Pyramide. Pyramide tronquée

Pyramide s'appelle un polyèdre dont l'une des faces est un polygone ( base ), et toutes les autres faces sont des triangles avec un sommet commun ( faces latérales ) (fig. 15). La pyramide s'appelle corriger , si sa base est un polygone régulier et que le sommet de la pyramide est projeté au centre de la base (Fig. 16). Une pyramide triangulaire dont toutes les arêtes sont égales est appelée tétraèdre .

Côte latérale la pyramide est appelée le côté de la face latérale qui n'appartient pas à la base Hauteur pyramide est la distance entre son sommet et le plan de la base. Toutes les arêtes latérales d'une pyramide régulière sont égales les unes aux autres, toutes les faces latérales sont égales triangles isocèles. La hauteur de la face latérale d'une pyramide régulière tirée du sommet est appelée apothème . section diagonale Une section d'une pyramide est appelée un plan passant par deux arêtes latérales n'appartenant pas à la même face.

Surface latérale pyramide est appelée la somme des aires de toutes les faces latérales. Région pleine surface est la somme des aires de toutes les faces latérales et de la base.

Théorèmes

1. Si dans une pyramide tous les bords latéraux sont également inclinés par rapport au plan de la base, alors le sommet de la pyramide est projeté au centre du cercle circonscrit près de la base.

2. Si dans une pyramide tous les bords latéraux ont des longueurs égales, alors le sommet de la pyramide est projeté au centre du cercle circonscrit près de la base.

3. Si dans la pyramide toutes les faces sont également inclinées par rapport au plan de la base, alors le sommet de la pyramide est projeté au centre du cercle inscrit dans la base.

Pour calculer le volume d'une pyramide arbitraire, la formule est correcte :

où V- le volume;

S principal- surface de base ;

H est la hauteur de la pyramide.

Pour une pyramide régulière, les formules suivantes sont vraies :

où p- le périmètre de la base ;

h un- apothème ;

H- la taille;

S plein

Côté S

S principal- surface de base ;

V est le volume d'une pyramide régulière.

pyramide tronquée appelée la partie de la pyramide enserrée entre la base et le plan de coupe parallèle à la base de la pyramide (Fig. 17). Pyramide tronquée correcte appelée la partie d'une pyramide régulière, enserrée entre la base et un plan de coupe parallèle à la base de la pyramide.

Fondations pyramide tronquée - polygones similaires. Faces latérales - trapèze. Hauteur pyramide tronquée est appelée la distance entre ses bases. Diagonale Une pyramide tronquée est un segment reliant ses sommets qui ne se trouvent pas sur la même face. section diagonale Une section d'une pyramide tronquée est appelée un plan passant par deux arêtes latérales n'appartenant pas à la même face.

Pour une pyramide tronquée, les formules sont valables :

(4)

où S 1 , S 2 - zones des bases supérieure et inférieure;

S plein est la surface totale;

Côté S est la surface latérale ;

H- la taille;

V est le volume de la pyramide tronquée.

Pour une pyramide tronquée régulière, la formule suivante est vraie :

où p 1 , p 2 - périmètres de base;

h un- l'apothème d'une pyramide tronquée régulière.

Exemple 1 Dans une pyramide triangulaire régulière, l'angle dièdre à la base est de 60º. Trouver la tangente de la pente côte latérale au plan de base.

La solution. Faisons un dessin (Fig. 18).

La pyramide est régulière, ce qui signifie que la base est un triangle équilatéral et que toutes les faces latérales sont des triangles isocèles égaux. Angle dièdreà la base - c'est l'angle d'inclinaison de la face latérale de la pyramide par rapport au plan de la base. L'angle linéaire sera l'angle un entre deux perpendiculaires : c'est-à-dire Le sommet de la pyramide est projeté au centre du triangle (le centre du cercle circonscrit et le cercle inscrit dans le triangle abc). L'angle d'inclinaison de la nervure latérale (par exemple SB) est l'angle entre l'arête elle-même et sa projection sur le plan de base. Pour côte SB cet angle sera l'angle SMD. Pour trouver la tangente, vous devez connaître les jambes ALORS et OB. Soit la longueur du segment BD est 3 un. point O segment de ligne BD est divisé en parties : et De nous trouvons ALORS: A partir de nous trouvons :

Réponse:

Exemple 2 Trouver le volume d'un tronqué régulier pyramide quadrangulaire, si les diagonales de ses bases sont cm et cm, et la hauteur est de 4 cm.

