Calculul unei bare rotunde pentru îndoire cu torsiune. Încovoiere cu torsiune a unei grinzi rotunde Încovoiere spațială a unei grinzi rotunde

Informatie scurta din teorie

Grinda este în condiții de rezistență complexă, dacă mai mulți factori de forță interni nu sunt egali cu zero în același timp în secțiuni transversale.

Următoarele cazuri de încărcare complexă sunt de cel mai mare interes practic:

1. îndoire oblică.

2. Încovoiere cu tensiune sau compresie când este transversal
apare secțiune transversală forță longitudinalăși momente de încovoiere precum,
de exemplu, cu compresia excentrică a fasciculului.

3. Încovoiere cu torsiune, caracterizată prin prezența în papă
secțiuni de râu ale unei îndoiri (sau două îndoiri) și răsuciri
momente.

îndoire oblică.

Îndoirea oblică este un astfel de caz de îndoire a grinzii, în care planul de acțiune al momentului de încovoiere total în secțiune nu coincide cu niciuna dintre axele principale de inerție. O îndoire oblică este considerată cel mai convenabil ca o îndoire simultană a unui fascicul în două planuri principale zoy și zox, unde axa z este axa fasciculului, iar axele x și y sunt principalele axe centrale ale secțiunii transversale.

Luați în considerare o grindă cantilever de secțiune transversală dreptunghiulară, încărcată cu o forță P (Fig. 1).

Extinderea forței P de-a lungul axelor centrale principale ale secțiunii transversale, obținem:

R y \u003d R cos φ, R x \u003d R sin φ

Momentele încovoietoare apar în secțiunea curentă a grinzii

M x \u003d - P y z \u003d - P z cos φ,

M y \u003d P x z \u003d P z sin φ.

Semnul momentului încovoietor M x se determină în același mod ca și în cazul curba dreaptă. Momentul M y va fi considerat pozitiv dacă la punctele cu valoare pozitivă coordonata x acest moment determină tensiuni de întindere. Apropo, semnul momentului M y este ușor de stabilit prin analogie cu definiția semnului momentului încovoietor M x, dacă rotiți mental secțiunea astfel încât axa x să coincidă cu direcția inițială a axei y .

Tensiunea într-un punct arbitrar al secțiunii transversale a grinzii poate fi determinată folosind formulele pentru determinarea tensiunii pentru caz îndoire plată. Pe baza principiului independenței acțiunii forțelor, rezumăm tensiunile cauzate de fiecare dintre momentele încovoietoare.

(1)

În această expresie sunt înlocuite valorile momentelor încovoietoare (cu semnele lor) și coordonatele punctului în care se calculează solicitarea.

Pentru a determina punctele periculoase ale secțiunii, este necesar să se determine poziția dreptei zero sau neutre (locul punctelor secțiunii, în care tensiunile σ = 0). Tensiunile maxime apar în punctele cele mai îndepărtate de linia zero.

Ecuația liniei zero se obține din ecuația (1) la =0:

de unde rezultă că linia zero trece prin centrul de greutate al secțiunii transversale.

Tensiunile de forfecare care apar în secțiunile grinzii (la Q x ≠ 0 și Q y ≠ 0), de regulă, pot fi neglijate. Dacă este nevoie să le determinăm, atunci componentele tensiunii totale de forfecare τ x și τ y sunt mai întâi calculate conform formulei D.Ya. Zhuravsky, iar apoi acestea din urmă sunt rezumate geometric:

Pentru a evalua rezistența grinzii, este necesar să se determine solicitările normale maxime în secțiunea periculoasă. Deoarece starea de solicitare este uniaxială în punctele cele mai încărcate, condiția de rezistență în calculul prin metoda tensiunilor admisibile ia forma

Pentru materiale plastice

Pentru materiale fragile

n este factorul de siguranță.

Dacă calculăm după metodă stări limită, atunci condiția de rezistență are forma:

unde R este rezistența de proiectare,

m este coeficientul condițiilor de muncă.

În cazurile în care materialul grinzii rezistă diferit la tensiune și compresie, este necesar să se determine atât tensiunile maxime de tracțiune, cât și cele de compresiune maxime și să se facă o concluzie despre rezistența grinzii din rapoarte:

unde R p și R c sunt rezistențele de proiectare ale materialului la tracțiune și respectiv la compresiune.

Pentru a determina deviațiile fasciculului, este convenabil să găsiți mai întâi deplasările secțiunii în planurile principale în direcția axelor x și y.

Calculul acestor deplasări ƒ x și ƒ y poate fi realizat prin întocmirea unei ecuații universale pentru axa îndoită a grinzii sau prin metode energetice.

Deviația totală poate fi găsită ca o sumă geometrică:

starea de rigiditate a grinzii are forma:

unde - este deformarea admisibilă a fasciculului.

Compresie excentrică

În acest caz, forța P care comprimă grinda este îndreptată paralel cu axa grinzii și se aplică într-un punct care nu coincide cu centrul de greutate al secțiunii. Fie X p și Y p coordonatele punctului de aplicare a forței P, măsurate în raport cu axele centrale principale (Fig. 2).

Sarcina care acționează face ca în secțiunile transversale să apară următorii factori de forță interni: N= -P, Mx= -Py p , My=-Px p

Semnele momentelor încovoietoare sunt negative, deoarece acestea din urmă provoacă compresie în punctele aparținând primului sfert. Tensiunea într-un punct arbitrar al secțiunii este determinată de expresie

(9)

Înlocuind valorile lui N, Mx și My, obținem

(10)

Deoarece Yx= F, Yy= F (unde i x și i y sunt razele principale de inerție), ultima expresie poate fi redusă la forma

(11)

Ecuația liniei zero se obține prin setarea =0

1+ (12)

Decupate de linia zero pe axele de coordonate ale segmentului și , sunt exprimate în felul următor:

Folosind dependențele (13), se poate găsi cu ușurință poziția liniei zero în secțiune (Fig. 3), după care se determină punctele cele mai îndepărtate de această linie, care sunt periculoase, deoarece în ele apar tensiuni maxime.

Starea de efort în punctele secțiunii este uniaxială, prin urmare starea de rezistență a grinzii este similară cu cazul considerat anterior de îndoire oblică a grinzii - formule (5), (6).

Cu compresia excentrică a barelor, al cărui material rezistă slab la întindere, este de dorit să se prevină apariția tensiunilor de tracțiune în secțiunea transversală. În secțiune, tensiunile de același semn vor apărea dacă linia zero trece în afara secțiunii sau în interior ultima solutie atinge-l.

Această condiție este îndeplinită atunci când forța de compresiune este aplicată în interiorul regiunii numită miezul secțiunii. Miezul secțiunii este o zonă care acoperă centrul de greutate al secțiunii și se caracterizează prin faptul că orice forță longitudinală aplicată în interiorul acestei zone provoacă tensiuni de același semn în toate punctele barei.

