Cum să eliminați rădăcina de la numitor. Eliberarea de iraționalitatea algebrică în numitorul unei fracții

Tokarev Kirill

Lucrarea vă ajută să învățați cum să extrageți rădăcina pătrată a oricărui număr fără a utiliza un calculator și un tabel de pătrate și să eliberați numitorul unei fracții de iraționalitate.

Eliberându-te de iraționalitatea numitorului unei fracții

Esența metodei este înmulțirea și împărțirea fracțiilor printr-o expresie care va elimina iraționalitatea (pătrat și rădăcini cubice) de la numitor și o va simplifica. După aceasta, este mai ușor să reduceți fracțiile la un numitor comun și, în final, să simplificați expresia originală.

Extracţie rădăcină pătrată apropiindu-se de nivelul specificat.

Să presupunem că trebuie să extragem rădăcina pătrată a numărului natural 17358122 și se știe că rădăcina poate fi extrasă. Pentru a găsi rezultatul, uneori este convenabil să folosiți regula descrisă în lucrare.

Descarca:

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizarea, creați un cont Google și conectați-vă la el: https://accounts.google.com

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizările prezentării, creați un cont Google și conectați-vă la el: https://accounts.google.com

Subtitrările diapozitivelor:

Radical. Eliberându-te de iraționalitatea numitorului unei fracții. Extrageți rădăcina pătrată cu un anumit grad de precizie. Elev din clasa 9B a Școlii Gimnaziale nr. 7 a instituției de învățământ municipal, Salsk Kirill Tokarev

ÎNTREBARE FUNDAMENTALĂ: Este posibil să extragem rădăcina pătrată a oricărui număr cu un anumit grad de acuratețe, fără a avea un calculator și un tabel de pătrate?

SCOPURI ȘI OBIECTIVE: Luați în considerare cazuri de rezolvare a expresiilor cu radicali care nu sunt studiate la cursul de matematică din școală, dar sunt necesare pentru Examenul de stat unificat.

ISTORIA RĂDĂCINII Semnul rădăcinii provine din litera latină minusculă r (inițială în cuvântul latin radix - rădăcină), topită cu un superscript. Pe vremuri, sublinierea unei expresii era folosită în locul parantezei curente, așa că există doar o modificare mod anticînregistrări de ceva de genul. Această notație a fost folosită pentru prima dată de matematicianul german Thomas Rudolf în 1525.

LIBERTATEA DE IRAȚIONALITATE A DENOMINATORULUI FRACȚIILOR Esența metodei este de a înmulți și împărți o fracție printr-o expresie care va elimina iraționalitatea (rădăcinile pătrate și cubice) de la numitor și o va simplifica. După aceasta, este mai ușor să reduceți fracțiile la un numitor comun și, în final, să simplificați expresia originală. ALGORITM DE ELIBERARE DIN IRAȚIONALITATE ÎN DENOMINATORUL FRACȚIEI: 1. Împărțiți numitorul fracției în factori. 2. Dacă numitorul are forma sau conține un factor, atunci numărătorul și numitorul trebuie înmulțiți cu. Dacă numitorul este de forma sau sau conține un factor de acest tip, atunci numărătorul și numitorul fracției trebuie înmulțite cu sau, respectiv, cu. Numerele se numesc conjugate. 3. Convertiți numărătorul și numitorul fracției, dacă este posibil, apoi reduceți fracția rezultată.

a) b) c) d) = - Eliberarea de iraţionalitate în numitorul fracţiei.

EXTRAGEREA RĂDĂCINII PĂTRATATE CU APROXIMAREA LA O CIFRE SPECIFICATĂ. 1) -1 100 96 400 281 11900 11296 24 4 281 1 2824 4 16 135 81 5481 4956 52522 49956 81 1 826 6 826 6 826 826 81 1 826 6 826 6 82) Metoda Ancient Baby: 6 82) Ancient: Găsiți 6 83) Pentru a rezolva problema, acest număr se descompune în suma a doi termeni: 1700 = 1600 + 100 = 40 2 + 100, primul dintre care este un pătrat perfect. Apoi aplicăm formula. Mod algebric:

EXTRAGEREA RĂDĂCINII PĂTRATATE CU APROXIMAREA LA O CIFRE SPECIFICATĂ. , 4 16 8 . 1 1 1 3 5 1 8 1 5 4 8 1 8 2 + 66 4 9 5 6 6 5 2 5 2 2 + 8 3 2 66 4 9 9 5 6 6 + 8 3 3 2 33 2 5 6 6 0 0 3

Referințe 1. Culegere de probleme de matematică pentru cei care intră în universități, editată de M.I.Skanavi. V. K. Egerev, B. A. Kordemsky, V. V. Zaitsev, „ONICS 21st century”, 2003 2. Algebră și functii elementare. R. A. Kalnin, „Știință”, 1973 3. Matematică. Materiale de referinta. V. A. Gusev, A. G. Mordkovich, editura „Prosveshcheniye”, 1990. 4. Scolari despre matematica si matematicieni. Compilat de M.M. Liman, Enlightenment, 1981.

