Pyramide. Pyramide correcte

Lorsqu’une personne entend le mot « pyramide », elle se souvient immédiatement des majestueuses structures égyptiennes. Cependant, les anciens géants de pierre ne sont que l’un des représentants de la classe des pyramides. Dans cet article, nous considérerons d'un point de vue géométrique les propriétés du bon pyramide quadrangulaire.

Qu'est-ce qu'une pyramide en général ?

En géométrie, on entend une figure tridimensionnelle, qui peut être obtenue en reliant tous les sommets d'un polygone plat avec un seul point situé dans un plan différent de ce polygone. L'image ci-dessous montre 4 formes qui satisfont cette définition.

On voit que la première figure a une base triangulaire, la seconde a une base quadrangulaire. Les deux derniers sont représentés par une base pentagonale et hexagonale. Cependant, la surface latérale de toutes les pyramides est formée de triangles. Leur nombre est exactement égal au nombre de côtés ou de sommets du polygone à la base.

Un type particulier de pyramide, qui se distingue des autres représentants de la classe par sa symétrie idéale, est la pyramide régulière. Pour que le chiffre soit correct, les deux conditions suivantes doivent être remplies :

• la base doit avoir un polygone régulier ;
• la surface latérale de la figure doit être constituée de triangles isocèles égaux.

Notez que la deuxième condition requise peut être remplacé par autre chose : une perpendiculaire tracée à la base depuis le sommet de la pyramide (le point d'intersection des triangles latéraux) doit couper cette base en son centre géométrique.

Passons maintenant au sujet de l'article et considérons quelles propriétés d'une pyramide quadrangulaire régulière la caractérisent. Tout d'abord, montrons sur la figure à quoi ressemble cette figure.

Sa base est un carré. Les côtés représentent 4 triangles isocèles identiques (ils peuvent aussi être équilatéraux dans un certain rapport entre la longueur du côté du carré et la hauteur de la figure). La hauteur abaissée depuis le sommet de la pyramide coupera le carré en son centre (le point d'intersection des diagonales).

Cette pyramide a 5 faces (un carré et quatre triangles), 5 sommets (dont quatre appartiennent à la base) et 8 arêtes. le quatrième ordre, passant par la hauteur de la pyramide, la transforme en elle-même en tournant de 90°.

Les pyramides égyptiennes de Gizeh sont quadrangulaires régulières.

Quatre paramètres linéaires de base

Commençons notre examen des propriétés mathématiques d'une pyramide quadrangulaire régulière avec les formules pour la hauteur, la longueur des côtés de la base, le bord latéral et l'apothème. Disons tout de suite que toutes ces quantités sont liées les unes aux autres, il suffit donc de n'en connaître que deux pour calculer sans ambiguïté les deux autres.

Supposons que la hauteur h de la pyramide et la longueur a du côté de la base carrée soient connues, alors le bord latéral b sera égal à :

b = √(une 2 / 2 + h 2)

Donnons maintenant la formule pour la longueur a b de l'apothème (la hauteur du triangle, abaissé sur le côté de la base) :

une b = √(une 2 / 4 + h 2)

Évidemment, le bord latéral b est toujours plus grand que l'apothème a b .

Les deux expressions peuvent être utilisées pour déterminer les quatre caractéristiques linéaires si les deux autres paramètres sont connus, par exemple a b et h.

Aire et volume d'une figure

Ce sont deux propriétés plus importantes d’une pyramide quadrangulaire régulière. La base de la figure a la surface suivante :

Chaque écolier connaît cette formule. L'aire de la surface latérale, qui est formée de quatre triangles identiques, peut être déterminée par l'apothème a b de la pyramide comme suit :

Si a b est inconnu, alors il peut être déterminé à l'aide des formules du paragraphe précédent jusqu'à la hauteur h ou le bord b.

La surface totale de la figure considérée est la somme des aires S o et S b :

S = S o + S b = a 2 + 2 × a × a b = a (a + 2 × a b)

L'aire calculée de toutes les faces de la pyramide est représentée dans la figure ci-dessous sous la forme de son évolution.

