Figuri geometrice. Piramidă

Introducere

Când am început să studiem figurile stereometrice, am atins subiectul „Piramida”. Ne-a plăcut această temă pentru că piramida este foarte des folosită în arhitectură. Și din moment ce noastre viitoare profesie arhitect, inspirat de această figură, credem că ne va putea împinge spre proiecte mărețe.

Forța structurilor arhitecturale, calitatea lor cea mai importantă. Asocierea rezistenței, în primul rând, cu materialele din care sunt create și, în al doilea rând, cu caracteristicile solutii constructive, se dovedește că rezistența structurii este direct legată de forma geometrică care este de bază pentru aceasta.

Cu alte cuvinte, vorbim despre acea figură geometrică care poate fi considerată ca model al corespondentei formă arhitecturală. Se pare că forma geometrică determină și rezistența structurii arhitecturale.

Piramidele egiptene au fost mult timp considerate cea mai durabilă structură arhitecturală. După cum știți, au forma unor piramide patruunghiulare obișnuite.

Această formă geometrică este cea care oferă cea mai mare stabilitate datorită suprafata mare temeiuri. Pe de altă parte, forma piramidei asigură că masa scade pe măsură ce înălțimea deasupra solului crește. Aceste două proprietăți sunt cele care fac piramida stabilă și, prin urmare, puternică în condițiile gravitației.

Obiectivul proiectului: învață ceva nou despre piramide, aprofundează cunoștințele și găsește aplicații practice.

Pentru a atinge acest obiectiv, a fost necesar să se rezolve următoarele sarcini:

Aflați informații istorice despre piramidă

Luați în considerare piramida figură geometrică

Găsiți aplicații în viață și arhitectură

Găsiți asemănările și diferențele dintre piramidele situate în părți diferite Sveta

Partea teoretică

Informații istorice

Începutul geometriei piramidei a fost pus în Egiptul antic și Babilonul, dar a fost dezvoltat activ în Grecia antică. Primul care a stabilit cu ce este egal volumul piramidei a fost Democrit, iar Eudox din Cnidus a dovedit-o. Vechiul matematician grec Euclid a sistematizat cunoștințele despre piramidă în volumul XII al „Începuturilor” sale și a scos la iveală prima definiție a piramidei: o figură corporală delimitată de planuri care converg dintr-un singur plan într-un punct.

Mormintele faraonilor egipteni. Cea mai mare dintre ele - piramidele lui Keops, Khafre și Mikerin din El Giza în antichitate au fost considerate una dintre cele șapte minuni ale lumii. Ridicarea piramidei, în care grecii și romanii au văzut deja un monument al mândriei fără precedent a regilor și cruzimii, care a condamnat întregul popor din Egipt la o construcție fără sens, a fost cel mai important act de cult și trebuia să exprime, aparent, identitatea mistică a țării și a conducătorului ei. Populația țării a lucrat la construcția mormântului în perioada anului lipsită de muncă agricolă. O serie de texte mărturisesc atenția și grija pe care regii înșiși (deși dintr-o perioadă mai târziu) le-au acordat construcției mormântului lor și a constructorilor acestuia. Se știe și despre onorurile speciale de cult care s-au dovedit a fi piramida însăși.

Noțiuni de bază

Piramidă Se numește poliedru, a cărui bază este un poligon, iar fețele rămase sunt triunghiuri având un vârf comun.

Apotema- înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite, trasă din vârful acesteia;

Fețe laterale- triunghiuri convergente în vârf;

Coaste laterale- laturile comune ale fetelor laterale;

vârful piramidei- punct de conectare coaste lateraleși nu se află în planul bazei;

Înălţime- un segment de perpendiculară trasat prin vârful piramidei până la planul bazei acesteia (capetele acestui segment sunt vârful piramidei și baza perpendicularei);

Secțiunea diagonală a unei piramide- sectiune a piramidei care trece prin varf si diagonala bazei;

Baza- un poligon care nu aparține vârfului piramidei.

Principalele proprietăți ale piramidei corecte

Marginile laterale, fețele laterale și respectiv apotemele sunt egale.

