Résoudre des expressions irrationnelles avec des racines. Conversion d'expressions irrationnelles

Expressions irrationnelles et leurs transformations

La dernière fois, nous nous sommes souvenus (ou avons appris, selon qui) de ce que c'était , a appris à extraire de telles racines, a compris les propriétés de base des racines pièce par pièce et a décidé de ne pas exemples complexes avec des racines.

Cette leçon s'inscrira dans la continuité de la précédente et sera consacrée aux transformations d'une grande variété d'expressions contenant toutes sortes de racines. De telles expressions sont appelées irrationnel. Des expressions avec des lettres, des conditions supplémentaires, l'élimination de l'irrationalité des fractions et quelques techniques avancées pour travailler avec les racines apparaîtront ici. Les techniques qui seront abordées dans cette leçon deviendront une bonne base pour résoudre des problèmes USE (et pas seulement) de presque tous les niveaux de complexité. Alors, commençons.

Tout d’abord, je vais dupliquer ici les formules et propriétés de base des racines. Pour ne pas passer d'un sujet à l'autre. Les voici:

à

Vous devez connaître ces formules et être capable de les appliquer. Et dans les deux sens – de gauche à droite et de droite à gauche. C'est sur eux que repose la solution à la plupart des tâches ayant des racines de tout degré de complexité. Commençons par la chose la plus simple pour l'instant : avec l'application directe de formules ou de leurs combinaisons.

Application facile des formules

Dans cette partie, des exemples simples et inoffensifs seront considérés - sans lettres, conditions supplémentaires et autres astuces. Cependant, même en eux, il existe généralement des options. Et plus l’exemple est sophistiqué, plus il existe de telles options. Et l'étudiant inexpérimenté est confronté au problème principal : par où commencer ? La réponse ici est simple - Si vous ne savez pas ce dont vous avez besoin, faites ce que vous pouvez. Tant que vos actions sont en paix et en harmonie avec les règles mathématiques et ne les contredisent pas.) Par exemple, cette tâche :

Calculer:

Même dans un exemple aussi simple, il existe plusieurs chemins possibles vers la réponse.

La première consiste simplement à multiplier les racines par la première propriété et à extraire la racine du résultat :

La deuxième option est la suivante : on n’y touche pas, on travaille avec . Nous retirons le multiplicateur sous le signe racine, puis - selon la première propriété. Comme ça:

Vous pouvez décider autant que vous le souhaitez. Dans chacune des options, la réponse est un à huit. Par exemple, il m’est plus facile de multiplier 4 par 128 et d’obtenir 512, et la racine cubique peut être facilement extraite de ce nombre. Si quelqu'un ne se souvient pas que 512 équivaut à 8 au cube, alors cela n'a pas d'importance : vous pouvez écrire 512 sous la forme 2 9 (les 10 premières puissances de deux, j'espère que vous vous en souvenez ?) et en utilisant la formule de la racine de la puissance :

Un autre exemple.

Calculer : .

Si vous travaillez selon la première propriété (mettre tout sous une seule racine), vous obtiendrez une quantité importante, à partir de laquelle la racine pourra ensuite être extraite - pas non plus le sucre. Et ce n'est pas un fait qu'il sera extrait exactement.) Par conséquent, il est utile ici de supprimer les facteurs sous la racine du nombre. Et profitez au maximum de :

Et maintenant tout va bien :

Il ne reste plus qu'à écrire le huit et le deux sous une seule racine (selon la première propriété) et le tour est joué. :)

Ajoutons maintenant quelques fractions.

Calculer:

L'exemple est assez primitif, mais il comporte également des options. Vous pouvez utiliser le multiplicateur pour transformer le numérateur et le réduire avec le dénominateur :

Ou vous pouvez immédiatement utiliser la formule pour diviser les racines :

Comme nous le voyons, ceci et cela – tout est correct.) Si vous ne trébuchez pas à mi-chemin et ne faites pas d’erreur. Mais où puis-je me tromper ici...

Examinons maintenant l'exemple le plus récent de devoirs dernière leçon:

Simplifier:

Un ensemble de racines complètement inimaginable, voire imbriquées. Que dois-je faire? L'essentiel est de ne pas avoir peur ! Ici, on remarque d'abord sous les racines les nombres 2, 4 et 32 ​​- puissances de deux. La première chose à faire est de réduire tous les nombres à deux : après tout, plus numéros identiques dans l’exemple, moins il y en a de différents, plus c’est simple.) Commençons séparément par le premier facteur :

Le nombre peut être simplifié en réduisant les deux sous la racine avec les quatre dans l'exposant racine :

Maintenant, selon la racine de l'ouvrage :

.

Dans le nombre, nous retirons les deux comme signe racine :

Et nous traitons l'expression en utilisant la formule racine de la racine :

Ainsi, le premier facteur s’écrira ainsi :

Les racines imbriquées ont disparu, les nombres sont devenus plus petits, ce qui fait déjà plaisir. C’est juste que les racines sont différentes, mais nous allons en rester là pour l’instant. Si nécessaire, nous les convertirons aux mêmes. Prenons le deuxième facteur.)

Nous transformons le deuxième facteur de la même manière, en utilisant la formule de la racine du produit et de la racine de la racine. Si nécessaire, nous réduisons les indicateurs en utilisant la cinquième formule :

Nous collons le tout dans l'exemple original et obtenons :

J'ai le produit de tout un tas de choses absolument différentes racines. Ce serait bien de les rassembler tous sur un seul indicateur, et ensuite nous verrons. Eh bien, c'est tout à fait possible. Le plus grand des exposants racine est 12, et tous les autres - 2, 3, 4, 6 - sont des diviseurs du nombre 12. Par conséquent, nous réduirons toutes les racines selon la cinquième propriété à un exposant - 12 :

On compte et on obtient :

Nous n’avons pas obtenu un bon numéro, mais ce n’est pas grave. On nous a demandé simplifier expression, non compter. Simplifié? Certainement! Et le type de réponse (entier ou non) ne joue ici plus aucun rôle.

