Care este volumul unui triunghi regulat. Volumul unei piramide triunghiulare

O piramidă este un poliedru cu un poligon la bază. Toate fețele, la rândul lor, formează triunghiuri care converg la un singur vârf. Piramidele sunt triunghiulare, patrulatere și așa mai departe. Pentru a determina ce piramidă se află în fața ta, este suficient să numeri numărul de colțuri de la baza acesteia. Definiția „înălțimii piramidei” este foarte des întâlnită în problemele de geometrie din programa școlară. În articol vom încerca să luăm în considerare căi diferite locația ei.

Părți ale piramidei

Fiecare piramidă este formată din următoarele elemente:

• fețe laterale care au trei colțuri și converg în partea de sus;
• apotema reprezintă înălțimea care coboară din vârful ei;
• vârful piramidei este un punct care leagă marginile laterale, dar nu se află în planul bazei;
• o bază este un poligon care nu conține un vârf;
• înălțimea piramidei este un segment care intersectează vârful piramidei și formează un unghi drept cu baza acesteia.

Cum se află înălțimea unei piramide dacă este cunoscut volumul acesteia

Prin formula V \u003d (S * h) / 3 (în formula V este volumul, S este aria bazei, h este înălțimea piramidei), aflăm că h \u003d (3 * V) / S . Pentru a consolida materialul, să rezolvăm imediat problema. Baza triunghiulară este de 50 cm 2 în timp ce volumul ei este de 125 cm 3 . înălțime necunoscută piramidă triunghiulară, pe care trebuie să-l găsim. Totul este simplu aici: introducem datele în formula noastră. Obținem h \u003d (3 * 125) / 50 \u003d 7,5 cm.

Cum se află înălțimea unei piramide dacă lungimea diagonalei și marginea ei sunt cunoscute

După cum ne amintim, înălțimea piramidei formează un unghi drept cu baza sa. Și asta înseamnă că înălțimea, muchia și jumătatea diagonalei formează împreună. Mulți, desigur, își amintesc de teorema lui Pitagora. Cunoscând două dimensiuni, nu va fi greu să găsiți a treia valoare. Reamintim binecunoscuta teoremă a² = b² + c², unde a este ipotenuza, iar în cazul nostru marginea piramidei; b - primul picior sau jumătate din diagonală și, respectiv, c - al doilea picior, sau înălțimea piramidei. Din această formulă, c² = a² - b².

Acum problema: într-o piramidă obișnuită, diagonala este de 20 cm, în timp ce lungimea marginii este de 30 cm. Trebuie să găsiți înălțimea. Rezolvăm: c² \u003d 30² - 20² \u003d 900-400 \u003d 500. Prin urmare, c \u003d √ 500 \u003d aproximativ 22,4.

Cum să aflați înălțimea unei piramide trunchiate

Este un poligon care are o secțiune paralelă cu baza sa. Înălțimea unei piramide trunchiate este segmentul care leagă cele două baze ale acesteia. Înălțimea poate fi găsită la piramida corecta, dacă se cunosc lungimile diagonalelor ambelor baze, precum și marginea piramidei. Fie diagonala bazei mai mari d1, în timp ce diagonala bazei mai mici este d2, iar muchia are lungimea l. Pentru a găsi înălțimea, puteți coborî înălțimile din cele două puncte superioare opuse ale diagramei până la baza acesteia. Vedem că avem două triunghi dreptunghic, rămâne de găsit lungimile picioarelor lor. Pentru a face acest lucru, scădeți diagonala mai mică din diagonala mai mare și împărțiți cu 2. Deci vom găsi un picior: a \u003d (d1-d2) / 2. După aceea, conform teoremei lui Pitagora, trebuie să găsim doar al doilea picior, care este înălțimea piramidei.

Acum să ne uităm la toată chestia asta în practică. Avem o sarcină în față. Piramida trunchiată are un pătrat la bază, lungimea diagonală a bazei mai mari este de 10 cm, în timp ce cea mai mică este de 6 cm, iar marginea este de 4 cm. Este necesară găsirea înălțimii. Pentru început, găsim un picior: a \u003d (10-6) / 2 \u003d 2 cm. Un picior are 2 cm, iar ipotenuza este de 4 cm. Se dovedește că al doilea picior sau înălțimea va fi de 16- 4 \u003d 12, adică h \u003d √12 = aproximativ 3,5 cm.

