Inégalités logarithmiques à exposant variable. Inégalités logarithmiques complexes

Parmi toute la variété inégalités logarithmiques les inégalités à base variable sont étudiées séparément. Ils sont résolus selon une formule spéciale qui, pour une raison quelconque, est rarement enseignée à l'école. La présentation présente des solutions aux tâches C3 USE - 2014 en mathématiques.

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Légendes des diapositives :

Résolution d'inéquations logarithmiques contenant une variable à la base du logarithme: méthodes, techniques, transitions équivalentes professeur de mathématiques MBOU lycée n ° 143 Knyazkina T.V.

Parmi toute la variété des inégalités logarithmiques, les inégalités à base variable sont étudiées à part. Ils sont résolus à l'aide d'une formule spéciale qui, pour une raison quelconque, est rarement enseignée à l'école : log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) ( k ( x) − 1) ∨ 0 Au lieu de la case « ∨ », vous pouvez mettre n'importe quel signe d'inégalité : plus ou moins. L'essentiel est que dans les deux inégalités les signes soient les mêmes. On se débarrasse donc des logarithmes et on réduit le problème à une inégalité rationnelle. Ce dernier est beaucoup plus facile à résoudre, mais lors de l'élimination des logarithmes, des racines supplémentaires peuvent apparaître. Pour les retrancher, il suffit de trouver la plage des valeurs admissibles. N'oubliez pas l'ODZ du logarithme ! Tout ce qui concerne la plage de valeurs acceptables doit être écrit et résolu séparément : f (x) > 0 ; g(x) > 0 ; k(x) > 0 ; k (x) ≠ 1. Ces quatre inégalités constituent un système et doivent être remplies simultanément. Lorsque la plage de valeurs acceptables est trouvée, il reste à la croiser avec la solution d'une inégalité rationnelle - et la réponse est prête.

Résoudre l'inégalité : Solution Pour commencer, écrivons l'ODZ du logarithme, les deux premières inégalités sont exécutées automatiquement, et la dernière devra être peinte. Puisque le carré d'un nombre est égal à zéro si et seulement si le nombre lui-même est égal à zéro, on a : x 2 + 1 ≠ 1 ; x2 ≠ 0 ; x ≠ 0 . Il s'avère que l'ODZ du logarithme est tous les nombres sauf zéro : x ∈ (−∞0)∪(0 ;+ ∞). Maintenant, nous résolvons l'inégalité principale : nous effectuons la transition de l'inégalité logarithmique à l'inégalité rationnelle. Dans l'inégalité d'origine, il y a un signe "inférieur à", donc l'inégalité résultante devrait également être avec un signe "inférieur à".

On a : (10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)

Conversion d'inégalités logarithmiques Souvent, l'inégalité d'origine diffère de celle ci-dessus. Ceci est facile à résoudre en utilisant les règles standard pour travailler avec les logarithmes. A savoir : Tout nombre peut être représenté sous forme de logarithme avec une base donnée ; La somme et la différence des logarithmes de même base peuvent être remplacées par un seul logarithme. Par ailleurs, je souhaite vous rappeler la plage de valeurs acceptables. Puisqu'il peut y avoir plusieurs logarithmes dans l'inégalité d'origine, il est nécessaire de trouver le DPV de chacun d'eux. De cette façon, régime général les solutions des inégalités logarithmiques sont les suivantes : Trouver l'ODZ de chaque logarithme inclus dans l'inégalité ; Réduisez l'inégalité à l'inégalité standard en utilisant les formules d'addition et de soustraction de logarithmes; Résolvez l'inégalité résultante selon le schéma ci-dessus.

