Quel est le volume d'un triangle régulier. Volume d'une pyramide triangulaire
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Une pyramide est un polyèdre avec un polygone à sa base. Toutes les faces, à leur tour, forment des triangles qui convergent vers un sommet. Les pyramides sont triangulaires, quadrangulaires, etc. Afin de déterminer quelle pyramide se trouve devant vous, il suffit de compter le nombre de coins à sa base. La définition de "hauteur de la pyramide" se retrouve très souvent dans les problèmes de géométrie du programme scolaire. Dans l'article, nous essaierons de considérer différentes façons son emplacement.
Parties de la pyramide
Chaque pyramide est constituée des éléments suivants :
- faces latérales qui ont trois coins et convergent vers le haut ;
- l'apothème représente la hauteur qui descend de son sommet ;
- le sommet de la pyramide est un point qui relie les bords latéraux, mais ne se situe pas dans le plan de la base;
- une base est un polygone qui ne contient pas de sommet ;
- la hauteur de la pyramide est un segment qui coupe le sommet de la pyramide et forme un angle droit avec sa base.
Comment trouver la hauteur d'une pyramide si son volume est connu
Grâce à la formule V \u003d (S * h) / 3 (dans la formule V est le volume, S est la surface de base, h est la hauteur de la pyramide), nous constatons que h \u003d (3 * V) / S . Pour consolider le matériel, résolvons immédiatement le problème. La base triangulaire mesure 50 cm 2 tandis que son volume est de 125 cm 3 . hauteur inconnue pyramide triangulaire, que nous devons trouver. Tout est simple ici : nous insérons les données dans notre formule. Nous obtenons h \u003d (3 * 125) / 50 \u003d 7,5 cm.
Comment trouver la hauteur d'une pyramide si la longueur de la diagonale et son arête sont connues
Comme on s'en souvient, la hauteur de la pyramide forme un angle droit avec sa base. Et cela signifie que la hauteur, le bord et la moitié de la diagonale forment ensemble Beaucoup, bien sûr, se souviennent du théorème de Pythagore. Connaissant deux dimensions, il ne sera pas difficile de trouver la troisième valeur. Rappelons le théorème bien connu a² = b² + c², où a est l'hypoténuse, et dans notre cas l'arête de la pyramide ; b - la première jambe ou la moitié de la diagonale et c - respectivement, la deuxième jambe ou la hauteur de la pyramide. D'après cette formule, c² = a² - b².
Maintenant le problème : dans une pyramide régulière, la diagonale est de 20 cm, tandis que la longueur de l'arête est de 30 cm, il faut trouver la hauteur. Nous résolvons: c² \u003d 30² - 20² \u003d 900-400 \u003d 500. D'où c \u003d √ 500 \u003d environ 22,4.
Comment trouver la hauteur d'une pyramide tronquée
C'est un polygone qui a une section parallèle à sa base. La hauteur d'une pyramide tronquée est le segment qui relie ses deux bases. La hauteur peut être trouvée à pyramide correcte, si les longueurs des diagonales des deux bases, ainsi que l'arête de la pyramide, sont connues. Soit la diagonale de la plus grande base d1, tandis que la diagonale de la plus petite base est d2 et que l'arête a une longueur l. Pour trouver la hauteur, vous pouvez abaisser les hauteurs des deux points supérieurs opposés du diagramme à sa base. On voit qu'on a deux triangle rectangle, il reste à trouver les longueurs de leurs pattes. Pour ce faire, soustrayez la plus petite diagonale de la plus grande diagonale et divisez par 2. Nous trouverons donc une jambe : a \u003d (d1-d2) / 2. Après cela, selon le théorème de Pythagore, il suffit de trouver la deuxième jambe, qui est la hauteur de la pyramide.
