Rezolvarea expresiilor iraționale cu rădăcini. Transformarea expresiilor iraționale

Expresii iraționale și transformările lor

Ultima dată ne-am amintit (sau am aflat - cum le place cuiva) ce este , a învățat cum să extragă astfel de rădăcini, a demontat principalele proprietăți ale rădăcinilor bucată cu bucată și a decis să nu facă exemple complexe cu rădăcini.

Această lecție va fi o continuare a celei anterioare și va fi dedicată transformării unei mari varietăți de expresii care conțin tot felul de rădăcini. Astfel de expresii sunt numite iraţional. Aici vor exista expresii cu litere, și condiții suplimentare, și scăparea de iraționalitate în fracții și câteva trucuri avansate în lucrul cu rădăcini. Acele tehnici care vor fi luate în considerare în această lecție vor deveni o bază bună pentru rezolvarea problemelor Examenului de stat unificat (și nu numai) de aproape orice nivel de complexitate. Asadar, haideti sa începem.

În primul rând, voi duplica aici formulele și proprietățile de bază ale rădăcinilor. Pentru a nu sari de la subiect la subiect. Aici sunt ei:

la

Aceste formule trebuie să fie cunoscute și să poată fi aplicate. Și în ambele direcții - atât de la stânga la dreapta, cât și de la dreapta la stânga. Pe ele se bazează soluția majorității sarcinilor cu rădăcini de orice grad de complexitate. Să începem cu cel mai simplu - cu aplicarea directă a formulelor sau a combinațiilor acestora.

Aplicare ușoară a formulelor

În această parte, vor fi luate în considerare exemple simple și inofensive - fără litere, condiții suplimentare și alte trucuri. Cu toate acestea, chiar și în ele, de regulă, există opțiuni. Și cu cât exemplul este mai elegant, cu atât mai multe astfel de opțiuni. Și pentru un student fără experiență apare problema principală - de unde să începi? Răspunsul aici este simplu - nu știi ce să faci, fă ce poți. Dacă acțiunile tale ar merge în pace și armonie cu regulile matematicii și nu le-ar contrazice.) De exemplu, o astfel de sarcină:

Calculati:

Chiar și într-un exemplu atât de simplu, sunt posibile mai multe căi către răspuns.

Primul este să înmulți pur și simplu rădăcinile cu prima proprietate și să extragi rădăcina din rezultat:

A doua opțiune este aceasta: nu atingeți, lucrați cu . Scoatem factorul de sub semnul rădăcinii și apoi - conform primei proprietăți. Ca aceasta:

Puteți decide ce doriți. În oricare dintre opțiuni, răspunsul este unu - opt. De exemplu, îmi este mai ușor să înmulțesc 4 și 128 și să obțin 512, iar rădăcina cubă este extrasă perfect din acest număr. Dacă cineva nu își amintește că 512 este 8 cuburi, atunci nu contează: puteți scrie 512 ca 2 9 (primele 10 puteri a lui doi, sper că vă amintiți?) Și folosind formula rădăcinii gradului:

Alt exemplu.

Calculati: .

Dacă lucrați la prima proprietate (conduceți totul sub o singură rădăcină), atunci obțineți un număr mare, din care este apoi extrasă rădăcina - de asemenea, nu zahăr. Și nu este un fapt că va fi extras uniform.) Prin urmare, este util aici să scoateți factorii de sub rădăcina numărului. Și duceți-l la maxim:

Și acum totul este bine:

Rămâne să notăm cele opt și cele două sub o rădăcină (după prima proprietate) și - cazul este gata. :)

Acum să adăugăm câteva fracții.

Calculati:

Exemplul este destul de primitiv, dar are și opțiuni. Puteți folosi multiplicatorul pentru a converti numărătorul și a reduce cu numitorul:

Și puteți utiliza imediat formula pentru împărțirea rădăcinilor:

După cum puteți vedea, în acest fel și în altul - totul este corect.) Dacă nu te împiedici pe jumătate și nu faci o greșeală. Dar unde este eroarea aici...

Să luăm acum în considerare cel mai recent exemplu de teme pentru acasă ultima lectie:

Simplifica:

Un set complet de neconceput de rădăcini și chiar imbricate. Cum să fii? Principalul lucru este să nu-ți fie frică! Aici observăm mai întâi sub rădăcinile numerelor 2, 4 și 32 - puterile a doi. Primul lucru de făcut este să aduci toate numerele la doi: la urma urmei, cu atât mai mult aceleasi numereîn exemplu, și cu cât sunt mai puține diferite, cu atât mai ușor.) Să începem separat cu primul multiplicator:

Numărul poate fi simplificat prin reducerea celor două sub rădăcină cu cele patru în exponentul rădăcinii:

Acum, în funcție de rădăcina produsului:

.

În număr scoatem zeul pentru semnul rădăcinii:

Și ne ocupăm de expresia conform formulei rădăcinii de la rădăcină:

Deci, primul factor va fi scris astfel:

Rădăcinile cuibărite au dispărut, numerele au devenit mai mici, ceea ce este deja plăcut. Doar că rădăcinile sunt diferite, dar deocamdată o vom lăsa așa. Va fi necesar - ne vom converti la același. Luăm al doilea factor.)