Caracteristica principală a oricărui figură geometricăîn spațiu este volumul său. În acest articol, vom lua în considerare ce este o piramidă cu un triunghi la bază și, de asemenea, vom arăta cum să găsim volumul unei piramide triunghiulare - obișnuită, plină și trunchiată.

Ce este o piramidă triunghiulară?

Toată lumea a auzit de piramidele egiptene antice, dar ele sunt patrulatere regulate, nu triunghiulare. Să explicăm cum să obțineți o piramidă triunghiulară.

Să luăm un triunghi arbitrar și să conectăm toate vârfurile sale cu un punct situat în afara planului acestui triunghi. Figura rezultată va fi numită o piramidă triunghiulară. Este prezentat în figura de mai jos.

După cum puteți vedea, figura luată în considerare este formată din patru triunghiuri, care în cazul general sunt diferite. Fiecare triunghi este laturile piramidei sau fața acesteia. Această piramidă este adesea numită tetraedru, adică o figură tridimensională cu patru fețe.

Pe lângă laturi, piramida are și margini (sunt 6) și vârfuri (sunt 4).

cu baza triunghiulara

Figura, care se obține folosind un triunghi arbitrar și un punct în spațiu, va fi o piramidă înclinată neregulată în cazul general. Acum imaginați-vă că triunghiul original are aceleași laturi, iar un punct din spațiu este situat exact deasupra centrului său geometric la o distanță h de planul triunghiului. Piramida construită folosind aceste date inițiale va fi corectă.

Evident, numărul de muchii, laturi și vârfuri ale unei piramide triunghiulare regulate va fi același cu cel al unei piramide construite dintr-un triunghi arbitrar.

Cu toate acestea, cifra corectă are unele semne distinctive:

• înălțimea sa, trasă din vârf, va intersecta exact baza în centrul geometric (punctul de intersecție al medianelor);
• suprafata laterala o astfel de piramidă este formată din trei triunghiuri identice care sunt isoscele sau echilaterale.

Piramida triunghiulară obișnuită nu este doar un obiect geometric pur teoretic. Unele structuri din natură au forma ei, de exemplu celulă de cristal diamant, unde un atom de carbon este conectat la patru dintre aceiași atomi prin legături covalente, sau o moleculă de metan, unde vârfurile piramidei sunt formate din atomi de hidrogen.

piramidă triunghiulară

Puteți determina volumul absolut oricărei piramide cu un n-gon arbitrar la bază folosind următoarea expresie:

Aici simbolul S o denotă aria bazei, h este înălțimea figurii desenate la baza marcată din vârful piramidei.

Deoarece aria unui triunghi arbitrar este egală cu jumătate din produsul lungimii laturii sale a și apotema h a coborâtă pe această latură, formula pentru volumul unei piramide triunghiulare poate fi scrisă după cum urmează:

V = 1/6 × a × h a × h

Pentru un tip generic, definiția înălțimii este sarcină descurajantă. Pentru a o rezolva, cea mai simplă modalitate este să folosiți formula pentru distanța dintre un punct (vertex) și un plan (bază triunghiulară), reprezentată de ecuație vedere generala.

Pentru cea corectă, are un aspect specific. Aria bazei (un triunghi echilateral) pentru aceasta este egală cu:

O substituim în expresia generală pentru V, obținem:

V = √3/12 × a 2 × h

Un caz special este situația în care toate laturile unui tetraedru se dovedesc a fi triunghiuri echilaterale identice. În acest caz, volumul său poate fi determinat numai pe baza cunoașterii parametrului marginii sale a. Expresia corespunzătoare arată astfel:

Piramida trunchiată

Dacă partea superioară care conține vârful este tăiată dintr-o piramidă triunghiulară obișnuită, atunci se va obține o figură trunchiată. Spre deosebire de cel original, acesta va fi format din două baze triunghiulare echilaterale și trei trapeze isoscele.

