Formula de înălțime a piramidei triunghiulare. Bazele geometriei: piramida corectă este

Elevii dau peste conceptul de piramidă cu mult înainte de a studia geometria. Da vina pe faimoasele mari minuni egiptene ale lumii. Prin urmare, începând studiul acestui minunat poliedru, majoritatea studenților îl imaginează deja clar. Toate obiectivele de mai sus sunt în forma corectă. Ce s-a întâmplat piramida dreapta , și ce proprietăți are și va fi discutat mai departe.

In contact cu

Definiție

Există multe definiții ale unei piramide. Din cele mai vechi timpuri, a fost foarte popular.

De exemplu, Euclid a definit-o ca o figură solidă, formată din plane, care, pornind de la unul, converg într-un anumit punct.

Heron a oferit o formulare mai precisă. El a insistat că este o cifră care are o bază și plane sub formă de triunghiuri, convergând la un moment dat.

Bazându-se pe interpretare modernă, piramida este reprezentată ca un poliedru spațial, format dintr-un anumit k-gon și k figuri plate formă triunghiulară având un punct comun.

Să aruncăm o privire mai atentă, Din ce elemente constă?

• k-gon este considerat baza figurii;
• figurile cu 3 unghi ies în afară ca laturile părții laterale;
• partea superioară, din care provin elementele laterale, se numește vârf;
• toate segmentele care leagă vârful se numesc muchii;
• dacă o linie dreaptă este coborâtă de la vârf la planul figurii la un unghi de 90 de grade, atunci partea ei este închisă în spațiu interior- inaltimea piramidei;
• în orice element lateral de latura poliedrului nostru, puteți desena o perpendiculară, numită apotema.

Numărul de muchii este calculat folosind formula 2*k, unde k este numărul de laturi ale k-gonului. Câte fețe are un poliedru ca o piramidă poate fi determinată prin expresia k + 1.

Important! O piramidă de formă regulată este o figură stereometrică al cărei plan de bază este un k-gon cu laturi egale.

Proprietăți de bază

Piramida corectă are multe proprietăți care sunt unice pentru ea. Să le enumerăm:

1. Baza este o figură cu forma corectă.
2. Marginile piramidei, limitând elementele laterale, au valori numerice egale.
3. Elemente laterale - triunghiuri isoscele.
4. Baza înălțimii figurii se încadrează în centrul poligonului, în timp ce este simultan punctul central al celor înscrise și descrise.
5. Toate nervurile laterale sunt înclinate față de planul de bază la același unghi.
6. Toate suprafețele laterale au același unghi de înclinare față de bază.

Datorită tuturor proprietăților enumerate, performanța calculelor elementelor este mult simplificată. Pe baza proprietăților de mai sus, acordăm atenție doua semne:

1. În cazul în care poligonul se încadrează într-un cerc, fețele laterale vor avea o bază unghiuri egale.
2. Când descrieți un cerc în jurul unui poligon, toate marginile piramidei care emană de la vârf vor avea aceeași lungime și unghiuri egale cu baza.

Pătratul se bazează

Piramidă patruunghiulară obișnuită - un poliedru bazat pe un pătrat.

Are patru fețe laterale, care au aspect isoscel.

Pe un plan, este reprezentat un pătrat, dar se bazează pe toate proprietățile unui patrulater regulat.

De exemplu, dacă este necesar să conectați latura unui pătrat cu diagonala sa, atunci se folosește următoarea formulă: diagonala este egală cu produsul dintre latura pătratului și rădăcina pătrată a două.

Bazat pe un triunghi regulat

O piramidă triunghiulară regulată este un poliedru a cărui bază este un 3-gon regulat.

Dacă baza este un triunghi regulat, iar marginile laterale sunt egale cu marginile bazei, atunci o astfel de figură numit tetraedru.

Toate fețele unui tetraedru sunt 3-goane echilaterale. În acest caz, trebuie să cunoașteți câteva puncte și să nu pierdeți timpul cu ele când calculați:

• unghiul de înclinare a nervurilor față de orice bază este de 60 de grade;
• valoarea tuturor fețelor interne este, de asemenea, de 60 de grade;
• orice față poate acționa ca bază;
• desenate în interiorul figurii sunt elemente egale.