Résolvez l'inégalité : Solution Trouvons le domaine de définition (ODZ) du premier logarithme : Nous résolvons par la méthode des intervalles. Trouvez les zéros du numérateur : 3 x − 2 = 0 ; x = 2/3. Alors - des zéros au dénominateur : x − 1 = 0 ; x = 1. Nous marquons des zéros et des signes sur la ligne de coordonnées :

On obtient x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; +∞). Le deuxième logarithme de l'ODZ sera le même. Si vous ne me croyez pas, vous pouvez vérifier. Transformons maintenant le deuxième logarithme pour qu'il y ait un deux à la base : Comme vous pouvez le voir, les triplets à la base et devant le logarithme ont été réduits. Obtenez deux logarithmes avec la même base. Additionnez-les : log 2 (x − 1) 2

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)

Nous nous intéressons à l'intersection des ensembles, nous choisissons donc les intervalles grisés sur les deux flèches. On obtient : x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - tous les points sont poinçonnés. Réponse : x ∈ (−1 ; 2/3)∪(1 ; 3)

Résoudre les tâches de l'examen d'État unifié-2014 type C3

Résoudre le système d'inégalités Solution. ODZ :  1) 2)

Résoudre le système d'inégalités 3) -7 -3 - 5 x -1 + + + − − (suite)

Résoudre le système d'inéquations 4) Décision commune: et -7 -3 - 5 x -1 -8 7 log 2 129 (suite)

Résoudre l'inégalité (suite) -3 3 -1 + - + - x 17 + -3 3 -1 x 17 -4

Résoudre la solution d'inéquation. ODZ : 

Résoudre l'inéquation (suite)

Résoudre la solution d'inéquation. ODZ :  -2 1 -1 + - + - x + 2 -2 1 -1 x 2

Pensez-vous qu'il reste du temps avant l'examen et que vous aurez le temps de vous préparer ? C'est peut-être ainsi. Mais dans tous les cas, plus tôt l'étudiant commence sa formation, plus il réussit les examens. Aujourd'hui, nous avons décidé de consacrer un article aux inégalités logarithmiques. C'est l'une des tâches, ce qui signifie une opportunité d'obtenir un point supplémentaire.

Savez-vous déjà ce qu'est un logarithme (log) ? Nous l'espérons vraiment. Mais même si vous n'avez pas de réponse à cette question, ce n'est pas un problème. Il est très facile de comprendre ce qu'est un logarithme.

Pourquoi exactement 4 ? Il faut élever le nombre 3 à une telle puissance pour obtenir 81. Lorsque vous aurez compris le principe, vous pourrez procéder à des calculs plus complexes.

Vous avez traversé les inégalités il y a quelques années. Et depuis, vous les rencontrez constamment en mathématiques. Si vous rencontrez des difficultés pour résoudre les inégalités, consultez la section appropriée.
Maintenant que nous aurons pris connaissance des concepts séparément, nous passerons à leur considération en général.

L'inégalité logarithmique la plus simple.

Les inégalités logarithmiques les plus simples ne se limitent pas à cet exemple, il y en a trois autres, seulement avec des signes différents. Pourquoi est-ce nécessaire ? Pour mieux comprendre comment résoudre l'inégalité avec les logarithmes. Maintenant, nous donnons un exemple plus applicable, toujours assez simple, nous laissons les inégalités logarithmiques complexes pour plus tard.

Comment le résoudre? Tout commence avec ODZ. Vous devriez en savoir plus si vous voulez toujours résoudre facilement n'importe quelle inégalité.

Qu'est-ce qu'ODZ ? DPV pour les inégalités logarithmiques

L'abréviation représente la plage de valeurs valides. Dans les devoirs pour l'examen, ce libellé apparaît souvent. DPV ne vous est pas seulement utile dans le cas d'inégalités logarithmiques.

Reprenez l'exemple ci-dessus. Nous allons considérer l'ODZ en fonction de celui-ci, afin que vous compreniez le principe, et la solution des inégalités logarithmiques ne soulève pas de questions. De la définition du logarithme, il s'ensuit que 2x + 4 devrait être Au dessus de zéro. Dans notre cas, cela signifie ce qui suit.