Unghiurile diedrice de la bază sunt egale.

Unghiurile diedrice de la marginile laterale sunt egale.

Fiecare punct de înălțime este echidistant de toate vârfurile de bază.

Fiecare punct de înălțime este echidistant de toate fețele laterale.

Formule piramidale de bază

Zona laterală și suprafata intreaga piramide.

Aria suprafeței laterale a piramidei (plină și trunchiată) este suma ariilor tuturor fețelor sale laterale, aria suprafeței totale este suma ariilor tuturor fețelor sale.

Teorema: Aria suprafeței laterale a unei piramide regulate este egală cu jumătate din produsul perimetrului bazei și apotema piramidei.

p- perimetrul bazei;

h- apotema.

Aria suprafețelor laterale și complete ale unei piramide trunchiate.

p1, p 2 - perimetrele de bază;

h- apotema.

R- suprafața totală a unei piramide trunchiate obișnuite;

partea S- zona suprafeței laterale a unei piramide trunchiate regulate;

S1 + S2- suprafata de baza

Volumul piramidei

Formă Scara de volum este folosită pentru piramide de orice fel.

H este înălțimea piramidei.

Unghiurile piramidei

Unghiurile care sunt formate de fața laterală și baza piramidei se numesc unghiuri diedrice la baza piramidei.

Un unghi diedru este format din două perpendiculare.

Pentru a determina acest unghi, de multe ori trebuie să utilizați teorema celor trei perpendiculare.

Se numesc unghiurile care sunt formate de o muchie laterală și proiecția acesteia pe planul bazei unghiuri dintre marginea laterală și planul bazei.

Unghiul format din două fețe laterale se numește unghi diedru la marginea laterală a piramidei.

Unghiul, care este format din două margini laterale ale unei fețe ale piramidei, se numește colțul din vârful piramidei.

Secțiuni ale piramidei

Suprafața unei piramide este suprafața unui poliedru. Fiecare dintre fețele sale este un plan, deci secțiunea piramidei dată de planul secant este o linie întreruptă constând din drepte separate.

Secțiune diagonală

Secțiunea unei piramide printr-un plan care trece prin două margini laterale care nu se află pe aceeași față se numește secțiune diagonală piramide.

Secțiuni paralele

Teorema:

Dacă piramida este străbătută de un plan paralel cu baza, atunci marginile laterale și înălțimile piramidei sunt împărțite de acest plan în părți proporționale;

Secțiunea acestui plan este un poligon asemănător bazei;

Zonele secțiunii și ale bazei sunt legate între ele ca pătratele distanțelor lor față de vârf.

Tipuri de piramide

Piramida corectă o piramidă a cărei bază este poligon regulat, iar vârful piramidei este proiectat în centrul bazei.

La piramida corectă:

1. coastele laterale sunt egale

2. feţele laterale sunt egale

3. apotemele sunt egale

4. unghiuri diedrice egal la bază

5. unghiurile diedrice la marginile laterale sunt egale

6. fiecare punct de înălțime este echidistant de toate vârfurile bazei

7. fiecare punct de înălțime este echidistant de toate fețele laterale

Piramida trunchiată- partea de piramidă cuprinsă între baza acesteia și un plan de tăiere paralel cu bază.

Baza și secțiunea corespunzătoare a unei piramide trunchiate se numesc bazele unei piramide trunchiate.

Se numește perpendiculară trasată din orice punct al unei baze pe planul alteia înălțimea trunchiului piramidei.

Sarcini

Numarul 1. Într-o piramidă patruunghiulară regulată, punctul O este centrul bazei, SO=8 cm, BD=30 cm.Aflați muchia laterală SA.

Rezolvarea problemelor

Numarul 1. Într-o piramidă obișnuită, toate fețele și marginile sunt egale.

Să luăm în considerare OSB: OSB-dreptunghi dreptunghiular, deoarece.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

Piramida în arhitectură

Piramida - o structură monumentală sub forma unui regulat obișnuit piramida geometrica, în care laturile converg într-un punct. De scop functional piramidele în antichitate erau locuri de înmormântare sau de cult. Baza unei piramide poate fi triunghiulară, pătrangulară sau poligonală cu un număr arbitrar de vârfuri, dar cea mai comună versiune este baza pătraunghiulară.