Danny Peric Campana

Încă unul carte interesanta pentru școlarii interesați de, din păcate, netradusă în limba rusă, aceasta este cartea „Aventurile matematice ale lui Daniel” (Las Aventuras Matemáticas de Daniel) a profesorului chilian de matematică Danny Perich Campana, o persoană foarte extraordinară și interesantă. Nu numai că predă copii, dar scrie și cântece și postează pe internet diverse materiale educaționale despre matematică. Acestea pot fi găsite pe YouTube și pe site-ul http://www.sectormatematica.cl/ (desigur, toate materialele sunt în spaniolă).

Aici postez un capitol din cartea lui Danni Peric. Mi s-a părut destul de interesant și util pentru școlari. Ca să fie clar despre ce vorbim, voi spune că Daniel și Camila lucrează la școală, sunt profesori.

Secretul de a scăpa de iraționalitate

„Camila, am multe probleme acum când încerc să explic de ce se folosește ceea ce trecem în clasă”, a spus Daniel.

- Nu prea înțeleg despre ce vorbești.

— Vorbesc despre ceea ce este în toate manualele școlare și chiar în cărțile de nivel universitar. Încă mai am îndoieli: de ce trebuie să scapi de iraționalitatea din numitor? Și urăsc să le spun oamenilor ceea ce nu am înțeles de atâta timp”, s-a plâns Daniel.

- De asemenea, nu știu de unde vine acest lucru și de ce este nevoie, dar trebuie să fie unele explicatie logica acest.

— Odată am citit într-una jurnal stiintific că a scăpa de iraționalitatea din numitor vă permite să obțineți rezultatul cu o mai mare acuratețe, dar nu am mai văzut asta și nu sunt sigur că este adevărat.

- De ce nu o verificăm? - a întrebat Camila.

— Ai dreptate, aprobă Daniel. — În loc să vă plângeți, ar trebui să încercați să trageți propriile concluzii. Atunci ajuta-ma...

- Desigur, acum sunt interesat de asta.

„Trebuie să luăm câteva expresii și să scăpăm de iraționalitatea din numitor, apoi să înlocuim rădăcina cu valoarea ei și să găsim rezultatul expresiei înainte și după ce scăpăm de iraționalitatea din numitor și să vedem dacă se schimbă ceva.”

— Desigur, a fost de acord Camila. - Hai să facem asta.

„Luați, de exemplu, expresia”, a spus Daniel și a luat o bucată de hârtie pentru a nota ce se întâmpla. - Înmulțiți numărătorul și numitorul cu și obțineți .

„Va fi corect și ne poate ajuta să tragem concluzii dacă luăm în considerare alte expresii iraționale egale cu aceasta”, a sugerat Camila.

„Sunt de acord”, a spus Daniel, „voi împărți numărătorul și numitorul cu , iar tu le înmulți cu ”.

- Am reușit . Și tu?

„Am”, a răspuns Daniel. - Acum să calculăm expresia originală și pe cele rezultate, înlocuind-o cu valoarea ei cu toate zecimale pe care le oferă calculatorul. Primim:

„Nu văd nimic special”, a spus Camila. „Mă așteptam la un fel de diferență care să justifice scăparea de iraționalitate.”

„După cum v-am spus deja, am citit odată despre asta în legătură cu abordarea. Ce ziceți dacă îl înlocuim cu un număr mai puțin precis, cum ar fi?

- Să încercăm să vedem ce se întâmplă.

Când studiem transformările unei expresii iraționale, o întrebare foarte importantă este cum să scapi de iraționalitate în numitorul unei fracții. Scopul acestui articol este de a explica această acțiune în exemple concrete sarcini. În primul paragraf ne vom uita la regulile de bază ale acestei transformări, iar în al doilea - exemple tipice cu explicații detaliate.

Conceptul de eliberare de iraționalitate în numitor

Să începem prin a explica care este sensul unei astfel de transformări. Pentru a face acest lucru, rețineți următoarele prevederi.

