Marginea laterală a unei piramide hexagonale. Piramidă

Probleme cu piramidele. În acest articol, vom continua să luăm în considerare problemele cu piramidele. Ele nu pot fi atribuite nici unei clase sau tip de sarcini și oferă recomandări generale (algoritmi) pentru rezolvare. Doar că restul sarcinilor care nu au fost luate în considerare mai devreme sunt adunate aici.

Voi enumera teoria care trebuie reîmprospătată în memorie înainte de rezolvare: piramide, proprietăți de similitudine ale figurilor și corpurilor, proprietățile piramidelor regulate, teorema lui Pitagora, formula ariei triunghiului (este a doua). Luați în considerare sarcinile:

Din piramidă triunghiulară, al cărui volum este 80, piramida triunghiulară este tăiată de un plan care trece prin vârful piramidei și linia de mijloc a bazei. Aflați volumul piramidei triunghiulare tăiate.

Volumul unei piramide este egal cu o treime din produsul dintre suprafața bazei sale și înălțimea acesteia:

Aceste piramide (originale și tăiate) au o înălțime comună, astfel încât volumele lor sunt legate ca zonele bazelor lor. Linia de mijloc din triunghiul original taie un triunghi a cărui zonă este de patru ori mai mică, adică:

Puteți vedea mai multe despre asta aici.

Aceasta înseamnă că volumul piramidei tăiate va fi de patru ori mai mic.

Deci va fi 20.

Raspuns: 20

* o problemă similară, se utilizează formula pentru aria unui triunghi.

Volumul unei piramide triunghiulare este 15. Planul trece prin latura bazei acestei piramide și intersectează marginea laterală opusă într-un punct care o împarte într-un raport de 1: 2, numărând din vârful piramidei. Găsiți cel mai mare dintre volumele piramidelor în care planul împarte piramida originală.

Să construim o piramidă, să marchem vârfurile.Marcați un punct E pe muchia AS astfel încât AE să fie de două ori mai mare decât ES (în condiția că se spune că ES se referă la AE ca de la 1 la 2) și construiți planul indicat care trece prin muchia AC și punctul E:

Să analizăm volumul cărei piramide va fi mai mare: EABC sau SEBC?

* Volumul unei piramide este egal cu o treime din produsul dintre suprafața bazei sale și înălțimea acesteia:

Dacă luăm în considerare cele două piramide rezultate și luăm fața EBC ca bază în ambele, atunci devine evident că volumul piramidei AEBC va fi mai mare decât volumul piramidei SEBC. De ce?

Distanța de la punctul A la planul EBC este mai mare decât distanța de la punctul S. Și această distanță joacă rolul de înălțime pentru noi.

Deci, să găsim volumul piramidei EABC.

Volumul piramidei inițiale ne este dat, baza piramidelor SABC și EABC este comună. Dacă stabilim raportul de înălțimi, atunci putem determina cu ușurință volumul.

Din raportul dintre segmentele ES și AE rezultă că AE este egal cu două treimi din ES. Înălțimile piramidelor SABC și EABC sunt în aceeași relație -inaltimea piramidei EABC va fi egala cu 2/3 din inaltimea piramidei SABC.

Astfel, dacă

Acea

Raspuns: 10

Volumul corect piramidă hexagonală 6. Latura bazei este 1. Găsiți marginea laterală.

Într-o piramidă obișnuită, vârful este proiectat în centrul bazei.Să facem construcții suplimentare:

Putem găsi marginea laterală din triunghi dreptunghic SOC. Pentru a face acest lucru, trebuie să cunoașteți SO și OS.

SO este înălțimea piramidei, o putem calcula folosind formula de volum:

Calculați aria bazei. acesta este un hexagon regulat cu o latură egală cu 1. Aria unui hexagon regulat este egală cu aria a șase triunghiuri echilaterale cu aceeași latură, mai multe despre aceasta (articolul 6), deci:

Mijloace

OS \u003d BC \u003d 1, deoarece într-un hexagon regulat segmentul care își leagă centrul de vârf este egal cu latura acestui hexagon.