Secțiuni ale unui poliedru

În orice poliedru există mai multe tipuri de secțiuni avion. Adesea, într-un curs de geometrie școlar, lucrează cu doi:

• axial;
• baza paralela.

O secțiune axială se obține prin intersectarea unui poliedru cu un plan care trece prin vârf, margini laterale și axă. În acest caz, axa este înălțimea desenată de la vârf. Planul de tăiere este limitat de liniile de intersecție cu toate fețele, rezultând un triunghi.

Atenţie!Într-o piramidă obișnuită, secțiunea axială este un triunghi isoscel.

Dacă planul de tăiere este paralel cu baza, atunci rezultatul este a doua opțiune. În acest caz, avem în contextul unei figuri similare bazei.

De exemplu, dacă baza este un pătrat, atunci secțiunea paralelă cu baza va fi și ea un pătrat, doar de dimensiuni mai mici.

La rezolvarea problemelor în această condiție, se folosesc semne și proprietăți de similitudine ale figurilor, bazat pe teorema Thales. În primul rând, este necesar să se determine coeficientul de similitudine.

Dacă planul este desenat paralel cu baza și taie partea superioară a poliedrului, atunci se obține o piramidă trunchiată obișnuită în partea inferioară. Apoi bazele poliedrului trunchiat se spune că sunt poligoane similare. În acest caz, fețele laterale sunt trapeze isoscele. Secțiunea axială este, de asemenea, isoscelă.

Pentru a determina înălțimea unui poliedru trunchiat, este necesar să se deseneze înălțimea într-o secțiune axială, adică într-un trapez.

Zone de suprafață

Principalele probleme geometrice care trebuie rezolvate la cursul de geometrie școlară sunt aflarea suprafetei si volumului unei piramide.

Există două tipuri de suprafață:

• zona elementelor laterale;
• întreaga suprafață.

Din titlu în sine este clar despre ce este vorba. Suprafața laterală include doar elementele laterale. De aici rezultă că, pentru a-l găsi, trebuie pur și simplu să adunați zonele planurilor laterale, adică zonele de 3-gonuri isoscele. Să încercăm să derivăm formula pentru aria elementelor laterale:

1. Aria unui 3-gon isoscel este Str=1/2(aL), unde a este latura bazei, L este apotema.
2. Numărul de planuri laterale depinde de tipul k-gonului de la bază. De exemplu, o piramidă patruunghiulară obișnuită are patru planuri laterale. Prin urmare, este necesar să se adună ariile a patru figuri Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . Expresia este simplificată în acest fel deoarece valoarea 4a=POS, unde POS este perimetrul bazei. Iar expresia 1/2 * Rosn este semiperimetrul său.
3. Deci, concluzionăm că aria elementelor laterale ale unei piramide obișnuite este egală cu produsul semiperimetrului bazei și apotema: Sside \u003d Rosn * L.

Aria suprafeței întregi a piramidei este formată din suma ariilor planurilor laterale și a bazei: Sp.p. = Sside + Sbase.

În ceea ce privește aria bazei, aici formula este utilizată în funcție de tipul de poligon.

Volumul unei piramide obișnuite este egal cu produsul dintre aria planului bazei și înălțimea împărțită la trei: V=1/3*Sbase*H, unde H este înălțimea poliedrului.

Ce este o piramidă obișnuită în geometrie

proprietăți ale corectului piramida patruunghiulara

Introducere

Când am început să studiem figurile stereometrice, am atins subiectul „Piramida”. Ne-a plăcut această temă pentru că piramida este foarte des folosită în arhitectură. Și din moment ce noastre viitoare profesie arhitect, inspirat de această figură, credem că ne va putea împinge spre proiecte mărețe.

Forța structurilor arhitecturale, calitatea lor cea mai importantă. Asocierea rezistenței, în primul rând, cu materialele din care sunt create și, în al doilea rând, cu caracteristicile solutii constructive, se dovedește că rezistența structurii este direct legată de forma geometrică care este de bază pentru aceasta.

