Marginea laterală a unei piramide hexagonale. Dezvoltarea piramidei

Instrucțiuni

Având în vedere o bază de piramidă pătrată cu o lungime cunoscută a laturii (a) și un volum dat (V), înlocuiți aria din formula de calcul din pasul anterior cu lungimea laturii pătrate: H = 3*V/a².

Formula de la primul pas poate fi transformată pentru a calcula înălțimea (H) a unei piramide obișnuite cu o bază de orice formă. Datele inițiale care ar trebui să fie implicate în el sunt volumul (V) al poliedrului, lungimea muchiei de la bază (a) și numărul de vârfuri de la bază (n). Aria unui poligon regulat este determinată de un sfert din produsul numărului de vârfuri de pătratul lungimii laturii și cotangentei unghiului, egal cu raportul de 180° și numărul de vârfuri: ¼* n*a²*ctg(180°/n). Înlocuiți această expresie în formula de la primul pas: H = 3*V/(¼*n*a²*ctg(180°/n)) = 12*V/(n*a²*ctg(180°/n)) .

Dacă aria bazei este necunoscută din condițiile problemei și sunt date numai volumul (V) și lungimea muchiei (a), atunci variabila lipsă din formula de la pasul anterior poate fi înlocuită prin echivalentul său, exprimat în termeni de lungime a muchiei. Suprafața (așa cum vă amintiți, se află la baza piramidei tipului în cauză) este egală cu un sfert din produs rădăcină pătrată de la trei la lungimea pătrată a laturii. Înlocuiți această expresie în locul ariei bazei în formula de la pasul anterior și obțineți următorul rezultat: H = 3*V*4/(a²*√3) = 12*V/(a²*√3 ).

Deoarece volumul unui tetraedru poate fi exprimat și în termeni de lungime a muchiei, toate variabilele pot fi eliminate din formula de calcul a înălțimii unei figuri, lăsând doar latura feței sale. Volumul acestei piramide se calculează împărțind la 12 produsul rădăcinii pătrate a lui doi la lungimea în cuburi a feței. Înlocuiți această expresie în formula de la pasul anterior și obțineți rezultatul: H = 12*(a³*√2/12)/(a²*√3) = (a³*√2)/(a²*√3) = a* √⅔ = ⅓*a*√6.

Prisma corectă poate fi înscris într-o sferă, iar cunoscând doar raza ei (R) se poate calcula tetraedrul. Lungimea muchiei este egală cu de patru ori raportul dintre raza și rădăcina pătrată a șase. Înlocuiți variabila a în formula de la pasul anterior cu această expresie și obțineți egalitatea: H = ⅓*√6*4*R/√6 = 4*r/3.

O formulă similară se poate obține cunoscând raza (r) cercului înscris în tetraedru. În acest caz, lungimea muchiei va fi egală cu douăsprezece rapoarte între rază și pătratul de șase. Înlocuiți această expresie în formula din a treia etapă: H = ⅓*a*√6 = ⅓*√6*12*R/√6 = 4*R.

Piramida este una dintre cele mai mistice figuri din geometrie. Fluxurile de energie cosmică sunt asociate cu ea; multe popoare antice au ales această formă specială pentru construirea clădirilor lor religioase. Totuși, din punct de vedere matematic, o piramidă este doar un poliedru, cu un poligon la bază, iar fețele sunt triunghiuri cu un vârf comun. Să ne uităm la cum să găsim pătrat margini V piramidă.

Vei avea nevoie

• calculator.

Instrucțiuni

Tip piramide: regulate (la baza - poligon regulat, iar vârfurile de pe sunt centrul său), arbitrar (orice poligon se află la bază, iar proiecția vârfului nu coincide neapărat cu centrul său), dreptunghiulară (una dintre marginile laterale formează un unghi drept cu baza) și . În funcție de laturile poligonului de la baza piramidei, acesta se numește trei, patru, cinci sau, de exemplu, decagonal.

Pentru toate tipurile de piramide, cu excepția celor trunchiate: Înmulțiți lungimile bazei triunghiului și înălțimea coborâtă pe aceasta din vârful piramidei. Împărțiți produsul rezultat cu 2 - acesta va fi cel dorit pătrat latură margini piramide.