Se cunosc un număr considerabil de piramide construite de diferite culturi. lumea antica mai ales ca temple sau monumente. Cele mai mari piramide sunt piramidele egiptene.

Pe tot pământul puteți vedea structuri arhitecturale sub formă de piramide. Clădirile piramidale amintesc de cele mai vechi timpuri și arată foarte frumos.

Piramidele egiptene sunt cele mai mari monumente arhitecturale Egiptul antic, printre care una dintre „Șapte minuni ale lumii” este piramida lui Keops. De la picior până în vârf, ajunge la 137,3 m, iar înainte de a pierde vârful, înălțimea ei era de 146,7 m.

Clădirea postului de radio din capitala Slovaciei, asemănătoare cu o piramidă inversată, a fost construită în 1983. Pe lângă birouri și spații de servicii, în interiorul volumului există o sală de concerte destul de spațioasă, care are una dintre cele mai mari orgi din Slovacia .

Luvru, care „este la fel de tăcut și maiestuos ca o piramidă” a suferit multe schimbări de-a lungul secolelor înainte de a deveni cel mai mare muzeu din lume. S-a născut ca fortăreață, ridicată de Filip Augustus în 1190, care s-a transformat în scurt timp într-o reședință regală. În 1793 palatul a devenit muzeu. Colecțiile sunt îmbogățite prin legaturi sau achiziții.

Definiție

Piramidă este un poliedru compus dintr-un poligon \(A_1A_2...A_n\) și \(n\) triunghiuri cu un vârf comun \(P\) (nu se află în planul poligonului) și laturile opuse care coincid cu laturile lui poligonul.
Denumire: \(PA_1A_2...A_n\) .
Exemplu: piramidă pentagonală \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Triunghiuri \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) etc. numit fetele laterale piramide, segmente \(PA_1, PA_2\), etc. - coaste laterale, poligon \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – bază, punctul \(P\) – vârf.

Înălţime Piramidele sunt o perpendiculară coborâtă din vârful piramidei până în planul bazei.

Se numește o piramidă cu un triunghi la bază tetraedru.

Piramida se numește corect, dacă baza sa este un poligon regulat și este îndeplinită una dintre următoarele condiții:

\((a)\) marginile laterale ale piramidei sunt egale;

\((b)\) înălțimea piramidei trece prin centrul cercului circumscris lângă bază;

\((c)\) nervurile laterale sunt înclinate față de planul de bază la același unghi.

\((d)\) fețele laterale sunt înclinate față de planul de bază la același unghi.

tetraedru regulat- Acest piramidă triunghiulară, ale căror fețe sunt triunghiuri echilaterale egale.

Teorema

Condițiile \((a), (b), (c), (d)\) sunt echivalente.

Dovada

Desenați înălțimea piramidei \(PH\) . Fie \(\alpha\) planul bazei piramidei.

1) Să demonstrăm că \((a)\) implică \((b)\) . Fie \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Deoarece \(PH\perp \alpha\), atunci \(PH\) este perpendicular pe orice dreptă situată în acest plan, deci triunghiurile sunt dreptunghiulare. Deci aceste triunghiuri sunt egale în cateta comună \(PH\) și ipotenuză \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Deci \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Aceasta înseamnă că punctele \(A_1, A_2, ..., A_n\) sunt la aceeași distanță de punctul \(H\) , prin urmare, ele se află pe același cerc cu raza \(A_1H\) . Acest cerc, prin definiție, este circumscris poligonului \(A_1A_2...A_n\) .

2) Să demonstrăm că \((b)\) implică \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) dreptunghiulară și egală în două picioare. Prin urmare, unghiurile lor sunt de asemenea egale, prin urmare, \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH\).

3) Să demonstrăm că \((c)\) implică \((a)\) .

Similar cu primul punct, triunghiuri \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) dreptunghiulară și de-a lungul piciorului și colt ascutit. Aceasta înseamnă că și ipotenuzele lor sunt egale, adică \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Să demonstrăm că \((b)\) implică \((d)\) .

