Der Begriff der Produktionsfunktion und seine ökonomische Bedeutung. Essenz und Haupttypen von Produktionsfunktionen

Föderale Agentur für Bildung der Russischen Föderation

Staatliche Bildungseinrichtung der Höheren Berufsbildung

"Staatliche Universität des Südurals"

Fakultät für Mechanik und Mathematik

Institut für Angewandte Mathematik und Informatik

Produktionsfunktion der Firma: Wesen, Typen, Anwendung.

ERLÄUTERUNG ZUR KURSARBEIT (PROJEKT)

in der Disziplin (Vertiefung) "Mikroökonomie"

SUSU–080116 . 2010.705.PZKR

Leiter, außerordentlicher Professor

V.P. Borodkin

Studentengruppe MM-140

N.N. Basalaeva

2010

Arbeit (Projekt) ist geschützt

mit einer Bewertung (in Worten, Zahlen)

___________________________

2010

Tscheljabinsk 2010

EINFÜHRUNG………………………………………………………………………..3

DAS KONZEPT DER PRODUKTION UND DER PRODUKTIONSFUNKTIONEN ... ..7

2.1. Cobb-Douglas-Produktionsfunktion ……………………………..13

2.2. CES-Produktionsfunktion …………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………

2.3. Produktionsfunktion mit festen Anteilen………...14

2.4. Kosten-Output-Produktionsfunktion (Leontief-Funktion)……14

2.5. Die Produktionsfunktion der Analyse der Methoden der Produktionstätigkeit ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

2.6. Lineare Produktionsfunktion ………………………………………15

2.7. Isoquant und seine Typen …………………………………………………………….16

PRAKTISCHE ANWENDUNG DER PRODUKTIONSFUNKTION.

3.1 Modellierung der Kosten und Gewinne eines Unternehmens (Firma)…………...21

3.2 Methoden zur Bilanzierung des wissenschaftlichen und technologischen Fortschritts …………………………..28

SCHLUSSFOLGERUNG…………………………………………………………………...34

Bibliografisches Verzeichnis ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

EINFÜHRUNG

Die wirtschaftliche Tätigkeit kann von verschiedenen Einheiten ausgeübt werden - Einzelpersonen, Familien, Staaten usw., aber die wichtigsten produktiven Funktionen in der Wirtschaft gehören einem Unternehmen oder einer Firma. Einerseits ist ein Unternehmen ein komplexes materielles, technologisches und soziales System, das die Erbringung wirtschaftlichen Nutzens sicherstellt. Auf der anderen Seite ist dies die eigentliche Aktivität der Organisation der Produktion verschiedener Waren und Dienstleistungen. Als ein System, das Wirtschaftsgüter produziert, ist das Unternehmen integral und fungiert als unabhängiges reproduktives Glied, relativ isoliert von anderen Gliedern. Das Unternehmen führt seine Aktivitäten selbstständig aus, veräußert die freigesetzten Produkte und die nach Zahlung von Steuern und anderen Zahlungen verbleibenden Gewinne.

Was ist also eine Produktionsfunktion? Schauen wir uns das Wörterbuch an und erhalten Folgendes:

PRODUKTIONSFUNKTION - eine wirtschaftlich-mathematische Gleichung, die variable Kosten (Ressourcen) mit Produktionswerten (Output) verbindet. Produktionsfunktionen werden verwendet, um den Einfluss verschiedener Kombinationen von Faktoren auf das Produktionsvolumen zu einem bestimmten Zeitpunkt (statische Version der Produktionsfunktion) zu analysieren und das Verhältnis von Faktorvolumen und Produktionsvolumen zu verschiedenen Zeitpunkten zu analysieren und vorherzusagen Zeit (dynamische Version der Produktionsfunktion) auf verschiedenen Ebenen der Wirtschaft - von einer Firma (Unternehmen) bis nationale Wirtschaft als Ganzes (Gesamtproduktionsfunktion, bei der der Output ein Indikator für das gesamte Sozialprodukt oder Volkseinkommen usw. ist). In einer einzelnen Firma, einem Unternehmen usw. beschreibt die Produktionsfunktion die maximale Produktionsmenge, die sie mit jeder Kombination der verwendeten Produktionsfaktoren produzieren können. Es kann durch viele Isoquanten dargestellt werden, die mit unterschiedlichen Produktionsniveaus verbunden sind.

Diese Art der Produktionsfunktion, wenn die explizite Abhängigkeit des Produktionsvolumens von der Verfügbarkeit oder dem Verbrauch von Ressourcen vorliegt, wird als Outputfunktion bezeichnet.

Insbesondere werden Output-Funktionen häufig in der Landwirtschaft verwendet, wo sie verwendet werden, um die Auswirkungen von Faktoren wie beispielsweise verschiedenen Arten und Zusammensetzungen von Düngemitteln und Bodenbearbeitungsmethoden auf die Erträge zu untersuchen. Neben ähnlichen Produktionsfunktionen werden die Umkehrfunktionen der Produktionskosten verwendet. Sie charakterisieren die Abhängigkeit der Ressourcenkosten vom Produktionsvolumen (genau genommen sind sie nur zu Produktionsfunktionen mit austauschbaren Ressourcen invers). Als Sonderfälle von Produktionsfunktionen können die Kostenfunktion (das Verhältnis zwischen Produktionsvolumen und Produktionskosten), die Investitionsfunktion (die Abhängigkeit der erforderlichen Investition von der Produktionskapazität des zukünftigen Unternehmens) usw. betrachtet werden.

Mathematisch können Produktionsfunktionen in verschiedenen Formen dargestellt werden - von so einfachen wie einer linearen Abhängigkeit des Produktionsergebnisses von einem untersuchten Faktor bis hin zu sehr komplexen Gleichungssystemen, einschließlich Rekursionsbeziehungen, die die Zustände des untersuchten Objekts verbinden verschiedene Perioden Zeit.

Am weitesten verbreitet sind multiplikative Potenzformen zur Darstellung von Produktionsfunktionen. Ihre Besonderheit ist folgende: Wenn einer der Faktoren gleich Null ist, dann verschwindet das Ergebnis. Es ist leicht einzusehen, dass dies die Tatsache realistisch widerspiegelt, dass in den meisten Fällen alle analysierten Primärressourcen an der Produktion beteiligt sind und ohne sie keine Produktion möglich ist. Im generelle Form(sie wird kanonisch genannt) diese Funktion ist wie folgt geschrieben:

Dabei berücksichtigt der Koeffizient A vor dem Multiplikationszeichen die Dimension, er hängt von der gewählten Maßeinheit der Kosten und des Outputs ab. Faktoren vom ersten bis zum n-ten können unterschiedlichen Inhalt haben, je nachdem, welche Faktoren das Gesamtergebnis (Output) beeinflussen. Beispielsweise kann man in einer Produktionsfunktion, die verwendet wird, um die Wirtschaft als Ganzes zu untersuchen, das Volumen des Endprodukts als Ergebnisindikator nehmen und die Faktoren - die Anzahl der Beschäftigten x 1, die Summe aus Fix und Arbeit Hauptstadt x 2, die genutzte Landfläche x 3. Es gibt nur zwei Faktoren in der Cobb-Douglas-Funktion, mit deren Hilfe versucht wurde, die Beziehung von Faktoren wie Arbeit und Kapital mit dem Wachstum des US-Nationaleinkommens in den 20-30er Jahren zu bewerten. XX Jahrhundert:

N = EIN L α K β ,

wobei N das Volkseinkommen ist; L und K sind die Volumina der angewandten Arbeit bzw. des Kapitals.

Die Leistungskoeffizienten (Parameter) der multiplikativen Leistungserzeugungsfunktion zeigen den Anteil an der prozentualen Steigerung des Endprodukts, den jeder der Faktoren beiträgt (oder um wie viel Prozent sich das Produkt erhöht, wenn die Kosten der entsprechenden Ressource um ein Prozent erhöht werden ); sie sind Elastizitätskoeffizienten der Produktion in Bezug auf die Kosten der entsprechenden Ressource. Wenn die Summe der Koeffizienten 1 ist, bedeutet dies die Homogenität der Funktion: Sie steigt proportional zur Zunahme der Ressourcenmenge. Aber auch solche Fälle sind möglich, wenn die Summe der Parameter größer oder kleiner als Eins ist; dies zeigt, dass eine Kostensteigerung zu einer überproportionalen oder unterproportionalen Leistungssteigerung führt (Skaleneffekte).

Bewerben Sie sich in der dynamischen Version verschiedene Formen Produktionsfunktionen. Zum Beispiel (im 2-Faktor-Fall): Y(t) = A(t) L α (t) K β (t), wobei der Faktor A(t) normalerweise im Laufe der Zeit zunimmt und die Gesamtzunahme von widerspiegelt Effizienz der Produktionsfaktoren im Laufe der Zeit.

Durch Logarithmieren und Ableiten der obigen Funktion nach t erhält man die Verhältnisse zwischen den Wachstumsraten des Endprodukts (Volkseinkommen) und dem Wachstum der Produktionsfaktoren (die Wachstumsraten von Variablen werden hier meist in Prozent angegeben). ).

Eine weitere „Dynamisierung“ von Produktionsfunktionen kann die Verwendung variabler Elastizitätskoeffizienten beinhalten.

Die durch die Produktionsfunktion beschriebenen Kennzahlen sind statistischer Natur, d.h. sie treten nur im Mittel auf, in große Masse Beobachtungen, da das Produktionsergebnis in Wirklichkeit nicht nur von den analysierten Faktoren, sondern auch von vielen nicht berücksichtigten Faktoren beeinflusst wird. Darüber hinaus sind die angewandten Indikatoren sowohl der Kosten als auch der Ergebnisse zwangsläufig Produkte einer komplexen Aggregation (z. B. umfasst ein verallgemeinerter Indikator der Arbeitskosten in einer makroökonomischen Funktion Arbeitskosten unterschiedlicher Produktivität, Intensität, Qualifikation usw.).

Ein besonderes Problem ist die Berücksichtigung des Faktors des technischen Fortschritts in gesamtwirtschaftlichen Produktionsfunktionen. Mit Hilfe von Produktionsfunktionen untersuchen wir auch die äquivalente Austauschbarkeit von Produktionsfaktoren, die entweder konstant oder variabel (dh abhängig von der Menge der Ressourcen) sein können. Dementsprechend werden Funktionen in zwei Typen eingeteilt: mit konstanter Substitutionselastizität (CES - Constant Elasticity of Substitution) und mit variabler (VES - Variable Elasticity of Substitution).

In der Praxis werden drei Hauptmethoden verwendet, um die Parameter makroökonomischer Produktionsfunktionen zu bestimmen: basierend auf der Verarbeitung von Zeitreihen, basierend auf Daten zu den Strukturelementen von Aggregaten und basierend auf der Verteilung des Volkseinkommens. Die letzte Methode heißt Verteilung.

Bei der Konstruktion von Produktionsfunktionen müssen die Phänomene der Multikollinearität von Parametern und der Autokorrelation beseitigt werden - ansonsten sind grobe Fehler unvermeidlich.

Hier sind einige wichtige Produktionsfunktionen

Lineare Produktionsfunktion:

P = ein 1 x 1 + ... + ein n x n ,

wobei a 1 , ..., a n die geschätzten Parameter des Modells sind: hier werden die Produktionsfaktoren in beliebigen Anteilen substituiert.

CES-Funktion:

P \u003d EIN [(1 - α) K - b + αL - b] - c / b,

in diesem Fall hängt die Elastizität der Ressourcensubstitution weder von K noch von L ab und ist daher konstant:

Daraus leitet sich der Name der Funktion ab.

Die CES-Funktion geht wie die Cobb-Douglas-Funktion von einer konstanten Abnahme der Grenzrate der Substitution der eingesetzten Ressourcen aus. Unterdessen kann die Elastizität des Ersatzes von Kapital durch Arbeit und umgekehrt von Arbeit durch Kapital in der Cobb-Douglas-Funktion, die hier gleich eins ist, annehmen verschiedene Bedeutungen, ungleich eins, obwohl sie konstant ist. Schließlich führt im Gegensatz zur Cobb-Douglas-Funktion das Logarithmieren der CES-Funktion nicht dazu lineare Form, was uns dazu zwingt, komplexere Methoden der nichtlinearen Regressionsanalyse zu verwenden, um die Parameter zu schätzen.

1. DAS KONZEPT DER PRODUKTION UND DER PRODUKTIONSFUNKTIONEN.

Unter Produktion versteht man jede Tätigkeit zur Nutzung natürlicher, materieller, technischer und intellektueller Ressourcen zur Erzielung sowohl materieller als auch immaterieller Vorteile.

Mit der Entwicklung der menschlichen Gesellschaft verändert sich die Natur der Produktion. In den frühen Stadien der menschlichen Entwicklung dominierten natürliche, natürliche, natürlich vorkommende Elemente der Produktivkräfte. Und der Mensch selbst war damals eher ein Produkt der Natur. Die Produktion in dieser Zeit wurde als natürlich bezeichnet.

Mit der Entwicklung der Produktionsmittel beginnen die historisch geschaffenen materiellen und technischen Elemente der Produktivkräfte zu überwiegen. Dies ist das Zeitalter des Kapitals. Heute sind Wissen, Technik und die intellektuellen Ressourcen des Menschen selbst von entscheidender Bedeutung. Unsere Ära ist die Ära der Informatisierung, die Ära der Dominanz wissenschaftlicher und technischer Elemente der Produktivkräfte. Der Besitz von Wissen, neuen Technologien ist entscheidend für die Produktion. In vielen entwickelten Ländern wird die Aufgabe der universellen Informatisierung der Gesellschaft gestellt. Die Welt entwickelt sich in einem erstaunlichen Tempo Computernetzwerk Internet.

traditionelle Rolle Allgemeine Theorie Die Produktion wird von der Theorie der materiellen Produktion durchgeführt, die als Prozess der Umwandlung von Produktionsressourcen in ein Produkt verstanden wird. Die wichtigsten Produktionsressourcen sind Arbeit ( L) und Kapital ( K). Die Produktionsweisen bzw. bestehenden Produktionstechnologien bestimmen, wie viel Output mit gegebenem Arbeits- und Kapitaleinsatz produziert wird. Mathematisch vorhandene Technologien werden durch ausgedrückt Produktionsfunktion. Wenn wir das Produktionsvolumen mit bezeichnen Y, dann kann die Produktionsfunktion geschrieben werden

Y= F(K, L).

Dieser Ausdruck bedeutet, dass das Produktionsvolumen eine Funktion der Kapitalmenge und der Arbeitsmenge ist. Die Produktionsfunktion beschreibt die Menge des Vorhandenen dieser Moment Technologien. Wird eine bessere Technologie erfunden, dann steigt bei gleichem Arbeits- und Kapitalaufwand der Output. Technologische Veränderungen verändern folglich auch die Produktionsfunktion. Methodisch ist die Produktionstheorie weitgehend symmetrisch zur Konsumtionstheorie. Wenn aber in der Konsumtionstheorie die Hauptkategorien nur subjektiv oder noch gar nicht gemessen werden, dann haben die Hauptkategorien der Produktionstheorie eine objektive Grundlage und können in bestimmten Natur- oder Werteinheiten gemessen werden.

Trotz der Tatsache, dass der Begriff der Produktion sehr breit, vage und sogar vage erscheinen mag, da die Produktion im wirklichen Leben als Unternehmen, als Baustelle, als landwirtschaftlicher Betrieb, als Transportunternehmen und als sehr große Organisation wie eine Branche verstanden wird der nationalen Wirtschaft, jedoch hebt die ökonomische und mathematische Modellierung etwas Gemeinsames hervor, das all diesen Objekten innewohnt. Dieses Common ist der Prozess der Umwandlung von Primärressourcen (Produktionsfaktoren) in die Endergebnisse des Prozesses. Daher ist das wichtigste Anfangskonzept bei der Beschreibung eines wirtschaftlichen Objekts die technologische Methode, die normalerweise als Vektor der Produktionskosten dargestellt wird v, die die Aufzählung der Volumina der verbrauchten Ressourcen (vector X) und Informationen über die Ergebnisse ihrer Umwandlung in Endprodukte oder andere Merkmale (Gewinn, Rentabilität usw.) (Vektor j):

v= (X; j).