Piramida trunchiată Îndoiți ambele baze ale trapezului, care este fața unei astfel de piramide. Împărțiți suma rezultată la două. Înmulțiți valoarea rezultată cu înălțimea margini-trapez. Valoarea rezultată este pătrat latură margini piramide de acest tip.

Video pe tema

Sfaturi utile

Aria suprafeței laterale și a bazei, perimetrul bazei piramidei și volumul acesteia sunt legate prin anumite formule. Acest lucru face uneori posibil să se calculeze valorile datelor lipsă necesare pentru a determina aria unei fețe în piramidă.

Volumul oricărei piramide netrunchiate este egal cu o treime din produsul dintre înălțimea piramidei și aria bazei. Pentru o piramidă obișnuită, este adevărat: aria suprafeței laterale este egală cu jumătate din perimetrul bazei înmulțit cu înălțimea uneia dintre fețe. Când se calculează volumul unei piramide trunchiate, în locul ariei bazei, înlocuiți o valoare egală cu suma ariilor bazei superioare, inferioare și rădăcinii pătrate a produsului lor.

Surse:

• Stereometrie
• cum să găsești fața laterală a unei piramide

O piramidă se numește dreptunghiulară dacă una dintre marginile ei este perpendiculară pe baza sa, adică se află la un unghi de 90˚. Această margine este și înălțimea piramidei dreptunghiulare. Formula pentru volumul unei piramide a fost derivată pentru prima dată de Arhimede.

Vei avea nevoie

• - pix;
• - hartie;
• - calculator.

Instrucțiuni

La o înălțime dreptunghiulară va exista marginea acesteia, care se află la un unghi de 90˚ față de bază. Ca, aria bazei dreptunghiulare este desemnată cu S, iar înălțimea, care este, de asemenea piramide, - h. Apoi, pentru a găsi volumul acestui piramide, este necesar să înmulțiți aria bazei sale cu înălțimea sa și să împărțiți cu 3. Astfel, volumul unui dreptunghiular piramide calculat folosind formula: V=(S*h)/3.

Construiți urmând parametrii dați. Etichetați baza cu latină ABCDE și partea de sus piramide- S. Întrucât desenul va fi pe un plan în proiecție, pentru a nu vă încurca, indicați datele pe care le cunoașteți deja: SE = 30cm; S(ABCDE)=45 cm².

Calculați volumul unui dreptunghi piramide, folosind formula. Înlocuind datele și făcând calcule, rezultă că volumul unui dreptunghiular piramide va fi egal cu: V=(45*30)/3=cm³.

Dacă declarația problemei nu conține date despre și înălțime piramide, atunci trebuie să efectuați calcule suplimentare pentru a obține aceste valori. Aria bazei va fi calculată în funcție de dacă poligonul se află la baza sa.

Înălţime piramide aflați dacă cunoașteți ipotenuza oricăruia dintre EDS sau EAS dreptunghiulare și unghiul la care fața laterală SD sau SA este înclinată față de baza sa. Calculați cateta SE folosind teorema sinusului. Va fi înălțimea dreptunghiului piramide.

Notă

Când calculați cantități precum înălțimea, volumul, suprafața, trebuie să vă amintiți că fiecare dintre ele are propria sa unitate de măsură. Deci, aria se măsoară în cm², înălțimea în cm și volumul în cm³.
Un centimetru cub este o unitate de volum care este egală cu volumul unui cub cu lungimea muchiei de 1 cm. Dacă substituim datele în formula noastră, obținem: cm³= (cm²*cm)/3.

Sfaturi utile

De regulă, dacă problema necesită găsirea volumului unei piramide dreptunghiulare, atunci se cunosc toate datele necesare - cel puțin pentru a găsi aria bazei și înălțimea figurii.

Calcularea volumelor figurilor spațiale este una dintre cele sarcini importante stereometrie. În acest articol vom lua în considerare problema determinării volumului unui poliedru, cum ar fi o piramidă, și vom da, de asemenea, unul regulat hexagonal.

Piramidă hexagonală

Mai întâi, să vedem care este cifra care va fi discutată în articol.