Transformăm al doilea factor în același mod, după formula rădăcinii din produs și rădăcinii din rădăcină. Acolo unde este necesar, reducem indicatorii conform celei de-a cincea formule:

Lipim totul în exemplul original și obținem:

Am primit perfect produsul unui grup întreg rădăcini diferite. Ar fi bine să le aducem pe toate la un singur indicator și apoi vom vedea. Ei bine, este foarte posibil. Cel mai mare dintre indicii rădăcinii este 12, iar restul - 2, 3, 4, 6 - sunt divizori ai numărului 12. Prin urmare, vom aduce toate rădăcinile conform celei de-a cincea proprietăți la un indicator - la 12:

Numărăm și obținem:

Nu am primit un număr frumos, dar e în regulă. Am fost întrebați simplifica expresie, nu numara. Simplificat? Cu siguranță! Iar tipul de răspuns (întreg sau nu) nu joacă niciun rol aici.

Unele formule de adunare/scădere și de înmulțire prescurtată

Din pacate, formule generale Pentru adunarea și scăderea rădăcinilor nu la matematică. Cu toate acestea, în sarcini foarte des aceste acțiuni se găsesc cu rădăcini. Aici este necesar să înțelegem că orice rădăcină sunt exact aceleași pictograme matematice ca literele din algebră.) Și aceleași tehnici și reguli se aplică rădăcinilor ca și literelor - paranteze de deschidere, aducând altele similare, formule de înmulțire abreviate etc. P.

De exemplu, este clar pentru toată lumea că . Similar aceeași Rădăcinile pot fi ușor adăugate/scăzute între ele:

Dacă rădăcinile sunt diferite, atunci căutăm o modalitate de a le face la fel - prin adăugarea/eliminarea unui factor sau prin a cincea proprietate. Dacă e bine, nu se simplifică în niciun fel, atunci, poate, transformările sunt mai complicate.

Să ne uităm la primul exemplu.

Aflați valoarea expresiei: .

Toate cele trei rădăcini, deși cubice, sunt diferit numere. Ele nu sunt extrase pur și se adaugă/scad una de la alta. Prin urmare, aplicarea formulelor generale nu funcționează aici. Cum să fii? Și să scoatem factorii din fiecare rădăcină. În orice caz, nu va fi mai rău.) În plus, nu există, de fapt, alte opțiuni:

Acesta este, .

Asta e toata solutia. Aici ne-am mutat de la rădăcini diferite la aceleași cu ajutorul lui scotând multiplicatorul de sub rădăcină. Și apoi au adus doar altele asemănătoare.) Noi decidem mai departe.

Găsiți valoarea unei expresii:

Cu o rădăcină de șaptesprezece, cu siguranță nu poți face nimic în privința asta. Lucrăm conform primei proprietăți - facem o rădăcină din produsul a două rădăcini:

Acum să aruncăm o privire mai atentă. Ce avem sub mare rădăcină cubă? Diferența este kva.. Ei bine, bineînțeles! Diferența pătrată:

Acum rămâne doar să extragem rădăcina: .

Calculati:

Aici trebuie să dai dovadă de ingeniozitate matematică.) Gândim aproximativ în felul următor: „Deci, în exemplu, produsul rădăcinilor. Sub o rădăcină este diferența, iar sub cealaltă este suma. Foarte asemănătoare cu formula diferenței de pătrate. Dar... Rădăcinile sunt diferite! Primul este pătrat, iar al doilea este de gradul al patrulea... Ar fi bine să le facem la fel. Prin a cincea proprietate, se poate ușor de la rădăcină pătrată face o a patra rădăcină. Pentru a face acest lucru, este suficient să pătrați expresia rădăcină.

Dacă te-ai gândit la același lucru, atunci ești la jumătatea drumului spre succes. Destul de bine! Să transformăm primul factor în a patra rădăcină. Ca aceasta:

Acum, nu se poate face nimic, dar trebuie să vă amintiți formula pentru pătratul diferenței. Doar atunci când este aplicat pe rădăcini. Şi ce dacă? De ce sunt rădăcinile mai rele decât alte numere sau expresii?! Construim:

„Hmm, ei bine, l-au construit, deci ce? Hreanul cu ridichi nu este mai dulce. Stop! Și dacă le scoți pe cele patru de sub rădăcină? Atunci va apărea aceeași expresie ca și sub a doua rădăcină, doar cu un minus, și tocmai asta încercăm să realizăm!

Dreapta! Să obținem patru:

.

Și acum - o chestiune de tehnologie:

Așa se dezvăluie exemplele complexe.) Acum este timpul să exersăm cu fracțiile.

Calculati:

Este clar că este necesară transformarea numărătorului. Cum? După formula pătratului sumei, desigur. Avem alte variante? :) Pătratarea, scoaterea multiplicatorilor, reducerea indicatorilor (unde este necesar):

Cum! Am primit exact numitorul fracției noastre.) Deci, întreaga fracție, evident, este egală cu unu:

Alt exemplu. Abia acum la o altă formulă pentru înmulțirea prescurtată.)

Calculati:

Este clar că pătratul diferenței trebuie aplicat în afaceri. Scriem separat numitorul și - să mergem!

Scoatem multiplicatorii de sub rădăcini:

Prin urmare,

Acum totul rău este superb redus și rezultă:

Ei bine, să trecem la următorul nivel. :)

Scrisori și termeni suplimentari

Expresiile de litere cu rădăcini sunt un lucru mai complicat decât expresii numerice, și este o sursă inepuizabilă de erori enervante și foarte grosolane. Să blocăm această sursă.) Apar erori din cauza faptului că în astfel de sarcini apar adesea numere și expresii negative. Ele ne sunt fie date direct în sarcină, fie ascunse în litere și termeni suplimentari. Și în procesul de lucru cu rădăcinile, trebuie să ne amintim constant că în rădăcini chiar gradul atât sub rădăcina însăși cât și ca urmare a extragerii rădăcinii ar trebui să fie expresie nenegativă. Formula cheie în sarcinile acestui paragraf va fi a patra formulă:

Cu rădăcini de un grad ciudat, nu există întrebări - totul este întotdeauna extras acolo cu un plus, cu un minus. Și minus, dacă este ceva, este adus înainte. Ne vom ocupa imediat de rădăcini chiar grade.) De exemplu, o sarcină atât de scurtă.