Une description des propriétés d'une pyramide quadrangulaire régulière ne sera pas complète sans considérer la formule permettant de déterminer son volume. Cette valeur pour la pyramide en question est calculée de la manière suivante:

C'est-à-dire que V est égal à la troisième partie du produit de la hauteur de la figure et de l'aire de sa base.

Propriétés d'une pyramide quadrangulaire tronquée régulière

Vous pouvez obtenir ce chiffre à partir de la pyramide originale. Pour ce faire, vous devez couper le sommet de la pyramide avec un rabot. La figure restant sous le plan de coupe sera appelée pyramide tronquée.

Il est plus pratique d’étudier les caractéristiques d’une pyramide tronquée si ses bases sont parallèles les unes aux autres. Dans ce cas, les bases inférieure et supérieure seront des polygones similaires. Puisque dans une pyramide régulière quadrangulaire la base est un carré, la section formée lors de la coupe représentera également un carré, mais de plus petite taille.

La surface latérale de la figure tronquée n'est pas formée de triangles, mais de trapèzes isocèles.

L'une des propriétés importantes de cette pyramide est son volume, qui est calculé par la formule :

V = 1/3 × h × (S o1 + S o2 + √(S o1 × S o2))

Ici h est la distance entre les bases de la figure, S o1, S o2 sont les aires des bases inférieure et supérieure.

Pyramide quadrangulaire est un polyèdre dont la base est un carré et dont toutes les faces latérales sont des triangles isocèles identiques.

Ce polyèdre a de nombreuses propriétés différentes :

• Ses bords latéraux et ses angles dièdres adjacents sont égaux les uns aux autres ;
• Les zones des faces latérales sont les mêmes ;
• À la base d’une pyramide quadrangulaire régulière se trouve un carré ;
• La hauteur descendue du sommet de la pyramide coupe le point d'intersection des diagonales de la base.

Toutes ces propriétés facilitent sa recherche. Cependant, bien souvent, en plus de cela, il est nécessaire de calculer le volume du polyèdre. Pour ce faire, utilisez la formule du volume d'une pyramide quadrangulaire :

C'est-à-dire que le volume de la pyramide est égal au tiers du produit de la hauteur de la pyramide et de l'aire de la base. Puisqu'elle est égale au produit de ses côtés égaux, nous entrons immédiatement la formule de l'aire d'un carré dans l'expression du volume.
Considérons un exemple de calcul du volume d'une pyramide quadrangulaire.

Soit une pyramide quadrangulaire dont la base est un carré de côté a = 6 cm. La face latérale de la pyramide est b = 8 cm. Trouvez le volume de la pyramide.

Pour trouver le volume d’un polyèdre donné, nous avons besoin de la longueur de sa hauteur. Nous le trouverons donc en appliquant le théorème de Pythagore. Tout d’abord, calculons la longueur de la diagonale. Dans le triangle bleu ce sera l'hypoténuse. Il convient également de rappeler que les diagonales d'un carré sont égales entre elles et sont divisées en deux au point d'intersection :


Maintenant, à partir du triangle rouge, nous trouvons la hauteur h dont nous avons besoin. Il sera égal à :

Remplaçons valeurs requises et trouvez la hauteur de la pyramide :

Maintenant, connaissant la hauteur, nous pouvons substituer toutes les valeurs dans la formule du volume de la pyramide et calculer la valeur requise :

De cette façon, connaissant quelques formules simples, nous avons pu calculer le volume d’une pyramide quadrangulaire régulière. N'oublie pas ça valeur donnée mesuré en unités cubes.

Introduction

Lorsque nous avons commencé à étudier les figures stéréométriques, nous avons abordé le thème de la « Pyramide ». Ce sujet nous a plu car la pyramide est très souvent utilisée en architecture. Et depuis le nôtre futur métier architecte, inspirée par cette figure, nous pensons qu'elle peut nous pousser vers de grands projets.

La solidité des structures architecturales est leur qualité la plus importante. Relier la force, d’une part, aux matériaux à partir desquels ils sont créés, et, d’autre part, aux caractéristiques des solutions constructives, il s'avère que la résistance d'une structure est directement liée à la forme géométrique qui lui est fondamentale.

