Solution des inégalités logarithmiques et exponentielles par la méthode de rationalisation. Préparation à l'examen

L'article est consacré à l'analyse des tâches 15 de l'examen de profil en mathématiques pour 2017. Dans cette tâche, on propose aux élèves de résoudre des inégalités, le plus souvent logarithmiques. Bien qu'ils puissent être indicatifs. Cet article propose une analyse d'exemples d'inégalités logarithmiques, dont celles contenant une variable à la base du logarithme. Tous les exemples sont tirés de la banque ouverte de tâches USE en mathématiques (profil), de telles inégalités sont donc très susceptibles de se présenter comme la tâche 15 à l'examen. Idéal pour ceux qui veulent apprendre à résoudre la tâche 15 de la deuxième partie de le profil USE dans un court laps de temps en mathématiques pour obtenir des scores plus élevés à l'examen.

Analyse des tâches 15 de l'examen de profil en mathématiques

Dans les tâches 15 de l'examen d'État unifié en mathématiques (profil), on trouve souvent des inégalités logarithmiques. La solution des inégalités logarithmiques commence par la définition de la plage des valeurs acceptables. Dans ce cas, il n'y a pas de variable dans la base des deux logarithmes, il n'y a que le nombre 11, ce qui simplifie grandement la tâche. Par conséquent, la seule restriction que nous avons ici est que les deux expressions sous le signe logarithme soient positives :

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La première inégalité du système est l'inégalité quadratique. Pour le résoudre, on ferait bien de factoriser le côté gauche. Je pense que vous savez que tout trinôme carré de la forme Il est factorisé comme suit :

où et sont les racines de l'équation . Dans ce cas, le coefficient est 1 (c'est le coefficient numérique devant ). Le coefficient est également égal à 1, et le coefficient est un terme libre, il est égal à -20. Les racines d'un trinôme sont plus faciles à déterminer en utilisant le théorème de Vieta. Notre équation est réduite, c'est-à-dire la somme des racines et sera égale au coefficient de signe opposé, c'est-à-dire -1, et le produit de ces racines sera égal au coefficient, c'est-à-dire -20. Il est facile de deviner que les racines seront -5 et 4.

Maintenant, le côté gauche de l'inégalité peut être factorisé : title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X aux points -5 et 4. Par conséquent, la solution souhaitée à l'inégalité est l'intervalle . Pour ceux qui ne comprennent pas ce qui est écrit ici, vous pouvez voir les détails dans la vidéo, à partir de maintenant. Vous y trouverez également une explication détaillée de la résolution de la seconde inégalité du système. Il est en cours de résolution. De plus, la réponse est exactement la même que pour la première inégalité du système. C'est-à-dire que l'ensemble écrit ci-dessus est l'aire des valeurs d'inégalité admissibles.

Ainsi, en tenant compte de la factorisation, l'inégalité originale prend la forme :

En utilisant la formule, ajoutons 11 à la puissance de l'expression sous le signe du premier logarithme, et déplaçons le deuxième logarithme vers le côté gauche de l'inégalité, tout en changeant son signe à l'opposé :

Après réduction on obtient :

La dernière inégalité, due à l'accroissement de la fonction , est équivalente à l'inégalité , dont la solution est l'intervalle . Il reste à le croiser avec le domaine des valeurs admissibles de l'inégalité, et ce sera la réponse à toute la tâche.

Ainsi, la réponse souhaitée à la tâche a la forme :

Nous avons compris cette tâche, nous passons maintenant à l'exemple suivant de la tâche 15 de l'examen d'État unifié en mathématiques (profil).

