiné, nous allons sélectionner une variable du bloc initial de notre script. Le système construit comme base sur trois vecteurs est responsable de l'absence du moment de force principal. Cependant, le calculateur d'équation a déduit et aidé à trouver tous les termes de l'équation construite, à la fois au-dessus de la surface et le long de lignes parallèles. Décrivons un cercle autour du point de départ. Ainsi, nous commencerons à remonter le long des lignes de coupe, et la tangente décrira le cercle sur toute sa longueur, nous obtiendrons ainsi une courbe, appelée développante. Au fait, parlons de cette courbe un peu d'histoire. Le fait est qu'historiquement, en mathématiques, il n'y avait pas de concept des mathématiques elles-mêmes au sens pur comme c'est le cas aujourd'hui. Auparavant, tous les scientifiques étaient engagés dans une chose commune, c'est-à-dire la science. Plus tard, quelques siècles plus tard, alors que le monde scientifique était rempli d'une quantité colossale d'informations, l'humanité a néanmoins distingué de nombreuses disciplines. Ils restent toujours inchangés. Et pourtant, chaque année, des scientifiques du monde entier tentent de prouver que la science est sans limites et qu'on ne peut résoudre une équation que si on connaît les sciences naturelles. Il ne sera peut-être pas possible d'y mettre un terme définitif. Y penser est aussi inutile que de réchauffer l'air extérieur. Trouvons l'intervalle auquel l'argument, avec sa valeur positive, détermine le module de la valeur dans une direction fortement croissante. La réaction aidera à trouver au moins trois solutions, mais il faudra les vérifier. Commençons par le fait que nous devons résoudre l'équation en ligne en utilisant le service unique de notre site Web. Entrons dans les deux parties de l'équation donnée, appuyez sur le bouton "RÉSOUDRE" et obtenez la réponse exacte en quelques secondes seulement. Dans des cas particuliers, nous prendrons un livre sur les mathématiques et revérifierons notre réponse, à savoir, nous ne regarderons que la réponse et tout deviendra clair. Le même projet s'envolera sur un parallélépipède redondant artificiel. Il existe un parallélogramme avec ses côtés parallèles, et il explique de nombreux principes et approches de l'étude de la relation spatiale du processus ascendant d'accumulation de l'espace creux dans les formules naturelles. Les équations linéaires ambiguës montrent la dépendance de la variable souhaitée sur notre solution générale actuelle, et il est nécessaire de dériver et de réduire d'une manière ou d'une autre la fraction impropre à un cas non trivial. Nous marquons dix points sur la ligne droite et traçons une courbe passant par chaque point dans une direction donnée, et avec une convexité vers le haut. Sans grande difficulté, notre calculateur d'équation présentera une expression sous une forme telle que sa vérification de la validité des règles sera évidente même au début de l'enregistrement. Le système de représentations spéciales de la stabilité pour les mathématiciens en premier lieu, sauf disposition contraire de la formule. Nous y répondrons par une présentation détaillée d'un rapport sur l'état isomorphe d'un système plastique de corps et la solution d'équations en ligne décrira le mouvement de chaque point matériel dans ce système. Au niveau d'une étude approfondie, il faudra clarifier en détail la question des inversions d'au moins la couche inférieure de l'espace. Par ordre croissant sur la section de la discontinuité de la fonction, nous appliquerons la méthode générale d'un excellent chercheur, soit dit en passant, notre compatriote, et nous raconterons ci-dessous le comportement de l'avion. En raison des fortes caractéristiques de la fonction donnée analytiquement, nous n'utilisons le calculateur d'équations en ligne que pour l'usage auquel il est destiné dans les limites d'autorité dérivées. En poursuivant notre argumentation, nous arrêtons notre examen sur l'homogénéité de l'équation elle-même, c'est-à-dire que son côté droit est égal à zéro. Une fois de plus, nous allons vérifier la justesse de notre décision en mathématiques. Afin d'éviter d'obtenir une solution triviale, nous allons apporter quelques ajustements aux conditions initiales du problème de la stabilité conditionnelle du système. Composons une équation quadratique, pour laquelle nous écrivons deux entrées en utilisant la formule bien connue et trouvons des racines négatives. Si une racine dépasse les deuxième et troisième racines de cinq unités, alors en apportant des modifications à l'argument principal, nous déformons ainsi les conditions initiales du sous-problème. À la base, quelque chose d'inhabituel en mathématiques peut toujours être décrit au centième près d'un nombre positif. Le calculateur de fraction est plusieurs fois supérieur à ses homologues sur des ressources similaires au meilleur moment de la charge du serveur. Sur la surface du vecteur vitesse croissant le long de l'axe y, nous dessinons sept lignes courbées dans des directions opposées les unes aux autres. La commensurabilité de l'argument de la fonction assignée conduit le compteur de solde de récupération. En mathématiques, ce phénomène peut être représenté par une équation cubique à coefficients imaginaires, ainsi que par une progression bipolaire de droites décroissantes. Les points critiques de la différence de température dans beaucoup de leur signification et de leur progression décrivent le processus de factorisation d'une fonction fractionnaire complexe. Si on vous dit de résoudre l'équation, ne vous précipitez pas pour le faire cette minute, évaluez d'abord définitivement l'ensemble du plan d'action, et ensuite seulement adoptez la bonne approche. Il y aura certainement des avantages. La facilité dans le travail est évidente, et en mathématiques c'est la même chose. Résolvez l'équation en ligne. Toutes les équations en ligne sont un certain type d'enregistrement de nombres ou de paramètres et une variable qui doit être définie. Calculez cette même variable, c'est-à-dire trouvez des valeurs ou des intervalles spécifiques d'un ensemble de valeurs pour lesquelles l'identité sera satisfaite. Les conditions initiales et finales en dépendent directement. La solution générale des équations, en règle générale, comprend certaines variables et constantes, en définissant lesquelles, nous obtiendrons des familles entières de solutions pour un énoncé de problème donné. En général, cela justifie les efforts investis dans le sens d'augmenter la fonctionnalité d'un cube spatial de côté égal à 100 centimètres. Vous pouvez appliquer un théorème ou un lemme à n'importe quelle étape de la construction d'une réponse. Le site publie progressivement une calculatrice d'équations, si nécessaire, montre la plus petite valeur à n'importe quel intervalle de sommation de produits. Dans la moitié des cas, une boule telle qu'une boule creuse ne répond pas davantage aux exigences de définition d'une réponse intermédiaire. Au moins en ordonnée dans le sens de la représentation vectorielle décroissante, cette proportion sera sans doute plus optimale que l'expression précédente. A l'heure