Pentru a construi miezul secțiunii, este necesar să stabiliți poziția dreptei zero astfel încât să atingă secțiunea fără a o intersecta nicăieri și să găsiți punctul corespunzător de aplicare al forței P. După ce a tras o familie de tangente la secțiune, obținem un set de poli corespunzători acestora, al căror loc va da conturul (conturul) secțiunilor de miez.

Să fie, de exemplu, secțiunea prezentată în Fig. 4 cu axele centrale principale x și y.

Pentru a construi miezul secțiunii, dăm cinci tangente, dintre care patru coincid cu laturile AB, DE, EF și FA, iar a cincea conectează punctele B și D. Măsurând sau calculând din tăietură, tăiați cu tangentele indicate I-I , . . . ., 5-5 pe axele x, y și înlocuind aceste valori în dependență (13), determinăm coordonatele x p, y p pentru cei cinci poli 1, 2 .... 5, corespunzătoare celor cinci poziții ale linia zero. Tangenta I-I poate fi mutată în poziția 2-2 prin rotație în jurul punctului A, în timp ce polul I trebuie să se deplaseze în linie dreaptă și, ca urmare a rotării tangentei, să meargă la punctul 2. Prin urmare, toți polii corespunzători pozițiilor intermediare ale tangenta dintre I-I si 2-2 va fi situata pe direct 1-2. În mod similar, se poate dovedi că și celelalte laturi ale miezului secțiunii vor fi dreptunghiulare, adică. miezul secțiunii este un poligon, pentru construcția căruia este suficient să conectați polii 1, 2, ... 5 cu linii drepte.

Îndoirea cu torsiune a unei bare rotunde.

La îndoire cu torsiune în interior secțiune transversală bar în cazul general, cinci factori de forță interni nu sunt egali cu zero: M x, M y, M k, Q x și Q y. Cu toate acestea, în majoritatea cazurilor, influența forțelor tăietoare Q x și Q y poate fi neglijată dacă secțiunea nu este cu pereți subțiri.

Tensiunile normale dintr-o secțiune transversală pot fi determinate din mărimea momentului încovoietor rezultat

deoarece axa neutră este perpendiculară pe cavitatea de acţiune a momentului M u .

Pe fig. 5 prezintă momentele încovoietoare M x și M y ca vectori (direcțiile M x și M y sunt alese pozitive, adică astfel încât în ​​punctele primului cadran al secțiunii tensiunile să fie de tracțiune).

Direcția vectorilor M x și M y este aleasă astfel încât observatorul, privind de la capătul vectorului, să-i vadă îndreptați în sens invers acelor de ceasornic. În acest caz, linia neutră coincide cu direcția vectorului momentului rezultat M u, iar punctele cele mai încărcate ale secțiunii A și B se află în planul de acțiune al acestui moment.

Această combinație de factori de forță interni este tipică în calculul arborilor. Sarcina este plată, deoarece conceptul de „codură oblică” pentru un fascicul cu secțiune transversală rotundă, în care orice axă centrală este cea principală, nu este aplicabil. În cazul general al acțiunii forțelor externe, o astfel de bară suferă o combinație a următoarelor tipuri de deformare: încovoiere transversală directă, torsiune și tensiune centrală (compresie). Pe fig. 11.5 prezintă o grindă încărcată cu forțe externe care provoacă toate cele patru tipuri de deformare.

Graficele forțelor interne vă permit să identificați secțiuni periculoase și diagrame de stres - puncte periculoase din aceste secțiuni. Tensiunile tăietoare de la forțele transversale ating maximul la axa grinzii și sunt nesemnificative pentru o grindă de secțiune solidă și pot fi neglijate, în comparație cu eforturile de forfecare de la torsiune, atingând maximul în punctele periferice (punctul B).

Periculoasă este secțiunea din înglobare, unde în același timp au mare importanță forțe longitudinale și transversale, momente de încovoiere și de torsiune.

Punctul periculos din această secțiune va fi punctul în care σ x și τ xy ating o valoare semnificativă (punctul B). În acest moment, efortul normal cel mai mare de la încovoiere și forfecarea de la torsiune, precum și efortul normal de la tensiune

După ce au determinat tensiunile principale prin formula:

găsim σ roșu =

(când se utilizează criteriul celor mai mari tensiuni de forfecare m = 4, când se utilizează criteriul energiei specifice a modificării formei m = 3).

Înlocuind expresiile σ α și τ xy, obținem:

sau ținând cont de faptul că W p =2 W z , A= (vezi 10.4),

Dacă arborele este îndoit în două plane reciproc perpendiculare, atunci în loc de M z, M tot =

Tensiunea redusă σ red nu trebuie să depășească solicitarea admisibilă σ adm , determinată în timpul încercărilor în stare de efort liniară, ținând cont de factorul de siguranță. Pentru dimensiunile date și solicitările admisibile se efectuează un calcul de verificare Dimensiunile necesare pentru a asigura rezistența sigură sunt găsite din stare

11.5. Calculul cochiliilor instantanee ale revoluției

Elementele structurale sunt utilizate pe scară largă în inginerie, care, din punctul de vedere al calculului rezistenței și rigidității, pot fi atribuite carcaselor subțiri. Se obișnuiește să se considere coaja subțire dacă raportul dintre grosimea sa și dimensiunea totală este mai mic de 1/20. Pentru cochilii subțiri se aplică ipoteza normalelor directe: segmentele normalei la suprafața mijlocie rămân drepte și inextensibile după deformare. În acest caz, există o distribuție liniară a tulpinilor și, prin urmare tensiuni normale(pentru mici deformari elastice) de-a lungul grosimii cochiliei.

Suprafața cochiliei este obținută prin rotirea unei curbe plane în jurul unei axe situate în planul curbei. Dacă curba este înlocuită cu o linie dreaptă, atunci când se rotește paralel cu axa, se obține o carcasă cilindrică circulară, iar când este rotită în unghi față de axă, este conică.

În schemele de proiectare, carcasa este reprezentată de suprafața sa mijlocie (echidistantă de cele frontale). Suprafața mediană este de obicei asociată cu un sistem de coordonate ortogonal curbiliniu Ө și φ. Unghiul θ () determină poziția paralelei liniei de intersecție a suprafeței mijlocii cu un plan care trece normal pe axa de rotație.

Fig.11.6 11.7

Prin normala cu mijlocul suprafeței, puteți desena multe plane care vor fi normale cu ea și puteți forma linii cu diferite raze de curbură în secțiuni cu ea. Două dintre aceste raze au valori extreme. Liniile cărora le corespund se numesc linii de curbură principală. Una dintre linii este un meridian, notăm raza de curbură r1. Raza de curbură a celei de-a doua curbe este r2(centrul de curbură se află pe axa de rotație). Centrele de rază r1Și r2 poate coincide (cochilie sferică), se află pe una sau pe laturile opuse ale suprafeței mijlocii, unul dintre centre poate merge la infinit (cochilii cilindrice și conice).

