Les étudiants découvrent le concept de pyramide bien avant d’étudier la géométrie. La faute en revient aux célèbres grandes merveilles égyptiennes du monde. Par conséquent, lorsqu'ils commencent à étudier ce merveilleux polyèdre, la plupart des étudiants l'imaginent déjà clairement. Toutes les attractions mentionnées ci-dessus ont la forme correcte. Ce qui s'est passé pyramide régulière, et quelles sont ses propriétés et Nous parlerons plus loin.

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Définition

Il existe de nombreuses définitions d’une pyramide. Depuis l’Antiquité, il est très populaire.

Par exemple, Euclide l'a défini comme une figure corporelle constituée de plans qui, partant d'un seul, convergent en un certain point.

Heron a fourni une formulation plus précise. Il a insisté sur le fait que c'était le chiffre qui a une base et des plans en forme de triangles, convergeant en un point.

Reposant sur interprétation moderne, la pyramide est représentée comme un polyèdre spatial composé d'un certain k-gon et de k figures plates forme triangulaire, ayant un point commun.

Regardons cela plus en détail, de quels éléments se compose-t-il :

• Le k-gon est considéré comme la base de la figure ;
• Des formes à 3 polygones font saillie sur les bords de la partie latérale ;
• la partie supérieure d'où proviennent les éléments latéraux est appelée sommet ;
• tous les segments reliant un sommet sont appelés arêtes ;
• si une ligne droite est abaissée du sommet au plan de la figure sous un angle de 90 degrés, alors sa partie enfermée dans espace interne— hauteur de la pyramide ;
• dans tout élément latéral, une perpendiculaire, appelée apothème, peut être tracée du côté de notre polyèdre.

Le nombre d'arêtes est calculé à l'aide de la formule 2*k, où k est le nombre de côtés du k-gon. Le nombre de faces d'un polyèdre tel qu'une pyramide peut être déterminé à l'aide de l'expression k+1.

Important! Une pyramide de forme régulière est une figure stéréométrique dont le plan de base est un k-gon à côtés égaux.

Propriétés de base

Pyramide correcte possède de nombreuses propriétés, qui lui sont propres. Listons-les :

1. La base est une figure de forme correcte.
2. Les arêtes de la pyramide qui limitent les éléments latéraux ont des valeurs numériques égales.
3. Éléments latéraux – triangles isocèles.
4. La base de la hauteur de la figure tombe au centre du polygone, tout en étant à la fois le point central de l'inscrit et du circonscrit.
5. Toutes les nervures latérales sont inclinées par rapport au plan de base selon le même angle.
6. Toutes les surfaces latérales ont le même angle d'inclinaison par rapport à la base.

Grâce à toutes les propriétés répertoriées, effectuer des calculs d'éléments est beaucoup plus simple. Sur la base des propriétés ci-dessus, nous prêtons attention à deux signes :

1. Dans le cas où le polygone s'inscrit dans un cercle, les faces latérales auront la base angles égaux.
2. Lors de la description d'un cercle autour d'un polygone, toutes les arêtes de la pyramide partant du sommet auront des longueurs égales et des angles égaux avec la base.

La base est un carré

Pyramide quadrangulaire régulière - un polyèdre dont la base est un carré.

Il présente quatre faces latérales d’apparence isocèle.

Un carré est représenté sur un plan, mais repose sur toutes les propriétés d’un quadrilatère régulier.

Par exemple, s'il faut relier le côté d'un carré avec sa diagonale, alors utilisez la formule suivante : la diagonale est égale au produit du côté du carré et de la racine carrée de deux.

Il est basé sur un triangle régulier

Une pyramide triangulaire régulière est un polyèdre dont la base est un 3-gone régulier.

Si la base est un triangle régulier et que les bords latéraux sont égaux aux bords de la base, alors une telle figure appelé tétraèdre.

Toutes les faces d'un tétraèdre sont des 3-gones équilatéraux. Dans ce cas, il faut connaître certains points et ne pas perdre de temps dessus lors du calcul :

• l'angle d'inclinaison des côtes par rapport à n'importe quelle base est de 60 degrés ;
• la taille de toutes les faces internes est également de 60 degrés ;
• n'importe quel visage peut servir de base ;
• , dessinés à l'intérieur de la figure, ce sont des éléments égaux.

