Ein gerades Prisma heißt regelmäßig, wenn seine Grundfläche gleich groß ist. Gerades Prisma – Wissens-Hypermarkt
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Polyeder
Der Hauptgegenstand des Studiums der Stereometrie sind räumliche Körper. Körper stellt einen durch eine bestimmte Fläche begrenzten Teil des Raumes dar.
Polyeder ist ein Körper, dessen Oberfläche aus einer endlichen Anzahl flacher Polygone besteht. Ein Polyeder heißt konvex, wenn es sich auf einer Seite der Ebene jedes ebenen Polygons auf seiner Oberfläche befindet. ein gemeinsamer Teil Eine solche Ebene wird auch die Oberfläche eines Polyeders genannt Rand. Die Flächen eines konvexen Polyeders sind flache konvexe Polyeder. Die Seiten der Gesichter werden genannt Kanten des Polyeders, und die Eckpunkte sind Eckpunkte des Polyeders.
Ein Würfel besteht beispielsweise aus sechs Quadraten, die seine Flächen darstellen. Es enthält 12 Kanten (die Seiten der Quadrate) und 8 Eckpunkte (die Oberseiten der Quadrate).
Die einfachsten Polyeder sind Prismen und Pyramiden, die wir weiter untersuchen werden.
Prisma
Definition und Eigenschaften eines Prismas
Prisma ist ein Polyeder, das aus zwei flachen Polygonen besteht, die in parallelen Ebenen liegen und durch Parallelverschiebung verbunden sind, und allen Segmenten, die die entsprechenden Punkte dieser Polygone verbinden. Polygone werden aufgerufen Prismenbasen und die Segmente, die die entsprechenden Eckpunkte der Polygone verbinden, sind Seitenkanten des Prismas.
Prismenhöhe wird der Abstand zwischen den Ebenen seiner Basen () genannt. Ein Segment, das zwei Eckpunkte eines Prismas verbindet, die nicht zur gleichen Fläche gehören, wird aufgerufen Prismendiagonale(). Das Prisma heißt n-Kohlenstoff, wenn seine Basis ein n-Eck enthält.
Jedes Prisma hat die folgenden Eigenschaften, die sich aus der Tatsache ergeben, dass die Basen des Prismas durch Parallelverschiebung kombiniert werden:
1. Die Grundflächen des Prismas sind gleich.
2. Die Seitenkanten des Prismas sind parallel und gleich.
Die Oberfläche des Prismas besteht aus Basen und Seitenfläche. Die Mantelfläche des Prismas besteht aus Parallelogrammen (dies ergibt sich aus den Eigenschaften des Prismas). Die Fläche der Seitenfläche eines Prismas ist die Summe der Flächen der Seitenflächen.
Gerades Prisma
Das Prisma heißt gerade, wenn seine Seitenkanten senkrecht zu den Basen stehen. Ansonsten heißt das Prisma geneigt.
Die Flächen eines geraden Prismas sind Rechtecke. Die Höhe eines geraden Prismas entspricht seinen Seitenflächen.
Volle Prismenoberfläche nennt man die Summe der Mantelfläche und der Flächen der Grundflächen.
Mit dem richtigen Prisma nennt man ein gerades Prisma mit einem regelmäßigen Vieleck an seiner Basis.
Satz 13.1. Die Fläche der Seitenfläche eines geraden Prismas ist gleich dem Produkt aus Umfang und Höhe des Prismas (oder, was gleich ist, der Seitenkante).
Nachweisen. Die Seitenflächen eines geraden Prismas sind Rechtecke, deren Grundflächen die Seiten der Polygone an den Grundflächen des Prismas sind und deren Höhen die Seitenkanten des Prismas sind. Dann ist die Mantelfläche per Definition:
,
Wo ist der Umfang der Basis eines geraden Prismas?
Parallelepiped
Liegen Parallelogramme an den Grundflächen eines Prismas, so heißt es Parallelepiped. Alle Flächen eines Parallelepipeds sind Parallelogramme. In diesem Fall sind die gegenüberliegenden Flächen des Parallelepipeds parallel und gleich.
Satz 13.2. Die Diagonalen eines Parallelepipeds schneiden sich in einem Punkt und werden durch den Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt.