Deoarece într-un poligon regulat, centrele cercurilor circumscrise și înscrise coincid (în general, acest punct se numește centrul unui poligon regulat), atunci \(H\) este centrul cercului înscris. Să desenăm perpendiculare din punctul \(H\) spre laturile bazei: \(HK_1, HK_2\), etc. Acestea sunt razele cercului înscris (prin definiție). Apoi, conform TTP, (\(PH\) este o perpendiculară pe plan, \(HK_1, HK_2\), etc. sunt proiecții perpendiculare pe laturi) oblice \(PK_1, PK_2\), etc. perpendicular pe laturile \(A_1A_2, A_2A_3\), etc. respectiv. Deci, prin definiție \(\unghi PK_1H, \unghi PK_2H\) egal cu unghiurile dintre fețele laterale și bază. Deoarece triunghiurile \(PK_1H, PK_2H, ...\) sunt egale (ca dreptunghic pe două catete), apoi unghiurile \(\unghi PK_1H, \unghi PK_2H, ...\) sunt egale.

5) Să demonstrăm că \((d)\) implică \((b)\) .

Similar cu al patrulea punct, triunghiurile \(PK_1H, PK_2H, ...\) sunt egale (ca dreptunghiulare de-a lungul catetei și unghi ascuțit), ceea ce înseamnă că segmentele \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) sunt egale. Prin urmare, prin definiție, \(H\) este centrul unui cerc înscris în bază. Dar de atunci pentru poligoane regulate, centrele cercului înscris și circumscris coincid, atunci \(H\) este centrul cercului circumscris. Chtd.

Consecinţă

Fețele laterale ale unei piramide obișnuite sunt egale triunghiuri isoscele.

Definiție

Înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite, trasă din vârful ei, se numește apotemă.
Apotemele tuturor fețelor laterale ale unei piramide regulate sunt egale între ele și sunt, de asemenea, mediane și bisectoare.

Notite importante

1. Înălțimea unei piramide triunghiulare regulate scade până la punctul de intersecție al înălțimilor (sau bisectoarelor, sau medianelor) bazei (baza este un triunghi regulat).

2. Înălțimea corectă piramida patruunghiulara cade până la punctul de intersecție a diagonalelor bazei (baza este un pătrat).

3. Înălțimea corectă piramidă hexagonală cade până la punctul de intersecție a diagonalelor bazei (baza este un hexagon regulat).

4. Înălțimea piramidei este perpendiculară pe orice linie dreaptă aflată la bază.

Definiție

Piramida se numește dreptunghiular dacă una dintre marginile sale laterale este perpendiculară pe planul bazei.

Notite importante

1. Pentru o piramidă dreptunghiulară, muchia perpendiculară pe bază este înălțimea piramidei. Adică \(SR\) este înălțimea.

2. Pentru că \(SR\) perpendicular pe orice dreptă de la bază, atunci \(\triunghi SRM, \triunghi SRP\) sunt triunghiuri dreptunghiulare.

3. Triunghiuri \(\triunghi SRN, \triunghi SRK\) sunt de asemenea dreptunghiulare.
Adică orice triunghi format din această muchie și diagonala care iese din vârful acestei muchii, care se află la bază, va fi dreptunghiular.

\[(\Large(\text(Volumul și suprafața piramidei)))\]

Teorema

Volumul unei piramide este egal cu o treime din produsul dintre suprafața bazei și înălțimea piramidei: \

Consecințe

Fie \(a\) latura bazei, \(h\) înălțimea piramidei.

1. Volumul unei piramide triunghiulare regulate este \(V_(\text(triunghi dreptunghic pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Volumul unei piramide patruunghiulare regulate este \(V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h\).