Ce nombre doit être positif par définition. Résoudre l'inégalité présentée ci-dessus. Cela peut même se faire oralement, ici il est clair que X ne peut pas être inférieur à 2. La solution de l'inégalité sera la définition de la plage des valeurs acceptables.
Passons maintenant à la résolution de l'inégalité logarithmique la plus simple.

Nous écartons les logarithmes eux-mêmes des deux parties de l'inégalité. Que nous reste-t-il en conséquence ? simple inégalité.

C'est facile à résoudre. X doit être supérieur à -0,5. Maintenant, nous combinons les deux valeurs obtenues dans le système. De cette façon,

Ce sera la région des valeurs admissibles pour l'inégalité logarithmique considérée.

Pourquoi ODZ est-il vraiment nécessaire ? C'est l'occasion d'éliminer les réponses incorrectes et impossibles. Si la réponse n'est pas dans la plage des valeurs acceptables, alors la réponse n'a tout simplement pas de sens. Cela mérite d'être rappelé pendant longtemps, car dans l'examen, il est souvent nécessaire de rechercher ODZ, et cela ne concerne pas seulement les inégalités logarithmiques.

Algorithme pour résoudre l'inégalité logarithmique

La solution consiste en plusieurs étapes. Tout d'abord, il est nécessaire de trouver la plage de valeurs acceptables. Il y aura deux valeurs dans l'ODZ, nous l'avons considéré ci-dessus. L'étape suivante consiste à résoudre l'inégalité elle-même. Les méthodes de résolution sont les suivantes :

• méthode de remplacement du multiplicateur ;
• décomposition;
• méthode de rationalisation.

Selon la situation, l'une des méthodes ci-dessus doit être utilisée. Allons directement à la solution. Nous révélerons la méthode la plus populaire qui convient pour résoudre les tâches USE dans presque tous les cas. Ensuite, nous considérerons la méthode de décomposition. Cela peut aider si vous rencontrez une inégalité particulièrement « délicate ». Donc, l'algorithme pour résoudre l'inégalité logarithmique.

Exemples de solutions :

Ce n'est pas en vain que nous avons pris précisément une telle inégalité ! Faites attention au fond. N'oubliez pas : s'il est supérieur à un, le signe reste le même lors de la recherche de la plage de valeurs valides ; sinon, le signe de l'inégalité doit être modifié.

On obtient alors l'inégalité :

Maintenant, nous amenons le côté gauche à la forme de l'équation égale à zéro. Au lieu du signe "inférieur à", on met "égal", on résout l'équation. Ainsi, nous trouverons l'ODZ. Nous espérons qu'avec la solution d'un tel équation simple vous n'aurez pas de problème. Les réponses sont -4 et -2. Ce n'est pas tout. Vous devez afficher ces points sur le graphique, placez "+" et "-". Que faut-il faire pour cela ? Remplacez les nombres des intervalles dans l'expression. Là où les valeurs sont positives, nous y mettons "+".

Réponse: x ne peut pas être supérieur à -4 et inférieur à -2.

Nous avons trouvé la plage de valeurs valides uniquement pour le côté gauche, nous devons maintenant trouver la plage de valeurs valides pour le côté droit. Ce n'est en aucun cas plus facile. Réponse : -2. Nous croisons les deux zones reçues.

Et ce n'est que maintenant que nous commençons à résoudre l'inégalité elle-même.

Simplifions-le autant que possible pour faciliter la décision.

Appliquer à nouveau méthode d'intervalle dans la solution. Passons les calculs, avec lui tout est déjà clair à partir de l'exemple précédent. Réponse.

Mais cette méthode convient si l'inégalité logarithmique a les mêmes bases.

La solution équations logarithmiques et les inégalités de bases différentes impliquent une réduction initiale à une base. Ensuite, utilisez la méthode ci-dessus. Mais il y a aussi un cas plus compliqué. Considérez l'un des plus types complexes inégalités logarithmiques.