où l'on fera une analyse ponctuelle complète sur les fonctions linéaires, nous rassemblerons en effet tous nos nombres complexes et espaces plans bipolaires. En remplaçant une variable dans l'expression résultante, vous résoudrez l'équation par étapes et donnerez la réponse la plus détaillée avec une grande précision. Encore une fois, vérifier vos actions en mathématiques sera une bonne forme de la part d'un élève. La proportion dans le rapport des fractions fixe l'intégrité du résultat dans tous les domaines d'activité importants du vecteur zéro. La trivialité est confirmée à la fin des actions effectuées. Avec un ensemble de tâches simples, les élèves ne peuvent pas avoir de difficultés s'ils résolvent l'équation en ligne dans les délais les plus courts possibles, mais n'oublient pas toutes sortes de règles. L'ensemble des sous-ensembles se croisent dans le domaine de la notation convergente. Dans différents cas, le produit ne se factorise pas par erreur. Vous serez aidé à résoudre l'équation en ligne dans notre première section sur les bases des techniques mathématiques pour les sections importantes pour les étudiants des universités et des écoles techniques. Répondre à des exemples ne nous fera pas attendre plusieurs jours, puisque le procédé de la meilleure interaction de l'analyse vectorielle avec la recherche séquentielle de solutions a été breveté au début du siècle dernier. Il s'avère que les efforts pour se connecter avec l'équipe environnante n'ont pas été vains, quelque chose d'autre était évidemment en retard en premier lieu. Plusieurs générations plus tard, les scientifiques du monde entier ont amené à croire que les mathématiques sont la reine des sciences. Qu'il s'agisse de la réponse de gauche ou de la bonne réponse, les termes exhaustifs doivent de toute façon être écrits sur trois lignes, puisque dans notre cas nous ne parlerons sans ambiguïté que de l'analyse vectorielle des propriétés de la matrice. Les équations non linéaires et linéaires, ainsi que les équations biquadratiques, ont pris une place particulière dans notre livre sur les meilleures méthodes de calcul de la trajectoire du mouvement dans l'espace de tous les points matériels d'un système fermé. Une analyse linéaire du produit scalaire de trois vecteurs successifs nous aidera à donner vie à l'idée. A la fin de chaque réglage, la tâche est facilitée par l'introduction d'exceptions numériques optimisées dans le contexte des superpositions spatiales numériques en cours d'exécution. Un autre jugement ne s'opposera pas à la réponse trouvée sous la forme arbitraire d'un triangle dans un cercle. L'angle entre les deux vecteurs contient le pourcentage de marge requis, et la résolution d'équations en ligne révèle souvent une racine commune de l'équation par opposition aux conditions initiales. L'exception joue le rôle de catalyseur dans tout le processus inévitable de recherche d'une solution positive dans le domaine de la définition des fonctions. S'il n'est pas dit que vous ne pouvez pas utiliser un ordinateur, alors le calculateur d'équations en ligne est parfait pour vos tâches difficiles. Il suffit de saisir vos données conditionnelles dans le bon format et notre serveur émettra une réponse complète dans les plus brefs délais. Une fonction exponentielle croît beaucoup plus vite qu'une fonction linéaire. Ceci est démontré par les Talmuds de la littérature de bibliothèque intelligente. Effectue le calcul au sens général, comme le ferait l'équation quadratique donnée avec trois coefficients complexes. La parabole dans la partie supérieure du demi-plan caractérise le mouvement parallèle rectiligne le long des axes du point. Ici, il convient de mentionner la différence de potentiel dans l'espace de travail du corps. En échange d'un résultat sous-optimal, notre calculateur de fraction occupe à juste titre la première position dans la notation mathématique de l'examen des programmes fonctionnels sur le back-end. La facilité d'utilisation de ce service sera appréciée par des millions d'internautes. Si vous ne savez pas comment l'utiliser, nous serons heureux de vous aider. Nous voulons également mettre en évidence et mettre en évidence l'équation cubique d'un certain nombre de tâches d'écoliers du primaire, lorsque vous devez trouver rapidement ses racines et tracer un graphique de fonction sur un plan. Les degrés de reproduction les plus élevés sont l'un des problèmes mathématiques les plus difficiles de l'institut et un nombre suffisant d'heures est alloué à son étude. Comme toutes les équations linéaires, la nôtre n'échappe pas à de nombreuses règles objectives, regardez sous différents points de vue, et elle s'avérera simple et suffisante pour poser les conditions initiales. L'intervalle d'augmentation coïncide avec l'intervalle de convexité de la fonction. Solution d'équations en ligne. L'étude de la théorie est basée sur des équations en ligne de nombreuses sections sur l'étude de la discipline principale. Dans le cas d'une telle approche dans des problèmes incertains, il est très facile de présenter la solution des équations sous une forme prédéterminée et non seulement de tirer des conclusions, mais aussi de prédire le résultat d'une telle solution positive. Le service nous aidera à apprendre la matière dans les meilleures traditions des mathématiques, comme il est d'usage en Orient. Aux meilleurs moments de l'intervalle de temps, des tâches similaires ont été multipliées par un multiplicateur commun dix fois. Avec une abondance de multiplications de plusieurs variables dans le calculateur d'équations, il a commencé à multiplier par la qualité, et non par des variables quantitatives, des valeurs telles que la masse ou le poids corporel. Afin d'éviter les cas de déséquilibre du système matériel, il nous est tout à fait évident de dériver un convertisseur tridimensionnel sur la convergence triviale de matrices mathématiques non dégénérées. Terminez la tâche et résolvez l'équation dans les coordonnées données, car la sortie est inconnue à l'avance, ainsi que toutes les variables incluses dans le post-espace-temps sont inconnues. Pendant une courte période, poussez le facteur commun hors des parenthèses et divisez par le plus grand diviseur commun des deux parties au préalable. Sous le sous-ensemble couvert de nombres résultant, extrayez de manière détaillée trente-trois points d'affilée sur une courte période. Dans la mesure où il est possible pour chaque élève de résoudre l'équation en ligne de la meilleure façon possible, en regardant vers l'avenir, disons une chose importante, mais essentielle, sans laquelle nous ne serons pas faciles à vivre à l'avenir. Au siècle dernier, le grand scientifique a remarqué un certain nombre de régularités dans la théorie des mathématiques. En pratique, il s'est avéré pas tout à fait l'impression attendue des événements. Cependant, en principe, cette solution même d'équations en ligne contribue à améliorer la compréhension et la perception d'une approche holistique de l'étude et de la consolidation pratique du matériel théorique couvert par les étudiants. Il est beaucoup plus facile de le faire pendant votre temps d'étude.