Simplifica: , Dacă .

S-ar părea că totul este simplu. Se va dovedi doar x.) Dar de ce atunci condiție suplimentară ? În astfel de cazuri, este util să estimați după cifre. Pur pentru mine.) Dacă, atunci x este un număr negativ. Minus trei, de exemplu. Sau minus patruzeci. Lăsa . Poți ridica minus trei la a patra putere? Cu siguranță! Se dovedește 81. Este posibil să extragi rădăcina gradului al patrulea din 81? De ce nu? Poate sa! Ia trei. Acum să analizăm întregul nostru lanț:

Ce vedem? Intrarea a fost negativă, iar ieșirea a fost pozitivă. Era minus trei, acum este plus trei.) Să revenim la litere. Fără îndoială, modulo va fi exact X, dar numai X însuși este cu un minus (prin condiție!), Iar rezultatul extracției (datorită rădăcinii aritmetice!) Ar trebui să fie cu un plus. Cum să obții un plus? Foarte simplu! Pentru a face acest lucru, este suficient să puneți un minus înaintea unui număr evident negativ.) Și solutie corecta arata asa:

Apropo, dacă am folosi formula, atunci, amintindu-ne definiția modulului, am obține imediat răspunsul corect. Deoarece

|x| = -x la x<0.

Scoateți factorul din semnul rădăcină: , Unde .

Prima privire este asupra expresiei rădăcină. Totul este OK aici. În orice caz, nu va fi negativ. Începem să extragem. Conform formulei rădăcinii produsului, extragem rădăcina din fiecare factor:

De unde au venit modulele cred că nu mai este necesar să explicăm.) Și acum analizăm fiecare dintre module.

Multiplicator | A | așa că o lăsăm neschimbată: nu avem nicio condiție asupra scrisoriiA. Nu știm dacă este pozitiv sau negativ. Următorul modul |b 2 | poate fi omis cu siguranță: în orice caz, expresiab 2 nenegativ. Și ce zici de |c 3 | - aceasta este deja o problemă.) Dacă, apoi și c 3 <0. Стало быть, модуль надо раскрыть cu un minus: | c 3 | = - c 3 . Deci soluția corectă ar fi:

Și acum - sarcina inversă. Nu este cel mai ușor, te avertizez imediat!

Introduceți un factor sub semnul rădăcinii: .

Dacă scrieți imediat soluția așa

atunci tu a căzut într-o capcană. Acest decizie gresita! Ce s-a întâmplat?

Să aruncăm o privire la expresia de sub rădăcină. Sub rădăcina gradului al patrulea, după cum știm, ar trebui să fie nenegativ expresie. În caz contrar, rădăcina nu are sens.) Prin urmare, Și aceasta, la rândul său, înseamnă că și, prin urmare, este ea însăși nepozitivă: .

Și greșeala aici este că aducem sub rădăcină nepozitiv număr: a patra putere o transformă în nenegativși se obține un rezultat incorect - un minus deliberat în stânga și deja un plus în dreapta. Și aduce sub rădăcină chiar diplomă avem doar dreptul nenegativ numere sau expresii. Și lăsați minusul, dacă există, în fața rădăcinii.) Cum putem selecta un factor nenegativ în număr, știind că este în sine negativă? Da, exact la fel! Pune un minus.) Și ca să nu se fi schimbat nimic, compensează-l cu un alt minus. Ca aceasta:

Si acum nenegativ numărul (-b) este introdus calm sub rădăcină conform tuturor regulilor:

Acest exemplu arată clar că, spre deosebire de alte ramuri ale matematicii, răspunsul corect în rădăcini nu decurge întotdeauna automat din formule. Trebuie să te gândești și să iei personal decizia corectă.) Ar trebui să fii mai atent cu semnele de intrare ecuații și inegalități iraționale.

Ne ocupăm de următoarea tehnică importantă în lucrul cu rădăcini - scăpând de iraționalitate.

A scăpa de iraționalitatea în fracții

Dacă există rădăcini în expresie, atunci, permiteți-mi să vă reamintesc, o astfel de expresie se numește exprimare cu iraționalitate. În unele cazuri, este util să scapi de această iraționalitate (adică, rădăcini). Cum poți elimina rădăcina? Rădăcina noastră dispare când... ridicăm la putere. Cu un exponent fie egal cu exponentul rădăcinii, fie un multiplu al acestuia. Dar, dacă ridicăm rădăcina la o putere (adică, înmulțim rădăcina cu ea însăși de numărul necesar de ori), atunci expresia se va schimba de la aceasta. Nu e bine.) Cu toate acestea, la matematică există subiecte în care înmulțirea este destul de nedureroasă. În fracții, de exemplu. Conform proprietății de bază a unei fracții, dacă numărătorul și numitorul sunt înmulțite (împărțite) cu același număr, atunci valoarea fracției nu se va modifica.

Să presupunem că ni se dă următoarea fracție:

Este posibil să scapi de rădăcina din numitor? Poate sa! Pentru a face acest lucru, rădăcina trebuie tăiată în cuburi. Ce ne lipsește la numitor pentru cubul plin? Ne lipsește multiplicatorul, adică. Deci înmulțim numărătorul și numitorul fracției cu

Rădăcina din numitor a dispărut. Dar... a apărut la numărător. Nu este nimic de făcut, așa este soarta.) Acest lucru nu mai este important pentru noi: ni s-a cerut să eliberăm numitorul de la rădăcini. Eliberată? Fara indoiala.)

