Formules pour l'aire de la surface latérale et totale d'un cône. La zone de la surface latérale et complète du cône

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Type de leçon : une leçon d'étude de nouveau matériel en utilisant des éléments d'une méthode d'enseignement axée sur le développement de problèmes.

Objectifs de la leçon:

• cognitif:
  • familiarisation avec un nouveau concept mathématique;
  • formation d'un nouveau ZUN ;
  • la formation de compétences pratiques pour résoudre des problèmes.
• développement:
  • développement de la pensée indépendante des étudiants;
  • développement de compétences discours correctécoliers.
• éducatif:
  • développement des compétences de travail en équipe.

Matériel de cours : tableau magnétique, ordinateur, écran, projecteur multimédia, modèle de cône, présentation de cours, polycopié.

Objectifs de la leçon (pour les étudiants):

• se familiariser avec un nouveau concept géométrique - un cône;
• dériver une formule pour calculer la surface d'un cône;
• apprendre à appliquer les connaissances acquises pour résoudre des problèmes pratiques.

Pendant les cours

je mets en scène. Organisationnel.

Remise de cahiers avec travail de test à domicile sur le sujet traité.

Les élèves sont invités à découvrir le sujet de la leçon à venir en résolvant le rébus (diapositive 1):

Image 1.

Annonce aux élèves du sujet et des objectifs de la leçon (diapositive 2).

IIe stade. Explication du nouveau matériel.

1) Conférence du professeur.

Au tableau se trouve une table avec l'image d'un cône. nouveau matériel expliqué dans le matériel de programme d'accompagnement "Stéréométrie". Une image tridimensionnelle d'un cône apparaît à l'écran. L'enseignant donne une définition d'un cône, parle de ses éléments. (diapositive 3). On dit qu'un cône est un corps formé par la rotation d'un triangle rectangle par rapport à la jambe. (diapos 4, 5). Une image du développement de la surface latérale du cône apparaît. (diapositive 6)

2) Travaux pratiques.

Actualisation des connaissances de base : répéter les formules pour calculer l'aire d'un cercle, l'aire d'un secteur, la longueur d'un cercle, la longueur d'un arc de cercle. (diapos 7-10)

La classe est divisée en groupes. Chaque groupe reçoit un scan de la surface latérale du cône découpé dans du papier (un secteur de cercle avec un numéro attribué). Les élèves prennent les mesures nécessaires et calculent l'aire du secteur résultant. Des instructions pour effectuer le travail, des questions - des énoncés de problèmes - apparaissent à l'écran (diapos 11-14). Le représentant de chaque groupe écrit les résultats des calculs dans un tableau préparé au tableau. Les participants de chaque groupe collent le modèle du cône à partir du développement dont ils disposent. (diapositive 15)

3) Énoncé et solution du problème.

Comment calculer la surface latérale d'un cône si seuls le rayon de la base et la longueur de la génératrice du cône sont connus ? (diapositive 16)

Chaque groupe effectue les mesures nécessaires et essaie de dériver une formule pour calculer la surface requise en utilisant les données disponibles. En faisant ce travail, les élèves doivent remarquer que la circonférence de la base du cône est égale à la longueur de l'arc du secteur - le développement de la surface latérale de ce cône. (diapos 17-21) En utilisant les formules nécessaires, la formule souhaitée est dérivée. Le raisonnement des élèves devrait ressembler à ceci :

Le rayon du secteur - balayage est égal à je, la mesure du degré de l'arc est φ. L'aire du secteur est calculée par la formule : la longueur de l'arc délimitant ce secteur est égale au rayon de la base du cône R. La longueur du cercle situé à la base du cône est C = 2πR . Notez que Puisque l'aire de la surface latérale du cône est égale à l'aire de développement de sa surface latérale, alors

Ainsi, l'aire de la surface latérale du cône est calculée par la formule S DBO = πRl.

Après avoir calculé la surface latérale du modèle de cône selon la formule dérivée indépendamment, un représentant de chaque groupe écrit le résultat des calculs dans un tableau au tableau conformément aux numéros de modèle. Les résultats du calcul dans chaque ligne doivent être égaux. Sur cette base, l'enseignant détermine l'exactitude des conclusions de chaque groupe. Le tableau de résultat devrait ressembler à ceci :

Paramètres du modèle :

1. l=12 cm, φ=120°
2. l=10 cm, φ=150°
3. l=15 cm, φ=120°
4. l=10 cm, φ=170°
5. l=14 cm, φ=110°

L'approximation des calculs est associée à des erreurs de mesure.

Après vérification des résultats, la sortie des formules pour les aires des surfaces latérales et complètes du cône apparaît à l'écran (diapos 22-26) les élèves prennent des notes dans des cahiers.