Astfel, conform teoremei lui Pitagora:

Raspuns: 7

VolumDimensiunea unui tetraedru este 200. Aflați volumul unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale muchiilor acestui tetraedru.

Volumul acestui poliedru este egal cu diferența dintre volumele tetraedrului original V 0 și patru tetraedre egale, fiecare dintre ele obținute prin tăierea planului care trece prin punctele mijlocii ale muchiilor care au un vârf comun:

Să determinăm care este volumul tetraedrului tăiat.

Rețineți că tetraedrul original și tetraedrul „decupat” sunt corpuri similare. Se știe că raportul dintre volumele corpurilor similare este k 3 , unde k este coeficientul de asemănare. În acest caz, este egal cu 2 (deoarece toate dimensiunile liniare ale tetraedrului original sunt de două ori dimensiunile corespunzătoare ale celui tăiat):

Calculați volumul tetraedrului tăiat:

Astfel, volumul dorit va fi egal cu:

Raspuns: 100

Aria suprafeței unui tetraedru este 120. Aflați aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale muchiilor acestui tetraedru.

Prima cale:

Suprafața dorită este formată din 8 triunghiuri echilaterale cu o latură la jumătatea marginii tetraedrului original. Suprafața tetraedrului original este formată din 16 astfel de triunghiuri (4 triunghiuri pe fiecare dintre cele 4 fețe ale tetraedrului), deci aria necesară este egală cu jumătate din suprafața acestui tetraedru și este egală cu 60.

A doua cale:

Deoarece aria suprafeței tetraedrului este cunoscută, putem găsi marginea acestuia, apoi stabilim lungimea marginii poliedrului și apoi calculăm aria suprafeței acestuia.

Piramidele sunt: ​​triunghiulare, patrulatere etc., în funcție de ce bază este - un triunghi, un patrulater etc.
Piramida se numește corectă (Fig. 286, b) dacă, în primul rând, baza ei este poligon regulat, și, în al doilea rând, înălțimea trece prin centrul acestui poligon.
În caz contrar, piramida se numește neregulată (Fig. 286, c). Toate în piramida corectă coaste laterale sunt egale între ele (ca oblice cu proiecții egale). Prin urmare, toate fețele laterale piramida corecta sunt triunghiuri isoscele egale.
Analiza elementelor unei piramide hexagonale regulate și reprezentarea lor într-un desen complex (Fig.287).

a) Desen complex al unei piramide hexagonale regulate. Baza piramidei este situată pe planul P 1 ; două laturi ale bazei piramidei sunt paralele cu planul proiecţiilor П 2 .
b) Baza ABCDEF - un hexagon situat în planul proiecțiilor П 1 .
c) Fata laterala ASF - un triunghi situat intr-un plan in pozitie generala.
d) Fața laterală FSE - un triunghi situat în profil - plan proeminent.
e) Muchia SE este un segment în poziţie generală.
f) Edge SA - segment frontal.
g) Vârful S al piramidei este un punct în spațiu.
Pe (Fig.288 și Fig.289) sunt prezentate exemple de operații grafice secvențiale la efectuarea unui desen complex și imagini vizuale (axonometrie) ale piramidelor.