Apropo, cei care sunt deja în dezacord cu trigonometria pot fi atenți la faptul că în unele manuale și tabele, de exemplu, ele denotă diferit: undeva, dar undeva. Întrebarea este ce este corect? Răspuns: totul este corect!) Dacă ghiciți astaeste pur și simplu rezultatul eliberării de iraționalitate în numitorul fracției. :)

De ce ar trebui să ne eliberăm de iraționalitate în fracțiuni? Ce diferență are dacă rădăcina este la numărător sau la numitor? Calculatorul va calcula oricum totul.) Ei bine, pentru cei care nu se despart de calculator, practic nu există nicio diferență ... Dar, chiar și numărând pe calculator, puteți acorda atenție faptului că divide pe întreg numărul este întotdeauna mai convenabil și mai rapid decât iraţional. Și voi păstra tăcerea despre împărțirea într-o coloană.)

Următorul exemplu va confirma doar cuvintele mele.

Cum se elimină aici rădăcina pătrată din numitor? Dacă numărătorul și numitorul sunt înmulțite cu expresia, atunci numitorul va fi pătratul sumei. Suma pătratelor primului și celui de-al doilea număr ne va da doar numere fără rădăcini, ceea ce este foarte plăcut. Totuși... va apărea produs dublu primul număr la al doilea, unde rădăcina lui trei va rămâne în continuare. Nu canalizează. Cum să fii? Ține minte o altă formulă minunată pentru înmulțirea prescurtată! Acolo unde nu există produse duble, ci doar pătrate:

O astfel de expresie, care, atunci când este înmulțită cu o sumă (sau diferență), duce la diferența de pătrate, numit si expresie conjugată. În exemplul nostru, expresia adjunctă va fi diferența. Deci înmulțim numărătorul și numitorul cu această diferență:

Ce se poate spune aici? Ca urmare a manipulărilor noastre, nu numai că rădăcina numitorului a dispărut, ci și fracția a dispărut în general! :) Chiar și cu un calculator, scăderea rădăcinii lui trei din trei este mai ușor decât numărarea unei fracții cu o rădăcină la numitor. Alt exemplu.

Scapă de iraționalitatea la numitorul unei fracții:

Cum să ieși aici? Formulele de înmulțire abreviată cu pătrate nu funcționează imediat - nu va fi posibilă eliminarea completă a rădăcinilor din cauza faptului că de data aceasta rădăcina noastră nu este pătrată, ci cub. Este necesar ca rădăcina să fie ridicată cumva într-un cub. Prin urmare, este necesar să se aplice unele dintre formulele cu cuburi. Ce? Să ne gândim. Numitorul este suma. Cum obținem rădăcina cubată? Înmulțit cu diferență incompletă la pătrat! Deci vom aplica formula sume de cuburi. Aceasta:

La fel de A avem trei, și ca b este rădăcina cubă a lui cinci:

Și din nou fracția a dispărut.) Asemenea situații, când, eliberată de iraționalitate în numitorul fracției, fracția în sine dispare complet împreună cu rădăcinile, sunt foarte frecvente. Cum vă place acest exemplu!

Calculati:

Încercați doar să adăugați aceste trei fracții! Fără greșeală! :) Un numitor comun valorează ceva. Dar dacă încercăm să scăpăm de iraționalitatea din numitorul fiecărei fracții? Ei bine, hai să încercăm:

Wow, ce interesant! Toate fracțiile au dispărut! Complet. Și acum exemplul este rezolvat în două puncte:

Simplu și elegant. Și fără calcule lungi și plictisitoare. :)

De aceea trebuie să se poată face operația de eliberare de iraționalitate în fracții. În astfel de exemple de lux, doar ea salvează, da.) Desigur, nimeni nu a anulat atenția. Există sarcini în care li se cere să scape de iraționalitate numărător. Aceste sarcini nu sunt diferite de cele luate în considerare, doar numărătorul este șters de rădăcini.)

Exemple mai complexe

Rămâne să luăm în considerare câteva tehnici speciale în lucrul cu rădăcini și să exersăm dezlegarea nu cele mai simple exemple. Și atunci informațiile primite vor fi deja suficiente pentru a rezolva sarcini cu rădăcini de orice nivel de complexitate. Deci - mergeți mai departe.) Mai întâi, să ne dăm seama ce să facem cu rădăcinile imbricate atunci când formula rădăcină de la rădăcină nu funcționează. De exemplu, iată un exemplu.

Calculati:

Rădăcina sub rădăcină ... În plus, sub rădăcini este suma sau diferența. Prin urmare, formula rădăcinii de la rădăcină (cu înmulțirea indicatorilor) este aici Aceasta nu funcționează. Deci trebuie făcut ceva expresii radicale R: Pur și simplu nu avem alte opțiuni. În astfel de exemple, cel mai adesea sub o rădăcină mare este criptată pătrat plin o anumită sumă. Sau diferențe. Și rădăcina pătratului este deja perfect extrasă! Și acum sarcina noastră este să o descifrăm.) O astfel de decriptare se realizează frumos sistem de ecuații. Acum puteți vedea singur.)

Deci, sub prima rădăcină avem această expresie:

Dacă nu ai ghicit? Sa verificam! Pătrat folosind formula sumei pătrate:

Așa este.) Dar... De unde am luat această expresie? Din cer?