Nachweisen. Betrachten Sie zum Beispiel zwei beliebige Diagonalen und . Weil Die Flächen eines Parallelepipeds sind dann Parallelogramme und , was bedeutet, dass es laut To zwei Geraden gibt, die parallel zur dritten sind. Darüber hinaus bedeutet dies, dass Geraden und in derselben Ebene (Ebene) liegen. Diese Ebene schneidet parallele Ebenen und entlang paralleler Linien und . Somit ist ein Viereck ein Parallelogramm, und aufgrund der Eigenschaft eines Parallelogramms schneiden sich seine Diagonalen und werden durch den Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt, was bewiesen werden musste.
Ein rechtwinkliges Parallelepiped, dessen Grundfläche ein Rechteck ist, heißt rechteckiges Parallelepiped. Alle Flächen eines rechteckigen Parallelepipeds sind Rechtecke. Die Längen der nicht parallelen Kanten eines rechteckigen Parallelepipeds werden als seine linearen Abmessungen (Abmessungen) bezeichnet. Es gibt drei solcher Größen (Breite, Höhe, Länge).
Satz 13.3. Bei einem rechteckigen Parallelepiped ist das Quadrat jeder Diagonale gleich der Summe der Quadrate ihrer drei Dimensionen 
(bewiesen durch zweimaliges Anwenden von Pythagoras T).
Rechteckiges Parallelepiped, bei dem alle Kanten gleich sind, heißt Würfel.
Aufgaben
13.1 Wie viele Diagonalen hat es? N-Kohlenstoffprisma
13.2 In einem geneigten dreieckigen Prisma betragen die Abstände zwischen den Seitenkanten 37, 13 und 40. Ermitteln Sie den Abstand zwischen der größeren Seitenkante und der gegenüberliegenden Seitenkante.
13.3 Eine Ebene wird durch die Seite der unteren Basis eines regelmäßigen dreieckigen Prismas gezogen und schneidet die Seitenflächen entlang von Segmenten mit einem Winkel zwischen ihnen. Finden Sie den Neigungswinkel dieser Ebene zur Basis des Prismas.
Definition. Prisma ist ein Polyeder, dessen Eckpunkte alle in zwei parallelen Ebenen liegen, und in diesen beiden Ebenen liegen zwei Flächen des Prismas, die gleiche Polygone mit entsprechend parallelen Seiten sind, und alle Kanten, die nicht in diesen Ebenen liegen, sind parallel.
Es werden zwei gleiche Gesichter aufgerufen Prismenbasen(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).
Alle anderen Flächen des Prismas werden aufgerufen Seitenflächen(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).
Alle Seitenflächen bilden sich Seitenfläche des Prismas .
Alle Seitenflächen des Prismas sind Parallelogramme .
Die Kanten, die nicht an den Basen liegen, werden Seitenkanten des Prismas genannt ( AA 1, BB 1, CC 1, TT 1, EE 1).
Prismendiagonale ist ein Segment, dessen Enden zwei Eckpunkte eines Prismas sind, die nicht auf derselben Fläche liegen (AD 1).
Die Länge des Segments, das die Basen des Prismas verbindet und gleichzeitig senkrecht zu beiden Basen steht, wird als bezeichnet Prismenhöhe .
Bezeichnung:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Zuerst werden in der Reihenfolge der Durchquerung die Eckpunkte einer Basis angegeben und dann in derselben Reihenfolge die Eckpunkte der anderen; die Enden jeder Basis seitliche Rippe mit den gleichen Buchstaben bezeichnet, nur die Eckpunkte, die in einer Basis liegen, werden mit Buchstaben ohne Index und in der anderen mit Index bezeichnet)
Der Name des Prismas hängt mit der Anzahl der Winkel in der Figur zusammen, die an seiner Basis liegen. In Abbildung 1 befindet sich beispielsweise ein Fünfeck an der Basis, daher wird das Prisma genannt fünfeckiges Prisma. Aber weil Ein solches Prisma hat also 7 Flächen Heptaeder(2 Flächen – die Basen des Prismas, 5 Flächen – Parallelogramme, – seine Seitenflächen)
Unter den geraden Prismen sticht es hervor Privatansicht: richtige Prismen.
Ein gerades Prisma heißt richtig, wenn seine Gründe sind regelmäßige Polygone.
Parallelepiped
Parallelepiped ist ein viereckiges Prisma, an dessen Basis ein Parallelogramm (ein geneigtes Parallelepiped) liegt. Rechter Parallelepiped- ein Parallelepiped, dessen Seitenkanten senkrecht zu den Ebenen der Basis stehen.Rechteckiges Parallelepiped- ein rechtwinkliges Parallelepiped, dessen Grundfläche ein Rechteck ist.
