Logarithmische Ungleichungen mit variablem Exponenten. Komplexe logarithmische Ungleichungen

Bei all der Vielfalt logarithmische Ungleichungen Ungleichungen mit variabler Basis werden separat untersucht. Sie werden mit einer speziellen Formel gelöst, die aus irgendeinem Grund in der Schule selten gelehrt wird. Die Präsentation präsentiert Lösungen zu den Aufgaben C3 des Einheitlichen Staatsexamens - 2014 in Mathematik.

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Folienunterschriften:

Lösen logarithmischer Ungleichungen, die eine Variable in der Basis des Logarithmus enthalten: Methoden, Techniken, äquivalente Übergänge, Mathematiklehrer, Sekundarschule Nr. 143 Knyazkina T. V.

Unter der ganzen Vielfalt logarithmischer Ungleichungen werden Ungleichungen mit variabler Basis gesondert untersucht. Sie werden mit einer speziellen Formel gelöst, die aus irgendeinem Grund in der Schule selten gelehrt wird: log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) ( k ( x) − 1) ∨ 0 Anstelle des Kontrollkästchens „∨“ können Sie ein beliebiges Ungleichheitszeichen setzen: mehr oder weniger. Die Hauptsache ist, dass in beiden Ungleichungen die Vorzeichen gleich sind. Auf diese Weise beseitigen wir Logarithmen und reduzieren das Problem auf eine rationale Ungleichung. Letzteres ist viel einfacher zu lösen, aber wenn Logarithmen verworfen werden, können zusätzliche Wurzeln entstehen. Um sie abzuschneiden, reicht es aus, den Bereich akzeptabler Werte zu ermitteln. Vergessen Sie nicht die ODZ des Logarithmus! Alles, was mit dem Bereich akzeptabler Werte zusammenhängt, muss separat ausgeschrieben und gelöst werden: f (x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1. Diese vier Ungleichungen bilden ein System und müssen gleichzeitig erfüllt sein. Wenn der Bereich akzeptabler Werte gefunden ist, müssen Sie ihn nur noch mit der Lösung der rationalen Ungleichung schneiden – und schon ist die Antwort fertig.

Lösen Sie die Ungleichung: Lösung Schreiben wir zunächst die OD des Logarithmus auf. Die ersten beiden Ungleichungen werden automatisch erfüllt, die letzte muss jedoch aufgeschrieben werden. Da das Quadrat einer Zahl genau dann gleich Null ist, wenn die Zahl selbst gleich Null ist, gilt: x 2 + 1 ≠ 1; x 2 ≠ 0; x ≠ 0. Es stellt sich heraus, dass die ODZ eines Logarithmus alle Zahlen außer Null sind: x ∈ (−∞0)∪(0 ;+ ∞). Jetzt lösen wir die Hauptungleichung: Wir gehen von der logarithmischen Ungleichung zur rationalen über. Die ursprüngliche Ungleichung hat ein „Kleiner-als“-Zeichen, was bedeutet, dass die resultierende Ungleichung auch ein „Kleiner-als“-Zeichen haben muss.

Es gilt: (10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)

Logarithmische Ungleichungen umwandeln Oft ist die ursprüngliche Ungleichung eine andere als die obige. Dies lässt sich leicht korrigieren, indem man Standardregeln für die Arbeit mit Logarithmen verwendet. Nämlich: Jede Zahl kann als Logarithmus mit einer gegebenen Basis dargestellt werden; Die Summe und Differenz von Logarithmen gleicher Basis kann durch einen Logarithmus ersetzt werden. Unabhängig davon möchte ich Sie an den Bereich akzeptabler Werte erinnern. Da es in der ursprünglichen Ungleichung mehrere Logarithmen geben kann, ist es erforderlich, die VA für jeden von ihnen zu ermitteln. Daher, allgemeines Schema Lösungen für logarithmische Ungleichungen lauten wie folgt: Finden Sie die ODZ jedes Logarithmus, der in der Ungleichung enthalten ist; Reduzieren Sie die Ungleichung auf eine Standardungleichung, indem Sie die Formeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen verwenden. Lösen Sie die resultierende Ungleichung mit dem oben angegebenen Schema.