Cu alte cuvinte, vorbim despre acea figură geometrică care poate fi considerată ca model al corespondentei formă arhitecturală. Se pare că formă geometrică determină şi rezistenţa structurii arhitecturale.

Piramidele egiptene au fost mult timp considerate cea mai durabilă structură arhitecturală. După cum știți, au forma unor piramide patruunghiulare obișnuite.

Această formă geometrică este cea care oferă cea mai mare stabilitate datorită suprafata mare temeiuri. Pe de altă parte, forma piramidei asigură că masa scade pe măsură ce înălțimea deasupra solului crește. Aceste două proprietăți sunt cele care fac piramida stabilă și, prin urmare, puternică în condițiile gravitației.

Obiectivul proiectului: învață ceva nou despre piramide, aprofundează cunoștințele și găsește aplicații practice.

Pentru a atinge acest obiectiv, a fost necesar să se rezolve următoarele sarcini:

Aflați informații istorice despre piramidă

Luați în considerare piramida figură geometrică

Găsiți aplicații în viață și arhitectură

Găsiți asemănările și diferențele dintre piramidele situate în părți diferite Sveta

Partea teoretică

Informații istorice

Începutul geometriei piramidei a fost pus în Egiptul antic și Babilonul, dar a fost dezvoltat activ în Grecia antică. Primul care a stabilit cu ce este egal volumul piramidei a fost Democrit, iar Eudox din Cnidus a dovedit-o. Vechiul matematician grec Euclid a sistematizat cunoștințele despre piramidă în volumul XII al „Începuturilor” sale și a scos la iveală prima definiție a piramidei: o figură corporală delimitată de planuri care converg dintr-un singur plan într-un punct.

Mormintele faraonilor egipteni. Cea mai mare dintre ele - piramidele lui Keops, Khafre și Mikerin din El Giza în antichitate au fost considerate una dintre cele șapte minuni ale lumii. Ridicarea piramidei, în care grecii și romanii au văzut deja un monument al mândriei fără precedent a regilor și cruzimii, care a condamnat întregul popor din Egipt la o construcție fără sens, a fost cel mai important act de cult și trebuia să exprime, aparent, identitatea mistică a țării și a conducătorului ei. Populația țării a lucrat la construcția mormântului în perioada anului lipsită de muncă agricolă. O serie de texte mărturisesc atenția și grija pe care regii înșiși (deși dintr-o perioadă mai târziu) le-au acordat construcției mormântului lor și a constructorilor acestuia. Se știe și despre onorurile speciale de cult care s-au dovedit a fi piramida însăși.

Noțiuni de bază

Piramidă Se numește poliedru, a cărui bază este un poligon, iar fețele rămase sunt triunghiuri având un vârf comun.

Apotema- înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite, trasă din vârful acesteia;

Fețe laterale- triunghiuri convergente în vârf;

Coaste laterale- laturile comune ale fetelor laterale;

vârful piramidei- un punct care unește marginile laterale și nu se află în planul bazei;

Înălţime- un segment de perpendiculară trasat prin vârful piramidei până la planul bazei acesteia (capetele acestui segment sunt vârful piramidei și baza perpendicularei);

Secțiunea diagonală a unei piramide- sectiune a piramidei care trece prin varf si diagonala bazei;

Baza- un poligon care nu aparține vârfului piramidei.

Principalele proprietăți ale piramidei corecte

Marginile laterale, fețele laterale și respectiv apotemele sunt egale.

Unghiurile diedrice de la bază sunt egale.

Unghiurile diedrice de la marginile laterale sunt egale.

Fiecare punct de înălțime este echidistant de toate vârfurile de bază.

Fiecare punct de înălțime este echidistant de toate fețele laterale.

Formule piramidale de bază

Aria suprafeței laterale și complete a piramidei.

Aria suprafeței laterale a piramidei (plină și trunchiată) este suma ariilor tuturor fețelor sale laterale, aria suprafeței totale este suma ariilor tuturor fețelor sale.

Teorema: Aria suprafeței laterale a unei piramide regulate este egală cu jumătate din produsul perimetrului bazei și apotema piramidei.

p- perimetrul bazei;

h- apotema.