La compilarea ecuațiilor de bază ale forței și deplasării, ne referim la secțiuni normale ale cochiliei în planurile curburelor principale. Să facem urale pentru eforturile interne. Se consideră un element de înveliș infinitezimal (Fig. 11.6) tăiat de două plane meridionale adiacente (cu unghiuri θ și θ + dθ) și două cercuri paralele adiacente normale pe axa de rotație (cu unghiuri φ și φ + dφ). Ca sistem de axe de proiecții și momente, alegem un sistem dreptunghiular de axe X, y, z. Axă yîndreptată tangențial la meridian, axa z- normal.

Datorita simetriei axiale (sarcina P=0), asupra elementului vor actiona doar forte normale. N φ - forța liniară meridională direcționată tangențial la meridian: N θ - forța inelului liniar direcționată tangențial la cerc. Ecuația ΣX=0 se transformă într-o identitate. Să proiectăm toate forțele pe axă z:

2N θ r 1 dφsinφ+r o dθdφ+P z r 1 dφr o dθ=0.

Dacă neglijăm valoarea infinit mică a ordinului superior ()r o dθ dφ și împărțim ecuația la r 1 r o dφ dθ, atunci ținând cont că obținem ecuația aparținând lui P. Laplace:

În loc de ecuația ΣY=0 pentru elementul luat în considerare, vom compune ecuația de echilibru pentru partea superioară a învelișului (Fig. 11.6). Proiectăm toate forțele pe axa de rotație:

unde: R v - proiecția verticală a forțelor externe rezultante aplicate părții tăiate a carcasei. Asa de,

Înlocuind valorile lui N φ în ecuația Laplace, găsim N θ . Determinarea forțelor într-o carcasă de revoluție conform teoriei fără moment este o problemă determinabilă static. Acest lucru a devenit posibil ca urmare a faptului că am postulat imediat legea variației tensiunii pe grosimea învelișului - le-am considerat constante.

În cazul unui dom sferic, avem r 1 = r 2 = r și r o = r. Dacă sarcina este dată ca intensitate P pe proiecția orizontală a cochiliei, atunci

Astfel, domul este uniform comprimat în direcția meridională. Componentele sarcinii de suprafață de-a lungul normalului z este egal cu P z =P. Înlocuim valorile lui N φ și P z în ecuația Laplace și aflăm din aceasta:

Forțele de compresiune inelului ating un maxim în partea superioară a cupolei la φ = 0. La φ = 45 º - N θ =0; la φ > 45- N θ =0 devine întindere și atinge un maxim la φ = 90.

Componenta orizontală a forței meridionale este:

Luați în considerare un exemplu de calcul al unei învelișuri fără moment. Conducta principală este umplută cu gaz, a cărui presiune este egală cu R.

Aici r 1 \u003d R, r 2 \u003d și în conformitate cu ipoteza acceptată anterior că tensiunile sunt distribuite uniform pe grosime δ scoici

unde: σ m - tensiuni meridionale normale, și

σ t - tensiuni normale circumferenţiale (latitudinale, inelare).

Încovoierea este înțeleasă ca un tip de încărcare în care momentele încovoietoare apar în secțiunile transversale ale grinzii. Dacă momentul încovoietor în secțiune este singurul factor de forță, atunci încovoierea se numește pură. Dacă, împreună cu momentul încovoietor, în secțiunile transversale ale grinzii apar și forțe transversale, atunci îndoirea se numește transversală.

Se presupune că momentul încovoietor și forța transversală se află într-unul dintre planurile principale ale grinzii (presupunem că acest plan este ZOY). O astfel de îndoire se numește plată.

În toate cazurile considerate mai jos, există un apartament îndoire transversală grinzi.

Pentru a calcula rezistența sau rigiditatea unei grinzi, este necesar să se cunoască factorii de forță interni care apar în secțiunile sale. În acest scop, sunt construite diagrame ale forțelor transversale (pură Q) și ale momentelor încovoietoare (M).

La îndoire, axa rectilinie a fasciculului este îndoită, axa neutră trece prin centrul de greutate al secțiunii. Pentru certitudine, atunci când construim diagrame ale forțelor transversale ale momentelor încovoietoare, stabilim reguli de semn pentru acestea. Să presupunem că momentul încovoietor va fi considerat pozitiv dacă elementul grinzii este îndoit cu o convexitate în jos, adică. în așa fel încât fibrele sale comprimate să fie în vârf.

Dacă momentul îndoaie fasciculul cu o umflătură în sus, atunci acest moment va fi considerat negativ.

Valorile pozitive ale momentelor încovoietoare la trasare sunt reprezentate, ca de obicei, în direcția axei Y, care corespunde graficului pe o fibră comprimată.

Prin urmare, regula semnelor pentru diagrama momentelor încovoietoare poate fi formulată astfel: ordonatele momentelor sunt trasate din partea straturilor de grinzi.

Momentul încovoietor într-o secțiune este egal cu suma momentelor relativ la această secțiune a tuturor forțelor situate pe o parte (orice) a secțiunii.

Pentru a determina forțele transversale (Q), stabilim regula semnelor: forța transversală este considerată pozitivă dacă forța externă tinde să rotească partea tăiată a fasciculului în sensul acelor de ceasornic. săgeata relativă la punctul axei care corespunde secțiunii desenate.

Forța transversală (Q) într-o secțiune transversală arbitrară a fasciculului este numeric egală cu suma proiecțiilor pe axa y a forțelor externe aplicate părții sale trunchiate.

Luați în considerare câteva exemple de reprezentare a forțelor transversale ale momentelor încovoietoare. Toate forțele sunt perpendiculare pe axa grinzilor, deci componenta orizontală a reacției este zero. Axa deformată a fasciculului și forțele se află în planul principal ZOY.

Lungimea fasciculului este prinsă de capătul stâng și încărcată cu o forță concentrată F și un moment m=2F.

Construim diagrame ale forțelor transversale Q și momentelor încovoietoare M din.

În cazul nostru, pe o grindă cu partea dreapta nu se fac conexiuni. Prin urmare, pentru a nu defini susține reacțiile, este recomandabil să se ia în considerare echilibrul părții tăiate din dreapta a fasciculului. Grinda dată are două zone de încărcare. Limitele secțiunilor-secțiuni în care se aplică forțe externe. 1 tronson - NE, 2 - VA.

Efectuăm o secțiune arbitrară în secțiunea 1 și luăm în considerare echilibrul părții tăiate din dreapta a lungimii Z 1.

Din starea de echilibru rezultă:

Q=F; M out = -fz 1 ()

Forța tăietoare este pozitivă, deoarece forța externă F tinde să rotească partea tăiată în sensul acelor de ceasornic. Momentul încovoietor este considerat negativ, deoarece îndoaie partea considerată a fasciculului cu o convexitate în sus.

La compilarea ecuațiilor de echilibru, fixăm mental locul secțiunii; din ecuaţiile () rezultă că forţa transversală din secţiunea I nu depinde de Z 1 şi este o valoare constantă. Forța pozitivă Q=F este mărită de la linia centrală a fasciculului, perpendicular pe aceasta.

Momentul încovoietor depinde de Z 1 .

Când Z 1 \u003d O M de la \u003d O la Z 1 \u003d M de la \u003d

Valoarea rezultată () este pusă deoparte în jos, adică diagrama M din este construită pe fibra comprimată.