Université d'État de Belgorod

CHAISE algèbre, théorie des nombres et géométrie

Thème de travail : Équations et inégalités à puissance exponentielle.

Travail de fin d'étudesétudiant de la Faculté de Physique et Mathématiques

Conseiller scientifique:

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Réviseur : _______________________________

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Belgorod. 2006

Introduction			3
*Sujet* *JE.*	Analyse de la littérature sur le sujet de recherche.
*Sujet* *II.*	Fonctions et leurs propriétés utilisées pour résoudre des équations et des inégalités à puissance exponentielle.
	*I.1.*	Fonction puissance et ses propriétés.
	*I.2.*	La fonction exponentielle et ses propriétés.
*Sujet* *III.*	Solution d'équations à puissance exponentielle, algorithme et exemples.
*Sujet* *IV.*	Résolution des inégalités de puissance exponentielle, plan de solution et exemples.
*Sujet* v.	Expérience dans la conduite de cours avec des écoliers sur le thème: "Solution d'équations de puissance exponentielles et d'inégalités".
v. 1.	Matériel d'apprentissage.
v. 2.	Tâches pour solution indépendante.
*Conclusion.*	Conclusions et offres.
*Bibliographie.*
*Applications*

Introduction.

"... la joie de voir et de comprendre..."

A.Einstein.

Dans cet ouvrage, j'ai essayé de transmettre mon expérience de professeur de mathématiques, de transmettre, au moins dans une certaine mesure, mon attitude face à l'enseignement des mathématiques - une matière humaine dans laquelle la science mathématique, la pédagogie, la didactique, la psychologie et même la philosophie sont étonnamment entrelacés.

J'ai eu la chance de travailler avec des enfants et des diplômés, avec des enfants se tenant aux pôles du développement intellectuel : ceux qui étaient inscrits chez un psychiatre et qui s'intéressaient vraiment aux mathématiques

J'ai dû résoudre de nombreux problèmes méthodologiques. Je vais essayer de parler de ceux que j'ai réussi à résoudre. Mais plus encore - ce n'était pas possible, et dans ceux qui semblent être résolus, de nouvelles questions apparaissent.

Mais plus importantes encore que l'expérience elle-même sont les réflexions et les doutes de l'enseignant : pourquoi est-ce exactement comme ça, cette expérience ?

Et l'été est différent maintenant, et le tournant de l'éducation est devenu plus intéressant. "Sous les Jupiters" aujourd'hui n'est pas la recherche d'un système optimal mythique d'enseignement de "tout et chacun", mais l'enfant lui-même. Mais alors - avec nécessité - et le professeur.