Lösen Sie die Ungleichung: Lösung Finden wir den Definitionsbereich (DO) des ersten Logarithmus: Lösen Sie mit der Intervallmethode. Finden Sie die Nullstellen des Zählers: 3 x − 2 = 0; x = 2/3. Dann - die Nullstellen des Nenners: x − 1 = 0; x = 1. Markieren Sie Nullen und Vorzeichen auf der Koordinatenlinie:

Wir erhalten x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; +∞). Der zweite Logarithmus hat die gleiche VA. Wenn Sie es nicht glauben, können Sie es überprüfen. Nun transformieren wir den zweiten Logarithmus so, dass an der Basis eine Zwei steht: Wie Sie sehen, wurden die Dreien an der Basis und vor dem Logarithmus gestrichen. Wir haben zwei Logarithmen mit derselben Basis. Addiere sie: log 2 (x − 1) 2

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)

Uns interessiert der Schnittpunkt von Mengen, daher wählen wir Intervalle aus, die auf beiden Pfeilen schattiert sind. Wir erhalten: x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) – alle Punkte sind punktiert. Antwort: x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)

Lösen von USE-2014-Aufgaben vom Typ C3

Lösen Sie das Ungleichungssystem. ODZ:  1) 2)

Lösen Sie das Ungleichungssystem 3) -7 -3 - 5 x -1 + + + − − (Fortsetzung)

Lösen Sie das Ungleichungssystem 4) Allgemeine Lösung: und -7 -3 - 5 x -1 -8 7 log 2 129 (Fortsetzung)

Lösen Sie die Ungleichung (Fortsetzung) -3 3 -1 + − + − x 17 + -3 3 -1 x 17 -4

Lösen Sie die Ungleichungslösung. ODZ: 

Lösen Sie die Ungleichung (Fortsetzung)

Lösen Sie die Ungleichungslösung. ODZ:  -2 1 -1 + − + − x + 2 -2 1 -1 x 2

Glauben Sie, dass bis zum Einheitlichen Staatsexamen noch Zeit ist und Sie Zeit haben werden, sich vorzubereiten? Vielleicht ist das so. Aber je früher ein Student mit der Vorbereitung beginnt, desto erfolgreicher besteht er die Prüfungen. Heute haben wir beschlossen, den logarithmischen Ungleichungen einen Artikel zu widmen. Dies ist eine der Aufgaben und bietet die Möglichkeit, zusätzliche Credits zu erhalten.

Wissen Sie schon, was ein Logarithmus ist? Das hoffen wir wirklich. Aber auch wenn Sie auf diese Frage keine Antwort haben, ist das kein Problem. Es ist sehr einfach zu verstehen, was ein Logarithmus ist.

Warum 4? Sie müssen die Zahl 3 auf diese Potenz erhöhen, um 81 zu erhalten. Sobald Sie das Prinzip verstanden haben, können Sie mit komplexeren Berechnungen fortfahren.

Sie haben vor ein paar Jahren Ungleichheiten erlebt. Und seitdem begegnet man ihnen in der Mathematik immer wieder. Wenn Sie Probleme beim Lösen von Ungleichungen haben, lesen Sie den entsprechenden Abschnitt.
Nachdem wir uns nun mit den Konzepten im Einzelnen vertraut gemacht haben, gehen wir dazu über, sie im Allgemeinen zu betrachten.

Die einfachste logarithmische Ungleichung.

Die einfachsten logarithmischen Ungleichungen sind nicht auf dieses Beispiel beschränkt; es gibt noch drei weitere, nur mit unterschiedlichen Vorzeichen. Warum ist das notwendig? Um besser zu verstehen, wie man Ungleichungen mit Logarithmen löst. Lassen Sie uns nun ein anwendbareres Beispiel geben, das immer noch recht einfach ist. Wir werden komplexe logarithmische Ungleichungen für später aufheben.

Wie kann man das lösen? Alles beginnt mit ODZ. Es lohnt sich, mehr darüber zu wissen, wenn Sie Ungleichungen immer einfach lösen möchten.

Was ist ODZ? ODZ für logarithmische Ungleichungen

Die Abkürzung steht für den Bereich akzeptabler Werte. Diese Formulierung kommt häufig in Aufgaben für das Einheitliche Staatsexamen vor. ODZ wird Ihnen nicht nur bei logarithmischen Ungleichungen nützlich sein.

Schauen Sie sich noch einmal das obige Beispiel an. Wir werden die darauf basierende ODZ betrachten, damit Sie das Prinzip verstehen und die Lösung logarithmischer Ungleichungen keine Fragen aufwirft. Aus der Definition des Logarithmus folgt, dass 2x+4 sein muss größer als Null. In unserem Fall bedeutet dies Folgendes.