3. Volumul unei piramide hexagonale regulate este \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Volumul unui tetraedru regulat este \(V_(\text(right tetra.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Teorema

Aria suprafeței laterale a unei piramide obișnuite este egală cu jumătate din produsul dintre perimetrul bazei și apotema.

\[(\Large(\text(piramida trunchiată)))\]

Definiție

Considerăm o piramidă arbitrară \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Să desenăm un plan paralel cu baza piramidei printr-un anumit punct situat pe marginea laterală a piramidei. Acest plan va împărți piramida în două poliedre, dintre care una este o piramidă (\(PB_1B_2...B_n\) ), iar cealaltă se numește trunchi de piramidă(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Piramida trunchiată are două baze - poligoane \(A_1A_2...A_n\) și \(B_1B_2...B_n\) , care sunt similare între ele.

Înălțimea unei piramide trunchiate este o perpendiculară trasată de la un punct al bazei superioare la planul bazei inferioare.

Notite importante

1. Toate fețele laterale ale unei piramide trunchiate sunt trapeze.

2. Segmentul care leagă centrele bazelor unei piramide trunchiate obișnuite (adică o piramidă obținută printr-o secțiune a unei piramide regulate) este înălțimea.

piramida patruunghiulara Un poliedru se numește poliedru a cărui bază este un pătrat, iar toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele identice.

Acest poliedru are multe proprietăți diferite:

• Nerbele sale laterale și unghiurile diedrice adiacente sunt egale între ele;
• Zonele fețelor laterale sunt aceleași;
• La baza unei piramide patruunghiulare regulate se află un pătrat;
• Înălțimea scăzută din vârful piramidei se intersectează cu punctul de intersecție al diagonalelor bazei.

Toate aceste proprietăți îl fac ușor de găsit. Cu toate acestea, destul de des, în plus față de acesta, este necesar să se calculeze volumul poliedrului. Pentru a face acest lucru, aplicați formula pentru volumul unei piramide patruunghiulare:

Adică, volumul piramidei este egal cu o treime din produsul dintre înălțimea piramidei și aria bazei. Deoarece este egal cu produsul laturilor sale egale, introducem imediat formula ariei pătrate în expresia volumului.
Luați în considerare un exemplu de calcul al volumului unei piramide patruunghiulare.

Să se dea o piramidă patruunghiulară, la baza căreia se află un pătrat cu latura a = 6 cm.Fața laterală a piramidei este b = 8 cm.Aflați volumul piramidei.

Pentru a găsi volumul unui poliedru dat, avem nevoie de lungimea înălțimii acestuia. Prin urmare, îl vom găsi prin aplicarea teoremei lui Pitagora. Mai întâi, să calculăm lungimea diagonalei. În triunghiul albastru, va fi ipotenuza. De asemenea, merită să ne amintim că diagonalele pătratului sunt egale între ele și sunt împărțite la jumătate în punctul de intersecție:


Acum din triunghiul roșu găsim înălțimea de care avem nevoie h. Acesta va fi egal cu:

Substitui valorile ceruteși găsiți înălțimea piramidei:

Acum, cunoscând înălțimea, putem înlocui toate valorile din formula pentru volumul piramidei și calculam valoarea necesară:

Așa am putut, cunoscând câteva formule simple, să calculăm volumul unei piramide patruunghiulare obișnuite. Nu uita asta valoare dată măsurată în unități cubice.

Notite importante!
1. Dacă în loc de formule vezi abracadabra, șterge-ți memoria cache. Cum se face în browser este scris aici:
2. Înainte de a începe să citiți articolul, acordați atenție navigatorului nostru pentru cea mai utilă resursă pentru

Ce este o piramidă?

Cum arată ea?

Vedeți: la piramida de mai jos (se spune „ la baza"") un poligon, iar toate vârfurile acestui poligon sunt conectate la un punct din spațiu (acest punct se numește " vârf»).

Toată această structură are fetele laterale, coaste lateraleȘi coaste de bază. Încă o dată, să desenăm o piramidă împreună cu toate aceste nume:

Unele piramide pot părea foarte ciudat, dar sunt încă piramide.

Aici, de exemplu, destul de „oblic” piramidă.

Și mai multe despre nume: dacă există un triunghi la baza piramidei, atunci piramida se numește triunghiulară;

În același timp, punctul în care a căzut înălţime, se numește baza de inaltime. Rețineți că în piramidele „strâmbe”. înălţime poate fi chiar în afara piramidei. Ca aceasta:

Și nu este nimic groaznic în asta. Arată ca un triunghi obtuz.