La solution. Pour trouver le volume d'une pyramide tronquée, on utilise la formule (4). Pour trouver les aires des bases, vous devez trouver les côtés des carrés de base, en connaissant leurs diagonales. Les côtés des bases mesurent respectivement 2 cm et 8 cm, ce qui signifie les aires des bases et En substituant toutes les données dans la formule, nous calculons le volume de la pyramide tronquée :

Réponse: 112 cm3.

Exemple 3 Trouver l'aire de la face latérale d'une pyramide tronquée triangulaire régulière dont les côtés des bases sont de 10 cm et 4 cm, et la hauteur de la pyramide est de 2 cm.

La solution. Faisons un dessin (Fig. 19).

La face latérale de cette pyramide est un trapèze isocèle. Pour calculer l'aire d'un trapèze, il faut connaître les bases et la hauteur. Les bases sont données par condition, seule la hauteur reste inconnue. Trouvez-le d'où MAIS 1 E perpendiculaire à partir d'un point MAIS 1 sur le plan de la base inférieure, UN 1 ré- perpendiculaire de MAIS 1 sur CA. MAIS 1 E\u003d 2 cm, car c'est la hauteur de la pyramide. Pour trouver DE nous ferons un dessin supplémentaire, dans lequel nous représenterons une vue de dessus (Fig. 20). Point O- projection des centres des bases supérieure et inférieure. puisque (voir Fig. 20) et D'autre part D'ACCORD est le rayon du cercle inscrit et OM est le rayon du cercle inscrit :

MK=DE.

D'après le théorème de Pythagore de

Zone du visage latéral :

Réponse:

Exemple 4 A la base de la pyramide se trouve un trapèze isocèle dont les bases un et b (un> b). Chaque face latérale forme un angle égal au plan de la base de la pyramide j. Trouver la surface totale de la pyramide.

La solution. Faisons un dessin (Fig. 21). Superficie totale de la pyramide SABCD est égal à la somme des aires et à l'aire du trapèze A B C D.

Nous utilisons l'énoncé que si toutes les faces de la pyramide sont également inclinées par rapport au plan de la base, alors le sommet est projeté au centre du cercle inscrit dans la base. Point O- projection de vertex Sà la base de la pyramide. Triangle GAZON est la projection orthogonale du triangle SDR au plan de base. D'après le théorème sur l'aire de la projection orthogonale d'une figure plane, on obtient :

De même, cela signifie Ainsi, le problème a été réduit à trouver l'aire du trapèze A B C D. Dessiner un trapèze A B C D séparément (fig. 22). Point O est le centre d'un cercle inscrit dans un trapèze.

Puisqu'un cercle peut s'inscrire dans un trapèze, alors ou Par le théorème de Pythagore on a

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La capacité de calculer le volume des figures spatiales est importante pour résoudre un certain nombre de problèmes pratiques en géométrie. L'une des formes les plus courantes est la pyramide. Dans cet article, nous considérerons les pyramides, à la fois pleines et tronquées.

Pyramide en tant que figure tridimensionnelle

Tout le monde connaît les pyramides égyptiennes, donc ils ont une bonne idée de quelle figure sera discuté. Néanmoins, les structures en pierre égyptiennes ne sont qu'un cas particulier d'une immense classe de pyramides.

L'objet géométrique considéré dans le cas général est une base polygonale dont chaque sommet est relié à un point de l'espace qui n'appartient pas au plan de base. Cette définition conduit à une figure constituée d'un n-gone et de n triangles.

Toute pyramide est composée de n+1 faces, 2*n arêtes et n+1 sommets. La figure considérée étant un polyèdre parfait, les nombres d'éléments marqués obéissent à l'équation d'Euler :

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Le polygone situé à la base donne le nom de la pyramide, par exemple, triangulaire, pentagonale, etc. Un ensemble de pyramides avec différentes bases est montré sur la photo ci-dessous.