Stade III. Consolidation du matériel étudié.

1) Les étudiants se voient proposer tâches pour la solution orale sur des dessins prêts à l'emploi.

Trouver les aires des surfaces totales des cônes représentés sur les figures (diapos 27-32).

2) Questions : Les aires des surfaces des cônes formées par la rotation d'un triangle rectangle autour de différentes jambes sont-elles égales ? Les élèves formulent une hypothèse et la testent. Le test d'hypothèse est effectué en résolvant des problèmes et est écrit par l'élève au tableau noir.

Donné:ΔABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a ;

BAA", ABV" - corps de révolution.

Trouver: S PPC 1 , S PPC 2 .

Figure 5 (diapositive 33)

La solution:

1) R=BC = un; S PPC 1 = S DBO 1 + S principal 1 = π une c + π une 2 \u003d π une (une + c).

2) R=CA = b; S PPC 2 = S DBO 2 + S principal 2 = π b c + π b 2 \u003d π b (b + c).

Si S PPC 1 = S PPC 2, alors une 2 + ac \u003d b 2 + bc, une 2 - b 2 + ac - bc \u003d 0, (a-b) (a + b + c) \u003d 0. Car un, b, c nombres positifs (les longueurs des côtés du triangle), l'égalité tore n'est vraie que si un =b.

Conclusion: Les aires des surfaces de deux cônes ne sont égales que si les côtés du triangle sont égaux. (diapositive 34)

3) Solution du problème du manuel : n° 565.

stade IV. Résumé de la leçon.

Devoirs: pages 55, 56 ; N° 548, N° 561. (diapositive 35)

Annonce des notes.

Conclusions pendant la leçon, répétition des principales informations reçues dans la leçon.

Littérature (diapositive 36)

1. Grades de géométrie 10-11 - Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev et al., M., Enlightenment, 2008.
2. "Énigmes mathématiques et charades" - N.V. Udaltsov, bibliothèque "Premier septembre", série "MATHÉMATIQUES", numéro 35, M., Chistye Prudy, 2010.

Nous savons ce qu'est un cône, essayons de trouver sa surface. Pourquoi est-il nécessaire de résoudre un tel problème ? Par exemple, vous devez comprendre combien de pâte ira pour faire un cône de gaufre ? Ou combien de briques faudrait-il pour poser le toit en brique d'un château ?

Il n'est pas facile de mesurer la surface latérale d'un cône. Mais imaginez la même corne enveloppée de tissu. Pour trouver la surface d'un morceau de tissu, vous devez le couper et l'étaler sur la table. Nous obtenons une figure plate, nous pouvons trouver son aire.

Riz. 1. Coupe du cône le long de la génératrice

Faisons de même avec le cône. "Découpons" sa surface latérale le long de n'importe quelle génératrice, par exemple, (voir Fig. 1).

Maintenant, nous "déroulons" la surface latérale sur un plan. Nous obtenons un secteur. Le centre de ce secteur est le sommet du cône, le rayon du secteur est égal à la génératrice du cône et la longueur de son arc coïncide avec la circonférence de la base du cône. Un tel secteur s'appelle un développement de la surface latérale du cône (voir Fig. 2).

Riz. 2. Développement de la surface latérale

Riz. 3. Mesure d'angle en radians

Essayons de trouver la superficie du secteur en fonction des données disponibles. Introduisons d'abord une notation : soit l'angle au sommet du secteur soit en radians (voir Fig. 3).

Nous rencontrerons souvent l'angle au sommet du balayage dans les tâches. En attendant, essayons de répondre à la question : cet angle ne peut-il pas s'avérer être supérieur à 360 degrés ? C'est-à-dire, ne s'avérera-t-il pas que le balayage se superposera ? Bien sûr que non. Prouvons-le mathématiquement. Laissez le balayage "se chevaucher". Cela signifie que la longueur de l'arc de balayage est supérieure à la circonférence du rayon. Mais, comme déjà mentionné, la longueur de l'arc de balayage est la circonférence du rayon. Et le rayon de la base du cône, bien sûr, est inférieur à la génératrice, par exemple, car la jambe d'un triangle rectangle est inférieure à l'hypoténuse

Rappelons ensuite deux formules du cours de planimétrie : longueur d'arc. Secteur secteur : .

Dans notre cas, le rôle est joué par la génératrice , et la longueur de l'arc est égale à la circonférence de la base du cône, c'est-à-dire. Nous avons:

On obtient finalement :

En plus de la surface latérale, on peut également trouver la surface pleine surface. Pour ce faire, ajoutez la surface de base à la surface latérale. Mais la base est un cercle de rayon , dont l'aire, selon la formule, est .