Quelques formules d'addition/soustraction et de multiplication abrégée

Malheureusement, formules générales Pour ajouter et soustraire des racines non en mathématiques. Cependant, dans les tâches, on retrouve souvent ces actions avec des racines. Ici, il est nécessaire de comprendre que toutes les racines sont exactement les mêmes symboles mathématiques que les lettres en algèbre.) Et les mêmes techniques et règles s'appliquent aux racines comme aux lettres - parenthèses ouvrantes, apportant des parenthèses similaires, formules de multiplication abrégées, etc.

Par exemple, il est clair pour tout le monde que . Similaire le même Les racines peuvent s’ajouter/soustraire assez facilement les unes aux autres :

Si les racines sont différentes, nous cherchons un moyen de les rendre identiques - en ajoutant/soustrayant un multiplicateur ou en utilisant la cinquième propriété. Si cela n’est en aucun cas simplifié, alors les transformations sont peut-être plus astucieuses.

Regardons le premier exemple.

Trouvez le sens de l'expression : .

Les trois racines, bien que cubiques, proviennent différent Nombres. Ils ne sont pas purement extraits et s’ajoutent/soustraient les uns des autres. Par conséquent, l’utilisation de formules générales ne fonctionne pas ici. Que dois-je faire? Supprimons les facteurs de chaque racine. De toute façon, ce ne sera pas pire.) De plus, il n’y a en fait pas d’autres options :

C'est, .

C'est la solution. Ici, nous sommes passés de racines différentes aux mêmes avec l'aide retirer le multiplicateur sous la racine. Et puis ils en ont simplement apporté des similaires.) Nous décidons plus loin.

Trouver la valeur d'une expression:

Vous ne pouvez absolument rien faire contre la racine de dix-sept. Nous travaillons selon la première propriété - nous fabriquons une racine à partir du produit de deux racines :

Maintenant, regardons de plus près. Qu'avons-nous sous le grand racine cubique? La différence est qu... Eh bien, bien sûr ! Différence de carrés :

Il ne reste plus qu'à extraire la racine : .

Calculer:

Ici, vous devrez faire preuve d'ingéniosité mathématique.) Nous pensons approximativement de la manière suivante: « Donc, dans l’exemple, le produit des racines. Sous une racine se trouve la différence et sous l’autre la somme. Très similaire à la formule de la différence des carrés. Mais... Les racines sont différentes ! Le premier est carré, et le second est du quatrième degré... Ce serait bien de les rendre identiques. D’après la cinquième propriété, on peut facilement racine carrée faire la quatrième racine. Pour cela, il suffit de mettre au carré l’expression radicale.»

Si vous pensez la même chose, alors vous êtes à mi-chemin du succès. Absolument raison! Transformons le premier facteur en une quatrième racine. Comme ça:

Maintenant, il n’y a rien à faire, mais il va falloir retenir la formule du carré de la différence. Uniquement lorsqu'il est appliqué sur les racines. Et alors? Pourquoi les racines sont-elles pires que les autres nombres ou expressions ?! Nous bâtissons:

« Hmm, eh bien, ils l'ont érigé, et alors ? Le raifort n'est pas plus sucré que le radis. Arrêt! Et si vous retiriez les quatre sous la racine ? Alors la même expression apparaîtra que sous la racine seconde, seulement avec un moins, et c’est exactement ce que nous essayons de réaliser !

Droite! Prenons-en quatre :

.

Et maintenant, une question de technologie :

C'est ainsi que des exemples complexes sont démêlés.) Il est maintenant temps de s'entraîner avec les fractions.

Calculer:

Il est clair que le numérateur doit être converti. Comment? En utilisant la formule du carré de la somme, bien sûr. Avons-nous d’autres options ? :) Nous le mettons au carré, retirons les facteurs, réduisons les indicateurs (si nécessaire) :

Ouah! Nous avons obtenu exactement le dénominateur de notre fraction.) Cela signifie que la fraction entière est évidemment égale à un :

Un autre exemple. Seulement maintenant sur une autre formule de multiplication abrégée.)

Calculer:

Il est clair que le carré de la différence doit être utilisé en pratique. Nous écrivons le dénominateur séparément et - c'est parti !

Nous retirons les facteurs sous les racines :

Ainsi,

Maintenant, tout ce qui est mauvais est superbement réduit et il s'avère :

Eh bien, passons au niveau supérieur. :)

Lettres et conditions supplémentaires

Les expressions littérales avec des racines sont une chose plus délicate que expressions numériques, et constitue une source inépuisable d’erreurs fâcheuses et très graves. Fermons cette source.) Des erreurs surviennent du fait que de telles tâches impliquent souvent des nombres et des expressions négatifs. Ils nous sont soit donnés directement dans la tâche, soit cachés dans lettres et conditions supplémentaires. Et dans le processus de travail avec les racines, nous devons constamment nous rappeler que dans les racines même degréà la fois sous la racine elle-même et à la suite de l'extraction de la racine, il devrait y avoir expression non négative. La formule clé dans les tâches de ce paragraphe sera la quatrième formule :

Il n'y a pas de questions avec des racines de degrés impairs - tout est toujours extrait, tant positif que négatif. Et le moins, s’il y a quelque chose, est mis en avant. Allons directement aux racines même degrés.) Par exemple, une tâche si courte.

Simplifier: , Si .