Inégalités logarithmiques à base variable

Comment résoudre des inégalités avec de telles caractéristiques ? Oui, et tel peut être trouvé dans l'examen. Résoudre les inégalités de la manière suivante aura également un effet bénéfique sur votre processus éducatif. Comprenons le problème en détail. Laissons la théorie de côté et passons directement à la pratique. Pour résoudre des inégalités logarithmiques, il suffit de se familiariser une fois avec l'exemple.

Pour résoudre l'inégalité logarithmique de la forme présentée, il faut réduire le côté droit au logarithme de même base. Le principe ressemble aux transitions équivalentes. En conséquence, l'inégalité ressemblera à de la manière suivante.

En fait, il reste à créer un système d'inégalités sans logarithmes. Par la méthode de rationalisation, on passe à un système d'inégalités équivalent. Vous comprendrez la règle elle-même lorsque vous remplacerez les valeurs appropriées et suivrez leurs modifications. Le système aura les inégalités suivantes.

En utilisant la méthode de rationalisation lors de la résolution des inégalités, vous devez vous rappeler ce qui suit : vous devez soustraire un de la base, x, par définition du logarithme, est soustrait des deux parties de l'inégalité (la droite de la gauche), les deux les expressions sont multipliées et placées sous le signe d'origine par rapport à zéro.

La solution ultérieure est effectuée par la méthode des intervalles, tout est simple ici. Il est important que vous compreniez les différences dans les méthodes de résolution, puis tout commencera à fonctionner facilement.

Il existe de nombreuses nuances dans les inégalités logarithmiques. Les plus simples d'entre eux sont assez faciles à résoudre. Comment faire en sorte que chacun d'eux soit résolu sans problème ? Vous avez déjà reçu toutes les réponses dans cet article. Maintenant, vous avez une longue pratique devant vous. Entraînez-vous constamment à résoudre le plus différentes tâches dans le cadre de l'examen et vous pourrez obtenir le meilleur score. Bonne chance dans votre travail difficile!

Parmi toute la variété des inégalités logarithmiques, les inégalités à base variable sont étudiées à part. Ils sont résolus selon une formule spéciale qui, pour une raison quelconque, est rarement enseignée à l'école:

log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) (k (x ) − 1) ∨ 0

Au lieu d'un choucas "∨", vous pouvez mettre n'importe quel signe d'inégalité : plus ou moins. L'essentiel est que dans les deux inégalités les signes soient les mêmes.

On se débarrasse donc des logarithmes et on réduit le problème à une inégalité rationnelle. Ce dernier est beaucoup plus facile à résoudre, mais lors de l'élimination des logarithmes, des racines supplémentaires peuvent apparaître. Pour les retrancher, il suffit de trouver la plage des valeurs admissibles. Si vous avez oublié l'ODZ du logarithme, je vous recommande fortement de le répéter - voir "Qu'est-ce qu'un logarithme".

Tout ce qui concerne la plage de valeurs acceptables doit être écrit et résolu séparément:

f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; k(x) > 0 ; k(x) ≠ 1.

Ces quatre inégalités constituent un système et doivent être remplies simultanément. Lorsque la plage de valeurs acceptables est trouvée, il reste à la croiser avec la solution d'une inégalité rationnelle - et la réponse est prête.

Une tâche. Résolvez l'inégalité :

Commençons par écrire l'ODZ du logarithme :

Les deux premières inégalités sont exécutées automatiquement, et la dernière devra être écrite. Puisque le carré d'un nombre est nul si et seulement si le nombre lui-même est nul, on a :

x2 + 1 ≠ 1 ;
x2 ≠ 0 ;
x ≠ 0.

Il s'avère que l'ODZ du logarithme est tous les nombres sauf zéro : x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). On résout maintenant l'inégalité principale :

Nous effectuons le passage de l'inégalité logarithmique à l'inégalité rationnelle. Dans l'inégalité d'origine, il y a un signe "inférieur à", donc l'inégalité résultante devrait également être avec un signe "inférieur à". Nous avons:

(10 - (x 2 + 1)) (x 2 + 1 - 1)< 0;
(9 - x2) x2< 0;
(3 - x) (3 + x) x 2< 0.