Să avem un hexagon arbitrar, ale cărui laturi nu sunt neapărat egale între ele. Să presupunem, de asemenea, că am ales un punct din spațiu care nu este situat în planul hexagonului. Conectând toate colțurile acestuia din urmă cu punctul selectat, obținem o piramidă. Două piramide diferite având o bază hexagonală sunt prezentate în figura de mai jos.

Se poate observa că, pe lângă hexagon, figura este formată din șase triunghiuri, al căror punct de legătură se numește vârf. Diferența dintre piramidele reprezentate este că înălțimea h a celei din dreapta nu intersectează baza hexagonală în centrul său geometric, în timp ce înălțimea figurii din stânga cade exact în acest centru. Datorită acestui criteriu, piramida stângă a fost numită dreaptă, iar piramida dreaptă a fost numită înclinată.

Deoarece baza figurii din stânga din figură este formată dintr-un hexagon cu laturi și unghiuri egale, se numește regulat. Mai departe in articol vom vorbi numai despre această piramidă.

Pentru a calcula volumul unei piramide arbitrare, este valabilă următoarea formulă:

Aici h este lungimea înălțimii figurii, S o este aria bazei acesteia. Să folosim această expresie pentru a determina volumul unei piramide regulate hexagonale.

Deoarece baza figurii în cauză este un hexagon echilateral, pentru a-i calcula aria puteți folosi următoarea expresie generală pentru un n-gon:

S n = n/4 * a 2 * ctg(pi/n)

Aici n este un număr întreg egal cu numărul de laturi (unghiuri) ale poligonului, a este lungimea laturii acestuia, funcția cotangentă este calculată folosind tabelele corespunzătoare.

Aplicând expresia pentru n = 6, obținem:

S 6 = 6/4 * a 2 * ctg(pi/6) = √3/2 * a 2

Acum tot ce rămâne este să înlocuim această expresie în formula generala pentru volumul V:

V 6 = S 6 * h = √3/2 * h * a 2

Astfel, pentru a calcula volumul piramidei în cauză, este necesar să se cunoască cei doi parametri liniari ai acesteia: lungimea laturii bazei și înălțimea figurii.

Exemplu de rezolvare a problemei

Să arătăm cum poate fi folosită expresia rezultată pentru V 6 pentru a rezolva următoarea problemă.

Se știe că volumul corect este de 100 cm 3 . Este necesar să se determine latura bazei și înălțimea figurii dacă se știe că sunt legate între ele prin următoarea egalitate:

Deoarece formula pentru volum include doar a și h, puteți înlocui oricare dintre acești parametri în ea, exprimați în termeni de celălalt. De exemplu, înlocuind a, obținem:

V 6 = √3/2*h*(2*h) 2 =>

h = ∛(V 6 /(2*√3))

Pentru a găsi înălțimea unei figuri, trebuie să luați a treia rădăcină a volumului, care corespunde dimensiunii lungimii. Înlocuim valoarea volumului V 6 al piramidei din condițiile problemei, obținem înălțimea:

h = ∛(100/(2*√3)) ≈ 3,0676 cm

Deoarece latura bazei, în conformitate cu starea problemei, este de două ori mai mare decât valoarea găsită, obținem valoarea acesteia:

a = 2*h = 2*3,0676 = 6,1352 cm

Volum piramidă hexagonală poate fi găsită nu numai prin înălțimea figurii și valoarea laturii bazei acesteia. Este suficient să cunoașteți doi parametri liniari diferiți ai piramidei pentru a o calcula, de exemplu, apotema și lungimea marginii laterale.

Probleme cu piramidele. În acest articol vom continua să luăm în considerare problemele cu piramidele. Ele nu pot fi atribuite nici unei clase sau tip de sarcini și nu pot fi date recomandări generale (algoritmice) pentru rezolvare. Doar că sarcinile rămase care nu au fost luate în considerare mai devreme sunt colectate aici.

Voi enumera teoria de care aveți nevoie pentru a vă reîmprospăta memoria înainte de a rezolva: piramide, proprietăți de similitudine a figurilor și corpurilor, proprietățile piramidelor regulate, teorema lui Pitagora, formula pentru aria unui triunghi (este a doua). Să luăm în considerare sarcinile:

Dintr-o piramidă triunghiulară al cărei volum este 80, o piramidă triunghiulară este tăiată de un plan care trece prin vârful piramidei și linia mediană a bazei. Aflați volumul piramidei triunghiulare tăiate.