Fotografia de mai jos arată cum arată o piramidă triunghiulară trunchiată obișnuită făcută din hârtie.

Pentru a determina volumul unei piramide triunghiulare trunchiate, este necesar să cunoaștem cele trei caracteristici liniare ale acesteia: fiecare dintre laturile bazelor și înălțimea figurii, egală cu distanța dintre bazele superioare și inferioare. Formula corespunzătoare pentru volum este scrisă după cum urmează:

V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)

Aici h este înălțimea figurii, A și a sunt lungimile laturilor triunghiurilor echilaterale mari (inferioare) și, respectiv, mici (superioare).

Rezolvarea problemei

Pentru a face informațiile din articol mai clare pentru cititor, vom afișa mai departe bun exemplu cum să folosești unele dintre formulele scrise.

Fie volumul unei piramide triunghiulare de 15 cm 3. Se știe că cifra este corectă. Ar trebui să găsiți apotema a b a marginii laterale dacă se știe că înălțimea piramidei este de 4 cm.

Deoarece volumul și înălțimea figurii sunt cunoscute, puteți utiliza formula adecvată pentru a calcula lungimea laturii bazei acesteia. Avem:

V = √3/12 × a 2 × h =>

a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 cm

a b \u003d √ (h 2 + a 2 / 12) \u003d √ (16 + 25,98 2 / 12) \u003d 8,5 cm

Lungimea calculată a apotemului figurii s-a dovedit a fi mai mare decât înălțimea acesteia, ceea ce este valabil pentru orice tip de piramidă.

Inapoi inainte

Atenţie! Previzualizarea slide-ului are doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte întreaga amploare a prezentării. Dacă sunteți interesat acest lucru vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Obiectivele lecției.

Educațional: Deduceți o formulă pentru calcularea volumului unei piramide

Dezvoltarea: pentru a dezvolta interesul cognitiv al studenților pentru disciplinele academice, capacitatea de a-și aplica cunoștințele în practică.

Educativ: pentru a cultiva atenția, acuratețea, pentru a extinde orizonturile elevilor.

Echipamente și materiale: computer, ecran, proiector, prezentare „Volumul piramidei”.

1. Sondaj frontal. Diapozitive 2, 3

Ceea ce se numește piramidă, baza piramidei, nervuri, înălțime, axă, apotema. Care piramidă se numește piramidă trunchiată regulată, tetraedră?

Piramidă - un poliedru format dintr-un plat poligon, puncte, care nu se află în planul acestui poligon și toate segmentele, conectând acest punct cu punctele poligonului.

Acest punct numit vârf piramide, iar un poligon plat este baza piramidei. Segmente, care leagă vârful piramidei cu vârful bazei, se numesc coaste . Înălţime piramide - perpendicular, coborât din vârful piramidei până în planul bazei. Apotema - înălțimea marginii laterale piramida corecta. Piramida, care la baza minciuna corecta n-gon, A baza de inaltime coincide cu centru de fundație numit corect piramida n-gonală. axă O piramidă obișnuită se numește linie dreaptă care conține înălțimea ei. O piramidă triunghiulară obișnuită se numește tetraedru. Dacă piramida este străbătută de un plan paralel cu planul bazei, atunci aceasta va tăia piramida, asemănătoare dat. Restul se numeste trunchi de piramidă.

2. Derivarea formulei de calcul al volumului piramidei V=SH/3 Slide 4, 5, 6

1. Fie SABC o piramidă triunghiulară cu vârful S și baza ABC.

2. Completați această piramidă cu o prismă triunghiulară cu aceeași bază și înălțime.

3. Această prismă este compusă din trei piramide:

1) această piramidă SABC.

2) piramidele SCC 1 B 1 .

3) și piramidele SCBB 1 .

4. A doua și a treia piramidă au bazele egale CC 1 B 1 și B 1 BC și înălțimea totală trasă de la vârful S până la fața paralelogramului BB 1 C 1 C. Prin urmare, au volume egale.

5. Prima și a treia piramidă au, de asemenea, baze egale SAB și BB 1 S și înălțimi coincidente trasate de la vârful C până la fața paralelogramului ABB 1 S. Prin urmare, au și volume egale.