Il semblerait que tout soit simple. Il s'agira simplement d'un X.) Mais pourquoi alors condition supplémentaire ? Dans de tels cas, il est utile d’estimer avec des chiffres. Purement pour moi.) Si, alors x est évidemment un nombre négatif. Moins trois, par exemple. Ou moins quarante. Laisser . Pouvez-vous élever moins trois à la puissance quatre ? Certainement! Le résultat est 81. Est-il possible d’extraire la quatrième racine de 81 ? Pourquoi pas? Peut! Vous en obtenez trois. Analysons maintenant l'ensemble de notre chaîne :

Que voit-on ? L’entrée était un nombre négatif et la sortie était déjà positive. Il faisait moins trois, maintenant c’est plus trois.) Revenons aux lettres. Sans aucun doute, modulo ce sera exactement X, mais seul X lui-même est moins (par condition !), et le résultat de l'extraction (dû à la racine arithmétique !) doit être plus. Comment obtenir un plus ? Très simple! Pour ce faire, il suffit de mettre un moins devant un nombre évidemment négatif.) Et bonne solution Ressemble à ça:

À propos, si nous utilisions la formule, alors, en nous souvenant de la définition d'un module, nous obtiendrions immédiatement la bonne réponse. Parce que le

|x| = -x à x<0.

Retirez le facteur du signe racine : , Où .

Le premier regard se porte sur l’expression radicale. Tout va bien ici. Dans tous les cas, ce sera non négatif. Commençons par extraire. En utilisant la formule de la racine d'un produit, on extrait la racine de chaque facteur :

Je ne pense pas qu’il soit nécessaire d’expliquer d’où viennent les modules.) Analysons maintenant chacun des modules.

Multiplicateur | un | nous le laissons inchangé : nous n'avons aucune condition pour la lettreun. Nous ne savons pas si c'est positif ou négatif. Module suivant |b2 | peut être omise en toute sécurité : dans tous les cas, l'expressionb2 non négatif. Mais à propos de |c3 | - il y a déjà un problème ici.) Si, alors c3 <0. Стало быть, модуль надо раскрыть avec un moins: | c3 | = - c3 . Au total, la bonne solution serait :

Et maintenant – le problème inverse. Pas des plus simples, je vous préviens tout de suite !

Entrez un multiplicateur sous le signe de la racine: .

Si vous écrivez immédiatement la solution comme ceci

alors vous tombé dans un piège. Ce mauvaise décision! Quel est le problème?

Regardons de plus près l'expression sous la racine. Sous la racine du quatrième degré, comme nous le savons, il devrait y avoir non négatif expression. Sinon, la racine n'a aucune signification.) Par conséquent Et cela, à son tour, signifie que et, par conséquent, est également non positif : .

Et l'erreur ici est que nous introduisons à la racine non positif nombre: le quatrième degré le transforme en non négatif et le mauvais résultat est obtenu - à gauche il y a un moins délibéré, et à droite il y a déjà un plus. Et appliquer à la racine même degré nous avons le droit seulement non négatif nombres ou expressions. Et laissez le moins, s'il y en a un, devant la racine.) Comment identifier un facteur non négatif dans le nombre, sachant qu'il est lui-même complètement négatif ? Oui, exactement pareil ! Mettez un moins.) Et pour que rien ne change, compensez-le par un autre moins. Comme ça:

Et maintenant déjà non négatif On rentre calmement le nombre (-b) sous la racine selon toutes les règles :

Cet exemple montre clairement que, contrairement à d’autres branches des mathématiques, dans les racines, la bonne réponse ne découle pas toujours automatiquement des formules. Vous devez réfléchir et prendre personnellement la bonne décision.) Vous devez particulièrement être plus prudent avec les panneaux équations et inégalités irrationnelles.

Regardons la prochaine technique importante lorsque nous travaillons avec des racines - se débarrasser de l'irrationalité.

Éliminer l'irrationalité des fractions

Si l'expression contient des racines, alors, permettez-moi de vous le rappeler, une telle expression s'appelle expression avec irrationalité. Dans certains cas, il peut être utile de se débarrasser de cette irrationalité (c’est-à-dire des racines). Comment éliminer la racine ? Notre racine disparaît quand... élevée à une puissance. Avec un indicateur soit égal à l'indicateur racine, soit un multiple de celui-ci. Mais si nous élevons la racine à une puissance (c'est-à-dire multiplions la racine par elle-même le nombre de fois requis), alors l'expression changera. Pas bon.) Cependant, en mathématiques, il existe des sujets dans lesquels la multiplication est tout à fait indolore. En fractions, par exemple. Selon la propriété fondamentale d'une fraction, si le numérateur et le dénominateur sont multipliés (divisés) par le même nombre, la valeur de la fraction ne changera pas.

Disons qu'on nous donne cette fraction :

Est-il possible de se débarrasser de la racine du dénominateur ? Peut! Pour ce faire, la racine doit être coupée en cubes. Que manque-t-il au dénominateur d’un cube plein ? Il nous manque un multiplicateur, c'est-à-dire. On multiplie donc le numérateur et le dénominateur de la fraction par

La racine du dénominateur a disparu. Mais... il est apparu au numérateur. Rien ne peut être fait, tel est le destin.) Cela n'a plus d'importance pour nous : on nous a demandé de libérer le dénominateur des racines. Libéré? Indubitablement.)

D'ailleurs, ceux qui sont déjà à l'aise avec la trigonométrie ont peut-être prêté attention au fait que dans certains manuels et tableaux, par exemple, ils désignent différemment : quelque part et quelque part . La question est : qu’est-ce qui est juste ? Réponse : tout est correct !) Si vous devinez que– c’est simplement le résultat de la libération de l’irrationalité du dénominateur de la fraction. :)

Pourquoi devrions-nous nous libérer de l’irrationalité des fractions ? Quelle différence cela fait-il - la racine est au numérateur ou au dénominateur ? La calculatrice calculera tout de toute façon.) Eh bien, pour ceux qui ne se séparent pas d'une calculatrice, il n'y a vraiment pratiquement aucune différence... Mais même en comptant sur une calculatrice, vous pouvez faire attention au fait que diviser sur entier le numéro est toujours plus pratique et plus rapide que sur irrationnel. Et je garderai le silence sur la division en colonne.)

L'exemple suivant ne fera que confirmer mes propos.