Putem vorbi despre iraționalitate în numitorul unei fracții dacă există un radical acolo, cunoscut și sub numele de semnul rădăcinii. Numerele scrise folosind acest semn sunt adesea iraționale. Exemplele ar fi 1 2, - 2 x + 3, x + y x - 2 · x · y + 1, 11 7 - 5. Fracțiile cu numitori iraționali le includ și pe cele care au semne de rădăcini de diferite grade (pătrat, cubic etc.), de exemplu, 3 4 3, 1 x + x · y 4 + y. Ar trebui să scăpați de iraționalitate pentru a simplifica expresia și pentru a facilita calculele ulterioare. Să formulăm definiția de bază:

Definiția 1

Eliberați-vă de iraționalitate în numitorul unei fracții- înseamnă transformarea lui prin înlocuirea lui cu o fracție identică egală, al cărei numitor nu conține rădăcini sau puteri.

O astfel de acțiune poate fi numită eliberare sau scăpare de iraționalitate, dar sensul rămâne același. Deci, trecerea de la 1 2 la 2 2, i.e. la o fracție cu valoare egală fără semn de rădăcină la numitor și va fi acțiunea de care avem nevoie. Să dăm un alt exemplu: avem o fracție x x - y. Să efectuăm transformările necesare și să obținem o fracție identic egală x · x + y x - y , eliberându-ne de iraționalitatea la numitor.

După formularea definiției, putem trece direct la studierea succesiunii de acțiuni care trebuie efectuate pentru o astfel de transformare.

Pași de bază pentru a scăpa de iraționalitatea în numitorul unei fracții

Pentru a scăpa de rădăcini, trebuie să efectuați două transformări succesive ale fracției: înmulțiți ambele părți ale fracției cu un număr diferit de zero și apoi transformați expresia obținută la numitor. Să luăm în considerare cazurile principale.

În cel mai simplu caz, te poți descurca transformând numitorul. De exemplu, putem lua o fracție cu un numitor egal cu rădăcina lui 9. După ce am calculat 9, scriem 3 la numitor și astfel scăpăm de iraționalitate.

Cu toate acestea, mult mai des este necesar să se înmulțească mai întâi numărătorul și numitorul cu un număr care va permite apoi aducerea numitorului la forma dorită (fără rădăcini). Deci, dacă înmulțim 1 x + 1 cu x + 1, obținem fracția x + 1 x + 1 x + 1 și putem înlocui expresia din numitorul său cu x + 1. Așa că am transformat 1 x + 1 în x + 1 x + 1, scăpând de iraționalitate.

Uneori, transformările pe care trebuie să le efectuați sunt destul de specifice. Să ne uităm la câteva exemple ilustrative.

Cum se transformă o expresie la numitorul unei fracții

După cum am spus, cel mai simplu mod de a face acest lucru este să convertiți numitorul.

Exemplul 1

Condiție: eliberați fracția 1 2 · 18 + 50 de iraționalitatea la numitor.

Soluţie

Mai întâi, să deschidem parantezele și să obținem expresia 1 2 18 + 2 50. Folosind proprietățile de bază ale rădăcinilor, trecem la expresia 1 2 18 + 2 50. Calculăm valorile ambelor expresii sub rădăcini și obținem 1 36 + 100. Aici puteți extrage deja rădăcinile. Ca rezultat, am obținut fracția 1 6 + 10, egală cu 1 16. Transformarea poate fi finalizată aici.

Să notăm progresul întregii soluții fără comentarii:

1 2 18 + 50 = 1 2 18 + 2 50 = 1 2 18 + 2 50 = 1 36 + 100 = 1 6 + 10 = 1 16

Răspuns: 1 2 18 + 50 = 1 16.

Exemplul 2

Condiție: dată fiind fracția 7 - x (x + 1) 2. Scapă de iraționalitatea la numitor.

Soluţie

Anterior în articolul despre transformări expresii iraţionale folosind proprietățile rădăcinilor, am menționat că pentru orice A și chiar n putem înlocui expresia A n n cu | A | pe întregul interval de valori admisibile ale variabilelor. Prin urmare, în cazul nostru îl putem scrie astfel: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1. În acest fel ne-am eliberat de iraționalitatea în numitor.

Răspuns: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1.

A scăpa de iraționalitate prin înmulțirea cu rădăcină

Dacă numitorul unei fracții conține o expresie de forma A și expresia A în sine nu are semne de rădăcini, atunci ne putem elibera de iraționalitate prin simpla înmulțire a ambelor părți ale fracției originale cu A. Posibilitatea acestei acțiuni este determinată de faptul că A nu se va întoarce la 0 în intervalul de valori acceptabile. După înmulțire, numitorul va conține o expresie de forma A · A, care este ușor de scăpat de rădăcini: A · A = A 2 = A. Să vedem cum să aplicăm corect această metodă în practică.