Dimension von Vektoren X Und j, sowie die Methoden ihrer Messung (in natürlichen oder Kosteneinheiten) hängen wesentlich von der untersuchten Problemstellung ab, von den Ebenen, auf denen bestimmte Aufgaben der Wirtschaftsplanung und -steuerung angesiedelt sind. Die Menge von Vektoren technologischer Methoden, die als Beschreibung (von einem akzeptablen Standpunkt des Forschers mit Genauigkeit) des Produktionsprozesses dienen können, der an einem bestimmten Objekt tatsächlich durchführbar ist, wird als technologische Menge bezeichnet v dieses Objekt. Zur Eindeutigkeit nehmen wir die Dimension des Kostenvektors an X ist gleich N, und den Ausgangsvektor j bzw. M. Also die technologische v ist ein Vektor der Dimension ( M+ N), und das technologische Set Videorecorder +   M + N. Unter allen in der Anlage eingesetzten technologischen Methoden nehmen Methoden einen besonderen Platz ein, die im Vergleich zu allen anderen insofern günstig sind, als sie entweder geringere Kosten für die gleiche Leistung erfordern oder einer größeren Leistung bei gleichen Kosten entsprechen. Diejenigen von ihnen, die in gewissem Sinne die begrenzende Position in der Menge einnehmen v, sind von besonderem Interesse, da sie eine Beschreibung eines durchführbaren und geringfügig rentablen realen Produktionsprozesses darstellen.

Sagen wir, dass der Vektor ν (1) = (x (1) ;j (1) ) gegenüber Vektor bevorzugt ν (2) = (x (2) ;j (2) ) mit der Bezeichnung ν (1) > ν (2) wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

1) bei ich (1) ≥ j ich (2) (ich=1,…,M);

2) X J (1) ≤ X J (2) (J=1,…M);

und mindestens eines der folgenden Ereignisse eintritt:

a) Es gibt eine solche Nummer ich 0 das bei ich 0 (1) > j ich 0 (2)

b) es gibt eine solche Nummer J 0 das X J 0 (1) X J 0 (2)

Eine technologische Methode ۷ heißt effektiv, wenn sie zur technologischen Menge gehört v und es gibt keinen anderen Vektor ν ´ V, der ۷ vorzuziehen wäre. Die obige Definition bedeutet, dass solche Methoden als effektiv angesehen werden, die in keiner Kostenkomponente, in keiner Position des Produkts verbessert werden können, ohne dass die Akzeptanz verloren geht. Die Menge aller technologisch effizienten Methoden wird mit bezeichnet V*. Es ist eine Teilmenge des technologischen Satzes v oder dazu passt. Im Wesentlichen kann die Aufgabe, die wirtschaftliche Tätigkeit einer Produktionsstätte zu planen, als die Aufgabe interpretiert werden, eine effektive technologische Methode auszuwählen, die einigen äußeren Bedingungen am besten entspricht. Bei der Lösung eines solchen Auswahlproblems erweist sich die Idee der Natur des technologischen Sets als sehr bedeutsam v, sowie seine effektive Teilmenge V*.

In einer Reihe von Fällen erweist es sich als möglich, im Rahmen der festen Produktion die Möglichkeit der Austauschbarkeit bestimmter Ressourcen (verschiedene Arten von Brennstoffen, Maschinen und Arbeitskräften usw.) zuzulassen. Dabei mathematische Analyseähnlichen Produktionen basiert auf der Prämisse der Kontinuumsnatur des Sets v, und damit auf die grundsätzliche Möglichkeit, Varianten gegenseitiger Ersetzung durch stetige und sogar differenzierbare Funktionen darzustellen, die auf definiert sind v. Dieser Ansatz hat seine größte Entwicklung in der Theorie der Produktionsfunktionen erfahren.

Mit Hilfe des Konzepts eines effektiven technologischen Sets kann eine Produktionsfunktion als Abbildung definiert werden

j= F(X),

Wo ν \u003d (x; y) ЄV*.

Diese Abbildung ist im Allgemeinen mehrwertig, d.h. ein Haufen F(X) enthält mehr als einen Punkt. Für viele realistische Situationen erweisen sich die Produktionsfunktionen jedoch als einwertig und, wie oben erwähnt, sogar als differenzierbar. Im einfachsten Fall ist die Produktionsfunktion die Skalarfunktion N Argumente:

j = F(X 1 ,…, X N ).

Hier der Wert j hat in der Regel einen Kostencharakter, der das Produktionsvolumen in Geld ausdrückt. Argumente sind der Ressourcenaufwand bei der Umsetzung des entsprechenden effizienten technologischen Verfahrens. Somit beschreibt die obige Beziehung die Grenze des technologischen Satzes v, denn für einen gegebenen Kostenvektor ( X 1 , ..., X N) um Produkte in größeren Mengen herzustellen als j, ist unmöglich, und die Herstellung von Produkten in geringeren Mengen als angegeben entspricht einem ineffizienten technologischen Verfahren. Der Ausdruck für die Produktionsfunktion kann verwendet werden, um die Wirksamkeit der in einem bestimmten Unternehmen angewandten Managementmethode zu bewerten. Tatsächlich kann man für einen gegebenen Satz von Ressourcen den tatsächlichen Output bestimmen und ihn mit dem aus der Produktionsfunktion berechneten vergleichen. Die resultierende Differenz ergibt nützliches Material um die Wirksamkeit absolut und relativ zu bewerten.

Die Produktionsfunktion ist ein sehr nützliches Instrument für Planungsrechnungen, und daher wurde jetzt ein statistischer Ansatz entwickelt, um Produktionsfunktionen für bestimmte wirtschaftliche Einheiten zu konstruieren. In diesem Fall wird normalerweise ein bestimmter Standardsatz algebraischer Ausdrücke verwendet, deren Parameter mit den Methoden der mathematischen Statistik gefunden werden. Dieser Ansatz bedeutet im Wesentlichen, die Produktionsfunktion auf der Grundlage der impliziten Annahme zu schätzen, dass die beobachteten Produktionsprozesse effizient sind. Unter den verschiedenen verschiedene Typen Produktionsfunktionen, die am häufigsten verwendeten linearen Funktionen des Formulars

da für sie das Problem der Schätzung von Koeffizienten aus statistischen Daten sowie Potenzfunktionen leicht zu lösen ist

für die sich das Problem der Parameterfindung auf die Abschätzung der linearen Form durch Übergang zu Logarithmen reduziert.

Unter der Annahme, dass die Produktionsfunktion an jedem Punkt der Menge differenzierbar ist X möglicher Kombinationen von Inputs, ist es sinnvoll, einige mit der Produktionsfunktion verbundene Größen zu berücksichtigen.

Insbesondere das Differenzial

stellt die Änderung der Produktionskosten dar, wenn von den Kosten einer Reihe von Ressourcen ausgegangen wird X=(X 1 , ..., X N) zum Satz X+dx=(X 1 +dx 1 ,..., X N +dx N) vorausgesetzt, dass die Eigenschaften der Effizienz der entsprechenden technologischen Verfahren erhalten bleiben. Dann der Wert der partiellen Ableitung

kann als marginaler (differenzieller) Ressourcenertrag oder mit anderen Worten als marginaler Produktivitätskoeffizient interpretiert werden, der zeigt, wie stark der Output aufgrund der Erhöhung der Kosten der Ressource mit der Anzahl steigen wird J für eine kleine Einheit. Der Wert der Grenzproduktivität der Ressource kann als Obergrenze des Preises interpretiert werden P J, die die Produktionsstätte für eine zusätzliche Einheit bezahlen kann J-diese Ressource, um nach ihrem Erwerb und ihrer Verwendung nicht in Verlegenheit zu geraten. In der Tat wird die erwartete Steigerung der Leistung in diesem Fall sein

und damit das Verhältnis

wird zusätzlichen Gewinn generieren.

Kurzfristig, wenn eine Ressource als fix und die andere als variabel behandelt wird, haben die meisten Produktionsfunktionen die Eigenschaft, das Grenzprodukt zu verringern. Das Grenzprodukt einer variablen Ressource ist die Steigerung des Gesamtprodukts aufgrund der Zunahme der Nutzung dieser variablen Ressource pro Einheit.

Das Grenzprodukt der Arbeit kann als Differenz geschrieben werden

MPL= F(K, L+ 1) - F(K, L),

Wo MPL Grenzprodukt der Arbeit.

Das Grenzprodukt des Kapitals kann auch als Differenz geschrieben werden

MPK= F(K+ 1, L) - F(K, L),

Wo MPK Grenzprodukt des Kapitals.

Ein Merkmal einer Produktionsanlage ist auch der Wert des durchschnittlichen Ressourcenertrags (Produktivität des Produktionsfaktors)

mit einer klaren wirtschaftlichen Bedeutung der Produktionsmenge pro eingesetzter Ressourceneinheit (Produktionsfaktor). Der Kehrwert der Ressourcenrendite

allgemein als Ressourcenintensität bezeichnet, da sie die Menge einer Ressource ausdrückt J erforderlich, um eine wertmäßige Produktionseinheit zu produzieren. Sehr gebräuchlich und verständlich sind Begriffe wie Kapitalintensität, Materialintensität, Energieintensität, Arbeitsintensität, deren Wachstum meist mit einer Verschlechterung der Wirtschaftslage einhergeht und deren Rückgang als günstige Folge angesehen wird.

Der Quotient der Division der Differenzproduktivität durch den Durchschnitt

heißt Produktionselastizitätskoeffizient des Produktionsfaktors J und gibt einen Ausdruck für die relative Produktionssteigerung (in Prozent) bei einer relativen Kostensteigerung des Faktors um 1 %. Wenn E J 0, dann kommt es zu einer absoluten Abnahme des Outputs bei steigendem Verbrauch des Faktors J; diese Situation kann eintreten, wenn technologisch ungeeignete Produkte oder Modi verwendet werden. Beispielsweise führt ein übermäßiger Kraftstoffverbrauch zu einem übermäßigen Temperaturanstieg und die für die Herstellung des Produkts erforderliche chemische Reaktion findet nicht statt. Wenn 0E J 1, dann verursacht jede nachfolgende zusätzliche Einheit der verbrauchten Ressource eine geringere zusätzliche Produktionssteigerung als die vorherige.

Wenn E J> 1, dann übersteigt der Wert der inkrementellen (differenziellen) Produktivität die durchschnittliche Produktivität. Somit erhöht eine zusätzliche Ressourceneinheit nicht nur das Produktionsvolumen, sondern auch die durchschnittliche Ressourcenertragseigenschaft. So entsteht der Prozess der Steigerung der Kapitalrendite, wenn hochmoderne, effiziente Maschinen und Geräte in Betrieb genommen werden. Bei einer linearen Produktionsfunktion der Koeffizient A J numerisch gleich dem Wert der differentiellen Produktivität J-ten Faktor und bei einer Potenzfunktion der Exponent a J hat die Bedeutung des Elastizitätskoeffizienten in Bezug auf J-diese Ressource.

2. ARTEN VON PRODUKTIONSFUNKTIONEN.

2.1. Cobb-Douglas-Produktionsfunktion.

Die ersten erfolgreichen Erfahrungen mit der Konstruktion einer Produktionsfunktion als Regressionsgleichung auf der Grundlage statistischer Daten wurden 1928 von amerikanischen Wissenschaftlern - dem Mathematiker D. Cobb und dem Wirtschaftswissenschaftler P. Douglas - gemacht. Die von ihnen vorgeschlagene Funktion sah ursprünglich so aus:

wobei Y das Produktionsvolumen ist, K der Wert des Produktionsvermögens (Kapital) ist, L die Arbeitskosten sind, - Numerische Parameter (Skalennummer und Elastizitätsindex). Aufgrund ihrer Einfachheit und Rationalität ist diese Funktion auch heute noch weit verbreitet und hat weitere Verallgemeinerungen in verschiedene Richtungen erfahren. Die Cobb-Douglas-Funktion wird manchmal geschrieben als

Das lässt sich leicht überprüfen bzw

Außerdem ist Funktion (1) linear homogen:

Somit hat die Cobb-Douglas-Funktion (1) alle oben genannten Eigenschaften.

Für die multifaktorielle Produktion hat die Cobb-Douglas-Funktion die Form:

Um den technischen Fortschritt zu berücksichtigen, wird ein spezieller Multiplikator (technischer Fortschritt) in die Cobb-Douglas-Funktion eingeführt, wobei t der Zeitparameter ist, - konstante Zahl Charakterisierung der Entwicklungsgeschwindigkeit. Dadurch nimmt die Funktion eine "dynamische" Form an:

wo nicht erforderlich. Wie im nächsten Abschnitt gezeigt wird, haben die Exponenten in Funktion (1) die Bedeutung der Produktionselastizität bezüglich Kapital und Arbeit.

2.2. ProduktionsfunktionCES(bei konstanter Substitutionselastizität)

Sieht aus wie:

Wo ist der Skalierungskoeffizient, ist der Verteilungskoeffizient, ist der Ersatzkoeffizient, ist der Grad der Homogenität. Wenn die Bedingungen erfüllt sind:

dann erfüllt Funktion (2) die Ungleichungen Und . Unter Berücksichtigung des technologischen Fortschritts wird die CES-Funktion geschrieben:

Der Name dieser Funktion folgt daraus, dass für sie die Substitutionselastizität konstant ist.

2.3. Produktionsfunktion mit festen Proportionen. Diese Funktion ergibt sich aus (2) bei und hat die Form:

2.4. Kosten-Output-Produktionsfunktion (Leontief-Funktion) erhält man aus (3), wenn:

Hier ist der Kostenbetrag vom Typ k, der erforderlich ist, um eine Einheit des Outputs zu produzieren, und y ist der Output.

2.5. Die Produktionsfunktion der Analyse der Methoden der Produktionstätigkeit.

Diese Funktion verallgemeinert die Input-Output-Produktionsfunktion für den Fall, dass es eine bestimmte Anzahl (r) von Grundprozessen (Arten der Produktionstätigkeit) gibt, von denen jeder mit beliebiger nicht negativer Intensität ablaufen kann. Es hat die Form eines „Optimierungsproblems“

Wo (5)

Dabei ist der Output bei einer Einheitsintensität des j-ten Grundprozesses, ist das Intensitätsniveau, ist die bei einer Einheitsintensität benötigte Kostenmenge des Typs k des Verfahrens j. Wie aus (5) ersichtlich ist, werden, wenn der bei einer Einheitsintensität erzeugte Output und die pro Intensitätseinheit erforderlichen Kosten bekannt sind, der Gesamtoutput und die Gesamtkosten ermittelt, indem der Output bzw. die Kosten für jeden Basisprozess addiert werden in den gewählten Intensitäten. Beachten Sie, dass das Problem der Maximierung der Funktion f in (5) unter gegebenen Ungleichheitsbedingungen ein Modell für die Analyse von Produktionsaktivitäten ist (Maximierung des Outputs mit begrenzten Ressourcen).

2.6. Lineare Produktionsfunktion(Ressourcensubstitutionsfunktion)

Es wird bei einer linearen Abhängigkeit der Leistung von den Kosten verwendet:

Wo ist der Kostensatz der k-ten Art für die Produktion einer Produktionseinheit (physisches Grenzkostenprodukt).

Unter den hier angegebenen Produktionsfunktionen ist die CES-Funktion die gebräuchlichste.

Analyse des Produktionsprozesses und seiner verschiedenen Indikatoren sowie der Grenzprodukte,

(obere Striche geben feste Werte von Variablen an), die die Höhe des zusätzlichen Einkommens zeigen, das durch die Verwendung zusätzlicher Kostenmengen erzielt wird, werden die Konzepte der Durchschnittsprodukte angewendet.

Das Durchschnittsprodukt für die k-te Kostenart ist das Produktionsvolumen pro Kosteneinheit der k-ten Art bei einem festen Niveau von Kosten anderer Arten:

Lassen Sie uns die Kosten des zweiten Typs auf einem bestimmten Niveau fixieren und die Diagramme der drei Funktionen vergleichen:

Abb.1. Freigabekurven.

Der Graph der Funktion habe drei kritische Punkte (wie in Abb. 1 gezeigt): - Wendepunkt, - Kontaktpunkt mit dem Strahl vom Ursprung, - Maximalpunkt. Diese Punkte entsprechen den drei Produktionsstufen. Die erste Stufe entspricht dem Segment und ist durch die Überlegenheit des Grenzprodukts gegenüber dem Durchschnitt gekennzeichnet: Daher ist in dieser Phase die Umsetzung zusätzlicher Kosten ratsam. Die zweite Stufe entspricht dem Segment und ist durch die Überlegenheit des Durchschnittsprodukts gegenüber dem Grenzprodukt gekennzeichnet: (Zusätzliche Kosten sind nicht angemessen). In der dritten Stufe führen zusätzliche Kosten zum gegenteiligen Effekt. Dies erklärt sich aus der Tatsache, dass die optimale Höhe der Kosten ist und ihre weitere Erhöhung nicht zumutbar ist.

Für bestimmte Ressourcennamen erhalten Durchschnitts- und Grenzwerte die Bedeutung bestimmter Wirtschaftsindikatoren. Betrachten Sie zum Beispiel die Cobb-Douglas-Funktion (1) , wobei Kapital und Arbeit ist. Mittlere Produkte

Sinn machen jeweils die durchschnittliche Arbeitsproduktivität und die durchschnittliche Kapitalproduktivität (durchschnittliche Kapitalrendite). Es ist ersichtlich, dass die durchschnittliche Arbeitsproduktivität mit dem Wachstum der Arbeitsressourcen abnimmt. Dies ist verständlich, da das Produktionsvermögen (K) unverändert bleibt und somit den neu angeworbenen Arbeitskräften keine zusätzlichen Produktionsmittel zur Verfügung gestellt werden, was zu einer Abnahme der Arbeitsproduktivität führt. Eine ähnliche Argumentation gilt für die Kapitalproduktivität als Funktion des Kapitals.