Volumul unei piramide este egal cu o treime din produsul dintre suprafața bazei sale și înălțimea acesteia:

Aceste piramide (originale și tăiate) au o înălțime comună, astfel încât volumele lor sunt legate ca zonele bazelor lor. Linia de mijloc din triunghiul original taie un triunghi a cărui zonă este de patru ori mai mică, adică:

Mai multe informații despre aceasta pot fi găsite aici.

Aceasta înseamnă că volumul piramidei tăiate va fi de patru ori mai mic.

Deci va fi egal cu 20.

Raspuns: 20

* o problemă similară, se utilizează formula pentru aria unui triunghi.

Volumul unei piramide triunghiulare este 15. Planul trece prin latura bazei acestei piramide și intersectează marginea laterală opusă într-un punct care o împarte într-un raport de 1: 2, numărând din vârful piramidei. Găsiți cel mai mare volum al piramidelor în care planul împarte piramida originală.

Să construim o piramidă și să marchem vârfurile.Să marchem punctul E pe muchia AS, astfel încât AE să fie de două ori mai mare decât ES (condiția spune că ES este legat de AE ​​ca de la 1 la 2) și să construim planul indicat care trece prin muchia AC și punctul E:

Să analizăm volumul cărei piramide va fi mai mare: EABC sau SEBC?

* Volumul unei piramide este egal cu o treime din produsul dintre suprafața bazei sale și înălțimea acesteia:

Dacă luăm în considerare cele două piramide rezultate și luăm ca bază în ambele fața EBC, devine evident că volumul piramidei AEBS va fi mai mare decât volumul piramidei SEBC. De ce?

Distanța de la punctul A la planul EBC este mai mare decât distanța de la punctul S. Și această distanță joacă rolul de înălțime pentru noi.

Deci, să găsim volumul piramidei EABC.

Volumul piramidei originale ne este dat; piramidele SABC și EABC au o bază comună. Dacă stabilim raportul de înălțimi, putem determina cu ușurință volumul.

Din raportul dintre segmentele ES și AE rezultă că AE este egal cu două treimi din ES. Înălțimile piramidelor SABC și EABC sunt în aceeași relație -inaltimea piramidei EABC va fi egala cu 2/3 din inaltimea piramidei SABC.

Astfel, dacă

Acea

Raspuns: 10

Volumul unei piramide hexagonale regulate este 6. Latura bazei este 1. Aflați muchia laterală.

ÎN piramida corecta vârful este proiectat în centrul bazei.Să realizăm construcții suplimentare:

Putem găsi o margine laterală din triunghi dreptunghic SOC. Pentru a face acest lucru, trebuie să cunoașteți SO și OS.

SO este înălțimea piramidei, o putem calcula folosind formula de volum:

Să calculăm aria bazei. acesta este un hexagon regulat cu o latură egală cu 1. Aria unui hexagon regulat este egală cu aria a șase triunghiuri echilaterale cu aceeași latură, mai multe despre aceasta (secțiunea 6), deci:

Mijloace

OS = BC = 1, deoarece într-un hexagon regulat segmentul care își leagă centrul de vârf este egal cu latura acestui hexagon.

Astfel, conform teoremei lui Pitagora:

Raspuns: 7

VolumVolumul unui tetraedru este 200. Aflați volumul unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale muchiilor tetraedrului dat.

Volumul poliedrului indicat este egal cu diferența dintre volumele tetraedrului original V 0 și patru tetraedre egale, fiecare dintre acestea obținute prin tăierea unui plan care trece prin punctele mijlocii ale muchiilor având un vârf comun:

Să stabilim ce egal cu volumul tetraedrul tăiat.

Rețineți că tetraedrul original și tetraedrul „decupat” sunt corpuri similare. Se știe că raportul dintre volumele corpurilor similare este egal cu k 3, unde k este coeficientul de asemănare. În acest caz, este egal cu 2 (deoarece toate dimensiunile liniare ale tetraedrului original sunt de două ori mai mari decât dimensiunile corespunzătoare ale celui tăiat):

Să calculăm volumul tetraedrului tăiat:

Astfel, volumul necesar va fi egal cu:

Raspuns: 100

Aria suprafeței tetraedrului este 120. Aflați aria suprafeței poliedrului ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale muchiilor tetraedrului dat.