Nu.) O să o coborâm un pic mai jos sincer. Folosind această expresie, arăt exact cum compilatorii de sarcini criptează astfel de pătrate. :) Ce este 54? Acest suma pătratelor primului și celui de-al doilea număr. Și, atenție, deja fără rădăcini! Dar rădăcina rămâne produs dublu, care în cazul nostru este egal cu . Prin urmare, dezlegarea unor astfel de exemple începe cu o căutare a unui produs dublu. Dacă te descurci cu selecția obișnuită. Și apropo, despre semne. Totul este simplu aici. Dacă înainte a dublat plus, atunci pătratul sumei. Dacă minus, atunci diferența.) Avem un plus - ceea ce înseamnă pătratul sumei.) Și acum - metoda analitică promisă de decodare. prin sistem.)

Deci, sub rădăcina noastră, expresia este clar (a+b) 2, iar sarcina noastră este să găsim AȘi b. În cazul nostru, suma pătratelor dă 54. Deci scriem:

Acum dublam produsul. Il avem. Deci scriem:

Avem următorul sistem:

Rezolvăm prin metoda obișnuită de substituție. Exprimăm din a doua ecuație, de exemplu, și înlocuim în prima:

Să rezolvăm prima ecuație:

A primit bi-pătrat ecuația pentruA . Considerăm discriminantul:

Mijloace,

Avem cât patru valori posibileA. Nu ne este frică. Acum vom elimina tot ce este de prisos.) Dacă acum calculăm valorile corespunzătoare pentru fiecare dintre cele patru valori găsite, vom obține patru soluții pentru sistemul nostru. Aici sunt ei:

Și atunci întrebarea este - care dintre soluții ni se potrivește? Să ne gândim. Soluțiile negative pot fi aruncate imediat: la pătrare, minusurile se vor „arde”, iar întreaga expresie radicală nu se va schimba în ansamblu.) Primele două opțiuni rămân. Le puteți alege complet arbitrar: suma nu se modifică oricum din rearanjarea termenilor.) Fie, de exemplu, , și .

În total, avem pătratul următoarei sume sub rădăcină:

Totul e clar.)

Nu degeaba descriu cursul soluției atât de detaliat. Pentru a clarifica modul în care are loc decriptarea.) Dar există o problemă. Metoda analitică de descifrare, deși fiabilă, este foarte lungă și greoaie: trebuie să rezolvați o ecuație biquadratică, să obțineți patru soluții ale sistemului și apoi să vă gândiți pe care să le alegeți... Deranjant? Sunt de acord, e greu. Această metodă funcționează impecabil în majoritatea acestor exemple. Cu toate acestea, este adesea grozav să reduceți munca și să găsiți ambele numere în mod creativ. Selectie.) Da, da! Acum, folosind exemplul celui de-al doilea termen (a doua rădăcină), voi arăta o modalitate mai simplă și mai rapidă de a selecta pătratul complet sub rădăcină.

Deci acum avem această rădăcină: .

Noi gândim așa: „Sub rădăcină este cel mai probabil un pătrat complet criptat. Timpii în fața unui minus dublat înseamnă pătratul diferenței. Suma pătratelor primului și celui de-al doilea număr ne dă numărul 54. Dar ce sunt aceste pătrate? 1 și 53? 49 și 5 ? Prea multe opțiuni... Nu, e mai bine să începi să te descurci cu un produs dublu. Al nostrupoate fi scris ca . Odată o lucrare dubla, apoi respingem imediat deuce. Apoi candidații pentru rol a și b rămân 7 și . Și brusc, împlinesc 14 și/2 ? Nu este exclus. Dar întotdeauna începem cu unul simplu! Deci, să , un . Să le verificăm pentru suma pătratelor:

S-a întâmplat! Deci expresia noastră rădăcină este de fapt pătratul diferenței:

Iată o astfel de lumină, ca să nu te încurci cu sistemul. Nu funcționează întotdeauna, dar în multe astfel de exemple este suficient. Deci, sub rădăcini sunt pătrate pline. Rămâne doar să extragi corect rădăcinile și să numărăm exemplul:

Și acum să analizăm o sarcină și mai non-standard în rădăcini.)

Demonstrați că numărul Aeste un număr întreg dacă .

Nimic nu se extrage direct, rădăcinile sunt cuibărite, și chiar de diferite grade... Coșmar! Cu toate acestea, sarcina are sens.) Prin urmare, există o cheie pentru soluția sa.) Și aici este cheia. Luați în considerare egalitatea noastră

Cum ecuația pentru A. Da Da! Ar fi bine să scapi de rădăcini. Rădăcinile noastre sunt cubice, așa că să ridicăm ambele părți ale ecuației la un cub. Conform formulei cub suma:

Cuburile și rădăcinile cubice se compensează reciproc, iar sub fiecare rădăcină mare luăm o paranteză din pătrat și transformăm produsul diferenței și sumei în diferența de pătrate:

Separat, calculăm diferența pătratelor de sub rădăcini:

Transformări identice de expresii este una dintre liniile de conținut ale cursului de matematică școlară. Transformările de identitate sunt utilizate pe scară largă în rezolvarea ecuațiilor, inegalităților, sistemelor de ecuații și inegalităților. În plus, transformările identice ale expresiilor contribuie la dezvoltarea ingeniozității, flexibilității și raționalității gândirii.

Materialele propuse sunt destinate elevilor din clasa a VIII-a și cuprind fundamentele teoretice transformări identice raţional şi expresii iraţionale, tipuri de sarcini pentru transformarea unor astfel de expresii și textul testului.

1. Baza teoretica transformări identice

Expresiile din algebră sunt înregistrări formate din numere și litere legate prin semne de acțiune.

https://pandia.ru/text/80/197/images/image002_92.gif" width="77" height="21 src=">.gif" width="20" height="21 src="> – expresii algebrice.

În funcție de operații, se disting expresii raționale și iraționale.