Sections d'un polyèdre

Dans tout polyèdre il y a plusieurs types de sections plat. Souvent, dans un cours de géométrie scolaire, ils travaillent avec deux :

• axial;
• parallèlement à la base.

Une section axiale est obtenue en croisant un polyèdre avec un plan qui passe par le sommet, les arêtes latérales et l'axe. Dans ce cas, l'axe est la hauteur tirée du sommet. Le plan de coupe est limité par les lignes d'intersection avec toutes les faces, ce qui donne un triangle.

Attention! Dans une pyramide régulière, la section axiale est un triangle isocèle.

Si le plan de coupe est parallèle à la base, le résultat est la deuxième option. Dans ce cas, nous avons une figure en coupe similaire à la base.

Par exemple, s'il y a un carré à la base, alors la section parallèle à la base sera également un carré, mais de plus petites dimensions.

Lors de la résolution de problèmes dans cette condition, ils utilisent des signes et des propriétés de similitude des figures, basé sur le théorème de Thales. Tout d’abord, il faut déterminer le coefficient de similarité.

Si le plan est tracé parallèlement à la base et qu'il coupe la partie supérieure du polyèdre, on obtient alors une pyramide tronquée régulière dans la partie inférieure. On dit alors que les bases d’un polyèdre tronqué sont des polygones similaires. Dans ce cas, les faces latérales sont des trapèzes isocèles. La section axiale est également isocèle.

Afin de déterminer la hauteur d'un polyèdre tronqué, il est nécessaire de tracer la hauteur dans la coupe axiale, c'est-à-dire dans le trapèze.

Superficies

Les principaux problèmes géométriques qui doivent être résolus dans un cours de géométrie scolaire sont trouver la surface et le volume d'une pyramide.

Il existe deux types de valeurs de superficie :

• zone des éléments latéraux;
• superficie de toute la surface.

D'après le nom lui-même, il est clair de quoi nous parlons. Surface latérale comprend uniquement des éléments latéraux. Il s'ensuit que pour le trouver, il suffit d'additionner les aires des plans latéraux, c'est-à-dire les aires des 3-gones isocèles. Essayons de dériver la formule pour l'aire des éléments latéraux :

1. L'aire d'un 3-gon isocèle est Str=1/2(aL), où a est le côté de la base, L est l'apothème.
2. Le nombre de plans latéraux dépend du type de k-gon à la base. Par exemple, le bon pyramide quadrangulaire a quatre plans latéraux. Il faut donc additionner les aires de quatre chiffres Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. L'expression est ainsi simplifiée car la valeur est 4a = Rosn, où Rosn est le périmètre de la base. Et l'expression 1/2*Rosn est son demi-périmètre.
3. Ainsi, nous concluons que l'aire des éléments latéraux d'une pyramide régulière est égale au produit du demi-périmètre de la base et de l'apothème : Sside = Rosn * L.

Carré toute la surface La pyramide est constituée de la somme des aires des plans latéraux et de la base : Sp.p. = Sside + Sbas.

Quant à l'aire de la base, ici la formule est utilisée en fonction du type de polygone.

Volume d'une pyramide régulièreégal au produit de l'aire du plan de base et de la hauteur divisé par trois : V=1/3*Sbas*H, où H est la hauteur du polyèdre.

Qu'est-ce qu'une pyramide régulière en géométrie

Propriétés d'une pyramide quadrangulaire régulière

Introduction

Lorsque nous avons commencé à étudier les figures stéréométriques, nous avons abordé le thème de la « Pyramide ». Ce sujet nous a plu car la pyramide est très souvent utilisée en architecture. Et depuis le nôtre futur métier architecte, inspirée par cette figure, nous pensons qu'elle peut nous pousser vers de grands projets.

La solidité des structures architecturales est leur qualité la plus importante. Relier la force, d’une part, aux matériaux à partir desquels ils sont créés, et, d’autre part, aux caractéristiques des solutions constructives, il s'avère que la résistance d'une structure est directement liée à la forme géométrique qui lui est fondamentale.

En d’autres termes, nous parlons de cette figure géométrique qui peut être considérée comme un modèle de la figure correspondante. forme architecturale. Il s’avère que la forme géométrique détermine également la solidité d’une structure architecturale.