Diese Zahl muss per Definition positiv sein. Lösen Sie die oben dargestellte Ungleichung. Dies kann sogar mündlich erfolgen; hier ist klar, dass X nicht kleiner als 2 sein kann. Die Lösung der Ungleichung wird die Definition des Bereichs akzeptabler Werte sein.
Kommen wir nun zur Lösung der einfachsten logarithmischen Ungleichung.

Wir verwerfen die Logarithmen selbst auf beiden Seiten der Ungleichung. Was bleibt uns davon? Einfache Ungleichheit.

Es ist nicht schwer zu lösen. X muss größer als -0,5 sein. Nun kombinieren wir die beiden erhaltenen Werte zu einem System. Daher,

Dies ist der Bereich akzeptabler Werte für die betrachtete logarithmische Ungleichung.

Warum brauchen wir überhaupt ODZ? Dies ist eine Gelegenheit, falsche und unmögliche Antworten auszusortieren. Wenn die Antwort nicht im Bereich akzeptabler Werte liegt, ergibt die Antwort einfach keinen Sinn. Daran sollte man sich noch lange erinnern, da im Einheitlichen Staatsexamen häufig nach ODZ gesucht werden muss und es sich dabei nicht nur um logarithmische Ungleichungen handelt.

Algorithmus zur Lösung logarithmischer Ungleichungen

Die Lösung besteht aus mehreren Schritten. Zunächst müssen Sie den Bereich akzeptabler Werte ermitteln. In der ODZ wird es zwei Werte geben, die wir oben besprochen haben. Als nächstes müssen wir die Ungleichung selbst lösen. Die Lösungsmethoden sind wie folgt:

• Multiplikator-Ersetzungsmethode;
• Zersetzung;
• Rationalisierungsmethode.

Je nach Situation lohnt es sich, eine der oben genannten Methoden anzuwenden. Kommen wir direkt zur Lösung. Lassen Sie uns die beliebteste Methode vorstellen, die in fast allen Fällen zur Lösung von Aufgaben des Einheitlichen Staatsexamens geeignet ist. Als nächstes werden wir uns die Zerlegungsmethode ansehen. Es kann hilfreich sein, wenn Sie auf eine besonders knifflige Ungleichung stoßen. Also ein Algorithmus zur Lösung der logarithmischen Ungleichung.

Beispiele für Lösungen :

Nicht umsonst haben wir genau diese Ungleichung angenommen! Achten Sie auf die Basis. Denken Sie daran: Wenn er größer als eins ist, bleibt das Vorzeichen beim Ermitteln des Bereichs akzeptabler Werte gleich. Andernfalls müssen Sie das Ungleichheitszeichen ändern.

Als Ergebnis erhalten wir die Ungleichung:

Jetzt reduzieren wir die linke Seite auf die Form der Gleichung gleich Null. Anstelle des „kleiner als“-Zeichens setzen wir „gleich“ und lösen die Gleichung. Somit finden wir die ODZ. Wir hoffen, dass es eine Lösung dafür gibt einfache Gleichung Du wirst keine Probleme haben. Die Antworten sind -4 und -2. Das ist noch nicht alles. Sie müssen diese Punkte in der Grafik anzeigen, indem Sie „+“ und „-“ platzieren. Was muss hierfür getan werden? Setzen Sie die Zahlen aus den Intervallen in den Ausdruck ein. Bei positiven Werten setzen wir dort „+“.

Antwort: x kann nicht größer als -4 und kleiner als -2 sein.

Wir haben den Bereich akzeptabler Werte nur für die linke Seite gefunden, jetzt müssen wir den Bereich akzeptabler Werte für die rechte Seite ermitteln. Das ist viel einfacher. Antwort: -2. Wir schneiden beide resultierenden Bereiche.

Und erst jetzt beginnen wir, uns mit der Ungleichheit selbst zu befassen.

Vereinfachen wir es so weit wie möglich, damit es einfacher zu lösen ist.

Bewerben Sie sich erneut Intervallmethode in der Entscheidung. Lassen Sie uns die Berechnungen überspringen; aus dem vorherigen Beispiel ist bereits alles klar. Antwort.

Diese Methode ist jedoch geeignet, wenn die logarithmische Ungleichung die gleichen Basen hat.

Lösung logarithmische Gleichungen und Ungleichungen mit unterschiedlichen Basen setzen eine anfängliche Reduktion auf eine Basis voraus. Als nächstes verwenden Sie die oben beschriebene Methode. Aber es gibt einen komplizierteren Fall. Betrachten wir eines der meisten komplexe Arten logarithmische Ungleichungen.