Expresiile algebrice se numesc raționale dacă, în raport cu literele incluse în ea A, b, Cu, … nu se efectuează alte operații cu excepția adunării, înmulțirii, scăderii, împărțirii și ridicării la o putere întreagă.

Expresiile algebrice care conțin operațiile de extragere a unei rădăcini dintr-o variabilă sau de ridicare a unei variabile la o putere rațională care nu este un număr întreg sunt numite iraționale în raport cu această variabilă.

Transformarea identitară a unei expresii date este înlocuirea unei expresii cu alta, identic egală cu ea pe o mulțime.

Următoarele fapte teoretice stau la baza transformărilor identice ale expresiilor raționale și iraționale.

1. Proprietățile gradelor cu exponent întreg:

, n PE; A 1=A;

, n PE, A¹0; A 0=1, A¹0;

, A¹0;

, A¹0;

, A¹0;

, A¹0, b¹0;

, A¹0, b¹0.

2. Formule de înmulțire abreviate:

Unde A, b, Cu- orice numere reale;

Unde A¹0, X 1 și X 2 - rădăcinile ecuației .

3. Principala proprietate a unei fracții și acțiuni asupra fracțiilor:

, Unde b¹0, Cu¹0;

; ;

4. Definiția rădăcinii aritmetice și proprietățile acesteia:

; , b¹0; https://pandia.ru/text/80/197/images/image026_24.gif" width="84" height="32">; ; ,

Unde A, b sunt numere nenegative n PE, n³2, m PE, m³2.

1. Tipuri de exerciții de transformare a expresiei

Exista Tipuri variate exerciţii privind transformările identice ale expresiilor. Primul tip: specifică în mod explicit conversia care trebuie efectuată.

De exemplu.

1. Prezentă ca polinom.

La efectuarea acestei transformări s-au folosit regulile de înmulțire și scădere de polinoame, formula de înmulțire prescurtată și reducerea termenilor similari.

2. Scoateți în considerare: .

La efectuarea transformării s-a folosit regula de a scoate factorul comun din paranteză și 2 formule de înmulțire prescurtate.

3. Reduceți fracția:

.

La efectuarea transformării am folosit parantezele factorului comun, legile deplasării și contracției, 2 formule de înmulțire prescurtată și acțiuni asupra puterilor.

4. Scoateți factorul de sub semnul rădăcinii dacă A³0, b³0, Cu³0: https://pandia.ru/text/80/197/images/image036_17.gif" width="432" height="27">

Am folosit regulile operațiilor pe rădăcini și definirea modulului unui număr.

5. Scăpați de iraționalitatea din numitorul unei fracții .

Al doilea tip exercițiile sunt exerciții în care este indicată în mod explicit transformarea principală care trebuie efectuată. În astfel de exerciții, cerința este de obicei formulată în una dintre următoarele forme: simplificați expresia, calculați. La efectuarea unor astfel de exerciții este necesar în primul rând să identificăm care și în ce ordine transformări trebuie efectuate astfel încât expresia să ia o formă mai compactă decât cea dată, sau să se obțină un rezultat numeric.

De exemplu

6. Simplificați expresia:

Soluţie:

.

Am folosit regulile de operații pe fracții algebrice și formulele de înmulțire abreviată.

7. Simplificați expresia:

.

Dacă A³0, b³0, A¹ b.

Am folosit formule de înmulțire prescurtate, reguli de adunare a fracțiilor și de înmulțire a expresiilor iraționale, identitate https://pandia.ru/text/80/197/images/image049_15.gif" width="203" height="29">.

Am folosit operația de selecție a pătratului complet, identitatea https://pandia.ru/text/80/197/images/image053_11.gif" width="132 height=21" height="21">, dacă .

Dovada:

Deoarece , atunci și sau sau sau , adică .

Am folosit condiția și formula pentru suma cuburilor.

Trebuie avut în vedere că condițiile care leagă variabilele pot fi specificate și în exercițiile primelor două tipuri.

De exemplu.

10. Aflați dacă .

Articolul dezvăluie semnificația expresiilor iraționale și transformărilor cu acestea. Luați în considerare însuși conceptul de expresii iraționale, de transformare și de expresii caracteristice.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ce sunt expresiile iraționale?

Când ne familiarizăm cu rădăcina la școală, studiem conceptul de expresii iraționale. Astfel de expresii sunt strâns legate de rădăcini.

Definiția 1

Expresii iraționale sunt expresii care au rădăcină. Adică acestea sunt expresii care au radicali.

Bazat pe această definiție, avem că x - 1 , 8 3 3 6 - 1 2 3 , 7 - 4 3 (2 + 3) , 4 a 2 d 5: d 9 2 a 3 5 sunt toate expresiile de tip irațional.

Când luăm în considerare expresia x · x - 7 · x + 7 x + 3 2 · x - 8 3, constatăm că expresia este rațională. Expresiile raționale includ polinoame și fracții algebrice. Cele iraționale includ lucrul cu expresii logaritmice sau expresii radicale.

Principalele tipuri de transformări ale expresiilor iraționale

Când se calculează astfel de expresii, este necesar să se acorde atenție ODZ. Adesea necesită transformări suplimentare sub formă de paranteze extinse, casting ca membri, grupări și așa mai departe. La baza unor astfel de transformări se află operațiile cu numere. Transformările expresiilor iraționale urmează o ordine strictă.

Exemplul 1

Convertiți expresia 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 .