Să trecem la partea a doua

Tăiem secțiunea II la o distanță arbitrară Z 2 de capătul drept liber al grinzii și luăm în considerare echilibrul părții tăiate a lungimii Z 2. Modificarea forței tăietoare și a momentului încovoietor pe baza condițiilor de echilibru poate fi exprimată prin următoarele ecuații:

Q=FM de la = - FZ 2 +2F

Mărimea și semnul forței transversale nu s-au schimbat.

Mărimea momentului încovoietor depinde de Z 2 .

La Z2 = M de la =, la Z2 =

Momentul încovoietor s-a dovedit a fi pozitiv, atât la începutul secțiunii II, cât și la sfârșitul acesteia. În secțiunea II, grinda se îndoaie cu o umflătură în jos.

Lăsați deoparte pe o scară mărimea momentelor în sus pe linia centrală a fasciculului (adică, diagrama este construită pe o fibră comprimată). Cel mai mare moment încovoietor are loc în secțiunea în care se aplică momentul exterior m și conform valoare absolută egală

Rețineți că pe lungimea fasciculului, unde Q se păstrează valoare constantă, momentul încovoietor M se modifică liniar și este reprezentat pe grafic prin drepte oblice. Din diagramele Q și M din se poate observa că în secțiunea în care se aplică o forță transversală externă, diagrama Q are un salt cu valoarea acestei forțe, iar diagrama M din are o îndoire. Într-o secțiune în care se aplică un moment încovoietor extern, diagrama Miz are un salt cu valoarea acestui moment. Acest lucru nu se reflectă în diagrama Q. Din diagrama M de la vedem că

max M out =

prin urmare, secțiunea periculoasă este extrem de aproape pe partea stângă de așa-numita.

Pentru grinda prezentată în Fig. 13, a, construiți diagrame ale forțelor transversale și ale momentelor încovoietoare. Lungimea grinzii este încărcată cu o sarcină uniform distribuită cu intensitatea q(KN/cm).

Pe suportul A (balama fixă) va avea loc o reacție verticală R a (reacția orizontală este zero), iar pe suportul B (balama mobilă) are loc o reacție verticală R v.

Să determinăm reacțiile verticale ale suporturilor compunând ecuația momentelor relativ la suporturile A și B.

Să verificăm corectitudinea definiției reacției:

acestea. reacțiile de sprijin sunt corect definite.

Grinda dată are două secțiuni de încărcare: Secțiunea I - AC.

Sectiunea II - NE.

Pe prima secțiune a, în secțiunea actuală Z 1, din starea de echilibru a părții tăiate, avem

Ecuația momentelor încovoietoare pe 1 secțiune a grinzii:

Momentul din reacția R a îndoaie grinda în secțiunea 1, convex în jos, astfel încât momentul încovoietor din reacția Ra este introdus în ecuație cu semn plus. Sarcina qZ 1 îndoaie fasciculul cu o convexitate în sus, astfel încât momentul de la ea este introdus în ecuație cu semnul minus. Momentul încovoietor se modifică conform legii parabolei pătrate.

Prin urmare, este necesar să aflăm dacă există un extremum. Există o dependență diferențială între forța transversală Q și momentul încovoietor, pe care îl vom analiza în continuare

După cum știți, funcția are un extremum în care derivata este egală cu zero. Prin urmare, pentru a determina la ce valoare a lui Z 1, momentul încovoietor va fi extrem, este necesar să egalăm ecuația forței transversale cu zero.

Deoarece forța transversală își schimbă semnul de la plus la minus în această secțiune, momentul încovoietor în această secțiune va fi maxim. Dacă Q își schimbă semnul de la minus la plus, atunci momentul încovoietor în această secțiune va fi minim.

Deci momentul de încovoiere la

este maximul.

Prin urmare, construim o parabolă pe trei puncte

Când Z 1 \u003d 0 M de la \u003d 0

Tăiem a doua secțiune la distanța Z 2 de suportul B. Din starea de echilibru a părții tăiate din dreapta a grinzii, avem:

Când Q=const,

momentul încovoietor va fi:

la, la, i.e. M DIN

se modifică liniar.

O grindă pe două suporturi, având o deschidere egală cu 2 și o consolă din stânga cu o lungime, este încărcată așa cum se arată în Fig. 14, a., Unde q (Kn / cm) este sarcina liniară. Suportul A este fixat pivotant, suportul B este o rolă mobilă. Construiți parcele Q și M din.

Rezolvarea problemei ar trebui să înceapă cu determinarea reacțiilor suporturilor. Din condiția ca suma proiecțiilor tuturor forțelor pe axa Z să fie egală cu zero, rezultă că componenta orizontală a reacției pe suportul A este 0.

Pentru a verifica, folosim ecuația

Ecuația de echilibru este satisfăcută, prin urmare, reacțiile sunt calculate corect. Ne întoarcem la definiția factorilor de forță interni. O grindă dată are trei zone de încărcare:

• 1 sectiune - SA,
• Secțiunea a 2-a - AD,
• 3 sectiune - DV.

Tăiem 1 secțiune la distanța Z 1 de capătul stâng al grinzii.

la Z 1 \u003d 0 Q \u003d 0 M FROM \u003d 0

la Z 1 \u003d Q \u003d -q M IZ \u003d

Astfel, pe diagrama forțelor transversale se obține o dreaptă înclinată, iar pe diagrama momentelor încovoietoare se obține o parabolă, al cărei vârf se află la capătul stâng al grinzii.

În secțiunea II (a Z 2 2a), pentru a determina factorii de forță interni, luați în considerare echilibrul părții tăiate din stânga a grinzii cu o lungime Z 2 . Din starea de echilibru avem:

Forța transversală în această zonă este constantă.

La secțiunea III()

Din diagramă vedem că cel mai mare moment încovoietor are loc în secțiunea sub forța F și este egal cu. Această secțiune va fi cea mai periculoasă.

Pe diagrama M dinspre există un salt pe suportul B, egal cu momentul exterior aplicat în această secțiune.

Având în vedere diagramele construite mai sus, nu este greu de observat o anumită legătură regulată între diagramele momentelor încovoietoare și diagramele forțelor transversale. Să demonstrăm.

Derivata forței transversale de-a lungul lungimii grinzii este egală cu modulul intensității sarcinii.

Renunțând la valoarea ordinului superior al micimii, obținem:

acestea. forța transversală este derivata momentului încovoietor de-a lungul lungimii grinzii.

Având în vedere cele primite dependențe diferențiale se pot trage concluzii generale. Dacă fasciculul este încărcat cu o sarcină uniform distribuită de intensitate q=const, evident, funcția Q va fi liniară, iar M din - pătratică.

Dacă fasciculul este încărcat cu forțe sau momente concentrate, atunci în intervalele dintre punctele de aplicare a acestora intensitatea q=0. Prin urmare, Q=const și M din is funcție liniară Z. În punctele de aplicare a forțelor concentrate, diagrama Q suferă un salt cu valoarea forței exterioare, iar în diagrama M din, are loc o rupere corespunzătoare (un decalaj în derivată).