Logarithmische Ungleichungen mit variabler Basis

Wie löst man Ungleichungen mit solchen Merkmalen? Ja, und solche Leute können im Einheitlichen Staatsexamen gefunden werden. Die Lösung von Ungleichungen auf die folgende Weise wird auch Ihnen zugute kommen Bildungsprozess. Lassen Sie uns das Problem verstehen ausführlich. Verwerfen wir die Theorie und gehen direkt zur Praxis über. Um logarithmische Ungleichungen zu lösen, genügt es, sich einmal mit dem Beispiel vertraut zu machen.

Um eine logarithmische Ungleichung der dargestellten Form zu lösen, ist es notwendig, die rechte Seite auf einen Logarithmus mit derselben Basis zu reduzieren. Das Prinzip ähnelt äquivalenten Übergängen. Als Ergebnis wird die Ungleichheit aussehen wie folgt.

Eigentlich bleibt nur noch die Schaffung eines Systems von Ungleichungen ohne Logarithmen. Mit der Rationalisierungsmethode gelangen wir zu einem äquivalenten Ungleichungssystem. Sie werden die Regel selbst verstehen, wenn Sie die entsprechenden Werte ersetzen und deren Änderungen verfolgen. Das System weist die folgenden Ungleichungen auf.

Wenn Sie beim Lösen von Ungleichungen die Rationalisierungsmethode verwenden, müssen Sie Folgendes beachten: Eins muss von der Basis subtrahiert werden, x wird per Definition des Logarithmus von beiden Seiten der Ungleichung (rechts von links) subtrahiert, zwei Ausdrücke werden multipliziert und unter das ursprüngliche Vorzeichen in Bezug auf Null gesetzt.

Die weitere Lösung erfolgt nach der Intervallmethode, hier ist alles einfach. Es ist wichtig, dass Sie die Unterschiede in den Lösungsmethoden verstehen, dann wird alles reibungslos funktionieren.

Bei logarithmischen Ungleichungen gibt es viele Nuancen. Die einfachsten davon sind recht einfach zu lösen. Wie können Sie jedes davon ohne Probleme lösen? Alle Antworten haben Sie bereits in diesem Artikel erhalten. Jetzt liegt eine lange Übung vor Ihnen. Üben Sie ständig, das meiste zu lösen verschiedene Aufgaben innerhalb der Prüfung und Sie können die höchste Punktzahl erreichen. Viel Glück für Ihre schwierige Aufgabe!

Unter der ganzen Vielfalt logarithmischer Ungleichungen werden Ungleichungen mit variabler Basis gesondert untersucht. Sie werden mit einer speziellen Formel gelöst, die aus irgendeinem Grund in der Schule selten gelehrt wird:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

Anstelle des Kontrollkästchens „∨“ können Sie ein beliebiges Ungleichheitszeichen setzen: mehr oder weniger. Die Hauptsache ist, dass in beiden Ungleichungen die Vorzeichen gleich sind.

Auf diese Weise beseitigen wir Logarithmen und reduzieren das Problem auf eine rationale Ungleichung. Letzteres ist viel einfacher zu lösen, aber wenn Logarithmen verworfen werden, können zusätzliche Wurzeln entstehen. Um sie abzuschneiden, reicht es aus, den Bereich akzeptabler Werte zu ermitteln. Wenn Sie die ODZ eines Logarithmus vergessen haben, empfehle ich dringend, sie zu wiederholen – siehe „Was ist ein Logarithmus“.

Alles, was mit dem Bereich akzeptabler Werte zusammenhängt, muss separat ausgeschrieben und gelöst werden:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Diese vier Ungleichungen bilden ein System und müssen gleichzeitig erfüllt sein. Wenn der Bereich akzeptabler Werte gefunden ist, müssen Sie ihn nur noch mit der Lösung der rationalen Ungleichung schneiden – und schon ist die Antwort fertig.

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

Schreiben wir zunächst die ODZ des Logarithmus auf:

Die ersten beiden Ungleichungen werden automatisch erfüllt, die letzte muss jedoch ausgeschrieben werden. Da das Quadrat einer Zahl genau dann Null ist, wenn die Zahl selbst Null ist, gilt:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Es stellt sich heraus, dass die ODZ des Logarithmus alle Zahlen außer Null sind: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Jetzt lösen wir die Hauptungleichung:

Wir machen den Übergang von der logarithmischen zur rationalen Ungleichung. Die ursprüngliche Ungleichung hat ein „Kleiner-als“-Zeichen, was bedeutet, dass die resultierende Ungleichung auch ein „Kleiner-als“-Zeichen haben muss. Wir haben:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x ) (3 + x ) x 2< 0.