Comment pouvons-nous éliminer ici la racine carrée du dénominateur ? Si le numérateur et le dénominateur sont multipliés par l'expression, alors le dénominateur sera le carré de la somme. La somme des carrés du premier et du deuxième nombres nous donnera juste des nombres sans racines, ce qui est très agréable. Cependant... il apparaîtra produit double du premier nombre au second, où la racine de trois restera toujours. Cela ne canalise pas. Que dois-je faire? Rappelez-vous une autre merveilleuse formule de multiplication abrégée ! Où il n'y a pas de produits doubles, mais seulement des carrés :

Expression qui, multipliée par une certaine somme (ou différence), produit différence de carrés, aussi appelé expression conjuguée. Dans notre exemple, l'expression conjuguée fera la différence. On multiplie donc le numérateur et le dénominateur par cette différence :

Que puis-je dire ? À la suite de nos manipulations, non seulement la racine du dénominateur a disparu, mais la fraction a complètement disparu ! :) Même avec une calculatrice, soustraire la racine de trois d'un trois est plus facile que de calculer une fraction avec la racine au dénominateur. Un autre exemple.

Libérez-vous de l'irrationalité du dénominateur d'une fraction :

Comment s'en sortir ? Les formules de multiplication abrégée avec des carrés ne fonctionnent pas tout de suite - il ne sera pas possible d'éliminer complètement les racines car cette fois notre racine n'est pas carrée, mais cubique. Il est nécessaire que la racine soit en quelque sorte élevée en cube. Par conséquent, l'une des formules avec des cubes doit être utilisée. Lequel? Pensons-y. Le dénominateur est la somme. Comment réaliser le cube de la racine ? Multiplier par différence partielle au carré! Nous appliquerons donc la formule somme de cubes. Celui-ci:

Comme un nous en avons trois, et comme qualité b– racine cubique de cinq :

Et encore une fois, la fraction a disparu.) De telles situations, où, lorsqu'elle est libérée de l'irrationalité du dénominateur d'une fraction, la fraction elle-même disparaît complètement avec les racines, se produisent très souvent. Comment aimez-vous cet exemple !

Calculer:

Essayez simplement d'ajouter ces trois fractions ! Aucune erreur ! :) Un dénominateur commun en vaut la peine. Et si nous essayions de nous libérer de l’irrationalité du dénominateur de chaque fraction ? Eh bien, essayons :

Wow, comme c'est intéressant ! Toutes les fractions ont disparu ! Complètement. Et maintenant, l'exemple peut être résolu de deux manières :

Simple et élégant. Et sans calculs longs et fastidieux. :)

C’est pourquoi il faut être capable de faire l’opération de libération de l’irrationalité par fractions. Dans des exemples aussi sophistiqués, c'est la seule chose qui sauve, oui.) Bien sûr, personne n'a annulé l'attention. Il y a des tâches dans lesquelles on vous demande de vous débarrasser de l'irrationalité numérateur. Ces tâches ne diffèrent pas de celles considérées, seul le numérateur est effacé des racines.)

Exemples plus complexes

Il reste à considérer quelques techniques spéciales pour travailler avec les racines et à s'entraîner à démêler les exemples les plus simples. Et puis les informations reçues seront suffisantes pour résoudre des tâches ayant des racines de tout niveau de complexité. Alors, allez-y.) Tout d'abord, voyons quoi faire avec les racines imbriquées lorsque la formule racine à partir de racine ne fonctionne pas. Par exemple, voici un exemple.

Calculer:

La racine est sous la racine... De plus, sous les racines se trouve la somme ou la différence. Par conséquent, la formule de la racine de la racine (avec multiplication des exposants) est ici Ça ne marche pas. Il faut donc faire quelque chose expressions radicales: Nous n’avons tout simplement pas d’autres options. Dans de tels exemples, la grande racine est le plus souvent chiffrée un carré parfait un certain montant. Ou des différences. Et la racine du carré est déjà parfaitement extraite ! Et maintenant, notre tâche est de le décrypter.) Un tel décryptage est magnifiquement réalisé grâce à système d'équations. Maintenant, vous verrez tout par vous-même.)

Ainsi, sous la première racine nous avons cette expression :

Et si vous n’aviez pas bien deviné ? Allons vérifier! Nous le mettons au carré en utilisant la formule du carré de la somme :

C'est vrai.) Mais... D'où me vient cette expression ? Depuis le ciel?

Non.) Honnêtement, nous allons le réduire un peu plus bas. En utilisant simplement cette expression, je montre exactement comment les rédacteurs de tâches chiffrent ces carrés. :) Qu'est-ce que 54 ? Ce somme des carrés du premier et du deuxième nombre. Et attention, déjà sans racines ! Et la racine reste dedans produit double, qui dans notre cas est égal à . Par conséquent, l’analyse de tels exemples commence par la recherche du double produit. Si vous vous débrouillez avec la sélection habituelle. Et d'ailleurs, à propos des signes. Tout est simple ici. S'il y a un plus avant le double, alors le carré de la somme. Si c’est un moins, alors les différences.) Nous avons un plus – c’est-à-dire le carré de la somme.) Et maintenant – la méthode analytique de décodage promise. Grâce au système.)

Ainsi, sous notre racine traîne clairement l'expression (a+b)2, et notre tâche est de trouver un Et b. Dans notre cas, la somme des carrés donne 54. On écrit donc :

Maintenant, doublez le produit. Nous l'avons. Nous l'écrivons donc :

Nous avons ce système :

Nous résolvons par la méthode de substitution habituelle. Nous exprimons par exemple à partir de la deuxième équation et la substituons dans la première :

Résolvons la première équation :

A obtenu biquadratiqueéquation relativeun . On calcule le discriminant :

Moyens,

Nous avons jusqu'à quatre valeurs possiblesun. Nous n'avons pas peur. Nous allons maintenant éliminer toutes les choses inutiles.) Si nous calculons maintenant les valeurs correspondantes pour chacune des quatre valeurs trouvées, nous obtiendrons quatre solutions à notre système. Les voici:

Et ici la question est : quelle solution est la bonne pour nous ? Pensons-y. Les solutions négatives peuvent être immédiatement rejetées : lors de la mise au carré, les moins « s'éteindront » et l'expression radicale dans son ensemble ne changera pas.) Les deux premières options demeurent. Vous pouvez les choisir de manière complètement arbitraire : réorganiser les termes ne change toujours pas la somme.) Soit, par exemple, , a .