On commence la solution en déterminant la plage des valeurs admissibles de cette inégalité. La base de chaque logarithme doit être un nombre positif différent de 1. Toutes les expressions sous le signe du logarithme doivent être positives. Le dénominateur d'une fraction ne doit pas être zéro. La dernière condition est équivalente à , car sinon les deux logarithmes du dénominateur s'annulent. Toutes ces conditions déterminent la plage des valeurs admissibles de cette inégalité, qui est donnée par le système d'inégalités suivant :

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Dans la gamme des valeurs acceptables, nous pouvons utiliser des formules de transformation logarithmique afin de simplifier le côté gauche de l'inégalité. Utilisation de la formule se débarrasser du dénominateur :

Maintenant, nous n'avons que des logarithmes de base. C'est déjà plus pratique. Ensuite, nous utilisons la formule, et aussi la formule afin de mettre l'expression digne de gloire sous la forme suivante :

Dans les calculs, nous avons utilisé ce qui se situe dans la plage des valeurs acceptables. En utilisant la substitution, nous arrivons à l'expression :

Utilisons une autre substitution : . En conséquence, nous arrivons au résultat suivant :

Donc, revenez progressivement aux variables d'origine. D'abord à la variable :

Sections: Mathématiques

Souvent, lors de la résolution d'inéquations logarithmiques, il y a des problèmes avec une base variable du logarithme. Ainsi, une inégalité de la forme

est une inégalité scolaire standard. En règle générale, pour le résoudre, une transition vers un ensemble équivalent de systèmes est utilisée:

L'inconvénient de cette méthode est la nécessité de résoudre sept inégalités, sans compter deux systèmes et un ensemble. Même avec des fonctions quadratiques données, la solution de population peut nécessiter beaucoup de temps.

Une manière alternative, moins chronophage, de résoudre cette inégalité standard peut être proposée. Pour ce faire, nous prenons en compte le théorème suivant.

Théorème 1. Soit une fonction croissante continue sur un ensemble X. Alors sur cet ensemble le signe de l'incrément de la fonction coïncidera avec le signe de l'incrément de l'argument, c'est-à-dire , où .

Remarque : si une fonction continue décroissante sur l'ensemble X, alors .

Revenons aux inégalités. Passons au logarithme décimal (vous pouvez passer à n'importe lequel avec une base constante supérieure à un).

Maintenant, nous pouvons utiliser le théorème, en remarquant au numérateur l'incrément des fonctions et au dénominateur. Alors c'est vrai

En conséquence, le nombre de calculs menant à la réponse est réduit de moitié environ, ce qui permet non seulement de gagner du temps, mais également de faire potentiellement moins d'erreurs arithmétiques et d'inattention.

Exemple 1

En comparant avec (1) on trouve , , .

En passant à (2) nous aurons :

Exemple 2

En comparant avec (1) nous trouvons , , .

En passant à (2) nous aurons :

Exemple 3

Comme le côté gauche de l'inégalité est une fonction croissante pour et , alors la réponse est définie.

L'ensemble d'exemples dans lesquels Terme 1 peut être appliqué peut être facilement élargi si Terme 2 est pris en compte.

Laissez sur le plateau X les fonctions , , , sont définies, et sur cet ensemble les signes et coïncident, c'est-à-dire, alors ce sera juste.

Exemple 4

Exemple 5

Avec l'approche standard, l'exemple est résolu selon le schéma : le produit est inférieur à zéro lorsque les facteurs sont de signes différents. Ceux. on considère un ensemble de deux systèmes d'inégalités dans lequel, comme on l'a indiqué au début, chaque inégalité se décompose en sept autres.

Si l'on tient compte du théorème 2, alors chacun des facteurs, compte tenu de (2), peut être remplacé par une autre fonction qui a le même signe dans cet exemple de O.D.Z.

La méthode consistant à remplacer l'incrément d'une fonction par un incrément de l'argument, en tenant compte du théorème 2, s'avère très pratique lors de la résolution de problèmes typiques de C3 USE.

Exemple 6

Exemple 7

. Dénotons . Obtenir

. Notez que le remplacement implique : . Revenant à l'équation, on obtient .

Exemple 8

Dans les théorèmes que nous utilisons, il n'y a aucune restriction sur les classes de fonctions. Dans cet article, à titre d'exemple, les théorèmes ont été appliqués à la solution des inégalités logarithmiques. Les quelques exemples suivants démontreront la promesse de la méthode pour résoudre d'autres types d'inégalités.