Aceasta înseamnă că toate cele trei piramide au același volum. Deoarece suma acestor volume este egală cu volumul prismei, volumele piramidelor sunt egale cu SH/3.

Volumul oricărei piramide triunghiulare este egal cu o treime din aria bazei înmulțită cu înălțimea.

3. Consolidarea materialului nou. Rezolvarea exercițiilor.

1) Sarcina № 33 din manualul A.N. Pogorelov. Slide-urile 7, 8, 9

Pe laterala bazei? Și coastă laterală b găsiți volumul unei piramide regulate, la baza căreia se află:

1) triunghi,

2) patrulater,

3) hexagon.

Într-o piramidă obișnuită, înălțimea trece prin centrul unui cerc circumscris lângă bază. Apoi: (Anexă)

4. Informații istorice despre piramide. Slide-urile 15, 16, 17

Primul dintre contemporanii noștri care a stabilit o serie de fenomene neobișnuite asociate cu piramida a fost omul de știință francez Antoine Bovy. Explorând piramida lui Keops în anii 30 ai secolului XX, el a descoperit că trupurile animalelor mici care au intrat accidental în camera regală au fost mumificate. Bovi și-a explicat singur motivul pentru aceasta prin forma piramidei și, după cum s-a dovedit, nu s-a înșelat. Munca lui a stat la baza cercetare contemporană, drept urmare, în ultimii 20 de ani, au apărut numeroase cărți și publicații care confirmă că energia piramidelor poate avea o importanță practică.

Misterul Piramidelor

Unii cercetători susțin că piramida conține o cantitate imensă de informații despre structura Universului, a sistemului solar și a omului, codificate în forma sa geometrică, sau mai degrabă, sub forma unui octaedru, din care jumătate este piramidă. Piramida cu vârful în sus simbolizează viața, de sus în jos - moartea, altă lume. La fel ca componentele Stelei lui David (Magen David), unde triunghiul îndreptat în sus simbolizează ascensiunea către Mintea Superioară, Dumnezeu, iar triunghiul, coborât cu vârful în jos, simbolizează coborârea sufletului pe Pământ, existența materială. ...

Valoarea digitală a codului prin care informațiile despre Univers sunt criptate în piramidă, numărul 365, nu a fost aleasă întâmplător. În primul rând, acesta este ciclul anual de viață al planetei noastre. În plus, numărul 365 este format din trei numere 3, 6 și 5. Ce înseamnă ele? Dacă în sistem solar Soarele trece la numărul 1, Mercur - 2, Venus - 3, Pământul - 4, Marte - 5, Jupiter - 6, Saturn - 7, Uranus - 8, Neptun - 9, Pluto - 10, apoi 3 este Venus, 6 - Jupiter și 5 - Marte. Prin urmare, Pământul este conectat într-un mod special cu aceste planete. Adăugând numerele 3, 6 și 5, obținem 14, dintre care 1 este Soarele și 4 este Pământul.

Numărul 14 în general are o semnificație globală: în special, structura mâinilor umane se bazează pe acesta, numărul total de falange ale degetelor fiecăruia dintre ele fiind, de asemenea, 14. Acest cod este, de asemenea, legat de constelația Ursa Major , care include Soarele nostru și în care a fost odată o altă stea care a distrus Phaeton, o planetă situată între Marte și Jupiter, după care Pluto a apărut în sistemul solar, iar caracteristicile celorlalte planete s-au schimbat.

Multe surse ezoterice susțin că umanitatea Pământului a suferit deja de patru ori o catastrofă la nivel mondial. A treia rasă lemuriană a cunoscut știința divină a Universului, apoi această doctrină secretă a fost transmisă doar inițiaților. La începutul ciclurilor și semiciclurilor anului sideral, au construit piramidele. Au fost aproape de a descoperi codul vieții. Civilizația Atlantidei a reușit în multe lucruri, dar la un anumit nivel de cunoaștere au fost oprite de o altă catastrofă planetară, însoțită de o schimbare de rase. Probabil, inițiații au vrut să ne transmită că cunoașterea legilor cosmice este încorporată în piramide...