La locul de aplicare a momentului încovoietor extern există un gol în diagrama momentului, egal ca mărime cu momentul aplicat.

Dacă Q>0, atunci M din crește, iar dacă Q<0, то М из убывает.

Dependențe diferențiale sunt utilizate pentru a verifica ecuațiile compilate pentru a reprezenta graficul Q și M din, precum și pentru a clarifica forma acestor diagrame.

Momentul încovoietor se modifică conform legii unei parabole, a cărei convexitate este întotdeauna îndreptată spre sarcina externă.

Combinația de îndoire și torsiune a barelor cu secțiune transversală circulară este cel mai adesea luată în considerare în calculul arborilor. Cazurile de îndoire cu torsiune a barelor de secțiune necirculară sunt mult mai puțin frecvente.

În § 1.9 se stabilește că în cazul în care momentele de inerție ale secțiunii față de axele principale sunt egale între ele, îndoirea oblică a grinzii este imposibilă. În acest sens, îndoirea oblică a barelor rotunde este imposibilă. Prin urmare, în cazul general al acțiunii forțelor externe, o grindă rotundă experimentează o combinație a următoarelor tipuri de deformare: încovoiere transversală directă, torsiune și tensiune centrală (sau compresie).

Să luăm în considerare un astfel de caz special de calcul al unui fascicul rotund, când forța longitudinală în secțiunile sale transversale este egală cu zero. În acest caz, grinda lucrează pe acțiunea combinată de îndoire și torsiune. Pentru a găsi punctul periculos al grinzii, este necesar să se stabilească cum se modifică valorile momentelor de încovoiere și de cuplu de-a lungul lungimii grinzii, adică să construim diagrame ale momentelor totale de încovoiere M și ale cuplurilor totale. Vom lua în considerare construcția din aceste diagrame folosind un exemplu specific al arborelui prezentat în Fig. 22.9, a. Arborele este susținut de rulmenții A și B și este antrenat de motorul C.

Pe arbore sunt montate scripetele E și F, prin care curelele de transmisie sunt aruncate cu tensiune. Să presupunem că arborele se rotește în rulmenți fără frecare; neglijăm greutatea proprie a arborelui și scripetelor (în cazul în care greutatea proprie este semnificativă, trebuie luată în considerare). Să direcționăm axa la secțiunea transversală a arborelui pe verticală, iar axa pe orizontală.

Mărimea forțelor poate fi determinată folosind formulele (1.6) și (2.6), dacă, de exemplu, se cunoaște puterea transmisă de fiecare scripete, viteza unghiulară a arborelui și rapoartele.După determinarea mărimii forțelor, aceste forțe sunt transferate paralel cu ele însele cu axa longitudinală a arborelui. În același timp, arborelui se aplică momente de torsiune în secțiunile în care sunt amplasate și, respectiv, egale scripetele E și F. Aceste momente sunt echilibrate de momentul transmis de la motor (Fig. 22.9, b). Apoi forțele sunt descompuse în componente verticale și orizontale. Forțele verticale vor provoca reacții verticale în lagăre și forțe orizontale - reacții orizontale.Mărimile acestor reacții se determină ca pentru o grindă așezată pe doi suporturi.

Diagrama momentelor încovoietoare care acționează într-un plan vertical este construită din forțe verticale (Fig. 22.9, c). Este prezentat în fig. 22.9, g. În mod similar, din forțele orizontale (Fig. 22.9, e), se construiește o diagramă a momentelor încovoietoare care acționează în plan orizontal (Fig. 22.9, e).

Conform diagramelor, este posibil să se determine (în orice secțiune transversală) momentul total încovoietor M prin formula

Pe baza valorilor lui M obținute folosind această formulă, se construiește un grafic al momentelor încovoietoare totale (Fig. 22.9, g). Pe acele secțiuni ale arborelui unde liniile drepte, diagramele limitatoare intersectează axele diagramelor în puncte situate pe aceeași verticală, diagrama M este limitată de linii drepte, iar în alte secțiuni este limitată de curbe.

(vezi scanare)

De exemplu, în secțiunea arborelui luată în considerare, lungimea diagramei M este limitată la o linie dreaptă (Fig. 22.9, g), deoarece diagramele din această secțiune sunt limitate la linii drepte și care intersectează axele diagramelor în punctele situate pe aceeași verticală.

Pe aceeași verticală se află și punctul O de intersecție a dreptei cu axa diagramei. O situație similară este tipică și pentru o secțiune de arbore cu o lungime

Diagrama momentelor încovoietoare totale (totale) M caracterizează mărimea acestor momente în fiecare secțiune a arborelui. Planurile de acțiune ale acestor momente în diferite secțiuni ale arborelui sunt diferite, dar ordonatele diagramei sunt aliniate convențional pentru toate secțiunile cu planul desenului.

Diagrama cuplului este construită în același mod ca pentru torsiune pură (vezi § 1.6). Pentru arborele luat în considerare, este prezentat în Fig. 22.9, s.

Secțiunea periculoasă a arborelui se stabilește folosind diagramele momentelor totale de încovoiere și cuplurilor M. Dacă secțiunea grinzii de diametru constant cu cel mai mare moment de încovoiere M are și cel mai mare cuplu, atunci această secțiune este periculoasă. În special, pentru arborele luat în considerare, aceasta este secțiunea situată în dreapta scripetei F la o distanță infinit de mică de acesta.

Dacă cel mai mare moment încovoietor M și cel mai mare cuplu acționează în secțiuni transversale diferite, atunci secțiunea în care nici valoarea, nici cea mai mare poate fi periculoasă. La bare cu diametru variabil, cea mai periculoasă secțiune poate fi cea în care există momente de încovoiere și de torsiune semnificativ mai mici decât în ​​alte secțiuni.

In cazurile in care sectiunea periculoasa nu poate fi stabilita direct din diagramele M si este necesar sa se verifice rezistenta grinzii in mai multe din sectiunile sale si sa se stabileasca astfel tensiuni periculoase.

După ce se stabilește secțiunea periculoasă a fasciculului (sau sunt planificate mai multe secțiuni, dintre care una se poate dovedi a fi periculoasă), este necesar să se găsească puncte periculoase în ea. Pentru a face acest lucru, luați în considerare tensiunile care apar în secțiunea transversală a grinzii, atunci când momentul încovoietor M și cuplul

În barele cu secțiune transversală circulară, a căror lungime este de multe ori mai mare decât diametrul, valorile celor mai mari solicitări tangențiale de la forța transversală sunt mici și nu sunt luate în considerare la calcularea rezistenței barelor pentru combinatul acţiunea de încovoiere şi torsiune.

Pe fig. 23.9 prezintă o secțiune transversală a unei bare rotunde. În această secțiune acționează un moment încovoietor M și un cuplu de torsiune. Pentru axa y se ia axa, perpendicular pe planul de acțiune al momentului încovoietor, axa y este, deci, axa neutră a secțiunii.

