Logarithme décimal 0 1. Logarithme

20.09.2019

Signes caractéristiques des logarithmes décimaux.

Le premier signe du logarithme décimal. un entier non négatif représenté par 1 suivi de zéros est un entier positif égal au nombre de zéros dans le nombre choisi .

Prenons lg 100 = 2, lg 1 00000 = 5.

D'une manière générale, si

Ce un= 10n , d'où l'on tire

lg une = lg 10 n = n lg 10 =P.

Deuxième signe. Logarithme décimal décimal positif, représenté par un avec des zéros non significatifs, est - P, où P- le nombre de zéros dans la représentation de ce nombre, compte tenu du zéro des entiers.

Envisager , lg 0,001 = -3, lg 0,000001 = -6.

D'une manière générale, si

Ce un= 10-n et il s'avère

lg = lg 10n =-n lg 10 =-n

Troisième signe. La caractéristique du logarithme décimal d'un nombre non négatif supérieur à un est égale au nombre de chiffres de la partie entière de ce nombre, à l'exclusion de un.

Analysons cette caractéristique 1) La caractéristique du logarithme lg 75,631 est égale à 1.

En effet, 10< 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод

LG 10< lg 75,631 < lg 100,

1 < lg 75,631 < 2.

Cela implique,

lg 75,631 = 1 + b,

Décaler une virgule dans une fraction décimale vers la droite ou vers la gauche équivaut à l'opération consistant à multiplier cette fraction par une puissance de dix avec un exposant entier P(positif ou négatif). Et donc, lorsque la virgule décimale d'une fraction décimale positive est décalée vers la gauche ou vers la droite, la mantisse du logarithme décimal de cette fraction ne change pas.

Ainsi, (log 0,0053) = (log 0,53) = (log 0,0000053).

Dans ce qui suit, le logarithme décimal est simplement appelé logarithme.

Le logarithme de un est zéro.

Logarithmes des nombres 10 , 100 , 1000 etc. égal 1 ,2 ,3 etc., c'est-à-dire avoir autant de uns positifs qu'il y a de zéros après le un.

Logarithmes des nombres 0,1 ; 0,01 ; 0,001 etc. égal -1 , -2 , -3 etc., c'est-à-dire avoir autant de uns négatifs qu'il y a de zéros avant le un (en comptant aussi les nombres entiers nuls).

Les logarithmes des nombres restants ont une partie fractionnaire, appelée mantisse. La partie entière du logarithme s'appelle caractéristique.

Les nombres supérieurs à un ont des logarithmes positifs. Les nombres positifs inférieurs à 1 ont des logarithmes négatifs.

Par exemple 2, lg0.5=-0.30103, lg0.005=-2.30103.

Les logarithmes négatifs pour une plus grande commodité de trouver le logarithme par nombre et le nombre par logarithme ne sont pas présentés ci-dessus " Naturel» forme, et sous « artificiel". Le logarithme négatif sous forme artificielle a mantisse positive et caractéristique négative.

Par exemple, log0.005=3.69897. Cette entrée signifie que lg0.005=-3+0.69897=-2.30103.

Pour convertir un logarithme négatif de naturel en artificiel, vous avez besoin de :

1 . augmenter d'un valeur absolue ses caractéristiques ;
2 . Le nombre résultant est fourni avec un signe moins d'en haut ;
3 . Tous les chiffres de la mantisse, à l'exception du dernier des chiffres non nuls, sont soustraits de neuf ; Soustrayez le dernier chiffre non nul de dix. Les différences résultantes sont écrites aux mêmes endroits de la mantisse où se trouvaient les chiffres soustraits. Les zéros à la fin sont laissés intacts.

Exemple 1 . lg0.05=-1.30103 conduire à une forme artificielle :
1 . La valeur absolue de la caractéristique 1 augmenté de 1 ; on a 2 ;
2 . Nous écrivons les caractéristiques de la forme artificielle sous la forme 2 et séparez-le par une virgule ;
3 . Soustraire le premier chiffre de la mantisse 3 de 9 ; on a 6 ; écrire 6 en premier lieu après la virgule décimale. De la même manière, des chiffres apparaissent aux endroits suivants 9(=9-0) , 8(=9-1) , 9(=9-0) et 7(=10-3) .
En conséquence, nous obtenons :

-1,30103=2,69897 .

Exemple 2 . -0,18350 présent sous forme artificielle :
1 . Nous augmentons 0 sur le 1 , on a 1 ;
2 . Nous avons 1 ;
3 . Soustraire les nombres 1 ,8 ,3 de 9 ; chiffre 5 de 10 ; le zéro à la fin est laissé intact.
En conséquence, nous obtenons :

-0,18350=1,81650 .