Le point où n triangles de la figure sont connectés est appelé le sommet de la pyramide. Si une perpendiculaire est abaissée de celle-ci à la base et qu'elle la coupe au centre géométrique, alors une telle figure sera appelée une ligne droite. Si cette condition n'est pas remplie, alors il y a une pyramide inclinée.

Une figure droite, dont la base est formée par un n-gone équilatéral (équiangulaire), est dite régulière.

Formule de volume pyramidal

Pour calculer le volume de la pyramide, on utilise le calcul intégral. Pour ce faire, on divise la figure par des plans sécants parallèles à la base en une infinité de couches minces. La figure ci-dessous montre une pyramide quadrangulaire de hauteur h et de côté L, dans laquelle une fine couche de section est marquée d'un quadrilatère.

La surface de chacune de ces couches peut être calculée par la formule:

A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .

Ici A 0 est l'aire de la base, z est la valeur de la coordonnée verticale. On voit que si z = 0, alors la formule donne la valeur A 0 .

Pour obtenir la formule du volume de la pyramide, il faut calculer l'intégrale sur toute la hauteur de la figure, soit :

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

En substituant la dépendance A(z) et en calculant la primitive, on arrive à l'expression :

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.

Nous avons obtenu la formule du volume d'une pyramide. Pour trouver la valeur de V, il suffit de multiplier la hauteur de la figure par l'aire de la base, puis de diviser le résultat par trois.

Notez que l'expression résultante est valide pour calculer le volume d'une pyramide d'un type arbitraire. Autrement dit, il peut être incliné et sa base peut être un n-gone arbitraire.

et son volume

Reçu au paragraphe ci-dessus formule générale pour le volume peut être spécifié dans le cas d'une pyramide avec fondation droite. La surface d'une telle base est calculée par la formule suivante:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Ici L est la longueur du côté polygone régulierà n sommets. Le symbole pi est le nombre pi.

En remplaçant l'expression de A 0 dans la formule générale, on obtient le volume d'une pyramide régulière :

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Par exemple, pour pyramide triangulaire cette formule conduit à l'expression suivante :

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * h.

Pour une pyramide quadrangulaire régulière, la formule du volume prend la forme :

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h.

Définition des volumes pyramides régulières nécessite la connaissance du côté de leur base et de la hauteur de la figure.

Pyramide tronquée

Supposons que nous ayons pris une pyramide arbitraire et coupé une partie de sa surface latérale contenant le sommet. La figure restante s'appelle une pyramide tronquée. Il se compose déjà de deux bases n-gonales et de n trapèzes qui les relient. Si le plan de coupe était parallèle à la base de la figure, une pyramide tronquée est formée avec des bases similaires parallèles. Autrement dit, les longueurs des côtés de l'un d'eux peuvent être obtenues en multipliant les longueurs de l'autre par un certain coefficient k.

La figure ci-dessus en montre une régulière tronquée, on voit que sa base supérieure, comme la base inférieure, est formée par un hexagone régulier.

La formule qui peut être dérivée à l'aide d'un calcul intégral similaire à ce qui précède est :

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

Où A 0 et A 1 sont les aires des bases inférieure (grande) et supérieure (petite), respectivement. La variable h désigne la hauteur de la pyramide tronquée.

Le volume de la pyramide de Khéops

Il est curieux de résoudre le problème de la détermination du volume que contient la plus grande pyramide égyptienne.

En 1984, les égyptologues britanniques Mark Lehner et Jon Goodman ont établi les dimensions exactes de la pyramide de Khéops. Sa hauteur d'origine était de 146,50 mètres (actuellement environ 137 mètres). La longueur moyenne de chacun des quatre côtés de la structure était de 230,363 mètres. La base de la pyramide est carrée avec une grande précision.

Utilisons les chiffres donnés pour déterminer le volume de ce géant de pierre. Puisque la pyramide est un quadrangulaire régulier, alors la formule est valable pour elle :

En branchant les chiffres, on obtient :

V 4 \u003d 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.

Le volume de la pyramide de Khéops est de près de 2,6 millions de m 3. A titre de comparaison, notons que la piscine olympique a un volume de 2,5 mille m 3. C'est-à-dire que pour remplir toute la pyramide de Khéops, plus de 1000 piscines de ce type seront nécessaires !