Depuis l'Antiquité, les pyramides égyptiennes sont considérées comme les structures architecturales les plus durables. Comme vous le savez, ils ont la forme de pyramides quadrangulaires régulières.

C'est cette forme géométrique qui offre la plus grande stabilité grâce à grande surface terrains. D’autre part, la forme pyramidale garantit que la masse diminue à mesure que la hauteur au-dessus du sol augmente. Ce sont ces deux propriétés qui rendent la pyramide stable, et donc résistante aux conditions de gravité.

Objectif du projet: apprenez quelque chose de nouveau sur les pyramides, approfondissez vos connaissances et trouvez une application pratique.

Pour atteindre cet objectif, il était nécessaire de résoudre les tâches suivantes :

· Apprenez des informations historiques sur la pyramide

· Considérez la pyramide comme figure géométrique

· Trouver une application dans la vie et l'architecture

· Trouver les similitudes et les différences entre les pyramides situées dans Différents composants Sveta

Partie théorique

Information historique

Le début de la géométrie de la pyramide a été posé dans l'Égypte ancienne et à Babylone, mais elle s'est activement développée dans La Grèce ancienne. Le premier à établir le volume de la pyramide fut Démocrite, et Eudoxe de Cnide le prouva. L'ancien mathématicien grec Euclide a systématisé les connaissances sur la pyramide dans le volume XII de ses « Éléments », et a également dérivé la première définition d'une pyramide : une figure solide délimitée par des plans qui convergent d'un plan vers un point.

Tombes des pharaons égyptiens. La plus grande d'entre elles - les pyramides de Khéops, Khafré et Mikerin à El Gizeh - étaient considérées dans l'Antiquité comme l'une des sept merveilles du monde. La construction de la pyramide, dans laquelle les Grecs et les Romains voyaient déjà un monument à la fierté sans précédent des rois et à la cruauté qui condamnait le peuple égyptien tout entier à une construction insignifiante, était l'acte de culte le plus important et était censée exprimer, apparemment, le identité mystique du pays et de son dirigeant. La population du pays travaillait à la construction du tombeau pendant la partie de l'année sans travail agricole. De nombreux textes témoignent de l'attention et du soin que les rois eux-mêmes (quoique plus tardifs) portèrent à la construction de leur tombeau et de ses constructeurs. On connaît également les honneurs de culte spéciaux qui ont été accordés à la pyramide elle-même.

Concepts de base

Pyramide s'appelle un polyèdre dont la base est un polygone et les faces restantes sont des triangles ayant un sommet commun.

Apothème- la hauteur de la face latérale d'une pyramide régulière, tirée de son sommet ;

Faces latérales- des triangles se rencontrant en un sommet ;

Côtes latérales- les côtés communs des faces latérales ;

Sommet de la pyramide- un point reliant les nervures latérales et ne se trouvant pas dans le plan de l'embase ;

Hauteur- un segment perpendiculaire tracé passant par le sommet de la pyramide jusqu'au plan de sa base (les extrémités de ce segment sont le sommet de la pyramide et la base de la perpendiculaire) ;

Section diagonale d'une pyramide- section de la pyramide passant par le sommet et la diagonale de la base ;

Base- un polygone n'appartenant pas au sommet de la pyramide.

Propriétés de base d'une pyramide régulière

Les bords latéraux, les faces latérales et les apothèmes sont respectivement égaux.

Les angles dièdres à la base sont égaux.

Les angles dièdres sur les bords latéraux sont égaux.

Chaque point de hauteur est équidistant de tous les sommets de la base.

Chaque point de hauteur est équidistant de toutes les faces latérales.

Formules pyramidales de base

L'aire de la surface latérale et totale de la pyramide.

L'aire de la surface latérale d'une pyramide (pleine et tronquée) est la somme des aires de toutes ses faces latérales, la surface totale est la somme des aires de toutes ses faces.

Théorème : L'aire de la surface latérale d'une pyramide régulière est égale à la moitié du produit du périmètre de la base et de l'apothème de la pyramide.

p- périmètre de base ;

h- apothème.

L'aire des surfaces latérales et complètes d'une pyramide tronquée.

page 1, p 2 - périmètres de base ;

h- apothème.