Für Funktion (1) Grenzprodukte

Sinn machen jeweils die Grenzproduktivität der Arbeit und die Grenzproduktivität des Kapitals (Grenzrendite). In der mikroökonomischen Produktionstheorie wird angenommen, dass die Grenzproduktivität der Arbeit gleich ist Löhne(der Preis der Arbeit) und die Grenzproduktivität des Kapitals - Mietzahlungen (der Preis für Dienstleistungen von Investitionsgütern). Aus der Bedingung folgt, dass bei konstantem Anlagevermögen (Arbeitskosten) eine Zunahme der Beschäftigtenzahl (Volumen des Anlagevermögens) zu einem Rückgang der Grenzproduktivität der Arbeit (Grenzrendite) führt. Es ist ersichtlich, dass für die Cobb-Douglas-Funktion die Grenzprodukte proportional zu den Durchschnittsprodukten und kleiner als diese sind.

2.7. Isoquant und seine Typen

Bei der Modellierung der Konsumnachfrage wird der gleiche Nutzen verschiedener Kombinationen von Konsumgütern anhand einer Indifferenzkurve grafisch dargestellt.

In ökonomischen und mathematischen Produktionsmodellen kann jede Technologie grafisch durch einen Punkt dargestellt werden, dessen Koordinaten die minimal notwendigen Ressourcenkosten K und L für die Produktion eines bestimmten Produktionsvolumens widerspiegeln. Viele solcher Punkte bilden eine Linie gleicher Leistung oder eine Isoquante. Somit wird die Produktionsfunktion grafisch durch eine Familie von Isoquanten dargestellt. Je weiter die Isoquante vom Ursprung entfernt ist, desto größer ist das Produktionsvolumen, das sie widerspiegelt. Im Gegensatz zu einer Indifferenzkurve charakterisiert jede Isoquante eine quantifizierte Menge an Output.

Abb.2. Isoquanten, die unterschiedlichen Produktionsmengen entsprechen

Auf Abb. 2 zeigt drei Isoquanten, die einem Produktionsvolumen von 200, 300 und 400 Einheiten entsprechen. Man kann sagen, dass für die Produktion von 300 Produktionseinheiten K 1 Kapitaleinheiten und L 1 Arbeitseinheiten oder K 2 Kapitaleinheiten und L 2 Arbeitseinheiten benötigt werden, oder jede andere Kombination von ihnen aus der dargestellten Menge durch die Isoquante Y 2 = 300.

Im allgemeinen Fall wird in der Menge X der zulässigen Mengen von Produktionsfaktoren eine Teilmenge zugeordnet, die Isoquante der Produktionsfunktion genannt wird, die dadurch gekennzeichnet ist, dass für jeden Vektor die Gleichheit gilt

Somit sind für alle Ressourcensätze, die der Isoquante entsprechen, die Produktionsvolumina gleich. Im Wesentlichen ist eine Isoquante eine Beschreibung der Möglichkeit der gegenseitigen Substitution von Faktoren im Produktionsprozess von Waren, die ein konstantes Produktionsvolumen gewährleisten. In diesem Zusammenhang ist es möglich, den Koeffizienten des gegenseitigen Ersatzes von Ressourcen zu bestimmen, indem die differentielle Beziehung entlang einer beliebigen Isoquante verwendet wird

Daher ist der Koeffizient des äquivalenten Ersatzes eines Paars von Faktoren j und k gleich:

Das resultierende Verhältnis zeigt, dass, wenn Produktionsressourcen in einem Verhältnis ersetzt werden, das dem Verhältnis der inkrementellen Produktivität entspricht, die Produktionsmenge unverändert bleibt. Es muss gesagt werden, dass die Kenntnis der Produktionsfunktion es ermöglicht, das Ausmaß der Möglichkeit zu charakterisieren, den gegenseitigen Ersatz von Ressourcen in effizienten technologischen Methoden durchzuführen. Um dieses Ziel zu erreichen, wird der Elastizitätskoeffizient des Ersatzes von Ressourcen durch Produkte verwendet.

die entlang der Isoquante bei konstantem Kostenniveau anderer Produktionsfaktoren berechnet wird. Der Wert s jk ist ein Merkmal der relativen Änderung des Koeffizienten des gegenseitigen Ersatzes von Ressourcen, wenn sich das Verhältnis zwischen ihnen ändert. Wenn sich das Verhältnis der austauschbaren Ressourcen um s jk Prozent ändert, ändert sich das gegenseitige Ersatzverhältnis sjk um ein Prozent. Im Falle einer linearen Produktionsfunktion bleibt der gegenseitige Substitutionskoeffizient für jedes Verhältnis der verwendeten Ressourcen unverändert, und daher können wir davon ausgehen, dass die Elastizität s jk = 1 ist. Dementsprechend zeigen große Werte von s jk an, dass eine größere Freiheit besteht möglich, Produktionsfaktoren entlang der Isoquante zu ersetzen, und gleichzeitig werden sich die Hauptmerkmale der Produktionsfunktion (Produktivität, Austauschverhältnis) nur sehr wenig ändern.

Für Potenzgesetz-Produktionsfunktionen für jedes Paar austauschbarer Ressourcen gilt die Gleichheit s jk = 1. In der Praxis der Prognose- und Vorplanungsberechnungen werden häufig Funktionen der konstanten Substitutionselastizität (CES) verwendet, die wie folgt aussehen:

Für eine solche Funktion der Ressourcenersatzelastizitätskoeffizient

und ändert sich nicht in Abhängigkeit von Volumen und Verhältnis der aufgewendeten Ressourcen. Bei kleinen Werten von s jk können sich Ressourcen nur in geringem Maße ersetzen, und in der Grenze bei s jk = 0 verlieren sie ihre Austauschbarkeitseigenschaft und treten im Produktionsprozess nur noch in einem konstanten Verhältnis auf, d.h. sind komplementär. Ein Beispiel für eine Produktionsfunktion, die die Produktion unter den Bedingungen des Einsatzes komplementärer Ressourcen beschreibt, ist die Kostenfreigabefunktion, die die Form hat

wobei a j ein konstanter Koeffizient der Ressourcenrendite des j-ten Produktionsfaktors ist. Es ist leicht einzusehen, dass eine solche Produktionsfunktion den Engpass-Output auf der Menge der verwendeten Produktionsfaktoren bestimmt. Verschiedene Fälle des Verhaltens von Isoquanten von Produktionsfunktionen für verschiedene Werte der Substitutionselastizitätskoeffizienten sind in der Grafik dargestellt (Abb. 3).

Die Darstellung eines effektiven technologischen Sets durch eine skalare Produktionsfunktion ist dort unzureichend, wo es nicht möglich ist, mit einem einzigen Indikator auszukommen, der die Ergebnisse der Produktionsanlage beschreibt, sondern es notwendig ist, mehrere (M) Output-Indikatoren zu verwenden. Unter diesen Bedingungen kann man die Vektorproduktionsfunktion verwenden

Reis. 3. Verschiedene Fälle des Verhaltens von Isoquanten

Das wichtige Konzept der marginalen (differenziellen) Produktivität wird durch die Relation eingeführt

Alle anderen Hauptmerkmale skalarer Produktionsfunktionen lassen eine ähnliche Verallgemeinerung zu.

Wie Indifferenzkurven werden auch Isoquanten in verschiedene Typen eingeteilt.

Für eine lineare Produktionsfunktion der Form

wobei Y das Produktionsvolumen ist; Parameter A , b 1 , b 2 ; K , L Kapital- und Arbeitskosten sowie der vollständige Ersatz einer Ressource durch eine andere Isoquante haben einen linearen Verlauf (Abb. 4).

Für die Stromerzeugungsfunktion

Isoquanten sehen aus wie Kurven (Abb. 5).

Wenn die Isoquante nur eine technologische Methode zur Herstellung eines bestimmten Produkts widerspiegelt, werden Arbeit und Kapital in der einzig möglichen Kombination kombiniert (Abb. 6).

Reis. 6. Isoquanten unter strikter Ressourcenkomplementarität

Reis. 7. Gebrochene Isoquanten

Solche Isoquanten werden manchmal als Isoquanten vom Leontief-Typ bezeichnet, nachdem der amerikanische Ökonom W.V. Leontiev, der diese Art von Isoquanten der von ihm entwickelten Input-Output-Methode zugrunde legte.

Die gebrochene Isoquante impliziert das Vorhandensein einer begrenzten Anzahl von Technologien F (Abb. 7).

Isoquanten dieser Konfiguration werden in der linearen Programmierung verwendet, um die Theorie der optimalen Ressourcenallokation zu untermauern. Gebrochene Isoquanten repräsentieren am realistischsten die technologischen Fähigkeiten vieler Produktionsanlagen. Allerdings hinein Wirtschaftstheorie Traditionell werden hauptsächlich Isoquantenkurven verwendet, die sich aus gestrichelten Linien mit zunehmender Anzahl von Technologien bzw. steigenden Knickpunkten ergeben.

3. PRAKTISCHE ANWENDUNG DER PRODUKTIONSFUNKTION.

3.1 Modellierung der Kosten und Gewinne eines Unternehmens (Firma)

Im Mittelpunkt der Konstruktion von Verhaltensmodellen des Herstellers (einzelnes Unternehmen oder Firma; Verband oder Industrie) steht die Idee, dass der Hersteller einen Zustand anstrebt, in dem er unter den vorherrschenden Marktbedingungen den größten Gewinn erzielen würde, d.h. Zunächst einmal mit dem bestehenden Preissystem.

Das einfachste Modell des optimalen Verhaltens eines Produzenten unter Bedingungen vollkommener Konkurrenz hat folgende Form: Lassen Sie ein Unternehmen (Firma) ein Produkt in der Menge produzieren j physikalische Einheiten. Wenn P exogen gegebenen Preis dieses Produkts und verkauft das Unternehmen seinen Output vollständig, dann erhält es ein Bruttoeinkommen (Einnahmen) in Höhe von

Bei der Herstellung dieser Produktmenge entstehen dem Unternehmen Produktionskosten in Höhe von C(j). Gleichzeitig ist es natürlich, davon auszugehen C"(j) > 0, d.h. Die Kosten steigen mit dem Produktionsvolumen. Auch davon wird allgemein ausgegangen C""(j) > 0. Dies bedeutet, dass die zusätzlichen (Grenz-)Kosten der Produktion jeder zusätzlichen Produktionseinheit mit zunehmendem Produktionsvolumen steigen. Diese Annahme beruht darauf, dass bei einer rationell organisierten Produktion mit kleinen Stückzahlen beste autos und hochqualifizierte Arbeitskräfte, die dem Unternehmen bei steigendem Produktionsvolumen nicht mehr zur Verfügung stehen werden. Die Herstellungskosten setzen sich aus folgenden Komponenten zusammen:

1) Materialkosten C M, die die Kosten für Rohstoffe, Materialien, Halbfabrikate usw.

Die Differenz zwischen Rohertrag und Sachkosten wird genannt Mehrwert(bedingt reine Produkte):

2) Arbeitskosten C L ;

Reis. 8. Einnahmequellen und Kosten des Unternehmens

3) Ausgaben im Zusammenhang mit der Nutzung, Reparatur von Maschinen und Geräten, Abschreibungen, der sogenannten Zahlung für Kapitaldienstleistungen C k ;

4) zusätzliche Kosten C R verbunden mit der Erweiterung der Produktion, dem Bau neuer Gebäude, Zufahrtsstraßen, Kommunikationsleitungen usw.

Gesamte Produktionskosten:

Wie oben beschrieben,

jedoch diese Abhängigkeit von der Produktionsmenge ( bei) ist für verschiedene Kostenarten unterschiedlich. Es gibt nämlich:

a) Fixkosten C 0 , die praktisch unabhängig von sind j, inkl. Bezahlung von Verwaltungspersonal, Miete und Instandhaltung von Gebäuden und Räumlichkeiten, Abschreibungen, Darlehenszinsen, Kommunikationsdienste usw.;

b) proportional zum Volumen des Outputs (lineare) Kosten C 1, dazu gehören Materialkosten C M, Vergütung des Produktionspersonals (Teil von C L), Aufwendungen für die Instandhaltung bestehender Anlagen und Maschinen (Teil C k) usw.:

Wo A ein verallgemeinerter Indikator der Kosten dieser Typen pro Produkt;

c) überproportionale (nichtlineare) Kosten MIT 2 , die die Anschaffung neuer Maschinen und Technologien beinhalten (d. h. Kosten wie z MIT R), Überstundenvergütung usw. Zur mathematischen Beschreibung dieser Art von Kosten wird üblicherweise ein Potenzgesetz verwendet

Um die Gesamtkosten darzustellen, kann man also das Modell verwenden

(Beachten Sie, dass die Bedingungen C"(j) > 0, C""(j) > 0 sind für diese Funktion erfüllt.)

Betrachten Sie mögliche Optionen für das Verhalten eines Unternehmens (Firma) für zwei Fälle:

1. Das Unternehmen verfügt über eine ausreichend große Reserve an Produktionskapazitäten und strebt keine Ausweitung der Produktion an, daher können wir davon ausgehen C 2 = 0 und die Gesamtkosten sind eine lineare Funktion des Outputs:

Der Gewinn wird

Es ist klar, dass für kleine Produktionsmengen

Die Firma macht Verluste, weil

Hier j w Break-Even-Point (Rentabilitätsschwelle), bestimmt durch das Verhältnis

Wenn j> j w, dann macht das Unternehmen einen Gewinn, und die endgültige Entscheidung über das Produktionsvolumen hängt von der Marktlage für den Verkauf von Fertigprodukten ab (siehe Abb. 8).

2. In einem allgemeineren Fall, wann MIT 2 0 gibt es zwei Break-Even-Punkte und darüber hinaus erhält das Unternehmen einen positiven Gewinn, wenn die Ausgabe erfolgt j erfüllt die Bedingung

Auf diesem Segment wird zurzeit der größte Gewinn erzielt. Somit gibt es eine optimale Lösung für das Gewinnmaximierungsproblem. Am Punkt A, entsprechend den Kosten bei optimaler Leistung, tangential zur Kostenkurve MIT parallel zur Einkommensgeraden R.

Es ist zu beachten, dass die endgültige Entscheidung des Unternehmens auch von der Marktlage abhängt, aber aus Sicht der Berücksichtigung wirtschaftlicher Interessen sollte es den Optimierungswert des Outputs empfehlen (Abb. 9).

Reis. 9. Optimale Leistung

Gewinn ist per Definition der Wert

Die Break-Even-Punkte und werden aus der Bedingung der Gleichheit des Gewinns mit Null bestimmt, und ihr Maximalwert wird an dem Punkt erreicht, der die Gleichung erfüllt

Das optimale Produktionsvolumen ist also dadurch gekennzeichnet, dass in diesem Zustand das Grenzbruttoeinkommen ( R(j)) ist genau gleich den Grenzkosten C(j).

In der Tat, wenn j R( j) > C(j), und dann sollte der Output erhöht werden, da die erwarteten zusätzlichen Einnahmen die erwarteten zusätzlichen Kosten übersteigen werden. Wenn j> dann R(j) C ( j), und jede Erhöhung des Volumens wird den Gewinn schmälern, daher ist es selbstverständlich, zu empfehlen, das Produktionsvolumen zu reduzieren und zu einem Zustand zu kommen j= (Abb. 10).

Reis. 10. Maximaler Gewinnpunkt und Break-Even-Zone

Es ist leicht zu sehen, dass mit steigendem Preis ( R) der optimale Output sowie die Gewinnsteigerung, d.h.

Dies gilt auch im allgemeinen Fall, da

Beispiel. Das Unternehmen produziert Landmaschinen in der Höhe bei Stück, und das Produktionsvolumen kann im Prinzip zwischen 50 und 220 Stück pro Monat variieren. Gleichzeitig erfordert eine Erhöhung des Produktionsvolumens natürlich eine Erhöhung der Kosten, sowohl proportional als auch überproportional (nicht linear), da die Anschaffung neuer Ausrüstung und die Erweiterung der Produktionsflächen erforderlich sind.

In einem konkreten Beispiel gehen wir davon aus, dass die Gesamtkosten (Kosten) für die Herstellung von Produkten in Höhe von bei Produkte werden durch die Formel ausgedrückt

C(j) = 1000 + 20 j+ 0,1 j 2 (tausend Rubel).

Das bedeutet Fixkosten

C 0 = 1000 (Tonnen Rubel),

proportionale Kosten

C 1 = 20 j,

diese. Der verallgemeinerte Indikator dieser Kosten pro Produkt ist gleich: A= 20 Tausend Rubel, und die nichtlinearen Kosten werden sein C 2 = 0,1 j 2 (B= 0,1).