Voyons maintenant tout cela en pratique. Nous avons une tâche devant nous. La pyramide tronquée a un carré à la base, la longueur diagonale de la plus grande base est de 10 cm, tandis que la plus petite est de 6 cm et le bord est de 4 cm.Il est nécessaire de trouver la hauteur. Pour commencer, nous trouvons une jambe: a \u003d (10-6) / 2 \u003d 2 cm. Une jambe mesure 2 cm et l'hypoténuse est de 4 cm. Il s'avère que la deuxième jambe ou hauteur sera de 16- 4 \u003d 12, c'est-à-dire h \u003d √12 = environ 3,5 cm.
La principale caractéristique de tout figure géométrique dans l'espace est son volume. Dans cet article, nous examinerons ce qu'est une pyramide avec un triangle à la base, et montrerons également comment trouver le volume d'une pyramide triangulaire - régulière pleine et tronquée.
Qu'est-ce qu'une pyramide triangulaire ?
Tout le monde a entendu parler des pyramides égyptiennes antiques, pourtant elles sont quadrangulaires régulières, et non triangulaires. Expliquons comment obtenir une pyramide triangulaire.
Prenons un triangle arbitraire et connectons tous ses sommets avec un point situé à l'extérieur du plan de ce triangle. La figure résultante sera appelée une pyramide triangulaire. Il est illustré dans la figure ci-dessous.
Comme vous pouvez le voir, la figure considérée est formée de quatre triangles, qui dans le cas général sont différents. Chaque triangle est les côtés de la pyramide ou sa face. Cette pyramide est souvent appelée tétraèdre, c'est-à-dire une figure tridimensionnelle à quatre côtés.
En plus des côtés, la pyramide a aussi des arêtes (il y en a 6) et des sommets (il y en a 4).
à base triangulaire
La figure, obtenue à l'aide d'un triangle quelconque et d'un point de l'espace, sera une pyramide inclinée irrégulière dans le cas général. Imaginons maintenant que le triangle d'origine ait les mêmes côtés et qu'un point de l'espace soit situé exactement au-dessus de son centre géométrique à une distance h du plan du triangle. La pyramide construite à partir de ces données initiales sera correcte.
Évidemment, le nombre d'arêtes, de côtés et de sommets d'une pyramide triangulaire régulière sera le même que celui d'une pyramide construite à partir d'un triangle arbitraire.
Cependant, le chiffre correct a quelques poinçons:
- sa hauteur, tirée du haut, coupera exactement la base au centre géométrique (le point d'intersection des médianes);
- surface latérale une telle pyramide est formée de trois triangles identiques isocèles ou équilatéraux.
La pyramide triangulaire régulière n'est pas seulement un objet géométrique purement théorique. Certaines structures dans la nature ont sa forme, par exemple cellule de cristal diamant, où un atome de carbone est relié à quatre des mêmes atomes par des liaisons covalentes, ou une molécule de méthane, où les sommets de la pyramide sont formés par des atomes d'hydrogène.
pyramide triangulaire
Vous pouvez déterminer le volume d'absolument n'importe quelle pyramide avec un n-gon arbitraire à la base en utilisant l'expression suivante :
Ici, le symbole S o désigne l'aire de la base, h est la hauteur de la figure dessinée à la base marquée depuis le sommet de la pyramide.
Puisque l'aire d'un triangle arbitraire est égale à la moitié du produit de la longueur de son côté a et de l'apothème h a abaissé de ce côté, la formule du volume d'une pyramide triangulaire peut s'écrire comme suit :
V = 1/6 × une × h une × h
Pour un type générique, la définition de la hauteur est tâche ardue. Pour le résoudre, le plus simple est d'utiliser la formule de la distance entre un point (sommet) et un plan (base triangulaire), représentée par l'équation vue générale.
Pour le bon, il a un look spécifique. L'aire de la base (un triangle équilatéral) est égale à:
On le substitue dans l'expression générale de V, on obtient :
V = √3/12 × une 2 × h
Un cas particulier est la situation où tous les côtés d'un tétraèdre se révèlent être des triangles équilatéraux identiques. Dans ce cas, son volume ne peut être déterminé qu'à partir de la connaissance du paramètre de son arête a. L'expression correspondante ressemble à :
Pyramide tronquée
Si la partie supérieure contenant le sommet est coupée d'une pyramide triangulaire régulière, alors une figure tronquée sera obtenue. Contrairement à l'original, il sera composé de deux bases triangulaires équilatérales et de trois trapèzes isocèles.