En d’autres termes, nous parlons de cette figure géométrique qui peut être considérée comme un modèle de la figure correspondante. forme architecturale. Il s’avère que la forme géométrique détermine également la solidité d’une structure architecturale.

Depuis l'Antiquité, les pyramides égyptiennes sont considérées comme les structures architecturales les plus durables. Comme vous le savez, ils ont la forme de pyramides quadrangulaires régulières.

C'est cette forme géométrique qui offre la plus grande stabilité grâce à grande surface terrains. D’autre part, la forme pyramidale garantit que la masse diminue à mesure que la hauteur au-dessus du sol augmente. Ce sont ces deux propriétés qui rendent la pyramide stable, et donc résistante aux conditions de gravité.

Objectif du projet: apprenez quelque chose de nouveau sur les pyramides, approfondissez vos connaissances et trouvez une application pratique.

Pour atteindre cet objectif, il était nécessaire de résoudre les tâches suivantes :

· Apprenez des informations historiques sur la pyramide

· Considérez la pyramide comme figure géométrique

· Trouver une application dans la vie et l'architecture

· Trouver les similitudes et les différences entre les pyramides situées dans Différents composants Sveta

Partie théorique

Information historique

Le début de la géométrie de la pyramide a été posé dans l'Égypte ancienne et à Babylone, mais elle s'est activement développée dans La Grèce ancienne. Le premier à établir le volume de la pyramide fut Démocrite, et Eudoxe de Cnide le prouva. L'ancien mathématicien grec Euclide a systématisé les connaissances sur la pyramide dans le volume XII de ses « Éléments », et a également dérivé la première définition d'une pyramide : une figure solide délimitée par des plans qui convergent d'un plan vers un point.

Tombes des pharaons égyptiens. La plus grande d'entre elles - les pyramides de Khéops, Khafré et Mikerin à El Gizeh - étaient considérées dans l'Antiquité comme l'une des sept merveilles du monde. La construction de la pyramide, dans laquelle les Grecs et les Romains voyaient déjà un monument à la fierté sans précédent des rois et à la cruauté qui condamnait le peuple égyptien tout entier à une construction insignifiante, était l'acte de culte le plus important et était censée exprimer, apparemment, le identité mystique du pays et de son dirigeant. La population du pays travaillait à la construction du tombeau pendant la partie de l'année sans travail agricole. De nombreux textes témoignent de l'attention et du soin que les rois eux-mêmes (quoique plus tardifs) portèrent à la construction de leur tombeau et de ses constructeurs. On connaît également les honneurs de culte spéciaux qui ont été accordés à la pyramide elle-même.

Concepts de base

Pyramide s'appelle un polyèdre dont la base est un polygone et les faces restantes sont des triangles ayant un sommet commun.

Apothème- la hauteur de la face latérale d'une pyramide régulière, tirée de son sommet ;

Faces latérales- des triangles se rencontrant en un sommet ;

Côtes latérales- les côtés communs des faces latérales ;

Sommet de la pyramide- un point reliant les nervures latérales et ne se trouvant pas dans le plan de l'embase ;

Hauteur- un segment perpendiculaire tracé passant par le sommet de la pyramide jusqu'au plan de sa base (les extrémités de ce segment sont le sommet de la pyramide et la base de la perpendiculaire) ;

Section diagonale d'une pyramide- section de la pyramide passant par le sommet et la diagonale de la base ;

Base- un polygone n'appartenant pas au sommet de la pyramide.

Propriétés de base d'une pyramide régulière

Les bords latéraux, les faces latérales et les apothèmes sont respectivement égaux.

Les angles dièdres à la base sont égaux.

Les angles dièdres sur les bords latéraux sont égaux.

Chaque point de hauteur est équidistant de tous les sommets de la base.

Chaque point de hauteur est équidistant de toutes les faces latérales.

Formules pyramidales de base

L'aire de la surface latérale et totale de la pyramide.