Exemplul 3

Condiție: fracțiile date x 3 și - 1 x 2 + y - 4. Scapă de iraționalitatea din numitorii lor.

Soluţie

Să înmulțim prima fracție cu a doua rădăcină a lui 3. Obținem următoarele:

x 3 = x 3 3 3 = x 3 3 2 = x 3 3

În al doilea caz, trebuie să înmulțim cu x 2 + y - 4 și să transformăm expresia rezultată în numitor:

1 x 2 + y - 4 = - 1 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 = = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 2 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4

Răspuns: x 3 = x · 3 3 și - 1 x 2 + y - 4 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 .

Dacă numitorul fracției inițiale conține expresii de forma A n m sau A m n (sub rezerva m și n natural), trebuie să alegem un factor astfel încât expresia rezultată să poată fi convertită în A n n k sau A n k n (sub rezerva naturalului). k) . După aceasta, va fi ușor să scapi de iraționalitate. Să ne uităm la acest exemplu.

Exemplul 4

Condiție: fracțiile date 7 6 3 5 și x x 2 + 1 4 15. Scapă de iraționalitatea în numitori.

Soluţie

Trebuie să luăm numar natural, care poate fi împărțit la cinci, dar trebuie să fie mai mare de trei. Pentru ca exponentul 6 să devină egal cu 5, trebuie să înmulțim cu 6 2 5. Prin urmare, va trebui să înmulțim ambele părți ale fracției originale cu 6 2 5:

7 6 3 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 = 7 6 2 5 6 5 5 = 7 6 2 5 6 = 7 36 5 6

În al doilea caz, avem nevoie de un număr mai mare de 15, care poate fi împărțit la 4 fără rest. Luăm 16. Pentru a obține un astfel de exponent în numitor, trebuie să luăm x 2 + 1 4 ca factor. Să lămurim că valoarea acestei expresii nu va fi 0 în niciun caz. Calculam:

x x 2 + 1 4 15 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 15 x 2 + 1 4 = = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 16 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 4 4 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4

Răspuns: 7 6 3 5 = 7 · 36 5 6 și x x 2 + 1 4 15 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 .

A scăpa de iraționalitate prin înmulțirea prin expresia conjugată

Următoarea metodă este potrivită pentru acele cazuri în care numitorul fracției originale conține expresiile a + b, a - b, a + b, a - b, a + b, a - b. În astfel de cazuri, trebuie să luăm expresia conjugată ca factor. Să explicăm sensul acestui concept.

Pentru prima expresie a + b conjugatul va fi a - b, pentru a doua a - b – a + b. Pentru a + b – a - b, pentru a - b – a + b, pentru a + b – a - b și pentru a - b – a + b. Cu alte cuvinte, o expresie conjugată este o expresie în care semnul opus apare înaintea celui de-al doilea termen.

Să ne uităm la ce anume este aceasta metoda. Să presupunem că avem un produs de forma a - b · a + b. Poate fi înlocuită cu diferența de pătrate a - b · a + b = a 2 - b 2, după care se trece la expresia a - b, lipsită de radicali. Astfel, ne-am eliberat de iraționalitate în numitorul fracției prin înmulțirea cu expresia conjugată. Să luăm câteva exemple ilustrative.

Exemplul 5

Condiție: scăpați de iraționalitatea din expresiile 3 7 - 3 și x - 5 - 2.

Soluţie

În primul caz, luăm expresia conjugată egală cu 7 + 3. Acum înmulțim ambele părți ale fracției inițiale cu ea:

3 7 - 3 = 3 7 + 3 7 - 3 7 + 3 = 3 7 + 3 7 2 - 3 2 = = 3 7 + 3 7 - 9 = 3 7 + 3 - 2 = - 3 7 + 3 2

În al doilea caz, avem nevoie de expresia - 5 + 2, care este conjugatul expresiei - 5 - 2. Înmulțiți numărătorul și numitorul cu el și obțineți:

x - 5 - 2 = x · - 5 + 2 - 5 - 2 · - 5 + 2 = = x · - 5 + 2 - 5 2 - 2 2 = x · - 5 + 2 5 - 2 = x · 2 - 5 3

De asemenea, este posibil să se efectueze o transformare înainte de a înmulți: dacă mai întâi eliminăm minusul de la numitor, va fi mai convenabil să calculăm:

x - 5 - 2 = - x 5 + 2 = - x 5 - 2 5 + 2 5 - 2 = = - x 5 - 2 5 2 - 2 2 = - x 5 - 2 5 - 2 = - x · 5 - 2 3 = = x · 2 - 5 3

Răspuns: 3 7 - 3 = - 3 7 + 3 2 și x - 5 - 2 = x 2 - 5 3.