Soluţie

Este necesar să înlocuiți numărul 9 cu o expresie care conține rădăcina. Atunci obținem asta

81 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = = 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3

Expresia rezultată are termeni similari, deci să efectuăm reducerea și gruparea. obține

9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = = 9 - 2 + 1 + 3 3 + 4 3 3 - 2 3 3 = = 8 + 3 3 3
Răspuns: 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = 8 + 3 3 3

Exemplul 2

Reprezentați expresia x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 ca un produs al celor două iraționale folosind formule de înmulțire prescurtate.

Soluții

x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 1 2 - 9

Reprezentăm 9 sub forma 3 2 și aplicăm formula pentru diferența de pătrate:

x + 3 5 - 1 2 - 9 = x + 3 5 - 1 2 - 3 2 = = x + 3 5 - 1 - 3 x + 3 5 - 1 + 3 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2

Rezultatul transformărilor identice a condus la produsul a două expresii raționale, care trebuiau găsite.

Răspuns:

x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2

Puteți efectua o serie de alte transformări care se aplică expresiilor iraționale.

Transformarea radicală a expresiei

Este important ca expresia de sub semnul rădăcinii să poată fi înlocuită cu un identic egal cu acesta. Această afirmație face posibil să se lucreze cu o expresie radicală. De exemplu, 1 + 6 poate fi înlocuit cu 7 sau 2 · a 5 4 - 6 cu 2 · a 4 · a 4 - 6 . Sunt identic egali, deci înlocuirea are sens.

Când nu există un 1 diferit de a, unde o inegalitate de forma a n \u003d a 1 n este adevărată, atunci o astfel de egalitate este posibilă numai atunci când a \u003d a 1. Valorile unor astfel de expresii sunt egale cu orice valori ale variabilelor.

Utilizarea proprietăților rădăcină

Proprietățile rădăcinii sunt folosite pentru a simplifica expresiile. Pentru a aplica proprietatea a · b = a · b , unde a ≥ 0 , b ≥ 0 , atunci din forma irațională 1 + 3 · 12 se poate deveni identic egal cu 1 + 3 · 12 . Proprietate. . . un n k n 2 n 1 = un n 1 n 2 , . . . , · n k , unde a ≥ 0 înseamnă că x 2 + 4 4 3 poate fi scris sub forma x 2 + 4 24 .

Există câteva nuanțe la conversia expresiilor radicale. Dacă există o expresie, atunci - 7 - 81 4 \u003d - 7 4 - 81 4 nu putem scrie, deoarece formula a b n \u003d a n b n servește numai pentru a nenegativ și b pozitiv. Dacă proprietatea este aplicată corect, atunci se va obține o expresie de forma 7 4 81 4.

Pentru transformarea corectă se folosesc transformări ale expresiilor iraționale folosind proprietățile rădăcinilor.

Introducerea unui factor sub semnul rădăcinii

Introduceți sub semnul rădăcinii- înseamnă înlocuirea expresiei B C n , iar B și C sunt niște numere sau expresii, unde n - numar natural, care este mai mare decât 1, egală cu o expresie care are forma B n · C n sau - B n · C n .

Dacă simplificăm expresia formei 2 x 3, atunci după ce o adăugăm sub rădăcină, obținem acel 2 3 x 3. Astfel de transformări sunt posibile numai după un studiu detaliat al regulilor de introducere a unui factor sub semnul rădăcinii.

Scoaterea multiplicatorului de sub semnul rădăcinii

Dacă există o expresie de forma B n · C n , atunci aceasta se reduce la forma B · C n , unde există n impar , care iau forma B · C n cu n par , B și C sunt niște numere și expresii.

Adică, dacă luăm o expresie irațională de forma 2 3 · x 3 , scoatem factorul de sub rădăcină, atunci obținem expresia 2 · x 3 . Sau x + 1 2 · 7 va avea ca rezultat o expresie ca x + 1 · 7 , care are o altă notație sub forma x + 1 · 7 .

Scoaterea multiplicatorului de sub rădăcină este necesară pentru a simplifica expresia și transformarea sa rapidă.

Conversia fracțiilor care conțin rădăcini

O expresie irațională poate fi fie un număr natural, fie o fracție. Pentru a converti expresiile fracționale, se acordă multă atenție numitorului său. Dacă luăm o fracție de forma (2 + 3) x 4 x 2 + 5 3, atunci numărătorul va lua forma 5 x 4 și, folosind proprietățile rădăcinilor, obținem că numitorul va deveni x 2 + 5 6. Fracția inițială poate fi scrisă ca 5 x 4 x 2 + 5 6 .

Rețineți că trebuie schimbat doar semnul numărătorului sau doar numitorul. Înțelegem asta

X + 2 x - 3 x 2 + 7 4 = x + 2 x - (- 3 x 2 + 7 4) = x + 2 x 3 x 2 - 7 4

Reducerea fracțiilor este folosită cel mai adesea la simplificare. Înțelegem asta

3 x + 4 3 - 1 x x + 4 3 - 1 3 reducem cu x + 4 3 - 1 . Obținem expresia 3 · x x + 4 3 - 1 2 .

Înainte de reducere, este necesar să se efectueze transformări care simplifică expresia și fac posibilă factorizarea unei expresii complexe. Cele mai utilizate formule sunt înmulțirea prescurtată.

Dacă luăm o fracțiune din forma 2 · x - y x + y, atunci este necesar să introducem noi variabile u \u003d x și v \u003d x, atunci expresia dată se va schimba forma și deveni 2 · u 2 - v 2 u + v. Numătorul ar trebui descompus în polinoame conform formulei, apoi obținem asta

2 u 2 - v 2 u + v = 2 (u - v) u + v u + v = 2 u - v . După efectuarea înlocuirii inverse, vom ajunge la forma 2 · x - y , care este egală cu cea inițială.