Dat:
1. Baza este situată pe planul P 1.
2. Una dintre laturile bazei este paralelă cu axa x 12.
I. Desen integrat.
In absenta. Proiectăm baza piramidei - un poligon, în conformitate cu această condiție, situat în planul П 1 .
Proiectăm un vârf - un punct situat în spațiu. Înălțimea punctului S este egală cu înălțimea piramidei. Proiecția orizontală S 1 a punctului S va fi în centrul proiecției bazei piramidei (prin condiție).
eu, b. Proiectăm marginile piramidei - segmente; pentru a face acest lucru, conectăm proiecțiile directe ale vârfurilor de bază ABCDE cu proiecțiile corespunzătoare ale vârfului piramidei S. Proiecțiile frontale S 2 C 2 și S 2 D 2 ale marginilor piramidei sunt reprezentate prin linii întrerupte, ca invizibile, închise de fețele piramidei (SBA și SAE).
IC. Este dată proiecția orizontală K 1 a punctului K de pe fața laterală SBA, este necesară găsirea proiecției frontale a acesteia. Pentru a face acest lucru, desenăm o dreaptă auxiliară S 1 F 1 prin punctele S 1 și K 1, găsim proiecția frontală a acesteia și pe ea, folosind o linie verticală de comunicare, determinăm locul proiecției frontale dorite K 2 a punctului K.
II. Dezvoltarea suprafeței piramidei este o figură plată formată din fețe laterale - triunghiuri isoscele identice, dintre care o parte este egală cu latura bazei, iar celelalte două - la marginile laterale, iar dintr-un poligon regulat - baza.
Dimensiunile naturale ale laturilor bazei sunt relevate pe proiecția orizontală a acesteia. Dimensiunile naturale ale nervurilor de pe proiecții nu au fost dezvăluite.
Hipotenuza S 2 ¯A 2 (Fig.288, 1 , b) un triunghi dreptunghic S 2 O 2 ¯A 2, în care catetul mare este egal cu înălțimea S 2 O 2 a piramidei, iar cel mic este egal cu proiecția orizontală a muchiei S 1 A 1 este mărimea naturală a marginii piramidei. Construcția maturii ar trebui să fie efectuată în următoarea comandă:
a) dintr-un punct arbitrar S (vârf) trasăm un arc cu raza R egală cu marginea piramidei;
b) pe arcul trasat, se lasă deoparte cinci coarde de mărimea R 1 egale cu latura bazei;
c) legați punctele D, C, B, A, E, D în serie între ele și cu punctul S cu drepte, obținem cinci isoscele triunghiuri egale, care alcătuiesc dezvoltarea suprafeței laterale a acestei piramide, tăiate de-a lungul muchiei SD ;
d) atașăm la orice față baza piramidei - un pentagon, folosind metoda triangulației, de exemplu, la fața DSE.
Punctul K este transferat la măturare folosind o linie dreaptă auxiliară folosind dimensiunea B 1 F 1 luată pe proiecția orizontală, iar dimensiunea A 2 K 2 luată pe dimensiunea reală a nervurii.
III. Reprezentarea vizuală a piramidei în izometrie.
III, a. Reprezentăm baza piramidei, folosind coordonatele conform (Fig.288, 1 , A).
Înfățișăm vârful piramidei, folosind coordonatele lui (Fig.288, 1 , A).
III, b. Înfățișăm marginile laterale ale piramidei, conectând vârful cu vârfurile bazei. Muchia S"D" și laturile bazei C"D" și D"E" sunt prezentate cu linii întrerupte, ca invizibile, închise de fețele piramidei C"S"B", B"S"A" și A"S"E".
III, e. Determinăm punctul de pe suprafața piramidei K, folosind dimensiunile y F și x K. Pentru imaginea dimetrică a piramidei, trebuie urmată aceeași secvență.
Imaginea unei piramide triunghiulare neregulate.