Die obige Kostenformel ist ein Sonderfall allgemeine Formel, wobei der Exponent H= 2.

Um das optimale Produktionsvolumen zu finden, verwenden wir die Formel für den maximalen Gewinnpunkt (*), wonach wir haben:

Es liegt auf der Hand, dass das Produktionsvolumen, bei dem der maximale Gewinn erzielt wird, ganz wesentlich vom Marktpreis des Produkts bestimmt wird. P.

Im Tisch. 1 zeigt die Ergebnisse der Berechnung der optimalen Mengen für verschiedene Preise von 40 bis 60 Tausend Rubel pro Produkt.

Die erste Spalte der Tabelle enthält mögliche Fördermengen bei, enthält die zweite Spalte Daten zu den Gesamtkosten MIT(bei), zeigt die dritte Spalte die Kosten pro Produkt:

Tabelle 1

Daten zu Ausbringungsmengen, Kosten und Gewinnen

Mengen und Kosten				Preise und Gewinne
				0
					210
						440
Tabelle 1 fortgesetzt
							1250
								1890
									3000

Die vierte Spalte charakterisiert die Werte der obigen Grenzkosten MS, die zeigen, wie viel es kostet, in einer bestimmten Situation einen zusätzlichen Artikel zu produzieren. Es ist leicht zu erkennen, dass die Grenzkosten mit zunehmender Produktion steigen, was gut mit der am Anfang dieses Absatzes geäußerten Position übereinstimmt. Bei der Betrachtung der Tabelle ist darauf zu achten, dass die optimalen Volumina genau am Schnittpunkt der Geraden liegen (Grenzkosten MS) und Spalte (Preis P) mit ihren gleichen Werten, was ziemlich genau mit der oben aufgestellten Optimalitätsregel korreliert.

Die obige Analyse bezieht sich auf eine Situation vollkommenen Wettbewerbs, in der der Hersteller durch sein Handeln das Preissystem und damit den Preis nicht beeinflussen kann P für Waren j wirkt im Herstellermodell als exogener Wert.

Bei unvollkommenem Wettbewerb kann der Hersteller den Preis direkt beeinflussen. Dies gilt insbesondere für den Monopolproduzenten von Waren, die aus Gründen angemessener Rentabilität den Preis bilden.

Stellen Sie sich ein Unternehmen mit einer linearen Kostenfunktion vor, das seinen Preis so festlegt, dass der Gewinn einen bestimmten Prozentsatz (einen Bruchteil von 0

Daher haben wir

Bruttoeinkommen

und die Produktion ist ausgeglichen, beginnend mit den kleinsten Produktionsmengen ( j w 0). Es ist leicht einzusehen, dass der Preis vom Volumen abhängt, d.h. P= P(j) und mit steigendem Produktionsvolumen ( bei) sinkt der Preis des Gutes, d.h. P"(j)

Die Gewinnmaximierungsforderung für einen Monopolisten hat die Form

Unter der Annahme, dass >0, haben wir eine Gleichung zum Finden der optimalen Ausgabe ():

Es ist nützlich zu beachten, dass der optimale Output eines Monopolisten () normalerweise nicht größer ist als der optimale Output eines konkurrierenden Produzenten in der mit einem Sternchen gekennzeichneten Formel.

Ein realistischeres (aber auch einfacheres) Modell des Unternehmens wird verwendet, um die Ressourcenbeschränkungen zu berücksichtigen, die bei den wirtschaftlichen Aktivitäten der Produzenten eine sehr große Rolle spielen. Das Modell hebt eine der knappsten Ressourcen hervor (Arbeit, Anlagevermögen, seltenes Material, Energie usw.) und geht davon aus, dass das Unternehmen sie höchstens verwenden kann Q. Die Firma kann produzieren N verschiedene Produkte. Lassen j 1 , ..., j J , ..., j N die gewünschten Produktionsmengen dieser Produkte; P 1 , ..., P J , ..., P N ihre Preise. Lass auch Q Einheitspreis einer knappen Ressource. Dann ist das Bruttoeinkommen des Unternehmens

und der Gewinn wird sein

Es ist leicht, das für fest zu sehen Q Und Q Das Gewinnmaximierungsproblem wird in das Brutransformiert.

Nehmen Sie weiter an, dass die Ressourcenkostenfunktion für jedes Produkt gilt C J (j J) hat dieselben Eigenschaften, die oben für die Funktion angegeben wurden MIT(bei). Auf diese Weise, C J " (j J) > 0 und C J "" (j J) > 0.

In seiner endgültigen Form lautet das Modell des optimalen Verhaltens eines Unternehmens mit einer begrenzten Ressource wie folgt:

Es ist leicht zu sehen, dass in einem ziemlich allgemeinen Fall die Lösung dieses Optimierungsproblems durch das Studium des Gleichungssystems gefunden wird:

beachte das optimale Wahl Unternehmen hängt vom Gesamtpreis der Produkte ab ( P 1 , ..., P N), und diese Wahl ist eine homogene Funktion des Preissystems, d.h. bei gleichzeitiger Preisänderung in die gleiche Nummer Einmal optimale Ausgänge ändern sich nicht. Es ist auch leicht zu erkennen, dass aus den mit Sternchen (***) gekennzeichneten Gleichungen folgt, dass mit einer Erhöhung des Preises des Produkts N(bei konstanten Preisen für andere Produkte), sollte seine Produktion erhöht werden, um die Gewinne zu maximieren, da

und die Produktion anderer Güter sinkt, da

Diese Verhältnisse zusammen zeigen, dass in diesem Modell alle Produkte konkurrieren. Formel (***) impliziert auch die offensichtliche Beziehung

diese. Mit zunehmendem Volumen einer Ressource (Kapitalinvestition, Arbeit usw.) steigen die optimalen Ergebnisse.

Einige einfache Beispiele können Ihnen helfen, die Regel der optimalen Unternehmensauswahl nach dem Prinzip des maximalen Gewinns besser zu verstehen:

1) lassen N = 2; P 1 = P 2 = 1; A 1 = A 2 = 1; Q = 0,5; Q = 0,5.

Dann haben wir aus (***):

0,5; = 0,5; P = 0,75; = 1;

2) Lassen Sie nun alle Bedingungen gleich bleiben, aber der Preis des ersten Produkts hat sich verdoppelt: P 1 = 2.

Dann optimaler Gewinnplan des Unternehmens: = 0,6325; = 0,3162.

Der erwartete Maximalgewinn steigt deutlich: P = 1,3312; = 1,58;

3) Beachten Sie, dass das Unternehmen im vorherigen Beispiel 2 das Produktionsvolumen ändern muss, indem es die Produktion des ersten Produkts erhöht und die Produktion des zweiten Produkts verringert. Nehmen wir jedoch an, dass das Unternehmen nicht den maximalen Gewinn anstrebt und die etablierte Produktion nicht ändern wird, d.h. wählen Sie ein Programm j 1 = 0,5; j 2 = 0,5.

Es stellt sich heraus, dass in diesem Fall der Gewinn P = 1,25 beträgt. Dies bedeutet, dass das Unternehmen bei steigenden Preisen auf dem Markt eine erhebliche Gewinnsteigerung erzielen kann, ohne den Produktionsplan zu ändern.

3.2 Methoden zur Bilanzierung des wissenschaftlichen und technologischen Fortschritts

Es sollte als allgemein anerkannt angesehen werden, dass die Produktion in einem Unternehmen mit einer festen Anzahl von Mitarbeitern und einem konstanten Umfang des Anlagevermögens im Laufe der Zeit zunimmt. Dies bedeutet, dass es neben den üblichen Produktionsfaktoren, die mit den Ressourcenkosten verbunden sind, einen Faktor gibt, der normalerweise aufgerufen wird Wissenschaftlicher und technologischer Fortschritt (NTP). Dieser Faktor kann als synthetisches Merkmal angesehen werden, das die kombinierte Wirkung vieler bedeutender Phänomene auf das Wirtschaftswachstum widerspiegelt, unter denen die folgenden hervorzuheben sind:

a) Verbesserung der Qualität der Arbeitskräfte im Laufe der Zeit aufgrund der Verbesserung der Fähigkeiten der Arbeitnehmer und der Entwicklung von Methoden für den Einsatz fortschrittlicherer Technologien;

b) Verbesserung der Qualität von Maschinen und Anlagen führt dazu, dass eine gewisse Kapitalinvestition (zu konstanten Preisen) im Laufe der Zeit die Anschaffung einer effizienteren Maschine ermöglicht;

c) Verbesserung vieler Aspekte der Produktionsorganisation, einschließlich Lieferung und Marketing, Bankgeschäfte und andere gegenseitige Abrechnungen, Entwicklung einer Informationsbasis, Bildung verschiedener Arten von Verbänden, Entwicklung der internationalen Spezialisierung und des Handels usw.

Der Begriff des wissenschaftlich-technischen Fortschritts lässt sich in diesem Zusammenhang als Gesamtheit aller Phänomene interpretieren, die es ermöglichen, mit einer festgelegten Menge an aufgewendeten Produktionsfaktoren die Produktion qualitativ hochwertiger und wettbewerbsfähiger Produkte zu steigern. Die sehr ungenaue Natur einer solchen Definition führt dazu, dass die Untersuchung des Einflusses des wissenschaftlichen und technischen Fortschritts nur als Analyse jener zusätzlichen Produktionssteigerung durchgeführt wird, die nicht durch eine rein quantitative Steigerung der Produktionsfaktoren erklärt werden kann. Der Hauptansatz zur Berücksichtigung des wissenschaftlichen und technologischen Fortschritts besteht darin, dass die Zeit in die Gesamtheit der Leistungs- oder Kostenmerkmale eingeführt wird ( T) als eigenständiger Produktionsfaktor und betrachtet die zeitliche Transformation entweder einer Produktionsfunktion oder eines technologischen Sets.

Verweilen wir bei den Methoden zur Bilanzierung des wissenschaftlichen und technischen Fortschritts durch Transformation der Produktionsfunktion und legen dabei die Zwei-Faktoren-Produktionsfunktion zugrunde:

wo die Produktionsfaktoren Kapital sind ( ZU) und Arbeit ( L). Die modifizierte Produktionsfunktion hat im allgemeinen Fall die Form

und der Zustand

die die Tatsache des Wachstums der Produktion im Laufe der Zeit zu fixen Arbeits- und Kapitalkosten widerspiegelt.

Bei der Entwicklung spezifischer modifizierter Produktionsfunktionen versuchen sie normalerweise, die Art des wissenschaftlichen und technischen Fortschritts in der beobachteten Situation widerzuspiegeln. Es gibt vier Fälle:

a) Eine erhebliche Verbesserung der Qualität der Arbeitskräfte im Laufe der Zeit ermöglicht es Ihnen, die gleichen Ergebnisse mit weniger Beschäftigten zu erzielen. Diese Art von STP wird oft als arbeitssparend bezeichnet. Die modifizierte Produktionsfunktion hat die Form wo ist die monotone Funktion l(T) charakterisiert das Wachstum der Arbeitsproduktivität;

Reis. 11. Wachstum der Produktion im Laufe der Zeit mit Fixkosten für Arbeit und Kapital

b) die überwiegende Verbesserung der Qualität von Maschinen und Anlagen erhöht die Kapitalrendite, es gibt einen kapitalsparenden wissenschaftlichen und technischen Fortschritt und die entsprechende Produktionsfunktion:

wo ist die steigende funktion k(T) spiegelt die Veränderung der Kapitalproduktivität wider;

c) Wenn beide genannten Phänomene einen signifikanten Einfluss haben, wird die Produktionsfunktion in der Form verwendet

d) wenn der Einfluss des wissenschaftlichen und technischen Fortschritts auf die Produktionsfaktoren nicht erkennbar ist, wird im Formular die Produktionsfunktion verwendet

Wo A(T) eine steigende Funktion, die das Wachstum der Produktion bei konstanten Werten der Faktorkosten ausdrückt. Um die Eigenschaften und Merkmale des wissenschaftlichen und technischen Fortschritts zu untersuchen, werden einige Korrelationen zwischen den Produktionsergebnissen und den Kosten von Faktoren verwendet. Diese beinhalten:

a) durchschnittliche Arbeitsproduktivität

B) durchschnittliche Gesamtkapitalrendite

c) Kapital-Arbeits-Verhältnis des Arbeitnehmers

d) Gleichheit zwischen dem Lohnniveau und der Grenzproduktivität der Arbeit

e) Gleichheit zwischen der Grenzrendite des Vermögens und dem Bankzinssatz

Ein NTP wird als neutral bezeichnet, wenn es bestimmte Beziehungen zwischen gegebenen Größen im Laufe der Zeit nicht ändert.

1) Fortschritt heißt Hicks-neutral, wenn das Verhältnis zwischen dem Kapital-Arbeits-Verhältnis ( X) und die Grenzrate des Faktorersatzes ( w/R). Insbesondere wenn w/R= const, dann bringt der Ersatz von Arbeit durch Kapital und umgekehrt keinen Nutzen und Kapital-Arbeits-Verhältnis X=K/L wird auch konstant bleiben. Es lässt sich zeigen, dass in diesem Fall die modifizierte Produktionsfunktion die Form hat

und die Hicks-Neutralität ist gleichbedeutend mit der Auswirkung des wissenschaftlichen und technischen Fortschritts direkt auf den oben diskutierten Output. Im betrachteten Fall verschiebt sich die Isoquante über die Zeit durch eine Ähnlichkeitstransformation nach links unten, d.h. bleibt genau die gleiche Form wie in der ursprünglichen Position;

2) Fortschritt heißt Harrod-neutral, wenn im Betrachtungszeitraum der Bankzinssatz ( R) hängt nur von der Vermögensrendite ab ( k), d. h. es wird nicht von NTP beeinflusst. Das bedeutet, dass die Grenzverzinsung des Vermögens auf Höhe des Zinssatzes angesetzt wird und eine weitere Kapitalerhöhung nicht ratsam ist. Es kann gezeigt werden, dass diese Art von STP der Produktionsfunktion entspricht

diese. technologischer Fortschritt spart Arbeit;

3) Fortschritt ist Solow-neutral, wenn die Gleichheit der Lohnniveaus ( w) und der Grenzproduktivität der Arbeit und einem weiteren Anstieg der Arbeitskosten unrentabel. Es lässt sich zeigen, dass in diesem Fall die Produktionsfunktion die Form hat

diese. NTP erweist sich als fondssparend. Lassen Sie uns am Beispiel einer linearen Produktionsfunktion drei Arten von wissenschaftlichem und technologischem Fortschritt grafisch darstellen

Im Fall der Hicks-Neutralität haben wir eine modifizierte Produktionsfunktion

Wo A(T) zunehmende Funktion T. Das bedeutet, dass im Laufe der Zeit die Isoquante Q(Liniensegment AB) wird durch Paralleltranslation (Abb. 12) zur Position zum Ursprung verschoben A 1 B 1 .

Im Falle der Harrod-Neutralität hat die modifizierte Produktionsfunktion die Form

Wo l(T) ist eine steigende Funktion.

Offensichtlich, im Laufe der Zeit, der Punkt A bleibt an Ort und Stelle und die Isoquante wird durch Drehung auf die Position zum Ursprung verschoben AB 1 (Abb. 13).

Für Solow-neutralen Fortschritt die entsprechende modifizierte Produktionsfunktion

Wo k(T) ist eine steigende Funktion. Die Isoquante verschiebt sich zum Ursprung, aber zum Punkt IN bewegt sich nicht und dreht sich in Position A 1 B(Abb. 14).

Reis. 12. Isoquantenverschiebung bei neutralem NTP nach Hicks

Reis. 13. Isoquantenverschiebung für arbeitssparendes NTP

Reis. 14. Verschiebung der Isoquanten im fondssparenden NTP

Bei der Konstruktion von Produktionsmodellen unter Berücksichtigung des wissenschaftlichen und technischen Fortschritts werden hauptsächlich folgende Ansätze verwendet:

a) die Idee des exogenen (oder autonomen) technischen Fortschritts, der auch dann existiert, wenn sich die Hauptproduktionsfaktoren nicht ändern. Ein Spezialfall eines solchen NTP ist der Hicks-neutrale Fortschritt, der üblicherweise mit einem Exponentialfaktor berücksichtigt wird, zum Beispiel:

Hier l > 0, charakterisiert die STP-Rate. Es ist leicht zu erkennen, dass die Zeit hier als unabhängiger Faktor für das Wachstum der Produktion fungiert, aber gleichzeitig scheint es, dass der wissenschaftliche und technische Fortschritt von selbst erfolgt, ohne dass zusätzliche Arbeits- und Kapitalinvestitionen erforderlich sind;

b) Die Idee des technischen Fortschritts, verkörpert im Kapital, verbindet das Wachstum des Einflusses des wissenschaftlichen und technischen Fortschritts mit dem Wachstum Kapital Investitionen. Um diesen Ansatz zu formalisieren, wird das Solow-neutrale Fortschrittsmodell zugrunde gelegt:

was geschrieben wird als

Wo K 0 Anlagevermögen zu Beginn der Periode, D K Akkumulation von Kapital über einen Zeitraum, der der Höhe der Investition entspricht.