Piramida corectă.

Mult cuvinte complexe? Să descifrăm: "La bază - corect" - acest lucru este de înțeles. Și acum amintiți-vă că un poligon obișnuit are un centru - un punct care este centrul lui și , și .

Ei bine, iar cuvintele „vârful este proiectat în centrul bazei” înseamnă că baza înălțimii cade exact în centrul bazei. Uite ce netedă și drăguță arată piramida dreapta.

Hexagonal: la bază - un hexagon regulat, vârful este proiectat în centrul bazei.

patruunghiular: la bază - un pătrat, vârful este proiectat la punctul de intersecție al diagonalelor acestui pătrat.

triunghiular: la bază se află un triunghi regulat, vârful este proiectat la punctul de intersecție al înălțimilor (sunt și mediane și bisectoare) acestui triunghi.

Foarte proprietăți importante ale unei piramide obișnuite:

În piramida dreaptă

• toate marginile laterale sunt egale.
• toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele și toate aceste triunghiuri sunt egale.

Volumul piramidei

Formula principală pentru volumul piramidei:

De unde a venit exact? Acest lucru nu este atât de simplu și la început trebuie doar să vă amintiți că piramida și conul au volum în formulă, dar cilindrul nu.

Acum să calculăm volumul celor mai populare piramide.

Lasă latura bazei să fie egală, iar marginea laterală egală. Trebuie să găsesc și.

Aceasta este aria unui triunghi dreptunghic.

Să ne amintim cum să căutăm această zonă. Folosim formula zonei:

Avem "" - asta și "" - și asta, eh.

Acum să găsim.

Conform teoremei lui Pitagora pt

Ce conteaza? Aceasta este raza cercului circumscris în, deoarece piramidăcorectși de aici centrul.

Deoarece - punctul de intersecție și mediana de asemenea.

(teorema lui Pitagora pentru)

Înlocuiți în formula pentru.

Să conectăm totul la formula de volum:

Atenţie: dacă aveți un tetraedru obișnuit (adică), atunci formula este:

Lasă latura bazei să fie egală, iar marginea laterală egală.

Nu este nevoie să căutați aici; pentru că la bază este un pătrat și, prin urmare.

Sa gasim. Conform teoremei lui Pitagora pt

știm noi? Aproape. Uite:

(am văzut acest lucru prin revizuire).

Înlocuiți în formula:

Și acum înlocuim și în formula de volum.

Lasă latura bazei să fie egală, iar marginea laterală.

Cum să găsești? Uite, un hexagon este format din exact șase triunghiuri regulate identice. Am căutat deja aria unui triunghi regulat atunci când calculăm volumul unei piramide triunghiulare regulate, aici folosim formula găsită.

Acum să găsim (acesta).

Conform teoremei lui Pitagora pt

Dar ce contează? Este simplu pentru că (și toți ceilalți) au dreptate.

Inlocuim:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PIRAMIDĂ. SCURT DESPRE PRINCIPALA

O piramidă este un poliedru care constă dintr-un poligon plat (), un punct care nu se află în planul bazei (partea superioară a piramidei) și toate segmentele care leagă vârful piramidei de punctele de bază (marginile laterale).

O perpendiculară coborâtă din vârful piramidei spre planul bazei.

Piramida corectă- o piramidă, care are un poligon regulat la bază, iar vârful piramidei este proiectat în centrul bazei.

Proprietatea unei piramide regulate:

• Într-o piramidă obișnuită, toate marginile laterale sunt egale.
• Toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele și toate aceste triunghiuri sunt egale.

Volumul piramidei:

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, atunci ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă ai citit până la capăt, atunci ești în 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ți-ai dat seama de teoria pe această temă. Și, repet, este... pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru promovarea cu succes a examenului, pentru admiterea la institut la buget și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit o educație bună, câștigă mult mai mult decât cei care nu l-au primit. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că în fața lor se deschid mult mai multe oportunități și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examen și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

UMPLȚI-VĂ MÂNA, REzolVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.

La examen, nu vi se va cere teorie.