INÉGALITÉS LOGARITHMIQUES DANS L'UTILISATION

Sechin Mikhaïl Alexandrovitch

Petite Académie des sciences pour les étudiants de la République du Kazakhstan "Seeker"

MBOU "École secondaire soviétique n ° 1", 11e année, ville. District soviétique Sovietsky

Gunko Lyudmila Dmitrievna, professeur de MBOU "École secondaire soviétique n ° 1"

Quartier Sovietsky

Objectif:étude du mécanisme de résolution des inégalités logarithmiques C3 à l'aide de méthodes non standard, révélant des faits intéressants sur le logarithme.

Sujet d'étude:

3) Apprendre à résoudre des inégalités logarithmiques C3 spécifiques en utilisant des méthodes non standard.

Résultats:

Contenu

Présentation…………………………………………………………………………….4

Chapitre 1. Contexte…………………………………………………………...5

Chapitre 2. Collecte des inégalités logarithmiques ………………………… 7

2.1. Les transitions équivalentes et la méthode généralisée des intervalles…………… 7

2.2. Méthode de rationalisation ………………………………………………… 15

2.3. Substitution non standard………………………………………………………………………………………….. ..... 22

2.4. Tâches avec pièges……………………………………………………… 27

Conclusion…………………………………………………………………… 30

Littérature……………………………………………………………………. 31

Introduction

Je suis en 11e année et j'ai l'intention d'entrer dans une université où les mathématiques sont une matière de base. Et c'est pourquoi je travaille beaucoup avec les tâches de la partie C. Dans la tâche C3, vous devez résoudre une inégalité non standard ou un système d'inégalités, généralement associé à des logarithmes. Lors de la préparation de l'examen, j'ai rencontré le problème du manque de méthodes et de techniques pour résoudre les inégalités logarithmiques d'examen proposées en C3. Les méthodes étudiées dans le programme scolaire sur ce sujet ne fournissent pas de base pour résoudre les tâches C3. Le professeur de mathématiques m'a suggéré de travailler seul sur les devoirs C3 sous sa direction. De plus, je me suis intéressé à la question : y a-t-il des logarithmes dans notre vie ?

Dans cette optique, le thème a été choisi :

"Inégalités logarithmiques à l'examen"

Objectif:étude du mécanisme de résolution des problèmes C3 à l'aide de méthodes non standard, révélant des faits intéressants sur le logarithme.

Sujet d'étude:

1) Trouver les informations nécessaires sur les méthodes non standard pour résoudre les inégalités logarithmiques.

2) Trouver des informations supplémentaires sur les logarithmes.

3) Apprendre à résoudre des problèmes C3 spécifiques en utilisant des méthodes non standard.

Résultats:

La signification pratique réside dans l'expansion de l'appareil pour résoudre les problèmes C3. Ce matériel peut être utilisé dans certains cours, pour animer des cercles, des cours optionnels en mathématiques.

Le produit du projet sera la collection "Inégalités logarithmiques C3 avec solutions".

Chapitre 1. Contexte

Au XVIe siècle, le nombre de calculs approximatifs augmente rapidement, principalement en astronomie. L'amélioration des instruments, l'étude des mouvements planétaires et d'autres travaux ont nécessité des calculs colossaux, parfois de plusieurs années. L'astronomie courait un réel danger de se noyer dans des calculs inachevés. Des difficultés ont également surgi dans d'autres domaines, par exemple, dans le secteur des assurances, des tables d'intérêts composés étaient nécessaires pour diverses valeurs en pourcentage. La principale difficulté était la multiplication, la division de nombres à plusieurs chiffres, en particulier les quantités trigonométriques.

La découverte des logarithmes était basée sur les propriétés bien connues des progressions à la fin du XVIe siècle. Archimède a parlé du lien entre les membres de la progression géométrique q, q2, q3, ... et la progression arithmétique de leurs indicateurs 1, 2, 3, ... dans le Psalmite. Une autre condition préalable était l'extension du concept de degré aux exposants négatifs et fractionnaires. De nombreux auteurs ont souligné que la multiplication, la division, l'élévation à une puissance et l'extraction d'une racine correspondent exponentiellement en arithmétique - dans le même ordre - l'addition, la soustraction, la multiplication et la division.

C'était là l'idée du logarithme en tant qu'exposant.

Dans l'histoire du développement de la doctrine des logarithmes, plusieurs étapes se sont écoulées.