Dat:
1. Baza este situată pe planul P 1.
2. Latura BC a bazei este perpendiculară pe axa X.
I. Desen integrat
In absenta. Proiectarea bazei piramidei - triunghi isoscel, situat în planul P 1 , iar vârful S - un punct situat în spațiu, a cărui înălțime este egală cu înălțimea piramidei.
eu, b. Proiectăm marginile piramidei - segmente, pentru care conectăm proiecțiile cu același nume ale vârfurilor bazei cu proiecțiile cu același nume ale vârfului piramidei cu linii drepte. Înfățișăm proiecția orizontală a laturii bazei aeronavei cu o linie întreruptă, ca una invizibilă, închisă de două fețe ale piramidei ABS, ACS.
IC. Pe proiecția frontală A 2 C 2 S 2 a feței laterale este dată proiecția D 2 a punctului D. Este necesar să-și găsească proiecția orizontală. Pentru a face acest lucru, trasăm o linie dreaptă auxiliară prin punctul D 2 paralel cu axa x 12 - proiecția frontală a orizontalei, apoi găsim proiecția orizontală a acesteia și pe ea, folosind linia verticală de comunicare, determinăm locația proiecției orizontale dorite D 1 a punctului D.
II. Construcția unei maturi piramidale.
Dimensiunile naturale ale laturilor bazei sunt relevate în proiecția orizontală. Mărimea naturală a coastei AS este relevată în proiecția frontală; nu există dimensiunea naturală a nervurilor BS și CS în proiecții, dimensiunea acestor nervuri este relevată prin rotirea lor în jurul axei i, perpendicular pe planul P1 care trece prin vârful piramidei S. Noua proiecție frontală ¯C 2 S 2 este valoarea naturală a muchiei CS .
Secvența de construire a unei dezvoltări a suprafeței piramidei:
a) desenați un triunghi isoscel - față CSB, a cărui bază este egală cu latura bazei piramidei CB, iar laturile au dimensiunea naturală a muchiei SC;
b) adăugăm două triunghiuri la laturile SC și SB ale triunghiului construit - fețele piramidei CSA și BSA, iar la baza CB a triunghiului construit - baza piramidei CBA, ca urmare obținem o desfășurare completă a suprafeței acestei piramide.
Punctul D este transferat la dezvoltare în următoarea ordine: mai întâi, trageți o linie orizontală pe dezvoltarea feței laterale ASC folosind dimensiunea R 1 și apoi determinați locația punctului D pe linia orizontală folosind dimensiunea R2.
III. O reprezentare vizuală a piramidei și proiecția dimetrică frontală
III, a. Înfățișăm baza A „B” C și vârful S „a piramidei, folosind coordonatele conform (

Un desen este primul și foarte important pas în rezolvarea unei probleme geometrice. Care ar trebui să fie desenul unei piramide obișnuite?

Să ne amintim mai întâi proprietăți de proiectare paralele:

- segmentele paralele ale figurii sunt reprezentate ca segmente paralele;

- se păstrează raportul dintre lungimile segmentelor de drepte paralele și ale segmentelor unei linii drepte.

Desenul unei piramide triunghiulare regulate

Mai întâi, desenați baza. Deoarece unghiurile și rapoartele lungimilor segmentelor neparalele nu sunt păstrate în proiectare paralelă, triunghiul regulat de la baza piramidei este reprezentat de un triunghi arbitrar.

Centrul unui triunghi echilateral este punctul de intersecție al medianelor triunghiului. Deoarece medianele din punctul de intersecție sunt împărțite într-un raport de 2: 1, numărând din partea de sus, conectăm mental partea superioară a bazei cu mijlocul părții opuse, o împărțim aproximativ în trei părți și punem un punct la o distanță de 2 părți de partea de sus. Desenați o perpendiculară din acest punct în sus. Aceasta este înălțimea piramidei. Desenăm perpendiculara atât de lungă încât marginea laterală să nu acopere imaginea înălțimii.

desenul corect piramida patruunghiulara

De la bază pornește și desenul unei piramide patruunghiulare obișnuite. Deoarece paralelismul segmentelor este păstrat, dar mărimile unghiurilor nu sunt, pătratul de la bază este reprezentat ca un paralelogram. De dorit colt ascutit faceți acest paralelogram mai mic, apoi fețele laterale sunt mai mari. Centrul unui pătrat este punctul de intersecție al diagonalelor sale. Desenăm diagonale, din punctul de intersecție restabilim perpendiculara. Această perpendiculară este înălțimea piramidei. Alegem lungimea perpendicularei astfel încât marginile laterale să nu se îmbine între ele.

Desenul unei piramide hexagonale regulate

Deoarece proiecția paralelă păstrează paralelismul segmentelor, baza unei piramide hexagonale regulate - un hexagon regulat - este reprezentată ca un hexagon ale cărui laturi opuse sunt paralele și egale. Centrul unui hexagon regulat este punctul de intersecție al diagonalelor sale. Pentru a nu aglomera desenul, nu desenăm diagonale, dar găsim acest punct aproximativ. Din aceasta restabilim perpendiculara - înălțimea piramidei - astfel încât marginile laterale să nu se îmbine între ele.