Vei avea nevoie rezolva problemele la timp.

Și, dacă nu le-ai rezolvat (MULTE!), cu siguranță vei face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu vei reuși la timp.

Este ca în sport - trebuie să repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți o colecție oriunde doriți neapărat cu soluții analiză detaliată si decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (nu este necesar) și cu siguranță le recomandăm.

Pentru a obține o mână de lucru cu ajutorul sarcinilor noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

1. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din acest articol -
2. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din toate cele 99 de articole din tutorial - Cumpărați un manual - 499 de ruble

Da, avem 99 de astfel de articole în manual și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.

În concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri cu teorie.

„Înțeles” și „Știu să rezolv” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați!

Elevii dau peste conceptul de piramidă cu mult înainte de a studia geometria. Da vina pe faimoasele mari minuni egiptene ale lumii. Prin urmare, începând studiul acestui minunat poliedru, majoritatea studenților îl imaginează deja clar. Toate obiectivele de mai sus sunt în forma corectă. Ce s-a întâmplat piramida dreapta, și ce proprietăți are și va fi discutat mai departe.

In contact cu

Definiție

Există multe definiții ale unei piramide. Din cele mai vechi timpuri, a fost foarte popular.

De exemplu, Euclid a definit-o ca o figură solidă, formată din plane, care, pornind de la unul, converg într-un anumit punct.

Heron a oferit o formulare mai precisă. El a insistat că este o cifră care are o bază și plane sub formă de triunghiuri, convergând la un moment dat.

Bazându-se pe interpretare modernă, piramida este reprezentată ca un poliedru spațial, format dintr-un anumit k-gon și k figuri plate formă triunghiulară având un punct comun.

Să aruncăm o privire mai atentă, Din ce elemente constă?

• k-gon este considerat baza figurii;
• figurile cu 3 unghi ies în afară ca laturile părții laterale;
• partea superioară, din care provin elementele laterale, se numește vârf;
• toate segmentele care leagă vârful se numesc muchii;
• dacă o linie dreaptă este coborâtă de la vârf la planul figurii la un unghi de 90 de grade, atunci partea ei este închisă în spațiu interior- inaltimea piramidei;
• în orice element lateral de latura poliedrului nostru, puteți desena o perpendiculară, numită apotema.

Numărul de muchii este calculat folosind formula 2*k, unde k este numărul de laturi ale k-gonului. Câte fețe are un poliedru ca o piramidă poate fi determinată prin expresia k + 1.

Important! O piramidă de formă regulată este o figură stereometrică al cărei plan de bază este un k-gon cu laturi egale.

Proprietăți de bază

Piramida corectă are multe proprietăți care sunt unice pentru ea. Să le enumerăm:

1. Baza este o figură cu forma corectă.
2. Marginile piramidei, limitând elementele laterale, au valori numerice egale.
3. Elementele laterale sunt triunghiuri isoscele.
4. Baza înălțimii figurii se încadrează în centrul poligonului, în timp ce este simultan punctul central al celor înscrise și descrise.
5. Toate nervurile laterale sunt înclinate față de planul de bază la același unghi.
6. Toate suprafețele laterale au același unghi de înclinare față de bază.

Datorită tuturor proprietăților enumerate, performanța calculelor elementelor este mult simplificată. Pe baza proprietăților de mai sus, acordăm atenție doua semne:

1. În cazul în care poligonul se încadrează într-un cerc, fețele laterale vor avea o bază unghiuri egale.
2. Când descrieți un cerc în jurul unui poligon, toate marginile piramidei care emană de la vârf vor avea aceeași lungime și unghiuri egale cu baza.

Pătratul se bazează

Piramidă patruunghiulară obișnuită - un poliedru bazat pe un pătrat.

Are patru fețe laterale, care au aspect isoscel.

Pe un plan, este reprezentat un pătrat, dar se bazează pe toate proprietățile unui patrulater regulat.

De exemplu, dacă este necesar să conectați latura unui pătrat cu diagonala sa, atunci se folosește următoarea formulă: diagonala este egală cu produsul dintre latura pătratului și rădăcina pătrată a două.