Die Nullstellen dieses Ausdrucks sind: x = 3; x = −3; x = 0. Darüber hinaus ist x = 0 eine Wurzel der zweiten Multiplizität, was bedeutet, dass sich das Vorzeichen der Funktion beim Durchlaufen nicht ändert. Wir haben:

Wir erhalten x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Diese Menge ist vollständig in der ODZ des Logarithmus enthalten, was bedeutet, dass dies die Antwort ist.

Logarithmische Ungleichungen umwandeln

Oftmals unterscheidet sich die ursprüngliche Ungleichung von der oben genannten. Dies lässt sich leicht mit den Standardregeln für die Arbeit mit Logarithmen korrigieren – siehe „Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen“. Nämlich:

1. Jede Zahl kann als Logarithmus mit einer bestimmten Basis dargestellt werden;
2. Die Summe und Differenz von Logarithmen gleicher Basis kann durch einen Logarithmus ersetzt werden.

Unabhängig davon möchte ich Sie an den Bereich akzeptabler Werte erinnern. Da es in der ursprünglichen Ungleichung mehrere Logarithmen geben kann, ist es erforderlich, die VA für jeden von ihnen zu ermitteln. Das allgemeine Schema zur Lösung logarithmischer Ungleichungen lautet daher wie folgt:

1. Finden Sie die VA jedes in der Ungleichung enthaltenen Logarithmus.
2. Reduzieren Sie die Ungleichung auf eine Standardungleichung, indem Sie die Formeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen verwenden.
3. Lösen Sie die resultierende Ungleichung mit dem oben angegebenen Schema.

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

Finden wir den Definitionsbereich (DO) des ersten Logarithmus:

Wir lösen mit der Intervallmethode. Finden der Nullstellen des Zählers:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Dann - die Nullen des Nenners:

x − 1 = 0;
x = 1.

Wir markieren Nullen und Vorzeichen auf dem Koordinatenpfeil:

Wir erhalten x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Der zweite Logarithmus hat die gleiche VA. Wenn Sie es nicht glauben, können Sie es überprüfen. Jetzt transformieren wir den zweiten Logarithmus so, dass die Basis zwei ist:

Wie Sie sehen, wurden die Dreien an der Basis und vor dem Logarithmus reduziert. Wir haben zwei Logarithmen mit derselben Basis. Addieren wir sie:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Wir haben die logarithmische Standardungleichung erhalten. Mit der Formel werden wir Logarithmen los. Da die ursprüngliche Ungleichung ein „Kleiner-als“-Zeichen enthält, muss der resultierende rationale Ausdruck ebenfalls kleiner als Null sein. Wir haben:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Wir haben zwei Sets bekommen:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Kandidatenantwort: x ∈ (−1; 3).

Es bleibt noch, diese Mengen zu schneiden – wir erhalten die eigentliche Antwort:

Uns interessiert der Schnittpunkt von Mengen, daher wählen wir Intervalle aus, die auf beiden Pfeilen schattiert sind. Wir erhalten x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) – alle Punkte sind punktiert.

LOGARITHMISCHE UNGLEICHHEITEN IN DER NUTZUNG

Setschin Michail Alexandrowitsch

Kleine Akademie der Wissenschaften für Studenten der Republik Kasachstan „Iskatel“

MBOU „Sovetskaya Secondary School No. 1“, 11. Klasse, Stadt. Sovetsky Sowjetsky Bezirk

Gunko Lyudmila Dmitrievna, Lehrerin der städtischen Haushaltsbildungseinrichtung „Sowjetskaja-Sekundarschule Nr. 1“

Bezirk Sowjetski

Zweck der Arbeit: Untersuchung des Mechanismus zur Lösung logarithmischer Ungleichungen C3 mit nicht standardmäßigen Methoden, Identifizierung interessante Fakten Logarithmus

Forschungsgegenstand:

3) Lernen Sie, spezifische logarithmische Ungleichungen C3 mit nicht standardmäßigen Methoden zu lösen.