Instruire

Cu o bază pătrată a piramidei cu o lungime cunoscută a laturii (a) și un volum dat (V), înlocuiți aria din formula de calcul din pasul anterior cu lungimea laturii pătrate: H = 3*V/a².

Formula de la primul pas poate fi transformată pentru a calcula înălțimea (H) a unei piramide obișnuite cu o bază de orice formă. Datele inițiale care ar trebui să fie implicate în el sunt volumul (V) al poliedrului, lungimea muchiei de la bază (a) și numărul de vârfuri de la bază (n). Aria unui poligon regulat este determinată de un sfert din produsul dintre numărul de vârfuri și pătratul lungimii laturii și cotangentei unghiului, egal cu raportul de 180° și numărul de vârfuri: ¼*n*a²*ctg(180°/n). Introduceți această expresie în formula de la primul pas: H = 3*V/(¼*n*a²*ctg(180°/n)) = 12*V/(n*a²*ctg(180°/n)).

Dacă aria bazei este necunoscută din condițiile problemei și sunt date doar volumul (V) și lungimea muchiei (a), atunci variabila lipsă din formula din pasul anterior poate fi înlocuită cu echivalentul său, exprimat în termeni de lungime a muchiei. Suprafața (așa cum vă amintiți, se află la baza piramidei tipului în cauză) este egală cu un sfert din produs rădăcină pătrată de la o lungime a laturii triplă la pătrat. Înlocuiți această expresie pentru aria bazei în formula de la pasul anterior și obțineți următorul rezultat: H = 3*V*4/(a²*√3) = 12*V/(a²*√3).

Deoarece volumul unui tetraedru poate fi exprimat și în termeni de lungime a unei muchii, toate variabilele pot fi eliminate din formula de calcul al înălțimii unei figuri, lăsând doar latura feței acesteia. Volumul acestei piramide se calculează împărțind la 12 produsul rădăcinii pătrate a lui doi la lungimea în cuburi a feței. Introduceți această expresie în formula de la pasul anterior și obțineți: H = 12*(a³*√2/12)/(a²*√3) = (a³*√2)/(a²*√3) = a*√⅔ = ⅓*a*√6.

prismă corectă poate fi înscris într-o sferă, iar cunoscând doar raza ei (R) se poate calcula și un tetraedru. Lungimea muchiei este de patru ori mai mare decât raportul dintre raza și rădăcina pătrată de șase. Înlocuiți variabila a în formula de la pasul anterior cu această expresie și obțineți egalitatea: H = ⅓*√6*4*R/√6 = 4*r/3.

O formulă similară poate fi obținută prin cunoașterea razei (r) a unui cerc înscris într-un tetraedru. În acest caz, lungimea nervurii va fi egală cu douăsprezece rapoarte între raza și pătratul celor șase. Introduceți această expresie în formula de la al treilea pas: H = ⅓*a*√6 = ⅓*√6*12*R/√6 = 4*R.

Piramida este una dintre cele mai mistice figuri din geometrie. Fluxurile de energie cosmică sunt asociate cu aceasta, multe popoare antice au ales această formă specială pentru construirea lăcașurilor lor de cult. Totuși, în ceea ce privește matematica, o piramidă este doar un poliedru, cu un poligon la bază, iar fețele sunt triunghiuri cu un vârf comun. Să vedem cum să găsim pătrat fațete V piramidă.

Vei avea nevoie

• calculator.

Instruire

Piramide de tipuri: regulate (la bază este un poligon regulat, iar vârfurile sunt în centrul său), arbitrare (la bază este orice poligon, iar proiecția vârfului nu coincide neapărat cu centrul său), dreptunghiulară (una dintre marginile laterale formează un unghi drept cu baza) și. În funcție de faptul că poligonul de la baza piramidei are laturi, se numește trei, patru, cinci sau, de exemplu, decagonal.