Au total, nous obtenons le carré de la somme suivante sous la racine :

Tout est clair.)

Ce n’est pas pour rien que je décris le processus de décision avec autant de détails. Pour préciser comment se produit le décryptage.) Mais il y a un problème. La méthode analytique de décodage, bien que fiable, est très longue et lourde : il faut résoudre une équation biquadratique, obtenir quatre solutions du système et ensuite encore réfléchir à celles choisir... Troublant ? Je suis d'accord, c'est gênant. Cette méthode fonctionne parfaitement dans la plupart de ces exemples. Cependant, très souvent, vous pouvez vous épargner beaucoup de travail et trouver les deux nombres de manière créative. Par sélection.) Oui, oui ! Maintenant, en utilisant l'exemple du deuxième terme (deuxième racine), je vais montrer un moyen plus simple et plus rapide d'isoler le carré complet sous la racine.

Nous avons donc maintenant cette racine : .

Pensons ainsi : « Sous la racine se trouve très probablement un carré complet crypté. Une fois qu’il y a un moins avant le double, cela signifie le carré de la différence. La somme des carrés du premier et du deuxième nombre nous donne le nombre 54. Mais de quel genre de carrés s’agit-il ? 1 et 53 ? 49 et 5 ? Il y a trop d'options... Non, il vaut mieux commencer à démêler avec le double de produit. Notrepeut s'écrire . Une fois le produit doublé, alors nous rejetons immédiatement les deux. Puis les candidats pour le rôle a et b restent 7 et . Et s'il est 14 heures et/2 ? C'est possible. Mais on commence toujours par quelque chose de simple ! Alors, laissez , un . Vérifions-les pour la somme des carrés :

Arrivé! Cela signifie que notre expression radicale est en fait le carré de la différence :

Voici un moyen léger d’éviter de jouer avec le système. Cela ne fonctionne pas toujours, mais dans bon nombre de ces exemples, c'est tout à fait suffisant. Ainsi, sous les racines se trouvent des carrés complets. Il ne reste plus qu'à extraire correctement les racines et calculer l'exemple :

Examinons maintenant une tâche encore plus non standard sur les racines.)

Prouver que le nombre A– entier, si .

Rien n'est extrait directement, les racines sont incrustées, et même à des degrés divers... Un cauchemar ! Cependant, la tâche a du sens.) Par conséquent, il existe une clé pour la résoudre.) Et la clé ici est la suivante. Considérez notre égalité

Comment équation relative UN. Oui oui! Ce serait bien de se débarrasser des racines. Nos racines sont cubiques, alors réduisons les deux côtés de l’équation au cube. D'après la formule cube de la somme:

Les cubes et les racines cubiques s'annulent, et sous chaque grande racine, nous prenons une parenthèse du carré et réduisons le produit de la différence et de la somme en une différence de carrés :

Séparément, on calcule la différence des carrés sous les racines :

Les transformations identiques d'expressions sont l'une des lignes de contenu du cours de mathématiques à l'école. Les transformations identiques sont largement utilisées pour résoudre des équations, des inégalités, des systèmes d'équations et des inégalités. De plus, des transformations identiques d'expressions contribuent au développement de l'intelligence, de la flexibilité et de la rationalité de la pensée.

Les supports proposés sont destinés aux élèves de 8e et comprennent des fondements théoriques transformations identitaires rationnel et expressions irrationnelles, les types de tâches pour transformer de telles expressions et le texte du test.

1. Base théorique transformations identitaires

Les expressions en algèbre sont des enregistrements constitués de chiffres et de lettres reliés par des signes d'action.

https://pandia.ru/text/80/197/images/image002_92.gif" width="77" height="21 src=">.gif" width="20" height="21 src="> – expressions algébriques.

Selon les opérations, on distingue les expressions rationnelles et irrationnelles.

Les expressions algébriques sont dites rationnelles si elles sont relatives aux lettres qu'elles contiennent UN, b, Avec, ... aucune autre opération n'est effectuée à l'exception de l'addition, de la multiplication, de la soustraction, de la division et de l'exponentiation.

Les expressions algébriques contenant des opérations d'extraction de la racine d'une variable ou d'élévation d'une variable à une puissance rationnelle qui n'est pas un nombre entier sont dites irrationnelles par rapport à cette variable.

Une transformation identitaire d'une expression donnée est le remplacement d'une expression par une autre qui lui est identiquement égale sur un certain ensemble.

Les faits théoriques suivants sous-tendent des transformations identiques d'expressions rationnelles et irrationnelles.

1. Propriétés des degrés avec un exposant entier :

, n SUR; UN 1=UN;

, n SUR, UN¹0; UN 0=1, UN¹0;

, UN¹0;

, UN¹0;

, UN¹0;

, UN¹0, b¹0;

, UN¹0, b¹0.

2. Formules de multiplication abrégées :

Où UN, b, Avec– des nombres réels ;

Où UN¹0, X 1 et X 2 – racines de l'équation .

3. La propriété principale des fractions et des actions sur les fractions :

, Où b¹0, Avec¹0;

; ;

4. Définition d'une racine arithmétique et de ses propriétés :

; , b#0 ; https://pandia.ru/text/80/197/images/image026_24.gif" width="84" height="32">; ; ,

Où UN, b– des nombres non négatifs, n SUR, n³2, m SUR, m³2.

1. Types d'exercices de conversion d'expression

Exister Divers types exercices sur les transformations identiques d'expressions. Premier type: La conversion à effectuer est explicitement spécifiée.

Par exemple.

1. Représentez-le comme un polynôme.

Lors de cette transformation, nous avons utilisé les règles de multiplication et de soustraction des polynômes, la formule de multiplication abrégée et la réduction de termes similaires.