R.- superficie totale d'une pyramide tronquée régulière ;

Côté S- aire de la surface latérale d'une pyramide tronquée régulière ;

S1 + S2- surface de base

Volume de la pyramide

Formulaire le volume ula est utilisé pour les pyramides de toute sorte.

H- hauteur de la pyramide.

Coins de pyramide

Les angles formés par la face latérale et la base de la pyramide sont appelés angles dièdres à la base de la pyramide.

Angle dièdre formé de deux perpendiculaires.

Pour déterminer cet angle, il faut souvent utiliser le théorème des trois perpendiculaires.

Les angles formés par le bord latéral et sa projection sur le plan de base sont appelés angles entre le bord latéral et le plan de la base.

L'angle formé par deux bords latéraux s'appelle angle dièdre au bord latéral de la pyramide.

L'angle formé par deux arêtes latérales d'une face de la pyramide s'appelle angle au sommet de la pyramide.

Sections de pyramide

La surface d’une pyramide est la surface d’un polyèdre. Chacune de ses faces est un plan, donc la section d'une pyramide définie par un plan coupant est une ligne brisée constituée de lignes droites individuelles.

Coupe diagonale

La section d'une pyramide par un plan passant par deux arêtes latérales qui ne se trouvent pas sur la même face s'appelle section diagonale pyramides.

Sections parallèles

Théorème:

Si une pyramide est coupée par un plan parallèle à la base, alors côtes latérales et les hauteurs de la pyramide sont divisées par ce plan en parties proportionnelles ;

La section de ce plan est un polygone semblable à la base ;

Les aires de la section et de la base sont liées entre elles comme les carrés de leurs distances au sommet.

Types de pyramide

Pyramide correcte- une pyramide dont la base est polygone régulier, et le sommet de la pyramide est projeté au centre de la base.

Pour une pyramide régulière :

1. les côtes latérales sont égales

2. les faces latérales sont égales

3. les apothèmes sont égaux

4. les angles dièdres à la base sont égaux

5. les angles dièdres sur les bords latéraux sont égaux

6. chaque point de hauteur est équidistant de tous les sommets de la base

7. chaque point de hauteur est équidistant de tous les bords latéraux

Pyramide tronquée- partie de la pyramide enserrée entre sa base et un plan coupant parallèle à la base.

La base et la section correspondante d'une pyramide tronquée sont appelées bases d'une pyramide tronquée.

Une perpendiculaire tracée d'un point quelconque d'une base au plan d'une autre est appelée la hauteur d'une pyramide tronquée.

Tâches

N°1. Dans une pyramide quadrangulaire régulière, le point O est le centre de la base, SO=8 cm, BD=30 cm. Trouvez le bord latéral SA.

Résolution de problème

N°1. Dans une pyramide régulière, toutes les faces et arêtes sont égales.

Considérez OSB : OSB est un rectangle rectangulaire, etc.

SB2 =SO2 +OB2

SB2 =64+225=289

Pyramide en architecture

Une pyramide est une structure monumentale en forme de plan régulier ordinaire. pyramide géométrique, dans lequel les côtés convergent en un point. Par objectif fonctionnel Dans l’Antiquité, les pyramides étaient des lieux de sépulture ou de culte. La base d'une pyramide peut être de forme triangulaire, quadrangulaire ou polygonale avec un nombre arbitraire de sommets, mais la version la plus courante est la base quadrangulaire.

Il existe un nombre considérable de pyramides construites par différentes cultures. Ancien monde principalement sous forme de temples ou de monuments. Les grandes pyramides comprennent les pyramides égyptiennes.

Partout sur Terre, vous pouvez voir structures architecturales en forme de pyramides. Les bâtiments pyramidaux rappellent les temps anciens et sont très beaux.

Les pyramides égyptiennes sont les plus grands monuments architecturaux L'Egypte ancienne, parmi lesquelles l'une des « Sept merveilles du monde » est la Pyramide de Khéops. Du pied au sommet, il atteint 137,3 m, et avant de perdre le sommet, sa hauteur était de 146,7 m.

Le bâtiment de la station de radio dans la capitale slovaque, ressemblant à une pyramide inversée, a été construit en 1983. Outre les bureaux et les locaux de service, le volume abrite une salle de concert assez spacieuse, dotée de l'un des plus grands orgues de Slovaquie.