Zéros de cette expression : x = 3 ; x = -3 ; x = 0. De plus, x = 0 est la racine de la deuxième multiplicité, ce qui signifie qu'en la parcourant, le signe de la fonction ne change pas. Nous avons:

On obtient x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Cet ensemble est entièrement contenu dans l'ODZ du logarithme, ce qui signifie que c'est la réponse.

Transformation des inégalités logarithmiques

Souvent, l'inégalité d'origine diffère de celle ci-dessus. Ceci est facile à corriger selon les règles standard pour travailler avec les logarithmes - voir "Propriétés de base des logarithmes". À savoir:

1. Tout nombre peut être représenté sous forme de logarithme avec une base donnée ;
2. La somme et la différence des logarithmes de même base peuvent être remplacées par un seul logarithme.

Par ailleurs, je souhaite vous rappeler la plage de valeurs acceptables. Puisqu'il peut y avoir plusieurs logarithmes dans l'inégalité d'origine, il est nécessaire de trouver le DPV de chacun d'eux. Ainsi, le schéma général de résolution des inégalités logarithmiques est le suivant :

1. Trouvez l'ODZ de chaque logarithme inclus dans l'inégalité ;
2. Réduisez l'inégalité à l'inégalité standard en utilisant les formules d'addition et de soustraction de logarithmes;
3. Résolvez l'inégalité résultante selon le schéma ci-dessus.

Une tâche. Résolvez l'inégalité :

Trouvez le domaine de définition (ODZ) du premier logarithme :

Nous résolvons par la méthode des intervalles. Trouver les zéros du numérateur :

3x - 2 = 0 ;
x = 2/3.

Ensuite - les zéros du dénominateur :

x-1 = 0 ;
x = 1.

Nous marquons des zéros et des signes sur la flèche de coordonnées:

On obtient x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Le deuxième logarithme de l'ODZ sera le même. Si vous ne me croyez pas, vous pouvez vérifier. Transformons maintenant le deuxième logarithme pour que la base soit deux :

Comme vous pouvez le voir, les triplets à la base et avant le logarithme ont diminué. Obtenez deux logarithmes avec la même base. Mettons-les ensemble :

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Nous avons obtenu l'inégalité logarithmique standard. Nous nous débarrassons des logarithmes par la formule. Puisqu'il y a un signe inférieur à dans l'inégalité d'origine, l'expression rationnelle résultante doit également être inférieure à zéro. Nous avons:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x2 - 2x - 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1 ; 3).

Nous avons deux ensembles :

1. ODZ : x ∈ (−∞ 2/3)∪(1 ; +∞) ;
2. Candidat à la réponse : x ∈ (−1 ; 3).

Il reste à croiser ces ensembles - on obtient la vraie réponse :

Nous nous intéressons à l'intersection des ensembles, nous choisissons donc les intervalles grisés sur les deux flèches. On obtient x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - tous les points sont perforés.

INÉGALITÉS LOGARITHMIQUES DANS L'UTILISATION

Sechin Mikhaïl Alexandrovitch

Petite Académie des sciences pour les étudiants de la République du Kazakhstan "Seeker"

MBOU "École secondaire soviétique n ° 1", 11e année, ville. District soviétique Sovietsky

Gunko Lyudmila Dmitrievna, professeur de MBOU "École secondaire soviétique n ° 1"

Quartier Sovietsky

Objectif:étude du mécanisme de résolution des inégalités logarithmiques C3 par des méthodes non standard, identification faits intéressants logarithme.

Sujet d'étude:

3) Apprendre à résoudre des inégalités logarithmiques C3 spécifiques en utilisant des méthodes non standard.