Ergebnisse:

Inhalt

Einleitung……………………………………………………………………………….4

Kapitel 1. Geschichte des Problems……………………………………………………...5

Kapitel 2. Sammlung logarithmischer Ungleichungen ………………………… 7

2.1. Äquivalente Übergänge und die verallgemeinerte Methode der Intervalle…………… 7

2.2. Rationalisierungsmethode……………………………………………………………… 15

2.3. Nicht standardmäßige Substitution………………........................................ ............ ..... 22

2.4. Aufgaben mit Fallen……………………………………………………27

Fazit…………………………………………………………………………… 30

Literatur……………………………………………………………………. 31

Einführung

Ich bin in der 11. Klasse und plane, eine Universität zu besuchen, deren Kernfach Mathematik ist. Deshalb beschäftige ich mich viel mit Problemen in Teil C. In Aufgabe C3 muss ich eine nicht standardmäßige Ungleichung oder ein System von Ungleichungen lösen, das normalerweise mit Logarithmen zusammenhängt. Bei der Prüfungsvorbereitung war ich mit dem Problem konfrontiert, dass es in C3 an Methoden und Techniken zur Lösung logarithmischer Prüfungsungleichungen mangelt. Die im Schullehrplan zu diesem Thema erlernten Methoden bieten keine Grundlage für die Lösung von C3-Aufgaben. Die Mathematiklehrerin schlug vor, dass ich unter ihrer Anleitung selbstständig C3-Aufgaben bearbeiten sollte. Darüber hinaus interessierte mich die Frage: Treffen wir in unserem Leben auf Logarithmen?

Vor diesem Hintergrund wurde das Thema gewählt:

„Logarithmische Ungleichungen im Einheitlichen Staatsexamen“

Zweck der Arbeit: Untersuchung des Mechanismus zur Lösung von C3-Problemen mit nicht standardmäßigen Methoden, Identifizierung interessanter Fakten über den Logarithmus.

Forschungsgegenstand:

1) Finden Sie die notwendigen Informationen über nicht standardmäßige Methoden zur Lösung logarithmischer Ungleichungen.

2) Finden Sie zusätzliche Informationen zu Logarithmen.

3) Lernen Sie, spezifische C3-Probleme mit nicht standardmäßigen Methoden zu lösen.

Ergebnisse:

Die praktische Bedeutung liegt in der Erweiterung des Apparates zur Lösung von C3-Problemen. Dieses Material kann in einigen Unterrichtsstunden, für Vereine und Wahlfächer in Mathematik verwendet werden.

Das Projektprodukt wird die Sammlung „C3 Logarithmic Inequalities with Solutions“ sein.

Kapitel 1. Hintergrund

Im Laufe des 16. Jahrhunderts nahm die Zahl der Näherungsberechnungen vor allem in der Astronomie rapide zu. Die Verbesserung von Instrumenten, das Studium der Planetenbewegungen und andere Arbeiten erforderten kolossale, manchmal viele Jahre dauernde Berechnungen. Die Astronomie war bedroht echte Gefahr in unerfüllten Berechnungen ertrinken. In anderen Bereichen traten Schwierigkeiten auf, beispielsweise wurden im Versicherungsgeschäft Zinseszinstabellen benötigt verschiedene Bedeutungen Prozent. Die Hauptschwierigkeit war Multiplikation und Division mehrstellige Zahlen, insbesondere trigonometrische Größen.

Die Entdeckung der Logarithmen basierte auf den Eigenschaften von Progressionen, die bereits Ende des 16. Jahrhunderts bekannt waren. Über die Verbindung zwischen Mitgliedern geometrischer Verlauf q, q2, q3, ... und arithmetische Folge ihre Indikatoren sind 1, 2, 3,... Archimedes sprach in seiner „Psalmitis“. Eine weitere Voraussetzung war die Erweiterung des Gradbegriffs auf negative und gebrochene Exponenten. Viele Autoren haben darauf hingewiesen, dass Multiplikation, Division, Potenzierung und Wurzelziehen in der geometrischen Folge in der Arithmetik – in derselben Reihenfolge – Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division entsprechen.

Hier entstand die Idee des Logarithmus als Exponent.

In der Entwicklungsgeschichte der Logarithmenlehre gab es mehrere Etappen.

Stufe 1

Logarithmen wurden spätestens 1594 unabhängig vom schottischen Baron Napier (1550–1617) und zehn Jahre später vom Schweizer Mechaniker Bürgi (1552–1632) erfunden. Beide wollten etwas Neues geben praktisches Werkzeug arithmetische Berechnungen, obwohl sie dieses Problem auf unterschiedliche Weise angingen. Napier drückte die logarithmische Funktion kinematisch aus und betrat damit ein neues Gebiet der Funktionstheorie. Bürgi blieb bei der Betrachtung diskreter Verläufe. Allerdings ist die Definition des Logarithmus für beide nicht mit der modernen vergleichbar. Der Begriff „Logarithmus“ (Logarithmus) stammt von Napier. Es entstand aus einer Kombination griechischer Wörter: logos – „Beziehung“ und ariqmo – „Anzahl“, was „Anzahl der Beziehungen“ bedeutete. Ursprünglich verwendete Napier einen anderen Begriff: Numeri Artificiales – „künstliche Zahlen“ im Gegensatz zu Numeri Naturalts – „natürliche Zahlen“.