În secțiunea transversală a grinzii, există solicitări normale o de la încovoiere și solicitări tăietoare de la torsiune.

Tensiunile normale a sunt determinate de formula.Diagrama acestor tensiuni este prezentată în fig. 23.9. Cele mai mari tensiuni absolute apar în punctele A și B. Aceste tensiuni sunt egale cu

unde este momentul axial de rezistență al secțiunii transversale a grinzii.

Tensiunile de forfecare sunt determinate de formula.Diagrama acestor tensiuni este prezentata in fig. 23.9.

În fiecare punct al secțiunii, ele sunt direcționate de-a lungul normalei la raza care leagă acest punct cu centrul secțiunii. Cele mai mari solicitări de forfecare apar în punctele situate de-a lungul perimetrului secțiunii; sunt egali

unde este momentul polar de rezistență al secțiunii transversale a fasciculului.

Cu un material plastic, punctele A și B ale secțiunii transversale, în care atât tensiunile normale, cât și cele tangenţiale ating valorile maxime, sunt periculoase. Cu un material fragil, punctul periculos este unul dintre aceste puncte în care apar tensiuni de tracțiune din momentul încovoietor M.

Starea tensionată a unui paralelipiped elementar izolat în vecinătatea punctului A este prezentată în Fig. 24.9, a. Pe fețele paralelipipedului, coincid cu secțiunile transversale ale grinzii, acţionează tensiuni normale și tangente. Pe baza legii împerecherii tensiunilor tangențiale, tensiunile apar și pe fețele superioare și inferioare ale paralelipipedului. Cele două fețe rămase ale acestuia sunt libere de solicitări. Astfel, în acest caz există o formă particulară a stării de stres plan, care este considerată în detaliu în Cap. 3. Tensiunile principale amax și sunt determinate prin formulele (12.3).

După înlocuirea valorilor din ele, obținem

Tensiunile au semne diferite și, prin urmare,

Un paralelipiped elementar marcat în vecinătatea punctului A de platformele principale este prezentat în Fig. 24.9, b.

Calculul grinzilor pentru rezistența la încovoiere cu torsiune, așa cum s-a menționat deja (a se vedea începutul § 1.9), se face folosind teorii de rezistență. În acest caz, calculul barelor din materiale plastice se realizează de obicei pe baza celei de-a treia sau a patra teorii a rezistenței și din cele fragile - conform teoriei lui Mohr.

Conform celei de-a treia teorii a puterii [vezi. formula (6.8)], substituind în această inegalitate expresiile [vezi formulele (23.9)], obținem

În cazul calculării unei grinzi rotunde sub acțiunea de încovoiere și torsiune (Fig. 34.3), este necesar să se țină cont de tensiunile normale și de forfecare, deoarece valorile maxime ale tensiunii în ambele cazuri apar la suprafață. Calculul trebuie efectuat conform teoriei rezistenței, înlocuind starea complexă de stres cu una simplă la fel de periculoasă.

Efort maxim de torsiune in sectiune

Efort maxim de încovoiere în secțiune

Conform uneia dintre teoriile de rezistență, în funcție de materialul grinzii, se calculează solicitarea echivalentă pentru secțiunea periculoasă și se testează rezistența grinzii folosind efortul de încovoiere admisibil pentru materialul grinzii.

Pentru o grindă rotundă, momentele modulului de secțiune sunt după cum urmează:

Când se calculează conform celei de-a treia teorii a rezistenței, teoria tensiunilor de forfecare maxime, efortul echivalent este calculat prin formula

Teoria este aplicabilă materialelor plastice.

Când se calculează conform teoriei energiei de formare, tensiunea echivalentă este calculată prin formula

Teoria este aplicabilă materialelor ductile și casante.

teoria tensiunilor de forfecare maxime:

Tensiunea echivalentă atunci când este calculată conform teorii ale energiei schimbării formei:

unde este momentul echivalent.

Stare de forță

Exemple de rezolvare a problemelor

Exemplul 1 Pentru o stare de tensiune dată (Fig. 34.4), folosind ipoteza tensiunilor de forfecare maxime, calculați factorul de siguranță dacă σ T \u003d 360 N / mm 2.

1. Ce caracterizează și cum este reprezentată starea de stres într-un punct?

2. Ce locații și ce tensiuni se numesc cele principale?

3. Enumerați tipurile de stări de stres.

4. Ce caracterizează starea deformată într-un punct?

5. În ce cazuri apar stări limită de efort în materialele ductile și casante?

6. Care este tensiunea echivalentă?

7. Explicați scopul teoriilor forței.

8. Scrieţi formule de calcul a tensiunilor echivalente în calcule conform teoriei tensiunilor de forfecare maxime şi a teoriei energiei de deformare. Explicați cum să le folosiți.

PRELEZA 35

Subiectul 2.7. Calculul unei bare de secțiune transversală circulară cu o combinație de deformații de bază

Cunoașteți formulele tensiunilor echivalente conform ipotezelor celor mai mari solicitări tangenţiale și energiei de deformare.

Pentru a putea calcula o grindă cu secțiune transversală circulară pentru rezistență cu o combinație de deformații de bază.

Formule de calcul a tensiunilor echivalente

Tensiuni echivalente conform ipotezei tensiunilor de forfecare maxime

Efort echivalent conform ipotezei energiei de deformare

Condiție de rezistență sub acțiunea combinată de îndoire și torsiune

Unde M EQ este momentul echivalent.

Moment echivalent conform ipotezei tensiunilor de forfecare maxime

Moment echivalent conform ipotezei energiei schimbării formei

Caracteristica calculului arborilor

Majoritatea arborilor experimentează o combinație de deformații de încovoiere și de torsiune. Arborele sunt de obicei bare drepte cu o secțiune rotundă sau inelară. La calcularea arborilor, tensiunile tăietoare din acțiunea forțelor transversale nu sunt luate în considerare din cauza nesemnificației lor.

Calculele sunt efectuate pentru secțiuni transversale periculoase. Sub încărcarea spațială a arborelui se folosește ipoteza independenței acțiunii forțelor și momentele încovoietoare sunt considerate în două plane reciproc perpendiculare, iar momentul încovoietor total este determinat prin însumare geometrică.

Exemple de rezolvare a problemelor

Exemplul 1Într-o secțiune transversală periculoasă a unui fascicul rotund, apar factori de forță interni (Fig. 35.1) M x; Ale mele; M z .

M xȘi Ale mele- momentele încovoietoare în planuri uohȘi zOx respectiv; Mz- cuplu. Verificați rezistența conform ipotezei celor mai mari solicitări de forfecare, dacă [ σ ] = 120 MPa. Date inițiale: M x= 0,9 kN·m; M y = 0,8 kN·m; Mz = 2,2 kN*m; d= 60 mm.

Soluţie

Construim diagrame ale tensiunilor normale din acțiunea momentelor încovoietoare în raport cu axele OhȘi OUși o diagramă a tensiunilor tăietoare de la torsiune (Fig. 35.2).