Dispozitivele speciale sub formă de piramide neutralizează radiațiile electromagnetice negative asupra unei persoane de la un computer, televizor, frigider și alte aparate de uz casnic.

Într-una dintre cărți, este descris un caz când o piramidă instalată în interiorul unei mașini a redus consumul de combustibil și a redus conținutul de CO din gazele de eșapament.

Semințele culturilor de grădină îmbătrânite în piramide au avut o germinație și un randament mai bun. Publicațiile recomandau chiar înmuierea semințelor înainte de însămânțare în apă piramidală.

S-a descoperit că piramidele au efecte benefice asupra situatia ecologica. Eliminați zonele patogene din apartamente, birouri și zonele suburbane, creând o aură pozitivă.

Cercetătorul olandez Paul Dickens, în cartea sa, oferă exemple despre proprietățile vindecătoare ale piramidelor. El a observat că pot fi folosite pentru a calma durerile de cap, durerile articulare, pentru a opri sângerarea cu mici tăieturi și că energia piramidelor stimulează metabolismul și întărește sistemul imunitar.

În unele publicații moderne, se observă că medicamentele învechite în piramidă scurtează cursul tratamentului, iar materialul de pansament, saturat cu energie pozitivă, promovează vindecarea rănilor.

Cremele și unguentele cosmetice își îmbunătățesc efectul.

Băuturile, inclusiv alcoolul, își îmbunătățesc gustul, iar apa conținută în vodcă 40% devine vindecătoare. Adevărat, pentru a încărca o sticlă standard de 0,5 litri cu energie pozitivă, ai nevoie de o piramidă înaltă.

Un articol de ziar spune că, dacă depozitați bijuterii sub o piramidă, acestea se autocurăță și capătă o strălucire deosebită, în timp ce pietrele prețioase și semiprețioase acumulează bioenergie pozitivă și apoi o eliberează treptat.

Potrivit oamenilor de știință americani, produsele alimentare, precum cerealele, făina, sarea, zahărul, cafeaua, ceaiul, după ce se află în piramidă, își îmbunătățesc gustul, iar țigările ieftine devin asemenea omologilor lor nobili.

Acest lucru poate să nu fie relevant pentru mulți, dar lamele vechi de ras se auto-ascuți într-o piramidă mică, iar apa nu îngheață într-o piramidă mare la -40 de grade Celsius.

Potrivit majorității cercetătorilor, toate acestea sunt dovada existenței energiei piramidelor.

De-a lungul celor 5000 de ani de existență, piramidele au devenit un fel de simbol care personifică dorința omului de a ajunge la culmea cunoașterii.

5. Rezumând lecția.

Bibliografie.

1) http://schools.techno.ru

2) Pogorelov A. V. Geometrie 10-11, editura „Iluminismul”.

3) Enciclopedia „Arborele cunoașterii” Marshall K.

Una dintre cele mai simple figuri volumetrice este o piramidă triunghiulară, deoarece constă din cel mai mic număr de fețe din care se poate forma o figură în spațiu. În acest articol, vom lua în considerare formule cu care puteți găsi volumul unei piramide regulate triunghiulare.

piramidă triunghiulară

Conform definiție comună O piramidă este un poligon, ale cărui vârfuri sunt conectate la un punct care nu este situat în planul acestui poligon. Dacă acesta din urmă este un triunghi, atunci întreaga figură se numește piramidă triunghiulară.

Piramida considerată este formată dintr-o bază (triunghi) și trei fețe laterale (triunghiuri). Punctul în care cele trei fețe laterale sunt conectate se numește vârful figurii. Perpendiculara coborâtă la bază de la acest vârf este înălțimea piramidei. Dacă punctul de intersecție al perpendicularei cu baza coincide cu punctul de intersecție al medianelor triunghiului de la bază, atunci se vorbește despre o piramidă regulată. În caz contrar, va fi în pantă.

După cum s-a spus, baza unei piramide triunghiulare poate fi un triunghi general. Cu toate acestea, dacă este echilaterală, iar piramida în sine este dreaptă, atunci vorbesc despre figura tridimensională corectă.