Offensichtlich, wenn keine Investition getätigt wird, dann D K= 0, und es gibt keine Leistungssteigerung aufgrund des wissenschaftlichen und technischen Fortschritts;

c) Die oben genannten Ansätze zur Modellierung des wissenschaftlichen und technischen Fortschritts haben ein gemeinsames Merkmal: Fortschritt wirkt als ein exogen gegebener Wert, der die Arbeitsproduktivität oder die Kapitalproduktivität und damit das Wirtschaftswachstum beeinflusst.

Langfristig ist STP jedoch sowohl das Ergebnis der Entwicklung als auch zu einem großen Teil deren Ursache. Denn es ist die wirtschaftliche Entwicklung, die es wohlhabenden Gesellschaften ermöglicht, die Schaffung neuer Technologiemodelle zu finanzieren und dann die Früchte der wissenschaftlichen und technologischen Revolution zu ernten. Daher ist es durchaus legitim, STP als endogenes Phänomen zu betrachten, das durch Wirtschaftswachstum verursacht (induziert) wird.

Es gibt zwei Hauptrichtungen der Modellierung des wissenschaftlichen und technischen Fortschritts:

1) Das induzierte Fortschrittsmodell basiert auf der Formel

außerdem wird davon ausgegangen, dass die Gesellschaft die für den wissenschaftlichen und technischen Fortschritt bestimmten Investitionen auf ihre verschiedenen Richtungen verteilen kann. Beispielsweise zwischen dem Wachstum der Kapitalproduktivität ( k(T)) (Verbesserung der Maschinenqualität) und das Wachstum der Arbeitsproduktivität ( l(T)) (Schulung der Mitarbeiter) oder die Wahl der besten (optimalen) Richtung der technischen Entwicklung bei einem bestimmten Volumen der zugewiesenen Kapitalinvestitionen;

2) Das von K. Arrow vorgeschlagene Modell des Lernprozesses im Laufe der Produktion basiert auf der beobachteten Tatsache der wechselseitigen Beeinflussung des Arbeitsproduktivitätswachstums und der Zahl neuer Erfindungen. Im Laufe der Produktion sammeln Arbeiter Erfahrung und die Zeit zur Herstellung eines Produkts verkürzt sich, d.h. Die Arbeitsproduktivität und der Arbeitsbeitrag selbst hängen vom Produktionsvolumen ab

Das Wachstum des Faktors Arbeit wiederum entsprechend der Produktionsfunktion

führt zu einer Produktionssteigerung. In der einfachsten Version des Modells werden die folgenden Formeln verwendet:

diese. die Kapitalrendite steigt.

ABSCHLUSS

Also in diesem Seminararbeit Ich habe viele wichtige und interessante Fakten aus meiner Sicht betrachtet. So wurde beispielsweise festgestellt, dass die Produktionsfunktion eine mathematische Beziehung zwischen dem maximalen Output pro Zeiteinheit und der Kombination von Faktoren ist, die ihn nach dem derzeitigen Stand von Wissen und Technologie erzeugen. In der Produktionstheorie verwenden sie hauptsächlich eine Zwei-Faktor-Produktionsfunktion, die in Gesamtansicht sieht so aus: Q = f(K,L), wobei Q das Produktionsvolumen ist; K - Kapital; L - Arbeit. Die Frage nach dem Verhältnis der Kosten der sich gegenseitig ersetzenden Produktionsfaktoren wird mit Hilfe eines solchen Konzepts wie der Substitutionselastizität der Produktionsfaktoren gelöst. Die Substitutionselastizität ist das Verhältnis der Kosten für die Substitution von Produktionsfaktoren bei konstantem Output. Dies ist eine Art Koeffizient, der den Effizienzgrad bei der Ersetzung eines Produktionsfaktors durch einen anderen angibt. Ein Maß für die Austauschbarkeit von Produktionsfaktoren ist die Grenzrate der technischen Substitution MRTS, die angibt, um wie viele Einheiten einer der Faktoren reduziert werden kann, indem der andere Faktor um eins erhöht wird, wobei der Output unverändert bleibt. Die Grenzrate der technischen Substitution wird durch die Steigung der Isoquanten charakterisiert. MRTS wird durch die Formel ausgedrückt: Isoquant – eine Kurve, die alle möglichen Kombinationen von zwei Kosten darstellt, die ein gegebenes konstantes Produktionsvolumen liefern. Die Finanzierung ist in der Regel begrenzt. Somit ist die optimale Kombination von Faktoren für ein bestimmtes Unternehmen die allgemeine Lösung der Isoquantengleichungen.

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1. Produktion Funktion und technologische Effizienz der Produktion

   Recht >> Wirtschaftstheorie

   Für relativ geringe Produktionsmengen Produktion Funktion Firmen gekennzeichnet durch zunehmende Skalenerträge ... jede spezifische Kombination von Produktionsfaktoren. Produktion Funktion Firmen kann durch eine Reihe von Isoquanten dargestellt werden ...

2. Produktion Funktion, Eigenschaften, Elastizität

   Zusammenfassung >> Mathematik

   ... Produktion Funktionen und Hauptmerkmale Produktion Funktionen……………………………………………………..19 Kapitel II. Arten Produktion Funktionen…………………………………..23 2.1. Definition von linear - homogen Produktion Funktionen ...

3. Die Theorie der Grenzproduktivität von Produktionsfaktoren. Produktion Funktion

   Zusammenfassung >> Wirtschaftswissenschaften

   Produktionsverfahren hierfür zur Verfügung Firma, verwenden Ökonomen Produktion Funktion Firmen.2 Sein Konzept wurde entwickelt... , relativ wenig Kapital und viel Arbeit.1 Produktion Funktion Firmen, wie bereits erwähnt, zeigt ...

wirtschaftliche Funktion ländliche Kosten

Um das Verhalten eines Unternehmens zu beschreiben, ist es notwendig zu wissen, wie viel von einem Produkt es unter Verwendung von Ressourcen in verschiedenen Mengen herstellen kann. Wir gehen davon aus, dass das Unternehmen ein homogenes Produkt herstellt, dessen Menge in natürlichen Einheiten gemessen wird - Tonnen, Stück, Meter usw. Die Abhängigkeit der Produktmenge, die ein Unternehmen produzieren kann, von der Menge der Inputs wird als Produktionsfunktion bezeichnet.

Aber ein Unternehmen kann auf unterschiedliche Weise implementieren Herstellungsprozess, mit unterschiedlichen technologischen Methoden, unterschiedliche Möglichkeiten der Produktionsorganisation, so dass die mit gleichen Ressourcenkosten erzielte Produktmenge unterschiedlich sein kann. Unternehmensmanager sollten Produktionsoptionen ablehnen, die einen geringeren Ertrag des Produkts ergeben, wenn mit dem gleichen Input für jede Art von Ressource ein größerer Ertrag erzielt werden kann. Ebenso müssen sie Optionen ablehnen, die mehr Input von mindestens einer Ressource erfordern, ohne die Ausbeute des Produkts zu erhöhen und die Kosten anderer Ressourcen zu senken. Optionen, die aus diesen Gründen abgelehnt werden, werden als technisch ineffizient bezeichnet.

Angenommen, Ihr Unternehmen stellt Kühlschränke her. Für die Herstellung des Gehäuses müssen Sie Blech schneiden. Je nachdem, wie das Standardblech markiert und geschnitten wird, können mehr oder weniger Teile daraus geschnitten werden; jeweils für die Herstellung ein bestimmter Betrag Kühlschränke brauchen weniger oder mehr Standardblätter Drüse. Gleichzeitig bleibt der Verbrauch aller anderen Materialien, Arbeitskräfte, Geräte und Elektrizität unverändert. Eine solche Produktionsmöglichkeit, die durch rationelleres Schneiden von Eisen verbessert werden kann, sollte als technisch ineffizient erkannt und verworfen werden.

Technisch effiziente Produktionsoptionen sind solche, die nicht verbessert werden können, indem entweder die Produktion eines Produkts erhöht wird, ohne den Ressourcenverbrauch zu erhöhen, oder indem die Kosten einer Ressource gesenkt werden, ohne den Output zu verringern und ohne die Kosten anderer Ressourcen zu erhöhen. Die Produktionsfunktion berücksichtigt nur technisch effiziente Möglichkeiten. Seine Bedeutung ist die größte Zahl Produkt, das ein Unternehmen unter Berücksichtigung des Ressourcenverbrauchs herstellen kann.

Betrachten wir zunächst den einfachsten Fall: Ein Unternehmen produziert eine einzige Art von Produkt und verbraucht eine einzige Art von Ressource. Ein Beispiel für eine solche Produktion ist in der Realität ziemlich schwer zu finden. Selbst wenn wir ein Unternehmen betrachten, das Dienstleistungen bei Kunden zu Hause ohne den Einsatz von Geräten und Materialien (Massage, Nachhilfe) erbringt und nur die Arbeitskraft der Arbeiter aufwendet, müssten wir davon ausgehen, dass die Arbeiter zu Fuß um die Kunden herumgehen (ohne Transportdienste zu nutzen). ) und ohne Hilfe von Post und Telefon mit Kunden verhandeln.

Das Unternehmen, das eine Ressource in Höhe von x ausgibt, kann also ein Produkt in Höhe von q produzieren. Produktionsfunktion

stellt eine Beziehung zwischen diesen Größen her. Beachten Sie, dass hier, wie in anderen Vorlesungen, alle volumetrischen Größen Größen des Flusstyps sind: Das Volumen der Ressourcenkosten wird durch die Anzahl der Einheiten der Ressource pro Zeiteinheit gemessen, und das Volumen der Ausgabe wird durch die Anzahl der gemessen Einheiten des Produkts pro Zeiteinheit.

Auf Abb. 1 zeigt den Graphen der Produktionsfunktion für den betrachteten Fall. Alle Punkte des Diagramms entsprechen technisch effizienten Optionen, insbesondere die Punkte A und B. Punkt C entspricht einer ineffizienten Option und Punkt D einer unerreichbaren Option.

Reis. 1.

Die Produktionsfunktion des Formulars (1), die die Abhängigkeit des Produktionsvolumens vom Kostenvolumen einer einzelnen Ressource festlegt, kann nicht nur zur Veranschaulichung verwendet werden. Es ist auch nützlich, wenn sich der Verbrauch nur einer Ressource ändern kann und die Kosten aller anderen Ressourcen aus dem einen oder anderen Grund als fest angesehen werden müssen. In diesen Fällen interessiert die Abhängigkeit des Produktionsvolumens von den Kosten eines einzelnen variablen Faktors.

Eine viel größere Vielfalt zeigt sich, wenn man eine Produktionsfunktion betrachtet, die von den Mengen zweier verbrauchter Ressourcen abhängt:

q = f(x 1 , x 2), (2)

Eine Analyse solcher Funktionen erleichtert den Übergang zum allgemeinen Fall, in dem die Anzahl der Ressourcen beliebig sein kann. Darüber hinaus werden die Produktionsfunktionen von zwei Argumenten in der Praxis häufig verwendet, wenn der Forscher an der Abhängigkeit des Produktoutputvolumens von den wichtigsten Faktoren - Arbeitskosten (L) und Kapital (K) - interessiert ist:

q = f(L, K), (3)

Ein Graph einer Funktion zweier Variablen kann nicht in einer Ebene gezeichnet werden. Die Produktionsfunktion der Form (2) kann in einem dreidimensionalen kartesischen Raum dargestellt werden, von dem zwei Koordinaten (x 1 und x 2) auf den horizontalen Achsen aufgetragen sind und den Ressourcenkosten entsprechen, und die dritte (q) ist auf der vertikalen Achse aufgetragen und entspricht dem Produktausstoß (Fig. 2). Der Graph der Produktionsfunktion ist die Oberfläche des "Hügels", die mit dem Wachstum jeder der Koordinaten x 1 und x 2 ansteigt. Die Konstruktion in Abb. 1 kann in diesem Fall als vertikaler Schnitt des "Hügels" durch eine Ebene parallel zur x 1 -Achse und entsprechend einem festen Wert der zweiten Koordinate x 2 = x * 2 betrachtet werden.

Reis. 2.

wirtschaftliche ländliche Kosten

Der horizontale Abschnitt des "Hügels" kombiniert Produktionsoptionen, die durch einen festen Output des Produkts q = q * gekennzeichnet sind, mit verschiedenen Kombinationen von Kosten der ersten und zweiten Ressource. Wenn der horizontale Abschnitt der Oberfläche des "Hügels" separat auf einer Ebene mit den Koordinaten x 1 und x 2 dargestellt wird, wird eine Kurve erhalten, die solche Kombinationen von Ressourcenkosten kombiniert, die es ermöglichen, ein bestimmtes festes Produktvolumen zu erhalten Ausgang (Abb. 3). Eine solche Kurve wird als Isoquante der Produktionsfunktion bezeichnet (aus dem Griechischen isoz - das gleiche und dem lateinischen Quantum - wie viel).

Reis. 3.

Nehmen wir an, dass die Produktionsfunktion den Output in Abhängigkeit von den Inputs an Arbeit und Kapital beschreibt. Die gleiche Menge an Output kann mit unterschiedlichen Kombinationen von Inputs dieser Ressourcen erzielt werden. Kann nicht verwendet werden große Menge Maschinen (d.h. mit einer geringen Kapitalinvestition auskommen), aber gleichzeitig muss eine große Menge an Arbeit aufgewendet werden; es ist im Gegenteil möglich, gewisse Operationen zu mechanisieren, die Anzahl der Maschinen zu erhöhen und dadurch die Arbeitskosten zu senken. Bleibt für alle diese Kombinationen der größtmögliche Output konstant, so werden diese Kombinationen durch Punkte dargestellt, die auf derselben Isoquante liegen.

Indem wir den Output eines Produkts auf einem anderen Niveau fixieren, erhalten wir eine andere Isoquante derselben Produktionsfunktion. Nach einer Reihe von horizontalen Schnitten in verschiedenen Höhen erhalten wir die sogenannte Isoquantenkarte (Abb. 4) - die gebräuchlichste grafische Darstellung der Produktionsfunktion zweier Argumente. Sie sieht aus wie geografische Karte, auf dem das Gelände durch Höhenlinien (ansonsten - Isohypsen) dargestellt wird - Linien, die Punkte verbinden, die auf gleicher Höhe liegen.

Es ist leicht zu erkennen, dass die Produktionsfunktion in vielerlei Hinsicht der Nutzenfunktion in der Konsumtheorie ähnlich ist, die Isoquante der Indifferenzkurve ähnlich ist, die Isoquantenkarte der Indifferenzkarte ähnlich ist. Später werden wir sehen, dass die Eigenschaften und Merkmale der Produktionsfunktion viele Analogien in der Konsumtheorie haben. Und es geht nicht nur um Ähnlichkeit. In Bezug auf Ressourcen verhält sich das Unternehmen wie ein Konsument, und die Produktionsfunktion charakterisiert genau diese Seite der Produktion – Produktion als Konsumtion. Dieser oder jener Satz von Ressourcen ist insofern für die Produktion nützlich, als er es Ihnen ermöglicht, die entsprechende Menge an Output des Produkts zu erhalten. Wir können sagen, dass die Werte der Produktionsfunktion den Nutzen für die Produktion des entsprechenden Ressourcensatzes ausdrücken. Im Gegensatz zum Verbrauchernutzen hat dieser „Nutzen“ ein genau definiertes quantitatives Maß – er wird durch die Menge der produzierten Produkte bestimmt.

Reis. 4.

Dass sich die Werte der Produktionsfunktion auf technisch effiziente Optionen beziehen und den größten Output beim Verbrauch eines gegebenen Ressourcensets charakterisieren, hat auch eine Analogie in der Konsumtheorie. Der Verbraucher kann die erworbenen Waren auf unterschiedliche Weise nutzen. Die Nützlichkeit einer gekauften Warengruppe wird durch die Verwendung bestimmt, bei der der Verbraucher die größte Befriedigung findet.

Bei all den festgestellten Ähnlichkeiten zwischen Verbrauchernutzen und „Nutzen“, die durch die Werte der Produktionsfunktion ausgedrückt werden, ist dies jedoch vollständig unterschiedliche Konzepte. Der Verbraucher bestimmt selbst, nur aufgrund seiner eigenen Vorlieben, wie nützlich dieses oder jenes Produkt für ihn ist – durch Kauf oder Ablehnung. Ein Set von Produktionsmitteln wird sich letztlich insofern als nützlich erweisen, als das mit diesen Mitteln hergestellte Produkt beim Verbraucher ankommt.