Reducerea la un nou numitor este permisă, atunci este necesară înmulțirea numărătorului cu un factor suplimentar. Dacă luăm o fracție de forma x 3 - 1 0, 5 · x, atunci reducem la numitorul x. pentru aceasta trebuie să înmulțiți numărătorul și numitorul cu expresia 2 x, apoi obținem expresia x 3 - 1 0, 5 x = 2 x x 3 - 1 0, 5 x 2 x = 2 x x 3 - 1 x .

Reducerea fracțiilor sau aducerea altora similare este necesară doar pe ODZ a fracției indicate. Când înmulțim numărătorul și numitorul cu o expresie irațională, obținem că scăpăm de iraționalitatea din numitor.

Scăparea de iraționalitate în numitor

Când o expresie scapă de rădăcina din numitor prin transformare, atunci aceasta se numește scăpare de iraționalitate. Luați în considerare exemplul unei fracții de forma x 3 3 . După ce scăpăm de iraționalitate, obținem o nouă fracție de forma 9 3 · x 3 .

Trecerea de la rădăcini la grade

Tranzițiile de la rădăcini la puteri sunt necesare pentru transformarea rapidă a expresiilor iraționale. Dacă luăm în considerare egalitatea a m n = a m n , atunci este clar că utilizarea sa este posibilă atunci când a este un număr pozitiv, m este un număr întreg și n este un număr natural. Dacă luăm în considerare expresia 5 - 2 3 , atunci în caz contrar avem dreptul să o scriem ca 5 - 2 3 . Aceste expresii sunt echivalente.

Când există un număr negativ sau un număr cu variabile sub rădăcină, atunci formula a m n = a m n nu este întotdeauna aplicabilă. Dacă trebuie să înlocuiți astfel de rădăcini (- 8) 3 5 și (- 16) 2 4 cu puteri, atunci obținem că - 8 3 5 și - 16 2 4 conform formulei a m n = a m n nu funcționează cu negativ a. pentru a analiza în detaliu tema expresiilor radicale și a simplificărilor lor, este necesar să se studieze articolul despre trecerea de la rădăcini la puteri și invers. Trebuie amintit că formula a m n = a m n nu este aplicabilă tuturor expresiilor de acest fel. A scăpa de iraționalitate contribuie la simplificarea în continuare a expresiei, la transformarea și soluționarea acesteia.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, ordin judiciar, în proceduri judiciare și/sau pe baza unor solicitări publice sau solicitări din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - de a vă dezvălui informațiile personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Proprietățile rădăcinilor stau la baza următoarelor două transformări, numite aducerea sub semnul rădăcinii și scoaterea de sub semnul rădăcinii, la care ne întoarcem acum.

Introducerea unui factor sub semnul rădăcinii

Introducerea unui factor sub semn înseamnă înlocuirea expresiei , unde B și C sunt niște numere sau expresii, iar n este un număr natural mai mare decât unu, cu o expresie identică egală de forma sau .

De exemplu, o expresie irațională după adăugarea factorului 2 sub semnul rădăcinii ia forma .

Bazele teoretice ale acestei transformări, regulile de implementare a acesteia, precum și soluțiile la tot felul de exemple tipice sunt prezentate în articolul care introduce un factor sub semnul rădăcină.

Scoaterea multiplicatorului de sub semnul rădăcinii

Transformarea, într-un anumit sens, inversul introducerii factorului sub semnul rădăcinii, este îndepărtarea factorului de sub semnul rădăcinii. Constă în reprezentarea rădăcinii ca produs pentru n impar sau ca produs pentru n par, unde B și C sunt niște numere sau expresii.

De exemplu, să revenim la paragraful anterior: după scoaterea factorului de sub semnul rădăcinii, expresia irațională ia forma . Un alt exemplu: scoaterea factorului de sub semnul rădăcină din expresie dă un produs care poate fi rescris ca .

Pe ce se bazează această transformare și în funcție de ce reguli se realizează, vom analiza într-un articol separat eliminarea unui factor de sub semnul rădăcină. În același loc, dăm soluții la exemple și listăm modalități de a aduce expresia radicală într-o formă convenabilă pentru a scoate un multiplicator.

Conversia fracțiilor care conțin rădăcini

Expresiile iraționale pot conține fracții, în numărătorul și numitorul cărora există rădăcini. Cu astfel de fracții, puteți efectua oricare dintre principalele transformări identice ale fracțiilor.

În primul rând, nimic nu vă împiedică să lucrați cu expresii la numărător și numitor. Să luăm ca exemplu o fracție. Expresia irațională din numărător este în mod evident identică cu , și, referitor la proprietățile rădăcinilor, expresia din numitor poate fi înlocuită cu rădăcină. Ca rezultat, fracția originală este convertită în forma .

În al doilea rând, puteți schimba semnul înaintea fracției schimbând semnul numărătorului sau numitorului. De exemplu, există astfel de transformări ale unei expresii iraționale: .

În al treilea rând, uneori este posibil și oportun să se reducă fracția. De exemplu, cum să-ți refuzi plăcerea de a reduce o fracție la o expresie irațională, ca rezultat obținem .

Este clar că în multe cazuri, înainte de a efectua reducerea unei fracții, trebuie factorizate expresiile din numărătorul și numitorul acesteia, ceea ce în cazuri simple se poate realiza prin formule de înmulțire prescurtate. Și, uneori, înlocuirea unei variabile ajută la reducerea fracției, permițându-vă să treceți de la fracția originală cu iraționalitate la o fracție rațională, cu care este mai confortabil și mai familiar să lucrați.

Să luăm ca exemplu o expresie. Să introducem noi variabile și , în aceste variabile expresia originală are forma . Efectuând la numărător