Pour convertir un logarithme négatif d'une forme artificielle à une forme naturelle, vous avez besoin de :
1 . Réduire de un la valeur absolue de sa caractéristique ;
2 . Le nombre résultant est accompagné d'un signe moins à gauche ;
3 . Avec les numéros de la mantisse, procédez comme dans le cas du passage d'une forme naturelle à une forme artificielle.

Exemple 3 . 4,689 00 présent sous forme naturelle :
1 . 4-1=3 ;
2 . Nous avons -3 ;
3 . Soustraire des nombres de la mantisse 6 ,8 et 9 ; chiffre 9 de 10 ; deux zéros sont laissés intacts.
En conséquence, nous obtenons :

4,689 00=-3,311 00 .

1 Les nombres négatifs n'ont pas du tout de vrais logarithmes..
2 Toutes les autres égalités sont approximatives jusqu'à la moitié de l'unité du dernier signe écrit.

ARTICLE XIII.

LES LOGARITHMES ET LEURS APPLICATIONS.

§ 2. Logarithmes décimaux.

Le dixième logarithme du nombre 1 est 0. Logarithmes décimaux des puissances positives de 10, c'est-à-dire e. les nombres 10, 100, 1000,.... sont, les nombres positifs 1, 2, 3,...., donc en général le logarithme du nombre noté un avec des zéros, est égal au nombre des zéros. Logarithmes décimaux des puissances négatives de 10, soit les fractions 0.1, 0.01, 0.001, .... sont des nombres négatifs -1, -2, -3 ....., de sorte qu'en général le logarithme d'une fraction décimale avec un numérateur un est égal au nombre négatif de zéros du dénominateur.

Les logarithmes de tous les autres nombres commensurables sont incommensurables. Ces logarithmes sont calculés approximativement, généralement avec une précision d'un cent millième, et sont donc exprimés en cinq chiffres décimales; par exemple lg 3 = 0,47712.

Lors de la présentation de la théorie des logarithmes décimaux, tous les nombres sont supposés être compilés selon le système décimal de leurs unités et fractions, et tous les logarithmes sont exprimés par une fraction décimale contenant 0 entier, avec une augmentation ou une diminution entière. La partie fractionnaire du logarithme est appelée sa mantisse, et toute l'augmentation ou la diminution est sa caractéristique. Les logarithmes des nombres supérieurs à un sont toujours positifs et ont donc une caractéristique positive ; les logarithmes des nombres inférieurs à un sont toujours négatifs, mais ils sont représentés de telle manière que leur mantisse se révèle positive et qu'une caractéristique est négative: par exemple, lg 500 \u003d 0,69897 + 2 ou inférieur à 2,69897, et lg 0,05 \u003d 0, 69897-2, qui par souci de brièveté est noté 2,69897, mettant la caractéristique à la place des nombres entiers, mais avec un signe - au-dessus. Ainsi, le logarithme d'un nombre supérieur à un représente la somme arithmétique d'un entier positif et d'une fraction positive, et le logarithme d'un nombre inférieur à un représente la somme algébrique d'un entier négatif avec une fraction positive.

Tout logarithme négatif peut être réduit à la forme artificielle indiquée. Par exemple, nous avons lg 3 / 5 \u003d lg 3 - lg 5 \u003d 0,47712-0,69897 \u003d -0,22185. Pour convertir ce vrai logarithme en une forme artificielle, on lui ajoute 1 et après addition algébrique on indique la soustraction de un pour la correction.

Nous obtenons lg 3 / 5 \u003d lg 0,6 \u003d (1-0,22185) -1 \u003d 0,77815-1. Dans ce cas, il s'avère que la mantisse 0,77815 est celle qui correspond au numérateur 6 de ce nombre, représenté dans le système décimal sous la forme d'une fraction 0,6.

Dans la représentation indiquée des logarithmes décimaux, leurs mantisses et caractéristiques ont des propriétés importantes en rapport avec la désignation décimale des nombres qui leur correspondent. Pour clarifier ces propriétés, notons ce qui suit. Prenons pour forme principale d'un nombre un nombre quelconque compris entre 1 et 10, et, l'exprimant en système décimal, nous le représenterons sous la forme a B c d e F ...., où un il y en a un chiffres significatifs 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 et décimales, b, c, ré, e, f ....... l'essence de tous les nombres, entre lesquels il peut y avoir des zéros. Du fait que le nombre pris est compris entre 1 n 10, son logarithme est compris entre 0 et 1 et donc ce logarithme est constitué d'une mantisse sans caractéristique ou de caractéristique 0. On note ce logarithme sous la forme 0 ,α β γ δ ε ...., où α, β ,γ ,δ, ε l'essence de certains chiffres. Nous multiplions maintenant ce nombre d'une part par les nombres 10, 100, 1000, .... et d'autre part par les nombres 0,1, 0,01, 0,001, ... et appliquons les théorèmes sur les logarithmes du produit et le quotient. On obtient alors une suite de nombres supérieurs à un et une suite de nombres inférieurs à un avec leurs logarithmes :

lg un ,bcde f ....= 0 ,α β γ δ ε ....