Résultats:

Contenu

Présentation…………………………………………………………………………….4

Chapitre 1. Contexte…………………………………………………………...5

Chapitre 2. Collecte des inégalités logarithmiques ………………………… 7

2.1. Les transitions équivalentes et la méthode généralisée des intervalles…………… 7

2.2. Méthode de rationalisation ………………………………………………… 15

2.3. Substitution non standard………………………………………………………………………………………….. ..... 22

2.4. Tâches avec pièges……………………………………………………… 27

Conclusion…………………………………………………………………… 30

Littérature……………………………………………………………………. 31

Introduction

Je suis en 11e année et j'ai l'intention d'entrer dans une université où les mathématiques sont une matière de base. Et c'est pourquoi je travaille beaucoup avec les tâches de la partie C. Dans la tâche C3, vous devez résoudre une inégalité non standard ou un système d'inégalités, généralement associé à des logarithmes. Lors de la préparation de l'examen, j'ai rencontré le problème du manque de méthodes et de techniques pour résoudre les inégalités logarithmiques d'examen proposées en C3. Les méthodes étudiées dans le programme scolaire sur ce sujet ne fournissent pas de base pour résoudre les tâches C3. Le professeur de mathématiques m'a suggéré de travailler seul sur les devoirs C3 sous sa direction. De plus, je me suis intéressé à la question : y a-t-il des logarithmes dans notre vie ?

Dans cette optique, le thème a été choisi :

"Inégalités logarithmiques à l'examen"

Objectif:étude du mécanisme de résolution des problèmes C3 à l'aide de méthodes non standard, révélant des faits intéressants sur le logarithme.

Sujet d'étude:

1) Trouver les informations nécessaires sur les méthodes non standard pour résoudre les inégalités logarithmiques.

2) Trouver des informations supplémentaires sur les logarithmes.

3) Apprendre à résoudre des problèmes C3 spécifiques en utilisant des méthodes non standard.

Résultats:

La signification pratique réside dans l'expansion de l'appareil pour résoudre les problèmes C3. Ce matériel peut être utilisé dans certains cours, pour animer des cercles, des cours optionnels en mathématiques.

Le produit du projet sera la collection "Inégalités logarithmiques C3 avec solutions".

Chapitre 1. Contexte

Au XVIe siècle, le nombre de calculs approximatifs augmente rapidement, principalement en astronomie. L'amélioration des instruments, l'étude des mouvements planétaires et d'autres travaux ont nécessité des calculs colossaux, parfois de plusieurs années. L'astronomie menacée danger réel se noyer dans des calculs inachevés. Des difficultés sont également apparues dans d'autres domaines, par exemple, dans le secteur de l'assurance, des tables d'intérêts composés étaient nécessaires pour différentes significations pour cent. La principale difficulté était la multiplication, la division nombres à plusieurs chiffres, en particulier les quantités trigonométriques.

La découverte des logarithmes était basée sur les propriétés bien connues des progressions à la fin du XVIe siècle. À propos de la communication entre les membres progression géométrique q, q2, q3, ... et progression arithmétique leurs indicateurs sont 1, 2, 3, ... Archimède a parlé dans le "Psalmite". Une autre condition préalable était l'extension du concept de degré aux exposants négatifs et fractionnaires. De nombreux auteurs ont souligné que la multiplication, la division, l'élévation à une puissance et l'extraction d'une racine correspondent exponentiellement en arithmétique - dans le même ordre - l'addition, la soustraction, la multiplication et la division.

C'était là l'idée du logarithme en tant qu'exposant.

Dans l'histoire du développement de la doctrine des logarithmes, plusieurs étapes se sont écoulées.

Étape 1

Les logarithmes ont été inventés au plus tard en 1594 indépendamment par le baron écossais Napier (1550-1617) et dix ans plus tard par le mécanicien suisse Burgi (1552-1632). Tous deux voulaient donner un nouveau outil pratique calculs arithmétiques, bien qu'ils aient abordé ce problème de différentes manières. Napier a exprimé cinématiquement la fonction logarithmique et est ainsi entré dans un nouveau domaine de la théorie des fonctions. Bürgi est resté sur la base de la considération de progressions discrètes. Cependant, la définition du logarithme pour les deux n'est pas similaire à la définition moderne. Le terme "logarithme" (logarithme) appartient à Napier. Il est né d'une combinaison de mots grecs: logos - "relation" et ariqmo - "nombre", ce qui signifie "nombre de relations". Initialement, Napier utilisait un terme différent : numeri artificiales - "nombres artificiels", par opposition à numeri naturalts - "nombres naturels".