Eigenschaften und Theoreme:
Einige Eigenschaften eines Parallelepipeds ähneln den bekannten Eigenschaften eines Parallelogramms. Ein rechteckiges Parallelepiped mit gleichen Abmessungen wird genannt Würfel
.Alle Flächen eines Würfels sind gleiche Quadrate. Das Quadrat der Diagonale ist gleich der Summe der Quadrate seiner drei Dimensionen 
,
wobei d die Diagonale des Quadrats ist;
a ist die Seite des Quadrats.
Eine Vorstellung von einem Prisma ergibt sich aus:
- verschieden architektonische Strukturen;
- Kinderspielzeug;
- Verpackungskartons;
- Designerartikel usw.
Die Fläche der Gesamt- und Seitenfläche des Prismas
Quadrat Vollflächig Prismen ist die Summe der Flächen aller seiner Flächen Seitenfläche heißt die Summe der Flächen seiner Seitenflächen. Die Grundflächen des Prismas sind gleiche Polygone, daher sind ihre Flächen gleich. DeshalbS voll = S Seite + 2S Haupt,
Wo S voll- Gesamtfläche, S-Seite-Seitenfläche, S-Basis- Grundfläche
Die Mantelfläche eines geraden Prismas ist gleich dem Produkt aus dem Umfang der Basis und der Höhe des Prismas.
S-Seite= P basisch * h,
Wo S-Seite-Fläche der Seitenfläche eines geraden Prismas,
P main - Umfang der Basis eines geraden Prismas,
h ist die Höhe des geraden Prismas, gleich der Seitenkante.
Prismenvolumen
Das Volumen eines Prismas ist gleich dem Produkt aus Grundfläche und Höhe.
Vorlesung: Prisma, seine Basen, Seitenrippen, Höhe, Seitenfläche; gerades Prisma; richtiges Prisma
Prisma
Wenn Sie bei uns aus den vorherigen Fragen flache Figuren gelernt haben, dann sind Sie für das Studium dreidimensionaler Figuren bestens gerüstet. Der erste Körper, den wir lernen werden, wird ein Prisma sein.
Prisma ist ein volumetrischer Körper, der hat große Menge Gesichter.
Diese Figur hat an der Basis zwei Polygone, die in parallelen Ebenen liegen, und alle Seitenflächen haben die Form eines Parallelogramms.
Abb. 1. Abb. 2
Lassen Sie uns also herausfinden, woraus ein Prisma besteht. Beachten Sie dazu Abb. 1
Wie bereits erwähnt, hat ein Prisma zwei zueinander parallele Grundflächen – das sind die Fünfecke ABCEF und GMNJK. Darüber hinaus sind diese Polygone einander gleich.
Alle anderen Flächen des Prismas werden Seitenflächen genannt – sie bestehen aus Parallelogrammen. Zum Beispiel BMNC, AGKF, FKJE usw.
Man nennt die Gesamtfläche aller Seitenflächen Seitenfläche.
Jedes Paar benachbarter Flächen hat eine gemeinsame Seite. Diese gemeinsame Seite wird Kante genannt. Zum Beispiel MV, SE, AB usw.
Wenn die obere und untere Basis des Prismas durch eine Senkrechte verbunden sind, wird sie als Höhe des Prismas bezeichnet. In der Abbildung ist die Höhe als Gerade OO 1 markiert.
Es gibt zwei Haupttypen von Prismen: schräge und gerade Prismen.
Stehen die Seitenkanten des Prismas nicht senkrecht zu den Grundflächen, spricht man von einem solchen Prisma geneigt.
Stehen alle Kanten eines Prismas senkrecht zu den Grundflächen, so heißt ein solches Prisma gerade.
Wenn die Grundflächen eines Prismas regelmäßige Polygone (solche mit gleichen Seiten) enthalten, wird ein solches Prisma aufgerufen richtig.
Wenn die Grundflächen eines Prismas nicht parallel zueinander sind, wird ein solches Prisma genannt gekürzt.