Aria suprafețelor laterale și complete ale unei piramide trunchiate.

p1, p 2 - perimetrele de bază;

h- apotema.

R- suprafața totală a unei piramide trunchiate obișnuite;

partea S- zona suprafeței laterale a unei piramide trunchiate regulate;

S1 + S2- suprafata de baza

Volumul piramidei

Formă Scara de volum este folosită pentru piramide de orice fel.

H este înălțimea piramidei.

Unghiurile piramidei

Unghiurile care sunt formate de fața laterală și baza piramidei se numesc unghiuri diedrice la baza piramidei.

Un unghi diedru este format din două perpendiculare.

Pentru a determina acest unghi, de multe ori trebuie să utilizați teorema celor trei perpendiculare.

Se numesc unghiurile care sunt formate de o muchie laterală și proiecția acesteia pe planul bazei unghiuri dintre marginea laterală și planul bazei.

Unghiul format din două fețe laterale se numește unghi diedru la marginea laterală a piramidei.

Unghiul, care este format din două margini laterale ale unei fețe ale piramidei, se numește colțul din vârful piramidei.

Secțiuni ale piramidei

Suprafața unei piramide este suprafața unui poliedru. Fiecare dintre fețele sale este un plan, deci secțiunea piramidei dată de planul secant este o linie întreruptă constând din drepte separate.

Secțiune diagonală

Secțiunea unei piramide printr-un plan care trece prin două margini laterale care nu se află pe aceeași față se numește secțiune diagonală piramide.

Secțiuni paralele

Teorema:

Dacă piramida este străbătută de un plan paralel cu baza, atunci coaste laterale iar înălțimile piramidei sunt împărțite de acest plan în părți proporționale;

Secțiunea acestui plan este un poligon asemănător bazei;

Zonele secțiunii și ale bazei sunt legate între ele ca pătratele distanțelor lor față de vârf.

Tipuri de piramide

Piramida corectă o piramidă a cărei bază este poligon regulat, iar vârful piramidei este proiectat în centrul bazei.

La piramida corectă:

1. coastele laterale sunt egale

2. feţele laterale sunt egale

3. apotemele sunt egale

4. unghiurile diedrice la bază sunt egale

5. unghiurile diedrice la marginile laterale sunt egale

6. fiecare punct de înălțime este echidistant de toate vârfurile bazei

7. fiecare punct de înălțime este echidistant de toate fețele laterale

Piramida trunchiată- partea de piramidă cuprinsă între baza acesteia și un plan de tăiere paralel cu bază.

Baza și secțiunea corespunzătoare a unei piramide trunchiate se numesc bazele unei piramide trunchiate.

Se numește perpendiculară trasată din orice punct al unei baze pe planul alteia înălțimea trunchiului piramidei.

Sarcini

Numarul 1. Într-o piramidă patruunghiulară regulată, punctul O este centrul bazei, SO=8 cm, BD=30 cm.Aflați muchia laterală SA.

Rezolvarea problemelor

Numarul 1. Într-o piramidă obișnuită, toate fețele și marginile sunt egale.

Să luăm în considerare OSB: OSB-dreptunghi dreptunghiular, deoarece.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

Piramida în arhitectură

Piramida - o structură monumentală sub forma unui regulat obișnuit piramida geometrica, în care laturile converg într-un punct. De scop functional piramidele în antichitate erau locuri de înmormântare sau de cult. Baza unei piramide poate fi triunghiulară, pătrangulară sau poligonală cu un număr arbitrar de vârfuri, dar cea mai comună versiune este baza pătraunghiulară.

Se cunosc un număr considerabil de piramide construite de diferite culturi. lumea antica mai ales ca temple sau monumente. Cele mai mari piramide sunt piramidele egiptene.

Pe tot pământul puteți vedea structuri arhitecturale sub formă de piramide. Clădirile piramidale amintesc de cele mai vechi timpuri și arată foarte frumos.