Dans le cours scolaire d'algèbre et le début de l'analyse, de la 10e à la 11e année, lors de la réussite à l'examen d'un cours de lycée et aux examens d'entrée aux universités, il existe des équations et des inégalités contenant une inconnue à la base et des exposants - ceux-ci sont exponentiels -équations de puissance et inégalités.

Peu d'attention leur est accordée à l'école, il n'y a pratiquement pas de tâches sur ce sujet dans les manuels. Cependant, maîtriser la méthodologie pour les résoudre, me semble-t-il, est très utile: cela augmente les capacités mentales et créatives des étudiants, des horizons complètement nouveaux s'ouvrent devant nous. Lors de la résolution de problèmes, les étudiants acquièrent les premières compétences du travail de recherche, leur culture mathématique s'enrichit et la capacité de penser logiquement se développe. Les écoliers développent des traits de personnalité tels que la détermination, l'établissement d'objectifs, l'indépendance, qui leur seront utiles plus tard dans la vie. Et il y a aussi une répétition, une expansion et une assimilation profonde du matériel pédagogique.

J'ai commencé à travailler sur ce sujet de ma recherche de thèse avec la rédaction d'un dissertation. Au cours de laquelle j'ai étudié et analysé plus en profondeur la littérature mathématique sur ce sujet, j'ai identifié la méthode la plus appropriée pour résoudre les équations et les inégalités à puissance exponentielle.

Elle réside dans le fait qu'en plus de l'approche généralement admise lors de la résolution d'équations à puissance exponentielle (la base est prise supérieure à 0) et lors de la résolution des mêmes inégalités (la base est prise supérieure à 1 ou supérieure à 0, mais inférieure à 1), les cas sont également considérés lorsque les bases sont négatives, sont 0 et 1.

L'analyse des épreuves écrites des élèves montre que le manque de couverture de la question de la valeur négative de l'argument de la fonction exponentielle-puissance dans les manuels scolaires leur cause un certain nombre de difficultés et conduit à des erreurs. Et ils ont également des problèmes au stade de la systématisation des résultats obtenus, où, en raison du passage à une équation - une conséquence ou une inégalité - une conséquence, des racines étrangères peuvent apparaître. Afin d'éliminer les erreurs, nous utilisons une vérification par l'équation ou l'inégalité d'origine et un algorithme pour résoudre les équations à puissance exponentielle, ou un plan pour résoudre les inégalités à puissance exponentielle.

Pour que les étudiants puissent réussir les examens finaux et d'entrée, je pense qu'il est nécessaire d'accorder plus d'attention à la résolution des équations et des inégalités à puissance exponentielle en classe, ou en plus dans les cours facultatifs et les cercles.

De cette façon sujet , ma thèse se définit comme suit : « Équations et inégalités à puissance exponentielle ».

Buts de ce travail sont :

1. Analysez la littérature sur ce sujet.

2. Donner une analyse complète de la solution des équations et des inégalités à puissance exponentielle.

3. Donnez un nombre suffisant d'exemples sur ce sujet de différents types.

4. Vérifier en classe, en classe optionnelle et en cercle comment seront perçues les méthodes proposées pour résoudre les équations à puissance exponentielle et les inégalités. Donner des recommandations appropriées pour l'étude de ce sujet.

Matière notre recherche consiste à développer une technique de résolution d'équations et d'inéquations à puissance exponentielle.

Le but et le sujet de l'étude ont nécessité la résolution des tâches suivantes :

1. Étudiez la littérature sur le sujet : "Équations et inégalités à puissance exponentielle".

2. Maîtriser les méthodes de résolution des équations et des inégalités à puissance exponentielle.

3. Sélectionnez le matériel de formation et développez un système d'exercices à différents niveaux sur le thème : "Résolution d'équations et d'inégalités à puissance exponentielle".

Au cours de la recherche de thèse, plus de 20 articles consacrés à l'application de diverses méthodes de résolution d'équations et d'inéquations à puissance exponentielle ont été analysés. De là, nous obtenons.

Projet de thèse :

Introduction.

Chapitre I. Analyse de la littérature sur le sujet de recherche.

Chapitre II. Fonctions et leurs propriétés utilisées pour résoudre des équations et des inégalités à puissance exponentielle.

II.1. Fonction puissance et ses propriétés.

II.2. La fonction exponentielle et ses propriétés.

Chapitre III. Solution d'équations à puissance exponentielle, algorithme et exemples.

Chapitre IV. Résolution des inégalités de puissance exponentielle, plan de solution et exemples.

Chapitre V. Expérience dans la conduite de cours avec des écoliers sur ce sujet.

1. Matériel pédagogique.

2. Tâches pour une solution indépendante.

Conclusion. Conclusions et offres.

Liste de la littérature utilisée.

Littérature analysée au chapitre I

Cette leçon est destinée à ceux qui commencent tout juste à apprendre les équations exponentielles. Comme toujours, commençons par une définition et des exemples simples.

Si vous lisez cette leçon, alors je soupçonne que vous avez déjà au moins une compréhension minimale des équations les plus simples - linéaires et carrées : $56x-11=0$ ; $((x)^(2))+5x+4=0$ ; $((x)^(2))-12x+32=0$ etc. Être capable de résoudre de telles constructions est absolument nécessaire pour ne pas "s'accrocher" au sujet qui sera discuté maintenant.