Le Louvre, « silencieux, immuable et majestueux comme une pyramide », a connu de nombreuses transformations au fil des siècles avant de devenir le plus grand musée du monde. Elle est née comme une forteresse, érigée par Philippe Auguste en 1190, qui devint bientôt une résidence royale. En 1793, le palais devient un musée. Les collections sont enrichies par des legs ou des achats.

Pyramide. Pyramide tronquée

Pyramide est un polyèdre dont l'une des faces est un polygone ( base ), et toutes les autres faces sont des triangles avec un sommet commun ( faces latérales ) (Fig.15). La pyramide s'appelle correct , si sa base est un polygone régulier et que le sommet de la pyramide est projeté au centre de la base (Fig. 16). Une pyramide triangulaire dont toutes les arêtes sont égales s’appelle tétraèdre .

Côte latérale d'une pyramide est le côté de la face latérale qui n'appartient pas à la base Hauteur la pyramide est la distance entre son sommet et le plan de la base. Toutes les arêtes latérales d'une pyramide régulière sont égales les unes aux autres, toutes les faces latérales sont des triangles isocèles égaux. La hauteur de la face latérale d'une pyramide régulière tirée du sommet est appelée apothème . Coupe diagonale s'appelle une section d'une pyramide par un plan passant par deux arêtes latérales n'appartenant pas à la même face.

Surface latérale la pyramide est la somme des aires de toutes les faces latérales. Superficie totale est appelée la somme des aires de toutes les faces latérales et de la base.

Théorèmes

1. Si dans une pyramide tous les bords latéraux sont également inclinés par rapport au plan de la base, alors le sommet de la pyramide est projeté au centre du cercle circonscrit près de la base.

2. Si tous les bords latéraux d’une pyramide ont des longueurs égales, alors le sommet de la pyramide est projeté au centre d’un cercle circonscrit près de la base.

3. Si toutes les faces d'une pyramide sont également inclinées par rapport au plan de la base, alors le sommet de la pyramide est projeté au centre d'un cercle inscrit dans la base.

Pour calculer le volume d’une pyramide arbitraire, la formule correcte est :

Où V- volume;

Socle S– la superficie de base ;

H– hauteur de la pyramide.

Pour une pyramide régulière, les formules suivantes sont correctes :

Où p– périmètre de base ;

ha un– l'apothème ;

H- hauteur;

S plein

Côté S

Socle S– la superficie de base ;

V– volume d'une pyramide régulière.

Pyramide tronquée appelée partie de la pyramide comprise entre la base et un plan coupant parallèle à la base de la pyramide (Fig. 17). Pyramide tronquée régulière appelée partie d'une pyramide régulière comprise entre la base et un plan coupant parallèle à la base de la pyramide.

Les raisons pyramide tronquée - polygones similaires. Faces latérales – les trapèzes. Hauteur d’une pyramide tronquée est la distance entre ses bases. Diagonale une pyramide tronquée est un segment reliant ses sommets qui ne se trouvent pas sur la même face. Coupe diagonale est une section d'une pyramide tronquée par un plan passant par deux arêtes latérales n'appartenant pas à la même face.

Pour une pyramide tronquée, les formules suivantes sont valables :

(4)

Où S 1 , S 2 – zones des bases supérieures et inférieures ;

S plein– superficie totale ;

Côté S– surface latérale ;

H- hauteur;

V– volume d’une pyramide tronquée.

Pour une pyramide tronquée régulière, la formule est correcte :

Où p 1 , p 2 – périmètres des bases ;

ha un– apothème d’une pyramide tronquée régulière.

Exemple 1. Dans une pyramide triangulaire régulière, l'angle dièdre à la base est de 60º. Trouvez la tangente de l'angle d'inclinaison du bord latéral au plan de la base.

Solution. Faisons un dessin (Fig. 18).