L'aire de la surface latérale d'une pyramide (pleine et tronquée) est la somme des aires de toutes ses faces latérales, la surface totale est la somme des aires de toutes ses faces.

Théorème : L'aire de la surface latérale d'une pyramide régulière est égale à la moitié du produit du périmètre de la base et de l'apothème de la pyramide.

p- périmètre de base ;

h- apothème.

L'aire des surfaces latérales et complètes d'une pyramide tronquée.

page 1, p 2 - périmètres de base ;

h- apothème.

R.- superficie totale d'une pyramide tronquée régulière ;

Côté S- aire de la surface latérale d'une pyramide tronquée régulière ;

S1 + S2- surface de base

Volume de la pyramide

Formulaire le volume ula est utilisé pour les pyramides de toute sorte.

H- hauteur de la pyramide.

Coins de pyramide

Les angles formés par la face latérale et la base de la pyramide sont appelés angles dièdres à la base de la pyramide.

Un angle dièdre est formé par deux perpendiculaires.

Pour déterminer cet angle, il faut souvent utiliser le théorème des trois perpendiculaires.

Les angles formés par le bord latéral et sa projection sur le plan de base sont appelés angles entre le bord latéral et le plan de la base.

L'angle formé par deux bords latéraux s'appelle angle dièdre à côte latérale pyramides.

L'angle formé par deux arêtes latérales d'une face de la pyramide s'appelle angle au sommet de la pyramide.

Sections de pyramide

La surface d’une pyramide est la surface d’un polyèdre. Chacune de ses faces est un plan, donc la section d'une pyramide définie par un plan coupant est une ligne brisée constituée de lignes droites individuelles.

Coupe diagonale

La section d'une pyramide par un plan passant par deux arêtes latérales qui ne se trouvent pas sur la même face s'appelle section diagonale pyramides.

Sections parallèles

Théorème:

Si la pyramide est coupée par un plan parallèle à la base, alors les bords latéraux et les hauteurs de la pyramide sont divisés par ce plan en parties proportionnelles ;

La section de ce plan est un polygone semblable à la base ;

Les aires de la section et de la base sont liées entre elles comme les carrés de leurs distances au sommet.

Types de pyramide

Pyramide correcte – une pyramide dont la base est un polygone régulier, et le sommet de la pyramide est projeté au centre de la base.

Pour une pyramide régulière :

1. les côtes latérales sont égales

2. les faces latérales sont égales

3. les apothèmes sont égaux

4. les angles dièdres à la base sont égaux

5. les angles dièdres sur les bords latéraux sont égaux

6. chaque point de hauteur est équidistant de tous les sommets de la base

7. chaque point de hauteur est équidistant de tous les bords latéraux

Pyramide tronquée- partie de la pyramide enserrée entre sa base et un plan coupant parallèle à la base.

La base et la section correspondante d'une pyramide tronquée sont appelées bases d'une pyramide tronquée.

Une perpendiculaire tracée d'un point quelconque d'une base au plan d'une autre est appelée la hauteur d'une pyramide tronquée.

Tâches

N°1. Dans une pyramide quadrangulaire régulière, le point O est le centre de la base, SO=8 cm, BD=30 cm. Trouvez le bord latéral SA.

Résolution de problème

N°1. Dans une pyramide régulière, toutes les faces et arêtes sont égales.

Considérez OSB : OSB est un rectangle rectangulaire, etc.

SB2 =SO2 +OB2

SB2 =64+225=289

Pyramide en architecture

Une pyramide est une structure monumentale en forme de plan régulier ordinaire. pyramide géométrique, dans lequel les côtés convergent en un point. Par objectif fonctionnel Dans l’Antiquité, les pyramides étaient des lieux de sépulture ou de culte. La base d'une pyramide peut être de forme triangulaire, quadrangulaire ou polygonale avec un nombre arbitraire de sommets, mais la version la plus courante est la base quadrangulaire.

Il existe un nombre considérable de pyramides construites par différentes cultures. Ancien monde principalement sous forme de temples ou de monuments. Les grandes pyramides comprennent les pyramides égyptiennes.