Pentru toate tipurile de piramide, cu excepția celei trunchiate: Înmulțiți lungimile bazei triunghiului și înălțimea coborâtă pe aceasta din vârful piramidei. Împărțiți produsul rezultat cu 2 - acesta va fi cel dorit pătrat latură fațete piramide.

Piramida trunchiată Îndoiți ambele baze ale unui trapez, care este o față a unei astfel de piramide. Împărțiți suma rezultată la două. Înmulțiți valoarea rezultată cu înălțimea fațete-trapez. Valoarea rezultată este pătrat latură fațete piramide de acest tip.

Videoclipuri asemănătoare

Sfaturi utile

Aria suprafeței laterale și a bazei, perimetrul bazei piramidei și volumul acesteia sunt interconectate prin anumite formule. Acest lucru face uneori posibil să se calculeze valorile datelor lipsă necesare pentru a determina zona feței în piramidă.

Volumul oricărei piramide netrunchiate este egal cu o treime din produsul dintre înălțimea piramidei și aria bazei. Pentru o piramidă obișnuită, este adevărat: aria suprafeței laterale este egală cu jumătate din perimetrul bazei înmulțit cu înălțimea uneia dintre fețe. La calcularea volumului unei piramide trunchiate, în locul ariei bazei, se înlocuiește o valoare egală cu suma ariilor bazei superioare, inferioare și rădăcinii pătrate a produsului lor.

Surse:

• Stereometrie
• cum să găsești fața laterală a unei piramide

O piramidă se numește dreptunghiulară, una dintre marginile căreia este perpendiculară pe baza sa, adică se află la un unghi de 90˚. Această margine este și înălțimea piramidei dreptunghiulare. Formula pentru volumul unei piramide a fost dezvoltată pentru prima dată de Arhimede.

Vei avea nevoie

• - pix;
• - hartie;
• - calculator.

Instruire

Într-o înălțime dreptunghiulară va fi marginea sa, care se află la un unghi de 90˚ față de bază. Ca și , aria bazei unui dreptunghiular este notată cu S, iar înălțimea, care este de asemenea piramide, −h. Apoi, pentru a găsi volumul acestui piramide, este necesar să înmulțiți aria bazei sale cu înălțimea și să împărțiți cu 3. Astfel, volumul unui dreptunghi piramide calculat folosind formula: V=(S*h)/3.

Construiți urmând parametrii dați. Desemnați-i baza în latină ABCDE și partea de sus piramide- S. Deoarece desenul se va dovedi pe un plan în proiecție, pentru a nu vă încurca, indicați datele deja cunoscute de dvs.: SE = 30cm; S(ABCDE)=45 cm².

Calculați volumul unui dreptunghi piramide folosind formula. Înlocuind datele și făcând calcule, rezultă că volumul unui dreptunghiular piramide va fi egal cu: V \u003d (45 * 30) / 3 \u003d cm³.

Dacă starea problemei nu conține date despre și înălțime piramide, atunci sunt necesare calcule suplimentare pentru a obține aceste valori. Aria bazei va fi calculată în funcție de dacă poligonul se află la baza sa.

Înălţime piramide aflați dacă cunoașteți ipotenuza oricăruia dintre EDS sau EAS dreptunghiulare și unghiul la care fața laterală SD sau SA este înclinată față de baza sa. Calculați cateta SE folosind teorema sinusului. Va avea înălțimea unui dreptunghiular piramide.

Notă

Când se calculează cantități precum înălțimea, volumul, suprafața, trebuie amintit că fiecare dintre ele are propria sa unitate de măsură. Deci, aria se măsoară în cm², înălțimea este în cm și volumul este în cm³.
Un centimetru cub este o unitate de volum care este egală cu volumul unui cub cu marginile de 1 cm lungime. Dacă înlocuim datele din formula noastră, obținem: cm³ \u003d (cm² * cm) / 3.

Sfaturi utile

De regulă, dacă sarcina necesită găsirea volumului unei piramide dreptunghiulare, atunci toate datele necesare sunt cunoscute - cel puțin pentru a găsi suprafața de bază și înălțimea figurii.