Im Jahr 1615 schlug Napier in einem Gespräch mit Henry Briggs (1561-1631), Professor für Mathematik am Gresh College in London, vor, Null als Logarithmus von Eins und 100 als Logarithmus von Zehn zu nehmen, oder was auf dasselbe hinausläuft , einfach 1. So erschienen sie dezimale Logarithmen und die ersten logarithmischen Tabellen wurden gedruckt. Später wurden Briggs' Tabellen durch den niederländischen Buchhändler und Mathematik-Enthusiasten Adrian Flaccus (1600-1667) ergänzt. Obwohl Napier und Briggs früher als alle anderen mit Logarithmen zu tun hatten, veröffentlichten sie ihre Tabellen später als die anderen – im Jahr 1620. Die Zeichen Log und Log wurden 1624 von I. Kepler eingeführt. Der Begriff „natürlicher Logarithmus“ wurde 1659 von Mengoli eingeführt und 1668 von N. Mercator übernommen, und der Londoner Lehrer John Speidel veröffentlichte Tabellen natürlicher Logarithmen von Zahlen von 1 bis 1000 unter dem Namen „Neue Logarithmen“.

Die ersten logarithmischen Tabellen wurden 1703 auf Russisch veröffentlicht. Aber in allen logarithmischen Tabellen gab es Rechenfehler. Die ersten fehlerfreien Tabellen wurden 1857 in Berlin veröffentlicht und vom deutschen Mathematiker K. Bremiker (1804-1877) bearbeitet.

Stufe 2

Die Weiterentwicklung der Logarithmentheorie ist mit einer breiteren Anwendung der analytischen Geometrie und der Infinitesimalrechnung verbunden. Zu diesem Zeitpunkt war der Zusammenhang zwischen der Quadratur einer gleichseitigen Hyperbel und dem natürlichen Logarithmus hergestellt. Die Logarithmentheorie dieser Zeit ist mit den Namen einer Reihe von Mathematikern verbunden.

Der deutsche Mathematiker, Astronom und Ingenieur Nikolaus Mercator in einem Aufsatz

„Logarithmotechnics“ (1668) gibt eine Reihe an, die die Entwicklung von ln(x+1) in angibt

Potenzen von x:

Dieser Ausdruck entspricht genau seinem Gedankengang, obwohl er natürlich nicht die Zeichen d, ..., sondern eine umständlichere Symbolik verwendet hat. Mit der Entdeckung der logarithmischen Reihe änderte sich die Technik zur Berechnung von Logarithmen: Sie begannen, sie mithilfe unendlicher Reihen zu bestimmen. In seinen Vorlesungen „Elementare Mathematik mit höchster Punkt Vision“, gelesen 1907-1908, schlug F. Klein vor, die Formel als Ausgangspunkt für die Konstruktion der Logarithmentheorie zu verwenden.

Stufe 3

Definition einer logarithmischen Funktion als Umkehrfunktion

Exponential, Logarithmus als Exponent einer gegebenen Basis

wurde nicht sofort formuliert. Essay von Leonhard Euler (1707-1783)

„Einführung in die Analyse der Infinitesimalzahlen“ (1748) diente der weiteren Vertiefung

Entwicklung der Theorie der logarithmischen Funktionen. Daher,

134 Jahre sind seit der Einführung des Logarithmus vergangen

(gezählt ab 1614), bevor Mathematiker zur Definition kamen

das Konzept des Logarithmus, das heute die Grundlage des Schulkurses ist.

Kapitel 2. Sammlung logarithmischer Ungleichungen

2.1. Äquivalente Übergänge und die verallgemeinerte Intervallmethode.

Äquivalente Übergänge

, wenn a > 1

, wenn 0 < а < 1

Verallgemeinerte Intervallmethode

Diese Methode am universellsten bei der Lösung von Ungleichungen fast aller Art. Das Lösungsdiagramm sieht so aus:

1. Bringen Sie die Ungleichung in die Form, in der sich die Funktion auf der linken Seite befindet
und rechts 0.

2. Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion
.

3. Finden Sie die Nullstellen der Funktion
, das heißt, lösen Sie die Gleichung
(Und das Lösen einer Gleichung ist normalerweise einfacher als das Lösen einer Ungleichung).