Prima cale:

Suprafața necesară este formată din 8 triunghiuri echilaterale cu o latură jumătate din dimensiunea muchiei tetraedrului original. Suprafața tetraedrului original este formată din 16 astfel de triunghiuri (pe fiecare dintre cele 4 fețe ale tetraedrului există 4 triunghiuri), deci aria necesară este egală cu jumătate din aria suprafeței tetraedrului dat și este egală cu 60.

A doua cale:

Deoarece aria suprafeței tetraedrului este cunoscută, putem găsi marginea acestuia, apoi stabilim lungimea marginii poliedrului și apoi calculăm aria suprafeței acestuia.

Data: 19-01-2015

Dacă aveți nevoie instrucțiuni pas cu pas Cum să construiți o scanare piramidală, apoi vă rog să vă alăturați lecției noastre. Mai întâi, evaluați dacă piramida dvs. este desfășurată într-un mod similar ca în Figura 1.

Dacă îl rotiți cu 90 de grade, atunci marginea marcată în figură ca „valori reale cunoscute” în cazul dvs. poate fi găsită pe proiecția de profil pe care va trebui să o construiți. În cazul meu, acest lucru nu este necesar; avem deja toate cantitățile necesare pentru construcție. Este important să nu uităm că în acest desen sunt afișate la dimensiune completă doar marginile SA și SD din proiecția frontală. Toate celelalte sunt proiectate cu distorsiuni de lungime. În plus, în vederea de sus, toate laturile hexagonului sunt, de asemenea, proiectate la dimensiunea maximă. Pe baza acestui lucru, să continuăm.

1. Pentru o frumusețe mai mare, să desenăm prima linie pe orizontală (Figura 1). Apoi, să desenăm un arc larg cu raza R=a, adică. rază egală cu lungimea marginii laterale a piramidei. Să obținem punctul A. Folosind o busolă, vom face o crestătură pe arcul din acesta, cu raza r=b (lungimea laturii bazei piramidei). Să luăm punctul B. Avem deja prima față a piramidei!

2. Din punctul B facem o altă crestătură cu aceeași rază - obținem punctul C și conectându-l cu punctele B și S obținem a doua față laterală a piramidei (Figura 2).

3. Repetând acești pași suma necesară de ori (totul depinde de câte fețe are piramida ta) vom obține un ventilator ca acesta (Figura 3). Dacă sunt construite corect, ar trebui să obțineți toate punctele de bază, iar cele extreme ar trebui repetate.

4. Acest lucru nu este întotdeauna necesar, dar este totuși necesar: ​​adăugați baza piramidei la dezvoltarea suprafeței laterale. Cred că toți cei care au citit până aici știu să deseneze un pentagon șase-opt (cum să desenezi un pentagon este descris în detaliu în lecție). Dificultatea constă în faptul că figura trebuie desenată la locul potrivit. și în unghi drept. Desenăm o axă prin mijlocul oricărei fețe. Din punctul de intersecție cu linia dreaptă a bazei, trasăm distanța m, așa cum se arată în Figura 4.


Tragând o perpendiculară prin acest punct, obținem axele viitorului hexagon. Din centrul rezultat desenăm un cerc, așa cum ați făcut când ați construit vederea de sus. Vă rugăm să rețineți că cercul trebuie să treacă prin două puncte de pe fața laterală (în cazul meu, acestea sunt F și A)

5. Figura 5 prezintă vederea finală a dezvoltării unei prisme hexagonale.


Aceasta completează construcția piramidei. Construiește-ți dezvoltările, învață să găsești soluții, fii meticulos și nu renunța niciodată. Vă mulțumesc că ați trecut pe aici. Nu uita să ne recomanzi prietenilor tăi:) Toate cele bune!

sau notează-ne numărul de telefon și spune-le prietenilor tăi despre noi - probabil că cineva caută o modalitate de a finaliza desenele

sau Creați o notă despre lecțiile noastre pe pagina sau blogul dvs. - și altcineva va putea stăpâni desenul.