Da die allgemeinsten Eigenschaften der Nutzenfunktion der Produktionsfunktion inhärent sind, können wir ihre Haupteigenschaften weiter betrachten, ohne die ausführlichen Argumente in Teil II zu wiederholen.

Wir gehen davon aus, dass eine Erhöhung der Kosten einer der Ressourcen, während die Kosten der anderen unverändert bleiben, es uns ermöglicht, den Output zu erhöhen. Das bedeutet, dass die Produktionsfunktion eine wachsende Funktion jedes ihrer Argumente ist. Eine einzelne Isoquante geht durch jeden Punkt der Ressourcenebene mit den Koordinaten x 1 , x 2 . Alle Isoquanten haben eine negative Steigung. Die Isoquante, die einer höheren Ausbeute des Produkts entspricht, befindet sich rechts und oberhalb der Isoquante für eine niedrigere Ausbeute. Schließlich werden alle Isoquanten in Richtung des Ursprungs als konvex betrachtet.

Auf Abb. 5 zeigt einige charakterisierende Isoquantenkarten verschiedene Situationen die aus dem Produktionsverbrauch zweier Ressourcen entstehen. Reis. 5a entspricht der absoluten gegenseitigen Substitution von Ressourcen. In dem in Abb. In Fig. 5b kann die erste Ressource vollständig durch die zweite ersetzt werden: Die auf der x2-Achse liegenden Isoquantenpunkte zeigen die Menge der zweiten Ressource, was es ermöglicht, den einen oder anderen Produktoutput ohne Nutzung der ersten Ressource zu erhalten. Die Verwendung der ersten Ressource reduziert die Kosten der zweiten, aber es ist unmöglich, die zweite Ressource vollständig durch die erste zu ersetzen. Reis. 5c zeigt eine Situation, in der beide Ressourcen benötigt werden und keine vollständig durch die andere ersetzt werden kann. Schließlich ist der in Abb. 5d zeichnet sich durch absolute Komplementarität der Ressourcen aus.

Reis. 5.

Die Produktionsfunktion, die von zwei Argumenten abhängt, hat eine ziemlich visuelle Darstellung und ist relativ einfach zu berechnen. Es sei darauf hingewiesen, dass die Wirtschaft die Produktionsfunktionen verschiedener Objekte nutzt - Unternehmen, Industrien, nationale und globale Volkswirtschaften. Meistens sind dies Funktionen der Form (3); manchmal wird ein drittes Argument hinzugefügt - die Kosten der natürlichen Ressourcen (N):

q = f(L, K, N), (4)

Dies ist sinnvoll, wenn die Menge an natürlichen Ressourcen involviert ist Produktionstätigkeiten, ist variabel.

In der angewandten Wirtschaftsforschung und in der Wirtschaftstheorie werden verschiedene Arten von Produktionsfunktionen verwendet. In der angewandten Berechnung zwingen uns die Erfordernisse der praktischen Berechenbarkeit, uns auf wenige Faktoren zu beschränken, und diese Faktoren werden auf einer erweiterten Basis betrachtet - "Arbeit" ohne Untergliederung nach Berufen und Qualifikationen, "Kapital" ohne Berücksichtigung dessen spezifische Zusammensetzung usw. Bei der theoretischen Analyse der Produktion kann von den Schwierigkeiten der praktischen Berechenbarkeit abstrahiert werden.

Rohstoffe unterschiedlicher Qualität müssen als unterschiedliche Arten von Ressourcen betrachtet werden, ebenso wie Maschinen unterschiedlicher Marken oder Arbeitskräfte, die sich in ihren beruflichen und Qualifikationsmerkmalen unterscheiden. Somit ist die in der Theorie verwendete Produktionsfunktion eine Funktion einer Vielzahl von Argumenten:

q = f(x 1 , x 2 ,..., x n), (5)

Der gleiche Ansatz wurde in der Konsumtheorie verwendet, wo die Anzahl der Arten von Konsumgütern in keiner Weise begrenzt war.

Alles, was zuvor über die Produktionsfunktion zweier Argumente gesagt wurde, lässt sich natürlich mit Dimensionsvorbehalt auf eine Funktion der Form (4) übertragen. Die Isoquanten der Funktion (4) sind keine flachen Kurven, sondern n-dimensionale Flächen. Trotzdem werden wir auch in Zukunft „flache Isoquanten“ verwenden – sowohl zur Veranschaulichung als auch als bequemes Mittel Analyse in Fällen, in denen die Kosten von zwei Ressourcen variabel sind und der Rest als fest angesehen wird.

Arten von Produktionsfunktionen sind in Tabelle 1 dargestellt.

Tabelle 1. Arten von Produktionsfunktionen

PF-Name	Zwei-Faktor-PF	Verwendung
1. Funktion mit festen Faktoranteilen (Leontief PF)		Es ist für die Modellierung streng deterministischer Technologien gedacht, die keine Abweichungen von technologischen Normen für den Ressourcenverbrauch pro Leistungseinheit zulassen.
2. Cobb-Douglas PF		Es wird verwendet, um Objekte mittlerer Größe (von einem Industrieverband bis zu einer Industrie) zu beschreiben, die sich durch eine stabile, stabile Funktion auszeichnen.
3. Linearer Leistungsfaktor		Es dient zur Modellierung von Großsystemen (Großindustrie, n-x insgesamt), in denen der Output das Ergebnis des gleichzeitigen Einsatzes vieler unterschiedlicher Technologien ist.
4. PF Allen		Es soll Produktionsprozesse beschreiben, bei denen das übermäßige Wachstum eines der Faktoren einen negativen Einfluss auf die Produktion hat. Wird normalerweise verwendet, um kleine PSs mit zu beschreiben behindert Ressourcenverarbeitung.
5. PF konstante Elastizitätssubstitutionsfaktoren (PES oder CES)		Es wird in Fällen verwendet, in denen keine genauen Informationen über den Grad der Austauschbarkeit von Produktionsfaktoren vorliegen und Grund zu der Annahme besteht, dass sich dieser Grad nicht wesentlich ändert, wenn sich das Volumen der beteiligten Ressourcen ändert.
6. PF mit linearer Elastizität des Faktorersatzes (LES)
7. Solow-Funktion		Kann in ungefähr den gleichen Situationen wie der PF MIW verwendet werden, aber die zugrunde liegenden Annahmen sind schwächer als die des MIW. Empfohlen, wenn die Annahme der Homogenität nicht gerechtfertigt erscheint. Kann Systeme jeder Größenordnung modellieren.

Neoklassische Modelle des Wirtschaftswachstums basieren auf der Produktionsfunktion und basieren auf den Annahmen von Vollbeschäftigung, Preisflexibilität auf allen Märkten und vollständiger Austauschbarkeit von Produktionsfaktoren. Versuche zu untersuchen, inwieweit die Qualität von Produktionsfaktoren (ihre Produktivität) und verschiedene Anteile in ihrer Kombination das Wirtschaftswachstum beeinflussen, führten zur Entstehung des Cobb-Douglas-Produktionsfunktionsmodells.

Die Cobb-Douglas-Funktion wurde zuerst von Knut Wicksell vorgeschlagen. 1928 von Charles Cobb und Paul Douglas in A Theory of Production (März 1928) anhand statistischer Daten getestet, das Produktionsvolumen in der US-Fertigungsindustrie.

Die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion ist die Abhängigkeit des Produktionsvolumens Q von der Arbeit L und dem Kapital K, die es erzeugen.

Gesamtansicht der Funktion:

wobei A der technologische Koeffizient ist,

b ist der Arbeitselastizitätskoeffizient und

c - Kapitalelastizitätskoeffizient.

Erstmals wurde die Cobb-Douglas-Funktion als Ergebnis einer mathematischen Transformation der einfachsten zweifaktoriellen Produktionsfunktion y = f(x1, x2) erhalten, die den Zusammenhang zwischen dem Produktionsvolumen y und zwei Arten von widerspiegelt Ressourcen: Material x1 (Kosten für Rohstoffe, Energie, Transport und andere Ressourcen) und Arbeit x2. Die Cobb-Douglas-Funktion zeigt, welchen Anteil des Gesamtprodukts der an seiner Entstehung beteiligte Produktionsfaktor vergütet.

Somit ist eine eindeutige quantitative Bestimmung des Anteils jedes Produktionsmittels am Endprodukt schwierig, da die Produktion nur im Zusammenspiel aller Faktoren möglich ist und der Einfluss jedes Faktors sowohl von der Menge seiner Nutzung als auch von der Menge abhängt der Nutzung anderer Ressourcen.

Die Konstruktion von Produktionsfunktionen ermöglicht es, wenn auch nicht absolut genau, die Auswirkungen jeder der Ressourcen auf das Produktionsergebnis zu bestimmen, die Änderung des Produktionsvolumens bei Änderungen des Ressourcenvolumens vorherzusagen, die optimale Kombination von Ressourcen zu bestimmen eine bestimmte Produktionsmenge erhalten.

Die Produktion ist das Haupttätigkeitsfeld des Unternehmens. Unternehmen verwenden Produktionsfaktoren, die auch als Input (Input) Produktionsfaktoren bezeichnet werden.

Eine Produktionsfunktion ist die Beziehung zwischen einer Reihe von Produktionsfaktoren und der maximal möglichen Produktmenge, die von einer gegebenen Reihe von Faktoren produziert wird.

Eine Produktionsfunktion kann durch viele Isoquanten dargestellt werden, die unterschiedlichen Produktionsniveaus zugeordnet sind. Diese Art von Funktion, bei der eine explizite Abhängigkeit des Produktionsvolumens von der Verfügbarkeit oder dem Verbrauch von Ressourcen festgestellt wird, wird als Outputfunktion bezeichnet.

Insbesondere werden Output-Funktionen häufig in der Landwirtschaft verwendet, wo sie verwendet werden, um die Auswirkungen von Faktoren wie beispielsweise verschiedenen Arten und Zusammensetzungen von Düngemitteln und Bodenbearbeitungsmethoden auf die Erträge zu untersuchen. Neben ähnlichen Produktionsfunktionen werden die Umkehrfunktionen der Produktionskosten verwendet. Sie charakterisieren die Abhängigkeit der Ressourcenkosten von der Produktionsmenge (genau genommen sind sie nur invers zu PF mit austauschbaren Ressourcen). Sonderfälle von PF können als Kostenfunktion (das Verhältnis zwischen Produktionsvolumen und Produktionskosten) betrachtet werden, als Investitionsfunktion: die Abhängigkeit der erforderlichen Investition von der Produktionskapazität des zukünftigen Unternehmens.

Es gibt eine Vielzahl von algebraischen Ausdrücken, die zur Darstellung von Produktionsfunktionen verwendet werden können. Das einfachste Modell ist ein Spezialfall des allgemeinen Produktionsanalysemodells. Wenn dem Unternehmen nur eine Aktivität zur Verfügung steht, kann die Produktionsfunktion durch rechteckige Isoquanten mit konstanten Skalenerträgen dargestellt werden. Es gibt keine Möglichkeit, das Verhältnis der Produktionsfaktoren zu ändern, und die Substitutionselastizität ist sicherlich Null. Dies ist eine hochspezialisierte Fertigungsfunktion, aber ihre Einfachheit erklärt ihre weitverbreitete Verwendung in vielen Modellen.

Mathematisch können Produktionsfunktionen in verschiedenen Formen dargestellt werden - von so einfachen wie einer linearen Abhängigkeit des Produktionsergebnisses von einem untersuchten Faktor bis hin zu sehr komplexen Gleichungssystemen, einschließlich Rekursionsbeziehungen, die die Zustände des untersuchten Objekts verbinden verschiedene Zeiträume..

Die Produktionsfunktion wird grafisch durch eine Familie von Isoquanten dargestellt. Je weiter die Isoquante vom Ursprung entfernt ist, desto größer ist das Produktionsvolumen, das sie widerspiegelt. Im Gegensatz zu einer Indifferenzkurve charakterisiert jede Isoquante eine quantifizierte Menge an Output.

Abbildung 2 _ Isoquanten, die unterschiedlichen Produktionsmengen entsprechen

Auf Abb. 1 zeigt drei Isoquanten, die einem Produktionsvolumen von 200, 300 und 400 Einheiten entsprechen. Man kann sagen, dass für die Produktion von 300 Produktionseinheiten K 1 Kapitaleinheiten und L 1 Arbeitseinheiten oder K 2 Kapitaleinheiten und L 2 Arbeitseinheiten benötigt werden, oder jede andere Kombination von ihnen aus der dargestellten Menge durch die Isoquante Y 2 = 300.

Im allgemeinen Fall wird in der Menge X der zulässigen Mengen von Produktionsfaktoren eine Teilmenge X c zugeordnet, die als Isoquante der Produktionsfunktion bezeichnet wird und dadurch gekennzeichnet ist, dass für jeden Vektor die Gleichheit gilt

Somit sind für alle Ressourcensätze, die der Isoquante entsprechen, die Produktionsvolumina gleich. Im Wesentlichen ist eine Isoquante eine Beschreibung der Möglichkeit der gegenseitigen Substitution von Faktoren im Produktionsprozess von Waren, die ein konstantes Produktionsvolumen gewährleisten. In diesem Zusammenhang ist es möglich, den Koeffizienten des gegenseitigen Ersatzes von Ressourcen zu bestimmen, indem die differentielle Beziehung entlang einer beliebigen Isoquante verwendet wird

Daher ist der Koeffizient des äquivalenten Ersatzes eines Paars von Faktoren j und k gleich:

Das resultierende Verhältnis zeigt, dass, wenn Produktionsressourcen in einem Verhältnis ersetzt werden, das dem Verhältnis der inkrementellen Produktivität entspricht, die Produktionsmenge unverändert bleibt. Es muss gesagt werden, dass die Kenntnis der Produktionsfunktion es ermöglicht, das Ausmaß der Möglichkeit zu charakterisieren, den gegenseitigen Ersatz von Ressourcen in effizienten technologischen Methoden durchzuführen. Um dieses Ziel zu erreichen, wird der Elastizitätskoeffizient des Ersatzes von Ressourcen durch Produkte verwendet.

die entlang der Isoquante bei konstantem Kostenniveau anderer Produktionsfaktoren berechnet wird. Der Wert sjk ist ein Merkmal der relativen Änderung des Koeffizienten des gegenseitigen Ersatzes von Ressourcen, wenn sich das Verhältnis zwischen ihnen ändert. Wenn sich das Verhältnis der austauschbaren Ressourcen um sjk Prozent ändert, ändert sich das gegenseitige Ersatzverhältnis sjk um ein Prozent. Bei einer linearen Produktionsfunktion bleibt der gegenseitige Substitutionskoeffizient für jedes Verhältnis der verwendeten Ressourcen unverändert, und daher können wir davon ausgehen, dass die Elastizität s jk = 1 ist. Dementsprechend zeigen große Werte von sjk an, dass eine größere Freiheit möglich ist Produktionsfaktoren entlang der Isoquante ersetzen und gleichzeitig die Hauptmerkmale Produktionsfunktion (Produktivität, Austauschfaktor) kaum ändern.

Für Stromerzeugungsfunktionen für jedes Paar austauschbarer Ressourcen gilt die Gleichheit s jk = 1.

Die Darstellung eines effektiven technologischen Sets durch eine skalare Produktionsfunktion erweist sich in den Fällen als unzureichend, in denen es nicht möglich ist, mit einem einzigen Indikator auszukommen, der die Ergebnisse der Produktionsanlage beschreibt, sondern mehrere (M) Output-Indikatoren verwendet werden müssen (Abbildung 3 ).

Abbildung 3 _ Verschiedene Verhaltensweisen von Isoquanten

Unter diesen Bedingungen kann man die Vektorproduktionsfunktion verwenden

Das wichtige Konzept der marginalen (differenziellen) Produktivität wird durch die Relation eingeführt

Alle anderen Hauptmerkmale von skalaren PFs lassen eine ähnliche Verallgemeinerung zu.

Wie Indifferenzkurven werden auch Isoquanten in verschiedene Typen eingeteilt.

Für eine lineare Produktionsfunktion der Form

wobei Y das Produktionsvolumen ist; Parameter A , b 1 , b 2 ; K , L Kapital- und Arbeitskosten und der vollständige Ersatz einer Ressource durch eine andere Isoquante haben eine lineare Form (Abbildung 4, a).

Für die Stromerzeugungsfunktion

Dann sehen die Isoquanten wie Kurven aus (Abbildung 4, b).

Wenn die Isoquante nur eine technologische Methode zur Herstellung eines bestimmten Produkts widerspiegelt, werden Arbeit und Kapital in der einzig möglichen Kombination kombiniert (Abbildung 4, c).

d) Gebrochene Isoquanten

Figur 4 - Verschiedene Varianten isoquant

Solche Isoquanten werden manchmal als Isoquanten vom Leontief-Typ bezeichnet, nachdem der amerikanische Ökonom W.V. Leontiev, der diese Art von Isoquanten der von ihm entwickelten Input-Output-Methode zugrunde legte.