La pyramide est régulière, ce qui signifie qu'à la base il y a un triangle équilatéral et que toutes les faces latérales sont des triangles isocèles égaux. L'angle dièdre à la base est l'angle d'inclinaison de la face latérale de la pyramide par rapport au plan de la base. L'angle linéaire est l'angle un entre deux perpendiculaires : etc. Le sommet de la pyramide est projeté au centre du triangle (le centre du cercle circonscrit et le cercle inscrit du triangle abc). L'angle d'inclinaison du bord latéral (par exemple S.B.) est l'angle entre le bord lui-même et sa projection sur le plan de la base. Pour la côte S.B. cet angle sera l'angle SBD. Pour trouver la tangente, il faut connaître les jambes DONC Et O.B.. Laissez la longueur du segment BD est égal à 3 UN. Point À PROPOS segment de ligne BD est divisé en parties : et De on trouve DONC: De là on retrouve :

Répondre:

Exemple 2. Trouvez le volume d'une pyramide quadrangulaire tronquée régulière si les diagonales de ses bases sont égales à cm et cm et que sa hauteur est de 4 cm.

Solution. Pour trouver le volume d’une pyramide tronquée, on utilise la formule (4). Pour trouver l'aire des bases, vous devez trouver les côtés des carrés de base, connaissant leurs diagonales. Les côtés des bases sont respectivement égaux à 2 cm et 8 cm, ce qui signifie les aires des bases et en remplaçant toutes les données dans la formule, nous calculons le volume de la pyramide tronquée :

Répondre: 112cm3.

Exemple 3. Trouvez l'aire de la face latérale d'une pyramide tronquée triangulaire régulière dont les côtés des bases mesurent 10 cm et 4 cm et la hauteur de la pyramide est de 2 cm.

Solution. Faisons un dessin (Fig. 19).

La face latérale de cette pyramide est un trapèze isocèle. Pour calculer l'aire d'un trapèze, vous devez connaître la base et la hauteur. Les bases sont données selon la condition, seule la hauteur reste inconnue. Nous la trouverons d'où UN 1 E perpendiculaire à un point UN 1 sur le plan de la base inférieure, UN 1 D– perpendiculaire à UN 1 par CA. UN 1 E= 2 cm, puisque c'est la hauteur de la pyramide. Trouver DE Faisons un dessin supplémentaire montrant la vue de dessus (Fig. 20). Point À PROPOS– projection des centres des bases supérieure et inférieure. depuis (voir fig. 20) et d'autre part D'ACCORD– rayon inscrit dans le cercle et OM– rayon inscrit dans un cercle :

MK = DE.

D'après le théorème de Pythagore de

Zone du visage latéral :

Répondre:

Exemple 4. A la base de la pyramide se trouve un trapèze isocèle dont les bases UN Et b (un> b). Chaque face latérale forme un angle égal au plan de la base de la pyramide j. Trouvez la surface totale de la pyramide.

Solution. Faisons un dessin (Fig. 21). Superficie totale de la pyramide SABCDégal à la somme des aires et de l'aire du trapèze A B C D.

Utilisons l'affirmation selon laquelle si toutes les faces de la pyramide sont également inclinées par rapport au plan de la base, alors le sommet est projeté au centre du cercle inscrit dans la base. Point À PROPOS– projection du sommet Sà la base de la pyramide. Triangle GAZON est la projection orthogonale du triangle CDD au plan de la base. En utilisant le théorème sur l'aire de la projection orthogonale d'une figure plane, on obtient :

De même, cela signifie Ainsi, le problème se réduisait à trouver l'aire du trapèze A B C D. Dessinons un trapèze A B C D séparément (Fig. 22). Point À PROPOS– le centre d'un cercle inscrit dans un trapèze.

Puisqu’un cercle peut s’inscrire dans un trapèze, alors ou Du théorème de Pythagore nous avons

Une pyramide triangulaire est une pyramide qui a un triangle à sa base. La hauteur de cette pyramide est la perpendiculaire qui descend du sommet de la pyramide jusqu'à sa base.