Sie können es in Abb. 2 sehen
Formeln zum Ermitteln des Volumens und der Fläche eines Prismas
Es gibt drei Grundformeln zum Ermitteln des Volumens. Sie unterscheiden sich voneinander in der Anwendung:
Ähnliche Formeln zum Ermitteln der Oberfläche eines Prismas:
Im schulischen Lehrplan für einen Stereometriekurs beginnt das Studium dreidimensionaler Figuren meist mit einem einfachen geometrischen Körper – dem Polyeder eines Prismas. Die Rolle seiner Basen übernehmen zwei gleiche Polygone, die in parallelen Ebenen liegen. Ein Sonderfall ist ein regelmäßiges viereckiges Prisma. Seine Grundflächen sind zwei identische regelmäßige Vierecke, zu denen die Seiten senkrecht stehen und die Form von Parallelogrammen (oder Rechtecken, wenn das Prisma nicht geneigt ist) haben.
Wie sieht ein Prisma aus?
Ein regelmäßiges viereckiges Prisma ist ein Sechseck, dessen Grundflächen zwei Quadrate sind und dessen Seitenflächen durch Rechtecke dargestellt werden. Ein anderer Name dafür geometrische Figur- gerades Parallelepiped.
Unten ist eine Zeichnung dargestellt, die ein viereckiges Prisma zeigt.
Kann man auch auf dem Bild sehen wesentliche Elemente, aus dem der geometrische Körper besteht. Diese beinhalten:
Bei Geometrieproblemen kann man manchmal auf das Konzept eines Abschnitts stoßen. Die Definition wird so klingen: Ein Abschnitt sind alle Punkte eines volumetrischen Körpers, die zu einer Schnittebene gehören. Der Schnitt kann senkrecht sein (schneidet die Kanten der Figur in einem Winkel von 90 Grad). Für ein rechteckiges Prisma wird auch ein diagonaler Abschnitt berücksichtigt (die maximale Anzahl der konstruierbaren Abschnitte beträgt 2), der durch 2 Kanten und die Diagonalen der Basis verläuft.
Wird der Schnitt so gezeichnet, dass die Schnittebene weder zu den Grundflächen noch zu den Seitenflächen parallel ist, entsteht ein Prismenstumpf.
Um die reduzierten prismatischen Elemente zu finden, werden verschiedene Beziehungen und Formeln verwendet. Einige davon sind aus dem Planimetriekurs bekannt (um beispielsweise die Grundfläche eines Prismas zu ermitteln, genügt es, sich an die Formel für die Fläche eines Quadrats zu erinnern).
Oberfläche und Volumen
Um das Volumen eines Prismas anhand der Formel zu bestimmen, müssen Sie die Fläche seiner Grundfläche und Höhe kennen:
V = Sbas h
Da die Grundfläche eines regelmäßigen tetraedrischen Prismas ein Quadrat mit einer Seite ist A, Sie können die Formel detaillierter schreiben:
V = a²·h
Wenn es sich um einen Würfel handelt – ein regelmäßiges Prisma mit gleicher Länge, Breite und Höhe – berechnet sich das Volumen wie folgt:
Um zu verstehen, wie man die Mantelfläche eines Prismas ermittelt, muss man sich dessen Entwicklung vorstellen.
Aus der Zeichnung ist ersichtlich, dass die Seitenfläche aus 4 gleichen Rechtecken besteht. Seine Fläche wird als Produkt aus dem Umfang der Basis und der Höhe der Figur berechnet:
Sside = Posn h
Berücksichtigen Sie, dass der Umfang des Quadrats gleich ist P = 4a, Die Formel hat die Form:
Sside = 4a h
Für Würfel:
Sseite = 4a²
Um die Gesamtoberfläche des Prismas zu berechnen, müssen Sie zur Seitenfläche 2 Grundflächen addieren:
Sfull = Sside + 2Smain
Bezogen auf ein viereckiges regelmäßiges Prisma sieht die Formel wie folgt aus:
Gesamt = 4a h + 2a²
Für die Oberfläche eines Würfels:
Sfull = 6a²
Wenn Sie das Volumen oder die Oberfläche kennen, können Sie die einzelnen Elemente eines geometrischen Körpers berechnen.
Finden von Prismenelementen
Oft gibt es Probleme, bei denen das Volumen angegeben ist oder der Wert der Mantelfläche bekannt ist, bei denen es notwendig ist, die Seitenlänge der Basis oder die Höhe zu bestimmen. In solchen Fällen können die Formeln abgeleitet werden:
- Basisseitenlänge: a = Sside / 4h = √(V / h);
- Höhe bzw. Seitenrippenlänge: h = Sside / 4a = V / a²;
- Grundfläche: Sbas = V/h;
- Seitenfläche: Seite gr = Seite / 4.