2. Tenez compte de : .

Lors de la transformation, nous avons utilisé la règle consistant à placer le facteur commun entre parenthèses et 2 formules de multiplication abrégées.

3. Réduisez la fraction :

.

Lors de la transformation, nous avons utilisé la suppression du facteur commun des parenthèses, les lois commutatives et contractiles, 2 formules de multiplication abrégées et les opérations sur les puissances.

4. Supprimez le facteur sous le signe racine si UN³0, b³0, Avec³0 : https://pandia.ru/text/80/197/images/image036_17.gif" width="432" height="27">

Nous avons utilisé les règles des actions sur les racines et la définition du module d'un nombre.

5. Éliminez l'irrationalité dans le dénominateur d'une fraction. .

Deuxième type les exercices sont des exercices dans lesquels la transformation principale à effectuer est clairement indiquée. Dans de tels exercices, l'exigence est généralement formulée sous l'une des formes suivantes : simplifier l'expression, calculer. Lors de l'exécution de tels exercices, il faut tout d'abord identifier quelles transformations et dans quel ordre doivent être effectuées pour que l'expression prenne une forme plus compacte que celle donnée, ou qu'un résultat numérique soit obtenu.

Par exemple

6. Simplifiez l'expression :

Solution:

.

Règles utilisées pour opérer des fractions algébriques et des formules de multiplication abrégées.

7. Simplifiez l'expression :

.

Si UN³0, b³0, UN¹ b.

Nous avons utilisé des formules de multiplication abrégées, des règles pour additionner des fractions et multiplier des expressions irrationnelles, l'identité https://pandia.ru/text/80/197/images/image049_15.gif" width="203" height="29">.

Nous avons utilisé l'opération de sélection d'un carré complet, l'identité https://pandia.ru/text/80/197/images/image053_11.gif" width="132 height=21" height="21">, si .

Preuve:

Depuis , alors et ou ou ou , c'est-à-dire .

Nous avons utilisé la condition et la formule pour la somme des cubes.

Il convient de garder à l'esprit que les conditions reliant les variables peuvent également être spécifiées dans les exercices des deux premiers types.

Par exemple.

10. Trouvez si .

L'article révèle le sens des expressions irrationnelles et des transformations qui les accompagnent. Considérons le concept même d'expressions irrationnelles, de transformation et d'expressions caractéristiques.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Que sont les expressions irrationnelles ?

Lors de l'introduction des racines à l'école, nous étudions la notion d'expressions irrationnelles. De telles expressions sont étroitement liées aux racines.

Définition 1

Expressions irrationnelles sont des expressions qui ont une racine. Autrement dit, ce sont des expressions qui comportent des radicaux.

Basé sur cette définition, nous avons que x - 1, 8 3 3 6 - 1 2 3, 7 - 4 3 (2 + 3) , 4 a 2 d 5 : d 9 2 a 3 5 sont toutes des expressions de type irrationnel.

En considérant l'expression x · x - 7 · x + 7 x + 3 2 · x - 8 3, nous constatons que l'expression est rationnelle. Les expressions rationnelles incluent les polynômes et fractions algébriques. Les irrationnels incluent le travail avec des expressions logarithmiques ou des expressions radicales.

Principaux types de transformations d'expressions irrationnelles

Lors du calcul de telles expressions, il faut faire attention au DZ. Souvent, ils nécessitent des transformations supplémentaires sous la forme de parenthèses ouvrantes, rassemblant des membres, des groupements similaires, etc. La base de telles transformations réside dans les opérations avec les nombres. Les transformations d'expressions irrationnelles obéissent à un ordre strict.

Exemple 1

Transformez l'expression 9 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3 .

Solution

Il faut remplacer le chiffre 9 par une expression contenant la racine. Ensuite, nous obtenons cela

81 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = = 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3

L'expression résultante a des termes similaires, effectuons donc la réduction et le regroupement. On a

9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = = 9 - 2 + 1 + 3 3 + 4 3 3 - 2 3 3 = = 8 + 3 3 3
Répondre: 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = 8 + 3 3 3

Exemple 2

Présentez l'expression x + 3 5 2 - 2 · x + 3 5 + 1 - 9 comme un produit de deux irrationnels à l'aide de formules de multiplication abrégées.

Solutions

x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 1 2 - 9

On représente 9 sous la forme 3 2, et on applique la formule de la différence des carrés :

x + 3 5 - 1 2 - 9 = x + 3 5 - 1 2 - 3 2 = = x + 3 5 - 1 - 3 x + 3 5 - 1 + 3 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2

Le résultat de transformations identiques a conduit au produit de deux expressions rationnelles qu'il fallait trouver.

Répondre:

x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2

Vous pouvez effectuer un certain nombre d'autres transformations qui s'appliquent aux expressions irrationnelles.

Conversion d'une expression radicale

L'important est que l'expression sous le signe racine puisse être remplacée par une autre qui lui est identiquement égale. Cet énoncé permet de travailler avec une expression radicale. Par exemple, 1 + 6 peut être remplacé par 7 ou 2 · a 5 4 - 6 par 2 · a 4 · a 4 - 6 . Ils sont identiques à l’identique, le remplacement est donc logique.

Lorsqu'il n'y a pas de a 1 différent de a, où une inégalité de la forme a n = a 1 n est valable, alors une telle égalité n'est possible que pour a = a 1. Les valeurs de ces expressions sont égales à toutes les valeurs des variables.

Utilisation des propriétés racine

Les propriétés des racines sont utilisées pour simplifier les expressions. Pour appliquer la propriété a · b = a · b, où a ≥ 0, b ≥ 0, alors à partir de la forme irrationnelle 1 + 3 · 12 peut devenir identiquement égal à 1 + 3 · 12. Propriété. . . une n k n 2 n 1 = une n 1 · n 2 · , . . . , · n k , où a ≥ 0 signifie que x 2 + 4 4 3 peut s'écrire sous la forme x 2 + 4 24 .