Partout sur Terre, vous pouvez voir des structures architecturales en forme de pyramides. Les bâtiments pyramidaux rappellent les temps anciens et sont très beaux.

Les pyramides égyptiennes sont les plus grands monuments architecturaux L'Egypte ancienne, parmi lesquelles l'une des « Sept merveilles du monde » est la Pyramide de Khéops. Du pied au sommet, il atteint 137,3 m, et avant de perdre le sommet, sa hauteur était de 146,7 m.

Le bâtiment de la station de radio dans la capitale slovaque, ressemblant à une pyramide inversée, a été construit en 1983. Outre les bureaux et les locaux de service, le volume abrite une salle de concert assez spacieuse, dotée de l'un des plus grands orgues de Slovaquie.

Le Louvre, « silencieux, immuable et majestueux comme une pyramide », a connu de nombreuses transformations au fil des siècles avant de devenir le plus grand musée du monde. Elle est née comme une forteresse, érigée par Philippe Auguste en 1190, qui devint bientôt une résidence royale. En 1793, le palais devient un musée. Les collections sont enrichies par des legs ou des achats.

Ce didacticiel vidéo aidera les utilisateurs à se faire une idée du thème Pyramide. Pyramide correcte. Dans cette leçon, nous allons nous familiariser avec le concept de pyramide et lui donner une définition. Considérons ce qu'est une pyramide régulière et quelles propriétés elle possède. Ensuite, nous démontrons le théorème sur la surface latérale d’une pyramide régulière.

Dans cette leçon, nous allons nous familiariser avec le concept de pyramide et lui donner une définition.

Considérons un polygone Un 1 Un 2...Un, qui se situe dans le plan α, et le point P., qui ne se situe pas dans le plan α (Fig. 1). Relions les points P. avec des sommets Un 1, Un 2, Un 3, … Un. On a n Triangles: Un 1 Un 2 R, Un 2 Un 3 R et ainsi de suite.

Définition. Polyèdre RA 1 A 2 ...A n, composé de n-carré Un 1 Un 2...Un Et n Triangles RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 est appelé n-pyramide du charbon. Riz. 1.

Riz. 1

Considérons une pyramide quadrangulaire PABCD(Fig.2).

R.- le sommet de la pyramide.

A B C D- la base de la pyramide.

RA- côte latérale.

UN B- nervure de base.

Du point R. laissons tomber la perpendiculaire RN au plan de base A B C D. La perpendiculaire tracée est la hauteur de la pyramide.

Riz. 2

La surface totale de la pyramide est constituée de la surface latérale, c'est-à-dire l'aire de toutes les faces latérales, et l'aire de la base :

S complet = S côté + S principal

Une pyramide est dite correcte si :

• sa base est un polygone régulier ;
• le segment reliant le sommet de la pyramide au centre de la base est sa hauteur.

Explication à l'aide de l'exemple d'une pyramide quadrangulaire régulière

Considérons une pyramide quadrangulaire régulière PABCD(Fig. 3).

R.- le sommet de la pyramide. Base de la pyramide A B C D- un quadrilatère régulier, c'est-à-dire un carré. Point À PROPOS, le point d'intersection des diagonales, est le centre du carré. Moyens, RO est la hauteur de la pyramide.

Riz. 3

Explication: dans le bon sens n Dans un triangle, le centre du cercle inscrit et le centre du cercle circonscrit coïncident. Ce centre est appelé centre du polygone. Parfois, on dit que le sommet est projeté vers le centre.

La hauteur de la face latérale d’une pyramide régulière tirée de son sommet est appelée apothème et est désigné ha un.

1. toutes les arêtes latérales d’une pyramide régulière sont égales ;

2. Les faces latérales sont des triangles isocèles égaux.

Nous donnerons une preuve de ces propriétés en utilisant l’exemple d’une pyramide quadrangulaire régulière.

Donné: PABCD- pyramide quadrangulaire régulière,

A B C D- carré,

RO- hauteur de la pyramide.

Prouver:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Voir Fig. 4.

Riz. 4

Preuve.