En 1615, lors d'une conversation avec Henry Briggs (1561-1631), professeur de mathématiques au Gresh College de Londres, Napier suggéra de prendre zéro pour le logarithme de un, et 100 pour le logarithme de dix, ou, ce qui revient au même , juste 1. Voici comment logarithmes décimaux et les premières tables logarithmiques ont été imprimées. Plus tard, les tables de Briggs ont été complétées par le libraire et mathématicien néerlandais Andrian Flakk (1600-1667). Napier et Briggs, bien qu'ils soient arrivés aux logarithmes avant tout le monde, ont publié leurs tables plus tard que les autres - en 1620. Les signes log et Log ont été introduits en 1624 par I. Kepler. Le terme "logarithme naturel" a été introduit par Mengoli en 1659, suivi par N. Mercator en 1668, et le professeur londonien John Spadel a publié des tables de logarithmes naturels des nombres de 1 à 1000 sous le nom de "New Logarithms".

En russe, les premiers tableaux logarithmiques ont été publiés en 1703. Mais dans tous les tableaux logarithmiques, des erreurs ont été commises dans le calcul. Les premiers tableaux sans erreur ont été publiés en 1857 à Berlin dans le traitement du mathématicien allemand K. Bremiker (1804-1877).

Étape 2

Le développement ultérieur de la théorie des logarithmes est associé à une application plus large de la géométrie analytique et du calcul infinitésimal. À ce moment-là, la connexion entre la quadrature d'une hyperbole équilatérale et le logarithme népérien était établie. La théorie des logarithmes de cette période est associée aux noms d'un certain nombre de mathématiciens.

Mathématicien, astronome et ingénieur allemand Nikolaus Mercator dans son essai

"Logarithmotechnics" (1668) donne une série qui donne le développement de ln(x + 1) en termes de

puissances x :

Cette expression correspond exactement au cours de sa pensée, même si, bien sûr, il n'a pas utilisé les signes d, ..., mais des symboles plus encombrants. Avec la découverte de la série logarithmique, la technique de calcul des logarithmes a changé : ils ont commencé à être déterminés à l'aide de séries infinies. Dans ses cours "Mathématiques élémentaires avec le point le plus haut view", lu en 1907-1908, F. Klein propose d'utiliser la formule comme point de départ pour construire la théorie des logarithmes.

Étape 3

Définition d'une fonction logarithmique en fonction de l'inverse

exponentiel, logarithme en tant qu'exposant d'une base donnée

n'a pas été formulé immédiatement. L'œuvre de Leonhard Euler (1707-1783)

"Introduction à l'analyse des infinitésimaux" (1748) a servi de complément

développement de la théorie de la fonction logarithmique. De cette façon,

134 ans se sont écoulés depuis l'introduction des logarithmes

(à partir de 1614) avant que les mathématiciens ne proposent une définition

la notion de logarithme, qui est désormais à la base du cursus scolaire.

Chapitre 2. Collecte des inégalités logarithmiques

2.1. Transitions équivalentes et méthode généralisée des intervalles.

Transitions équivalentes

si a > 1

si 0 < а < 1

Méthode d'intervalle généralisée

Cette méthode le plus universel pour résoudre les inégalités de presque tous les types. Le schéma de solution ressemble à ceci :

1. Apportez l'inégalité à une telle forme, où la fonction est située sur le côté gauche
, et 0 à droite.

2. Trouver la portée de la fonction
.

3. Trouver les zéros d'une fonction
, c'est-à-dire résoudre l'équation
(et résoudre une équation est généralement plus facile que résoudre une inéquation).