4. Zeichnen Sie den Definitionsbereich und die Nullstellen der Funktion auf dem Zahlenstrahl ein.

5. Bestimmen Sie die Vorzeichen der Funktion
auf den erhaltenen Intervallen.

6. Wählen Sie die Intervalle aus, in denen die Funktion ausgeführt werden soll erforderliche Werte, und notieren Sie die Antwort.

Beispiel 1.

Lösung:

Wenden wir die Intervallmethode an

Wo

Für diese Werte sind alle Ausdrücke unter den logarithmischen Vorzeichen positiv.

Antwort:

Beispiel 2.

Lösung:

1 Weg . ADL wird durch Ungleichheit bestimmt X> 3. Logarithmieren dafür X in Basis 10 erhalten wir

Die letzte Ungleichung könnte durch die Anwendung von Erweiterungsregeln gelöst werden, d. h. Vergleich der Faktoren mit Null. In diesem Fall ist es jedoch einfach, die Intervalle mit konstantem Vorzeichen der Funktion zu bestimmen

Daher kann die Intervallmethode angewendet werden.

Funktion F(X) = 2X(X- 3,5)lgǀ X- 3ǀ ist stetig bei X> 3 und verschwindet punktuell X 1 = 0, X 2 = 3,5, X 3 = 2, X 4 = 4. Somit bestimmen wir die Intervalle mit konstantem Vorzeichen der Funktion F(X):

Antwort:

2. Methode . Wenden wir die Ideen der Intervallmethode direkt auf die ursprüngliche Ungleichung an.

Erinnern Sie sich dazu an die Ausdrücke A B- A c und ( A - 1)(B- 1) ein Zeichen haben. Dann ist unsere Ungleichheit bei X> 3 entspricht Ungleichheit

oder

Die letzte Ungleichung wird mit der Intervallmethode gelöst

Antwort:

Beispiel 3.

Lösung:

Wenden wir die Intervallmethode an

Antwort:

Beispiel 4.

Lösung:

Seit 2 X 2 - 3X+ 3 > 0 für alles real X, Das

Um die zweite Ungleichung zu lösen, verwenden wir die Intervallmethode

In der ersten Ungleichung führen wir die Ersetzung durch

dann kommen wir zur Ungleichung 2y 2 - j - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те j, die die Ungleichung -0,5 erfüllen< j < 1.

Von wo, weil

wir bekommen die Ungleichung

was wann durchgeführt wird X, wofür 2 X 2 - 3X - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Unter Berücksichtigung der Lösung der zweiten Ungleichung des Systems erhalten wir nun endlich

Antwort:

Beispiel 5.

Lösung:

Ungleichheit entspricht einer Sammlung von Systemen

oder

Verwenden wir die Intervallmethode oder

Antwort:

Beispiel 6.

Lösung:

Ungleichheit ist gleich System

Lassen

Dann j > 0,

und die erste Ungleichung

Das System nimmt die Form an

oder, sich entfaltend

quadratisch trinomialfaktorisiert,

Anwendung der Intervallmethode auf die letzte Ungleichung,

Wir sehen, dass seine Lösungen die Bedingung erfüllen j> 0 wird alles sein j > 4.

Somit entspricht die ursprüngliche Ungleichung dem System:

Die Lösungen für die Ungleichung sind also alle

2.2. Rationalisierungsmethode.

Bisher wurde Ungleichheit nicht mit der Rationalisierungsmethode gelöst; sie war nicht bekannt. Das ist die „neue Moderne“ effektive Methode Lösungen für exponentielle und logarithmische Ungleichungen“ (Zitat aus dem Buch von S.I. Kolesnikova)
Und selbst wenn der Lehrer ihn kannte, gab es Angst – kennt ihn der Experte für das Einheitliche Staatsexamen und warum geben sie ihn nicht in die Schule? Es gab Situationen, in denen der Lehrer zum Schüler sagte: „Wo hast du es her? Setz dich – 2.“
Mittlerweile wird die Methode überall beworben. Und für Experten gibt es Richtlinien, dieser Methode zugeordnet, und in der Lösung „Most Complete Editions of Model Options...“ verwendet C3 diese Methode.
WUNDERBARE METHODE!

„Zaubertisch“

In anderen Quellen

Wenn a >1 und b >1, dann log a b >0 und (a -1)(b -1)>0;

Wenn a >1 und 0

wenn 0<A<1 и b >1, dann protokollieren Sie a b<0 и (a -1)(b -1)<0;