Tensiunea maximă de forfecare are loc la suprafață. Tensiuni normale maxime din moment M x apar la punct A, tensiuni normale maxime din moment Ale mele la punct ÎN. Tensiunile normale se adună deoarece momentele încovoietoare în planuri reciproc perpendiculare sunt însumate geometric.

Moment total de încovoiere:

Calculăm momentul echivalent conform teoriei tensiunilor de forfecare maxime:

Stare de rezistenta:

Modulul secțiunii: W oce în oe \u003d 0,1 60 3 \u003d 21600mm 3.

Verificarea puterii:

Durabilitatea este garantată.

Exemplul 2 Calculați diametrul arborelui necesar din condiția de rezistență. Două roți sunt montate pe arbore. Există două forțe circumferențiale care acționează asupra roților F t 1 = 1,2 kN; Ft 2= 2kN și două forțe radiale în plan vertical F r 1= 0,43 kN; F r 2 = 0,72 kN (Fig. 35.3). Diametrele roților sunt, respectiv, egale d1= 0,1 m; d2= 0,06 m.

Acceptați materialul arborelui [ σ ] = 50 MPa.

Calculul se realizează conform ipotezei tensiunilor de forfecare maxime. Ignorați greutatea arborelui și a roților.

Soluţie

Instruire. Folosim principiul independenței acțiunii forțelor, elaborăm scheme de proiectare ale arborelui în planurile verticale și orizontale. Determinăm separat reacțiile în suporturi în plan orizontal și vertical. Construim diagrame ale momentelor încovoietoare (Fig. 35.4). Sub acțiunea forțelor circumferențiale, arborele este răsucit. Determinați cuplul care acționează asupra arborelui.

Să facem o schemă de calcul a arborelui (Fig. 35.4).

1. Cuplul arborelui:

2. Considerăm cotul în două planuri: orizontal (pl. H) și vertical (pl. V).

În plan orizontal, determinăm reacțiile în suport:

CUȘi ÎN:

În plan vertical, determinăm reacțiile în suport:

Determinați momentele încovoietoare în puncte C și B:

Momente încovoietoare totale în puncte C și B:

La punctul ÎN momentul încovoietor maxim, aici acţionează şi cuplul.

Calculul diametrului arborelui se efectuează în funcție de secțiunea cea mai încărcată.

3. Moment echivalent într-un punct ÎN conform celei de-a treia teorii a puterii

4. Determinați diametrul arborelui cu o secțiune transversală circulară din condiția de rezistență

Rotunjim valoarea rezultată: d= 36 mm.

Notă. Când alegeți diametrele arborelui, utilizați gama standard de diametre (Anexa 2).

5. Determinăm dimensiunile necesare ale arborelui cu o secțiune inelară la c \u003d 0,8, unde d este diametrul exterior al arborelui.

Diametrul unui arbore inelar poate fi determinat prin formula

Accept d= 42 mm.

Sarcina este minoră. d BH = 0,8d = 0,8 42 = 33,6 mm.

Rotunjiți la valoare dBH= 33 mm.

6. Să comparăm costurile metalului în funcție de aria secțiunii transversale a arborelui în ambele cazuri.

Zona secțiunii transversale a arborelui solid

Zona secțiunii transversale a arborelui tubular

Aria secțiunii transversale a unui arbore solid este aproape de două ori mai mare decât a unui arbore inelar:

Exemplul 3. Determinați dimensiunile secțiunii transversale a arborelui (Fig. 2.70, A) unitatea de control. Forța de tragere a pedalei P3, forțe transmise de mecanism P1, R2, R4. Material arbore - oțel StZ cu limită de curgere σ t = 240 N/mm 2 , factor de siguranță necesar [ n] = 2,5. Calculul se efectuează conform ipotezei energiei schimbării formei.

Soluţie

Luați în considerare echilibrul arborelui, după aducerea forțelor R1, R2, R3, R4 la punctele de pe axa sa.

Transferarea forțelor R 1 paralel cu ei înșiși în puncte LAȘi E, este necesar să se adauge perechi de forțe cu momente egale cu momentele de forțe R 1 raportat la puncte LAȘi E, adică

Aceste perechi de forțe (momente) sunt prezentate în mod convențional în Fig. 2,70 , b sub formă de linii arcuite cu săgeți. În mod similar, la transferul de forțe R2, R3, R4 la puncte K, E, L, N trebuie să adăugați cupluri de forțe cu momente

Lagărele arborelui prezentate în fig. 2.70, a, ar trebui considerate ca suporturi spațiale articulate care împiedică mișcarea în direcția axelor XȘi la(sistemul de coordonate selectat este prezentat în Fig. 2.70, b).

Folosind schema de calcul prezentată în Fig. 2,70 V, compunem ecuațiile de echilibru:

de aici reacţiile de sprijin PEȘi H B definite corect.

Diagrame de cuplu Mzși momentele de încovoiere Ale mele sunt prezentate în fig. 2,70 G. Secțiunea din stânga punctului L este periculoasă.

Condiția de rezistență are forma:

unde este momentul echivalent conform ipotezei energiei schimbării formei

Diametrul exterior necesar arborelui

Acceptăm d \u003d 45 mm, apoi d 0 \u003d 0,8 * 45 \u003d 36 mm.

Exemplul 4 Verificați rezistența arborelui intermediar (Fig. 2.71) al unui angrenaj drept, dacă arborele transmite putere N= 12,2 kW la viteză P= 355 rpm. Arborele este fabricat din oțel St5 cu limită de curgere σ t \u003d 280 N / mm 2. Factorul de siguranță necesar [ n] = 4. Când se calculează, se aplică ipoteza celor mai mari solicitări de forfecare.

Instruire. Eforturile raionale R 1Și R 2 se află într-un plan orizontal și sunt direcționate de-a lungul tangentelor la cercurile roților dințate. Forțe radiale T1Și T 2 se află în plan vertical și sunt exprimate în termeni de forță circumferențială corespunzătoare, după cum urmează: T = 0,364R.

Soluţie

Pe fig. 2,71, A este prezentat un desen schematic al arborelui; în fig. 2.71, b prezintă schema arborelui și forțele care apar în angrenaj.

Determinați momentul transmis de arbore:

Evident, m = m 1 = m 2(momentele de răsucire aplicate arborelui, cu rotație uniformă, sunt egale ca mărime și opuse ca direcție).

Determinați forțele care acționează asupra angrenajelor.

Eforturile districtuale:

Forțe radiale:

Luați în considerare echilibrul arborelui AB, pre-aducerea forţelor R 1Și R 2 la punctele situate pe axa arborelui.

Transferul puterii R 1 paralel cu sine până la un punct L, este necesar să se adauge câteva forțe cu un moment egal cu momentul forței R 1 relativ la punct L, adică

Această pereche de forțe (moment) este prezentată în mod convențional în Fig. 2,71, V sub forma unei linii arcuite cu o săgeată. În mod similar, la transferul de forță R 2 exact LA este necesar să atașați (adăugați) câteva forțe cu un moment

Lagărele arborelui prezentate în fig. 2,71, A, ar trebui considerate ca suporturi spațiale articulate care împiedică mișcările liniare în direcțiile axelor XȘi la(sistemul de coordonate selectat este prezentat în Fig. 2.71, b).