Die gebrochene Isoquante impliziert das Vorhandensein einer begrenzten Anzahl von Technologien F (Abbildung 4, d).

Isoquanten dieser Konfiguration werden in der linearen Programmierung verwendet, um die Theorie der optimalen Ressourcenallokation zu untermauern. Gebrochene Isoquanten repräsentieren am realistischsten die technologischen Fähigkeiten vieler Produktionsanlagen. In der Wirtschaftstheorie werden jedoch traditionell Isoquantenkurven verwendet, die sich aus gestrichelten Linien mit steigender Anzahl von Technologien bzw. steigenden Breakpoints ergeben.

Am weitesten verbreitet sind multiplikative Potenzformen zur Darstellung von Produktionsfunktionen. Ihre Besonderheit ist folgende: Wenn einer der Faktoren gleich Null ist, dann verschwindet das Ergebnis. Es ist leicht einzusehen, dass dies die Tatsache realistisch widerspiegelt, dass in den meisten Fällen alle analysierten Primärressourcen an der Produktion beteiligt sind und ohne sie keine Produktion möglich ist. In ihrer allgemeinsten Form (sie wird als kanonisch bezeichnet) wird diese Funktion wie folgt geschrieben:

Dabei berücksichtigt der Koeffizient A vor dem Multiplikationszeichen die Dimension, er hängt von der gewählten Maßeinheit der Kosten und des Outputs ab. Faktoren vom ersten bis zum n-ten können unterschiedlichen Inhalt haben, je nachdem, welche Faktoren das Gesamtergebnis (Output) beeinflussen. Beispielsweise ist es in der PF, die zur Untersuchung der Wirtschaft als Ganzes verwendet wird, möglich, das Volumen des Endprodukts als Leistungsindikator und die Faktoren - die Anzahl der Beschäftigten x1, die Summe von Fix und Betriebskapital x2, genutzte Landfläche x3. Es gibt nur zwei Faktoren in der Cobb-Douglas-Funktion, mit deren Hilfe versucht wurde, die Beziehung von Faktoren wie Arbeit und Kapital mit dem Wachstum des US-Nationaleinkommens in den 20-30er Jahren zu bewerten. XX Jahrhundert:

N = A Lb Kv,

wobei N das Volkseinkommen ist; L und K - jeweils das Volumen der angewandten Arbeit und des Kapitals (für Details siehe; Cobb-Douglas-Funktion).

Die Leistungskoeffizienten (Parameter) der multiplikativen Leistungserzeugungsfunktion zeigen den Anteil an der prozentualen Steigerung des Endprodukts, den jeder der Faktoren beiträgt (oder um wie viel Prozent sich das Produkt erhöht, wenn die Kosten der entsprechenden Ressource um ein Prozent erhöht werden ); sie sind Elastizitätskoeffizienten der Produktion in Bezug auf die Kosten der entsprechenden Ressource. Wenn die Summe der Koeffizienten 1 ist, bedeutet dies die Homogenität der Funktion: Sie steigt proportional zur Zunahme der Ressourcenmenge. Aber auch solche Fälle sind möglich, wenn die Summe der Parameter größer oder kleiner als Eins ist; dies zeigt, dass eine Kostensteigerung zu einer überproportionalen oder unterproportionalen Steigerung des Outputs führt – Skaleneffekte.

In der dynamischen Version werden verschiedene Formen der Produktionsfunktion verwendet. Zum Beispiel im 2-Faktor-Fall: Y(t) = A(t) Lb(t) Kv(t), wobei der Faktor A(t) normalerweise mit der Zeit zunimmt und die Gesamteffizienzsteigerung der Produktionsfaktoren widerspiegelt in Dynamik.

Durch Logarithmieren und Ableiten der obigen Funktion nach t erhält man die Verhältnisse zwischen den Wachstumsraten des Endprodukts (Volkseinkommen) und dem Wachstum der Produktionsfaktoren (die Wachstumsraten der Variablen werden hier meist in Prozent angegeben) .

Eine weitere „Dynamisierung“ des PF kann in der Verwendung variabler Elastizitätskoeffizienten bestehen.

Die von der PF beschriebenen Kennzahlen sind statistischer Natur, d.h. sie treten nur im Durchschnitt in einer großen Anzahl von Beobachtungen auf, da nicht nur die analysierten Faktoren, sondern auch viele nicht berücksichtigte Faktoren tatsächlich das Produktionsergebnis beeinflussen. Darüber hinaus sind die angewandten Indikatoren sowohl der Kosten als auch der Ergebnisse zwangsläufig Produkte einer komplexen Aggregation (z. B. umfasst ein verallgemeinerter Indikator der Arbeitskosten in einer makroökonomischen Funktion Arbeitskosten unterschiedlicher Produktivität, Intensität, Qualifikation usw.).

Ein besonderes Problem stellt die Berücksichtigung des Faktors des technischen Fortschritts bei makroökonomischen PF dar (näheres dazu im Artikel „ Wissenschaftlicher und technischer Fortschritt“). Mit Hilfe von PF wird auch die äquivalente Austauschbarkeit von Produktionsfaktoren untersucht (siehe Substitutionselastizität von Ressourcen), die entweder konstant oder variabel (dh abhängig von der Menge der Ressourcen) sein kann. Dementsprechend werden Funktionen in zwei Typen eingeteilt: mit konstanter Substitutionselastizität (CES – Constant Elasticity of Substitution) und mit variabler (VES – Variable Elasticity of Substitution) (siehe unten).

In der Praxis werden drei Hauptmethoden verwendet, um die Parameter makroökonomischer PFs zu bestimmen: auf der Grundlage der Verarbeitung von Zeitreihen, auf der Grundlage von Daten zu den Strukturelementen von Aggregaten und auf der Grundlage der Verteilung des Volkseinkommens. Die letzte Methode heißt Verteilung.

Bei der Konstruktion einer Produktionsfunktion müssen die Phänomene der Multikollinearität von Parametern und der Autokorrelation beseitigt werden - ansonsten sind grobe Fehler unvermeidlich.

Hier sind einige wichtige Produktionsfunktionen.

Lineare Produktionsfunktion:

P = a1x1 + ... + anxn,

wobei a1, ..., an die geschätzten Parameter des Modells sind: hier werden die Produktionsfaktoren in beliebigen Anteilen substituiert.

CES-Funktion:

P \u003d EIN [(1 - b) K-b + bL-b] -c / b,

in diesem Fall hängt die Elastizität der Ressourcensubstitution weder von K noch von L ab und ist daher konstant:

Daraus leitet sich der Name der Funktion ab.

Die CES-Funktion geht wie die Cobb-Douglas-Funktion von einer konstanten Abnahme der Grenzrate der Substitution der eingesetzten Ressourcen aus. Währenddessen kann die Elastizität des Ersatzes von Kapital durch Arbeit und umgekehrt von Arbeit durch Kapital in der Cobb-Douglas-Funktion, gleich eins, hier verschiedene Werte annehmen, die ungleich eins sind, obwohl sie konstant ist. Schließlich führt der Logarithmus der CES-Funktion im Gegensatz zur Cobb-Douglas-Funktion nicht zu einer linearen Form, was die Verwendung komplexerer Methoden der nichtlinearen Regressionsanalyse zur Schätzung der Parameter erzwingt.

Die Produktionsfunktion ist immer konkret, d.h. für diese Technologie vorgesehen. Neue Technologie- Neue Produktivitätsfunktion. Die Produktionsfunktion bestimmt die minimale Menge an Input, die benötigt wird, um eine bestimmte Produktmenge zu produzieren.

Produktionsfunktionen haben unabhängig davon, welche Art von Produktion sie ausdrücken, die folgenden allgemeinen Eigenschaften:

• 1) Eine Produktionssteigerung aufgrund einer Kostensteigerung für nur eine Ressource hat eine Grenze (Sie können nicht viele Arbeiter in einem Raum einstellen – nicht jeder wird Plätze haben).
• 2) Produktionsfaktoren können komplementär (Arbeiter und Werkzeuge) und austauschbar (Produktionsautomatisierung) sein.

In ihrer allgemeinsten Form sieht die Produktionsfunktion so aus:

wo ist das Produktionsvolumen;

K-Kapital (Ausrüstung);

M - Rohstoffe, Materialien;

T - Technologie;

N - unternehmerische Fähigkeiten.

Das einfachste ist das Zwei-Faktoren-Modell der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion, das die Beziehung zwischen Arbeit (L) und Kapital (K) aufzeigt.

Diese Faktoren sind austauschbar und ergänzen sich. Bereits 1928 erstellten amerikanische Wissenschaftler – der Wirtschaftswissenschaftler P. Douglas und der Mathematiker C. Cobb – ein makroökonomisches Modell, mit dem Sie den Beitrag verschiedener Produktionsfaktoren zu einer Steigerung der Produktion oder des Volkseinkommens bewerten können. Diese Funktion hat folgende Form:

wobei A ein Produktionskoeffizient ist, der die Proportionalität aller Funktionen und Änderungen bei einer Änderung der Basistechnologie (in 30-40 Jahren) zeigt;

K, L-Kapital und Arbeit;

b, c - Elastizitätskoeffizienten des Produktionsvolumens für Kapital- und Arbeitskosten.

Wenn b = 0,25, dann erhöht eine Erhöhung der Kapitalkosten um 1 % den Output um 0,25 %.

Basierend auf der Analyse der Elastizitätskoeffizienten in der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion können wir unterscheiden:

1) eine proportional steigende Produktionsfunktion, wenn

2) überproportional - zunehmend

3) abnehmend

Betrachten wir einen kurzen Zeitraum der Tätigkeit eines Unternehmens, in dem die Arbeit die Variable zweier Faktoren ist. In einer solchen Situation kann das Unternehmen die Produktion steigern, indem es mehr Arbeitsressourcen einsetzt (Abbildung 5).

Abbildung 5_ Dynamik und Verhältnis von Gesamtdurchschnitts- und Grenzprodukten

Abbildung 5 zeigt einen Graphen der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion, wobei eine Variable gezeigt wird – die TRn-Kurve.

Die Cobb-Douglas-Funktion hatte ein langes und erfolgreiches Leben ohne ernsthafte Konkurrenten, wurde aber kürzlich von einer neuen Arrow-, Chenery-, Minhas- und Solow-Funktion, die wir kurz SMAC nennen, stark konkurriert. (Brown und De Cani haben diese Funktion auch unabhängig voneinander entwickelt). Der Hauptunterschied der SMAC-Funktion besteht darin, dass die Elastizität der Substitutionskonstante y eingeführt wird, die sich von Eins (wie in der Cobb-Douglas-Funktion) und Null unterscheidet: wie im Input-Output-Modell.

Die Vielfalt der Markt- und Technologiebedingungen, die in der heutigen Wirtschaft bestehen, legt nahe, dass es unmöglich ist, die grundlegenden Anforderungen einer vernünftigen Aggregation zu erfüllen, außer vielleicht für einzelne Unternehmen in derselben Branche oder in begrenzten Wirtschaftssektoren.

So kann in ökonomischen und mathematischen Produktionsmodellen jede Technologie grafisch durch einen Punkt dargestellt werden, dessen Koordinaten die minimal notwendigen Ressourcenkosten K und L für die Produktion eines gegebenen Produktionsvolumens widerspiegeln. Viele solcher Punkte bilden eine Linie gleicher Leistung oder eine Isoquante. Das heißt, die Produktionsfunktion wird grafisch durch eine Familie von Isoquanten dargestellt. Je weiter die Isoquante vom Ursprung entfernt ist, desto größer ist das Produktionsvolumen, das sie widerspiegelt. Im Gegensatz zu einer Indifferenzkurve charakterisiert jede Isoquante eine quantifizierte Menge an Output. Üblicherweise wird in der Mikroökonomie eine Zwei-Faktoren-Produktionsfunktion analysiert, die die Abhängigkeit des Outputs von der eingesetzten Menge an Arbeit und Kapital widerspiegelt.

Produktion ist der Prozess der Schaffung verschiedener Arten von Wirtschaftsprodukten. Der Begriff der Produktion kennzeichnet eine spezifisch menschliche Art des Stoffaustausches mit der Natur, genauer gesagt, den Prozess der aktiven Umwandlung natürlicher Ressourcen durch den Menschen, um die notwendigen materiellen Voraussetzungen für deren Existenz zu schaffen.

Der Produktionsprozess ist ein zielgerichteter Prozess der Umwandlung verschiedener Gegenstände in Produktionsprodukte, der von einer Person mit Hilfe von Arbeitswerkzeugen reguliert wird.

Die Produktionsfunktion charakterisiert das technische Verhältnis zwischen Ressourcen und Output und beschreibt die Gesamtheit technologisch effizienter Methoden. Jedes Verfahren kann durch seine Produktionsfunktion beschrieben werden.

Die Produktionsfunktion beschreibt eine Reihe von technisch effizienten Produktionsmethoden. Jede Produktionsweise (oder jeder Produktionsprozess) ist durch eine bestimmte Kombination von Ressourcen gekennzeichnet, die nicht unbedingt erforderlich ist, um eine Produktionseinheit auf einem bestimmten Technologieniveau zu erhalten. Methode A gilt im Vergleich zu Methode B als technisch effizient, wenn mindestens eine Ressource weniger und alle anderen nicht mehr als Methode B verbraucht werden. Letztere gilt im Vergleich zu Methode A als technisch ineffizient. Technisch ineffiziente Methoden sind es nicht verwendet rationaler Unternehmer. Werden hingegen bei Methode A einige Ressourcen in größerem Umfang und andere in geringerem Umfang eingesetzt als bei Methode B, so sind diese Methoden hinsichtlich ihrer technischen Effizienz unvergleichbar. In diesem Fall gelten beide Methoden als technisch effizient und sind in der Produktionsfunktion enthalten. Welche gewählt und tatsächlich geregelt werden, hängt vom Preisverhältnis der jeweiligen Ressourcen ab. Diese Auswahl basiert auf den Kriterien wirtschaftliche Effizienz^Vergleichen Sie mit dem Axiom der Nichtsättigung in der Theorie des Verbraucherverhaltens, Fragen, die wir am Ende des Kapitels behandeln werden. Hier ist es wichtig unter. betonen, dass es einen grundlegenden Unterschied zwischen den Begriffen technischer und wirtschaftlicher Effizienz gibt. Beachten Sie auch, dass eine Änderung des Verhältnisses der Ressourcenpreise ein zuvor gewähltes technisch und wirtschaftlich effizientes Verfahren wirtschaftlich ineffizient machen kann und umgekehrt.

Unternehmen entstehen Kosten, wenn sie Vorleistungen zur Herstellung der Waren* erwerben: Dienstleistungen, die sie verkaufen werden. Die Produktionsfunktion kann verwendet werden, um die Beziehung zwischen dem Produktionsprozess eines Unternehmens und seinen Gesamtkosten zu untersuchen.

Die Produktionsfunktion ist eine wirtschaftsmathematische Gleichung, die variable Kosten (Ressourcen) mit Produktionswerten (Output) in Beziehung setzt. Die Produktionsfunktion wird verwendet, um den Einfluss verschiedener Kombinationen von Faktoren auf das Produktionsvolumen zu einem bestimmten Zeitpunkt zu analysieren (statische Option) und um das Verhältnis von Faktor- und Produktionsvolumen zu verschiedenen Zeitpunkten zu analysieren und vorherzusagen (dynamisch Option) auf verschiedenen Ebenen der Wirtschaft - von der Firma (Unternehmen) bis zur Volkswirtschaft als Ganzes. In einer einzelnen Firma, einem Unternehmen usw. beschreibt die Produktionsfunktion den maximalen Output, den sie für jede Kombination von verwendeten Produktionsfaktoren produzieren können.

In der Produktionstheorie wird traditionell eine zweifaktorielle Produktionsfunktion verwendet, die den Zusammenhang zwischen dem maximal möglichen Output (Q) und den eingesetzten Mengen an Arbeitsressourcen (L) und Kapital (K) charakterisiert:

Dies erklärt sich nicht nur aus der Bequemlichkeit der grafischen Darstellung, sondern auch aus der Tatsache, dass der spezifische Materialverbrauch in vielen Fällen wenig vom Produktionsvolumen abhängt und Faktoren wie Produktionsflächen normalerweise zusammen mit Kapital betrachtet werden. Dabei werden die Ressourcen L und K sowie der Output Q flussbezogen betrachtet, d.h. in Nutzungseinheiten (Output) pro Zeiteinheit. Graphisch kann jede Produktionsweise durch einen Punkt dargestellt werden, dessen Koordinaten die minimalen Ressourcenmengen L und A charakterisieren, die für die Produktion eines bestimmten Produktionsvolumens erforderlich sind, und die Produktionsfunktion kann durch eine Linie gleicher Werte dargestellt werden Output oder eine Isoquante, so wie in der Konsumtheorie die Indifferenzkurve ein und dasselbe Zufriedenheitsniveau oder Nutzen unterschiedlicher Kombinationen von Konsumgütern charakterisiert.