Donc, équations exponentielles. Permettez-moi de vous donner quelques exemples :

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Certains d'entre eux peuvent vous sembler plus compliqués, certains d'entre eux, au contraire, sont trop simples. Mais tous sont unis par une caractéristique importante : ils contiennent une fonction exponentielle $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Ainsi, nous introduisons la définition :

Une équation exponentielle est toute équation qui contient une fonction exponentielle, c'est-à-dire une expression de la forme $((a)^(x))$. En plus de la fonction spécifiée, ces équations peuvent contenir toute autre construction algébrique - polynômes, racines, trigonométrie, logarithmes, etc.

Alors ok. J'ai compris la définition. Maintenant la question est : comment résoudre toute cette merde ? La réponse est à la fois simple et complexe.

Commençons par la bonne nouvelle : d'après mon expérience avec de nombreux élèves, je peux dire que pour la plupart d'entre eux, les équations exponentielles sont beaucoup plus faciles que les mêmes logarithmes, et encore plus la trigonométrie.

Mais il y a aussi de mauvaises nouvelles: parfois les compilateurs de problèmes pour toutes sortes de manuels et d'examens sont visités par "l'inspiration", et leur cerveau enflammé par la drogue commence à produire des équations si brutales qu'il devient problématique non seulement pour les étudiants de les résoudre - même de nombreux enseignants sont bloqués sur de tels problèmes.

Cependant, ne parlons pas de choses tristes. Et revenons à ces trois équations qui ont été données au tout début de l'histoire. Essayons de résoudre chacun d'eux.

Première équation : $((2)^(x))=4$. Eh bien, à quelle puissance faut-il élever le chiffre 2 pour obtenir le chiffre 4 ? Peut-être le deuxième ? Après tout, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — et nous avons obtenu la bonne égalité numérique, c'est-à-dire en effet $x=2$. Eh bien, merci, cap, mais cette équation était si simple que même mon chat pourrait la résoudre. :)

Regardons l'équation suivante :

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Mais ici c'est un peu plus difficile. De nombreux élèves savent que $((5)^(2))=25$ est la table de multiplication. Certains soupçonnent également que $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ est essentiellement la définition des exposants négatifs (similaire à la formule $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Enfin, seuls quelques privilégiés supposent que ces faits peuvent être combinés et le résultat est le suivant :

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Ainsi, notre équation originale sera réécrite comme suit :

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Et maintenant, c'est déjà complètement résolu! Sur le côté gauche de l'équation, il y a une fonction exponentielle, sur le côté droit de l'équation, il y a une fonction exponentielle, il n'y a rien d'autre qu'eux ailleurs. Par conséquent, il est possible de "jeter" les bases et d'assimiler bêtement les indicateurs :

Nous avons obtenu l'équation linéaire la plus simple que n'importe quel étudiant puisse résoudre en quelques lignes seulement. Bon, en quatre lignes :

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Si vous ne comprenez pas ce qui s'est passé dans les quatre dernières lignes, assurez-vous de revenir au sujet "équations linéaires" et répétez-le. Car sans une assimilation claire de ce sujet, il est trop tôt pour vous attaquer aux équations exponentielles.

\[((9)^(x))=-3\]

Eh bien, comment décidez-vous? Première pensée : $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, donc l'équation d'origine peut être réécrite comme ceci :

\[((\gauche(((3)^(2)) \droite))^(x))=-3\]

Ensuite, nous rappelons que lorsqu'on élève un degré à une puissance, les indicateurs sont multipliés :

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(aligner)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(aligner)\]

Et pour une telle décision, nous obtenons un diable honnêtement mérité. Car nous, avec la sérénité d'un Pokémon, avons envoyé le signe moins devant le trois à la puissance de ce même trois. Et vous ne pouvez pas faire ça. Et c'est pourquoi. Jeter un coup d'œil à différents degrés triplés:

\[\begin(matrice) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrice)\]

Lors de la compilation de cette tablette, je n'ai pas perverti dès que je l'ai fait: j'ai considéré les degrés positifs, et les négatifs, et même les fractionnaires ... eh bien, où est au moins un nombre négatif ici? Il n'est pas! Et ce n'est pas possible, car la fonction exponentielle $y=((a)^(x))$, premièrement, ne prend toujours que des valeurs positives (peu importe combien vous multipliez un ou divisez par deux, ce sera toujours un nombre positif), et d'autre part, la base d'une telle fonction, le nombre $a$, est par définition un nombre positif !

Alors, comment résoudre l'équation $((9)^(x))=-3$ ? Non, il n'y a pas de racines. Et en ce sens, les équations exponentielles sont très similaires aux équations quadratiques - il peut aussi n'y avoir aucune racine. Mais si dans les équations quadratiques, le nombre de racines est déterminé par le discriminant (le discriminant est positif - 2 racines, négatif - pas de racines), alors dans les équations exponentielles, tout dépend de ce qui se trouve à droite du signe égal.

Ainsi, nous formulons la conclusion clé : l'équation exponentielle la plus simple de la forme $((a)^(x))=b$ a une racine si et seulement si $b>0$. Connaissant ce simple fait, vous pouvez facilement déterminer si l'équation qui vous est proposée a des racines ou non. Ceux. vaut-il la peine de le résoudre ou d'écrire immédiatement qu'il n'y a pas de racines.