Piramidele egiptene sunt cele mai mari monumente arhitecturale Egiptul antic, printre care una dintre „Șapte minuni ale lumii” este piramida lui Keops. De la picior până în vârf, ajunge la 137,3 m, iar înainte de a pierde vârful, înălțimea ei era de 146,7 m.

Clădirea postului de radio din capitala Slovaciei, asemănătoare cu o piramidă inversată, a fost construită în 1983. Pe lângă birouri și spații de servicii, în interiorul volumului există o sală de concerte destul de spațioasă, care are una dintre cele mai mari orgi din Slovacia .

Luvru, care „este la fel de tăcut și maiestuos ca o piramidă” a suferit multe schimbări de-a lungul secolelor înainte de a deveni cel mai mare muzeu din lume. S-a născut ca fortăreață, ridicată de Filip Augustus în 1190, care s-a transformat în scurt timp într-o reședință regală. În 1793 palatul a devenit muzeu. Colecțiile sunt îmbogățite prin legaturi sau achiziții.

Acest tutorial video va ajuta utilizatorii să-și facă o idee despre tema Pyramid. Piramida corectă. În această lecție, ne vom familiariza cu conceptul de piramidă, ne vom da o definiție. Luați în considerare ce este o piramidă obișnuită și ce proprietăți are. Apoi demonstrăm teorema pe suprafața laterală a unei piramide regulate.

În această lecție, ne vom familiariza cu conceptul de piramidă, ne vom da o definiție.

Luați în considerare un poligon A 1 A 2...A n, care se află în planul α și un punct P, care nu se află în planul α (Fig. 1). Să conectăm punctul P cu vârfuri A 1, A 2, A 3, … A n. obține n triunghiuri: A 1 A 2 R, A 2 A 3 Rși așa mai departe.

Definiție. Poliedru RA 1 A 2 ... A n, alcătuit din n-gon A 1 A 2...A nȘi n triunghiuri RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1, sunat n- piramida carbunelui. Orez. 1.

Orez. 1

Luați în considerare o piramidă patruunghiulară PABCD(Fig. 2).

R- vârful piramidei.

ABCD- baza piramidei.

RA- coasta laterala.

AB- marginea bazei.

De la un punct R scade perpendiculara RN pe planul solului ABCD. Perpendiculara desenată este înălțimea piramidei.

Orez. 2

Suprafata intreaga Piramida constă dintr-o suprafață laterală, adică aria tuturor fețelor laterale și aria bazei:

S complet \u003d S lateral + S principal

O piramidă se numește corectă dacă:

• baza sa este un poligon regulat;
• segmentul care leagă vârful piramidei cu centrul bazei este înălțimea acesteia.

Explicație pe exemplul unei piramide patruunghiulare obișnuite

Luați în considerare o piramidă patruunghiulară obișnuită PABCD(Fig. 3).

R- vârful piramidei. baza piramidei ABCD- un patrulater regulat, adică un pătrat. Punct DESPRE, punctul de intersecție al diagonalelor, este centrul pătratului. Mijloace, RO este înălțimea piramidei.

Orez. 3

Explicaţie: in dreapta n-gon, centrul cercului înscris și centrul cercului circumscris coincid. Acest centru se numește centrul poligonului. Uneori se spune că vârful este proiectat în centru.

Înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite, trasă din vârful ei, se numește apotemăși notat h a.

1. toate marginile laterale ale unei piramide regulate sunt egale;

2. fețele laterale sunt triunghiuri isoscele egale.

Să demonstrăm aceste proprietăți folosind exemplul unei piramide patruunghiulare obișnuite.

Dat: RABSD- piramida patruunghiulara regulata,

ABCD- pătrat,

RO este înălțimea piramidei.

Dovedi:

1. RA = PB = PC = PD

2.∆ATP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP Vezi Fig. 4.

Orez. 4

Dovada.

RO este înălțimea piramidei. Adică drept RO perpendicular pe plan ABC, și, prin urmare, direct AO, VO, SOȘi DO culcat în ea. Deci triunghiurile ROA, ROV, ROS, ROD- dreptunghiular.

Luați în considerare un pătrat ABCD. Din proprietăţile unui pătrat rezultă că AO = BO = CO = DO.