Orice piramidă triunghiulară are 4 fețe, 6 muchii și 4 vârfuri. Dacă lungimile tuturor marginilor sunt egale, atunci o astfel de figură se numește tetraedru.

Volumul unei piramide triunghiulare de tip general

Înainte de a scrie formula pentru volumul unei piramide triunghiulare regulate, dăm o expresie pentru aceasta cantitate fizica pentru o piramidă generală. Această expresie arată astfel:

Pe această temă: „Global Finance”: recenzii despre companie de la angajați și clienți

Aici S o este aria bazei, h este înălțimea figurii. Această egalitate va fi valabilă pentru orice tip de bază a poligonului piramidal, precum și pentru con. Dacă la bază există un triunghi cu lungimea laturii a și înălțimea h o coborâtă la el, atunci formula pentru volum se va scrie după cum urmează:

V = 1/6*a*h o *h.

Formule pentru volumul unei piramide triunghiulare regulate

O piramidă triunghiulară regulată are la bază un triunghi echilateral. Se știe că înălțimea acestui triunghi este legată de lungimea laturii sale prin egalitatea:

Înlocuind această expresie în formula pentru volumul unei piramide triunghiulare, scrisă în paragraful anterior, obținem:

V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.

Volumul unei piramide obișnuite cu o bază triunghiulară este o funcție de lungimea laturii bazei și de înălțimea figurii.

Din moment ce oricare poligon regulat poate fi înscris într-un cerc a cărui rază determină în mod unic lungimea laturii poligonului, atunci această formulă poate fi scrisă în termenii razei corespunzătoare r:

V = √3/4*h*r 2 .

Această formulă este ușor de obținut din cea anterioară, având în vedere că raza r a cercului circumscris prin lungimea laturii a a triunghiului este determinată de expresia:

Sarcina de a determina volumul unui tetraedru

Să arătăm cum să folosim formulele de mai sus în rezolvarea unor probleme specifice de geometrie.

Se știe că tetraedrul are o lungime a muchiei de 7 cm.Aflați volumul unei piramide-tetraedru triunghiulare regulate.

Amintiți-vă că un tetraedru este o piramidă triunghiulară regulată în care toate bazele sunt egale între ele. Pentru a utiliza formula pentru volumul unei piramide triunghiulare obișnuite, trebuie să calculați două cantități:

Pe această temă: Aceste materiale neobișnuite vor fi folosite în curând la fabricarea scaunelor auto

• lungimea laturii triunghiului;
• înălțimea figurii.

Prima valoare este cunoscută din starea problemei:

Pentru a determina înălțimea, luați în considerare figura prezentată în figură.

Triunghiul marcat ABC este un triunghi dreptunghic unde unghiul ABC este de 90o. Latura AC este ipotenuza a cărei lungime este a. Prin raționament geometric simplu, se poate demonstra că latura BC are lungime:

Rețineți că lungimea BC este raza cercului circumscris în jurul triunghiului.

h \u003d AB \u003d √ (AC 2 - BC 2) \u003d √ (a 2 - a 2 / 3) \u003d a * √ (2/3).

Acum puteți înlocui h și a în formula corespunzătoare pentru volum:

V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .

Astfel, am obținut formula pentru volumul unui tetraedru. Se poate observa că volumul depinde doar de lungimea coastei. Dacă substituim valoarea din condiția problemei în expresie, atunci obținem răspunsul:

V \u003d √2 / 12 * 7 3 ≈ 40,42 cm 3.

Dacă comparăm această valoare cu volumul unui cub care are aceeași muchie, obținem că volumul unui tetraedru este de 8,5 ori mai mic. Acest lucru indică faptul că tetraedrul este o figură compactă, care este realizată în unele substanțe naturale. De exemplu, molecula de metan este tetraedrică, iar fiecare atom de carbon din diamant este conectat la alți patru atomi pentru a forma un tetraedru.

Problemă cu piramidele omotetice

Una dintre cele mai simple figuri volumetrice este o piramidă triunghiulară, deoarece constă din cel mai mic număr de fețe din care se poate forma o figură în spațiu. În acest articol, vom lua în considerare formule cu care puteți găsi volumul unei piramide regulate triunghiulare.