Étape 1

Les logarithmes ont été inventés au plus tard en 1594 indépendamment par le baron écossais Napier (1550-1617) et dix ans plus tard par le mécanicien suisse Burgi (1552-1632). Tous deux voulaient fournir un nouveau moyen pratique de calculs arithmétiques, bien qu'ils aient abordé ce problème de différentes manières. Napier a exprimé cinématiquement la fonction logarithmique et est ainsi entré dans un nouveau domaine de la théorie des fonctions. Bürgi est resté sur la base de la considération de progressions discrètes. Cependant, la définition du logarithme pour les deux n'est pas similaire à la définition moderne. Le terme "logarithme" (logarithme) appartient à Napier. Il est né d'une combinaison de mots grecs: logos - "relation" et ariqmo - "nombre", ce qui signifie "nombre de relations". Initialement, Napier utilisait un terme différent : numeri artificiales - "nombres artificiels", par opposition à numeri naturalts - "nombres naturels".

En 1615, lors d'une conversation avec Henry Briggs (1561-1631), professeur de mathématiques au Gresh College de Londres, Napier suggéra de prendre zéro pour le logarithme de un, et 100 pour le logarithme de dix, ou, ce qui revient au même , juste 1. C'est ainsi que les logarithmes décimaux et Les premiers tableaux logarithmiques ont été imprimés. Plus tard, les tables de Briggs ont été complétées par le libraire et mathématicien néerlandais Andrian Flakk (1600-1667). Napier et Briggs, bien qu'ils soient arrivés aux logarithmes avant tout le monde, ont publié leurs tables plus tard que les autres - en 1620. Les signes log et Log ont été introduits en 1624 par I. Kepler. Le terme "logarithme naturel" a été introduit par Mengoli en 1659, suivi par N. Mercator en 1668, et le professeur londonien John Spadel a publié des tables de logarithmes naturels des nombres de 1 à 1000 sous le nom de "New Logarithms".

En russe, les premiers tableaux logarithmiques ont été publiés en 1703. Mais dans tous les tableaux logarithmiques, des erreurs ont été commises dans le calcul. Les premiers tableaux sans erreur ont été publiés en 1857 à Berlin dans le traitement du mathématicien allemand K. Bremiker (1804-1877).

Étape 2

Le développement ultérieur de la théorie des logarithmes est associé à une application plus large de la géométrie analytique et du calcul infinitésimal. À ce moment-là, la connexion entre la quadrature d'une hyperbole équilatérale et le logarithme népérien était établie. La théorie des logarithmes de cette période est associée aux noms d'un certain nombre de mathématiciens.

Mathématicien, astronome et ingénieur allemand Nikolaus Mercator dans son essai

"Logarithmotechnics" (1668) donne une série qui donne le développement de ln(x + 1) en termes de

puissances x :

Cette expression correspond exactement au cours de sa pensée, même si, bien sûr, il n'a pas utilisé les signes d, ..., mais des symboles plus encombrants. Avec la découverte de la série logarithmique, la technique de calcul des logarithmes a changé : ils ont commencé à être déterminés à l'aide de séries infinies. Dans ses cours "Mathématiques élémentaires d'un point de vue supérieur", lus en 1907-1908, F. Klein a suggéré d'utiliser la formule comme point de départ pour construire la théorie des logarithmes.

Étape 3

Définition d'une fonction logarithmique en fonction de l'inverse

exponentiel, logarithme en tant qu'exposant d'une base donnée

n'a pas été formulé immédiatement. L'œuvre de Leonhard Euler (1707-1783)

"Introduction à l'analyse des infinitésimaux" (1748) a servi de complément

développement de la théorie de la fonction logarithmique. De cette façon,

134 ans se sont écoulés depuis l'introduction des logarithmes

(à partir de 1614) avant que les mathématiciens ne proposent une définition

la notion de logarithme, qui est désormais à la base du cursus scolaire.

Chapitre 2. Collecte des inégalités logarithmiques

2.1. Transitions équivalentes et méthode généralisée des intervalles.

Transitions équivalentes

si a > 1

si 0 < а < 1

Méthode d'intervalle généralisée

Cette méthode est la plus universelle pour résoudre les inégalités de presque tous les types. Le schéma de solution ressemble à ceci :

1. Apportez l'inégalité à une telle forme, où la fonction est située sur le côté gauche
, et 0 à droite.

2. Trouver la portée de la fonction
.

3. Trouver les zéros d'une fonction
, c'est-à-dire résoudre l'équation
(et résoudre une équation est généralement plus facile que résoudre une inéquation).