RO- hauteur de la pyramide. C'est-à-dire directement RO perpendiculaire au plan abc, et donc direct JSC, VO, SO Et FAIRE couché dedans. donc des triangles ROA, ROV, ROS, TIGE- rectangulaire.

Considérons un carré A B C D. Des propriétés d’un carré il résulte que AO = VO = CO = FAIRE.

Puis les triangles rectangles ROA, ROV, ROS, TIGE jambe RO- général et jambes JSC, VO, SO Et FAIRE sont égaux, ce qui signifie que ces triangles sont égaux sur deux côtés. De l’égalité des triangles découle l’égalité des segments, RA = PB = RS = PD. Le point 1 a été prouvé.

Segments UN B Et Soleil sont égaux parce qu’ils sont côtés d’un même carré, RA = PB = RS. donc des triangles AVR Et VSR- isocèle et égale sur trois côtés.

De la même manière, nous constatons que les triangles ABP, VCP, CDP, DAP sont isocèles et égaux, comme cela doit être prouvé au paragraphe 2.

L'aire de la surface latérale d'une pyramide régulière est égale à la moitié du produit du périmètre de la base et de l'apothème :

Pour le prouver, choisissons une pyramide triangulaire régulière.

Donné: RAVS- pyramide triangulaire régulière.

AB = BC = AC.

RO- hauteur.

Prouver: . Voir Fig. 5.

Riz. 5

Preuve.

RAVS- pyramide triangulaire régulière. C'est UN B= AC = BC. Laisser À PROPOS- centre du triangle abc, Alors RO est la hauteur de la pyramide. A la base de la pyramide se trouve un triangle équilatéral abc. Remarquerez que .

Triangles RAV, RVS, RSA- égal triangles isocèles(par propriété). U pyramide triangulaire trois faces latérales : RAV, RVS, RSA. Cela signifie que l'aire de la surface latérale de la pyramide est :

Côté S = 3S RAW

Le théorème a été prouvé.

Le rayon d'un cercle inscrit à la base d'une pyramide quadrangulaire régulière est de 3 m, la hauteur de la pyramide est de 4 m. Trouvez l'aire de la surface latérale de la pyramide.

Donné: pyramide quadrangulaire régulière A B C D,

A B C D- carré,

r= 3 m,

RO- hauteur de la pyramide,

RO= 4 m.

Trouver: Côté S. Voir Fig. 6.

Riz. 6

Solution.

D'après le théorème prouvé, .

Trouvons d'abord le côté de la base UN B. On sait que le rayon d'un cercle inscrit à la base d'une pyramide quadrangulaire régulière est de 3 m.

Ensuite, M.

Trouver le périmètre du carré A B C D d'un côté de 6 m :

Considérons un triangle BCD. Laisser M- milieu du côté CC. Parce que À PROPOS- milieu BD, volume).

Triangle DPC- isocèle. M- milieu CC. C'est, RM- la médiane, et donc la hauteur dans le triangle DPC. Alors RM- apothème de la pyramide.

RO- hauteur de la pyramide. Puis, directement RO perpendiculaire au plan abc, et donc direct OM, couché dedans. Trouvons l'apothème RM depuis triangle rectangle ROM.

Maintenant nous pouvons trouver surface latérale pyramides :

Répondre: 60 m2.

Le rayon du cercle circonscrit à la base d'une pyramide triangulaire régulière est égal à m. La surface latérale est de 18 m 2. Trouvez la longueur de l’apothème.

Donné: PCAA- pyramide triangulaire régulière,

AB = BC = SA,

R.= m,

Côté S = 18 m2.

Trouver: . Voir Fig. 7.

Riz. 7

Solution.

Dans un triangle rectangle abc Le rayon du cercle circonscrit est donné. Trouvons un côté UN B ce triangle en utilisant la loi des sinus.

Connaissant le côté d'un triangle régulier (m), on trouve son périmètre.

Par le théorème sur la surface latérale d'une pyramide régulière, où ha un- apothème de la pyramide. Alors:

Répondre: 4 m.