Este important să acordați atenție faptului că expresia obținută ca urmare a înmulțirii nu se transformă în 0 pentru nicio variabilă din intervalul de valori acceptabile pentru această expresie.

Exemplul 6

Condiție: dată fiind fracția x x + 4. Transformați-l astfel încât să nu existe expresii iraționale în numitor.

Soluţie

Să începem prin a găsi intervalul de valori acceptabile pentru variabila x. Este definit de condițiile x ≥ 0 și x + 4 ≠ 0. Din ele putem concluziona că regiunea dorită este o mulțime x ≥ 0.

Conjugatul numitorului este x - 4 . Când ne putem înmulți cu ea? Numai dacă x - 4 ≠ 0. În intervalul de valori acceptabile, aceasta va fi echivalentă cu condiția x≠16. Ca rezultat, obținem următoarele:

x x + 4 = x x - 4 x + 4 x - 4 = = x x - 4 x 2 - 4 2 = x x - 4 x - 16

Dacă x este egal cu 16, atunci obținem:

x x + 4 = 16 16 + 4 = 16 4 + 4 = 2

Prin urmare, x x + 4 = x · x - 4 x - 16 pentru toate valorile lui x aparținând intervalului de valori acceptabile, cu excepția lui 16. La x = 16 obținem x x + 4 = 2.

Răspuns: x x + 4 = x · x - 4 x - 16 , x ∈ [ 0 , 16) ∪ (16 , + ∞) 2 , x = 16 .

Conversia fracțiilor cu iraționalitate în numitor folosind formulele sumei și diferenței de cuburi

În paragraful anterior, am înmulțit cu expresii conjugate pentru a folosi apoi formula pentru diferența de pătrate. Uneori, pentru a scăpa de iraționalitatea în numitor, este util să folosiți alte formule de înmulțire abreviate, de exemplu, diferența de cuburi a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + a b + b 2). Această formulă este convenabilă de utilizat dacă numitorul fracției originale conține expresii cu rădăcini de gradul trei de forma A 3 - B 3, A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2. etc. Pentru ao aplica, trebuie să înmulțim numitorul fracției cu pătratul parțial al sumei A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 sau diferența A 3 - B 3. Formula sumei poate fi aplicată în același mod a 3 + b 3 = (a) (a 2 − a b + b 2).

Exemplul 7

Condiție: transformați fracțiile 1 7 3 - 2 3 și 3 4 - 2 · x 3 + x 2 3 astfel încât să scăpați de iraționalitatea din numitor.

Soluţie

Pentru prima fracție, trebuie să folosim metoda de înmulțire a ambelor părți cu pătratul parțial al sumei 7 3 și 2 3, deoarece apoi putem converti folosind formula diferenței de cuburi:

1 7 3 - 2 3 = 1 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 - 2 3 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 = = 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 3 - 2 3 3 = 7 2 3 + 7 2 3 + 2 2 3 7 - 2 = = 49 3 + 14 3 + 4 3 5

În a doua fracție reprezentăm numitorul ca 2 2 - 2 x 3 + x 3 2. Această expresie arată pătratul incomplet al diferenței 2 și x 3, ceea ce înseamnă că putem înmulți ambele părți ale fracției cu suma 2 + x 3 și putem folosi formula pentru suma cuburilor. Pentru a face acest lucru, trebuie îndeplinită condiția 2 + x 3 ≠ 0, echivalent cu x 3 ≠ - 2 și x ≠ − 8:

3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 = = 3 2 + x 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 2 + x 3 = 6 + 3 x 3 2 3 + x 3 3 = = 6 + 3 x 3 8 + x

Să înlocuim 8 în fracție și să găsim valoarea:

3 4 - 2 8 3 + 8 2 3 = 3 4 - 2 2 + 4 = 3 4

Să rezumam. Pentru toate x incluse în intervalul de valori ale fracției inițiale (setul R), cu excepția lui - 8, obținem 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 6 + 3 x 3 8 + x. Dacă x = 8, atunci 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 4.

Răspuns: 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 6 + 3 x 3 8 + x, x ≠ 8 3 4, x = - 8.