4. Dessinez le domaine de définition et les zéros de la fonction sur une droite réelle.

5. Déterminer les signes de la fonction
aux intervalles reçus.

6. Sélectionnez les intervalles où la fonction prend les valeurs nécessaires et notez la réponse.

Exemple 1

La solution:

Appliquer la méthode des intervalles

où

Pour ces valeurs, toutes les expressions sous les signes des logarithmes sont positives.

Réponse:

Exemple 2

La solution:

1er façon . ODZ est déterminé par l'inégalité X> 3. Prendre des logarithmes pour de tels X en base 10, on obtient

La dernière inégalité pourrait être résolue en appliquant les règles de décomposition, c'est-à-dire comparant les facteurs à zéro. Cependant, dans ce cas, il est facile de déterminer les intervalles de constance de la fonction

la méthode de l'intervalle peut donc être appliquée.

Fonction F(X) = 2X(X- 3.5)lgǀ X- 3ǀ est continu pour X> 3 et s'annule aux points X 1 = 0, X 2 = 3,5, X 3 = 2, X 4 = 4. Ainsi, nous déterminons les intervalles de constance de la fonction F(X):

Réponse:

2ème voie . Appliquons directement les idées de la méthode des intervalles à l'inégalité originelle.

Pour cela, rappelons que les expressions un b- un c et ( un - 1)(b- 1) avoir un signe. Alors notre inégalité pour X> 3 équivaut à l'inégalité

ou

La dernière inégalité est résolue par la méthode des intervalles

Réponse:

Exemple 3

La solution:

Appliquer la méthode des intervalles

Réponse:

Exemple 4

La solution:

Depuis 2 X 2 - 3X+ 3 > 0 pour tout réel X, alors

Pour résoudre la seconde inégalité, on utilise la méthode des intervalles

Dans la première inégalité, on fait le changement

on arrive alors à l'inégalité 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, qui satisfont l'inégalité -0.5< y < 1.

D'où, parce que

on obtient l'inégalité

qui s'effectue avec X, pour lequel 2 X 2 - 3X - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Maintenant, en tenant compte de la solution de la deuxième inégalité du système, on obtient finalement

Réponse:

Exemple 5

La solution:

L'inégalité est équivalente à un ensemble de systèmes

ou

Appliquer la méthode de l'intervalle ou

Réponse:

Exemple 6

La solution:

L'inégalité équivaut à un système

Laisser

alors y > 0,

et la première inégalité

système prend la forme

ou en élargissant

trinôme carré aux facteurs,

En appliquant la méthode des intervalles à la dernière inégalité,

on voit que ses solutions satisfont la condition y> 0 sera tout y > 4.

Ainsi, l'inégalité d'origine est équivalente au système :

Ainsi, les solutions de l'inégalité sont toutes

2.2. méthode de rationalisation.

Auparavant, la méthode de rationalisation des inégalités n'était pas résolue, elle n'était pas connue. C'est "une nouvelle méthode moderne et efficace pour résoudre les inégalités exponentielles et logarithmiques" (citation du livre de Kolesnikova S.I.)
Et même si l'enseignant le connaissait, il y avait une peur - mais l'expert USE le connaît-il, et pourquoi ne le donne-t-il pas à l'école? Il y a eu des situations où l'enseignant a dit à l'élève: "Où l'avez-vous obtenu? Asseyez-vous - 2."
Maintenant, la méthode est promue partout. Et pour les experts, il existe des directives associées à cette méthode, et dans "Les éditions les plus complètes des options standard ..." dans la solution C3, cette méthode est utilisée.
LA METHODE EST SUPER !

"Table Magique"

Dans d'autres sources

si a >1 et b >1, alors log a b >0 et (a -1)(b -1)>0 ;

si un >1 et 0

si 0<un<1 и b >1, puis log a b<0 и (a -1)(b -1)<0;