Nous avons donc examiné ce qu'est une pyramide, ce qu'est une pyramide régulière, et nous avons prouvé le théorème sur la surface latérale d'une pyramide régulière. Dans la prochaine leçon, nous nous familiariserons avec la pyramide tronquée.

Bibliographie

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Devoirs

1. Un polygone régulier peut-il être la base d'une pyramide irrégulière ?
2. Montrer que les arêtes disjointes d’une pyramide régulière sont perpendiculaires.
3. Trouver la valeur angle dièdre du côté de la base d'une pyramide quadrangulaire régulière, si l'apothème de la pyramide est égal au côté de sa base.
4. RAVS- pyramide triangulaire régulière. Construisez l’angle linéaire de l’angle dièdre à la base de la pyramide.

Définition

Pyramide est un polyèdre composé d'un polygone \(A_1A_2...A_n\) et de \(n\) triangles avec un sommet commun \(P\) (ne se trouvant pas dans le plan du polygone) et des côtés opposés, coïncidant avec le côtés du polygone.
Désignation : \(PA_1A_2...A_n\) .
Exemple : pyramide pentagonale \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Triangles \(PA_1A_2, \PA_2A_3\), etc. sont appelés faces latérales pyramides, segments \(PA_1, PA_2\), etc. – côtes latérales, polygone \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – base, point \(P\) – haut.

Hauteur les pyramides sont une perpendiculaire descendant du sommet de la pyramide jusqu'au plan de la base.

Une pyramide avec un triangle à sa base s'appelle tétraèdre.

La pyramide s'appelle correct, si sa base est un polygone régulier et que l'une des conditions suivantes est remplie :

\((a)\) les bords latéraux de la pyramide sont égaux ;

\((b)\) la hauteur de la pyramide passe par le centre du cercle circonscrit près de la base ;

\((c)\) les nervures latérales sont inclinées par rapport au plan de la base selon le même angle.

\((d)\) les faces latérales sont inclinées par rapport au plan de la base selon le même angle.

Tétraèdre régulier est une pyramide triangulaire dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux égaux.

Théorème

Les conditions \((a), (b), (c), (d)\) sont équivalentes.

Preuve

Trouvons la hauteur de la pyramide \(PH\) . Soit \(\alpha\) le plan de la base de la pyramide.

1) Montrons que de \((a)\) il suit \((b)\) . Soit \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Parce que \(PH\perp \alpha\), alors \(PH\) est perpendiculaire à toute ligne située dans ce plan, ce qui signifie que les triangles sont rectangles. Cela signifie que ces triangles sont égaux en jambe commune \(PH\) et en hypoténuse \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Cela signifie \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Cela signifie que les points \(A_1, A_2, ..., A_n\) sont à la même distance du point \(H\), ils se trouvent donc sur le même cercle de rayon \(A_1H\) . Ce cercle, par définition, est circonscrit au polygone \(A_1A_2...A_n\) .

2) Montrons que \((b)\) implique \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rectangulaire et égal sur deux pieds. Cela signifie que leurs angles sont également égaux, donc \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH\).

3) Montrons que \((c)\) implique \((a)\) .

Semblables au premier point, les triangles \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rectangulaire et le long de la jambe et angle vif. Cela signifie que leurs hypoténuses sont également égales, c'est-à-dire \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Montrons que \((b)\) implique \((d)\) .

Parce que dans un polygone régulier les centres des cercles circonscrits et inscrits coïncident (d'une manière générale, ce point est appelé centre d'un polygone régulier), alors \(H\) est le centre du cercle inscrit. Traçons des perpendiculaires du point \(H\) aux côtés de la base : \(HK_1, HK_2\), etc. Ce sont les rayons du cercle inscrit (par définition). Alors, selon TTP (\(PH\) est une perpendiculaire au plan, \(HK_1, HK_2\), etc. sont des projections perpendiculaires aux côtés) inclinées \(PK_1, PK_2\), etc. perpendiculaire aux côtés \(A_1A_2, A_2A_3\), etc. respectivement. Donc par définition \(\angle PK_1H, \angle PK_2H\)égal aux angles entre les faces latérales et la base. Parce que les triangles \(PK_1H, PK_2H, ...\) sont égaux (comme rectangulaires sur deux côtés), alors les angles \(\angle PK_1H, \angle PK_2H, ...\) sont égaux.