Bazat pe un triunghi regulat

O piramidă triunghiulară regulată este un poliedru a cărui bază este un 3-gon regulat.

Dacă baza este un triunghi regulat, iar marginile laterale sunt egale cu marginile bazei, atunci o astfel de figură numit tetraedru.

Toate fețele unui tetraedru sunt 3-goane echilaterale. În acest caz, trebuie să cunoașteți câteva puncte și să nu pierdeți timpul cu ele când calculați:

• unghiul de înclinare a nervurilor față de orice bază este de 60 de grade;
• valoarea tuturor fețelor interne este, de asemenea, de 60 de grade;
• orice față poate acționa ca bază;
• desenate în interiorul figurii sunt elemente egale.

Secțiuni ale unui poliedru

În orice poliedru există mai multe tipuri de secțiuni avion. Adesea, într-un curs de geometrie școlar, lucrează cu doi:

• axial;
• baza paralela.

O secțiune axială se obține prin intersectarea unui poliedru cu un plan care trece prin vârf, margini laterale și axă. În acest caz, axa este înălțimea desenată de la vârf. Planul de tăiere este limitat de liniile de intersecție cu toate fețele, rezultând un triunghi.

Atenţie!Într-o piramidă obișnuită, secțiunea axială este un triunghi isoscel.

Dacă planul de tăiere este paralel cu baza, atunci rezultatul este a doua opțiune. În acest caz, avem în contextul unei figuri similare bazei.

De exemplu, dacă baza este un pătrat, atunci secțiunea paralelă cu baza va fi și ea un pătrat, doar de dimensiuni mai mici.

La rezolvarea problemelor în această condiție, se folosesc semne și proprietăți de similitudine ale figurilor, bazat pe teorema Thales. În primul rând, este necesar să se determine coeficientul de similitudine.

Dacă planul este desenat paralel cu baza și taie partea superioară a poliedrului, atunci se obține o piramidă trunchiată obișnuită în partea inferioară. Apoi bazele poliedrului trunchiat se spune că sunt poligoane similare. În acest caz, fețele laterale sunt trapeze isoscele. Secțiunea axială este, de asemenea, isoscelă.

Pentru a determina înălțimea unui poliedru trunchiat, este necesar să se deseneze înălțimea într-o secțiune axială, adică într-un trapez.

Zone de suprafață

Principalele probleme geometrice care trebuie rezolvate la cursul de geometrie școlară sunt aflarea suprafetei si volumului unei piramide.

Există două tipuri de suprafață:

• zona elementelor laterale;
• întreaga suprafață.

Din titlu în sine este clar despre ce este vorba. Suprafata laterala include doar elemente laterale. De aici rezultă că, pentru a-l găsi, trebuie pur și simplu să adunați zonele planurilor laterale, adică zonele de 3-gonuri isoscele. Să încercăm să derivăm formula pentru aria elementelor laterale:

1. Aria unui 3-gon isoscel este Str=1/2(aL), unde a este latura bazei, L este apotema.
2. Numărul de planuri laterale depinde de tipul k-gonului de la bază. De exemplu, o piramidă patruunghiulară obișnuită are patru planuri laterale. Prin urmare, este necesar să se adună ariile a patru figuri Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . Expresia este simplificată în acest fel deoarece valoarea 4a=POS, unde POS este perimetrul bazei. Iar expresia 1/2 * Rosn este semiperimetrul său.
3. Deci, concluzionăm că aria elementelor laterale ale unei piramide obișnuite este egală cu produsul semiperimetrului bazei și apotema: Sside \u003d Rosn * L.

Aria suprafeței întregi a piramidei este formată din suma ariilor planurilor laterale și a bazei: Sp.p. = Sside + Sbase.

În ceea ce privește aria bazei, aici formula este utilizată în funcție de tipul de poligon.

Volumul unei piramide obișnuite este egal cu produsul dintre aria planului bazei și înălțimea împărțită la trei: V=1/3*Sbase*H, unde H este înălțimea poliedrului.

Ce este o piramidă obișnuită în geometrie

Proprietățile unei piramide patruunghiulare regulate