Il existe certaines nuances lors de la conversion d'expressions radicales. S'il existe une expression, alors - 7 - 81 4 = - 7 4 - 81 4 nous ne pouvons pas l'écrire, puisque la formule a b n = a n b n ne sert que pour a non négatif et b positif. Si la propriété est appliquée correctement, alors le résultat sera une expression de la forme 7 4 81 4 .

Pour une transformation correcte, des transformations d'expressions irrationnelles utilisant les propriétés des racines sont utilisées.

Saisir un multiplicateur sous le signe de la racine

Placer sous le signe racine– signifie remplacer l'expression B · C n , et B et C sont des nombres ou des expressions, où n est entier naturel, qui est supérieur à 1, est égal à une expression qui ressemble à B n · C n ou - B n · C n .

Si nous simplifions l'expression de la forme 2 x 3, alors après l'avoir ajoutée à la racine, nous obtenons ce 2 3 x 3. De telles transformations ne sont possibles qu'après une étude détaillée des règles d'introduction d'un multiplicateur sous le signe racine.

Supprimer le multiplicateur sous le signe racine

S'il existe une expression de la forme B n · C n , alors elle est réduite à la forme B · C n , où il y a des n impairs , qui prennent la forme B · C n avec n pair , B et C étant des nombres et des expressions.

Autrement dit, si nous prenons une expression irrationnelle de la forme 2 3 x 3, supprimons le facteur sous la racine, nous obtenons alors l'expression 2 x 3. Ou x + 1 2 · 7 donnera une expression de la forme x + 1 · 7, qui a une autre notation de la forme x + 1 · 7.

Il est nécessaire de supprimer le multiplicateur sous la racine pour simplifier l'expression et la convertir rapidement.

Conversion de fractions contenant des racines

Une expression irrationnelle peut être soit un nombre naturel, soit une fraction. Pour convertir des expressions fractionnaires, faites très attention à son dénominateur. Si l'on prend une fraction de la forme (2 + 3) x 4 x 2 + 5 3, alors le numérateur prendra la forme 5 x 4, et, en utilisant les propriétés des racines, on constate que le dénominateur deviendra x 2 + 5 6. La fraction originale peut s'écrire 5 x 4 x 2 + 5 6.

Il faut faire attention au fait qu'il faut changer le signe uniquement du numérateur ou uniquement du dénominateur. Nous obtenons cela

X + 2 x - 3 x 2 + 7 4 = x + 2 x - (- 3 x 2 + 7 4) = x + 2 x 3 x 2 - 7 4

La réduction d'une fraction est le plus souvent utilisée pour simplifier. Nous obtenons cela

3 · x + 4 3 - 1 · x x + 4 3 - 1 3 réduire de x + 4 3 - 1 . On obtient l'expression 3 x x + 4 3 - 1 2.

Avant réduction, il est nécessaire d'effectuer des transformations qui simplifient l'expression et permettent de factoriser une expression complexe. Les formules de multiplication abrégées sont le plus souvent utilisées.

Si nous prenons une fraction de la forme 2 · x - y x + y, alors il est nécessaire d'introduire de nouvelles variables u = x et v = x, alors l'expression donnée changera de forme et deviendra 2 · u 2 - v 2 u + v. Le numérateur doit être décomposé en polynômes selon la formule, on obtient alors cela

2 · u 2 - v 2 u + v = 2 · (u - v) · u + v u + v = 2 · u - v . Après avoir effectué la substitution inverse, nous arrivons à la forme 2 x - y, qui est égale à celle d'origine.

La réduction à un nouveau dénominateur est autorisée, il est alors nécessaire de multiplier le numérateur par un facteur supplémentaire. Si nous prenons une fraction de la forme x 3 - 1 0, 5 · x, alors nous la réduisons au dénominateur x. pour ce faire, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par l'expression 2 x, on obtient alors l'expression x 3 - 1 0, 5 x = 2 x x x 3 - 1 0, 5 x 2 x = 2 x x 3 - 1 x .

Réduire des fractions ou en apporter des similaires n'est nécessaire que sur l'ODZ de la fraction spécifiée. Lorsque nous multiplions le numérateur et le dénominateur par une expression irrationnelle, nous constatons que nous nous débarrassons de l’irrationalité du dénominateur.

Se débarrasser de l'irrationalité au dénominateur

Lorsqu’une expression se débarrasse de la racine du dénominateur par transformation, cela s’appelle se débarrasser de l’irrationalité. Regardons l'exemple d'une fraction de la forme x 3 3. Après s'être débarrassé de l'irrationalité, on obtient une nouvelle fraction de la forme 9 3 x 3.

Transition des racines aux pouvoirs

Des transitions des racines aux pouvoirs sont nécessaires pour transformer rapidement les expressions irrationnelles. Si l'on considère l'égalité a m n = a m n , nous pouvons voir que son utilisation est possible lorsque a est un nombre positif, m est un entier et n est un nombre naturel. Si nous considérons l'expression 5 - 2 3, alors sinon nous avons le droit de l'écrire sous la forme 5 - 2 3. Ces expressions sont équivalentes.

Lorsque la racine contient un nombre négatif ou un nombre avec des variables, alors la formule a m n = a m n n'est pas toujours applicable. Si vous devez remplacer ces racines (- 8) 3 5 et (- 16) 2 4 par des puissances, alors nous obtenons que - 8 3 5 et - 16 2 4 par la formule a m n = a m n nous ne travaillons pas avec un a négatif. Afin d'analyser en détail le thème des expressions radicales et de leurs simplifications, il est nécessaire d'étudier l'article sur le passage des racines aux pouvoirs et vice-versa. Il faut rappeler que la formule a m n = a m n n'est pas applicable à toutes les expressions de ce type. Se débarrasser de l'irrationalité contribue à simplifier davantage l'expression, sa transformation et sa solution.

Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez la surligner et appuyer sur Ctrl+Entrée

Le maintien de votre vie privée est important pour nous. Pour cette raison, nous avons développé une politique de confidentialité qui décrit la manière dont nous utilisons et stockons vos informations. Veuillez consulter nos pratiques de confidentialité et faites-nous savoir si vous avez des questions.

Collecte et utilisation des informations personnelles

Les informations personnelles font référence aux données qui peuvent être utilisées pour identifier ou contacter une personne spécifique.

Il peut vous être demandé de fournir vos informations personnelles à tout moment lorsque vous nous contactez.

Vous trouverez ci-dessous quelques exemples des types d'informations personnelles que nous pouvons collecter et de la manière dont nous pouvons utiliser ces informations.

Quelles informations personnelles collectons-nous :

• Lorsque vous soumettez une candidature sur le site, nous pouvons collecter diverses informations, notamment votre nom, votre numéro de téléphone, votre adresse e-mail, etc.

Comment utilisons-nous vos informations personnelles:

• Les informations personnelles que nous collectons nous permettent de vous contacter avec des offres uniques, des promotions et d'autres événements et événements à venir.
• De temps en temps, nous pouvons utiliser vos informations personnelles pour envoyer des notifications et des communications importantes.
• Nous pouvons également utiliser les informations personnelles à des fins internes, telles que la réalisation d'audits, d'analyses de données et diverses recherches afin d'améliorer les services que nous fournissons et de vous fournir des recommandations concernant nos services.
• Si vous participez à un tirage au sort, un concours ou une promotion similaire, nous pouvons utiliser les informations que vous fournissez pour administrer ces programmes.

Divulgation d'informations à des tiers

Nous ne divulguons pas les informations reçues de votre part à des tiers.

Des exceptions:

• Si nécessaire, conformément à la loi, procédure judiciaire, dans le cadre de procédures judiciaires et/ou sur la base de demandes publiques ou de demandes d'agences gouvernementales de la Fédération de Russie - pour divulguer vos informations personnelles. Nous pouvons également divulguer des informations vous concernant si nous déterminons qu'une telle divulgation est nécessaire ou appropriée à des fins de sécurité, d'application de la loi ou à d'autres fins d'importance publique.
• En cas de réorganisation, de fusion ou de vente, nous pouvons transférer les informations personnelles que nous collectons au tiers successeur concerné.

Protection des informations personnelles

Nous prenons des précautions - notamment administratives, techniques et physiques - pour protéger vos informations personnelles contre la perte, le vol et l'utilisation abusive, ainsi que contre l'accès, la divulgation, l'altération et la destruction non autorisés.

Respecter votre vie privée au niveau de l'entreprise

Pour garantir la sécurité de vos informations personnelles, nous communiquons les normes de confidentialité et de sécurité à nos employés et appliquons strictement les pratiques de confidentialité.

Les propriétés des racines sont à la base des deux transformations suivantes, appelées les amener sous le signe racine et les retirer du signe racine, auxquelles nous nous tournons maintenant.

Saisir un multiplicateur sous le signe de la racine

Introduire un facteur sous le signe implique de remplacer l'expression , où B et C sont des nombres ou des expressions, et n est un nombre naturel supérieur à un, par une expression identiquement égale de la forme ou .

Par exemple, après avoir introduit un facteur 2 sous le signe racine, une expression irrationnelle prend la forme .

Les fondements théoriques de cette transformation, les règles de sa mise en œuvre, ainsi que des solutions à divers exemples typiques sont donnés dans l'article présentant un multiplicateur sous le signe de la racine.

Supprimer le multiplicateur sous le signe racine

Une transformation, dans un certain sens, à l'opposé de l'introduction d'un facteur sous le signe racine, consiste à supprimer le facteur sous le signe racine. Cela consiste à représenter la racine comme un produit pour n impair ou comme un produit pour n pair, où B et C sont des nombres ou des expressions.

Pour un exemple, revenons au paragraphe précédent : l'expression irrationnelle, après avoir supprimé le facteur sous le signe racine, prend la forme . Autre exemple : supprimer le facteur sous le signe racine dans l'expression donne le produit, qui peut être réécrit sous la forme .

Sur quoi repose cette transformation, et selon quelles règles elle s'effectue, nous examinerons dans un article séparé la suppression du multiplicateur sous le signe de la racine. Nous y donnerons également des solutions à des exemples et énumérerons des moyens de réduire une expression radicale à une forme pratique pour la multiplication.

Conversion de fractions contenant des racines

Les expressions irrationnelles peuvent contenir des fractions dont les racines sont au numérateur et au dénominateur. Avec de telles fractions, vous pouvez effectuer n'importe quelle opération de base transformations identitaires de fractions.

Premièrement, rien ne vous empêche de travailler avec des expressions au numérateur et au dénominateur. À titre d’exemple, considérons la fraction. L'expression irrationnelle au numérateur est évidemment identiquement égale à , et en se tournant vers les propriétés des racines, l'expression au dénominateur peut être remplacée par la racine . En conséquence, la fraction originale est convertie sous la forme .

Deuxièmement, vous pouvez changer le signe devant une fraction en changeant le signe du numérateur ou du dénominateur. Par exemple, les transformations suivantes d'une expression irrationnelle ont lieu : .

Troisièmement, il est parfois possible et conseillé de réduire une fraction. Par exemple, comment se priver du plaisir de réduire une fraction à l'expression irrationnelle, on obtient donc .

Il est clair que dans de nombreux cas, avant de réduire une fraction, il faut prendre en compte les expressions de son numérateur et de son dénominateur, ce qui, dans des cas simples, peut être réalisé au moyen de formules de multiplication abrégées. Et parfois, il est utile de réduire une fraction en remplaçant une variable, ce qui vous permet de passer de la fraction originale irrationnelle à une fraction rationnelle, avec laquelle il est plus confortable et plus familier de travailler.

Par exemple, prenons l'expression . Introduisons de nouvelles variables et, dans ces variables, l'expression originale a la forme . Ayant joué au numérateur