5) Montrons que \((d)\) implique \((b)\) .

Semblable au quatrième point, les triangles \(PK_1H, PK_2H, ...\) sont égaux (comme rectangulaires le long de la jambe et de l'angle aigu), ce qui signifie que les segments \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) sont égal. Cela signifie que, par définition, \(H\) est le centre d'un cercle inscrit dans la base. Mais parce que à polygones réguliers les centres des cercles inscrits et circonscrits coïncident, alors \(H\) est le centre du cercle circonscrit. Chtd.

Conséquence

Les faces latérales d'une pyramide régulière sont des triangles isocèles égaux.

Définition

La hauteur de la face latérale d’une pyramide régulière tirée de son sommet est appelée apothème.
Les apothèmes de toutes les faces latérales d'une pyramide régulière sont égaux les uns aux autres et sont également médians et bissecteurs.

Notes IMPORTANTES

1. La hauteur d'une pyramide triangulaire régulière tombe au point d'intersection des hauteurs (ou bissectrices, ou médianes) de la base (la base est un triangle régulier).

2. La hauteur d'une pyramide quadrangulaire régulière tombe au point d'intersection des diagonales de la base (la base est un carré).

3. La hauteur est correcte pyramide hexagonale tombe au point d'intersection des diagonales de la base (la base est un hexagone régulier).

4. La hauteur de la pyramide est perpendiculaire à toute ligne droite située à la base.

Définition

La pyramide s'appelle rectangulaire, si l'un de ses bords latéraux est perpendiculaire au plan de la base.

Notes IMPORTANTES

1. Dans une pyramide rectangulaire, le bord perpendiculaire à la base correspond à la hauteur de la pyramide. Autrement dit, \(SR\) est la hauteur.

2. Parce que \(SR\) est perpendiculaire à toute ligne partant de la base, alors \(\triangle SRM, \triangle SRP\)– des triangles rectangles.

3. Triangles \(\triangle SRN, \triangle SRK\)- également rectangulaire.
Autrement dit, tout triangle formé par cette arête et la diagonale émergeant du sommet de cette arête situé à la base sera rectangulaire.

\[(\Large(\text(Volume et superficie de la pyramide)))\]

Théorème

Le volume de la pyramide est égal au tiers du produit de l'aire de la base et de la hauteur de la pyramide : \

Conséquences

Soit \(a\) le côté de la base, \(h\) la hauteur de la pyramide.

1. Le volume d’une pyramide triangulaire régulière est \(V_(\text(triangle rectangle.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Le volume d’une pyramide quadrangulaire régulière est \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).

3. Le volume d’une pyramide hexagonale régulière est \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Le volume d'un tétraèdre régulier est \(V_(\text(right tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Théorème

L'aire de la surface latérale d'une pyramide régulière est égale au demi-produit du périmètre de la base et de l'apothème.

\[(\Large(\text(Frustum)))\]

Définition

Considérons une pyramide arbitraire \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Traçons un plan parallèle à la base de la pyramide passant par un certain point situé sur le bord latéral de la pyramide. Ce plan divisera la pyramide en deux polyèdres, dont l'un est une pyramide (\(PB_1B_2...B_n\)), et l'autre est appelé pyramide tronquée(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

La pyramide tronquée a deux bases - les polygones \(A_1A_2...A_n\) et \(B_1B_2...B_n\) qui sont similaires les uns aux autres.

La hauteur d'une pyramide tronquée est une perpendiculaire tracée depuis un certain point de la base supérieure jusqu'au plan de la base inférieure.

Notes IMPORTANTES

1. Toutes les faces latérales d’une pyramide tronquée sont des trapèzes.

2. Le segment reliant les centres des bases d'une pyramide tronquée régulière (c'est-à-dire une pyramide obtenue par section transversale d'une pyramide régulière) est la hauteur.