Cette connaissance nous aidera plus d'une fois lorsque nous devrons décider plus tâches difficiles. En attendant, assez de paroles - il est temps d'étudier l'algorithme de base pour résoudre les équations exponentielles.

Comment résoudre des équations exponentielles

Alors, formulons le problème. Il faut résoudre l'équation exponentielle :

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Selon l'algorithme "naïf" que nous avons utilisé précédemment, il faut représenter le nombre $b$ comme une puissance du nombre $a$ :

De plus, si au lieu de la variable $x$ il y a une expression, nous obtiendrons une nouvelle équation, qui peut déjà être résolue. Par exemple:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3 ; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4 ; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\fin(aligner)\]

Et curieusement, ce schéma fonctionne dans environ 90% des cas. Qu'en est-il des 10 % restants ? Les 10% restants sont des équations exponentielles légèrement "schizophréniques" de la forme :

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

A quelle puissance faut-il élever 2 pour obtenir 3 ? En premier? Mais non : $((2)^(1))=2$ n'est pas suffisant. Dans la seconde? Ni l'un ni l'autre : $((2)^(2))=4$ c'est trop. Quoi alors ?

Les étudiants avertis ont probablement déjà deviné: dans de tels cas, lorsqu'il est impossible de résoudre «magnifiquement», «l'artillerie lourde» est liée au cas - les logarithmes. Permettez-moi de vous rappeler qu'en utilisant les logarithmes, tout nombre positif peut être représenté comme une puissance de tout autre nombre positif (à l'exception d'un) :

Vous vous souvenez de cette formule ? Quand je parle de logarithmes à mes élèves, je vous préviens toujours : cette formule (c'est aussi l'identité logarithmique de base ou, si vous préférez, la définition du logarithme) vous hantera très longtemps et "émergera" dans le plus lieux inattendus. Eh bien, elle a refait surface. Regardons notre équation et cette formule :

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Si nous supposons que $a=3$ est notre nombre d'origine à droite et que $b=2$ est la base même fonction exponentielle, auquel on veut tant réduire le côté droit, on obtient :

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\fin(aligner)\]

Nous avons obtenu une réponse un peu étrange : $x=((\log )_(2))3$. Dans une autre tâche, avec une telle réponse, beaucoup douteraient et commenceraient à revérifier leur solution : et s'il y avait une erreur quelque part ? Je m'empresse de vous faire plaisir: il n'y a pas d'erreur ici, et les logarithmes dans les racines des équations exponentielles sont une situation assez typique. Alors habituez-vous. :)

Résolvons maintenant par analogie les deux équations restantes :

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15 ; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\fin(aligner)\]

C'est tout! Au fait, la dernière réponse peut être écrite différemment :

C'est nous qui avons introduit le multiplicateur dans l'argument du logarithme. Mais personne ne nous empêche d'ajouter ce facteur à la base :

Dans ce cas, les trois options sont correctes - c'est juste différentes formes enregistrements du même numéro. Lequel choisir et écrire dans cette décision dépend de vous.

Ainsi, nous avons appris à résoudre toutes les équations exponentielles de la forme $((a)^(x))=b$, où les nombres $a$ et $b$ sont strictement positifs. Cependant, la dure réalité de notre monde est telle qu'une telle tâches simples vous rencontrera très, très rarement. Plus souvent, vous rencontrerez quelque chose comme ceci :

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11 ; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\fin(aligner)\]

Eh bien, comment décidez-vous? Cela peut-il être résolu du tout? Et si oui, comment ?

Pas de panique. Toutes ces équations sont rapidement et simplement réduites à ces formules simples que nous avons déjà considérées. Vous avez juste besoin de savoir vous souvenir de quelques astuces du cours d'algèbre. Et bien sûr, il n'y a pas de règles pour travailler avec des diplômes ici. Je vais parler de tout ça maintenant. :)

Transformation d'équations exponentielles

La première chose à retenir est que toute équation exponentielle, aussi complexe soit-elle, doit d'une manière ou d'une autre être réduite aux équations les plus simples - celles-là mêmes que nous avons déjà envisagées et que nous savons résoudre. En d'autres termes, le schéma de résolution de toute équation exponentielle ressemble à ceci :

Écrivez l'équation originale. Par exemple : $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$ ;
Faites des bêtises. Ou même des conneries appelées "transformer l'équation" ;
À la sortie, obtenez les expressions les plus simples comme $((4)^(x))=4$ ou quelque chose d'autre comme ça. De plus, une équation initiale peut donner plusieurs de ces expressions à la fois.

Avec le premier point, tout est clair - même mon chat peut écrire l'équation sur une feuille. Avec le troisième point aussi, semble-t-il, c'est plus ou moins clair - nous avons déjà résolu tout un tas d'équations de ce type ci-dessus.

Mais qu'en est-il du deuxième point ? Quelles sont les métamorphoses ? Que convertir en quoi ? Et comment?

Eh bien, découvrons-le. Tout d'abord, je voudrais souligner ce qui suit. Toutes les équations exponentielles sont divisées en deux types :

L'équation est composée de fonctions exponentielles de même base. Exemple : $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$ ;
La formule contient des fonctions exponentielles avec différentes bases. Exemples : $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ et $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09$.