4. Dessinez le domaine de définition et les zéros de la fonction sur une droite réelle.

5. Déterminer les signes de la fonction
aux intervalles reçus.

6. Sélectionnez les intervalles où la fonction prend valeurs requises, et notez la réponse.

Exemple 1

La solution:

Appliquer la méthode des intervalles

où

Pour ces valeurs, toutes les expressions sous les signes des logarithmes sont positives.

Réponse:

Exemple 2

La solution:

1er façon . ODZ est déterminé par l'inégalité X> 3. Prendre des logarithmes pour de tels X en base 10, on obtient

La dernière inégalité pourrait être résolue en appliquant les règles de décomposition, c'est-à-dire comparant les facteurs à zéro. Cependant, dans ce cas, il est facile de déterminer les intervalles de constance de la fonction

la méthode de l'intervalle peut donc être appliquée.

Fonction F(X) = 2X(X- 3.5)lgǀ X- 3ǀ est continu pour X> 3 et s'annule aux points X 1 = 0, X 2 = 3,5, X 3 = 2, X 4 = 4. Ainsi, nous déterminons les intervalles de constance de la fonction F(X):

Réponse:

2ème voie . Appliquons directement les idées de la méthode des intervalles à l'inégalité originelle.

Pour cela, rappelons que les expressions un b- un c et ( un - 1)(b- 1) avoir un signe. Alors notre inégalité pour X> 3 équivaut à l'inégalité

ou

La dernière inégalité est résolue par la méthode des intervalles

Réponse:

Exemple 3

La solution:

Appliquer la méthode des intervalles

Réponse:

Exemple 4

La solution:

Depuis 2 X 2 - 3X+ 3 > 0 pour tout réel X, alors

Pour résoudre la seconde inégalité, on utilise la méthode des intervalles

Dans la première inégalité, on fait le changement

on arrive alors à l'inégalité 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, qui satisfont l'inégalité -0.5< y < 1.

D'où, parce que

on obtient l'inégalité

qui s'effectue avec X, pour lequel 2 X 2 - 3X - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Maintenant, en tenant compte de la solution de la deuxième inégalité du système, on obtient finalement

Réponse:

Exemple 5

La solution:

L'inégalité est équivalente à un ensemble de systèmes

ou

Appliquer la méthode de l'intervalle ou

Réponse:

Exemple 6

La solution:

L'inégalité équivaut à un système

Laisser

alors y > 0,

et la première inégalité

système prend la forme

ou en élargissant

trinôme carré aux facteurs,

En appliquant la méthode des intervalles à la dernière inégalité,

on voit que ses solutions satisfont la condition y> 0 sera tout y > 4.

Ainsi, l'inégalité d'origine est équivalente au système :

Ainsi, les solutions de l'inégalité sont toutes

2.2. méthode de rationalisation.

Auparavant, la méthode de rationalisation des inégalités n'était pas résolue, elle n'était pas connue. C'est le nouveau moderne méthode efficace solutions d'inégalités exponentielles et logarithmiques" (citation du livre de Kolesnikova S.I.)
Et même si l'enseignant le connaissait, il y avait une peur - mais l'expert USE le connaît-il, et pourquoi ne le donne-t-il pas à l'école? Il y a eu des situations où l'enseignant a dit à l'élève: "Où l'avez-vous obtenu? Asseyez-vous - 2."
Maintenant, la méthode est promue partout. Et pour les connaisseurs il y a des lignes directrices associée à cette méthode, et dans "Les éditions les plus complètes des variantes standards..." en solution C3, cette méthode est utilisée.
LA METHODE EST SUPER !

"Table Magique"

Dans d'autres sources

si a >1 et b >1, alors log a b >0 et (a -1)(b -1)>0 ;

si un >1 et 0

si 0<un<1 и b >1, puis log a b<0 и (a -1)(b -1)<0;