Trouver la hauteur d'une pyramide

Comment trouver la hauteur d'une pyramide ? Très simple! Pour trouver la hauteur de n'importe quel pyramide triangulaire vous pouvez utiliser la formule du volume : V = (1/3)Sh, où S est l'aire de la base, V est le volume de la pyramide, h est sa hauteur. De cette formule, dérivez la formule de la hauteur : pour trouver la hauteur d'une pyramide triangulaire, vous devez multiplier le volume de la pyramide par 3, puis diviser la valeur obtenue par l'aire de la base, ce sera : h = (3V)/S. Puisque la base d'une pyramide triangulaire est un triangle, vous pouvez utiliser la formule pour calculer l'aire d'un triangle. Si l'on connaît : l'aire du triangle S et son côté z, alors d'après la formule d'aire S=(1/2)γh : h = (2S)/γ, où h est la hauteur de la pyramide, γ est le bord du triangle ; l'angle entre les côtés du triangle et les deux côtés eux-mêmes, puis en utilisant la formule suivante : S = (1/2)γφsinQ, où γ, φ sont les côtés du triangle, on trouve l'aire du triangle. La valeur du sinus de l’angle Q doit être examinée dans le tableau des sinus disponible sur Internet. Ensuite, nous remplaçons la valeur de la surface dans la formule de hauteur : h = (2S)/γ. Si la tâche nécessite de calculer la hauteur d'une pyramide triangulaire, alors le volume de la pyramide est déjà connu.

Pyramide triangulaire régulière

Trouvez la hauteur d'une pyramide triangulaire régulière, c'est-à-dire une pyramide dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux, connaissant la taille de l'arête γ. Dans ce cas, les arêtes de la pyramide sont les côtés de triangles équilatéraux. La hauteur d'une pyramide triangulaire régulière sera : h = γ√(2/3), où γ est l'arête du triangle équilatéral, h est la hauteur de la pyramide. Si l'aire de la base (S) est inconnue et que seules la longueur du bord (γ) et le volume (V) du polyèdre sont donnés, alors la variable nécessaire dans la formule de l'étape précédente doit être remplacée par son équivalent, qui s'exprime en termes de longueur du bord. L'aire d'un triangle (régulier) est égale à 1/4 du produit de la longueur du côté de ce triangle au carré par la racine carrée de 3. On substitue cette formule à l'aire de la base dans la précédente formule, et on obtient la formule suivante : h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Le volume d'un tétraèdre peut être exprimé par la longueur de son arête, puis à partir de la formule de calcul de la hauteur d'une figure, vous pouvez supprimer toutes les variables et ne laisser que le côté de la face triangulaire de la figure. Le volume d'une telle pyramide peut être calculé en divisant par 12 le produit de la longueur au cube de sa face par la racine carrée de 2.

En remplaçant cette expression dans la formule précédente, nous obtenons la formule de calcul suivante : h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2/3) = (1/3)γ√6. Aussi, un prisme triangulaire régulier peut s'inscrire dans une sphère, et connaissant seulement le rayon de la sphère (R) on peut trouver la hauteur du tétraèdre lui-même. La longueur de l’arête du tétraèdre est : γ = 4R/√6. On remplace la variable γ par cette expression dans la formule précédente et on obtient la formule : h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. La même formule peut être obtenue en connaissant le rayon (R) d'un cercle inscrit dans un tétraèdre. Dans ce cas, la longueur du bord du triangle sera égale à 12 rapports entre racine carrée de 6 et rayon. On substitue cette expression dans la formule précédente et on a : h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Comment trouver la hauteur d'une pyramide quadrangulaire régulière

Pour répondre à la question de savoir comment trouver la longueur et la hauteur d'une pyramide, vous devez savoir ce qu'est une pyramide régulière. Une pyramide quadrangulaire est une pyramide qui possède un quadrilatère à sa base. Si dans les conditions du problème nous avons : le volume (V) et l'aire de la base (S) de la pyramide, alors la formule de calcul de la hauteur du polyèdre (h) sera la suivante - diviser le volume multiplié par 3 par l'aire S : h = (3V)/S. Étant donné une base carrée d'une pyramide de volume (V) et de longueur de côté γ donnés, remplacez l'aire (S) dans la formule précédente par le carré de la longueur du côté : S = γ 2 ; H = 3V/γ2. La hauteur d’une pyramide régulière h = SO passe exactement par le centre du cercle circonscrit près de la base. Puisque la base de cette pyramide est un carré, le point O est le point d’intersection des diagonales AD et BC. On a : OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Ensuite, nous sommes dans triangle rectangle On trouve SOC (en utilisant le théorème de Pythagore) : SO = √(SC 2 -OC 2). Vous savez maintenant comment trouver la hauteur d’une pyramide régulière.