Apoi triunghiurile dreptunghiulare ROA, ROV, ROS, ROD picior RO- general si picioare AO, VO, SOȘi DO egale, deci aceste triunghiuri sunt egale în două catete. Din egalitatea triunghiurilor rezultă egalitatea segmentelor, RA = PB = PC = PD. Punctul 1 este dovedit.

Segmente ABȘi Soare sunt egale pentru că sunt laturile aceluiași pătrat, RA = RV = PC. Deci triunghiurile AVRȘi VCR - isoscel și egal pe trei laturi.

În mod similar, obținem că triunghiurile ABP, BCP, CDP, DAP sunt isoscele și egale, ceea ce trebuia să se dovedească în paragraful 2.

Aria suprafeței laterale a unei piramide regulate este egală cu jumătate din produsul dintre perimetrul bazei și apotema:

Pentru demonstrație, alegem o piramidă triunghiulară obișnuită.

Dat: RAVS este o piramidă triunghiulară regulată.

AB = BC = AC.

RO- înălțime.

Dovedi: . Vezi fig. 5.

Orez. 5

Dovada.

RAVS este o piramidă triunghiulară regulată. Acesta este AB= AC = BC. Lăsa DESPRE- centrul triunghiului ABC, Apoi RO este înălțimea piramidei. Baza piramidei este un triunghi echilateral. ABC. observa asta .

triunghiuri RAV, RVS, RSA- triunghiuri isoscele egale (după proprietate). La piramidă triunghiulară trei fețe laterale: RAV, RVS, RSA. Deci, aria suprafeței laterale a piramidei este:

Partea S = 3S RAB

Teorema a fost demonstrată.

Raza unui cerc înscris la baza unei piramide patrulatere obișnuite este de 3 m, înălțimea piramidei este de 4 m. Aflați aria suprafeței laterale a piramidei.

Dat: piramidă patruunghiulară regulată ABCD,

ABCD- pătrat,

r= 3 m,

RO- înălțimea piramidei,

RO= 4 m.

Găsi: partea S. Vezi fig. 6.

Orez. 6

Soluţie.

Conform teoremei dovedite, .

Găsiți mai întâi partea bazei AB. Știm că raza unui cerc înscris la baza unei piramide patruunghiulare regulate este de 3 m.

Apoi, m.

Aflați perimetrul pătratului ABCD cu latura de 6 m:

Luați în considerare un triunghi BCD. Lăsa M- partea de mijloc DC. Deoarece DESPRE- mijloc BD, Acea (m).

Triunghi DPC- isoscel. M- mijloc DC. Acesta este, RM- mediana, deci și înălțimea în triunghi DPC. Apoi RM- apotema piramidei.

RO este înălțimea piramidei. Apoi, drept RO perpendicular pe plan ABC, și de aici direct OM culcat în ea. Să găsim o apotema RM din triunghi dreptunghic ROM.

Acum putem găsi suprafata laterala piramide:

Răspuns: 60 m2.

Raza unui cerc circumscris lângă baza unei piramide triunghiulare regulate este m. Aria suprafeței laterale este de 18 m 2. Aflați lungimea apotemului.

Dat: ABCP- piramida triunghiulara regulata,

AB = BC = SA,

R= m,

Latura S = 18 m 2.

Găsi: . Vezi fig. 7.

Orez. 7

Soluţie.

Într-un triunghi dreptunghic ABC dată fiind raza cercului circumscris. Să găsim o parte AB acest triunghi folosind teorema sinusului.

Cunoscând latura unui triunghi regulat (m), găsim perimetrul acestuia.

Conform teoremei privind suprafața laterală a unei piramide regulate, unde h a- apotema piramidei. Apoi:

Răspuns: 4 m.

Deci, am examinat ce este o piramidă, ce este o piramidă obișnuită, am demonstrat teorema pe suprafața laterală a unei piramide obișnuite. În lecția următoare, ne vom familiariza cu piramida trunchiată.