La photo ci-dessous montre à quoi ressemble une pyramide triangulaire tronquée régulière en papier.
Pour déterminer le volume d'une pyramide triangulaire tronquée, il est nécessaire de connaître ses trois caractéristiques linéaires : chacun des côtés des bases et la hauteur de la figure, égale à la distance entre les bases supérieure et inférieure. La formule correspondante pour le volume s'écrit comme suit :
V = √3/12 × h × (UNE 2 + une 2 + UNE × une)
Ici, h est la hauteur de la figure, A et a sont les longueurs des côtés des grands (inférieurs) et petits (supérieurs) triangles équilatéraux, respectivement.
La solution du problème
Pour rendre les informations de l'article plus claires pour le lecteur, nous montrerons sur bon exemple comment utiliser certaines des formules écrites.
Soit le volume d'une pyramide triangulaire égal à 15 cm 3. On sait que le chiffre est correct. Vous devriez trouver l'apothème a b du bord latéral si l'on sait que la hauteur de la pyramide est de 4 cm.
Puisque le volume et la hauteur de la figure sont connus, vous pouvez utiliser la formule appropriée pour calculer la longueur du côté de sa base. Nous avons:
V = √3/12 × une 2 × h =>
a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 cm
une b \u003d √ (h 2 + une 2 / 12) \u003d √ (16 + 25,98 2 / 12) \u003d 8,5 cm
La longueur calculée de l'apothème de la figure s'est avérée supérieure à sa hauteur, ce qui est vrai pour tout type de pyramide.
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Objectifs de la leçon.
Pédagogique : dériver une formule pour calculer le volume d'une pyramide
Développer: développer l'intérêt cognitif des étudiants pour les disciplines académiques, la capacité d'appliquer leurs connaissances dans la pratique.
Pédagogique : cultiver l'attention, la précision, élargir les horizons des élèves.
Equipements et matériels : ordinateur, écran, projecteur, présentation « Volume de la pyramide ».
1. Relevé frontal. Diapositives 2, 3
Ce qu'on appelle une pyramide, la base de la pyramide, les nervures, la hauteur, l'axe, l'apothème. Quelle pyramide est appelée pyramide régulière, tétraèdre, tronquée ?
Pyramide - un polyèdre constitué d'un plat polygone, points, ne se situant pas dans le plan de ce polygone et tous segments, reliant ce point aux points du polygone.
Ce point appelé sommet pyramides, et un polygone plat est la base de la pyramide. segments, reliant le sommet de la pyramide au sommet de la base, sont appelés travers de porc . Hauteur pyramides - perpendiculaire, abaissé du sommet de la pyramide au plan de la base. Apothème - hauteur du bord latéral pyramide correcte. La pyramide, qui à la base mensonges corrects n-gon, un base de hauteur coïncide avec centre de fondation appelé corriger pyramide n-gonale. axe Une pyramide régulière est appelée une droite contenant sa hauteur. Une pyramide triangulaire régulière est appelée tétraèdre. Si la pyramide est traversée par un plan parallèle au plan de la base, alors elle coupera la pyramide, similaire donné. Le reste s'appelle pyramide tronquée.
2. Dérivation de la formule de calcul du volume de la pyramide V=SH/3 Diapositives 4, 5, 6
1. Soit SABC une pyramide triangulaire de sommet S et de base ABC.
2. Complétez cette pyramide avec un prisme triangulaire avec la même base et la même hauteur.
3. Ce prisme est composé de trois pyramides :
1) cette pyramide SABC.
2) pyramides SCC 1 B 1 .
3) et les pyramides SCBB 1 .
4. Les deuxième et troisième pyramides ont des bases égales CC 1 B 1 et B 1 BC et la hauteur totale tirée du sommet S à la face du parallélogramme BB 1 C 1 C. Par conséquent, elles ont des volumes égaux.