Enfin nous avons : , où est le rayon de la base du cylindre, est la génératrice.

Résolvons quelques problèmes sur les formules données.

Riz. 4. Angle souhaité

Exemple 1. Le développement de la surface latérale du cône est un secteur avec un angle au sommet. Trouvez cet angle si la hauteur du cône est de 4 cm et le rayon de la base est de 3 cm (voir Fig. 4).

Riz. 5. Triangle rectangle formant un cône

Par la première action, d'après le théorème de Pythagore, on trouve la génératrice : 5 cm (voir Fig. 5). De plus, nous savons que .

Exemple 2. L'aire de la section axiale du cône est , la hauteur est . Trouver la surface totale (voir Fig. 6).

La surface d'un cône (ou simplement la surface d'un cône) est égale à la somme des surfaces de la base et de la surface latérale.

L'aire de la surface latérale du cône est calculée par la formule : S = πR je, où R est le rayon de la base du cône, et je- génératrice d'un cône.

Puisque l'aire de la base du cône est πR 2 (comme l'aire du cercle), alors l'aire de la surface totale du cône sera égale à : πR 2 + πR je= πR (R + je).

L'obtention de la formule de l'aire de la surface latérale d'un cône peut s'expliquer par un tel raisonnement. Laissez le dessin montrer un développement de la surface latérale du cône. Nous divisons l'arc AB en autant de parties égales que possible et connectons tous les points de division avec le centre de l'arc et les points voisins entre eux par des cordes.

On obtient une série triangles égaux. L'aire de chaque triangle est Ah / 2 , où un- longueur de la base du triangle, a h- son high.

La somme des aires de tous les triangles est : Ah / 2 n = anh / 2 , où n est le nombre de triangles.

À grands nombres divisions, la somme des aires des triangles devient très proche de l'aire du développement, c'est-à-dire de l'aire de la surface latérale du cône. La somme des bases des triangles, c'est-à-dire un, devient très proche de la longueur de l'arc AB, c'est-à-dire de la circonférence de la base du cône. La hauteur de chaque triangle devient très proche du rayon de l'arc, c'est-à-dire de la génératrice du cône.

En négligeant de légères différences dans les tailles de ces quantités, nous obtenons la formule de l'aire de la surface latérale du cône (S):

S=C je / 2, où C est la circonférence de la base du cône, je- génératrice d'un cône.

Sachant que C \u003d 2πR, où R est le rayon du cercle de la base du cône, on obtient : S \u003d πR je.

Noter. Dans la formule S = C je / 2, le signe de l'égalité exacte, et non approchée, est donné, bien que sur la base du raisonnement ci-dessus, on puisse considérer cette égalité comme approchée. Mais au lycée lycée on prouve que l'égalité

S=C je / 2 est exact, pas approximatif.

Théorème. La surface latérale du cône est égale au produit de la circonférence de la base et de la moitié de la génératrice.

Inscrivons dans un cône (Fig.) pyramide correcte et désigner par des lettres R et je nombres exprimant les longueurs du périmètre de la base et de l'apothème de cette pyramide.

Alors sa surface latérale sera exprimée par le produit 1/2 R je .

Supposons maintenant que le nombre de côtés du polygone inscrit dans la base augmente indéfiniment. Puis le périmètre R tendra vers la limite prise comme la longueur C de la circonférence de la base, et l'apothème je aura comme limite un générateur conique (puisque ΔSAK implique que SA - SK
1 / 2 R je, tendra vers la limite 1/2 C L. Cette limite est prise comme la valeur de la surface latérale du cône. En désignant la surface latérale du cône par la lettre S, on peut écrire :

S = 1 / 2C L = C 1/2L

Conséquences.
1) Depuis C \u003d 2 π R, alors la surface latérale du cône s'exprime par la formule :

S=1/2 2π R L= π RL

2) Nous obtenons la surface complète du cône si nous ajoutons la surface latérale à la surface de base ; donc, en notant la surface complète par T, on aura :

T= π RL+ π R2= π R(L+R)

Théorème. La surface latérale d'un tronc de cône est égale au produit de la moitié de la somme des circonférences des bases et de la génératrice.

Inscrivons dans un tronc de cône (Fig.) des pyramide tronquée et désigner par des lettres r, r 1 et je des nombres exprimant dans les mêmes unités linéaires les longueurs des périmètres des bases inférieure et supérieure et l'apothème de cette pyramide.