Somit stellt jede Isoquante auf der Output-Karte die Menge der minimal erforderlichen Kombinationen von Inputs oder technisch effizienten Möglichkeiten dar, um eine bestimmte Menge an Output zu erzeugen. Je weiter die Isoquante vom Ursprung entfernt ist, desto größer ist der Output, den sie darstellt. Gleichzeitig charakterisiert jede Isoquante im Gegensatz zu Indifferenzkurven ein quantitativ bestimmtes Outputvolumen.

Ein bestimmtes Output-Niveau kann mit verschiedenen Kombinationen von Kapital- und Arbeitsinput erreicht werden. Die durch die Bedingungen j(K, L) = const. beschriebenen Kurven heißen Isoquanten. Üblicherweise wird angenommen, dass die Grenzrate der Substitution für einen gegebenen Produktionsfaktor abnimmt, wenn der Wert einer der unabhängigen Variablen steigt. Daher nehmen die Einsparungen bei einer Kostenart, die mit einem Anstieg der Kosten eines anderen Faktors einhergehen, allmählich ab, während ein konstantes Produktionsvolumen aufrechterhalten wird. Betrachten wir am Beispiel der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion die wichtigsten Schlussfolgerungen, die sich aus Vorschlägen über die eine oder andere Art von Produktionsfunktion ziehen lassen. Die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion, die zwei Produktionsfaktoren umfasst, hat die Form

wobei A, b, c Modellparameter sind. Der Wert von A hängt von den Einheiten von Q, K und L sowie von der Effizienz des Produktionsprozesses ab.

Für feste Werte von K und L ist die Funktion Q dadurch gekennzeichnet größer Parameter A, daher ist der durch eine solche Funktion beschriebene Produktionsprozess effizienter. Die beschriebene Produktionsfunktion ist einwertig und stetig (für positives K und L). Die Parameter b und c heißen Elastizitätskoeffizienten. Sie zeigen, wie stark sich Q im Mittel ändert, wenn b oder c um 1 % erhöht werden.

Betrachten Sie das Verhalten der Funktion Q, wenn sich der Produktionsumfang ändert. Nehmen Sie an, dass die Kosten jedes Produktionsfaktors c mal gestiegen sind. Dann wird der neue Wert der Funktion wie folgt ermittelt:

Wenn außerdem b + c = 1 ist, hängt der Wirkungsgrad nicht vom Produktionsmaßstab ab. Wenn b + c< 1, то средние издержки, рассчитанные на единицу продукции, растут, а при б + в >1 - abnehmen, wenn der Produktionsumfang erweitert wird. Es ist zu beachten, dass diese Eigenschaften nicht von den Zahlenwerten von K, L der Produktionsfunktion abhängen. Um die Parameter und Art der Produktionsfunktion zu bestimmen, müssen zusätzliche Beobachtungen durchgeführt werden. In der Regel werden zwei Arten von Daten verwendet - dynamische (Zeit-)Reihen und Daten gleichzeitiger Beobachtungen (Rauminformationen). Dynamische Reihen von Wirtschaftsindikatoren charakterisieren das Verhalten desselben Unternehmens im Laufe der Zeit, während Daten des zweiten Typs sich normalerweise auf denselben Zeitpunkt beziehen, jedoch auf unterschiedliche Unternehmen. In Fällen, in denen der Forscher über Zeitreihen verfügt, beispielsweise jährliche Daten, die die Aktivitäten derselben Firma charakterisieren, treten Schwierigkeiten auf, die bei der Arbeit mit Geodaten nicht auftreten müssten. Somit verändern sich die relativen Preise im Laufe der Zeit und folglich ändert sich auch die optimale Kombination der Kosten der einzelnen Produktionsfaktoren. Darüber hinaus ändert sich im Laufe der Zeit auch das Niveau der administrativen Kontrolle. Die Hauptprobleme bei der Verwendung von Zeitreihen ergeben sich jedoch aus den Folgen des technologischen Fortschritts, in dessen Folge sich die Kostensätze von Produktionsfaktoren, die Verhältnisse, in denen sie sich gegenseitig ersetzen können, und Effizienzparameter ändern. Dadurch können sich im Laufe der Zeit nicht nur die Parameter, sondern auch die Formen der Produktionsfunktion ändern. Die Anpassung an den technischen Fortschritt kann unter Verwendung eines in der Produktionsfunktion enthaltenen Zeittrends eingeführt werden. Dann

Die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion hat unter Berücksichtigung des technischen Fortschritts die Form

In diesem Ausdruck zeigt der Parameter und, der den technischen Fortschritt charakterisiert, dass das Produktionsvolumen jährlich um und Prozent zunimmt, unabhängig von Änderungen der Kosten der Produktionsfaktoren und insbesondere von der Größe neuer Investitionen. Diese mit keinem Arbeits- oder Kapitaleinsatz verbundene Form des technischen Fortschritts wird „immaterialisierter technischer Fortschritt“ genannt. Allerdings ist dieser Ansatz nicht ganz realistisch, da neue Erkenntnisse die Funktionsfähigkeit alter Maschinen nicht beeinträchtigen können und die Erweiterung der Produktion nur durch Neuinvestitionen möglich ist. Mit einem anderen Ansatz zur Berücksichtigung des technischen Fortschritts baut jede „Altersgruppe“ des Kapitals ihre eigene Produktionsfunktion auf. In diesem Fall sieht die Cobb-Douglas-Funktion so aus

wobei Qt(v) die Menge der Produkte ist, die im Zeitraum t auf der im Zeitraum v in Betrieb genommenen Ausrüstung hergestellt wurden; Lt(v) sind Arbeitskosten in Periode t für die Wartung von Ausrüstung, die in Periode v in Betrieb genommen wurde, und Kt(v) ist Anlagekapital, das in Periode v in Betrieb genommen und in Periode t verwendet wurde. Der Parameter v in einer solchen Produktionsfunktion spiegelt den Stand des technologischen Fortschritts wider. Dann wird für den Zeitraum t eine aggregierte Produktionsfunktion konstruiert, die die Abhängigkeit des gesamten Produktionsvolumens Qt von den gesamten Arbeitskosten Lt und dem Kapital Kt zum Zeitpunkt t darstellt. Bei Verwendung zum Aufbau der Produktionsfunktion räumlicher Informationen, d.h. Daten über mehrere Firmen, die dem gleichen Zeitpunkt entsprechen, ergeben sich Probleme anderer Art. Da sich die Beobachtungsergebnisse auf unterschiedliche Unternehmen beziehen, wird bei ihrer Verwendung davon ausgegangen, dass das Verhalten aller Unternehmen mit derselben Funktion beschrieben werden kann. Für eine erfolgreiche ökonomische Interpretation des resultierenden Modells ist es wünschenswert, dass alle diese Unternehmen derselben Branche angehören. Darüber hinaus wird davon ausgegangen, dass sie ungefähr die gleichen Produktionskapazitäten und Verwaltungsebenen haben. Die oben betrachteten Produktionsfunktionen waren deterministischer Natur und berücksichtigten nicht den Einfluss zufälliger Störungen, die jedem wirtschaftlichen Phänomen innewohnen. Daher muss in jede Gleichung, deren Parameter geschätzt werden sollen, auch eine Zufallsvariable e eingeführt werden, die den Einfluss all jener Faktoren auf den Produktionsprozess widerspiegelt, die nicht explizit in die Produktionsfunktion einbezogen wurden. Somit kann die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion allgemein dargestellt werden als

Wir haben ein Potenzregressionsmodell erhalten, dessen Schätzungen der Parameter A, b und c durch die Methode der kleinsten Quadrate gefunden werden können, indem zunächst auf eine logarithmische Transformation zurückgegriffen wird. Dann haben wir für die i-te Beobachtung

wobei Qi, Ki und Li jeweils die Produktions-, Kapital- und Arbeitskosten für die i-te Beobachtung (i = 1, 2, ..., n) sind und n die Stichprobengröße ist, d.h. die Anzahl der Beobachtungen, die verwendet wurden, um Schätzungen von ln zu erhalten, und -- Parameter der Produktionsfunktion. Bezüglich ei wird üblicherweise angenommen, dass sie voneinander unabhängig sind und ei ⊂ N(0, y). Basierend auf a priori Überlegungen müssen die Werte von b und c die Bedingungen 0 erfüllen< б < 1 и 0 < в < 1. Если предположить, что с изменением масштабов производства уровень эффективности остается постоянным, то, приняв, что в = 1 -- б, имеем

Durch Rückgriff auf diese Ausdrucksform der Produktionsfunktion kann man den Effekt der Multikollinearität zwischen ln K und ln L eliminieren.

Es ist auch wichtig zu beachten, dass die folgenden drei wichtigen Konzepte mit dem Konzept der Produktionsfunktion des Unternehmens verbunden sind: Gesamt- (kumulativ), Durchschnitts- und Grenzprodukt.

Auf Abb. 22.1, a zeigt die Kurve des Gesamtprodukts (TP), die je nach Wert des variablen Faktors X variiert. Auf der TP-Kurve sind drei Punkte markiert: B ist der Wendepunkt, C ist der Punkt, der zur Tangente gehört fällt mit der Linie zusammen, die diesen Punkt mit den Anfangskoordinaten verbindet, D - Punkt mit maximalem TP-Wert. Punkt A bewegt sich entlang der TP-Kurve. Wenn wir Punkt A mit dem Ursprung verbinden, erhalten wir die Linie OA. Wenn wir die Senkrechte von Punkt A auf die Abszissenachse fallen lassen, erhalten wir das Dreieck OAM, wobei tg a das Verhältnis der Seiten AM zu OM ist, also der Ausdruck für das Durchschnittsprodukt (AP).

Bild 1. a) Kurve des Gesamtprodukts (TR); b) Kurve von Durchschnittsprodukt (AP) und Grenzprodukt (MP)

Wenn wir eine Tangente durch Punkt A ziehen, erhalten wir den Winkel P, dessen Tangens das Grenzprodukt MP ausdrückt. Beim Vergleich der Dreiecke LAM und OAM stellen wir fest, dass bis zu einem gewissen Punkt die Tangente P größer als tg a ist. Somit ist das Grenzprodukt (MP) größer als das Durchschnittsprodukt (AP). Für den Fall, dass Punkt A mit Punkt B zusammenfällt, nimmt die Tangente P einen maximalen Wert an und daher erreicht das Grenzprodukt (MP) das größte Volumen. Wenn Punkt A mit Punkt C zusammenfällt, dann sind der Wert des Durchschnitts- und des Grenzprodukts gleich. Das Grenzprodukt (MP), das am Punkt B (Abb. 22, b) seinen Maximalwert erreicht hat, beginnt zu sinken und schneidet sich am Punkt C mit dem Diagramm des Durchschnittsprodukts (AP), das an diesem Punkt sein Maximum erreicht Wert. Dann sinken sowohl das Grenzprodukt als auch das Durchschnittsprodukt, aber das Grenzprodukt nimmt schneller ab. Am Punkt des maximalen Gesamtprodukts (TP) ist das Grenzprodukt MP = 0.

Wir sehen, dass die effektivste Änderung des variablen Faktors X im Segment von Punkt B nach Punkt C beobachtet wird. Hier beginnt das Grenzprodukt (MP), nachdem es seinen Maximalwert erreicht hat, zu sinken, das Durchschnittsprodukt (AR) immer noch steigt, erhält das Gesamtprodukt (TR) den größten Zuwachs .

Produktion ist also jede menschliche Aktivität, um begrenzte Ressourcen – Material, Arbeit, Natur – in fertige Produkte umzuwandeln. Die Produktionsfunktion charakterisiert das Verhältnis zwischen der Menge der eingesetzten Ressourcen (Produktionsfaktoren) und dem maximal möglichen Output, der erreicht werden kann, sofern alle verfügbaren Ressourcen voll und ganz genutzt werden effektiver Weg. Eine Produktionsfunktion hat die folgenden Eigenschaften: Es gibt eine Grenze für die Produktionssteigerung, die erreicht werden kann, indem eine Ressource erhöht und andere Ressourcen konstant gehalten werden. Wenn zum Beispiel in der Landwirtschaft die Arbeitsmenge bei konstanten Kapital- und Bodenmengen erhöht wird, dann kommt früher oder später der Moment, in dem die Produktion aufhört zu wachsen; Ressourcen ergänzen sich, ihre Austauschbarkeit ist aber in gewissen Grenzen auch ohne Leistungsminderung möglich.

Die Abhängigkeit der produzierten Gütermenge von den entsprechenden Produktionsfaktoren, mit denen sie hergestellt wird. Betrachten wir dieses Konzept genauer.

Eine Produktionsfunktion hat immer eine bestimmte Form, da sie für eine bestimmte Technologie ausgelegt ist. Die Einführung neuer technologischer Entwicklungen bringt eine Veränderung oder die Schaffung einer neuen Art von Abhängigkeit mit sich.

Diese Funktion wird verwendet, um die optimale (minimale) Menge an Kosten zu finden, die erforderlich sind, um eine bestimmte Menge an Waren herzustellen. Für alle Produktionsfunktionen, unabhängig davon, was sie ausdrücken, sind folgende allgemeine Eigenschaften charakteristisch:

Das Wachstum der produzierten Gütermenge aufgrund nur eines Faktors (Ressource) hat eine endliche Grenze (nur eine bestimmte Anzahl von Arbeitern kann normal in einem Raum arbeiten, da die Anzahl der Plätze durch die Fläche begrenzt ist);

Produktionsfaktoren können austauschbar und komplementär sein (Arbeiter und Werkzeuge).

In ihrer allgemeinsten Form sieht die Produktionsfunktion so aus:

Q = f(K, L, M, T, N), in dieser Formel

Q ist das Volumen der produzierten Waren;

K - Ausrüstung (Kapital);

M - die Material- und Rohstoffkosten;

T - verwendete Technologien;

N - unternehmerische Fähigkeiten.

Arten von Produktionsfunktionen

Es gibt viele Arten dieser Abhängigkeit, die den Einfluss eines oder mehrerer der wichtigsten Faktoren berücksichtigen. Am bekanntesten sind jedoch zwei Haupttypen von Produktionsfunktionen: das Zwei-Faktoren-Modell der Form Q = f (L; K) und die Cobb-Douglas-Funktion.

Zweifaktormodell Q = f (L; K)

Dieses Modell berücksichtigt die Abhängigkeit des Outputs (Q) von (L) und Kapital (L). Ziemlich oft wird eine Gruppe von Isoquanten verwendet, um dieses Modell zu analysieren. Eine Isoquante ist eine Kurve, die alle möglichen Kombinationspunkte verbindet, die die Produktion einer bestimmten Warenmenge ermöglichen. Auf der x-Achse werden üblicherweise die Arbeitskosten und auf der y-Achse das Kapital vermerkt. Auf derselben Grafik werden mehrere Isoquanten gezeichnet, von denen jede einem bestimmten Produktionsvolumen mit einer bestimmten Technologie entspricht. Das Ergebnis ist eine Isoquantenkarte mit unterschiedliche Mengen hergestellte Waren. Es wird die Produktionsfunktion für dieses Unternehmen sein.

Isoquanten haben die folgenden allgemeinen Eigenschaften:

Die konkave und absteigende Form der Isoquante ist darauf zurückzuführen, dass ein Rückgang des Kapitaleinsatzes bei stabiler produzierter Gütermenge zu einem Anstieg der Arbeitskosten führt;

Die konkave Form der Isoquantenkurve hängt von der zulässigen Grenzrate der technologischen Substitution ab (der Kapitalmenge, die 1 zusätzliche Arbeitseinheit ersetzen kann).

Cobb-Douglas-Funktion

Diese nach zwei amerikanischen Entdeckern benannte Produktionsfunktion, bei der der Gesamtoutput Y von den im Produktionsprozess eingesetzten Ressourcen abhängt, zum Beispiel Arbeit L und Kapital K. Ihre Formel lautet:

wobei α und b Konstanten sind (α > 0 und b > 0);

K und L sind jeweils Kapital und Arbeit.

Wenn die Summe der Konstanten α und b gleich eins ist, dann wird angenommen, dass eine solche Funktion eine Produktionskonstante hat. Werden die Parameter K und L mit einem Faktor multipliziert, so muss auch Y mit demselben Faktor multipliziert werden.

Das Cobb-Douglas-Modell kann auf jedes einzelne Unternehmen angewendet werden. In diesem Fall ist α der Anteil des Kapitals an den Gesamtkosten und β der Anteil der Arbeit. Cobb-Douglas-Modelle können auch mehr als zwei Variablen enthalten. Wenn beispielsweise N gleich ist, wird die Produktionsfunktion zu Y=AKαLβNγ, wobei γ eine Konstante (γ>0) und α + β +γ = 1 ist.