lg a B c d e F ....= 1 ,α β γ δ ε ... lg 0,abcde f ....= 1 ,α β γ δ ε ....

lg a B c d e F ....= 2 ,α β γ δ ε ... lg 0.0abcde f ....= 2 ,α β γ δ ε ....

lg a B c d e F ....= 3 ,α β γ δ ε ... lg 0.00abcde f ....= 3 ,α β γ δ ε ....

Lors de l'examen de ces égalités, les propriétés et caractéristiques suivantes de la mantisse sont révélées :

Propriété Mantisse. La mantisse dépend de l'emplacement et du type des chiffres béants du nombre, mais ne dépend pas du tout de la place de la virgule dans la désignation de ce nombre. Mantisses de logarithmes de nombres ayant un rapport décimal, c'est-à-dire ceux dont le rapport multiple est égal à toute puissance positive ou négative de dix sont les mêmes.

Propriété caractéristique. La caractéristique dépend de la catégorie des unités les plus élevées ou des fractions décimales d'un nombre, mais ne dépend pas du tout du type de chiffres dans la désignation de ce nombre.

Si nous appelons des numéros un ,bcde f ...., a B c d e F ...., a B c d e F .... nombres de chiffres positifs - premier, deuxième, troisième, etc., le chiffre du nombre 0,abcde f .... nous considérerons zéro, et les chiffres des nombres 0.0abcde f ...., 0.00abcde f ...., 0.000abcde f .... exprimer en nombres négatifs moins un, moins deux, moins trois, etc., alors il sera possible de dire en général que la caractéristique du logarithme de tout nombre décimal est un de moins que le nombre indiquant le chiffre

101. Sachant que lg 2 \u003d 0,30103, trouvez les logarithmes des nombres 20,2000, 0,2 et 0,00002.

101. Sachant que lg 3 \u003d 0,47712, trouvez les logarithmes des nombres 300, 3000, 0,03 et 0,0003.

102. Sachant que lg 5 \u003d 0,69897, trouvez les logarithmes des nombres 2,5, 500, 0,25 et 0,005.

102. Sachant que lg 7 \u003d 0,84510, trouvez les logarithmes des nombres 0,7, 4,9, 0,049 et 0,0007.

103. Connaissant lg 3=0,47712 et lg 7=0,84510, trouver les logarithmes des nombres 210, 0,021, 3/7, 7/9 et 3/49.

103. Connaissant lg 2=0,30103 et lg 7=0,84510, trouvez les logarithmes des nombres 140, 0,14, 2/7, 7/8 et 2/49.

104. Connaissant lg 3 \u003d 0,47712 et lg 5 \u003d O,69897, trouvez les logarithmes des nombres 1,5, 3/5, 0,12, 5/9 et 0,36.

104. Connaissant lg 5=0,69897 et lg 7=0,84510, trouvez les logarithmes des nombres 3,5, 5/7, 0,28, 5/49 et 1,96.

Les logarithmes décimaux des nombres exprimés par quatre chiffres au maximum sont recherchés directement dans les tableaux, et la mantisse du logarithme souhaité est trouvée dans les tableaux, et la caractéristique est définie en fonction du chiffre du nombre donné.

Si le nombre contient plus de quatre chiffres, la recherche du logarithme s'accompagne d'un calcul supplémentaire. La règle est : pour trouver le logarithme d'un nombre contenant plus de quatre chiffres, il faut chercher dans les tableaux le nombre indiqué par les quatre premiers chiffres et écrire la mantisse correspondant à ces quatre chiffres ; puis multipliez la différence tabulaire des mantisses par le nombre composé des chiffres rejetés, dans le produit, supprimez autant de chiffres à droite qu'ils ont été supprimés dans le nombre donné, et ajoutez le résultat aux derniers chiffres de la mantisse trouvée ; la caractéristique est de mettre, conformément à la décharge d'un nombre donné.

Lorsqu'un nombre est recherché par un logarithme donné et que ce logarithme est contenu dans les tables, alors les nombres du nombre recherché sont trouvés directement à partir des tables, et le chiffre du nombre est déterminé en fonction de la caractéristique du logarithme donné .