Alors la surface latérale de la pyramide inscrite est 1/2 ( p + p 1) je

Avec une augmentation illimitée du nombre de faces latérales de la pyramide inscrite, les périmètres R et R 1 tendent vers les limites prises comme les longueurs C et C 1 des cercles des bases, et l'apothème je a pour limite la génératrice L du tronc de cône. Par conséquent, la valeur de la surface latérale de la pyramide inscrite tend vers la limite égale à (С + С 1) L. Cette limite est prise comme la valeur de la surface latérale du tronc de cône. En désignant la surface latérale du tronc de cône par la lettre S, on aura :

S \u003d 1 / 2 (C + C 1) L

Conséquences.
1) Si R et R 1 désignent les rayons des cercles des bases inférieure et supérieure, alors la surface latérale du tronc de cône sera :

S = 1 / 2 (2 π R+2 π R 1) L = π (R+R1)L.

2) Si dans le trapèze OO 1 A 1 A (Fig.), à partir de la rotation duquel un cône tronqué est obtenu, on trace la ligne médiane BC, alors on obtient:

BC \u003d 1 / 2 (OA + O 1 A 1) \u003d 1 / 2 (R + R 1),

R + R1 = 2BC.

Par conséquent,

S=2 π BC L,

c'est à dire. la surface latérale d'un tronc de cône est égale au produit de la circonférence de la section moyenne et de la génératrice.

3) La surface totale T d'un tronc de cône s'exprime comme suit :

T= π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)

Voici des problèmes avec les cônes, la condition est liée à sa surface. En particulier, dans certains problèmes, il est question de modifier la zone avec une augmentation (diminution) de la hauteur d'un cône ou du rayon de sa base. Théorie de la résolution de problèmes en . Considérez les tâches suivantes :

27135. La circonférence de la base du cône est 3, la génératrice est 2. Trouvez l'aire de la surface latérale du cône.

L'aire de la surface latérale du cône est:

Branchement des données :

75697. Combien de fois l'aire de la surface latérale du cône augmentera-t-elle si sa génératrice est augmentée de 36 fois et que le rayon de la base reste le même?

L'aire de la surface latérale du cône:

La génératrice est augmentée de 36 fois. Le rayon reste le même, ce qui signifie que la circonférence de la base n'a pas changé.

Ainsi, la surface de la surface latérale du cône modifié ressemblera à:

Ainsi, il augmentera de 36 fois.

*La dépendance est simple, ce problème peut donc être facilement résolu oralement.

27137. Combien de fois l'aire de la surface latérale du cône diminuera-t-elle si le rayon de sa base est réduit de 1,5 fois?

L'aire de la surface latérale du cône est:

Le rayon est réduit de 1,5 fois, soit :

Il a été constaté que la surface latérale a diminué de 1,5 fois.

27159. La hauteur du cône est de 6, la génératrice est de 10. Trouvez l'aire de sa surface totale divisée par pi.

Pleine surface du cône :

Trouver le rayon :

La hauteur et la génératrice sont connues, par le théorème de Pythagore on calcule le rayon :

De cette façon:

Divisez le résultat par Pi et notez la réponse.

76299. La surface totale du cône est de 108. Une section est dessinée parallèlement à la base du cône, divisant la hauteur en deux. Trouver la surface totale du cône tronqué.

La section passe par la mi-hauteur parallèlement à la base. Cela signifie que le rayon de la base et la génératrice du tronc de cône seront 2 fois inférieurs au rayon et à la génératrice du cône d'origine. Écrivons à quoi correspond la surface du cône de coupure:

Je l'ai fait aller 4 fois moins de surface surface de l'original, c'est-à-dire 108:4 = 27.

* Étant donné que le cône d'origine et le cône coupé sont des corps similaires, il était également possible d'utiliser la propriété de similarité :

27167. Le rayon de la base du cône est de 3, la hauteur est de 4. Trouvez la surface totale du cône divisée par pi.

La formule de la surface totale d'un cône est :

Le rayon est connu, il faut trouver la génératrice.

D'après le théorème de Pythagore :

De cette façon:

Divisez le résultat par Pi et notez la réponse.

Une tâche. L'aire de la surface latérale du cône est quatre fois l'aire de la base. Trouver quelque chose est égal au cosinus l'angle entre la génératrice du cône et le plan de la base.

L'aire de la base du cône est de :

Autrement dit, le cosinus sera égal à :

Réponse : 0,25

Décidez vous-même :

27136. Combien de fois l'aire de la surface latérale du cône augmentera-t-elle si sa génératrice est augmentée de 3 fois?

27160. L'aire de la surface latérale du cône est le double de l'aire de la base. Trouver l'angle entre la génératrice du cône et le plan de la base. Donnez votre réponse en degrés. .

27161. La surface totale du cône est de 12. Une section est dessinée parallèlement à la base du cône, divisant la hauteur en deux. Trouver la surface totale du cône tronqué.

C'est tout. Bonne chance à toi!

Cordialement, Alexandre.

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