5. Les première et troisième pyramides ont également des bases égales SAB et BB 1 S et des hauteurs coïncidentes tirées du sommet C à la face du parallélogramme ABB 1 S. Par conséquent, elles ont également des volumes égaux.
Cela signifie que les trois pyramides ont le même volume. Comme la somme de ces volumes est égale au volume du prisme, les volumes des pyramides sont égaux à SH/3.
Le volume de toute pyramide triangulaire est égal au tiers de la surface de la base multiplié par la hauteur.
3. Consolidation du nouveau matériel. Solution d'exercices.
1) Tâche № 33 du manuel A.N. Pogorelov. Diapositives 7, 8, 9
Du côté de la base ? et nervure latérale b trouver le volume d'une pyramide régulière, à la base de laquelle se trouve :
1) triangulaire,
2) quadrilatère,
3) hexagone.
Dans une pyramide régulière, la hauteur passe par le centre d'un cercle circonscrit près de la base. Puis : (Annexe)
4. Informations historiques sur les pyramides. Diapositives 15, 16, 17
Le premier de nos contemporains qui a établi un certain nombre de phénomènes inhabituels associés à la pyramide a été le scientifique français Antoine Bovy. En explorant la pyramide de Khéops dans les années 30 du XXe siècle, il a découvert que les corps de petits animaux entrés accidentellement dans la salle royale étaient momifiés. Bovi s'en est expliqué la raison par la forme de la pyramide et, en fin de compte, ne s'est pas trompé. Son travail a constitué la base recherche contemporaine, à la suite de quoi, au cours des 20 dernières années, de nombreux livres et publications sont apparus confirmant que l'énergie des pyramides peut avoir une importance pratique.
Mystère des pyramides
Certains chercheurs affirment que la pyramide contient une énorme quantité d'informations sur la structure de l'Univers, du système solaire et de l'homme, codées sous sa forme géométrique, ou plutôt sous la forme d'un octaèdre, dont la moitié est la pyramide. La pyramide avec le haut symbolise la vie, le haut vers le bas - la mort, autre monde. Tout comme les composants de l'étoile de David (Magen David), où le triangle dirigé vers le haut symbolise l'ascension vers le Mental supérieur, Dieu, et le triangle, abaissé avec son sommet vers le bas, symbolise la descente de l'âme vers la Terre, l'existence matérielle ...
La valeur numérique du code par lequel les informations sur l'Univers sont cryptées dans la pyramide, le nombre 365, n'a pas été choisie par hasard. Tout d'abord, c'est le cycle de vie annuel de notre planète. De plus, le nombre 365 est composé de trois chiffres 3, 6 et 5. Que signifient-ils ? Si dans système solaire Le soleil passe au numéro 1, Mercure - 2, Vénus - 3, Terre - 4, Mars - 5, Jupiter - 6, Saturne - 7, Uranus - 8, Neptune - 9, Pluton - 10, puis 3 est Vénus, 6 - Jupiter et 5 - Mars. Par conséquent, la Terre est liée d'une manière particulière à ces planètes. En additionnant les nombres 3, 6 et 5, nous obtenons 14, dont 1 est le Soleil et 4 est la Terre.
Le nombre 14 en général a une signification globale : en particulier, la structure des mains humaines est basée sur celui-ci, le nombre total de phalanges des doigts de chacun étant également de 14. Ce code est également lié à la constellation Ursa Major , qui comprend notre Soleil, et dans laquelle c'était une fois une autre étoile qui a détruit Phaeton, une planète située entre Mars et Jupiter, après quoi Pluton est apparu dans le système solaire, et les caractéristiques des autres planètes ont changé.
De nombreuses sources ésotériques affirment que l'humanité de la Terre a déjà connu quatre fois une catastrophe mondiale. La troisième race Lémurienne connaissait la science Divine de l'Univers, alors cette doctrine secrète n'était transmise qu'aux initiés. Au début des cycles et demi-cycles de l'année sidérale, ils ont construit les pyramides. Ils ont failli découvrir le code de la vie. La civilisation de l'Atlantide a réussi beaucoup de choses, mais à un certain niveau de connaissance, elles ont été arrêtées par une autre catastrophe planétaire, accompagnée d'un changement de races. Probablement, les initiés ont voulu nous faire comprendre que la connaissance des lois cosmiques est incrustée dans les pyramides...