Um zu bestimmen, wie groß die Fläche des Diagonalabschnitts ist, müssen Sie die Länge der Diagonale und die Höhe der Figur kennen. Für ein Quadrat d = a√2. Daher:
Sdiag = ah√2
Um die Diagonale eines Prismas zu berechnen, verwenden Sie die Formel:
dprize = √(2a² + h²)
Um zu verstehen, wie man die gegebenen Zusammenhänge anwendet, können Sie einige einfache Aufgaben üben und lösen.
Beispiele für Probleme mit Lösungen
Hier finden Sie einige Aufgaben aus staatlichen Abschlussprüfungen in Mathematik.
Übung 1.
In einer Box, die die richtige Form hat viereckiges Prisma, Sand wird gegossen. Die Höhe des Sandspiegels beträgt 10 cm. Wie hoch wird der Sandpegel sein, wenn Sie ihn in einen Behälter mit der gleichen Form, aber einem doppelt so langen Boden, stellen?
Man sollte argumentieren auf die folgende Weise. Die Sandmenge im ersten und zweiten Behälter hat sich nicht verändert, d. h. das Volumen darin ist gleich. Sie können die Länge der Basis mit bezeichnen A. In diesem Fall beträgt das Volumen des Stoffes für das erste Kästchen:
V₁ = ha² = 10a²
Für die zweite Box beträgt die Länge der Basis 2a, aber die Höhe des Sandspiegels ist unbekannt:
V₂ = h (2a)² = 4ha²
Weil das V₁ = V₂, wir können die Ausdrücke gleichsetzen:
10a² = 4ha²
Nachdem wir beide Seiten der Gleichung um a² reduziert haben, erhalten wir:
Dadurch entsteht ein neuer Sandspiegel h = 10 / 4 = 2,5 cm.
Aufgabe 2.
ABCDA₁B₁C₁D₁ ist ein korrektes Prisma. Es ist bekannt, dass BD = AB₁ = 6√2. Finden Sie die Gesamtoberfläche des Körpers.
Um leichter zu verstehen, welche Elemente bekannt sind, können Sie eine Figur zeichnen.
Da es sich um ein regelmäßiges Prisma handelt, können wir daraus schließen, dass sich an der Basis ein Quadrat mit einer Diagonale von 6√2 befindet. Die Diagonale der Seitenfläche ist gleich groß, daher hat die Seitenfläche auch die Form eines Quadrats gleich der Grundfläche. Es stellt sich heraus, dass alle drei Dimensionen – Länge, Breite und Höhe – gleich sind. Wir können daraus schließen, dass ABCDA₁B₁C₁D₁ ein Würfel ist.
Die Länge einer beliebigen Kante wird durch eine bekannte Diagonale bestimmt:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
Die Gesamtoberfläche wird mit der Formel für einen Würfel ermittelt:
Sfull = 6a² = 6 6² = 216
Aufgabe 3.
Das Zimmer wird renoviert. Es ist bekannt, dass sein Boden die Form eines Quadrats mit einer Fläche von 9 m² hat. Die Raumhöhe beträgt 2,5 m. Wie hoch sind die geringsten Kosten für das Tapezieren eines Raumes, wenn 1 m² 50 Rubel kostet?
Da Boden und Decke Quadrate, also regelmäßige Vierecke, sind und seine Wände senkrecht zu horizontalen Flächen stehen, können wir daraus schließen, dass es sich um ein regelmäßiges Prisma handelt. Es ist notwendig, die Fläche seiner Seitenfläche zu bestimmen.
Die Länge des Raumes beträgt a = √9 = 3 M.
Der Bereich wird mit Tapeten abgedeckt Seitenteil = 4 3 2,5 = 30 m².
Die niedrigsten Tapetenkosten für diesen Raum betragen 50·30 = 1500 Rubel
Um Probleme mit einem rechteckigen Prisma zu lösen, reicht es daher aus, die Fläche und den Umfang eines Quadrats und eines Rechtecks berechnen zu können sowie die Formeln zur Ermittlung des Volumens und der Oberfläche zu kennen.
So finden Sie die Fläche eines Würfels