Si le logarithme donné n'est pas contenu dans les tables, alors la recherche d'un nombre s'accompagne d'un calcul supplémentaire. La règle est : pour trouver un nombre correspondant à un logarithme donné, dont la mantisse n'est pas contenue dans les tableaux, il faut trouver la plus petite mantisse la plus proche et écrire les chiffres correspondants du nombre; multipliez ensuite la différence entre la mantisse donnée et celle trouvée par 10 et divisez le produit par la différence tabulaire; attribuer le chiffre reçu du quotient à droite des chiffres écrits du nombre, c'est pourquoi l'ensemble de chiffres souhaité sera obtenu; la décharge du nombre doit être déterminée conformément aux caractéristiques du logarithme donné.

105. Trouvez les logarithmes des nombres 8, 141, 954, 420, 640, 1235, 3907, 3010, 18,43, 2,05, 900,1, 0,73, 0,0028, 0,1008, 0,00005.

105. Trouvez les logarithmes des nombres 15,154, 837, 510, 5002,1309-, 8900, 8,315, 790,7, 0,09, 0,6745, 0,000745, 0,04257, 0,00071.

106. Trouvez les logarithmes des nombres 2174,6, 1445,7, 2169,5, 8437,2, 46,472, 6,2853, 0,7893B, 0,054294, 631,074, 2,79556, 0,747428, 0,00237158.

106. Trouvez les logarithmes des nombres 2578,4, 1323,6, 8170,5, 6245,3, 437,65, 87,268, 0,059372, 0,84938, 62,5475, 131,037, 0,593946, 0,00234261.

107. Trouvez les nombres correspondant aux logarithmes de 3,16227, 3,59207, 2,93318, 0,41078, 1,60065, 2,756,86, 3,23528, 1,79692. 4,87800 5,14613.

107. Trouvez les nombres correspondant aux logarithmes de 3,07372, 3,69205, 1,64904, 2,16107, 0,70364, 1,31952, 4,30814, 3,00087, 2,69949, 6,57978.

108. Trouvez le nombre correspondant aux logarithmes de 3,57686, 3,16340, 2,40359, 1,09817, 4,49823, 2,83882, 1,50060, 3,30056, 1,17112, 4,25100.

108. Trouvez les nombres correspondant aux logarithmes de 3,33720, 3,09875, 0,70093, 4,04640, 2,94004, 1,41509, 2,32649, 4,14631, 3,01290, 5,39003.

Les logarithmes positifs des nombres supérieurs à un sont les sommes arithmétiques de leurs caractéristiques et mantisses. Par conséquent, les actions avec eux sont effectuées selon les règles arithmétiques ordinaires.

Les logarithmes négatifs des nombres inférieurs à un sont les sommes algébriques d'une caractéristique négative et d'une mantisse positive. Par conséquent, les opérations avec eux sont effectuées selon des règles algébriques, qui sont complétées par des instructions spéciales liées à la réduction des logarithmes négatifs à leur forme normale. La forme normale du logarithme négatif est celle dans laquelle la caractéristique est un entier négatif et la mantisse est une fraction propre positive.

Pour convertir le vrai logarithme réfléchissant en sa forme normale artificielle, il faut augmenter la valeur absolue de son terme entier de un et faire du résultat une caractéristique négative; puis ajoutez tous les chiffres du terme fractionnaire à 9, et le dernier d'entre eux à 10 et faites du résultat une mantisse positive. Par exemple, -2,57928 = 3,42072.

Convertir la forme artificielle normale d'un logarithme en sa vraie forme Sens négatif, vous devez réduire la caractéristique négative de un et faire du résultat un terme entier de la somme négative ; puis ajoutez tous les chiffres de la mantisse à 9, et le dernier d'entre eux à 10 et faites du résultat un terme fractionnaire de la même somme négative. Par exemple : 4,57406= -3,42594.

109. Convertir en logarithmes artificiels -2,69537, -4, 21283, -0,54225, -1,68307, -3,53820, -5,89990.

109. Convertissez en forme artificielle les logarithmes -3,21729, -1,73273, -5,42936, -0,51395, -2,43780, -4,22990.

110. Trouvez les vraies valeurs des logarithmes 1,33278, 3,52793, 2,95426, 4,32725, 1,39420, 5,67990.

110. Trouvez les valeurs réelles des logarithmes 2,45438, 1,73977, 3,91243, 5,12912, 2,83770, 4,28990.

Les règles pour les opérations algébriques avec des logarithmes négatifs sont exprimées comme suit :

Pour appliquer le logarithme négatif sous sa forme artificielle, vous devez appliquer la mantisse et soustraire la valeur absolue de la caractéristique. Si un entier positif se distingue de l'addition des mantisses, il est alors nécessaire de l'attribuer à la caractéristique du résultat, en y apportant une correction appropriée. Par exemple,

3,89573 + 2 ,78452 = 1 1 ,68025 = 2,68025

1 ,54978 + 2 ,94963=3 1 ,49941=2 ,49941.