Commençons par les équations du premier type - elles sont les plus faciles à résoudre. Et dans leur solution, nous serons aidés par une technique telle que la sélection d'expressions stables.

Mise en évidence d'une expression stable

Reprenons cette équation :

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Que voyons-nous ? Les quatre sont élevés à des degrés différents. Mais toutes ces puissances sont de simples sommes de la variable $x$ avec d'autres nombres. Par conséquent, il est nécessaire de se rappeler les règles de travail avec les diplômes:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\fin(aligner)\]

En termes simples, l'addition d'exposants peut être convertie en un produit de puissances, et la soustraction est facilement convertie en division. Essayons d'appliquer ces formules aux puissances de notre équation :

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot\frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\fin(aligner)\]

Nous réécrivons l'équation d'origine en tenant compte de ce fait, puis nous collectons tous les termes à gauche :

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -Onze; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\fin(aligner)\]

Les quatre premiers termes contiennent l'élément $((4)^(x))$ — retirons-le de la parenthèse :

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0 ; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0 ; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\fin(aligner)\]

Il reste à diviser les deux parties de l'équation par la fraction $-\frac(11)(4)$, soit multiplier essentiellement par la fraction inversée - $-\frac(4)(11)$. On a:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4 ; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\fin(aligner)\]

C'est tout! Nous avons réduit l'équation d'origine au plus simple et avons obtenu la réponse finale.

En même temps, dans le processus de résolution, nous avons découvert (et même sorti de la parenthèse) le facteur commun $((4)^(x))$ - c'est l'expression stable. Il peut être désigné comme une nouvelle variable, ou vous pouvez simplement l'exprimer avec précision et obtenir une réponse. Dans tous les cas, le principe clé de la solution est le suivant :

Trouvez dans l'équation d'origine une expression stable contenant une variable qui se distingue facilement de toutes les fonctions exponentielles.

La bonne nouvelle est que presque toutes les équations exponentielles admettent une telle expression stable.

Mais il y a aussi une mauvaise nouvelle : de telles expressions peuvent être très délicates et il peut être assez difficile de les distinguer. Passons donc à un autre problème :

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Peut-être que quelqu'un va maintenant poser une question : « Pacha, es-tu lapidé ? Voici différentes bases - 5 et 0,2. Mais essayons de convertir une puissance de base 0.2. Par exemple, débarrassons-nous de la fraction décimale, en la ramenant à l'habituel :

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10 ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Comme vous pouvez le voir, le nombre 5 est toujours apparu, bien que dans le dénominateur. Dans le même temps, l'indicateur a été réécrit en négatif. Et maintenant, nous nous souvenons de l'un de règles essentielles travailler avec des diplômes :

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Ici, bien sûr, j'ai un peu triché. Car pour une compréhension complète, la formule pour se débarrasser des indicateurs négatifs devait être écrite comme suit :

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ droite))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

En revanche, rien ne nous empêchait de travailler avec une seule fraction :

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ droite))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Mais dans ce cas, il faut pouvoir monter d'un degré à un autre degré (je vous rappelle : dans ce cas, les indicateurs s'additionnent). Mais je n'ai pas eu à "retourner" les fractions - peut-être que pour quelqu'un ce sera plus facile. :)

Dans tous les cas, l'équation exponentielle d'origine sera réécrite comme suit :

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2 ; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2 ; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2 ; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2 ; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2 ; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\fin(aligner)\]

Il s'avère donc que l'équation d'origine est encore plus facile à résoudre que celle considérée précédemment: ici, vous n'avez même pas besoin de distinguer une expression stable - tout a été réduit par lui-même. Il ne reste plus qu'à retenir que $1=((5)^(0))$, d'où l'on obtient :

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0 ; \\&x=-2. \\\fin(aligner)\]

C'est toute la solution ! Nous avons obtenu la réponse finale : $x=-2$. En même temps, je voudrais noter une astuce qui nous a grandement simplifié tous les calculs :

Dans les équations exponentielles, assurez-vous de vous débarrasser de fractions décimales, convertissez-les en normal. Cela vous permettra de voir les mêmes bases des degrés et simplifiera grandement la solution.

Passons à plus équations complexes, dans lequel il existe différentes bases, qui ne sont généralement pas réduites les unes aux autres à l'aide de degrés.

Utilisation de la propriété exposant

Je vous rappelle que nous avons deux équations plus particulièrement dures :

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\fin(aligner)\]

La principale difficulté ici est qu'il n'est pas clair sur quoi et sur quelle base mener. Où sont les expressions fixes ? Où sont les points communs ? Il n'y a rien de tout cela.

Mais essayons d'aller dans l'autre sens. S'il n'y a pas de bases identiques toutes faites, vous pouvez essayer de les trouver en factorisant les bases disponibles.

Commençons par la première équation :

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\fin(aligner)\]

Mais après tout, vous pouvez faire le contraire - composer le nombre 21 à partir des nombres 7 et 3. Il est particulièrement facile de le faire à gauche, car les indicateurs des deux degrés sont les mêmes :

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x ; \\& 2x=6 ; \\&x=3. \\\fin(aligner)\]

C'est tout! Vous avez retiré l'exposant du produit et vous avez immédiatement obtenu une belle équation qui peut être résolue en quelques lignes.