Des dispositifs spéciaux en forme de pyramides neutralisent le rayonnement électromagnétique négatif sur une personne provenant d'un ordinateur, d'un téléviseur, d'un réfrigérateur et d'autres appareils ménagers.
Dans l'un des livres, un cas est décrit lorsqu'une pyramide installée à l'intérieur d'une voiture a réduit la consommation de carburant et réduit la teneur en CO dans les gaz d'échappement.
Les graines de cultures maraîchères vieillies en pyramides avaient une meilleure germination et un meilleur rendement. Les publications recommandaient même de faire tremper les graines avant de les semer dans de l'eau pyramidale.
Il a été démontré que les pyramides ont des effets bénéfiques sur situation écologique. Éliminer les zones pathogènes dans les appartements, les bureaux et les zones suburbaines, créant une aura positive.
Le chercheur néerlandais Paul Dickens dans son livre donne des exemples des propriétés curatives des pyramides. Il a remarqué qu'elles peuvent être utilisées pour soulager les maux de tête, les douleurs articulaires, arrêter les saignements avec de petites coupures, et que l'énergie des pyramides stimule le métabolisme et renforce le système immunitaire.
Dans certaines publications modernes, il est noté que les médicaments vieillis dans la pyramide raccourcissent la durée du traitement et que le matériau du pansement, saturé d'énergie positive, favorise la cicatrisation des plaies.
Les crèmes et onguents cosmétiques améliorent leur effet.
Les boissons, y compris l'alcool, améliorent leur goût et l'eau contenue dans la vodka à 40% devient curative. Certes, pour charger une bouteille standard de 0,5 litre d'énergie positive, vous avez besoin d'une pyramide haute.
Un article de journal dit que si vous stockez des bijoux sous une pyramide, ils s'auto-nettoient et acquièrent un éclat particulier, tandis que les pierres précieuses et semi-précieuses accumulent de la bioénergie positive puis la libèrent progressivement.
Selon des scientifiques américains, les produits alimentaires, tels que les céréales, la farine, le sel, le sucre, le café, le thé, après avoir été dans la pyramide, améliorent leur goût et les cigarettes bon marché deviennent comme leurs nobles homologues.
Cela peut ne pas être pertinent pour beaucoup, mais les vieilles lames de rasoir s'auto-affûtent dans une petite pyramide, et l'eau ne gèle pas dans une grande pyramide à -40 degrés Celsius.
Selon la plupart des chercheurs, tout cela est la preuve de l'existence de l'énergie des pyramides.
Au cours des 5000 ans de son existence, les pyramides sont devenues une sorte de symbole qui personnifie le désir de l'homme d'atteindre le sommet de la connaissance.
5. Résumer la leçon.
Bibliographie.
1) http://schools.techno.ru
2) Pogorelov A. V. Geometry 10-11, maison d'édition "Enlightenment".
3) Encyclopédie "Arbre de la Connaissance" Marshall K.
L'une des figures volumétriques les plus simples est une pyramide triangulaire, car elle se compose du plus petit nombre de faces à partir desquelles une figure peut être formée dans l'espace. Dans cet article, nous examinerons des formules avec lesquelles vous pouvez trouver le volume d'une pyramide régulière triangulaire.
pyramide triangulaire
Selon définition commune Une pyramide est un polygone dont tous les sommets sont reliés à un point qui n'est pas situé dans le plan de ce polygone. Si ce dernier est un triangle, alors la figure entière s'appelle une pyramide triangulaire.
La pyramide considérée est constituée d'une base (triangle) et de trois faces latérales (triangles). Le point où les trois faces latérales sont reliées est appelé le sommet de la figure. La perpendiculaire tombée à la base à partir de ce sommet est la hauteur de la pyramide. Si le point d'intersection de la perpendiculaire avec la base coïncide avec le point d'intersection des médianes du triangle à la base, alors on parle de pyramide régulière. Sinon, ce sera en pente.