Bibliografie

1. Geometrie. Clasele 10-11: un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ (de bază și niveluri de profil) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - Ed. a 5-a, Rev. si suplimentare - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.
2. Geometrie. Clasele 10-11: Un manual pentru instituţiile de învăţământ general / Sharygin I. F. - M .: Bustard, 1999. - 208 p.: ill.
3. Geometrie. Clasa a 10-a: Manual pentru instituții de învățământ general cu studiu aprofundat și de profil al matematicii / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Ed. a VI-a, stereotip. - M.: Butard, 008. - 233 p.: ill.

1. Portalul de internet „Yaklass” ()
2. Portalul de internet „Festival idei pedagogice„Primul septembrie” ()
3. Portalul de internet „Slideshare.net” ()

Teme pentru acasă

1. Poate un poligon regulat să fie baza unei piramide neregulate?
2. Demonstrați că muchiile care nu se intersectează ale unei piramide regulate sunt perpendiculare.
3. Aflați valoarea unghiului diedrului de pe latura bazei unei piramide patruunghiulare regulate, dacă apotema piramidei este egală cu latura bazei acesteia.
4. RAVS este o piramidă triunghiulară regulată. Construiți unghiul liniar al unghiului diedric de la baza piramidei.

• apotema- înălțimea feței laterale a unei piramide regulate, care este desenată din vârful acesteia (în plus, apotema este lungimea perpendicularei, care este coborâtă de la mijlocul unui poligon regulat la 1 din laturile sale);
• fetele laterale (ASB, BSC, CSD, DSA) - triunghiuri care converg în vârf;
• coaste laterale ( LA FEL DE , BS , CS , D.S. ) - laturile comune ale fetelor laterale;
• vârful piramidei (v. S) - un punct care leagă marginile laterale și care nu se află în planul bazei;
• înălţime ( ASA DE ) - un segment al perpendicularei, care este tras prin vârful piramidei până în planul bazei acesteia (capetele unui astfel de segment vor fi vârful piramidei și baza perpendicularei);
• secțiunea diagonală a unei piramide- sectiune a piramidei, care trece prin varful si diagonala bazei;
• baza (ABCD) este un poligon căruia nu îi aparține vârful piramidei.

proprietățile piramidei.

1. Când toate marginile laterale au aceeași dimensiune, atunci:

• lângă baza piramidei este ușor să descrii un cerc, în timp ce vârful piramidei va fi proiectat în centrul acestui cerc;
• nervurile laterale formează unghiuri egale cu planul de bază;
• în plus, este adevărat și invers, adică. când marginile laterale formează unghiuri egale cu planul de bază sau când un cerc poate fi descris lângă baza piramidei și vârful piramidei va fi proiectat în centrul acestui cerc, atunci toate marginile laterale ale piramidei au aceeasi dimensiune.

2. Când fețele laterale au un unghi de înclinare față de planul bazei de aceeași valoare, atunci:

• lângă baza piramidei, este ușor să descrii un cerc, în timp ce vârful piramidei va fi proiectat în centrul acestui cerc;
• înălțimile fețelor laterale sunt de lungime egală;
• aria suprafeței laterale este ½ produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea feței laterale.

3. O sferă poate fi descrisă în apropierea piramidei dacă baza piramidei este un poligon în jurul căruia poate fi descris un cerc (o condiție necesară și suficientă). Centrul sferei va fi punctul de intersecție al planurilor care trec prin punctele medii ale muchiilor piramidei perpendicular pe acestea. Din această teoremă concluzionăm că o sferă poate fi descrisă atât în ​​jurul oricărei piramide triunghiulare, cât și în jurul oricărei piramide regulate.

4. O sferă poate fi înscrisă într-o piramidă dacă planurile bisectoare ale unghiuri diedrice piramidele se intersectează în punctul 1 (condiție necesară și suficientă). Acest punct va deveni centrul sferei.

Cea mai simplă piramidă.

În funcție de numărul de colțuri ale bazei piramidei, acestea sunt împărțite în triunghiulare, patruunghiulare și așa mai departe.

Piramida va triunghiular, patruunghiular, și așa mai departe, când baza piramidei este un triunghi, un patrulater și așa mai departe. O piramidă triunghiulară este un tetraedru - un tetraedru. Patraunghiular - pentaedru și așa mai departe.