Aplicarea consecventă a diferitelor metode de conversie

Adesea în practică sunt mai multe exemple complexe, când nu ne putem elibera de iraționalitatea în numitor folosind o singură metodă. Pentru ei, trebuie să efectuați mai multe transformări secvențial sau să selectați soluții nestandardizate. Să luăm o astfel de problemă.

Exemplul N

Condiție: convertiți 5 7 4 - 2 4 pentru a scăpa de semnele rădăcinilor din numitor.

Soluţie

Să înmulțim ambele părți ale fracției originale cu expresia conjugată 7 4 + 2 4 cu o valoare diferită de zero. Obținem următoarele:

5 7 4 - 2 4 = 5 7 4 + 2 4 7 4 - 2 4 7 4 + 2 4 = = 5 7 4 + 2 4 7 4 2 - 2 4 2 = 5 7 4 + 2 4 7 - 2

Acum să folosim din nou aceeași metodă:

5 7 4 + 2 4 7 - 2 = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 - 2 7 + 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 2 - 2 2 = 5 7 4 + 7 4 7 + 2 7 - 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 5 = 7 4 + 2 4 7 + 2

Răspuns: 5 7 4 - 2 4 = 7 4 + 2 4 · 7 + 2.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

În acest subiect vom lua în considerare toate cele trei grupuri de limite cu iraționalitate enumerate mai sus. Să începem cu limitele care conțin incertitudinea de forma $\frac(0)(0)$.

Dezvăluirea incertitudinii $\frac(0)(0)$.

Diagrama soluției exemple standard Acest tip constă de obicei din doi pași:

• Scăpăm de iraționalitatea care a cauzat incertitudinea prin înmulțirea prin așa-numita expresie „conjugată”;
• Dacă este necesar, factorizați expresia în numărător sau numitor (sau ambele);
• Reducem factorii care duc la incertitudine și calculăm valoarea dorită a limitei.

Termenul "expresie conjugată" folosit mai sus va fi explicat în detaliu în exemple. Deocamdată nu există niciun motiv să ne oprim în detaliu. În general, poți merge pe altă cale, fără a folosi expresia conjugată. Uneori, un înlocuitor bine ales poate elimina iraționalitatea. Astfel de exemple sunt rare în standard teste, prin urmare, pentru utilizarea înlocuirii, vom lua în considerare doar un exemplu nr. 6 (a se vedea a doua parte a acestui subiect).

Vom avea nevoie de mai multe formule, pe care le voi scrie mai jos:

\begin(equation) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end(equation) \begin(equation) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2 +ab+b^2) \end(equation) \begin(equation) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end(equation) \begin (ecuație) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(equation)

În plus, presupunem că cititorul cunoaște formulele de rezolvare a ecuațiilor pătratice. Dacă $x_1$ și $x_2$ sunt rădăcinile trinomului pătratic $ax^2+bx+c$, atunci acesta poate fi factorizat folosind următoarea formulă:

\begin(equation) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(equation)

Formulele (1)-(5) sunt destul de suficiente pentru rezolvarea problemelor standard, la care vom trece acum.

Exemplul nr. 1

Găsiți $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$.

Deoarece $\lim_(x\to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ și $\lim_(x\ to 3) (x-3)=3-3=0$, atunci în limita dată avem o incertitudine de forma $\frac(0)(0)$. Diferența $\sqrt(7-x)-2$ ne împiedică să dezvăluim această incertitudine. Pentru a scăpa de astfel de iraționalități, se folosește înmulțirea prin așa-numita „expresie conjugată”. Acum ne vom uita la modul în care funcționează o astfel de înmulțire. Înmulțiți $\sqrt(7-x)-2$ cu $\sqrt(7-x)+2$:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

Pentru a deschide parantezele, aplicați , înlocuind $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$ în partea dreaptă a formulei menționate:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$

După cum puteți vedea, dacă înmulțiți numărătorul cu $\sqrt(7-x)+2$, atunci rădăcina (adică iraționalitatea) din numărător va dispărea. Această expresie $\sqrt(7-x)+2$ va fi conjuga la expresia $\sqrt(7-x)-2$. Totuși, nu putem înmulți pur și simplu numărătorul cu $\sqrt(7-x)+2$, deoarece acest lucru va schimba fracția $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$, care este sub limita . Trebuie să înmulțiți atât numărătorul, cât și numitorul în același timp:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \left|\frac(0)(0)\right|=\lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

Acum amintiți-vă că $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ și deschideți parantezele. Și după deschiderea parantezelor și o mică transformare $3-x=-(x-3)$, reducem fracția cu $x-3$:

$$ \lim_(x\la 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\la 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\la 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\la 3)\frac(-1 )(\sqrt(7-x)+2) $$

Incertitudinea $\frac(0)(0)$ a dispărut. Acum puteți obține cu ușurință răspunsul acest exemplu:

$$ \lim_(x\la 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

Observ că expresia conjugată își poate schimba structura, în funcție de ce fel de iraționalitate ar trebui să înlăture. În exemplele nr. 4 și nr. 5 (vezi a doua parte a acestui subiect) va fi folosit un tip diferit de expresie conjugată.