Pour soustraire le logarithme négatif sous sa forme artificielle, vous devez soustraire la mantisse et ajouter la valeur absolue de la caractéristique. Si la mantisse à soustraire est grande, alors il est nécessaire de faire une correction de la caractéristique de la réduite afin de séparer une unité positive de la mantisse réduite. Par exemple,

2,53798-3 ,84582=1 1 ,53798-3 ,84582 = 4,69216,

2 ,22689-1 ,64853=3 1 ,22689-1 ,64853=2 ,57836.

Pour multiplier un logarithme négatif par un entier positif, vous devez multiplier sa caractéristique et sa mantisse séparément. Si, lors de la multiplication de la mantisse, un nombre entier positif est attribué, il est alors nécessaire de l'attribuer à la caractéristique du résultat, en y apportant une correction appropriée. Par exemple,

2 ,53729 5=10 2 ,68645=8 ,68645.

Lorsque vous multipliez un logarithme négatif par un montant négatif, remplacez le multiplicateur par sa vraie valeur.

Pour diviser un logarithme négatif par un entier positif, vous devez séparer sa caractéristique et sa mantisse séparément. Si la caractéristique du dividende n'est pas divisible par le diviseur, alors il faut y apporter une correction pour attribuer plusieurs unités positives à la mantisse, et faire de la caractéristique un multiple du diviseur. Par exemple,

3 ,79432: 5=5 2 ,79432: 5=1 ,55886.

Lorsque vous divisez un logarithme négatif par un nombre négatif, vous devez remplacer le dividende par sa vraie valeur.

Effectuez les calculs suivants à l'aide de tables logarithmiques et vérifiez les résultats dans les cas les plus simples en utilisant les méthodes d'action habituelles :

174. Déterminez le volume d'un cône dont la génératrice est de 0,9134 pieds et le rayon de la base est de 0,04278 pieds.

175. Calculer le 15e terme d'une progression multiple dont le premier terme est 2 3/5 et le dénominateur est 1,75.

175. Calculez le premier terme d'une progression multiple, dont le 11e terme est 649,5 et le dénominateur est 1,58.

176. Déterminer le nombre de facteurs un , un 3 , un 5 R . Trouve ça un , où le produit de 10 facteurs est égal à 100.

176. Déterminez le nombre de facteurs. un 2 , un 6 , un 10 ,.... pour que leur produit soit égal au nombre donné R . Trouve ça un , où le produit de 5 facteurs est égal à 10.

177. Le dénominateur de la progression multiple est 1,075, la somme de ses 10 membres est 2017,8. Trouvez le premier terme.

177. Le dénominateur d'une progression multiple est 1,029, la somme de ses 20 membres est 8743,7. Trouvez le vingtième terme.

178 . Exprimer le nombre de termes d'une progression multiple étant donné le premier terme un , dernier et et dénominateur q , puis en choisissant arbitrairement des valeurs numériques un et tu , Récupérer q pour que P

178. Exprimer le nombre de membres d'une progression multiple selon le premier membre un , dernière et et dénominateur q et et q , Récupérer un pour que P était un entier.

179. Déterminer le nombre de facteurs pour que leur produit soit égal à R . Que devrait-il être R pour un =0,5 et b =0,9 le nombre de facteurs était de 10.

179. Déterminer le nombre de facteurs de sorte que leur produit est égal à R . Que devrait-il être R pour un =0.2 et b =2 le nombre de facteurs était de 10.

180. Exprimer le nombre de termes d'une progression multiple étant donné le premier terme un , plus tard et et le produit de tous les membres R , puis en choisissant arbitrairement des valeurs numériques un et R , Récupérer et suivi du dénominateur q pour que et était un entier.

160. Exprimer le nombre de membres d'une progression multiple selon le premier membre un , le dernier et et le produit de tous les termes R , puis en choisissant arbitrairement des valeurs numériques et et R , Récupérer un suivi du dénominateur q pour que P était un entier.

Résolvez les équations suivantes, si possible - sans l'aide de tables, et sinon, avec des tables :

Logarithme décimal 0 1. Logarithme

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Signes caractéristiques des logarithmes décimaux.