Passons maintenant à la deuxième équation. Ici tout est bien plus compliqué :

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

Dans ce cas, les fractions se sont avérées irréductibles, mais si quelque chose pouvait être réduit, assurez-vous de le réduire. Cela se traduira souvent par des terrains intéressants avec lesquels vous pouvez déjà travailler.

Malheureusement, nous n'avons rien trouvé. Mais on voit que les exposants à gauche dans le produit sont opposés :

Permettez-moi de vous rappeler : pour vous débarrasser du signe moins dans l'exposant, il vous suffit de "retourner" la fraction. Réécrivons donc l'équation d'origine :

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\fin(aligner)\]

Dans la deuxième ligne, nous venons de mettre entre parenthèses le total du produit selon la règle $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right ))^ (x))$, et dans ce dernier, ils ont simplement multiplié le nombre 100 par une fraction.

Notez maintenant que les nombres à gauche (à la base) et à droite sont quelque peu similaires. Comment? Oui, évidemment : ce sont des puissances du même nombre ! Nous avons:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \droit))^(2)). \\\fin(aligner)\]

Ainsi, notre équation sera réécrite comme suit :

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3 )(10) \droit))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

Dans le même temps, à droite, vous pouvez également obtenir un diplôme avec la même base, pour laquelle il suffit juste de "retourner" la fraction :

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Finalement, notre équation prendra la forme :

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2 ; \\& 3x=1 ; \\& x=\frac(1)(3). \\\fin(aligner)\]

C'est toute la solution. Son idée principale se résume au fait que même avec des raisons différentes, on essaie de gré ou de force de réduire ces raisons à la même. En cela, nous sommes aidés par les transformations élémentaires des équations et les règles de travail avec les puissances.

Mais quelles règles et quand utiliser ? Comment comprendre que dans une équation, vous devez diviser les deux côtés par quelque chose, et dans un autre - décomposer la base de la fonction exponentielle en facteurs?

La réponse à cette question viendra avec l'expérience. Essayez-vous d'abord équations simples, puis compliquez progressivement les tâches - et très bientôt vos compétences seront suffisantes pour résoudre n'importe quelle équation exponentielle de la même UTILISATION ou tout travail indépendant / test.

Et pour vous aider dans cette tâche difficile, je vous propose de télécharger un ensemble d'équations sur mon site Web pour une solution indépendante. Toutes les équations ont des réponses, vous pouvez donc toujours vérifier vous-même.

\(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\)		Encore une fois, nous utilisons la propriété degré \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) dans la direction opposée.
\(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\)		Rappelez-vous maintenant que \(4=2^2\).
\((2^2)^x (2^2)^(0,5)-5 2^x+2=0\)		En utilisant les propriétés du degré, on transforme : \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0.5)=2^(2 0.5)=2^1=2.\)
\(2 (2^x)^2-5 2^x+2=0\)		Nous regardons attentivement l'équation, et nous voyons que le remplacement \(t=2^x\) s'impose ici.

\(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\)		Cependant, nous avons trouvé les valeurs \(t\), et nous avons besoin de \(x\). Nous revenons au X, en faisant la substitution inverse.
\(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\)		Transformez la deuxième équation en utilisant la propriété de puissance négative...
\(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\)		...et résoudre jusqu'à la réponse.
\(x_1=1\) \(x_2=-1\)

\(5^(x+7)=3^(x+7)\)		Ici, nous ne pouvons pas transformer un cinq en un trois, ou vice versa (du moins sans utiliser). On ne peut donc pas arriver à la forme \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Dans le même temps, les indicateurs sont les mêmes. Divisons l'équation par le côté droit, c'est-à-dire par \(3^(x+7)\) (nous pouvons le faire, car nous savons que le triplet ne sera nul à aucun degré).
\(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\)		Rappelez-vous maintenant la propriété \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) et utilisez-la de la gauche dans la direction opposée. A droite, on réduit simplement la fraction.
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\)		Cela ne semblait pas aller mieux. Mais souvenez-vous d'une autre propriété du degré : \(a^0=1\), autrement dit : "tout nombre à la puissance zéro est égal à \(1\)". L'inverse est également vrai : "une unité peut être représentée comme n'importe quel nombre élevé à la puissance zéro". Nous l'utilisons en rendant la base de droite identique à celle de gauche.
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\)		Voila ! Nous nous débarrassons des fondations.
		Nous écrivons la réponse.

\(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		L'équation a l'air bien triste... Non seulement les bases ne peuvent pas être réduites au même nombre (sept ne sera pas égal à \(\frac(1)(3)\)), mais en plus les indicateurs sont différents... Cependant, utilisons l'exposant du degré gauche deux.
\(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		En gardant à l'esprit la propriété \((a^b)^c=a^(b c)\) , transformez à gauche : \(7^(2(x-2))=7^(2 (x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\).
\(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		Maintenant, en se souvenant de la propriété de puissance négative \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), on transforme à droite : \((\frac(1)(3))^(- x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\)
\(49^(x-2)=3^(x-2)\)		Alléluia! Les scores sont les mêmes ! Agissant selon le schéma qui nous est déjà familier, nous décidons avant la réponse.