Comme on l'a dit, la base d'une pyramide triangulaire peut être un triangle général. Cependant, si elle est équilatérale et que la pyramide elle-même est droite, alors ils parlent de la bonne figure tridimensionnelle.
Toute pyramide triangulaire a 4 faces, 6 arêtes et 4 sommets. Si les longueurs de toutes les arêtes sont égales, une telle figure s'appelle un tétraèdre.
Le volume d'une pyramide triangulaire de type général
Avant d'écrire la formule du volume d'une pyramide triangulaire régulière, nous donnons une expression pour cela quantité physique pour une pyramide générale. Cette expression ressemble à :
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Ici S o est l'aire de la base, h est la hauteur de la figure. Cette égalité sera valable pour tout type de base du polygone pyramidal, ainsi que pour le cône. Si à la base il y a un triangle ayant une longueur de côté a et une hauteur h o abaissée, alors la formule du volume s'écrira comme suit :
V = 1/6*a*h o *h.
Formules pour le volume d'une pyramide triangulaire régulière
Une pyramide triangulaire régulière a un triangle équilatéral à sa base. On sait que la hauteur de ce triangle est liée à la longueur de son côté par l'égalité :
En substituant cette expression dans la formule du volume d'une pyramide triangulaire, écrite au paragraphe précédent, on obtient :
V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.
Le volume d'une pyramide régulière à base triangulaire est fonction de la longueur du côté de la base et de la hauteur de la figure.
Depuis tout polygone régulier peut s'inscrire dans un cercle dont le rayon détermine de manière unique la longueur du côté du polygone, alors cette formule peut s'écrire en fonction du rayon r correspondant :
V = √3/4*h*r2.
Cette formule est facile à obtenir à partir de la précédente, étant donné que le rayon r du cercle circonscrit passant par la longueur du côté a du triangle est déterminé par l'expression :
La tâche de déterminer le volume d'un tétraèdre
Montrons comment utiliser les formules ci-dessus pour résoudre des problèmes de géométrie spécifiques.
On sait que le tétraèdre a une longueur d'arête de 7 cm.Trouvez le volume d'un tétraèdre-pyramide triangulaire régulier.
Rappelons qu'un tétraèdre est une pyramide triangulaire régulière dont toutes les bases sont égales les unes aux autres. Pour utiliser la formule du volume d'une pyramide triangulaire régulière, vous devez calculer deux quantités :
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- la longueur du côté du triangle;
- hauteur de la figure.
La première valeur est connue à partir de l'état du problème :
Pour déterminer la hauteur, considérez le chiffre indiqué sur la figure.
Le triangle marqué ABC est un triangle rectangle dont l'angle ABC mesure 90o. Le côté AC est l'hypoténuse dont la longueur est a. Par un simple raisonnement géométrique, on peut montrer que le côté BC a pour longueur :
Notez que la longueur BC est le rayon du cercle circonscrit autour du triangle.
h \u003d AB \u003d √ (AC 2 - BC 2) \u003d √ (a 2 - a 2 / 3) \u003d a * √ (2/3).
Vous pouvez maintenant substituer h et a dans la formule correspondante pour le volume :
V = √3/12*une 2 *une*√(2/3) = √2/12*une 3 .
Ainsi, nous avons obtenu la formule du volume d'un tétraèdre. On voit que le volume ne dépend que de la longueur de la nervure. Si nous substituons la valeur de la condition du problème dans l'expression, alors nous obtenons la réponse :
V \u003d √2 / 12 * 7 3 ≈ 40,42 cm 3.
Si on compare cette valeur avec le volume d'un cube qui a la même arête, on obtient que le volume d'un tétraèdre est 8,5 fois inférieur. Cela indique que le tétraèdre est une figure compacte, qui est réalisée dans certaines substances naturelles. Par exemple, la molécule de méthane est tétraédrique et chaque atome de carbone du diamant est relié à quatre autres atomes pour former un tétraèdre.