Răspuns: $\lim_(x\la 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.

Exemplul nr. 2

Găsiți $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$.

Deoarece $\lim_(x\to 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ 2-19)=3-3=0$ și $\lim_(x\to 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, atunci vom au de-a face cu incertitudinea de forma $\frac(0)(0)$. Să scăpăm de iraționalitatea din numitorul acestei fracții. Pentru a face acest lucru, adăugăm atât numărătorul, cât și numitorul fracției $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ la expresia $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$ conjugată la numitor:

$$ \lim_(x\la 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\left|\frac(0 )(0)\right|= \lim_(x\la 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

Din nou, ca în exemplul nr. 1, trebuie să folosiți paranteze pentru a extinde. Înlocuind $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$ în partea dreaptă a formulei menționate, obținem următoarea expresie pentru numitor:

$$ \left(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\right)\left(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ dreapta)=\\ =\stânga(\sqrt(x^2+5)\dreapta)^2-\stânga(\sqrt(7x^2-19)\dreapta)^2=x^2+5-(7x ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

Să revenim la limita noastră:

$$ \lim_(x\la 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x) ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\to 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x^2-4) $$

În exemplul nr. 1, aproape imediat după înmulțire cu expresia conjugată, fracția a fost redusă. Aici, înainte de reducere, va trebui să factorizați expresiile $3x^2-5x-2$ și $x^2-4$ și abia apoi să treceți la reducere. Pentru a factoriza expresia $3x^2-5x-2$ trebuie să utilizați . Mai întâi să decidem ecuație pătratică$3x^2-5x-2=0$:

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end(aliniat) $$

Înlocuind $x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ în , vom avea:

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)(x-2)=3\cdot\left(x+\ frac(1)(3)\right)(x-2)=\left(3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\right)(x-2) =(3x+1)( x-2). $$

Acum este timpul să factorizezi expresia $x^2-4$. Să folosim , înlocuind $a=x$, $b=2$ în el:

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

Să folosim rezultatele obținute. Deoarece $x^2-4=(x-2)(x+2)$ și $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, atunci:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2) -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

Reducand cu paranteza $x-2$ obtinem:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^ 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2). $$

Toate! Incertitudinea a dispărut. Încă un pas și ajungem la răspuns:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2) ^2-19)))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4). $$

Răspuns: $\lim_(x\la 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4) $.

În exemplul următor, luați în considerare cazul în care iraționalitățile vor fi prezente atât în ​​numărător, cât și în numitorul fracției.

Exemplul nr. 3

Găsiți $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ))$.

Deoarece $\lim_(x\la 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ și $\lim_( x \to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$, atunci avem o incertitudine de forma $ \frac (0)(0)$. Deoarece în acest caz rădăcinile sunt prezente atât la numitor, cât și la numărător, pentru a scăpa de incertitudine va trebui să înmulțiți cu două paranteze deodată. Mai întâi, la expresia $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$ se conjugă la numărător. Și în al doilea rând, la expresia $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$ conjugată la numitor.

$$ \lim_(x\la 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ))=\left|\frac(0)(0)\right|=\\ =\lim_(x\to 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2) -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2 -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin(aligned) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(aliniat) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$

Pentru expresia $x^2-8x+15$ obținem:

$$ x^2-8x+15=0;\\ \begin(aligned) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(- 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10)(2)=5. \end(aliniat)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$

Înlocuind expansiunile rezultate $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ și $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ în limită luat în considerare, va avea:

$$ \lim_(x\la 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2) -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\to 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\la 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5 \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$

Răspuns: $\lim_(x\la 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ))=-6$.

În următoarea (a doua) parte, vom lua în considerare câteva exemple în care expresia conjugată va avea o formă diferită decât în ​​problemele anterioare. Principalul lucru de reținut este că scopul utilizării unei expresii conjugate este de a scăpa de iraționalitatea care provoacă incertitudine.

Conversia expresiilor care conțin rădăcini pătrate aritmetice

Scopul lecției: crearea condițiilor pentru formarea deprinderilor, simplificarea expresiilor care conțin rădăcini pătrate aritmetice în timpul lucrului în grupe de ture.