Folosind schema de calcul prezentată în Fig. 2,71, G, compunem ecuațiile de echilibru pentru arborele în plan vertical:

Să facem o ecuație de testare:

prin urmare, reacțiile de sprijin în plan vertical sunt determinate corect.

Luați în considerare echilibrul arborelui în plan orizontal:

Să facem o ecuație de testare:

prin urmare, reacțiile de sprijin în plan orizontal sunt determinate corect.

Diagrame de cuplu Mzși momentele de încovoiere M xȘi Ale mele sunt prezentate în fig. 2,71, d.

Periculoasă este secțiunea LA(vezi fig. 2.71, G,d). Moment echivalent conform ipotezei celor mai mari solicitări de forfecare

Tensiuni echivalente conform ipotezei celor mai mari tensiuni de forfecare pentru punctul periculos al arborelui

factor de securitate

care este mult mai mult [ n] = 4, prin urmare, rezistența arborelui este asigurată.

La calcularea rezistenței arborelui nu a fost luată în considerare modificarea tensiunilor în timp, motiv pentru care s-a obținut un factor de siguranță atât de semnificativ.

Exemplul 5 Determinați dimensiunile secțiunii transversale a grinzii (Fig. 2.72, A). Materialul grinzii este oțel 30XGS cu limite de curgere condiționate la tracțiune și compresie σ o, 2p = σ tr = 850 N/mm 2, σ 0,2 c = σ Tc = 965 N/mm 2. Factor de securitate [ n] = 1,6.

Soluţie

Bara lucrează pe acțiunea combinată a tensiunii (compresiei) și torsii. Sub o astfel de încărcare, în secțiunile transversale apar doi factori de forță interni: forța longitudinală și cuplul.

Grafice ale forțelor longitudinale Nși cuplul Mz prezentată în fig. 2,72, b, c.În acest caz, determinați poziția secțiunii periculoase conform diagramelor NȘi Mz imposibil, deoarece dimensiunile secțiunilor transversale ale secțiunilor grinzii sunt diferite. Pentru a determina poziția secțiunii periculoase, trebuie trasate grafice ale tensiunilor de forfecare normale și maxime de-a lungul lungimii grinzii.

Conform formulei

calculăm tensiunile normale în secțiunile transversale ale grinzii și construim o diagramă o (Fig. 2.72, G).

Conform formulei

calculăm tensiunile de forfecare maxime în secțiunile transversale ale grinzii și trasăm diagrama t max(orez* 2,72, e).

Probabil periculoase sunt punctele de contur ale secțiunilor transversale ale secțiunilor ABȘi CD(vezi fig. 2.72, A).

Pe fig. 2,72, e sunt prezentate parcele σ Și τ pentru secțiuni transversale de secțiune AB.

Amintiți-vă că în acest caz (o grindă cu secțiune transversală rotundă funcționează pe acțiunea combinată a tensiunii - compresie și torsiune), toate punctele conturului secțiunii transversale sunt la fel de periculoase.

Pe fig. 2,72, și

Pe fig. 2,72, h diagramele a și t sunt prezentate pentru secțiunile transversale ale secțiunii CD.

Pe fig. 2,72, Și sunt prezentate tensiunile de pe tampoanele inițiale în punctul periculos.

Principalele tensiuni în punctul periculos al site-ului CD:

Conform ipotezei de rezistență a lui Mohr, tensiunea echivalentă pentru punctul periculos al secțiunii luate în considerare este

Punctele de contur ale secțiunilor transversale ale secțiunii AB s-au dovedit a fi periculoase.

Condiția de rezistență are forma:

Exemplul 2.76. Determinați valoarea forței admisibile R din condiția de rezistență a tijei soare(Fig. 2.73).Materialul tijei este fontă cu rezistență la tracțiune σ vr = 150 N / mm 2 și rezistență la compresiune σ soare = 450 N / mm 2. Factorul de siguranță necesar [ n] = 5.

Instruire. Cherestea sparta ABC situat în plan orizontal, iar tija AB perpendicular pe Soare. Forțe R, 2R, 8R se află într-un plan vertical; putere 0,5 R, 1,6 R- in orizontala si perpendiculara pe tija soare; putere 10R, 16R coincide cu axa tijei soare; o pereche de forțe cu un moment m = 25Pd este situată într-un plan vertical perpendicular pe axa tijei Soare.

Soluţie

Să aducem putere Rși 0,5P la centrul de greutate al secțiunii transversale B.

Transferând forța P paralel cu sine în punctul B, trebuie să adăugăm o pereche de forțe cu un moment egal cu momentul forței R relativ la punct ÎN, adică o pereche cu momentul m 1 = 10 Pd.

Putere 0,5R deplasați-vă de-a lungul liniei sale de acțiune până la punctul B.

Sarcini care acționează asupra tijei soare, prezentată în fig. 2,74 A.

Construim diagrame ale factorilor de forță interni pentru tijă Soare. Sub încărcarea specificată a tijei în secțiunile sale transversale, apar șase dintre ele: forța longitudinală N, forțe transversale QxȘi qy, cuplu mz momente de încovoiere MxȘi Mu.

Loturi N, Mz, Mx, Mu sunt prezentate în fig. 2,74 b(ordonatele diagramelor sunt exprimate în termeni de RȘi d).

Loturi QyȘi Qx nu construim, deoarece tensiunile tăietoare corespunzătoare forțelor transversale sunt mici.

În exemplul luat în considerare, poziția secțiunii periculoase nu este evidentă, se presupune că secțiunile K sunt periculoase (sfârșitul secțiunii eu) și S.

Tensiuni principale la punctul L:

Conform ipotezei de forță a lui Mohr, stresul echivalent pentru punctul L

Să determinăm mărimea și planul de acțiune al momentului încovoietor Mi în secțiunea C, prezentate separat în fig. 2,74 d. Aceeași figură prezintă diagramele σ I, σ N , τ pentru secțiunea C.

Tensiuni pe locurile inițiale la punctul H(Fig. 2.74, e)

Principalele stresuri la un moment dat H:

Conform ipotezei de forță a lui Mohr, stresul echivalent pentru un punct H

Tensiuni pe locurile inițiale în punctul E (Fig. 2.74, și):

Tensiuni principale la punctul E:

Conform ipotezei de rezistență a lui Mohr, stresul echivalent pentru punctul E

Punctul periculos L pentru care

Condiția de rezistență are forma:

Controlați întrebările și sarcinile

1. Ce stare de solicitare apare în secțiunea transversală a arborelui sub acțiunea combinată de încovoiere și torsiune?

2. Scrieți condiția de rezistență pentru calculul arborelui.

3. Scrieţi formulele de calcul al momentului echivalent la calculul ipotezei tensiunii maxime de forfecare şi ipotezei energiei de deformare.

4. Cum este selectată secțiunea periculoasă la calculul arborelui?