Obiectivele lecției: testați pregătirea teoretică a studenților, capacitatea de a extrage rădăcina pătrată a unui număr, dezvoltarea abilităților de a-și reproduce corect cunoștințele și abilitățile, dezvoltarea abilităților de calcul, cultivarea capacității de a lucra în perechi și responsabilitatea pentru o cauză comună.

În timpul orelor.

eu. Organizarea timpului. "TABEL DE PREGĂTIRE”

Stabilirea nivelului de pregătire pentru începutul lecției.

25 de cartonașe roșii (5 puncte), Culoarea galbena(4 puncte), albastru

culori (3 puncte).

Tabelul de pregătire

5 puncte (vreau să știu, să fac, să decid)

4 puncte (sunt gata de lucru)

3 puncte (nu ma simt foarte bine, nu inteleg materialul, am nevoie de ajutor)

II . Lucru individual folosind carduri

Cardul 1

Scoateți multiplicatorul de sub semnul rădăcină:

Cardul 2

Introduceți multiplicatorul sub semnul rădăcină:

Cardul 3

Simplifica:
A)
b)
V)

(Verifică după verificarea temei)

III . Verificarea temelor.

nr. 166, 167 frontal oral

(autoevaluare folosind carduri de semnalizare: verde - totul este corect, roșu - există o eroare)

IV . Învățarea de materiale noi. Lucrați în grupuri de ture.

Studiați materialul în mod independent, astfel încât să îl puteți explica apoi membrilor grupului. Clasa este împărțită în 6 grupe a câte 4 persoane.

Grupele 1, 2 și 3 – elevi cu abilități medii

Cum să scapi de iraționalitate în numitorul unei fracții? Să luăm în considerare cazul general și exemplele specifice.

Dacă numărul sau expresia de sub semnul rădăcinii pătrate în numitor este unul dintre factori, pentru a scăpa de iraționalitatea în numitor, înmulțim atât numărătorul, cât și numitorul fracției cu rădăcina pătrată a acestui număr sau expresie:

Exemple.

1) ;

2) .

Grupele 4, 5 și 6 – elevi cu abilități peste medie.

Dacă numitorul unei fracții este suma sau diferența a două expresii care conțin o rădăcină pătrată, pentru a scăpa de iraționalitatea în numitor, înmulțim atât numărătorul, cât și numitorul cu radicalul conjugat:

Exemple. Eliberați-vă de iraționalitate în numitorul unei fracții:

Lucrați în grupuri noi (4 grupuri de 6 persoane, 1 persoană din fiecare grup).

Explicarea materialului studiat membrilor noului grup. (evaluare de la egal la egal – comentează explicația elevului asupra materialului)

V . Verificarea asimilării materialului teoretic.Elevii răspund la întrebări fără a explica această parte a materialului teoretic.

1) Cum să scapi de iraționalitatea la numitorul unei fracții dacă numărul sau expresia de sub semnul rădăcinii pătrate din numitor este unul dintre factori?

2) Cum să scapi de iraționalitate în numitorul unei fracții, dacă numitorul fracției este suma sau diferența a două expresii care conțin o rădăcină pătrată?

3) cum să scapi de iraționalitate în numitorul unei fracții

4) Cum să scapi de iraționalitate în numitorul unei fracții

VI . Consolidarea materialului studiat. Munca de autotestare.

Nr. 81 („Algebră” clasa a VIII-a, A. Abylkasymova, I. Bekboev, A. Abdiev, Z. Zhumagulova)

Nr. 170 (1,2,3,5,6) („Algebră” clasa a VIII-a, A. Shynybekov)

Criteriu de evaluare:

Nivel A – nr. 81 exemple 1-5 nota „3”

Nivelul B – nr. 81 exemple 6-8 și nr. 170 exemple 5,6 nota „4”

Nivel C – nr. 170 exemple 1-6 nota „5”

(autoevaluare, testare folosind eșantion pe flipchart)

VII . Teme pentru acasă.

№ 218

VIII. Reflecţie. "Telegramă"

Toată lumea este rugată să completeze un formular de telegramă, primind următoarele instrucțiuni: „Ce părere aveți despre ultima lecție? Ce a fost important pentru tine? Ce ai invatat? Ce ți-a plăcut? Ce rămâne neclar? În ce direcție ar trebui să mergem înainte? Vă rog să-mi scrieți un mesaj scurt despre asta – o telegramă de 11 cuvinte. Vreau să vă cunosc părerea pentru a putea lua în considerare în lucrările viitoare.”

Rezumatul lecției.